Ecuaciones lineales y secuencias aritméticas

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1 LECCIÓN CONDENSADA 3.1 Ecuaciones lineales secuencias aritméticas En esta lección escribirás fórmulas eplícitas para secuencias aritméticas escribirás ecuaciones lineales en forma de intersección En el Capítulo 1 aprendiste las fórmulas recursivas. Usar una fórmula recursiva para hallar un término alejado en la secuencia puede resultar tedioso. Por ejemplo, para hallar el valor de u 7, primero tienes que hallar los valores de u 1 hasta u 71. Una fórmula eplícita te dice cómo calcular cualquier término de la secuencia sin calcular los términos anteriores. Las siguientes fórmulas recursiva eplícita representan la misma secuencia. Fórmula recursiva u 0 5 Fórmula eplícita u n 5 7n u n u n 1 7 donde n 1 Usa ambas fórmulas para calcular los primeros términos de la secuencia. Obtienes los mismos resultados? Para hallar el valor de u 7 con la fórmula eplícita, sustitue n por 7: u 7 5 7(7) 509. Para saber más sobre las fórmulas eplícitas, lee el teto hasta el Ejemplo A en tu libro. Después analiza el siguiente ejemplo. EJEMPLO Considera la secuencia aritmética definida recursivamente. u 0 13 u n u n 1 3 donde n 1 a. Halla una fórmula eplícita para la secuencia. b. Usa la fórmula eplícita para hallar u 17. c. Halla el valor de n de modo que u n 50. Solución a. Para generar los términos, empiezas en 13 restas 3 para hallar cada término: u 0 13 u u u Cada término es igual a 13 menos 3 multiplicado por el número del término. Por lo tanto, la fórmula eplícita para el enésimo término es: u n 13 3n b. Empieza con la fórmula eplícita sustitue n por 17. u (17) 38 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

2 Lección 3.1 Ecuaciones lineales secuencias aritméticas (continuación) c. Sustitue u n por 50 en la fórmula eplícita resuelve para n n Sustitue u n por n Resta 13 de ambos lados. n 1 Divide ambos lados por 3. La variable n en la fórmula eplícita u n 13 3n representa un número entero. Por lo tanto, si representas gráficamente la secuencia de pares ordenados n, u n, obtienes un conjunto de puntos discretos. Los puntos están en una recta que tiene una pendiente igual a 3, la diferencia común de la secuencia aritmética. El punto (0, 13), que se corresponde con el término inicial de la secuencia, es la intersección de la recta. Por lo tanto, la ecuación para la recta que pasa por los puntos es 13 3 ó En este curso usarás e para escribir ecuaciones lineales, n u n para escribir fórmulas recursivas eplícitas en secuencias de puntos discretos (0, 13) (1, 10) (, 7) (3, ) (, 1) (5, ) Investigación: Punto de correspondencia Paso 1 La investigación en tu libro tiene tres fórmulas recursivas, tres gráficas tres ecuaciones lineales. Agrupa las fórmulas, gráficas ecuaciones que se correspondan. Si falta una fórmula, una gráfica o una ecuación, deberás crearla. Cuando termines, lee las respuestas las eplicaciones a continuación. 1, B, : La secuencia de la Fórmula 1 tiene un valor inicial de una diferencia constante de 1. Por lo tanto, la gráfica debe tener un punto en (0, ) después cada punto subsiguiente debe ser 1 unidad menor que el punto anterior. La Gráfica B se ajusta a esta descripción. El valor inicial,, es la intersección de la recta que pasa por los puntos, la diferencia constante, 1, es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación lineal es., C, iii: La secuencia de la Fórmula tiene un valor inicial de una diferencia constante de 5. Por lo tanto, la gráfica debe tener un punto en (0, ) después cada punto subsiguiente debe ser 5 unidades maor que el punto anterior. La Gráfica C se ajusta a esta descripción. El valor inicial,, es la intersección de la recta que pasa por los puntos la diferencia constante, 5, es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación lineal es 5, que es la Ecuación iii. 3, ve la gráfica de la derecha, i: La secuencia de la Fórmula 3 tiene un valor inicial de una diferencia constante de 3. Por lo tanto, la gráfica debe tener un punto en (0, ) después cada punto subsiguiente debe ser 3 unidades maor que el punto anterior, como muestra la gráfica de la derecha. El valor inicial,, es la intersección de la recta que pasa por los puntos la diferencia constante, 3, es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación lineal es 3, que es la Ecuación i CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 010 Ke Curriculum Press

3 Lección 3.1 Ecuaciones lineales secuencias aritméticas (continuación) A, u 0 3 u n u n 1 donde n 1, 3 : La Gráfica A tiene un punto en (0, 3) después cada punto subsiguiente debe ser unidades maor que el punto anterior, por lo tanto la secuencia que se corresponde con la Gráfica A tiene un valor inicial de 3 una diferencia constante de. Esta secuencia tiene una fórmula recursiva u 0 3 u n u n 1 donde n 1. La recta que pasa por los puntos de la Gráfica A tiene una pendiente de una intersección en 3, por lo tanto la ecuación es 3. ii, u 0 u n u n 1 1 donde n 1, ve la gráfica de la derecha: La secuencia que se corresponde con la Ecuación ii tiene un valor 10 inicial de una diferencia constante de 1, por lo tanto su fórmula 8 es u 0 u n 1 1 donde n 1. La gráfica de la secuencia tiene un punto en (0, ) después cada punto subsiguiente es 1 unidad maor que el punto anterior, como se muestra en la gráfica de la derecha. Paso El valor inicial de una secuencia aritmética es la intersección de la recta que pasa por los puntos el valor de a en la ecuación de la recta, que es a b. La diferencia común de una secuencia aritmética es la pendiente de la recta que pasa por los puntos el valor de b en la ecuación de la recta, que es a b Paso 3 Los puntos n, u n de una secuencia aritmética siempre son colineales porque para llegar de un punto al siguiente, siempre se avanza 1 unidad hacia adelante b unidades hacia arriba, donde b es la diferencia constante. Por consiguiente, la pendiente entre cualesquier dos puntos es b, por lo tanto deben estar en la misma recta. El Ejemplo B en tu libro te permite practicar más las fórmulas eplícitas ecuaciones lineales. Analiza el ejemplo por tu cuenta después lee el resto de la lección. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

4 LECCIÓN CONDENSADA 3. De nuevo pendientes En esta lección usarás la fórmula de la pendiente realizarás un eperimento hallarás una recta que se ajuste a los datos identificarás la variable dependiente, la variable independiente, el dominio el rango de una relación En cursos anteriores de matemáticas, aprendiste que la fórmula para la pendiente de la recta entre dos puntos 1, 1, es: pendiente 1 1 donde 1. Para cualesquier dos puntos en la misma recta, obtendrás la misma pendiente. En otras palabras, una recta tiene una sola pendiente. Las rectas horizontales son las únicas rectas que tienen dos puntos con el mismo valor. (De hecho, cada punto en una recta horizontal tiene el mismo valor.) Puedes ver con la fórmula que la pendiente de una recta horizontal es 0. Las rectas verticales son las únicas rectas que tienen dos puntos con el mismo valor. (De hecho, cada punto en una recta vertical tiene el mismo valor.) La pendiente de una recta vertical es indefinida porque el denominador en la fórmula de la pendiente es 0. Como sabes, cuando una ecuación lineal se escribe en forma de intersección, a b, la pendiente de la recta es b, el coeficiente de. Muchos libros usan la letra m para representar la pendiente, pero nosotros usaremos la letra b. Cuando los datos reales muestran una tendencia lineal, puedes ajustar una recta a los datos. A menos que los datos sean eactamente lineales, la pendiente de la recta dependerá de los puntos que elijas para trazar la recta que pase por ellos. Cuando analizas la relación entre dos variables, debes decidir qué variable epresar en términos de la otra. Cuando una variable depende de otra, se llama variable dependiente. La otra variable se llama variable independiente. También debes pensar en el dominio el rango de la relación. El dominio es el conjunto de valores posibles el rango es el conjunto de valores posibles. Investigación: Despegue del globo En esta investigación, escribirás una ecuación para la distancia entre un coheteglobo un sensor como una función de tiempo. Lee el Procedure Note (Nota del procedimiento) los Pasos 1 en tu libro. Si tienes los materiales para hacer el eperimento un amigo que te pueda audar, reúne tus propios datos. De lo contrario, usa los datos de muestra de la página siguiente. Completa los pasos por tu cuenta antes de leer los resultados de la página siguiente. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

5 Lección 3. De nuevo pendientes (continuación) Tiempo (s) Distancia (m) Paso 3 Ésta es una gráfica de los datos, donde el tiempo es la variable independiente. El dominio de los datos es el rango es El dominio indica los segundos en que el cohete está en movimiento. El rango indica la distancia que viaja. Pasos 5 Usaremos A(0.05, ), B(0.3, 0.79), C(0.5, ) D(0.5,.355) como puntos representativos. Pendiente entre A B:.130 Pendiente entre B C:.91 Pendiente entre A C: Pendiente entre B D:.859 Pendiente entre A D: 3.7 Pendiente entre C D: 5. Paso Las estimaciones de la pendiente son distintas porque los cuatro puntos no están en la misma recta. La media de las pendientes es la mediana es No ha moda. La media la mediana están mu cerca. Cualquiera podría ser una opción razonable para la pendiente representativa. Usaremos la media. Paso 7 La pendiente indica que la distancia entre el cohete el sensor aumenta metros por segundo. En otras palabras, la velocidad del cohete es de aproimadamente 3.95 metros por segundo. Ahora, analiza el ejemplo en tu libro. 8 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 010 Ke Curriculum Press

6 LECCIÓN CONDENSADA 3.3 Ajuste de una recta a los datos En esta lección trazarás una recta de ajuste para un conjunto de datos hallarás la ecuación para la recta de ajuste la usarás para hacer predicciones Cuando representas gráficamente datos reales, a veces los puntos muestran una tendencia lineal. Sin embargo, es poco probable que todos los puntos estén en una recta. Depende de ti hallar una recta que resuma o modele los datos. Una recta que se ajusta razonablemente bien a un conjunto de datos se llama recta de ajuste. Las pautas dadas en la sección Finding a Line of Fit de tu libro te audarán a hallar una recta que se ajuste a un conjunto de datos de modo razonable. Una vez que traces una recta de ajuste, puedes escribir una ecuación que se aproime a la relación entre las variables. Puedes usar la ecuación para predecir los valores que están entre los puntos de datos los que están más allá de éstos. Si conoces la pendiente la intersección de una recta, puedes escribir fácilmente la ecuación en forma de intersección, sea a b. Cuando sólo conoces las coordenadas de dos puntos sobre la recta o la pendiente las coordenadas de un punto, puedes escribir una ecuación en forma de punto-pendiente. Esta forma se resume en Point-Slope Form de tu libro. Lee esta información atentamente. El ejemplo en tu libro muestra cómo ajustar una recta a un conjunto de datos después usar la ecuación de la recta para hacer predicciones. Analiza el ejemplo. Observa que en la parte b te piden hacer una predicción para un valor más allá del último año enumerado en la tabla. El proceso que usa un modelo para hacer una predicción más allá del primer o último punto de datos se llama etrapolación. Hallar un valor entre los puntos de datos dados se llama interpolación. Por lo tanto, por ejemplo, si tuvieras que predecir la concentración de CO en 1991, usarías la interpolación. Investigación: La ola Es probable que haas visto a los aficionados en los eventos deportivos hacer una ola al levantarse rápida sucesivamente con los brazos levantados después volver a sentarse. En esta investigación hallarás una ecuación para modelar la relación entre el número de personas el tiempo necesario para completar la ola. Esta tabla muestra los datos de la ola reunidos en una clase usando las instrucciones del Paso 1. Número de personas Tiempo (s) Usa estos datos de muestra tu libro para analizar los Pasos 3 de la investigación. Luego mira los ejemplos de respuestas de la página siguiente. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

7 Lección 3.3 Ajuste de una recta a los datos (continuación) Paso A la derecha está la gráfica de los datos con una recta de ajuste razonable. Tu recta de ajuste es probablemente diferente. La recta pasa por los puntos (5, ) (18, 10), por lotanto su pendiente es La forma punto-pendiente de la ecuación (usando el punto (5, )) es: La variable ˆ ( estimado ) se usa en lugar de para indicar que Número de personas ésta es una recta de predicción. ŷ ( 5) 13 La pendiente de la recta, 1 3, o aproimadamente 0., significa que por cada nueva persona que participa, el tiempo necesario para completar una ola se incrementa en 0. segundos. Para hallar la intersección, vuelve a escribir la ecuación en forma de intersección. ŷ ( 1 3 5) ŷ ŷ La intersección es 1, 3 o aproimadamente 1.9. Esto significa que 0 personas necesitarían 1.9 segundos para completar la ola. Esto no tiene sentido, por lo tanto la intersección no significa nada en este conteto. Para hallar la intersección, sustitue por 0 resuelve para Tiempo (s) Esto significa que, en 0 segundos, personas podrían completar una ola. Esto no tiene sentido, por lo tanto la intersección no significa nada en este conteto. Un dominio razonable para la muestra de datos sería de 0 a personas. Paso 3 Con esta ecuación, si hubiera 750 estudiantes en una escuela, entonces necesitarían 1 3 (750) segundos para completar la ola. Unas 0,000 personas en un gran estadio necesitarían 1 (0,000) ,3 segundos para completar para la ola. Más de 5 horas! De hecho, con un grupo grande de personas, la ola va ganando impulso comienza a viajar más rápido. Por lo tanto, con una gran cantidad de personas, es posible que los datos no sean lineales. 30 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 010 Ke Curriculum Press

8 LECCIÓN CONDENSADA 3. La recta mediana-mediana En esta lección ajustarás la recta mediana-mediana a un conjunto de datos Hasta ahora, has ajustado las rectas a los datos a ojo es decir, al ver el patrón de los puntos, trazas una recta que consideras un buen ajuste. Es probable que tú los demás estudiantes haan hallado a menudo diferentes ecuaciones para el mismo conjunto de datos. Eisten más métodos formales para hallar una recta de ajuste. En esta lección, aprenderás un procedimiento para hallar la recta mediana-mediana. Si tú los demás estudiantes siguen el procedimiento correctamente, todos obtendrán la misma recta de ajuste para el conjunto de datos dado. El teto que precede el ejemplo en tu libro eplica cómo hallar la recta mediana-mediana. Lee ese teto después analiza atentamente el ejemplo. (Además de leer el ejemplo, debes resolverlo usando lápiz papel.) Luego repasa los pasos para hallar una recta mediana-mediana dada después del ejemplo. Investigación: Itinerarios de una aerolínea En esta investigación, hallarás una recta mediana-mediana que modele la relación entre la distancia de un vuelo de aerolínea el tiempo de vuelo. Completa por tu cuenta los pasos de la investigación antes de leer el siguiente teto. Paso 1 Un vuelo de Detroit a Cincinnati demora minutos cubre 9 millas. Paso A la derecha está la gráfica de los datos. Paso 3 Éstos son los pasos para hallar la recta mediana-mediana: 1. Ordena los datos según los valores del dominio. Después divide los datos en tres grupos de igual tamaño. Como los 10 valores no se dividen uniformemente en tres grupos, divídelos en grupos de Halla la mediana del valor la mediana del valor en cada grupo. Los valores Destinos están ordenados, pero observa que la distancia del vuelo a Denver es más larga que la del vuelo a Houston, a pesar de que el tiempo de viaje es más corto. Nombra los puntos con las medianas de los valores e como M 1, M M 3, respectivamente. M 1 es (7, 30), M es (18, 1015) M 3 es (88, 1979). Distancia de vuelo (mi) Tiempo de vuelo (min) Tiempo de vuelo (min) Distancia de vuelo (mi) Cincinnati, OH 9 Louisville, KY 7 30 Memphis, TN Omaha, NE New Orleans, LA Denver, CO Houston, TX Phoeni, AZ Los Angeles, CA San Francisco, CA Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

9 Lección 3. La recta mediana-mediana (continuación). Halla la pendiente de la recta que pasa por M 1 M 3. Ésta será la pendiente de la recta mediana-mediana. pendiente Halla la ecuación de la recta que pasa por M 1 con la pendiente del Paso. La ecuación de la recta que pasa por M 3 será igual ( 7) Forma punto-pendiente Distribue ŷ Forma de intersección.. Halla la ecuación de la recta que pasa por M con la pendiente del Paso ( 18) Forma punto-pendiente Distribue ŷ Forma de intersección. 5. Halla la media de las intersecciones de las rectas que pasan por M 1, M M 3. (Las intersecciones de las rectas que pasan por M 1 M 3 son iguales.) Por lo tanto, la ecuación de la recta mediana-mediana es ŷ Paso La gráfica muestra los puntos M 1, M M 3 la recta mediana-mediana. Paso 5 Éstos son los ejemplos de respuestas a las preguntas a f: a. Ejemplos de respuestas: Si 300, entonces ŷ (300) 051; en 300 minutos puedes volar aproimadamente 050 millas desde Detroit. Si 50, entonces ŷ (50) 158.8; en 50 minutos puedes volar aproimadamente 10 millas desde Detroit. b. (189, 109) (, 9) son los puntos más alejados de la recta mediana-mediana. Otros factores además de la distancia, como los vientos preponderantes, el tamaño el tipo de avión o la geografía, pueden afectar los tiempos de vuelo. c. La pendiente indica que la distancia recorrida en 1 minuto es aproimadamente de 7.57 millas, que representa una velocidad total de unas 7.57 mi/min. d. La intersección representa las millas recorridas a los 0 minutos, 19.7 millas aproimadamente. Esto representa la distancia que habría recorrido un avión si no hubiera estado en la pista. e. El dominio es de min 303 min, que inclue todos los tiempos de vuelo. El rango es 9 mi 079 mi, que inclue todas las distancias de vuelo. f. Es más sencillo ajustar una recta a ojo, pero la recta medina-mediana da un modelo estándar constante de los datos. Distancia de vuelo (mi) Tiempo de vuelo (min) 3 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 010 Ke Curriculum Press

10 LECCIÓN CONDENSADA 3.5 Predicción eactitud En esta lección calcularás los residuos el error cuadrático medio los usarás para evaluar el ajuste de una recta a un conjunto de datos Una forma de evaluar con qué eactitud el modelo de la recta describe a un conjunto de datos es observando los residuos, o las distancias verticales entre los puntos del conjunto de datos los puntos generados por la recta de ajuste. residuo valor del punto de datos valor del punto en la recta Cuanto más cerca esté un punto a la recta, más próimo a cero estará su residuo. Un residuo positivo indica que el punto está por encima de la recta. Un residuo negativo indica que está por debajo de la recta. Si una recta se ajusta bien, entonces habrá aproimadamente tantos puntos por encima de la recta como por debajo de ésta, por lo tanto la suma de los residuos será casi cero. Estudia el Ejemplo A en tu libro que muestra cómo hallar e interpretar los residuos. Residuo positivo Punto pronosticado por la recta de ajuste Punto de datos Investigación: Eperimento de resorte Paso 1 La investigación en tu libro describe un eperimento en el que fijas diversas masas al etremo de un resorte después mides la longitud del resorte. Estos datos se reunieron en un eperimento similar. Intenta completar los pasos por tu cuenta, antes de leer el siguiente teto. Punto de datos Residuo negativo Recta de ajuste Punto pronosticado por la recta de ajuste Masa (g) Longitud del resorte (cm) Paso A la derecha ha una gráfica de los datos con la masa en el eje, la longitud del resorte en el eje. La recta mediana-mediana de los datos, ŷ , también está representada gráficamente. Paso 3 La pendiente indica que la longitud del resorte aumenta aproimadamente cm por cada gramo adicional de peso. La intersección significa que la recta mediana-mediana predice que el resorte mide aproimadamente.9 cm de largo cuando no se le añade ningún peso. Paso Esta tabla muestra los residuos redondeados a los centésimos. (Los valores se calculan con valores de pendiente e intersección no redondeados.) ŷ ŷ Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

11 Lección 3.5 Predicción eactitud (continuación) a. La suma de los residuos es aproimadamente 0., que es bien poco con relación a los valores de, por lo tanto, el modelo es un buen ajuste. b. El maor residuo positivo es aproimadamente 0.17, para 90 g. El residuo negativo con la maor magnitud es aproimadamente 0.15, para 50 g. Es posible que, para los valores de estos datos, la medida de la longitud del resorte haa sido menos precisa. No obstante, estos residuos no son mucho maores que los otros residuos, por lo tanto, es poco probable que se produzca un gran error de medición. c. Este modelo parece ser un buen ajuste para pesos de hasta 10 g. Por lo tanto, si la medida de una longitud fue de 0. cm más que la predicción, tendrías que repetir la medición. Sin embargo, es posible que el modelo no sea preciso para pesos mucho maores. d. La predicción de longitud para una masa de 10 g es aproimadamente 1. cm. Usando el maor residuo (redondeado a 0. cm) para el error posible, cm es una predicción razonable de la longitud. La gráfica en la página 15 de tu libro ilustra que es posible que la suma de los residuos se aproime a 0, incluso si la recta es un mal ajuste. Para que una recta sea un buen ajuste, los residuos individuales también deben estar cercanos a 0. Eiste, sin embargo, una sola medición que indica lo bien que una recta se ajusta a un conjunto de datos. Esta medición se llama error cuadrático medio (root mean square error). Puedes calcular el error cuadrático medio siguiendo estos pasos: 1. Calcula los residuos.. Eleva los residuos al cuadrado. 3. Halla la suma de los cuadrados de los residuos.. Divide esta suma por el número de los puntos de datos menos. 5. Toma la raíz cuadrada del cociente del paso anterior. Para saber más sobre el error cuadrático medio, lee el resto de la Lección 3.5 en tu libro. Intenta resolver el problema del Ejemplo B sin ver la solución después verifica tu respuesta. 3 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 010 Ke Curriculum Press

12 LECCIÓN CONDENSADA 3. Sistemas lineales En esta lección escribirás sistemas de ecuaciones para representar situaciones reales resolverás sistemas de ecuaciones usando gráficas tablas resolverás sistemas de ecuaciones usando una forma sencilla de sustitución Un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen las mismas variables que se resuelven o estudian simultáneamente se llama sistema de ecuaciones. El Ejemplo A en tu libro muestra un problema real que puedes resolver hallando la solución de un sistema de ecuaciones. El ejemplo muestra que puedes estimar la solución de un sistema representando gráficamente las ecuaciones hallando el punto donde las gráficas se intersecan, o haciendo una tabla buscando el valor para el que los valores sean iguales. Analiza atentamente el Ejemplo A. Investigación: Tendencias poblacionales Lee la investigación en tu libro e intenta resolver el problema planteado en el Paso 1. Cuando termines, lee el siguiente teto que describe dos posibles métodos para resolver el problema. Puedes modelar la población de San José mediante la recta mediana-mediana ŷ 30,850,000 15,870, donde es el año e es la población. Puedes modelar la población de Detroit mediante la recta mediana-mediana ŷ 3,331,000 17,700, donde es el año e es la población. Puedes usar una gráfica o una tabla para estimar el año en que las dos ciudades tuvieron la misma población. La gráfica muestra que la población de San José igualó a la de Detroit entre el 001 el 00. En ambas ciudades, la población era aproimadamente 909,000 habitantes. La tabla muestra que en el 001 la población de Detroit era maor que la de San José, pero que en el 00 era menor. Eso quiere decir que las dos ciudades deben haber tenido la misma población entre el 001 el 00. Para hacer una estimación precisa, tendrías que mostrar incrementos menores en la tabla. Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

13 Lección 3. Sistemas lineales (continuación) Ambos métodos hallaron la misma respuesta. El método de solución que elijas dependerá de qué tan precisa debe ser tu respuesta de la tecnología disponible. Has visto que puedes estimar la solución de un sistema usando una gráfica o una tabla. En muchos casos, puedes hallar la solución eacta con métodos simbólicos. El Ejemplo B en tu libro demuestra un método. Aprenderás otros métodos en la siguiente lección. Analiza atentamente el Ejemplo B lee el teto a continuación del Ejemplo B. Después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Josie hace aretes de plata los vende. Alquiló un puesto en una feria de arte de fin de semana por $35. Los materiales para cada par de aretes le cuestan $.75 los vende a $3. Cuántos pares necesita vender en la feria para cubrir los gastos? Solución Si es el número de aretes, entonces puedes escribir estas ecuaciones: Gastos de Josie. Ingresos de Josie. La gráfica muestra que los ingresos de Josie finalmente eceden sus gastos. La intersección representa el punto de equilibrio, cuando los ingresos de Josie son iguales a sus gastos. Puedes hallar el punto de equilibrio trazando la gráfica o usando una tabla. También puedes resolver un sistema de ecuaciones. Iguala los lados derechos de las ecuaciones entre sí resuelve para Cuando los gastos de Josie igualan a sus ingresos Resta.75 de ambos lados. 0 Divide ambos lados por 1.5. Josie necesita vender 0 pares de aretes para cubrir los gastos. 3 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 010 Ke Curriculum Press

14 LECCIÓN CONDENSADA 3.7 Sustitución eliminación En esta lección usarás el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones usarás el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones Esta lección trata dos métodos para resolver los sistemas de ecuaciones: el método de sustitución el método de eliminación. Es probable que haas aprendido estas técnicas en un curso anterior de matemáticas. Para revisar practicar estos métodos, lee el teto en tu libro que precede la investigación. Después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Resuelve este sistema para e Solución Resuelve la primera ecuación para : 5 3. Ahora sustitue por 5 3 en la segunda ecuación La segunda ecuación. 7 3(5 3) 7 Sustitue por Distribue 3. 8 Resta 15 de ambos lados combina los términos semejantes. Divide ambos lados por. Ahora que sabes el valor de, sustitúelo en cualquiera de las ecuaciones para hallar el valor de. 5 3() 7 Sustitue por en la primera ecuación. Multiplica suma 5 a ambos lados. La solución del sistema es (, 7). Investigación: Cuál es tu sistema? En esta investigación, eplorarás las propiedades de diferentes clases de sistemas. Analiza los pasos de la investigación por tu cuenta. Luego lee las soluciones que están a continuación. Paso 1 Usa el método de eliminación para resolver cada sistema. a. Resta las ecuaciones para eliminar. La ecuación resultante es 8 1, por lo tanto,. Sustitue por en la primera ecuación para obtener 5( ), halla el valor de. 1, por lo tanto, 8. La solución es (8, ). Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

15 Lección 3.7 Sustitución eliminación (continuación) b. Multiplica la primera ecuación por para obtener. Suma la ecuación resultante a la segunda ecuación. Esto da la ecuación 0 0. Esta ecuación es verdadera para cualquier valor de de, por lo tanto, ha infinitas soluciones. c. Para eliminar, multiplica ambas ecuaciones de modo que tenga el coeficiente 1 (ó 1), que es un múltiplo común de 3. 3( 8 5) 1 15 Multiplica la primera ecuación por 3. ( 3 11) 1 Multiplica la segunda ecuación por Suma las ecuaciones resultantes. La ecuación final, 0 59, es falsa para todos los valores de e, por lo tanto, el sistema no tiene solución. d. Multiplica la primera ecuación por 3 para obtener Suma la ecuación resultante a la segunda ecuación obtendrás 0 0. Como en 1b, ha infinitas soluciones. e. Suma las dos ecuaciones para eliminar. La ecuación resultante es 1, por lo tanto,. Sustitue por en la primera ecuación halla el valor de : 3, por lo tanto, _ 3. La solución es, _ 3. f. Multiplica la primera ecuación por 3 para obtener 3 9. Suma la ecuación resultante a la segunda ecuación para eliminar. La ecuación resultante, 0 8, es falsa, por lo tanto, el sistema no tiene solución. a. b. 8 c. d. 38 CHAPTER 3 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish 010 Ke Curriculum Press

16 Lección 3.7 Sustitución eliminación (continuación) e. f. Paso 3 Los sistemas de las partes a, b, d e son consistentes. Paso Los sistemas de las partes c f son inconsistentes. Paso 5 Los sistemas de las partes b d son dependientes los sistemas de las partes a e son independientes. Paso Si el método de eliminación en una ecuación da un resultado que es siempre verdadero, como 0 0, entonces el sistema es consistente dependiente (las rectas son iguales). Si el método de eliminación da un resultado para e, entonces el sistema es consistente e independiente (ha un solo punto de intersección). Si el resultado final no es verdadero, tal como 0, entonces el sistema es inconsistente (las rectas son paralelas). Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER Ke Curriculum Press

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