4.1 MONOTONÍA 4.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 4.3 CONCAVIDAD 4.4 ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS 4.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

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1 Cáp. Temas Adicionales de la derivada. MONOTONÍA. MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CONCAVIDAD. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS.6 TEOREMA DE ROLLE.7 TEOREMA DE CAUCHY.8 TEOREMA DE L HOPITAL OBJETIVOS: Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento Determinar etremos Determinar intervalos de Concavidad. Graicar unciones soisticadas. Utilizar el teorema del valor medio para derivadas. Calcular indeterminaciones empleando derivadas. 9

2 Cáp. Temas Adicionales de la derivada. MONOTONÍA La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una unción... Teorema de Monotonía Sea ƒ una unción continua en un intervalo [ a, b] y dierenciable en todo punto interior de [ a, b]. Entonces: ( >, a, b entonces ƒ es. Si [ ] creciente en [ a, b]. Si (, [ a, b] decreciente en [ a, b]. < entonces ƒ es DEMOSTRACIÓN. Se demostrará el primer inciso del teorema. ( ( ( ( Suponga que ( > entonces lím > ; es decir >. Suponga ahora que <, entonces ( < (, lo cual indica que es creciente. Si < entonces ( < ( lo cual también indica que es creciente Para el caso ( <, la demostración es análoga. Ejemplo Analice la monotonía de ( 5 De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento analizamos la primera derivada de. Es decir, a ( El asunto es determinar en que intervalo para esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual actorizamos ( ( ; se observa que: ( < Negativa (- decrece > Positiva( crece

3 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ejemplo Analice la monotonía de ( Analizando la primera derivada ( 6 En la orma actorizada ( ( se observa que: ( < Positiva ( crece < < Negativa (- decrece > Positiva ( crece Ejercicios Propuestos.. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento:. ( 7. 5 ( 5. (. ( 5 5. ( ( ( 6. (. MÁXIMOS Y MÍNIMOS Este es uno de los problemas más interesante que resuelve la derivada.. DEFINICIÓN Sea : I R R. Suponga pertenece al intervalo I. Entonces:. ( es el valor máimo de en I, si ( (, I. (El mayor de todos. ( es el valor mínimo de en I, si ( (, I. (El menor de todos Al valor máimo y al valor mínimo de se le llama VALOR EXTREMO.

4 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ahora debemos dar las condiciones para garantizar la eistencia de los valores etremos... TEOREMA. Condición suiciente para la eistencia de Máimos y Mínimos Si es una unción continua deinida en un intervalo [ a, b] entonces alcanza un a, b. valor máimo y un valor mínimo en [ ] Lo anterior quiere decir que siempre encontraremos etremos cada vez que trabajemos con unciones continuas en un intervalo cerrado. Pero sigue habiendo una interrogante cómo obtenerlos? Podemos suponer que deben eistir puntos candidatos a ser etremos. Es decir, dedicarnos a analizar sólo cierta clase de puntos. Estos serán los denominados Puntos críticos... DEFINICIÓN. Puntos Críticos. Sea una unción deinida en un intervalo [ a, b] que contiene a. Entonces es llamado Punto Crítico si es: Un punto etremo del intervalo, es decir a, b. Estos serán denominados Puntos Críticos de Frontera. O bien, Un punto donde la derivada es igual a cero; es decir (. Estos serán denominados Puntos Críticos

5 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Estacionarios. (En estos puntos la recta tangente es horizontal. O bien, Un punto donde la derivada no eiste; es decir ( no está deinida. Estos serán denominados Puntos Críticos Singulares. (En estos puntos la gráica de tiene unos picos. Por ejemplo ( crítico singular (pico en, tiene un punto.. TEOREMA Sea una unción deinida en un intervalo [ a, b] que contiene a. Si ( es un valor etremo entonces es un Punto Crítico. Para el caso de puntos críticos de rontera, no se requiere demostración, debido a que obviamente estos serán candidatos a que allí se produzcan los etremos de la unción. La demostración se la realizará para los casos de puntos críticos estacionarios y puntos críticos singulares. DEMOSTRACIÓN. Sea ( un valor máimo; es decir ( (, entonces: ( ( ( ( Si >, dividiendo por tenemos ( ( Ahora obteniendo límite lím lím resulta (. ( ( Para <, tenemos, obteniendo límite lím lím resulta ( Suponga que es derivable en, entonces ( ; es decir es un punto crítico estacionario. Suponga que no es derivable en, entonces ( no eiste; es decir es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que sea un valor mínimo. (

6 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Por lo tanto, los valores etremos de una unción se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos. Además, el teorema anterior nos hace concluir que: Si no es un punto crítico entonces no será etremo. Necesariamente los etremos se producen en los puntos críticos. Es suiciente que ( sea un etremo para que sea un punto crítico. Que sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suiciente. Es decir, no todo punto crítico es etremo. En las gráicas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran etremos. Esto nos hace pensar que deben eistir criterios para clasiicar los puntos críticos, sin embargos en problemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.

7 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ejemplo en [,] Determinar los etremos para ( 5 De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos.. Puntos críticos de Frontera: y. Puntos críticos Estacionarios: valores de para los cuales la derivada es igual a cero. Para obtenerlos analizamos la derivada ( ( Ahora, entonces sería:. (. Puntos críticos Singulares: valores de para los cuales la derivada no eiste. Al observar la derivada notamos que se deine para toda ; por tanto, no eiste puntos críticos singulares. Es lo que se espera debido a que las unciones polinomiales son continuas y derivables en todo. Bien, ahora nos corresponde clasiicar a los puntos críticos, para lo cual, evaluamos la unción en los puntos críticos (Esto es suiciente debido a que se trata de una unción polinómica, más adelante aprenderemos criterios más uertes, para otros casos: 5 5 ( ( ( ( ( ( ( Por inspección, se determina que: En se encuentra el Valor Máimo. Y en se encuentra el Valor Mínimo de. 5 Ejemplo en [,] Determinar los etremos para ( Primero determinamos los puntos críticos.. Puntos críticos de Frontera: y. Puntos críticos Estacionarios: Analizando la derivada ( 6, tenemos: ( 6 ( Entonces serían: y.. Puntos críticos Singulares: No hay. Bien, ahora evaluando en la unción: ( ( ( ( 8 7 ( ( 7 7 ( ( ( ( 5

8 Cáp. Temas Adicionales de la derivada De acuerdo a estos resultados se puede concluir que el valor máimo de la unción es, que se produce tanto en como en ; y, el valor mínimo de la unción es -7 que se produce en. Ejercicios Propuestos.. Determine el valor máimo y el valor mínimo :. ( 7.. en [,] ( 5 ( 5 en [,] en [ 5,]. ( 5 en [,] 5. ( ( en [,] ( en [, ] 6. ( Hasta el momento nos habíamos preocupado de determinar el mayor de todos los valores de la unción y el menor de todos en todo su dominio o en un intervalo de su dominio, pero esto nos deja insatisechos con respecto a puntos críticos que bien pudieron ser etremos, u otros puntos que los pudiéramos considerar máimos o mínimos cuando no lo son...5 Máimos y Mínimos Locales O Relativos Sea una unción de variable real. Sea un punto del dominio de. Entonces:. es un valor máimo local de, si ( eiste un intervalo ( a, b en el dominio de que contiene a tal que ( es el valor máimo de en ( a, b.. es un valor mínimo local de, si ( eiste un intervalo ( a, b en el dominio de que contiene a tal que ( es el valor mínimo de en ( a, b.. es un valor etremo local de, ( si es un máimo o un mínimo local. Al mayor valor y al menor valor de todos, se les llamará etremos absolutos. Observe el siguiente gráico: 6

9 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Un criterio para clasiicar a los etremos locales es el que sigue...6 Teorema: Criterio de la primera derivada. Sea continua en ( a, b que contiene al punto crítico. Entonces:. Si ( >, ( a, y <, (, b ( entonces es un valor máimo ( local de.. Si ( <, ( a, y ( ( >,, b entonces es un valor mínimo local de. (. Si ( tiene el mismo signo a ambos lados de entonces ( NO es un valor etremo de. 7

10 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ejemplo Para ( Analizando la primera derivada ( ( se observó que: ( < Positiva ( crece < < Negativa (- decrece > Positiva ( crece Entonces:. Como antes de la derivada es positiva y después es negativa se concluye que ( es un máimo local.. Como antes de la derivada es negativa y después es positiva se concluye que ( es un mínimo local. Ejercicios Propuestos. Emplee el criterio de la primera derivada para clasiicar los etremos locales:. ( 7. 5 ( 5. (. ( 5 5. ( ( ( 6. ( Si nuestro objetivo ahora uese trazar la gráica de las unciones analizadas, no tendríamos inconveniente, debido a que la inormación que hemos obtenido nos permite hacerlo. Ejemplo en [ ] Trazar la gráica de ( 5,. Se ha obtenido como Punto Critico Estacionario y también se ha determinado que antes de este punto la gráica de la unción es decreciente y después es creciente, por tanto su gráica sería: (, ( 5 (,5 (, 8

11 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Note que para obtener la gráica de la unción anterior no es necesario el análisis que se realizó, hubiera bastado con los criterios conocidos acerca de unciones cuadráticas. Sin embargo se decidió realizarlo para que el lector compruebe la concordancia de los resultados, aplicando uno u otro criterio, y además para que se vaya amiliarizando con los criterios nuevos, epuestos en esta sección. Para otros casos se hace imprescindible los nuevos criterios. Ejemplo en [,] Graicar ( Ya se obtuvieron los Puntos Críticos Estacionarios y, también se determinó que antes de la gráica de la unción es creciente y después es decreciente hasta el otro punto ; y después de este punto crítico es otra vez creciente; por tanto, su gráica es: y má. ( y mín Ejercicios Propuestos. Elabore la gráica de:. ( 7.. y 5 y 9. ( 5 5. ( ( ( 6. ( Para los casos de unciones polinomiales, los criterios estudiados podrían ser suicientes para obtener una buena aproimación de su gráica, debido a que son unciones continuas y derivables en todo su dominio y se puede concluir sobre su 9

12 Cáp. Temas Adicionales de la derivada comportamiento sin cometer error alguno; sin embargo, para otros casos se hace necesario otros criterios. Ejemplo. Graicar ( 5 Analizando la derivada 5 (, tenemos: Punto Crítico Singular: ( < Negativa (- decrece > Positiva ( crece Por tanto, se puede decir que su gráica es: y 5 Para la gráica del último ejemplo se hace necesario determinar la orma de la curva, porque con la inormación de monotonía obtenida queda la duda de que la gráica presente el comportamiento anterior, sino más bien tengo uno de los siguientes comportamientos:

13 Cáp. Temas Adicionales de la derivada. CONCAVIDAD.. Teorema de concavidad Sea una unción dos veces derivable sobre un intervalo abierto I. Entonces:. Si ( >, I entonces es cóncava hacia arriba en I.. Si ( <, I entonces es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo Analizar la concavidad de ( Como la primera derivada de es ( entonces la segunda derivada es 5 ( 5 5 Determinando el signo de la segunda derivada, se concluye que: 5 6 ( < Negativa (- Cóncava hacia abajo > Negativa (- Cóncava hacia abajo Certiicando con esto que la gráica de es la que se proporcionó. Otra deinición importante es la que presentamos a continuación... Puntos de Inleión Sea continua en, llamamos a ( un punto de inleión de la (, gráica de, si es cóncava hacia arriba a un lado de y cóncava hacia abajo al otro lado.

14 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Es decir, en un punto de inleión la segunda derivada cambiará de signo, o de positiva a negativa o de negativa a positiva. Ejemplo Analizar la concavidad de ( Como la primera derivada de es ( 6 entonces la segunda derivada es ( 6 6 6( ( < Negativa (- Cóncava hacia abajo > Positiva ( Cóncava hacia arriba Esto conirma la gráica de proporcionada anteriormente y además completa la inormación del comportamiento de la unción. ( Note que en la unción del ejemplo anterior hay un punto donde su gráica cambia de concavidad, éste es el punto de inleión. Ejercicios Propuestos.5 Determine los intervalos de concavidad:. ( 7. 5 ( 5. (. ( 5 5. ( ( ( 6. (

15 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Para clasiicar los puntos críticos estacionarios en máimos y mínimos, también se podría aplicar este otro criterio... Teorema: Criterio de la segunda derivada Supóngase que y eisten en ( a, b que contiene a y que (.. Si ( < entonces ( es un valor máimo local de.. Si ( > entonces ( es un valor mínimo local de. Ejemplo Determinar los etremos aplicando el criterio de la segunda derivada para ( De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos estacionarios. Puntos críticos Estacionarios: y. Bien, ahora nos corresponde clasiicar a los puntos críticos, para lo cual: ( 6 6 a ( 6( 6 6 < (negativo por tanto aquí hay un MÁXIMO. b ( 6 ( 6 6 > (positivo por tanto aquí hay un MÍNIMO.

16 Cáp. Temas Adicionales de la derivada. ELABORACIÓN DE GRÁFICAS SOFISTICADAS Para elaborar gráicas de unciones con reglas de correspondencias soisticadas se sugiere seguir los ochos pasos siguientes:.establecer el dominio de la unción..establecer la simetría de las gráicas. Es decir, determinar si es par, impar o ninguna..establecer las asíntotas horizontales, verticales u oblicuas..establecer los puntos críticos de rontera, estacionarios y singulares. 5.Analizar la monotonía. Es decir, determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento. 6. Establecer los etremos relativos. 7.Analizar la concavidad. Es decir, determine los intervalos donde es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. 8. Establecer los Puntos de Inleión. Ejemplo Graicar ( Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso. DOMINIO: Dom R ( Paso. SIMETRÍA: ( ( por tanto es IMPAR. (

17 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Paso. ASÍNTOTAS: VERTICALES: No hay ( por qué? HORIZONTALES: Calculamos límite al ininito lím lím lím Note que idéntico resultado se obtendría tomando límite a menos ininito, es decir: lím Por tanto el eje ( y es asíntota horizontal tanto para el ininito positivo como para el ininito negativo. Paso. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. Por qué? P.C.E: P.C.S: no hay. Por qué? ( ( ( 8 ( ( ( 9 ( ( 9 ( ( ( 9 ( ( ( por lo tanto tenemos P.C.E: y Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:. En la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí eiste un Mínimo local.. En la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí eiste un Máimo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada ( ( decrece ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 8 8 ( D ( 5 ( crece ( ( 5( 5 ( ( ( ( ( decrece 5

18 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Entonces: 5 5 Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN Como la segunda derivada cambia de signo tanto en, tres puntos de inleión: ( ( 5, 5 En conclusión:, (, 5 y y ( 5, ( 5. ( ( < entonces eisten - - Decrece y cóncava hacia abajo Punto de inleión 5 < < - Decrece y cóncava hacia arriba Punto crítico estacionario, Mínimo local < < Crece y cóncava hacia arriba Punto de inleión < < - Crece y cóncava hacia abajo - Punto crítico estacionario, Máimo local < < Decrece y cóncava hacia abajo 5 Punto de inleión > 5 - Decrece y cóncava hacia arriba (.5 (.9;.68 (.9;

19 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ejemplo Graicar ( Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso. DOMINIO: Dom R {, } ( Paso. SIMETRÍA: ( ( por tanto es PAR. ( Paso. ASÍNTOTAS: VERTICALES: y (calcule los límites laterales HORIZONTALES: Calculamos límites al ininito lím lím Por tanto, y es la asíntota horizontal tanto el ininito positivo como para el ininito negativo. Paso. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay. Por qué? P.C.E: ( ( ( ( ( ( ( P.C.S: no hay. Por qué? Por lo tanto tenemos Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de la primera derivada, se concluye que: Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que: En la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí eiste un Máimo local. Paso 7: CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada ( D ( ( Entonces: crece ( ( ( ( ( 6 crece ( ( ( decrece decrece 7

20 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Paso 8: PUNTOS DE INFLEXIÓN: No hay En conclusión: ( ( < Crece y cóncava hacia arriba Asíntota vertical < < - Crece y cóncava hacia abajo - Punto crítico estacionario, Máimo local < < - - Decrece y cóncava hacia abajo Asíntota vertical > - Decrece y cóncava hacia arriba y Ejemplo Graicar ( Siguiendo los pasos indicados tenemos: Paso. DOMINIO: Dom R { } ( Paso. SIMETRÍA: ( (, por tanto no es par ni impar. Paso. ASÍNTOTAS: VERTICALES: Por inspección de la regla de correspondencia, en la unción no se deine (división entre cero por tanto aquí hay una asíntota vertical. Además: lím y lím HORIZONTALES: Calculamos límites al ininito 8

21 Cáp. Temas Adicionales de la derivada lím Por tanto, no hay asíntota horizontal. ASÍNTOTA OBLICUA: En ciertas unciones se cumple que: lím ( ( m b ( donde m lím y b lím [ ( m] Si los límites eisten, se dice que la gráica de tiene una asíntota oblicua y m b Entonces, para esta unción sería: m lím lím lím lím b lím lím lím Por tanto, hay una asíntota oblicua y Paso. PUNTOS CRÍTICOS: P.C.F : no hay P.C.E: P.C.S: no hay ( ( ( ( ( D ( por lo tanto, tenemos P.C.E: y Paso 5. MONOTONÍA: Analizando el signo de ( ( ( ( crece decrece crece Paso 6: EXTREMOS: por el criterio de la primera derivada observamos que:. En la primera derivada cambia de signo, de positivo a negativo, por tanto aquí eiste un Máimo local.. En la primera derivada cambia de signo, de negativo a positivo, por tanto aquí eiste un Mínimo local. Paso 7. CONCAVIDAD: Debemos analizar la segunda derivada 9

22 Cáp. Temas Adicionales de la derivada ( ( ( ( ( ( D ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Entonces: Paso 8. PUNTOS DE INFLEXIÓN NO HAY. Aunque la segunda derivada tiene signo dierente en, pero como no es punto del dominio, tiene asíntota, entonces no es un punto de inleión. En conclusión: ( ( < - Crece y cóncava hacia abajo - Punto Crítico Estacionario, Máimo local < < - - Decrece y cóncava hacia abajo < < - Decrece y cóncava hacia arriba Punto Crítico Estacionario, Mínimo local > Crece y cóncava hacia arriba y (

23 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Cuando no se dispone de la regla de correspondencia, se deberá tener condiciones que nos permitan concluir sobre la gráica de una unción. Ejemplo Bosqueje una unción de variable real que cumpla las siguientes condiciones:. Dom. continua en (, (,. (, ( (, ( (, (, (, (. ε >, N > ; : < N ( < ε 5. ε >, > ; : < < ( < ε 6. lím ( 7. lím [ ( ( ] 8. '(, 9. '( > para < >,. '( <,para < < < <. ' ' (. ''( > para < < <. ' ' ( < para < < < < > Interpretemos las condiciones, tenemos:. Dominio de la unción.. Intervalos de continuidad. Como es abierto tanto a la izquierda como a la derecha de cero, entonces se puede esperar que eista una asíntota vertical o un punto de no deinición.. Puntos de la gráica de la unción. Hay que ubicarlos en el plano cartesiano.. lím (. Asíntota horizontal y, para negativos. 5. lím (. La unción se aproima a, por la derecha de. 6. lím (. Asíntota vertical, el eje y por la izquierda de 7. lím [ ( ] Asíntota oblicua y para posoitivos. 8. Punto crítico estacionario en 9. crece en los intervalos (, o en (, o en (,. decrece en los intervalos (,. Punto de inleión: (,. es cóncava hacia arriba en (,,. es cóncava hacia abajo en (, o en (, o en (, Entonces la graica sería: o en (

24 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ejercicios Propuestos.6. Graicar las siguientes unciones, mostrando: dominio, simetría, asíntotas, puntos críticos, monotonía, etremos, concavidad, puntos de inleión:. (. 5 5 (. ( e. ( ( 5. ( 5 6. ( 9 7. e ( 8. ( ( ( 9. ( (. (. ( (. (. (. e ( y

25 Cáp. Temas Adicionales de la derivada. Bosqueje una unción de variable real que cumpla las siguientes condiciones: ( ( lím ( lím ( lím ( '( '( '( / (,, ( '( > en (, ''( y, (, (. Bosqueje el gráico de una unción tal que: Dominio IR Contínua en (, (, (-, (6, (-, ( ε >, > ; : < < ( < ε M >, > ; : < < ( < M ε >, N > ; : < N ( < ε lím [ ( ] '( >, para,, ; '( <, para, ( ( ( ''( >, para (, ; ''( <, para (, (,. Suponga que '( ( ( ( esboce una gráica para. y (, ( 5, ( 5, 5. Bosqueje el gráico de una unción continua en IR tal que ( (5, ( 8, ( 6, ( 7, ( y además la gráica de su derivada es: 6. Bosqueje el gráico de una unción continua en IR tal que (, (, (, ( y además la gráica de su derivada es:

26 Cáp. Temas Adicionales de la derivada 7. Bosqueje el gráico de una unción continua en IR tal que (, (, (, ( y además la gráica de su derivada es: 8. Bosqueje el gráico de una unción continua en IR tal que (, (, ( 5, 7 ( y además la gráica de su derivada es:, (

27 Cáp. Temas Adicionales de la derivada.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA DERIVADAS (TEOREMA DE LAGRANGE Si es una unción continua en [ a, b] y derivable en ( a, b entonces, eiste al menos un número en ( a, b tal que ( ( b ( a b a Lo que nos indica este teorema es que si la unción es continua en un intervalo cerrado y suave en su interior entonces eistirá un punto en ese intervalo para el cual la recta tangente y la recta secante en los etremos del intervalo tienen igual pendiente. Recta Tangente Recta Secante (b y ( (b- (a (a b- a a b Demostración: Sea S( ( g( donde g es la recta entre los puntos ( a, ( a y (, ( b y y m( entonces podemos obtener su ecuación: ( b ( a y ( a b a ( b ( a y g( ( a ( a b a ( a, es decir b, 5

28 Cáp. Temas Adicionales de la derivada ( b ( a S( ( ( a a b a Reemplazando, resulta: ( ( b ( a S a a a b a y ( b ( a S ( b ( b ( a ( b a b a a, b tal que S ( Obtengamos ( ( ( ( a a Por tanto, ( ( b ( a ( b ( a Para lo cual S ( ( b a y S ( ( b a ( b ( a Por lo último ( L.Q.Q.D. b a Ejemplo Encuentre el número garantizado por el teorema del valor medio para derivadas si (,. en [ ] Observe que es continua en [, ] y como ( por tanto es dierenciable en (, en (, cumplen las hipótesis del teorema del valor medio, por tanto la eistencia de ( ( ( está garantizada y lo podemos encontrar. ( ( ( Para lo cual ( y ( Igualando y despejando, resulta:. Geométricamente. se tal que Recta Secante ( Recta Tangente [.5 ] 6

29 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ejemplo Use el teorema del valor medio para demostrar que: Usemos ( sen. Note que es una unción continua en [, ] acuerdo al teorema de Lagrange, eiste un ( ab sen b sen a a b, tal que ( Reemplazando y simpliicando senb sena cos b a Por otro lado cos senb sena Entonces b a Aplicando propiedades del valor absoluto y despejando. senb sena b a senb sena b a Que es lo que se quería demostrar. ab y derivable en (, ( b ( a. b a ab por tanto de Ejemplo Dos carros de la policía de transito equipadas con radar están situadas a 7 kilómetros de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 9 km por hora; minutos después al pasar junto al otro coche, éste le mide 7 km por hora. Aunque el camión bajó la velocidad, pruebe que en algún momento en esos minutos ha superado el límite de velocidad permitida que es de km por hora. Sea e ( t, el espacio recorrido por el camión, una unción del tiempo, continua y dierenciable en el cualquier intervalo de tiempo mientras dure el movimiento. Primeramente calculemos la velocidad media del camión en esos minutos: Δe 7 km vm 5km Δt h horas 6 Sea t el momento en que se le mide al camión una velocidad de v 9 km y sea t h el momento en que se mide una velocidad de v 7 km. De acuerdo al teorema de Lagrange eiste un t h ( t, t en el cual de ( t dt, la velocidad instantánea del camión, ue igual a la velocidad media (5km, lo cual h demuestra que ha superado el límite de velocidad ( km h. Como particularidad del teorema de Lagrange tenemos el teorema de Rolle. 7

30 Cáp. Temas Adicionales de la derivada.6 TEOREMA DE ROLLE Si es una unción continua en [ a, b] y derivable en ( a, b y si ( a ( b entonces, eiste al menos un número en ( a, b tal que ( El teorema del valor medio para dos unciones sería: Ejercicios Propuestos.7. La unción ( satisace la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [,]. Diga si esto es verdadero o also, justiicando apropiadamente su respuesta.. Sea (. Hallar todos los valores de " " en el intervalo [-,] que satisacen el teorema de Rolle.. La altura que alcanza una bola "t" segundos después de ser lanzada, está dada por la siguiente unción: ( t 6t 8t. a Comprobar que ( (. b Según el teorema de Rolle, qué velocidad ha llevado en algún momento del intervalo [,]?. Sea ( α β ; α, β, δ IR. Encontrar el valor de " " que satisaga el teorema del valor medio para derivadas en [a,b]. 5. Dos carros patrullas equipadas con radar están situadas a 5 millas de distancia en una autopista, cuando un camión pasa junto al primero de ellos, se le mide una velocidad de 55 millas por hora; minutos después al pasar junto a otro coche, éste le mide 5 millas por hora. Probar que en algún momento en esos minutos ha superado el límite de velocidad de 7 millas por hora. 6. Use el teorema del valor medio para demostrar que: cos b cos a b a 8

31 Cáp. Temas Adicionales de la derivada 7. Considere ( Lagrange. Justiique. 5 en el intervalo [, ] 8. Considere ( en el intervalo [,8]. Demuestre que no se cumple la conclusión del Teorema de. Veriique que no se cumple una de las hipótesis del Teorema de Lagrange, sin embargo la conclusión sí se cumple. Justiique..7 TEOREMA DE CAUCHY Sean y g unciones continuas en [ a, b] y dierenciables en ( a, b entonces, eiste al menos un número en ( a, b tal que No olvide demostrarlo. ( g ( ( b ( a g( b g( a Con los resultados del teorema anterior, se pueden calcular indeterminaciones..8 TEOREMA DE L HOPITAL Suponga que lím ( lím g( lím ( lím g( u u o ininito; entonces: Donde No olvide demostrarlo. u a, a, a u u (. Si lím u g ( ( ( lím lím u g( u g (,, o también eiste en sentido inito Ejemplo Calcular sen lím Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: sen cos lím lím cos 9

32 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Ejemplo lím Calcular ( Transormando la epresión primero, resulta: lím ( ln( lím e Aplicando el teorema de L hopital al eponente, tenemos: ln( lím lím Por tanto, lím ( e e lím e ln ( ln( lím e Ejemplo sen Calcular lím Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: sen cos lím lím Como se mantiene la indeterminación, volvemos a aplicar la regla de L Hopital, y así tantas veces como sea cos sen necesario: lím lím 6 6 Ejemplo 5 Calcular lím Note que aquí tenemos: 6 5 Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: lím 8 6 Volviendo a aplicar L Hopital resulta: lím 8 Ejemplo 5 π tg Calcular lím ( Observe que aquí tenemos. Entonces la regla de L hopital no es aplicable directamente. Transormando la epresión primero, resulta: ln ( lím g ( ( ( [ ( ] e tg π π π π cot tg ln tg ln lím e lím lím e

33 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Aplicando el teorema de L hopital al eponente, tenemos: ln( lím lím cot g π π π π csc lím π tg Por tanto, ( π e ( π Ejemplo 6 Calcular lim ln Observe que aquí tenemos.. Transormando la epresión primero, resulta: ln lim ln lim ( ln ( Aplicando el teorema de L hopital, tenemos: ln lim lim lim lim ln ln Volviendo a aplicar L hopital: lim lim ln ( ln ( ( ( ln Ejercicios Propuestos.8 Calcular:. lim sen. lim tg sen tg. lim e e. lim c tg 5. lim ( cos c tg cos 6. lim cos lim lim sen lim cos 9. (. lim ( cos. lim (... lim ln ln cos lim lim ( sen 5. ( lim c tg

34 Cáp. Temas Adicionales de la derivada Misceláneos. Bosqueje el graico de analizando dominio, simetría, asíntotas, intervalos de monotonía y concavidad, etremos locales y puntos de inleión a ( h ( 5 5 b 5 ( i ( c ( j ( ( 8 d ( k ( ( 8 e ( ( e g (. Bosqueje una gráica posible de una unción que tenga todas las siguientes características: es continua en toda su etensión (, (, ( (, (, ( > para <, ( > para < <, ( < para >. (, (, ( < para < ( > para < <, ( < para >. Bosqueje una gráica posible de una unción que tenga todas las siguientes características: lím ( a lím ( lím ( ( c ( e, ( b 5, (, ( a ( d ( b, (c no eiste, ( d, ( d <, a < b < < d < e (, a ( c, d [ ( > ], ( a, c ( d, [ ( < ] (, a ( a, b[ ( > ], ( b, c ( c, [ ( < ]. Graique tal que la gráica de su derivada es: y Suponga que (

35 Cáp. Temas Adicionales de la derivada 5. Graique tal que la gráica de su derivada es: 5 5 Suponga que ( 6. Calcular : a ( lim sen d lim e cos sec tg π b lim e lim tan π π cos cos c lim tg arc sen

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