FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA.

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1 FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES. FUNCIÓN CÚBICA. La ecuación de dichas funciones es de la forma f(x) = y = ax 3 +bx 2 +cx +d, donde a,b,c y d PRIMERAS CARACTERÍSTICAS: 1.- DOMINIO: por ser polinómicas su dominio es R. 2.- CONTINUIDAD: por ser polinómicas son continuas en todo el dominio. 3.- CORTE CON EL EJE Y : punto de coordenadas (0,d). R,a 0. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN.- La forma de la gráfica no es uniforme como ocurre con la parábola y con la recta. Va a depender de la ecuación que tenga (de los términos que halla en la ecuación) que hará que pueda cortar al eje X en uno, dos o tres puntos. La forma de las gráfica se encuadra en uno de los cuatro tipos siguientes: Comenzaremos estudiando las gráficas de las funciones cúbicas del tipo: a) y = ax 3 para ello obtendremos una tabla de valores de dicha función, dándole a x los valores :-3,-2,-1,0,1,2,3 de las funciones : i) y = x 3 ; ii) y = 2x 3 ; iii) y = 1/2 x 3 ; iv) y = 3x 3 ; v) y = - x 3 ; vi) y = -2x 3 ; vii) y =-1/2x 3. A partir de dichas gráficas qué conclusiones se deducen sobre: 4.- CRECIMIENTO: en el caso de que a > DECRECIMIENTO: en el caso de que a < EXTREMOS: no tiene 7.- CORTE CON EL EJE X: el punto (0,0) 8.- CONCAVIDAD: depende del signo de a ; si a>0 ; si a < CONVEXIDAD: depende del signo de a ; si a>0 ; si a < PUNTO DE INFLEXIÓN: punto donde cambia de cóncava a convexa; el punto de coordenadas (0,0) 11.- SIMETRÍAS: no tiene simetrías con respecto al eje Y ( no es par) ; sin embargo es simétrica con respecto al origen de coordenadas ( IMPAR) ; CONDICIÓN ANALÍTICA : f( -x) = - f(x) 12.- LÍMITES EN EL INFINITO/TENDENCIAS: dependen del signo de a. i) si a > 0 : ii) si a < 0 : función cúbica 1

2 13.- TRASLACIONES: a) horizontales: y = a(x+k) 3, k R En el siguiente recuadro tienes las gráficas de las funciones: i) y = x 3 ; ii) y = (x 2) 3 ; iii) y = (x + 3) 3 ; iv) y=(x 4) 3 ; v) y = (x + 4) 3 ; vi) y = - x 3 ; vii) y = - (x + 4) 3 ; viii) y = - (x + 2) 3 ; ix) y = -( x 3) 3 ;x) y = - (x 1) 3 Identifica cada una de las gráficas con su ecuación. De qué depende que la traslación sea hacia la izquierda o hacia la derecha? Dibuja la gráfica de las funciones: a) y = - (x 5) 3 ; b) y = (x + 2) 3 b) verticales: y = ax 3 + p, p R En el siguiente recuadro tienes las gráficas de las funciones: i) y = x 3 ; ii) y = x 3 + 4; iii) y = x 3-2 iv) y = - x 3 4 ; v) y = - x ; vi) y = -x Identifica cada una de las gráficas con su ecuación. De qué depende que la traslación sea hacia arriba o hacia abajo? Dibuja la gráfica de las funciones: a) y = - x 3 +1; b) y = x 3-5 Obtener el corte con el eje X de las funciones ii), iii) v) y vi). Son funciones impares?. función cúbica 2

3 c) horizontales y verticales: : y = a(x+k) 3 + p, p, k R En el siguiente recuadro tienes las gráficas de las funciones: i) y = (x 1) ; ii) y = (x + 2) 3-3 ; iii) y = - (x + 3) 3 1 ; iv) y = (x 4) 3 +4 v) y = - (x + 5) 3 + 3; vi) Identifica cada una de las gráficas con su ecuación. Indica las coordenadas del punto de inflexión de cada una. Indica cuáles son crecientes y cuáles son decrecientes. Indica los intervalos de concavidad y de convexidad de cada una. Obtener el punto de corte con el eje Y de todas las funciones. Dibuja la gráfica de las funciones: a) y = -(x+2) 3 +3 ; b) y = ( x -1) 3 4. Te habrás dado cuenta que en las funciones trasladadas no se ha pedido en ningún caso el punto de corte con el eje X (excepto en las traslaciones verticales), y aunque lo hay( como podrás observar en la gráfica) no siempre es fácil obtenerlo. En los tres tipos de funciones cúbicas siguientes va a ser fácil su obtención. Con los cortes con el eje X, los límites en el infinito, una tabla de valores y las características básicas seremos capaces de dibujar la gráfica, aproximada, de dichas funciones. TIPOS: c) y = ax 3 +bx 2 ; d) y = ax 3 + cx ; e) y = ax 3 + bx 2 + cx Analicemos los corres con el eje X, que en todos los casos pasa por sacar factor común x o en su caso x 2, y resolver la ecuación restante: TIPO C.- 0 = ax 3 + bx 2 ; podemos sacar x 2 factor común, quedando : x 2. ( ax + b ) = 0 teniendo por consiguiente DOS PUNTOS DE CORTE. TIPO D.- ax 3 + cx = 0; podemos sacar x factor común, quedando : x. ( ax 2 +c) = 0, teniendo 1 punto de corte seguro y dos más, de pendiendo de la solución de la ecuación ax 2 +c = 0. HASTA TRES PUNTOS DE CORTE. TIPO E.- ax 3 + bx 2 + cx = 0 ; podemos sacar x factor común, quedando : x. ( ax 2 +bx+c) = 0, teniendo por consiguiente HASTA TRES PUNTOS DE CORTE. En Los siguientes recuadros vas a tener las gráficas que corresponden a las siguientes funciones, identifica cada una, justificando las razones que te llevan a ello: 1) y = -2x 3 +3x 2 ; 2) y = -2x 3-4x ; 3) y = - x 3 +2x 2 5x ; 4) y = x 3 9x 2 ; 5) y = x 3 + 5x ; 6) y = 2x 3-4x 2 +3x ; 7) y = 2x 3 + 6x 2 ; 8) y = 2x 3-10x ; 9) y = x 3 3x 2 5x ; 10) y = - 3x 3 + 9x 2 ; 11) y = - x 3 + 9x; 12) y = - 2x 3 4x 2 8x. función cúbica 3

4 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) función cúbica 4

5 TIPOS : f) y = ax 3 + bx 2 +d ; g) y = ax 3 +cx + d ; h) y = ax 3 +bx 2 +cx + d En estos tipos de funciones no tenemos fórmulas para obtener el corte con el eje X. Las ecuaciones cúbicas que resultan a la hora de obtener el corte con el eje X, se tratarán de resolver aplicando la regla de Ruffini, que nos dará las soluciones/raíces enteras y que será el método para resolver ecuaciones polinómicas de orden superior a 2, cuando no se pueda sacar factor común, o reducirse a otra grado inferior. Estudia la gráfica de las siguientes funciones cúbicas: 1) y = x 3 6x 2 +11x 6 ; 2) y = - 2x 3-8x 2-2x +12 ; 3) y = 3x 3 +12x 2-3x -12 ; 4) y = x 3 +6x 2-12x +8 ; 5) y = x 3 +3x 2-4x-12 6) y = x 3 +3x 2-6x -8. Estudiar el signo de las siguientes funciones cúbicas : 1) y = - 4x 3 + 5x 2 ; 2) y = x 3 +4x 2 x ; 3) y = 5x 3-15x Representar y definir las siguientes funciones : 1) y = x 3-7x 2 ; 2) y = 2x 3 -x 2 +7x ; 3) y = -4x 3-10x ; 4) y = -3 x 3-3x x ; 5) y = x 3 + 6x 2 +5x RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR A DOS. DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE UN POLINOMIO.- Tienes que tener claro que una ecuación de grado n, tiene como máximo n soluciones. ( teorema fundamental del álgebra) A la hora de obtener el corte con el eje X de una función polinómica, aparecen como ya has visto, ecuaciones de orden superior a dos. Para éstas ecuaciones no hay fórmulas como ocurre con la ecuación de segundo grado ( mejor: las hay hasta las de quinto grado, pero son muy complicadas). Resolveremos las ecuaciones aplicando la regla de Ruffini, como ya has visto para las de grado tres. Resolver las siguientes ecuaciones y expresar la descomposición factorial de la función polinómica : 1) x 4 + 3x 3 x 2 3x = 0 ; 2) x 5 + 4x 4 + 3x 3 x 2 4x 3 = 0 ; 3) 2x 4-5x 3 + 5x -2 = 0 4) x 4 6x 3-11x x 80 = 0; 5) x 4 +2x 3 3x 2 4x + 4 = 0. También es importante, sacar factor común x o alguna potencia de x, antes de aplicar la regla de Ruffini, con los cual se simplifica bastante el problema de resolver dichas ecuaciones: Resolver las siguientes ecuaciones: 1) x 4 +2x 3 - x 2-2x = 0 ; 2) x 5 x 4-4x 2 = 0 ; 3) 4x 5 + 8x 4 + x 3-3x 2 = 0; 4) 64 x x 2 +16x = 0 función cúbica 5