4. Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie

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1 NOTAS DE CLASE CÁLCULO III Doris Hinestroza Diego L. Hoyos 1

2 Índice general 1. Funciones Vectoriales El Espacio R n Funciones Vectoriales Operaciones algebraicas Límites, derivadas e integrales Teoremas básicos Curvas y Tangentes Longitud de arco y reparametrización de una curva Curvatura Triedro de Frenet El vector aceleración *Ecuaciones de Frenet para una curva plana Campos Escalares en R 2 y R Gráfica de z = f(x, y). Curvas y superficies de nivel Superficies cuádricas Límites y Continuidad Funciones Diferenciables Derivadas parciales Superficies parametrizadas El plano tangente El concepto de diferenciabilidad La Regla de la Cadena El vector gradiente Derivadas Direccionales Máximos y Mínimos Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables Extremos condicionados *Temas de Lectura Campos Escalares y Campos Vectoriales

3 Derivada en una dirección de un campo escalar en R n. Derivadas direccionales y parciales Diferenciabilidad de un campo escalar en R n Regla de la cadena para campos escalares en R n Derivada en una dirección de un campo vectorial. Derivada direccional Diferenciabilidad de un campo vectorial Regla de la cadena para campos vectoriales Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares Naturaleza de un punto crítico teniendo como criterio los valores propios de la matriz Hessiana Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables Ley de la conservación de la energía. Campos conservativos Integrales Múltiples Integrales Dobles Propiedades de la Integral doble Integración en regiones más generales Cálculo de integrales dobles: áreas y volúmenes Cambio de variable La fórmula del cambio de variable Integrales Triples Regiones más generales Cambio de variable en integrales triples Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas Aplicaciones de las integrales múltiples Momentos y centros de masa Densidad y masa Momento de Inercia Probabilidad Valores esperados Integrales de Línea. Áreas de Superficies e Integrales de Superficie Integral de Línea Propiedades de la Integrales de línea El concepto de trabajo como integral de línea Campos conservativos y funciones potenciales El teorema de Green Área de una superficie Integral de superficie

4 Integral de superficie de una función escalar Integral de superficie de un campo vectorial

5 Capítulo 1 Funciones Vectoriales En este cap ítulo combinaremos el álgebra lineal y los métodos fundamentales del cálculo para estudiar algunas aplicaciones de las curvas y algunos problemas de Mecánica El Espacio R n El espacio R n es el conjunto de todas las n-uplas de números reales: R n = {(x 1, x 2,..., x n ) : x i R, i = 1, 2, 3,...n)}. Los elementos de R n se le llaman vectores. En R n definimos la suma de vectores y producto por escalares. Si a = (x 1, x 2,..., x n ) y b = (y 1, y 2,..., y n ) entonces a + b es el elemento de R n dado por a + b = (x1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ). Para cada escalar λ R, el vector λ a es definido por λ a = (λx 1, λx 2,..., λx n ). El producto escalar entre dos vectores de R n está definido por n a b = x i y i. i=1 Recordemos algunas propiedades del producto escalar: 5

6 a b = b a ( a + b c = a c + b c ( λa ) ( b = λ a ) b = ( λb ) a La longitud o norma de un vector de R n es definida por a = a. a = (x 1 ) 2 + (x 2 ) (x n ) 2 o a 2 = a a. La distancia entre a y b se define por dist( a, b ) = a b, para cada a y b R n Propiedades importantes de la definición de longitud o norma son las siguientes: a, a R n λ a = λ a a + b a + b a b a b El ángulo θ entre los vectores a y b está dado por la relación. cosθ = a b a b En el caso que a y b R 3 definiremos otro producto entre vectores conocido como producto vectorial que se denota por a b y lo definimos como a b = i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 = (x 2y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ). 6

7 Recordemos algunas propiedades del producto vectorial a b a y a b b a b = b a ( a + b ) c = a c + b c a ( b c ) (λ a ) ( b = λ a ) b ( a b ) c = a La norma de a b está dada por = ( a c ) ( b a ) b c = ( a λ ) b ( b ) c. a b = a b sen θ donde θ es el ángulo comprendido entre estos vectores Funciones Vectoriales Una F : J R n donde J es un conjunto de números reales, se llama función vectorial. El valor de la función F en t lo designaremos corrientemente por F (t). Puesto que F (t) R n F (t) = (f1 (t), f 2 (t),..., f n (t)) donde cada f i es una función real f i : J R, i = 1, 2,...n. Las funciones f i son llamadas las componentes de la función vectorial F. As í, cada función vectorial da origen a n funciones reales f 1, f 2,..., f n. Indicaremos esta relación por F = (f 1, f 2,.., f n ). Llamamos a la variable t el parámetro de la función. La ecuación x = F (t) donde x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, nos permite definir las ecuaciones x 1 = f 1 (t) x 2 = f 2 (t).. x n = f n (t) llamadas ecuaciones paramétricas con parámetro t. En algunos casos representaremos las funciones vectoriales como combinación lineal de la base usual en R n. Por ejemplo cuando n = 2 algunas veces utilizaremos la representación F (t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j donde i = (1, ) 7

8 y j = (, 1) y cuando n = 3 utilizaremos F (t) = (x(t),y(t),z(t)) =x(t)i + y(t)j+z(t)k donde i = (1,, ), j = (, 1, ), k =(,, 1). Ejemplo Consideremos el caso de la ecuación de una recta que pasa por el punto P = (a, b, c) y tiene vector director a = (l, m, n). Las ecuaciones paramétricas de la recta están dadas por x = a + lt, y = b + mt, z = c + nt. Estas variables las podemos escribir en forma vectorial de la siguiente manera F(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a+lt, b+mt, c+nt) = (a, b, c)+t(l, m, n) = P +t a, donde el parámetro t R. As í, la ecuación vectorial de la recta define la función vectorial F (t) = P + t a. Ejemplo Si consideramos las ecuaciones paramétricas dadas por x = cos t y y = sent, t 2π, obtenemos la función vectorial F (t) = costi + sen tj. La norma o longitud de F(t) para cada t está dada por F (t) = cos 2 t + sen 2 t = 1. El vector F (t) describe una circunferencia de radio 1 en sentido contrario a las manecillas del reloj dando una vuelta completa cuando t aumenta de a 2π Operaciones algebraicas. Las operaciones algebraicas de los vectores pueden aplicarse para las funciones vectoriales. Sean F, G, funciones vectoriales definidas sobre un dominio común y f una función real, entonces definimos las funciones F + G, f F, F G, mediante ( F + G )(t) = F(t) + G(t), f F (t) = f(t) F (t), ( F G ) (t) = F (t) G(t). 8

9 (El producto aqu í considerado es el de producto escalar). Observemos que el producto escalar de funciones vectoriales es una función real. Además en el caso de que F y G tengan sus valores en R 3 podemos definir el producto vectorial ( F G ) (t) = F (t) G(t) Límites, derivadas e integrales. Los conceptos fundamentales de l ímite, continuidad, derivadas e integral pueden generalizarse naturalmente para funciones vectoriales. Si F = (f 1, f 2,.., f n ) es una función vectorial y L = (l 1, l 2,..., l n ) R n, definimos el l ímite por lím F (t) = L lím f 1 (t) = l 1, t a t a lím f 2 (t) = l 2, t a lím t a f n (t) = l n siempre que los l ímites existan. Diremos que F es continua en a si lím F (t) = F (a). Es decir, F es continua t a en a si y solo si cada componente es continua en a. Si una función vectorial continua está definida en el intervalo [a, b], entonces cada componente real es continua en [a, b] y por lo tanto integrable. As í podemos definir ( b b b ) b F (t)dt = f 1 (t)dt, f 2 (t)dt,..., f n (t)dt a a Igualmente, la derivada F (t) de una función vectorial F (t) se define exactamente de la misma forma que la derivada de una función real, es decir F (t) es diferenciable en t, si F (t + h) F (t) F (t) = lím h h existe. De acuerdo a la definición del l ímite para funciones vectoriales podemos decir que la función vectorial F(t) es diferenciable si y sólo si cada componente es diferenciable. En este caso F (t) = (f 1(t), f 2(t),..., f n(t)) Diremos que F es continua, derivable o integrable en un intervalo si cada componente lo es. De acuerdo a estas definiciones muchos de los resultados sobre l ímites, continuidad, derivación e integración de funciones reales son válidos para las funciones vectoriales. a a 9

10 Denotaremos las derivadas por F (t) = D t F = d F dt. En el caso de n = 2, si F (t) = (x(t), y(t)) = x(t)i + y(t)j, F (t) = D t F = d F dt = ( dx dt, dy ) = dx dt dt i + dy dt j. En el caso de n = 3, si F (t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)i + y(t)j+z(t)k, F (t) = D t F = d F dt = ( dx dt, dy dt, dz ) = dx dt dt i + dy dt j+dz dt k Teoremas básicos Teorema Si F, G, funciones vectoriales y f una función real son diferenciables, entonces lo mismo ocurre con las funciones F + G, f F, F G, y tenemos ( F + G) = F + G (f F ) = f F + f F ( F G ) = F G + F G Si F y G tienen valores en R 3, entonces ( F G ) = F G + F G Demostración. Vamos a demostrar la segunda propiedad. Las demás se prueban de manera similar. (f F ) = ((ff 1 ), (ff 2 ),..., (ff n ) ) = (f f 1 + ff 1, f f 2 + ff 2,..., f f n + ff n ) = f (f 1, f 2,..., f n ) + f(f 1, f 2,..., f n) = f F + f F El siguiente es un teorema muy importante y caracteriza las funciones vectoriales que tienen longitud constante. 1

11 Teorema Una función vectorial F (t) diferenciable tiene longitud constante en un intervalo abierto I, si y sólo si F (t) F (t) =. Esto significa que los vectores F (t) y F (t) son perpendiculares para cada t I. Demostración. Vamos inicialmente a suponer que la longitud de F (t) es constante. Definamos la función g(t) = F (t) 2 = F (t) F (t). De acuerdo a la hipótesis g(t) = c para todo t I donde c es una constante. Por lo tanto g (t) = en I. Como g es un producto escalar, tenemos que g (t) = F (t) F (t) + F (t) F (t) = 2 F (t) F (t) =, entonces F (t) F (t) = en I. Para mostrar el rec íproco consideremos que F (t) F (t) = en I y definamos g(t) = F (t) 2. Derivando g(t) tenemos que g (t) = 2 F (t) F (t) y aplicando la hipótesis tenemos que g (t) = para todo t I. As í la longitud de F (t) es constante. Los siguientes teoremas se demuestran teniendo en cuenta las propiedades de los vectores y los teoremas básicos de derivadas de una variable como la regla de la cadena y los teoremas fundamentales del cálculo. Teorema (Regla de la cadena para funciones vectoriales). Sea G = F u donde F es una función vectorial y u es una función real. Si u es continua en t y F es continua en u(t) entonces G es continua en t. Además si u es diferenciable en t y F es diferenciable en u(t) entonces G es diferenciable en t y G (t) = F (u(t))u (t). Teorema (Primer Teorema Fundamental del Calculo para funciones Vectoriales) Sea F : [a, b] R n una función vectorial continua y definamos t A(t) = F (s)ds, a a t b Entonces A existe y A (t) = F (t). Teorema (Segundo Teorema Fundamental del Calculo para funciones Vectoriales). Supongamos que la función F tiene derivada continua F en un intervalo I. Entonces para cada t I tenemos t a F (s)ds = F (t) F (a) 11

12 o t F (t) = F (a) + F (s)ds. a 1.3. Curvas y Tangentes A las funciones vectoriales diferenciables las llamaremos curvas y las denotaremos con la letra r en lugar de la letra F. Así, una curva en R n es una función r : I R n diferenciable; la curva es regular, si r (t) para todo t. A no ser que se diga lo contrario, nuestras curvas siempre serán regulares. También llamaremos curva o trayectoria al rango o conjunto imagen de la función r, esto es, al conjunto C definido por C = { x : x = r (t) para algún t I}. En este caso, la función r se denomina parametrización de C, y diremos que la curva C está descrita paramétricamente (o parametrizada) por r. Cuando n = 2 ó 3 podemos representar geométricamente la curva. Por ejemplo, en el caso de n = 3, la curva descrita por r (t) = P +t a es una l ínea recta que pasa por el punto P y tiene vector director a. Observación El gráfico de cualquier función real y = f(x) puede ser dado en forma paramétrica mediante las ecuaciones: x = t y = f(t) o en forma vectorial como r (t) = (t, f(t)). Definición La derivada r (t ) de una curva r en t está ligada al concepto de tangencia, como en el caso de una función real. Formamos el cociente de Newton r (t + h) r (t ), h 12

13 Investigamos el comportamiento de este cociente cuando h. El cociente es el producto del vector r (t + h) r (t ) por el escalar 1/h. Observemos que el numerador es paralelo a este cociente. Si hacemos que h tenemos que r (t + h) r (t ) lím = r (t ) h h suponiendo que este l ímite exista. La interpretación geométrica sugiere la siguiente definición. Definición Sea C la curva parametrizada por r = r (t). Si la derivada r existe y no es nula, la ecuación de la recta tangente que pasa por el punto r (t ) y tiene vector director r (t ) está dada por r (t) = r (t ) + t r (t ). El vector r (t ) se llama vector tangente a C en r (t ). Ejemplo Recta. Consideremos la función vectorial r (t) = P + t a, siendo a, tenemos que r = a, as í que la recta tangente coincide con la curva de r. Ejemplo Circunferencia. Si r (t) describe una circunferencia de radio R y centro en el punto P, entonces r (t) P = R. El vector r (t) P geométricamente representa un vector que va desde el punto P al punto r (t). Puesto que este radio vector tiene longitud constante, tenemos que r (t) P y su derivada ( r (t) P) = r (t) son perpendiculares y por lo tanto el radio vector es perpendicular a la recta tangente. As í pues, para una circunferencia la definición de tangente coincide con aquella dada en la geometríáa elemental. Puede pensarse que la curva C es la trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio a medida que transcurre el tiempo t, así, r (t) es la posición de la partícula en el tiempo t. r (t) es entonces la velocidad de la partícula, que también denotamos v (t). La norma de la velocidad v (t) se denomina 13

14 rapidez de la curva y se denota v(t). La segunda derivada r (t) es la aceleración de la curva y se denota a (t). Si conocemos la aceleración de una partícula en un tiempo t y si también sabemos su velocidad y su posición en un tiempo específico t, entonces podemos conocer su velocidad y su posición en cualquier tiempo t, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo Se sabe que la aceleración de una partícula que se mueve en el espacio está dada por a (t) = 2t i + sent j + cos2t k. Si su velocidad y posición en t = están dados por v () = i y r () = j, hallar su posición en cualquier tiempo t. Solución. Puesto que a (t) = v (t), entonces v (t) = a (t)dt = (2t i +sent j +cos2t k )dt = t 2 i cost j sen2t k + c, donde la constante c = (c 1, c 2, c 3 ). Por un lado v () = (, 1, )+(c 1, c 2, c 3 ) = (c 1, c 2 1, c 3 ) y por otro lado, v () = (1,, ), de tal manera que c 1 = 1, c 2 = 1 y c 3 =, y la velocidad es entonces v (t) = (t 2 +1) i +(1 cost) j sen2t k. Ya podemos hallar su posición puesto que r (t) = v (t)dt = ( t t) i + (t sent) j 1 4 cos2t k + (c 1, c 2, c 3 ) y puesto que por hipótesis r () = (, 1, ), y por otro lado r () = (c 1, c 2, c 3 ) tenemos que la posición en un tiempo t está dada por r (t) = ( t3 3 + t) i + (t sent + 1) j + ( cos2t) k Longitud de arco y reparametrización de una curva. Sea C una curva parametrizada por r = r (t), t [a, b]. Si reemplazamos t por una función diferenciable h : [c, d] [a, b], creciente o decreciente de otra variable u, t = h(u), obtenemos una nueva parametrización de r de la forma α (u) = r (h(u)), esto es, la composición de r con h. Nota: A veces, para simplificar la notación y cuando no haya peligro de confusión, denotaremos la reparametrización α con la misma letra r y en lugar de escribir t = h(u) escribimos t = t(u) así: r (u) = r (t(u)); lo mismo para la inversa u = h 1 (t) escribimos u = u(t). Si h es creciente, diremos que el cambio de parámetro preserva la orientación y si h es decreciente, diremos que 14

15 h invierte la orientación. Ejemplo Sabemos que la ecuación y = 1 x 2, x [ 1, 1] representa la mitad superior de un círculo de radio 1. Podemos parametrizar dicho semicírculo por r (t) = (t, 1 t 2 ), t [ 1, 1] con orientación del punto ( 1, ) al punto (1, ). Escribiendo t = t(u) = cosu obtenemos la reparametrización r (u) = (cosu, 1 cos 2 u) = (cos u, sen u). Si tomamos u [, π] = [arc cos(1), arc cos( 1)] obtenemos una reparametrización que invierte la orientación pues en dicho intervalo cos es decreciente. La longitud de una curva r = r (t) para t [a, b] se define por L( r ) = b a r (t) dt En los casos n = 2 y n = 3, esto es, cuando r (t) = (x(t), y(t)) y r (t) = (x(t), y(t), z(t)), sus longitudes son y L( r ) = b a x (t) 2 + y (t) 2 dt L( r ) = b a x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt Por ejemplo, en el círculo r (t) = (acost, asent), para t [, 2π], tenemos que r (t) = ( asent, acost) y r (t) = a por lo que su longitud es L( r ) = 2π adt = 2πa y en el caso de la hélice r (t) = (acost, asent, bt), su longitud desde el punto (1,, ) hasta el punto (1,, 2π) es 2π a2 + b 2 dt = 2π a 2 + b 2. Nótese que al reparametrizar una curva, ni su forma ni su longitud cambian. Esto último se deduce del hecho de que haciendo t = h(u) y suponiendo h creciente d c α (u) du = d c r (h(u))h (u) du = d c r (h(u)) h (u)du = b a r (t) dt 15

16 El estudiante puede hacer algo análogo para h decreciente. Sin embargo, escribiendo r (u) = r (t(u)) se tiene que d r du = d r dt dt du lo que muestra que su rapidez sí cambia por el factor dt du ; incluso la velocidad puede invertir su sentido en el caso en que t = t(u) sea decreciente pues en este caso dt du <. Pregunta: Se podrá reparametrizar una curva cualquiera de tal manera que su rapidez sea constante? La respuesta es sí, como veremos a continuación. Sea r = r (t), t [a, b] una curva cualquiera, y sea s = s(t) = t a r (u) du. s = s(t) se denomina función longitud de arco y mide la longitud de r desde a hasta t. Puesto que ds dt = r (t) >, s(t) es una función creciente y como s(a) = y s(b) = L (su longitud total), su inversa t = t(s) es creciente con dominio [, L]. Utilizando esta inversa como cambio de parámetro, obtenemos la parametrización r (s) = r (t(s)) en donde el parámetro es la longitud del arco s. La velocidad de esta parametrización es d r ds = d r dt dt ds Como dt ds = 1 1 = ds dt r, tenemos que d r (t) ds = 1. Así vemos que cuando la curva está parametrizada por longitud de arco, su rapidez es constante e igual a 1. Recíprocamente, si r = r (t) es una curva tal que r (t) = 1, entonces s = t r (u) du = t du = t, es decir el parámetro t es la longitud del arco s. Hemos demostrado el siguiente teorema: Teorema Una curva r = r (t) está parametrizada por longitud de arco si y solo si r (t) = 1. Ejemplo Parametrizar por longitud de arco el círculo de radio a, r (t) = (a cos(t), asen(t)),t [, 2π]. Tenemos que r (t) = ( asen(t), a cos(t)) y r (t) = a. Así, s = t r (u) du = t a du = at. Despejando t tenemos que t = s y reemplazando obtenemos a s r (s) = (a cos( a ), asen(s )) es la parametrización pedida. a 16

17 1.5. Curvatura La curvatura es el concepto más importante de la teoría de curvas y mide qué tanto se dobla una curva en un punto determinado. Puesto que la forma como se dobla una curva tiene que ver con su concavidad, es apenas natural pensar que la segunda derivada tiene que estar involucrada, esto es, la razón de cambio del vector tangente. Definiremos inicialmente la curvatura de una curva parametrizada por la longitud de arco s y luego deduciremos una fórmula para la curvatura de una curva con cualquier parámetro t. Definición Sea C una curva parametrizada por r = r (s) donde s = t r (u) du. Definimos la curvatura de C por k(s) = r (s) (1.1) Ejemplo Calcular la curvatura del círculo de radio a, r (t) = (a cost, asent). En el ejemplo anterior vimos que la parametrización por longitud de arco del círculo es r (s) = (a cos( s a ), asen(s )). Tenemos entonces que la segunda a derivada de r es r (s) = ( 1a ) cos(sa ), 1a sen(sa ) y por lo tanto k(s) = r (s) = 1 a. Nota. Esta definición solo es válida para curvas parametrizadas por longitud de arco y no sirve como definición de curvatura de una curva con cualquier parámetro t (es decir, escribir k(t) = r (t) ). Para ver porqué esto es así, vea el ejercicio y la observación al final de esta sección. En principio, si queremos calcular la curvatura de una curva con cualquier parámetro t, deberíamos primero reparametrizarla por longitud de arco y aplicar la ecuación 1.1 como se hizo en el ejemplo anterior. Esto no es práctico por la dificultad en el cálculo de la integral involucrada o porque a menudo es muy difícil o virtualmente imposible invertir dicha integral. Para encontrar una fórmula de la curvatura con cualquier parámetro t, definamos el vector tangente unitario de una curva parametrizada por r = r (t) así: r (t) T (t) = r (t) (1.2) Reparametrizando entonces por longitud de arco, tenemos que r (s) = r (t(s)) donde t = t(s) es la inversa de la función longitud de arco s = s(t); se tiene en- 17

18 tonces también que el vector tangente unitario tiene la forma T (s) = T (t(s)). Entonces r (s) = T (s) y la segunda derivada de r es r (s) = T (s) = d T dt dt ds = T (t) r (t) y puesto que la curvatura es la norma de este vector, tenemos que T (t) k(t) = r. (1.3) (t) Esta fórmula nos permite calcular la curvatura de una curva cualquiera sin tener que reparametrizarla por longitud de arco. Podemos encontrar una fórmula más sencilla que sólo involucre r y sus derivadas (y no el vector T ) dada en el siguiente teorema. Teorema Demostración. Escribiendo v(t) = derivando obtenemos. Entonces r (t) r (t) k(t) = r (t) 3 (1.4) r (t) r (t) = v (t) T (t) + v(t) T (t) r r = v T (v T + v T ) tenemos que r (t) = v(t) T (t); = vv T T + v 2 T T Por lo tanto = v 2 T T r r = v 2 T T = r 2 T T sen(π/2) puesto que T es perpendicular a T. Y como T = 1 se tiene que 18

19 r r = r 2 T. Dividiendo a ambos lados de esta última ecuación por r 3 se obtiene la fórmula deseada. La curvatura de una curva con cualquier parámetro t está bien definida por la ecuación 1.3, en el sentido de que es independiente de la parametrización elegida, es decir, que para calcular la curvatura no interesa qué parametrización tomemos. Esto se demuestra de la siguiente manera: si α es una reparametrización de r, esto es, α (u) = r (h(u)) con h(u) = t y llamamos k α,k r,t α y T r a las curvaturas y al vector tangente unitario en las dos parametrizaciones, entonces: T α (u) T r k α (u) = (h(u))h (u) T r α = (u) (t) r (h(u))h = (u) r = k r (t) (t) Note que si en la ecuación 1.3 hacemos t = s obtenemos la ecuación 1.1. Puede probarse fácilmente que si la curvatura de una curva es cero en todos sus puntos, dicha curva es una linea recta, que es efectivamente lo que nos dice la intuición. Para ello notemos que como la curvatura es independiente de la parametrización, podemos suponer r (t) = 1. Si k =, entonces por la ecuación 1.1 debe ser r (t) =. Integrando entre t y t se obtiene que r (t) = r (t ) e integrando de nuevo obtenemos r (t) r (t ) = (t t ) r (t ) esto es, r (t) = (t t ) r (t ) + r (t ) que ciertamente es una línea recta Triedro de Frenet Para una curva r = r (t) definimos el vector normal unitario por T (t) N(t) = T (t) (1.5) Note que N T puesto que T = 1. Definimos también el vector binormal por B(t) = T (t) N(t) 19

20 vector que es perpendicular tanto a T como a { T } N. La tripla, N, B se denomina triedro de Frenet y juega un papel central en el estudio de la geometría de curvas. { T } El plano generado por el par, N se denomina plano osculador. { N, } El plano generado por el par B se denomina plano normal. { T } El plano generado por el par, B se denomina plano rectificante. Las ecuaciones de dichos planos en un punto r (t ) son plano osculador: ( x r (t )) B(t ) =. plano normal: ( x r (t )) T (t ) =. plano rectificante: ( x r (t )) N(t ) = El vector aceleración. Si escribimos v = r y v = r, tenemos que v = v T. Derivando a ambos lados de esta ecuación, obtenemos: Como T = T N = kv N, entonces v = a = v T + v T a = v T + kv 2 N 2

21 Escribiendo a T = v y a N = kv 2 tenemos que la aceleración es una combinación lineal de los vectores T y N de la forma a = a T T + an N, lo que nos dice que el vector aceleración está siempre sobre el plano osculador. Podemos encontrar expresiones para a T y a N en términos solamente de las derivadas de r así: v a = vt ( v T + kv 2 ) N = vv T T + kv 3 T N = vv v a Así, a T = v r r = = v r. r r r Para a N, observemos que a N = kv 2 = 2 r 3 = r r r. El estudiante puede demostrar fácilmente que también se tiene que a 2 = a 2 T + a2 N *Ecuaciones de Frenet para una curva plana. Las ecuaciones de Frenet expresan la variación de los vectores T y N en términos de ellos mismos y desempeñan un papel fundamental en el estudio de la geometría de las curvas. Deduciremos estas ecuaciones en el caso de una curva plana. De la ecuación 1.5 obtenemos T = T N y reemplazando T por lo dado en la ecuación 1.3 tenemos que r. T = vk N (1.6) donde v = Esta es la primera ecuación de Frenet. Por otro lado como N = 1 tenemos que N N y como la curva es plana, entonces N es paralelo a T y por lo tanto existe un escalar λ tal que N = λ T. Al multiplicar a ambos lados de esta ecuación por T, obtenemos que λ = T N. Por otro lado, derivando la ecuación T N = obtenemos T N + T N = lo que es equivalente a kv N N + T N = por la primera ecuación de Frenet (ecuación 1.6) y así, λ = T N = vk, y obtenemos la segunda ecuación de Frenet 21

22 N = vk T (1.7) Las ecuaciones 6 y 7, llamadas Ecuaciones de Frenet se pueden escribir en la forma matricial ( T ) = ( ) ( ) r k T N k N Ejercicio Demostrar que si una curva tiene curvatura k = 1 (constante) entonces es un a círculo de radio a (con centro en algún punto P ). Puesto que la curvatura es independiente de la parametrización, podemos suponer v(t) = r (t) = 1. Para demostrar que r es un círculo de radio a con centro en P, debemos probar que r (t) + a N(t) = P pues entonces r (t) P = a N(t) y así, r (t) P = a, como se observa en la figura abajo. Para ver esto, observe que d dt ( r (t) + a N(t)) = r (t) + a N (t). Pero la segunda ecuación de Frenet (ecuación 1.7) es N (t) = a 1 T (t), por lo tanto r (t)+a N (t) = T (t) a. 1 T (t) = y por lo tanto r (t)+an(t) =constante. a Llamando P a dicha constante, se tiene lo que se quiere demostrar. Observación. 22

23 Se definió la curvatura de una curva parametrizada por longitud de arco como la norma del cambio en el vector tangente (ecuación 1.1). Esta definición no funciona para una curva con cualquier parámetro t. Para ver esto basta observar que r (t) = 2 (constante) para la parábola r (t) = ( t, t 2), lo que significaría que la parábola es un círculo!! 23

24 Capítulo 2 Campos Escalares en R 2 y R 3 Una función de n variables ó campo escalar, es una función f : U R n R. Si (x 1, x 2,..., x n ) U, su imagen por f es un número real x n+1 = f(x 1, x 2,...,x n ). En este curso solo estudiaremos los casos n = 2 y n = 3 y entonces escribiremos z = f(x, y) y w = f(x, y, z) respectivamente. U es el dominio de f y es un subconjunto del plano ó del espacio. Ejemplo 2..2 Hallar el dominio de f(x, y) = x ln y. Es claro que xpuede tomar cualquier valor real, mientras que ysolo puede tomar valores positivos; por lo tanto el dominio de f es el conjunto U = {(x, y) x R, y R + }, esto es, el semiplano superior del plano R 2. Ejemplo 2..3 Hallar el dominio de f(x, y) = 1 x 2 y 2. Puesto que 1 x 2 y 2, f solo puede ser calculado en los puntos del disco x 2 + y Gráfica de z = f(x, y). Curvas y superficies de nivel. La gráfica de una función de dos variables es un subconjunto de R 3 y se define por Graf(f) = {(x, y, f(x, y)) (x, y) U} R 3 La gráfica de z = f(x, y) la denominamos superficie. Dibujar "a mano" una superficie es difícil y lo mejor es recurrir a un computador. Sin embargo, podemos hacernos una idea de cómo es una superficie (o por lo menos las más utilizadas en la práctica), viendo las curvas que se forman al cortar la superficie con planos paralelos a los planos coordenados, llamadas trazas. En particular, las trazas 24

25 con planos paralelos al plano xy se denominan curvas de nivel, que se obtienen intersectando la gráfica de f con los planos z = c (constante), esto es, la curva de nivel en el nivel c es el subconjunto del plano definido por L f (c) = {(x, y) f(x, y) = c} R 2 Para las trazas con planos paralelos a los planos coordenados xz y yz hacemos y = c y x = c. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo Sea f : R 2 R definida por z = f(x, y) = x 2 + y 2. Dado un número real c, la curva de nivel al nivel c de f está dada por L f (c) = {(x, y) : x 2 + y 2 = c}. Claramente si c <, L f (c) = (vacío); si c =, L f (c) = {(, )}; para cualquier c >, los conjuntos de nivel son circunferencias con centro en el origen de radio c. La figura muestra las circunferencias concéntricas En el ejemplo anterior, las curvas de nivel son círculos que se expanden a medida que aumentamos el valor de c. En la siguiente gráfica, a la derecha vemos una imagen tridimensional de estos círculos; cada uno de ellos está sobre el plano z = c. 25

26 Sin embargo, esto no es suficiente. Necesitamos ver las trazas con los planos coordenados yz y xz. Para ver el corte con el plano yz, hacemos x = en la función f; tenemos entonces que dicho corte es la parábola z = y 2. Igualmente, para el corte con el plano xz, hacemos y = para obtener la parábola z = x 2. Abajo puede verse la gráfica de dicha función, llamada paraboloide. Ejemplo Hagamos la gráfica de la función z = f(x, y) = x 2 + y 2. Las curvas de nivel están dadas por el conjunto L f (c) = {(x, y) : x 2 + y 2 = c} = {(x, y) : x 2 + y 2 = c 2 } esto es, círculos concéntricos de radio c. 26

27 Observe que esta gráfica aparentemente es igual a la del paraboloide, sin embargo la gráfica de f no es un paraboloide como lo muestran los cortes con los otros planos coordenados: Si x =, obtenemos z = y 2 = y, esto es, las dos rectas z = y y z = y. De la misma manera, si y = obtenemos las rectas z = x, y z = x. Vemos la gráfica abajo, que evidentemente es un cono. Ejemplo Veamos ahora la función z = y 2 x 2. Las curvas de nivel son las hipérbolas y 2 x 2 = c, como se observa en la figura abajo. 27

28 Note que en el caso c = obtenemos la hipérbola degenerada x 2 = y 2 que corresponde a las dos rectas y = x y y = x. El corte con el plano yz es la parábola z = y 2 y el corte con el plano xz es la parábola z = x 2. Esta gráfica se llama paraboloide hiperbólico o silla de montar y tiene el aspecto que se muestra abajo. Ejemplo Veamos la gráfica de la superficie dada por la ecuación z = y 2. Observe que en la ecuación no aparece la variable x; esto significa que x toma 28

29 todos los valores reales. Superficies de este tipo se llaman cilindros. Cuales son las curvas de nivel? Su gráfica puede verse abajo. Para el caso de una función de tres variables w = f(x, y, z), su gráfica se define por el conjunto Grf(f) = {(x, y, z, f(x, y, z)) (x, y, z) U} R 4 Por supuesto no podemos hacer un dibujo de ella por estar en el espacio cuatridimensional R 4. Sin embargo tenemos el concepto de superficie de nivel definido de forma análoga al de curva de nivel así: S f (c) = {(x, y, z) f(x, y, z) = c} R 3 y aunque no podamos despejar z explícitamente en términos de x y de y, sí podemos encontrar las trazas con los planos coordenados. Veamos ejemplos de esto. Ejemplo Consideremos la función de tres variables w = f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. La superficie de nivel en el nivel 1 es el conjunto {(x, y, z) : x 2 +y 2 +z 2 = 1}. Haciendo z = c, obtenemos círculos x 2 +y 2 = 1 c 2 de radio 1 c2 por lo que debemos tener 1 c 1. En la figura abajo se muestran estas curvas. 29

30 De la misma manera obtenemos círculos al cortar la superficie con planos paralelos a los otros dos planos coordenados. La figura obtenida es una esfera de radio 1. Ejemplo Las superficies de nivel de la función f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2 es el conjunto de nivel {x, y, z) : x 2 +y 2 z 2 = c}. El lector no tendrá dificultad en comprobar que las gráficas que se muestran abajo corresponden a c = 1, c =, c = 1 respectivamente, llamadas hiperboloide de una hoja, doble cono e hiperboloide de dos hojas. 3

31 Observemos que la gráfica de una función de dos variables puede verse como la superficie de nivel de una función de tres variables. Si f : Ω R 2 R, recordemos que la gráfica de f es G f = {(x, y, z) R 3 : z = f(x, y), (x, y) Ω} G f = {(x, y, z) R 3 : (x, y) Ω, z f(x, y) = } = L g () donde g(x, y, z) = z f(x, y). Así la gráfica de una función de dos variables es una superficie de nivel de una función de tres variables Superficies cuádricas. Consideremos las funciones de tres variables sobre R 3 que son de tipo polinomial f(x, y, z) = Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Hx + Iy + Jz + K, donde A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K son constantes. Si A, B.C, D, E, F no son simultáneamente cero las superficies de nivel L f (c) = {(x, y, z) R 3 : Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Dxy+Exz+Fyz+Hx+Iy+Jz+K = c se llaman superficies cuádricas. Si A = B = C = D = E = F =, tenemos que la superficie de nivel de f determina como superficie un plano dado por Hx + Iy + Jz + K = c En general estas superficies cuádricas pertenecen a nueve tipos diferentes: El elipsoide, el hiperboloide de una hoja, el hiperboloide de dos hojas, el cono, el paraboloide elíptico, el paraboloide hiperbólico, el cilindro elíptico, el cilindro hiperbólico Límites y Continuidad Utilizamos la notación lím (x,y) (x,y ) f(x, y) = L para indicar que podemos aproximar la función f(x, y) tanto como queramos a un número L siempre y cuando tomemos (x, y) suficientemente cerca del punto (x, y ) pero con (x, y) 31

32 (x, y ). En otras palabras, f(x, y) está cerca de L si (x, y) está cerca de (x, y ) y entre más cerca esté (x, y) de (x, y ), más cerca está f(x, y) de L. Esto significa que podemos tomar la distancia entre f(x, y) y L tan pequeña como queramos siempre y cuando la distancia entre (x, y) y (x, y ) sea lo suficientemente pequeña. Tenemos entonces la equivalencia lím f(x, y) = L lím f(x, y) L = (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) que podemos escribir también en la forma f(x, y) L cuando (x, y) (x, y ) f(x, y) L cuando (x x ) 2 + (y y ) 2. Así, el límite de una función de dos variables se reduce al límite usual del cálculo de una variable, y es por esta razón que las propiedades usuales de los límites unidimensionales también son válidas para límites de funciones de dos variables. Claramente se ve que la definición anterior de límite es válida para cualquier campo escalar en R n, con solo reemplazar la pareja (x, y) por un vector x R n y la pareja (x, y ) por cualquier vector a R n. Las propiedades de los límites y de la continuidad las resumimos en los siguientes teoremas: Teorema Si lím x a f( x ) = b y lím x a g( x ) = c, entonces 1. lím x a (f( x ) + g( x )) = b + c, 2. lím x a λf( x ) = λb para todo escalar λ, 3. lím x a f( x )g( x ) = b c, 4. lím x a f( x ) = b, Definición Diremos que un campo escalar f es continuo en a si lím x a f( x ) = f( a ). Así como con las funciones de una sola variable, también son continuas las sumas, productos y cocientes de funciones continuas (una vez que, en el último caso, se evite la división entre cero). Teorema Si una función g de n-variables es continua en a y una función f de una variable es continua en g( a ), entonces la función compuesta f g, definida por (f g)( x ) = f(g( x )) es continua en a. 32

33 Decir que f es continua sobre un conjunto U significa que f( x ) es continua en cada punto del conjunto. Para calcular un límite, existe la dificultad de que (x, y) puede aproximarse a (x, y ) por muchos caminos, (contrario al caso unidimensional en el cual solo existen dos caminos de acercamiento: por la izquierda y por la derecha) y para que el límite exista, debe ser el mismo para todos los caminos de acercamiento. Es claro entonces, que el límite no existe si por dos caminos distintos se obtienen límites diferentes, como se ve en el siguiente ejemplo. x 2 y 2 Ejemplo Para probar que lím (x,y) (,) x 2 + y 2 (que es de la forma ) no existe, observamos resultados distintos si nos acercamos al origen por el eje x y por el eje y así: Acercamiento por el eje x: tomamos y = x 2 lím f(x, ) = lím (x,) (,) x x 2 = 1 Acercamiento por el eje y: tomamos x = y 2 lím f(, y) = lím (,y) (,) y y 2 = 1 Son continuas las funciones f(x, y) = x, f(x, y) = y, todos los polinomios de la forma f(x, y) = a ij x i y j y en general todas las posibles combinaciones de sumas, productos, cocientes y composiciones de las funciones elementales, con excepción posiblemente de los puntos en donde los denominadores sean cero o el límite no exista. Por ejemplo, la función F(x, y) = cos(x 3 4xy + y 2 ) es continua en todo punto del plano, puesto que la función g(x, y) = x 3 4xy+y 2 es continua (como un polinomio) en toda su extensión y también f(t) = cost es continua para todo número t R. Por supuesto, la función dada en el ejemplo anterior no es continua en el origen. Ahora introducimos algunos conceptos relativos a conjuntos en el espacio de R n. Sean a R n y r >. El conjunto B(x; r) = { x R n : x a < r}. se llama una n-bola abierta de radio r y centro a. En el espacio R 2, una bola abierta es el interior de un c írculo; en R 3 es el interior de una esfera. Un punto a es un punto interior de un conjunto U si existe una bola abierta B( a ; r) contenida en U. Todos los puntos interiores de U forman el interior de U. Por otra parte, a es un punto frontera de U si toda bola abierta con centro en a contiene puntos que pertenecen a U y otros que no pertenecen. Todos los puntos de frontera de U forman la frontera de U. Finalmente, un conjunto 33

34 es abierto si todos sus puntos son interiores y un conjunto es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. Por ejemplo en los números reales, R, los tipos más sencillos de conjuntos abiertos son los intervalos abiertos. La unión de dos o más intervalos abiertos es también abierto. El intervalo [a, b] es un intervalo cerrado. El conjunto U = { (x, y) : x 2 + y 2 1 } es un conjunto cerrado en R Funciones Diferenciables De la misma manera que la existencia de una recta tangente está íntimamente relacionado con el concepto de diferenciabilidad de una función de una variable, la existencia de un plano tangente, que definiremos más adelante, tiene que ver con el concepto de diferenciabilidad de una función de dos variables. Para llegar a este concepto definiremos inicialmente las derivadas parciales Derivadas parciales Si en una función de dos variables z = f(x, y) consideramos una variable, por ejemplo y, como constante, obtenemos una función que depende exclusivamente de la variable x. Así, si escribimos y = y (constante) y h(x) = f(x, y ), la derivada h (x ) se denomina derivada parcial de f con respecto a x en el punto (x, y ) y se denota f x (x, y ) ó f x (x,y ). De la misma manera, si escribimos g(y) = f(x, y), entonces la derivada parcial de f con respecto a y en el punto (x, y ) será la derivada g (y ) y se denota f y (x, y ) ó f y (x,y ). Notación. Si las derivadas parciales se calculan en un punto genérico (x, y), escribimos f x y f f f en lugar de (x, y) y (x, y). Estas derivadas también y x y se denotan f x y f y ó, D x f y D y f. Recordemos que la definición usual de derivada es h h(x + x) h(x ) (x ) = lím x x Al escribir dicha fórmula en términos de f obtenemos f x (x f(x + x, y ) f(x, y ), y ) = lím x x (2.1) De la misma manera tenemos que 34

35 f y (x f(x, y + y) f(x, y ), y ) = lím. (2.2) y y Puesto que las derivada parciales son también funciones de las variables x y y, podemos también derivarlas parcialmente para obtener derivadas parciales de segundo orden denotadas como se muestra a continuación: x ( ) f = 2 f x x 2, y ( ) f = 2 f y y 2, x ( ) f = 2 f y x y, y ( ) f = 2 f x y x. Las derivadas parciales que involucran las dos variables x y y se denominan derivadas parciales mixtas. Un hecho importante es que bajo ciertas condiciones estas derivadas mixtas son iguales como lo dice el siguiente teorema. Teorema Si las derivadas parciales mixtas son continuas en un conjunto abierto U que contiene un punto (x, y ), entonces 2 f x y (x, y ) = 2 f y x (x, y ). Las derivadas parciales de z = f(x, y) se interpretan geométricamente como las pendientes de las tangentes a las curvas intersección de la gráfica de f con los planos x =constante y y =constante como se observa en las gráficas abajo Superficies parametrizadas En el capítulo anterior definimos curva (parametrizada) en el espacio como una función r : I R R 3. En este caso, como el dominio es un subconjunto de 35

36 la recta real, tenemos un solo parámetro que denotamos con la letra t y escribimos r (t) = (x(t), y(t), z(t)). Análogamente tenemos el concepto de superficie parametrizada como una función r : U R 2 R 3. Como el dominio es un subconjunto del plano, tenemos ahora dos parámetros que denotamos con las letras u y v, y escribimos r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) x, y y z son por supuesto, funciones de U en R. Las ecuaciones x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) son las ecuaciones paramétricas. La gráfica abajo ilustra la situación. Ejemplo El cilindro. Un cilindro de radio a se puede parametrizar en la forma r (u, v) = (a cosu, a senu, v), u [, 2π], < v < La secuencia siguiente muestra cómo se transforma el rectángulo [, 2π] [, 1] en el cilindro. 2. La esfera. Para la parametrización de la esfera observe la gráfica abajo. 36

37 En el triángulo rectángulo OAB se tiene que x = h cos θ y y = h sen θ y en el triángulo rectángulo OBC se tiene que z = a cosϕ. Pero de nuevo en OBC se tiene que h = asen ϕ, de manera que las ecuaciones paramétricas de la esfera son x = a cosθ sen ϕ y = a senθ senϕ z = a cosϕ en donde θ [, 2π] y ϕ [, π]. Así la función r tiene la forma r (θ, ϕ) = (a cosθ sen ϕ, asen θ sen ϕ, a cosϕ) 3. La gráfica de z = f(x, y). Análogo a la parametrización de la gráfica de una función de una variable y = f(x) como la curva r (t) = (t, f(t)), la gráfica de una función de dos variables z = f(x, y) se puede ver como una superficie parametrizada solo con tomar x = u, y = v, z = f(u, v), esto es, r (u, v) = (u, v, f(u, v)) 4. Ejercicio (para los curiosos). Pruebe que una parametrización del hiperboloide de una hoja x 2 +y 2 z 2 = 1 está dada por las ecuaciones x = cosucoshv y = senu coshv z = senh v 37

38 para u [, 2π], < v < El plano tangente En una superficie parametrizada, r (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) con (u, v) U, las rectas u = u (constante) y v = v (constante) se convierten por la acción de r en las curvas sobre la superficie r (u) = r (u, v ) y r (v) = r (u, v) como se observa en la gráfica abajo. Dichas curvas se denominan curvas coordenadas. Los vectores tangentes en el punto u y v son respectivamente r (u ) = r u (u, v ) y r (v ) = r v (u, v ) y se definen por r u (u, v ) = r v (u, v ) = ( x u (u, v ), y u (u, v ), z ) u (u, v ) ( x v (u, v ), y v (u, v ), z ) v (u, v ) Si dichos vectores son linealmente independientes, entonces generan un plano que pasa por el punto r (u, v ) denominado plano tangente, con vector normal r u (u, v ) r v (u, v ). Por lo tanto, si r (u, v ) = (x, y, z ), la ecuación del plano tangente en ese punto es (x x, y y, z z ) r u (u, v ) r v (u, v ) = 38

39 En el caso particular en el que tenemos la gráfica de z = f(x, y), con la parametrización r (x, y) = (x, y, f(x, y)) tenemos que ( r x r y = 1,, f ) ( x, 1, f ) ( = f ) y x, f y, 1. Si escribimos z = f(x, y ), la ecuación del plano tangente es z = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) (2.3) El concepto de diferenciabilidad Recordamos inicialmente el concepto de diferenciabilidad para una función de una variable y = f(x), para luego, de forma análoga, abordar el caso z = f(x, y). Diferenciabilidad de y = f(x). Sabemos que en el caso de una función de una variable de la forma y = f(x), la derivada de f en un punto x se define como f f(x + x) f(x ) (x ) = lím x x en caso de que dicho límite exista. Si esto último es cierto, la pendiente de la recta secante está cercana a la pendiente de la tangente si x es pequeño así: f(x + x) f(x ) x 39 f (x )

40 El error cometido en la aproximación está dado por ε = f(x + x) f(x ) x f (x ) Entre más pequeño sea x, menor es el error. La expresión anterior se puede escribir en la forma f(x + x) f(x ) x = f (x ) + ε donde ε cuando x. Si escribimos y = f(x + x) f(x ), obtenemos la ecuación y = f (x ) x + ε x (2.4) donde ε cuando x. Si escribimos x = x + x, entonces f(x) = f(x )+ y y la ecuación 2.4 toma la forma f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + ε(x x ) donde ε cuando x x. Podemos escribir entonces f(x) f(x ) + f (x )(x x ) si x está cerca de x. Entre más cerca esté x de x más pequeño es el error cometido en la aproximación. La expresión de la derecha en la aproximación anterior es lineal en x, esto es, la función es una linea recta. Así, L(x) = f(x ) + f (x )(x x ) f(x) L(x) cerca de x y esta es exactamente la idea de diferenciabilidad: Una función y = f(x) es diferenciable en un punto x, si el incremento en y, y se puede escribir como en la ecuación 2.4, es decir, si localmente (esto es, en cualquier vecindad de x ) se puede aproximar por una recta, más específicamente, por la recta tangente en x ; hablando claro, si localmente, la gráfica de f es "casi" una recta. En un computador se puede comprobar esto. Dibuje la gráfica de, por ejemplo, f(x) = x 2 con un programa de cálculo simbólico (MuPad por ejemplo) y haga 4

41 zoom cerca del origen de coordenadas. Se dará cuenta de que entre mayor sea el zoom, la gráfica de la parábola será cada vez más recta. Esto no sucede por ejemplo con la función f(x) = x pues no importa qué tan cerca se esté del origen, la gráfica de f siempre se verá como una punta (dos rectas). El primer sumando en el miembro derecho de la ecuación 2.4 se denomina diferencial de f y se denota df o más comúnmente dy, así, la diferencial en cualquier x es dy = f (x) x y se toma generalmente como una aproximación para y; entre más pequeño sea x mejor es la aproximación. Diferenciabilidad de z = f(x, y). De la misma manera como la diferenciabilidad de una función de una variable y = f(x) tiene que ver con la existencia de una función lineal (una recta) L(x) que aproxima a f en una vecindad de un punto x, la diferenciabilidad de z = f(x, y) en un punto (x, y ) tiene que ver con la existencia de una función lineal (un plano) L(x, y) que aproxima a f en una vecindad de (x, y ), esto es, algo como f(x, y) A + Bx + Cy. Para encontrar tal aproximación, le aplicamos el mismo análisis anterior a las derivadas parciales, ecuaciones 2.1 y 2.2, y obtenemos formas análogas a la ecuación 2.4 para los incrementos parciales f(x + x, y ) f(x, y ) = f x (x, y ) x + ε 1 x f(x, y + y) f(x, y ) = f y (x, y ) y + ε 2 y donde ε 1 y ε 2 cuando x y y. Tenemos así aproximaciones lineales para los incrementos parciales. Parece natural pensar que el incremento de f en ambas variables simultáneamente, pueda aproximarse por la suma (ya que necesitamos que la aproximación sea lineal) de las dos aproximaciones parciales. Esto no siempre sucede, pero cuando es así, tenemos nuestra definición de diferenciabilidad: Una función de dos variables z = f(x, y) es diferenciable en (x, y ), si el 41

42 incremento de z, z = f(x + x, y + y) f(x, y ) puede escribirse en la forma z = f x (x, y ) x + f y (x, y ) y + ε 1 x + ε 2 y (2.5) donde (ε 1, ε 2 ) (, ) cuando ( x, y) (, ). Si escribimos x = x + x y y = y + y, entonces la ecuación 2.5 toma la forma f(x, y) = f(x, y )+ f x (x, y )(x x )+ f y (x, y )(y y )+ε 1 (x x )+ε 2 (y y ) donde (ε 1, ε 2 ) (, ) cuando (x, y) (x, y ). La ecuación 2.6 explica el concepto de forma clara: si escribimos L(x, y) = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) tenemos entonces la aproximación lineal f(x, y) L(x, y) (2.6) en una vecindad de (x, y ). Note que la función L es precisamente el plano tangente en el punto (x, y ) (vea de nuevo la ecuación 2.3). Tenemos así, que f es diferenciable si puede linealizarse localmente, esto es, si en una vecindad de un punto (x, y ) la gráfica de f se ve casi plana, siendo dicho plano precisamente el plano tangente. Los dos primeros términos de la derecha de la ecuación 2.5 se denomina la diferencial de f y se denota df o más comúnmente dz así: dz = f x (x, y ) x + f y (x, y ) y y es una aproximación para el incremento z. Si le aplicamos esta definición a las variables independientes x y y obtenemos que dx = x x x + y = x x y y de la misma manera, dy = y. Por esta razón, es común que la diferencial en cualquier punto (x, y) se escriba en la forma dz = f f dx + dy. (2.7) x y Nota. A veces, por abuso de notación, la ecuación 2.7 se escribe 42

43 dz = z z dx + x y dy Si fes diferenciable en (x, y ), de la ecuación 2.6 se deduce de forma inmediata que f es continua en dicho punto pues claramente f(x, y) f(x, y ) cuando (x, y) (x, y ). Contrario a lo que sucede en el caso de una variable en el que la existencia de la derivada es suficiente para garantizar la existencia de la recta tangente, para una función de dos variables la sola existencia de las derivadas parciales no implica la existencia del plano tangente. Por ejemplo, la función f(x, y) = { xy x 2 + y 2 si (x, y) (, ) si (x, y) = (, ) no es diferenciable en (, ) pues aunque f f (, ) = (, ) =, la función x y no es continua en (, ). Abajo se muestra su gráfica generada por MuPad para xɛ[.1,.1] y yɛ[.1,.1]..4.2 z y x.5.1 El teorema siguiente establece las condiciones suficientes para la diferenciabilidad. Teorema Si las derivadas parciales de z = f(x, y) existen y son continuas en (x, y ) entonces fes diferenciable en dicho punto, es decir, z puede escribirse como en la ecuación

44 2.4. La Regla de la Cadena Sea z = f(x, y) un campo escalar diferenciable en un conjunto abierto U R 2, y supongamos que x = x(t) y y = y(t) son funciones diferenciables de t. Se tiene entonces que z = z(t) = f(x(t), y(t)), esto es, tenemos la composición z(t) = f h(t) donde h es la función vectorial definida por h(t) = (x(t), y(t)). El teorema siguiente establece la forma como se calcula la derivada z (t): Teorema En las condiciones del comentario anterior, se tiene que dz dt = f dx x dt + f dy y dt (2.8) Demostración. Puesto que f es diferenciable se tiene que z = f f x + x y y + ε 1 x + ε 2 y donde (ε 1, ε 2 ) (, ) cuando ( x, y) (, ). Dividiendo ambos miembros de la ecuación por t y tomando el límite cuando t obtenemos dz dt = f x lím x t t + f y lím y t t + lím t ε 1 x t + lím ε y 2 t t donde (ε 1, ε 2 ) (, ) cuando ( x, y) (, ). x Por un lado, lím t t = dx dt y lím y t t = dy. Por otro lado, dt lím x = lím x(t + t) x(t) = t t (2.9) puesto que x = x(t) es una función continua (por ser diferenciable). De la misma manera, lím y =, lo que significa que lím ε 1 = lím ε 2 = por lo que t t t la ecuación 2.9 se convierte en la ecuación 2.8. Nota. A veces, por abuso de notación, la regla de la cadena se escribe así: dz dt = z dx x dt + z dy y dt En el caso en que x y y sean funciones diferenciables de dos variables s y t, x = x(s, t), y = y(s, t), entonces z = z(s, t) = f(x(s, t), y(s, t)) y las derivadas parciales de z con respecto a s y t están dadas por: 44

45 z s z t = z x x s + z y y s = z x x t + z y y t (2.1) Podemos utilizar la regla de la cadena para encontrar dy en el caso en que la dx ecuación F(x, y) = k defina y como función implícita de x. Derivando a ambos lados de la ecuación F(x, y(x)) = k (aplicando la ecuación 2.8 obtenemos Así tenemos que F dx x dx + F dy y dx = dy dx = F x F y. (2.11) Análogamente, si la ecuación F(x, y, z) = k define z como función implícita de x y y, podemos encontrar fórmulas para las derivadas parciales de z con respecto a x y y aplicando las fórmulas dadas por las ecuaciones 2.1 a la ecuación F(x, y, z(x, y)) = k para obtener z x = F x F z z y = Ejercicio. Si z(t) = f(x(t), y(t)), calcular d2 z dt 2. Tenemos que dz dt = z dx x dt + z dy. Derivando a ambos lados de esta ecuación, y dt aplicando la regla de la derivada de un producto, obtenemos: d 2 z dt 2 = d ( ) z dx dt x dt + z d 2 x x dt 2 + d ( ) z dy dt y dt + z d 2 y y dt 2 (2.12) Para las derivadas con respecto a t de z x y z, debemos aplicar de nuevo la y regla de la cadena (ecuación 2.8) porque z x y z son funciones de x y y y y estas a su vez son funciones de t así: ( ) d z = 2 z dx dt x x 2 dt + 2 z dy y x dt 45 F y F z

46 d dt ( ) z = 2 z dx y x y dt + 2 z dy y 2 dt reemplazando estas dos expresiones en la ecuación 2.12, asumiendo que las derivadas parciales mixtas son iguales y reduciendo términos semejantes, obtenemos la expresión d 2 z dt 2 = 2 z x 2 ( ) 2 dx z dt x y dx dy dt dt + 2 z y 2 ( ) 2 dy + z d 2 x dt x dt 2 + z d 2 y y dt 2 La regla de la cadena para una función de tres variables w = w(t) = f(x(t), y(t), z(t)) tiene una forma análoga a la ecuación 2.8: dw dt = w dx x dt + w dy y dt + w dz z dt (2.13) El vector gradiente Observe que la ecuación 2.8 puede escribirse en la forma ( dz f dt = x, f ) ( dx y dt, dy ) dt El vector ( f x, f ) y se denomina gradiente de fen (x, y) y se denota f, así: ( f f = x, f ) y Nota. La notación f significa f(x, y). Si calculamos el gradiente en un punto (x, y ) escribimos ( f f(x, y ) = x (x, y ), f ) y (x, y ) Si escribimos r (t) = (x(t), y(t)), entonces r (t) = 2.8, calculada en un punto t, toma la forma ( dx dt, dy ) y la ecuación dt dz dt t=t = d dt t=t f( r (t)) = f( r (t )) r (t ) (2.14) Podemos utilizar la forma de la regla de la cadena como la expresa la ecuación 2.14 para probar que el vector gradiente de z = f(x, y) en un punto P = (x, y ) es perpendicular a la curva de nivel f(x, y) = k que pasa por P. Para ver esto, 46

47 supongamos que dicha curva de nivel está descrita por la función vectorial r (t) = (x(t), y(t)) que pasa por P en un tiempo t, esto es, P = r (t ) = (x, y ). Es claro entonces que debe ser f(x(t), y(t)) = f( r (t)) = k. Derivando a ambos lados de esta ecuación tenemos que d dt f( r (t)) = (2.15) Aplicando la fórmula 2.14 para el lado izquierdo de la ecuación 2.15 en el punto P, tenemos que f(x, y ) r (t ) = lo que prueba lo afirmado. La gráfica abajo ilustra la situación. De la misma manera, el vector gradiente de una función de tres variables w = F(x, y, z) en un punto P = (x, y, z ) es perpendicular a la superficie de nivel S definida por la ecuación F(x, y, z) = k que pasa por P. Si r (t) = (x(t), y(t), z(t)) es cualquier curva sobre S que pasa por P en un tiempo t, entonces F( r (t)) = k y de nuevo F(x, y, z ) r (t ) = (2.16) 47

48 Como la ecuación 2.16 es válida para todas las curvas sobre S que pasan por P, resulta natural definir el plano tangente a S en el punto P como el plano que pasa por P(x, y, z ) y que tiene por vector normal el gradiente F(x, y, z ), por lo que su ecuación será siendo su expresión cartesiana ( x P) F(P) = F x (x, y, z )(x x ) + F y (x, y, z )(y y ) + F z (x, y, z )(z z ) =. (2.17) Observe que como la gráfica de una función de dos variables z = f(x, y) puede verse como la superficie de nivel F(x, y, z) = donde F(x, y, z) = f(x, y) z, al aplicar la ecuación 2.17 a esta F en particular, obtenemos la ecuación Derivadas Direccionales Recordemos que la derivada parcial con respecto a x de una función de dos variables z = f(x, y) se define por f x (x f(x + t, y ) f(x, y ), y ) = lím t t Esta es la misma ecuación 2.1 en donde hemos reemplazado x por t. Esta expresión puede escribirse en la forma f x (x f((x, y ) + t(1, )) f(x, y ), y ) = lím t t Si escribimos x = (x, y ) y i = (1, ) obtenemos 48

49 f x ( f( x + t i ) f( x ) x ) = lím t t De la misma manera, escribiendo j = (, 1) la derivada parcial con respecto a y se escribe f y ( f( x + t j ) f( x ) x ) = lím t t Esta forma de expresar las derivadas parciales muestran que dichas derivadas se calculan tomando la variación de f a lo largo de las rectas α (t) = x + t i y β (t) = x + t j, esto es, rectas paralelas a los ejes coordenados que pasan por x. Podemos pensar en generalizar esto, calculando la variación de f a lo largo de cualquier recta que pase por x, esto es, una recta de la forma r (t) = x + t u donde u es un vector unitario cualquiera. Esto nos conduce al concepto de derivada direccional en la dirección de un vector unitario u en un punto x, denotada D u f( x ) y definida de la manera natural D u f( x ) = lím t f( x + t u ) f( x ) t (2.18) y se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la tangente de la curva de intersección de la gráfica de f con un plano perpendicular al plano coordenado xy en el punto x. Es claro entonces que 49

50 f x ( x ) = D i f( x ) f y ( x ) = D j f( x ) esto es, las derivadas parciales son las derivadas direccionales en las direcciones i y j, que corresponden a las pendientes de las tangentes de las curvas de intersección de la gráfica de f con planos perpendiculares al plano coordenado xy paralelos a los planos coordenados xz y yz respectivamente, como se explicó en la sección Una forma sencilla de calcular la derivada direccional en la dirección de un vector unitario u de una función f la da el siguiente teorema: Teorema D u f( x ) = f( x ) u (2.19) Demostración. Si llamamos r (t) = x + t u a la recta que pasa por x con vector director u, entonces r () = x y r () = u. Entonces d dt t=f( f( r (t)) f( r ()) r (t)) = lím t t f( x + t u ) f( x ) = lím t t = D u f( x ) Pero, por la regla de la cadena (ecuación 2.14) se tiene que lo que demuestra el teorema. d dt t=f( r (t)) = f( r ()) r () = f( x ) u Nota. Observe que la definición de derivada direccional (ecuación 2.18) ó su expresión en términos del gradiente (ecuación 2.19) es válida para cualquier campo escalar f definido en R n. La derivada direccional de un campo escalar f en un punto x en la dirección de un vector u (unitario), representa la tasa de cambio de f en dicho punto en la dirección dada. Podemos preguntarnos por la dirección en la cual dicha tasa de cambio es máxima ó mínima. Podemos encontrar la razón de cambio máxima y mínima de f a partir de la ecuación Puesto que u = 1, D u f( x ) = f( x ) u = f( x ) cosθ 5

51 dónde θ es el ángulo entre f( x ) y u. Puesto que el coseno oscila entre 1 y 1, la razón máxima se obtiene cuando cosθ = 1, esto es θ =, es decir, cuando u y f( x ) tienen la misma dirección y es mínima cuando cosθ = 1, esto es θ = π, es decir, cuando u y f( x ) tienen direcciones opuestas. Resumiendo, la derivada direccional máxima se obtiene en la dirección del gradiente, esto es, f u = y su valor es D f f = f ; la derivada direccional mínima se f f obtiene en la dirección opuesta al gradiente y su valor es f Máximos y Mínimos. 1. f( a ) es un valor máximo global de f en U si f( a ) f(x, y) para todo (x, y) U. 2. f( a ) es un valor mínimo global de f en U si f( a ) f(x, y) para todo (x, y) U. 3. f( a ) es un valor extremo global de f en U si es un valor máximo global o mínimo global. Son válidas las mismas definiciones, sustituyendo la palabra global por local en (1) y (2), cuando las desigualdades se cumplen en alguna vecindad abierta de a. La definición es una generalización natural de las mismas nociones para funciones de una sola variable; y aún más, las generalizaciones para funciones de tres y más variables son claras. Teorema (Existencia de máximo o mínimo)) Si f es continua en un dominio cerrado y acotado U, entonces f alcanza tanto un valor máximo global como un mínimo global en U. A continuación definiremos lo que son puntos frontera, puntos críticos y puntos singulares. 1. Puntos frontera. Vea la sección Puntos críticos. Decimos que a es un punto crítico si es interior en U donde f es diferenciable y f( a ) =. En dicho punto, el plano tangente es horizontal. 3. Puntos singulares. Decimos que a es un punto singular si es interior en U donde f no es diferenciable (por ejemplo, un punto de la gráfica donde f tiene una esquina aguda). 51

52 Teorema (Condiciones necesarias para los extremos) Sea f una función definida en un conjunto U que contiene a a. Si f( a ) es un valor extremo, entonces a deberá ser un punto frontera de U, o un punto crítico de f, o un punto singular de f. Demostración. Supongamos que a = (x, y ) no es punto frontera ni singular (por lo que a será un punto interior en el que f existe) y veremos si f( a ) = Puesto que f tiene un valor extremo en (x, y ), la función g(x) = f(x, y ) tiene un valor extremo en x. Además, g es diferenciable en x puesto que f lo es para (x, y ) y por lo tanto, por el teorema del punto crítico para funciones de una variable, g (x ) = f x (x, y ) = En forma análoga, la función h(y) = f(x, y) tiene un valor extremo en y y satisface la expresión h (x ) = f y (x, y ) = El gradiente es cero, ya que ambas derivadas parciales son. Ejemplo Encuentre el valor máximo o mínimo local de f(x, y) = x 2 2x + y 2 /4. Solución La función dada es derivable en todo el plano xy. Por lo tanto, los únicos puntos críticos posibles son los puntos críticos que se obtienen al igualar a cero f x (x, y) y f y (x, y). Pero f x (x, y) = 2x 2 y f y (x, y) = y/2 son iguales a cero sólo cuando x = 1 e y =. Falta por decidir si (1, ) es un máximo, un mínimo o nada de esto. Pronto desarrollaremos un instrumento para esto, pero por ahora debemos proceder con un poco de ingenio. Obsérvese que f(1, ) = 1 y que f(x, y) = x 2 2x + y2 4 = x2 2x + 1 y2 4 1 = (x 1)2 + y Por lo tanto, f(1, ) es en realidad un mínimo global de f. No hay valores máximos locales. Ejemplo Encuentre los valores máximo o mínimo locales de f(x, y) = x 2 /a 2 + y 2 /b 2. Solución. Los únicos puntos críticos se obtienen al igualar a cero f x (x, y) = 2x/a 2 y f y (x, y) = 2y/b 2. Esto produce el punto (, ) que no da máximo ni mínimo (vea la figura 11). Se llama punto de silla. Debe notarse que en toda vecindad de (, ) hay puntos en los que f(x, y) < f(, ), y otros puntos en los que f(x, y) > f(, ). La función dada no tiene extremos locales. Este ejemplo ilustra la dificultad de que f(x, y ) = no garantiza que exista un extremo local en (x, y ). Por fortuna, existe un criterio regular para decidir lo que sucede en un punto crítico. El próximo teorema es un análogo a la prueba de segunda derivada para funciones de una variable. 52

53 Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables Teorema [Condiciones suficientes para los extremos] Supóngase que f(x, y) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de a R 2 y que f( a ) =. Sea A = 2 f( a ) x 2, B = 2 f( a ) x y, C = 2 f( a ) y 2 y sea Hf( a ) la matriz definida por Hf( [ ] A B a ) = B D Escribamos D( a ) = det(hf( a )). Entonces 1. Si D( a ) > y 2 f( a ) x 2 >, entonces tiene un mínimo relativo en a. 2. Si D( a ) > y 2 f( a ) x 2 <, entonces tiene un máximo relativo en a. 3. Si Si D( a ) <, entonces tiene un punto silla en a. 4. Si D( a ) =, el criterio no decide nada. Nota. La matriz Hf( a ) se denomina matriz hessiana de f en a. Para su demostración, remitimos al lector al apéndice. Sin embargo, podemos ver de manera intuitiva porqué es cierto. D es D( a ) = 2 f( a ) x 2 2 f( a ) y 2 ( 2 f( ) 2 a ) x y Para los casos 1 y 2, en los cuales D( a ) >, se tiene entonces que 2 f( a ) x 2 2 f( ( a ) 2 f( ) 2 a ) y 2 >, por lo que las dos derivadas 2 f( a ) x y x 2 y 2 f( a ) y 2 deben tener el mismo signo. Así, si 2 f( a ) x 2 >, se tiene concavidad hacia arriba en las direcciones de ambos ejes, por lo que se puede sospechar que en a existe un mínimo. Y si 2 f( a ) x 2 <, se tiene concavidad hacia abajo en la dirección de ambos ejes, por lo que se puede sospechar la existencia de un máximo en a. En el caso 3, en el cual D( a ) <, el producto de las dos derivadas 2 f( a ) x 2 y 2 f( a ) y 2 debe ser negativo y por lo tanto deben tener signos opuestos; de tal manera que tenemos concavidad hacia arriba en la dirección de uno de los ejes y concavidad hacia abajo en la dirección del otro, por lo que sospechamos un punto silla en a. Se deja al estudiante comprobar la parte 4. 53

54 Ejemplo Encuentre los extremos, si los hay, de la función f(x, y) = 3x 3 + y 2 9x + 4y. Solución. Puesto que f x (x, y) = 9x 2 9 y f y (x, y) = 2y+4, los puntos críticos que se obtienen al resolver las ecuaciones simultáneas f x (x, y) = f y (x, y) = son (1, 2) y ( 1, 2).Ahora bien, f xx (x, y) = 18x, f yy (x, y) = 2 y f xy (x, y) = f yx (x, y) =. Por lo tanto, en el punto crítico (1, 2) tenemos D(1, 2) = f xx (1, 2)f yy (1, 2) f 2 xy(1, 2) = 18(2) = 36 > Además, f xx (1, 2) = 18 >, por lo que según el teorema anterior, f(1, 2) = 1 es un valor mínimo local de f. En la comprobación de la función dada en otro punto crítico ( 1, 2) encontramos que f xx ( 1, 2) = 18, f yy ( 1, 2) = 2 y f xy ( 1, 2) =, lo cual produce D( 1, 2) = 36 <. Entonces, ( 1, 2) es un punto de silla y f( 1, 2) no es valor extremo. Ejemplo Encuentre los valores máximo y mínimo de f(x, y) = 2x 2 + y 2 4x 2y + 5 en el conjunto cerrado U = {(x, y) x 2 + y 2 /2 1}. Solución. Como f x (x, y) = 4x 4 y f y (x, y) = 2y 2, el único punto crítico posible es (1, 1). Sin embargo, este punto está fuera de U, entonces puede ser ignorado. La frontera de U es la elipse x 2 + y 2 /2 = 1, que se puede describir paramétricamente por x = cost, y = 2 sen t, t 2π Deseamos maximizar o minimizar la función de una variable g(t) = f(cost, 2 sen t), t 2π Por la regla de la cadena, g (t) = f x dx dt + f y dx dt = (4x 4)( sen t) + (2y 2)( 2 cost) = (4 cost 4)( sen t) + (2 2 sen t 2)( 2 cost) = 4 sen t 2 2cost Haciendo g (t) = obtenemos tan t = 2/2 con los dos soluciones t 1 = arctan( 2/2) y t 2 = π + t 1. De donde g(t) tiene los cuatro puntos críticos, t 1, t 2 y 2π en el intervalo [, 2π]. Estos, a su vez, determinan los tres puntos (1, ), (2/ 6, 2/ 6) y ( 2/ 6, 2/ 6) en la frontera de U. Los valores correspondientes de f son f(1, ) = 3, f ( 2 6, ) 2 6 2,11, f ( 2, 2 ) ,899 Luego, concluimos que el valor mínimo de f en U es 2.11 y el valor máximo es

55 Ejemplo Encuentre la distancia mínima entre el origen y la superficie z 2 = x 2 y + 4. Solución. Sea P(x, y, z) un punto cualquiera de la superficie dada. El cuadrado de la distancia entre el origen y P es d 2 = x 2 + y 2 + z 2. Busquemos las coordenadas de P que hagan que d 2 (y por lo tanto d ) sea mínima. Puesto que P pertenece a la superficie, sus coordenadas satisfacen la ecuación de ésta. Sustituyendo z 2 = x 2 y +4 en d 2 = x 2 +y 2 +z 2 resulta d 2 como función de dos variables x e y d 2 = f(x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4 Para obtener los puntos críticos, hacemos f x (x, y) = y f y (x, y) =, con lo que se obtiene 2x + 2xy = y 2y + x 2 = Por eliminación de y entre esas ecuaciones, se tendrá 2x x 3 =. Por lo tanto, x = o x = ± 2. Sustituyendo estos valores en la segunda ecuación se obtiene y = e y = 1. Luego, los puntos críticos son (, ), ( 2, 1) y ( 2, 1). Para probar cada uno de ellos, necesitamos f xx (x, y) = 2 + 2y, f yy (x, y) = 2, f xy (x, y) = 2x y D(x, y) = f xx f yy f 2 xy = 4 + 4y 4x2. Puesto que D(± 2, 1) = 8 <, ni ( 2, 1) ni ( 2, 1) producen un extremo. Sin embargo, D(, ) = 4 > y f xx (, ) = 2 > ; por lo tanto, (, ) produce la distancia mínima. Sustituyendo x = e y = en la expresión de d 2, obtenemos d 2 = 4. Luego, la distancia mínima entre el origen y la superficie dada es Extremos condicionados. Ahora distinguimos entre dos clases de problemas. Encontrar el valor mínimo de f(x, y) es un problema de extremo libre. Encontrar el mínimo de f(x, y) sujeto a una condición g(x, y) = es un problema de extremo condicionado o de extremo restringido. El ejemplo de la sección anterior fue un problema de extremo condicionado. Se nos pidió encontrar la distancia mínima entre la superficie z 2 = x 2 y + 4 al origen. Formulamos el problema de minimizar d 2 = x 2 + y 2 + z 2 sujeta a la restricción z 2 = x 2 y + 4. Manejamos el problema sustituyendo el valor de z 2 de la restricción en la expresión de d 2 y después resolvimos el problema de valor extremo libre que resultó. Sin embargo, con frecuencia sucede que no es fácil despejar una de las variables en la ecuación de restricción y, aún cuando pueda lograrse, puede ser más práctico otro método. Este es el método de multiplicadores de Lagrange. El método de Lagrange proporciona un recurso algebraico para encontrar los puntos extremos restringidos. Si p es un extremo restringido, entonces la curva de nivel y la restricción son tangentes en dicho punto. Las gráficas abajo ilustran esta situación. 55

56 Dichas curvas tienen una recta tangente común y, por consecuencia, tienen una perpendicular común. Pero en cualquier punto de una curva de nivel, el vector gradiente f es perpendicular a ella (ver sección 2.4.1) y en forma similar g es perpendicular a la curva de restricción g(x, y) =, pues dicha curva puede verse como curva de nivel de la función z = g(x, y). Por lo tanto, f y g son paralelos en p, es decir, f(p ) = λ g(p ) para algún número no nulos λ. Esto sugiere la siguiente formulación del método de Lagrange. Método de multiplicadores de Lagrange. Si un campo escalar f(x 1, x 2,..., x n ) tiene un extremo (máximo o mínimo) sujeto a la restricción g(x 1, x 2,..., x n ) =, entonces existe un escalar λ tal que f = λ g en dicho punto extremo. El número λ se llama multiplicador de Lagrange. 56

57 Teniendo en cuenta el método de multiplicadores de Lagrange observemos que podemos formar la siguiente función L(x 1, x 2,..., x n, λ) = f(x 1, x 2,..., x n ) λg(x 1, x 2,..., x n ) conocida como función de Lagrange. En este caso los puntos extremos son puntos críticos de L y por lo tanto las derivadas parciales de la función L son cero en estos puntos. Ejemplo Encuentre el punto del plano 2x 2y + z = 4 que esté más próximo al origen. Solución. Se desea minimizar la distancia d = x 2 + y 2 + z 2 sujeta a 2x 2y+z 4 =. Para facilitar el problema se minimiza el cuadrado de la distancia d 2 = x 2 + y 2 + z 2. La función de Lagrange será L(x, y, z, λ) = x 2 + y 2 + z 2 λ(2x 2y + z 4) Luego, el sistema de ecuaciones de Lagrange es L x = 2x 2λ =, L y = 2y + 2λ =, L z = 2z λ =, L λ = 2x + 2y z + 4 = Si se sustituyen los valores de 2x, 2y y z de las tres primeras ecuaciones en la cuarta, se obtiene 2λ 2λ λ =, o 9 2 λ + 4 =, o λ = 8 9 Por tanto, x = 8/9, y = 8/9 y z = 4/9, as í (8/9, 8/9, 4/9) es el punto requerido, y la distancia de dicho punto al origen es = = = 4 3 Ejemplo Cual es el área máxima que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 2? Solución. Coloque el rectángulo en el primer cuadrante con dos de sus lados a lo largo de los ejes coordenados; entonces, el vértice opuesto al origen tendrá como coordenadas (x, y), siendo positivas x e y. La longitud de su diagonal será x 2 + y 2 = 2 y su área xy. Entonces podemos formular el problema como 57

58 maximización de f(x, y) = xy sujeta a la restricción g(x, y) = x 2 + y 2 4 =. Formando la función de Lagrange L(x, y, λ) = xy λ ( x 2 + y 2 4 ) llegamos al sistema de ecuaciones L x = y 2λx =, L y = x 2λy =, L λ = 4 x2 y 2 = Si multiplicamos la primera ecuación por y y la segunda por x, obtenemos y 2 = 2λxy y x 2 = 2λxy, por lo que y 2 = x 2. De la tercera ecuación para y 2 = x 2 encontramos x = 2 e y = 2; y sustituyendo estos valores en x 2λy =, y 2λx = resulta λ = 1/2. Entonces, la solución del sistema, conservando positivas x e y, es x = 2, y = 2, λ = 1/2.Concluimos que el rectángulo de máxima área con diagonal 2 es el cuadrado cuyos lados miden 2. Su área es 2. Observación El definir la función de Lagrange tiene su ventaja cuando tenemos que hallar los extremos de una función f(x 1, x 2,..., x n ) sujetos a m restricción g 1 (x 1, x 2,..., x n ) =, g 2 (x 1, x 2,..., x n ) =,..., g m (x 1, x 2,..., x n ) = donde suponemos m < n. La función de la Lagrange en este caso está definida por L (x 1, x 2,..., x n, λ 1, λ 2,..., λ m ) = f(x 1, x 2,..., x n ) + λ 1 g 1 (x 1, x 2,..., x n ) +λ 2 g 2 (x 1, x 2,..., x n ) λ m g m (x 1, x 2,..., x n ) Ejemplo Hallar el máximo de la función f(x, y, z) = x + y + z sobre la curva determinada por el plano x + 2y + 3z = y el cilindro x 2 + y 2 = 1 Solución:Observemos que las funciones que se determinar para definir las restricciones son g 1 (x, y, z) = x + 2y z y g 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 4. Entonces la función de Lagrange es definida por L(x, y, z, λ 1, λ 2 ) = x + y + z + λ 1 (x + 2y z) + λ 2 ( x 2 + y 2 1 ) Calculando las derivadas parciales e igualando a cero para hallar los puntos críticos de L obtenemos L (1) x = 1 + λ 1 + 2λ 2 x = L (2) y = 1 + 2λ 1 + 2λ 2 y = L (3) z = 1 λ 1 = L (4) = x + 2y z = λ 1 L (5) = x 2 + y 2 1 = λ 2 58

59 Al tomar λ 1 = 1 (de (3)) en (1) obtenemos λ 2 x = 1, o sea que x = 1/λ 2. Similarmente, (2) nos da y = 3/(2λ 2 ). Substituyendo en (5) tenemos 1 (λ 2 ) (λ 2 ) 2 = 1 as í que (λ 2 ) 2 = 13/4, λ 2 = ± 13/2. Por tanto x = 2 13, y = 3 13 y de (4) tenemos z = x + 2y = Los valores que le corresponden para la función f son = El valor máximo de f es Ejemplo Utilizar el software MuPad para hallar el máximo de la función f(x, y) = x 3 xy + y con la restricción x 2 + 2y 2 = 1. Hacer las gráficas que muestren que los extremos se obtienen en los puntos en donde las curvas de nivel son tangentes a la curva de restricción. Solución. Definimos las funciones f y g como sigue: F:=x^3-x*y+y^2+3-z x 3 xy + y 2 z + 3 g:=x^2+2*y^2-1 x 2 + 2y 2 1 Dibujamos la superficie que corresponde a F en z = : plot( plot::surface([x,y,f z=],x= ,y= )) 59

60 Recordemos que las curvas de nivel se obtienen intersectando la superficie con planos z = constante. Abajo se ve un ejemplo para z = 3,5: plot( plot::surface([x,y,f z=],x= ,y= ), plot::surface([x,y,3.5],x= ,y= ,color=rgb::yellow), plot::implicit3d(f z=3.5, x = , y= ,z= )) Resolvemos el sistema que corresponde al sistema { f(x, y) = λ g(x, y) g(x, y) = 6

61 3x 2 y = 2λx x + 2y = 4λy x 2 + 2y 2 = 1 tt:=numeric::solve([3*x^2-y=2*λa*x,-x+2*y=4*λ*y,x^2+2*y^2=1],[x,y,λ]) [x = i, y = i, λ = i], [x = i, y = i, λ = i], [x =.9468, y = , λ = 1.543], [x =.544, y =.5933, λ =.277], [x = , y = -.127, λ = ], [x = -.316, y =.6721, λ =.6155] Como se ve, se tienen dos soluciones complejas y cuatro reales. Aislamos las cuatro reales en la siguiente tabla: table(1=tt[3],2=tt[4],3=tt[5],4=tt[6]) x =,9468 y =,2275 λ = 1,543 x =,544 y =,5933 λ =,277 x =,9853 y =,127 λ = 1,5392 x =,316 y =,6721 λ =,6155 Reemplazando los valores de x y y en la función f(x, y), obtenemos los cuatro valores: table(1=f (x=.9468,y=-.2275,z=),2=f (x=.544,y=.5933,z=), 3=F (x=-.9853,y=-.127,z=),4=f (x=-.316,y=.6721,z=)) ,1158 3,192 1,939 3,635 La gráfica siguiente muestra las cuatro curvas de nivel y la curva de restricción con los puntos de tangencia en donde se encuentran los extremos. plot(plot::implicit2d(f z=4.1158,x=-2..2,y=-2..2), plot::implicit2d(g,x=-2..2,y=-2..2,color=rgb::black), plot::implicit2d(f z=3.192,x=-2..2,y=-2..2,color=rgb::green), plot::implicit2d(f z=3.635,x=-2..2,y=-2..2,color=rgb::red), plot::implicit2d(f z=1.939,x=-2..2,y=-2..2,color=rgb::brown), plot::point2d([.94,-.22],color=rgb::blue), plot::point2d([.54,.59],color=rgb::green), 61

62 plot::point2d([-.98,-.12],color=rgb::brown), plot::point2d([-.31,.67],color=rgb::red)) Las cinco gráficas siguientes muestran la superficie con su restricción y las curvas de nivel correspondientes a los cuatro valores anteriores, viéndose claramente que los extremos se obtienen en los puntos de tangencia. plot(plot::curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t), (cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t =..2*PI,LineWidth=1), plot::surface([x,y,f z=],x= ,y= ), plot::implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=...1,linecolor=rgb::blue)) plot(plot::curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t), (cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t =..2*PI,LineWidth=1), 62

63 plot::surface([x,y,f z=],x= ,y= ), plot::implicit3d(f z=4.1158, x = , y= ,z= ), plot::implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=...1,linecolor=rgb::blue), plot::implicit3d(f z=4.1158,x=-2..2,y=-2..2,z=...1)) plot(plot::curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t), (cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t =..2*PI,LineWidth=1), plot::surface([x,y,f z=],x= ,y= ), plot::implicit3d(f z=3.192, x = , y= ,z= ), plot::implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=...1,linecolor=rgb::blue), plot::implicit3d(f z=3.192,x=-2..2,y=-2..2,z=...1)) plot(plot::curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t), (cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t =..2*PI,LineWidth=1), 63

64 plot::surface([x,y,f z=],x= ,y= ), plot::implicit3d(f z=1.939, x = , y= ,z=1.9..2), plot::implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=...1,linecolor=rgb::blue), plot::implicit3d(f z=1.939,x=-2..2,y=-2..2,z=...1)) plot(plot::curve3d([cos(t),(1/sqrt(2))*sin(t), (cos(t))^3-cos(t)*(1/sqrt(2))*sin(t)+(1/2)*(sin(t))^2+3], t =..2*PI,LineWidth=1), plot::surface([x,y,f z=],x= ,y= ), plot::implicit3d(f z=3.635, x = , y= ,z= ), plot::implicit3d(g,x=-2..2,y=-2..2,z=...1,linecolor=rgb::blue), plot::implicit3d(f z=3.635,x=-2..2,y=-2..2,z=...1)) Tenemos entonces el máximo z = 4,1158 en el punto (,9468,,2275) y el mínimo z = 1,939 en el punto (,9853,,127). 64

65 Observe en este ejemplo que existen otros dos puntos de tangencia en donde no hay extremos; esto demuestra que la condición de tangencia de la curva de nivel con la curva de restricción para la existencia de un extremo, es solamente una condición necesaria pero no suficiente *Temas de Lectura Campos Escalares y Campos Vectoriales En este capítulo consideramos las funciones de subconjuntos U R n (n > 1) a R m (m 1). Cuando m = 1, las funciones f : U R n R x f( x ) x = (x1, x 2,..., x n ), le llamaremos campos escalares o funciones de varias variables. Un campo escalar asigna a cada vector x un número real f( x ) R. Cuando m > 1, definiremos los campos vectoriales como funciones F : U R n R m x F ( x ) F ( x ) = (f1 ( x ), f 2 ( x ),..., f m ( x )) donde cada una de las componentes de F, f i : U R n R son campos escalares o funciones de varias variables. Hablaremos de un campo vectorial sobre R n cuando F : U R n R n. Un campo vectorial asigna a cada vector x un vector F ( x ) R m. Ver la figura en caso de campo vectorial sobre R 2 y R 3 respectivamente. 65

66 De acuerdo a la definición de campo vectorial, podemos inicialmente hacer un análisis de los campos escalares que naturalmente extenderemos a los campos vectoriales. Veamos algunos ejemplos de campos escalares y campos vectoriales: Ejemplo En el plano xy el dominio natural de y x 2 f(x, y) = x 2 + (y 1) 2 es U = {(x, y) : y x 2 } (, 1). Ejemplo Si z = f(x, y) = x2 4y 2 y observemos que z. El dominio de f es el conjunto U = {(x, y) : 36 9x 2 4y 2 }. Ejemplo En el caso de z = y 2 x 2, el dominio U = R 2. Definición El rango de una función de varias variables f : U R o campo vectorial F : U R n R m es el conjunto representado por R f o R F definido por R f = {f( x ) R : x U} o respectivamente. R F = { F ( x ) R m : x U} Definición Dada una función de varias variables o campo escalar f : U R n R, la gráfica de f es definida como el conjunto Gr(f) = {(x 1, x 2,..., x n, x n+1 ) : x n+1 = f(x 1, x 2,..., x n ), (x 1, x 2,..., x n ) U}. De esta definición podemos observar que la gráfica de f está en R n+1. Si n = 1, tenemos una función real cuya gráfica está en el plano, mientras que si n = 2, la gráfica se encuentra en R 3. En este último caso diremos que la gráfica es una superficie Derivada en una dirección de un campo escalar en R n. Derivadas direccionales y parciales. Sea f : U R n R un campo escalar y a un punto interior a U. Deseamos estudiar la variación de f cuando nos desplazamos desde a a un punto próximo. En general, la variación de f dependerá de la dirección en la cual nos movemos 66

67 a partir de a. Supongamos que se presenta esa dirección mediante un vector y. Esto es, supongamos que nos movemos desde a hacia otro punto a + y, siguiendo el segmento de recta que une a con a + y. Cada punto de este segmento tiene la forma a + t y, donde t es un número real. Mantengamos t pero lo bastante pequeño para que a + t y U y definamos el cociente de diferencias f( a + t y ) f( a ) t El numerador de este cociente pone de manifiesto el cambio de la función cuando nos desplazamos desde a a a +t y. El cociente denomina a su vez el promedio de variación de f en el segmento de recta que une a a a + y. Nos interesa el comportamiento de esa cociente cuando t. Definición Sea f : U R n R un campo escalar y a un punto interior a U y y R n un punto arbitrario.. La derivada de f en a con respecto a y se representa con el símbolo f (a; y ) y se define f (a; y ) = lím t f( a + t y ) f( a ) t cuando tal límite existe. En particular, cuando y es un vector unitario, es decir y = 1, la distancia entre a y a + t y es t. En tal caso el cociente de diferencias representa el promedio de variación de f por unidad de distancia a lo largo del segmento de recta que une a con a + y y la derivada f (a; y ) se denomina derivada direccional. Además, si y = e k (el vector k -ésimo coordenado unitario) la derivada direccional f (a; e k ) se denomina derivada parcial respecto a e k y se denota por f x k ( a ). Ejemplo En R 2 los vectores coordenados unitarios son los vectores i y j. Si a = (x, y ) las derivadas parciales f ( a ;i) y f ( a ;j) también se escriben f ( a ;i) = f x (x, y ) = f x (x, y ), f ( a ;j) = f y (x, y ) = f y (x, y ) En R 3, los vectores coordenados unitarios son los vectores i, j y k. Si a = (x, y, z ) las derivadas parciales f (a; i), f (a; j) y f (a; k) se escriben respectivamente como f x (x, y, z ) = f x (x, y, z ), f z (x, y, z ) = f z (x, y, z ) f y (x, y, z ) = f y (x, y, z ), 67

68 De acuerdo a la definición de derivada en una dirección, las derivadas parciales f x (x, y ) y f y (x, y ) pueden expresarse f x (x, y ) = f y (x, y ) = f(x + h, y ) f(x, y ) lím h h f(x, y + h) f(x, y ) lím h h para y = y fijo para x = x fijo En lugar de calcular f x (x, y ) y f y (x, y ) en forma directa a partir de las definiciones, lo usual es encontrar f x (x, y ) y f y (x, y ) mediante las reglas ordinarias de derivación; después se sustituyen x = x e y = y. Ejemplo Si f(x, y) = x 2 sen (xy 2 ), encuentre f x ( π 4, 1) y f y( π 4, 1). Solución. f x (x, y) = 2xsen (xy2 ) + x 2 cos(xy 2 ) y 2 = 2xsen (xy 2 ) + x 2 y 2 cos(xy 2 ) Sustituyendo x = π 4 f y (x, y) = x2 cos(xy 2 ) 2xy = 2x 3 y cos(xy 2 ) y y = 1 se calculan f x ( π 4, 1) = 2 π ( π ( π ) 2 ( π 2(π 2 4 sen 4 12) + 12 cos ) + 8π) = 32 f y ( π ( π ) 3 ( π 2 4, 1) = 2 cos ) = 64 π Diferenciabilidad de un campo escalar en R n. Definición Un campo escalar f : U R, donde U es un conjunto abierto de R n es diferenciable en si existe un vector f( a ) R n tal que f( a + h ) f( a ) f( a ) h lím h h =. (2.2) Si definimos E(a; h) = f( a + h ) f( a ) f( a ) h h tendríamos de acuerdo a la definición, f es diferenciable en a si y sólo si lím E( a ; h ) = h, 68

69 Podemos escribir o equivalentemente, f( a + h ) f( a ) f( a ) h = h E( a ; h ), f( a + h ) = f( a ) f( a ) h + h E( a ; h ), El vector f( a ) le llama el gradiente de f en a y al producto de f( a ) h se le llama la diferencial de f en a. Teorema Si f : U R es diferenciable en a, entonces es continua en a. Demostración. Puesto que f es diferenciable en a tenemos que lím E( a ; h ) =. h Además f( a + h )=f( a ) f( a ) h + h E( a ; h ), y tomando el limite cuando h tenemos que Por lo tanto f es continua en a. lím f( a + h ) =f( a ). h Teorema Sea f derivable en a. Entonces la derivada de f en a en la dirección del vector unitario y = (y 1, y 2, y n ) y f ( a ; y )= f( a ) y = n k=1 f( a ) y k x k Demostración. Si y = claramente f( a ) y = y f ( a ; y )=. Por consiguiente consideremos y. Como f es diferenciable en a tenemos que para h con h < r f( a + h )=f( a )+ f( a ) h + h E( a ; h ), donde lím h E( a ; h) =. Si tomamos t < r, entonces h = t y con t cumple que h <r y por lo tanto f( a + t y ) f( a )= f( a ) t y + t E( a ; y ). 69

70 Dividiendo por t tenemos Puesto que lím t t t Por lo tanto f( a + t y ) f( a ) t = ±1 tenemos que = f( a ) y + t t E( a ; y ). f( a + t y ) f( a ) lím = f( a ) y. t t f ( a ; y )= f( a ) y. Además, teniendo en cuenta que f ( a ; e k ) = f( a ) y y = u 1 e u n e n x k concluimos que f ( a ; y ) = f( a ) y = f( a ) (u 1e1 + +u nen ) n = u k f( a ) e k = k=1 n u k f ( a ; e k ) = k=1 n k=1 De aqu í podemos concluir que el vector gradiente es dado por f( ( f( a ) a )=,..., f( ) a ) x 1 x n f( ( a ) f( a ) u k =,..., f( ) a ) (u 1,...,u n ). x k x k x n Si f es diferenciable en a, existen todas las derivadas parciales. No obstante la existencia de todas las derivadas parciales no garantiza que f sea diferenciable en a. Ejemplo Consideremos la función xy 2 f(x, y) = x 2 + y 4 si (x, y) (, ) si (x, y) = (, ) Mostremos que f f (, ) y (, ) existen. Por definición x y f f ((, ) + ti) f(, ) f(ti) f(t, ) (, ) = lím = lím = lím = x t t t t t t 7

71 y f f ((, ) + tj) f(, ) f(tj) f(, t) (, ) = lím = lím = lím =. y t t t t t t Sin embargo la función no es continua en (, ). Observemos que f(x, ) = y f(, y) =. As í a través de los ejes coordenados f cuando nos acercamos al origen. Sin embargo si nos acercamos al origen sobre la parábola x = y 2 tenemos que f(y 2, y) = 1/2. As í f(x, y) 1/2 cuando x = y 2 y y. Puesto que f(, ) 1/2, f no es continua en (, ) y por lo tanto no puede ser diferenciable en (, ). Teorema (Condición suficiente de diferenciabilidad). Si existen las derivadas parciales f,..., f en cierta n-bola B( x 1 x a ; r ) y son continuas n en a, entonces f es diferenciable en a Regla de la cadena para campos escalares en R n. La regla de la cadena para funciones compuestas de una sola variable establece que si y = g(t) = f(r(t)), donde tanto f como r son funciones diferenciables, entonces g (t) = f (r(t))r (t) o dy dt = dy dr dr dt Ahora veremos como la regla de la cadena puede generalizarse para los campos escalares o funciones de varias variables. Teorema [Regla de la cadena] Sea f una función de n -variables definida en un conjunto abierto U R n y r una función vectorial r : J U donde J es un intervalo abierto. Definamos la función compuesta f r en J por g(t) = f(r(t)) donde t J. Sea t J en el que r (t) existe y tal que f es diferenciable en r(t). Entonces g (t) existe y g (t) = f( r(t)) r (t) Demostración. Sea a = r(t). Puesto que U es abierto existe una bola B( a ) U y tomemos h tal que r (t + h) B( a ). Sea y = r (t + h) r (t). Claramente si h entonces yb. ahora consideremos g(t + h) g(t) = f( r (t + h)) f( r (t)) = f( a + y) f( a ). Como f es diferenciable en a entonces f( a + y ) f( a ) = f( a ) y + y E( a ; y). 71

72 donde E( a ; y) cuando y. Ahora, g(t + h) g(t) = f( a ) ( r (t + h) r (t)) + r (t + h) r (t) E( a ; y ). Dividiendo por h obtenemos g(t + h) g(t) h Tomando h tenemos que = f( a ) ( r (t + h)) r (t)) r (t + h)) r (t) + h h g (t) = f( r (t)) r (t)). E( a ; y ). Si escribimos r en sus ecuaciones paramétricas x 1 = x 1 (t), x 2 = x 2 (t),..., x n = x n (t) podemos escribir g (t) en la forma g (t) = f ( a ) dx 1 f ( a ) dx n x 1 dt x n dt Cuando a describe una curva C, la derivada direccional de f en la dirección del vector tangente unitario T (t) se llama derivada direccional de f a lo largo de la curva C. Ejemplo Halle la derivada direccional de f(x, y) = x 2 3xy a lo largo de la parábola y = x 2 x + 2 en el punto (1, 2). Solución: El gradiente de f está dado por f(x, y) = ( f x, f ) = (2x 3y, 3x). y En el punto (1, 2) tenemos que f(1, 2) = ( 4, 3). La parábola la podemos parametrizar por r (t) = (t, t 2 t + 2). Observemos que para t = 1, r (1) = (1, 2) que es el punto dado. El vector velocidad es dado por r (t) = (1, 2t 1) y r (1) = (1, 1) el cual tiene norma r (1) = 2. Así Tb(1) = 1 2 (1, 1). Por lo tanto la derivada direccional a lo largo de la parábola en el punto (1, 2) es f ((1, 2); T(1)) = f(1, 2) 1 2 (1, 1) = 7 2 Ejemplo Suponga que se calienta un cilindro circular recto sólido y que su radio r aumenta a razón de.2 cm por hora y su altura h a.5 cm por hora. Encuentre la razón de aumento del área con respecto al tiempo, cuando el radio mide 1 cm y altura 1. 72

73 Solución: La fórmula del área total de un cilindro es S(r, h) = 2πrh + 2πr 2. En consecuencia, ds dt = S r dr dt + S h Cuando r = 1 y h = 1, dh dt = (2πh + 4πr)(,2) + (2πr)(,5) ds dt = (2π 1 + 4π 1)(,2) + (2π 1)(,5) = 58π cm2 por hora Ejemplo Suponga que w = x 2 y + y + xz, donde x = cosθ, y = sen θ, y z = θ 2. Encuentre dw/dθ y la evalúe para θ = π/3. Solución. dw dθ = w x dx dθ + w y dy dθ + w z dz dθ = (2xy + z)( sen θ) + (x2 + 1)(cosθ) + (x)(2θ) = 2 cosθ sen 2 θ θ 2 sen θ + cos 3 θ + cosθ + 2θ cosθ En θ = π/3, dw dθ = π2 3 ( ) π = 1 8 π Suponemos en seguida que z = f(x, y), donde x = x(s, t) e y = y(s, t) de modo que z es una función de dos variables z = f [x(s, t), y(s, t)] = h(s, t). Entonces, tiene sentido preguntar por z/ s y z/ t. + π Derivada en una dirección de un campo vectorial. Derivada direccional Definición ea F : U R m definido en un subconjunto U de R n. Sea a un punto interior de U y y R n, un punto arbitrario. Definimos la derivada F ( a ; y ) por la fórmula F ( a ; y ) = lím t F ( a + t y ) F ( a ) t Siempre que el límite exista. Observemos que esta derivada es un vector de R m. De acuerdo a la definición de límites para campos vectoriales podemos observar que F ( a ; y ) = (f 1 ( a ; y ), f 2 ( a ; y ),..., f m ( a ; y )) En el caso que y es un vector unitario, es decir y = 1, F ( a ; y ) se llama derivada direccional de un campo vectorial. 73

74 Diferenciabilidad de un campo vectorial Definición Diremos que un campo vectorial F es diferenciable en a si existe una matriz DF( a ) m n (la matriz Jacobiana) tal que F ( a + h ) F ( a ) DF( a ) h lím h h = De esta definición y por las propiedades de los límites diremos que está definición implica que cada componente de F, f i, es diferenciable en a. Denotemos por E( F ( a + h ) F ( a ) DF( a ) h a, h ) =. h Observemos que E( a, h ) es un vector de R m. Esto nos permite escribir F ( a + h ) = F ( a ) + DF( a ) h + h E( a, h ) y decir que un un campo vectorial F es diferenciable en a si existe una matriz DF( E( a ) m n tal que la igualdad anterior se cumple donde lím h a, h ) =. Esta fórmula es conocida como fórmula de Taylor de primer orden. válida para todo h con h < r para cierto r >. La matriz DF( a ) la llamaremos la derivada de F en a. Vamos a demostrar que la matriz DF( a ) es DF( a ) = (i = 1,..., m) es el gradiente de la función f i (i = 1,..., m). Observemos que f 1.. f m donde f i F ( a + h ) F ( a ) = (f1 ( a + h ),..., f m ( a + h )) (f 1 ( a ),..., f m ( a )) = (f 1 ( a + h ) f 1 ( a ),..., f m ( a + h ) f m ( a )) Como cada componente f i es diferenciable tenemos que f i ( a + h ) f i ( a ) = f i h + h E i ( a, h ) donde lím h E i ( a, h ) =. Por lo tanto 74

75 F ( a + h ) F ( a ) = (f1 ( a + h ),..., f m ( a + h )) (f 1 ( a ),..., f m ( a )) = (f 1 ( a + h ) f 1 ( a ),..., f m ( a + h ) f m ( a )) = ( f 1 h + h E 1 ( a, h ),..., f m h + h E m ( a, h )) = ( f 1 h,..., f m h ) + ( h E 1 ( a, h ),..., h E m ( a, h )) = ( f 1 h,..., f m h ) + h (E 1 ( a, h ),..., E m ( a, h )) Si DF( a ) h = ( f 1 h,..., f m h ) y E( a, h ) = (E 1 ( a, h ),..., E m ( a, h )) tenemos que F ( a + h ) = F ( a ) + DF( a ) h + h E( a, h ) donde lím h E( a, h ) =. Esto implica que DF( a ) = Observemos también que f 1 f 2.. f m = [ ] T f 1 f 2 f m. F ( a ; y ) = (f 1 ( a ; y ), f 2 ( a ; y ),..., f m ( a ; y )) = ( f 1 h, f 2 h,..., f m h ) = DF( a ) h Esta fórmula nos permite determinar fácilmente la derivada F ( a ; y ). Ejemplo Supongamos que T : R n R m es una transformación lineal. (Una transformación lineal es un ejemplo particular de campo vectorial). Vamos a mostrar que T es difenciable y que DT( x ) = a donde a es la matriz m n asociada a T,esto es T ( x ) = a x. T (x + h ) T ( x ) a h lím h h A( x + h ) a x a h = lím h h a x + a h a x a h = lím h h = 75

76 entonces DT( x ) = A Así todos las transformaciones lineales son campos vectoriales diferenciables. Ejemplo Si f : U R n R es un campo escalar diferenciable sobre un conjunto abierto U, entonces f : U R n R n es un campo vectorial dado por f = ( f x 1, f x 2,..., f x n ) Si cada una de las derivadas parciales es diferenciable tenemos que podemos encontrar la matriz Jacobiana de f, D f, la cual en algunos textos se denota por 2 f( x ) y es igual a 2 f x f( 2 f x ) = x 2 x 1 2 f x n x 1 2 f x 1 x 2 2 f x f x n x 2 2 f x 1 x n 2 f x 2 x n 2 f x 2 n Regla de la cadena para campos vectoriales. Teorema [Regla de la cadena] Sea F una función vectorial definido en un conjunto abierto U R n y r una función vectorial r : J U donde J es un intervalo abierto. Definamos la función compuesta F r en J por G(t) = F ( r (t)) donde t J. Sea t J en el que r (t) existe y tal que F es diferenciable en r (t). Entonces G (t) existe y G (t) = D F ( r(t)) r (t) Demostración. Sea a = r (t). Puesto que U es abierto existe una bola B( a ) U y tomemos h tal que r (t+h) B( a ). Sea y = r(t+h) r(t). Claramente si h entonces y. ahora consideremos G(t+h) G(t) = F ( r (t + h)) F ( r (t)) = F ( a + y ) F ( a ). Como F es diferenciable en a entonces F ( a + y ) F ( a ) = D F ( a ) y + y E( a ; y ). T donde E( a ; y) cuando y. Ahora, G(t + h) G(t) = D F ( a ) (r(t + h) r(t)) + r(t + h) r(t) E ( a ; y ). 76

77 Dividiendo por h obtenemos G(t + h) G(t) h = D F ( a ) ( r (t + h)) r (t)) r (t + h)) r (t) + E( a ; y ). h h Tomando h tenemos que G (t) = D F ( r (t)) r (t). En el caso general de la composición de dos campos vectoriales tenemos que Teorema [Regla de la cadena general] Sea F y G dos campos vectoriales en un abierto U donde la función compuesta H = F G esta bien definida por H( x ) = F ( G( x )) donde x U.. Sea x U en el que D G (x) existe y tal que F es diferenciable en G( x ). Entonces D H( x ) existe y que es el producto de las dos matrices. D H( x ) = D F ( G( x ))D G( x ). Demostración. Sea a = G( x ). Puesto que U es abierto existe una bola B( a ) U y tomemos h tal que r (t + h) B( a ). Sea y = G( x + h ) G(( x ). Claramente si h entonces y. ahora consideremos H( x + h ) H( x ) = F ( G( x + h )) F ( G( x )) = F ( a + y ) F ( a ). Como F es diferenciable en a entonces F ( a + y ) F ( a ) = D F ( a ) y + y E( a ; y ). donde E( a ; y) cuando y. Ahora, H( x + h ) H( x ) = DF ( a ) G((x + h) G((x) + G((x + h) G((x) E ( a ; y ). = D F ( [ a ) D G(x) h + ] h E(x, h) + [ D G(x) h + h ] E(x, h) E( a ; y ) = D F ( a ) D G(x) h + D F ( a ) h E(x, h) + [ D G(x) h + h ] E(x, h) E( a ; y ). 77

78 Dividiendo por h obtenemos H( x + h ) H( x ) DF ( a ) DG(x) h h D G(x) h + h E(x, h) E( a ; y ). h = D F ( a ) E(x, h) + Tomando h tenemos que D H( x ) = D F ( G( x ))D G( x ) Definición Divergencia de un campo vectorial. Sea F : U R n R n donde U es un subconjunto de R n un campo vectorial dado por F ( x ) = (f 1 ( x ), f 2 ( x ),..., f n ( x )) x = (x1, x 2,..., x n ). Definimos la divergencia de F como div F = f 1( x ) + f 2( x ) f n( x ). x 1 x 2 x n ( ) Si representamos =,,..., observemos que podemos denotar x 1 x 2 x n divf = F. Hay que tener en cuenta que la divergencia es un campo escalar. Ejemplo Sea F (x, y, z) = (x 2 y, xyz, x 2 z). La divergencia de F es div F = 2xy + xz + x 2. Ejemplo Sea F (x, y, z) = r r 3 = ( ) x r 3, y r 3, z r 3 = ( x r 3, y r 3, z r 3 ),. donde r = r = x 2 + y 2 + z 2. Sean f 1 = x r 3, f 1 = y r 3, f 2 = z r 3. Entonces f 1 x f 2 y f3 z = = = r 3 x ( r 3) r 3 3xr 2 (r) r 3 3xr 2 x x r 6 = x r 6 = r r 6 r 3 x ( r 3) r 3 3yr 2 (r) y y r 3 3yr 2 y r 6 = r 6 = r r 6 r 3 x ( r 3) r 3 3zr 2 (r) r 3 3yr 2 z z r 6 = z r 6 = r r 6 78 = r3 3x 2 r r 6, = r3 3y 2 r r 6, = r3 3z 2 r r 6.

79 Sumando estas derivadas tenemos que div F = f 1 x + f 2 y + f 2 y = 3r3 3r 3 r 6 =. Definición Rotacional de un campo vectorial. Sea F : U R 3 R 3 donde U es un subconjunto de R n un campo vectorial dado por F (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) Definimos el rotacional de F al vector definido por rot ( R F = y Q z, P z R x, Q x P ) y Observación El rotacional se puede ver como i j k rot F = F = x y z P Q R Observación En el caso que F (x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) definiremos el rotacional de F como i j k rot ( Q F = = x y x P ) k y P Q Observación Si el vector rot F =, diremos que es campo vectorial es un campo irrotacional.. Ejemplo Sea F (x, y, z) = ( x, xy+y, 2x xz), entonces el rotacional es dado por i j k rot F = = ( x, xy + y, 2x xy) = xi+(xy + y)j xyk. x y z xyz x 2 xy 79

80 Definición Laplaciano de un Campo Escalar. Sea f(x, y, z) un campo escalar.diferenciable con derivadas de orden dos, definimos el Laplaciano de f, f, como la divergencia del gradiente de f, esto es f = div( f) = div( f x, f y, f y ) = 2 f x f y f y 2 En el caso de dos variables f(x, y) tenemos f = div ( f) = 2 f x f y 2 Ejemplo Sea f(x, y) = x 3 3xy 2. Hallar el Laplaciano de f. f x = 3x2 3y 2 f = 6xy 2 f x 2 = 6x 2 f y 2 = 6x Entonces f =. Definición Una función escalar cuyo Laplaciano es cero, esto es f =, se llama función armónica Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares Teorema Sea f un campo escalar con derivadas de orden dos continuas en una bola B r ( a ). Entonces para todo y R n tal que a + y B r ( a ), tenemos que f( a + y ) = f( a ) + f( a ) y + 1 2! y H( a + c y ) y, < c < 1, donde H es la matríz Hessiana de f. También podemos escribir f( a + y ) = f( a ) + f( a ) y + 1 2! y H( a ) y + y E 2 ( a ; y ), donde lím y E 2 ( a ; y ) =. Demostración. Fijemos y R n. Definamos la función g(t) = f( a + t y ), t 1. 8

81 Claramente g() = f(a) y g(1) = f( a + y ). Por lo tango f( a + y ) f( a ) = g(1) g(). Como g es una función real, aplicamos la fórmula de Taylor de orden 2 en el intervalo [, 1]. As í g(1) = g() + g () + 1 2! g (c), < c < 1 (Resultado de Cálculo I). Aplicando regla de la cadena a g tenemos que g (t) = f( a + t y ) y = n i=1 f( a + t y ) y i x i = f( a + t y ) y 1 + f( a + t y ) y f( a + t y ) x 1 x 2 x n As í g () = f( a ) y. Calculamos la segunda derivada de g aplicando nuevamente regla de la cadena [ g (t) = f( a + t y ) ] [ y y 1 + f( a + t y ) ] y y x 1 x 2 As í, = [ f( a + t y ) x n y ] y n [ 2 f( a + t y ) x 2 y f( a + t y ) y f( a + t y ) 1 x 2 x 1 x n x 1 [ 2 f( a + t y ) + y f( a + t y ) x 1 x 2 x 2 2 y n y n y f( a + t y ) y n x n x 2. [ 2 f( a + t y ) + y f( a + t y ) y f( a + t ] y ) y n y n. x 1 x n x 2 x n g (t) = n n i=1 j=1 y por lo tanto as í demostramos que x 2 n 2 f( a + t y ) x i x j y i y j = y H( a + c y ) y. g (c) = y H( a + c y ) y. ] y 1 ] y 2 f( a + y ) = f( a ) + f( a ) y y H( a + c y ) y, < c < 1. 81

82 Para demostrar la segunda parte, definamos y y E 2 ( a ; y ) = 1 y [H( a + c y ) H(a)] y, 21 En este caso tenemos que E 2 ( a ; ) =. y f( a + y ) = f( a ) + f( a ) y + 1 2! y H( a ) y + y E 2 ( a ; y ). Vamos a mostrar que lím y E 2 ( a ; y ) =. y 2 E 2 ( a ; y ) = n n { 2 f( a + t y ) 2 f( } a ) y i y j x i=1 j=1 i x j x i x j n n 2 f( a + t y ) 2 f( a ) x i x j x i x j y 2. i=1 j=1 As í dividiendo por y tenemos que E 2 ( a ; y ) n i=1 j=1 n 2 f( a + t y ) 2 f( a ) x i x j x i x j. puesto que 2 f x i x j son continuas en a, entonces 2 f( a + t y ) lím = 2 f( a ) y x i x j x i x j Por lo tanto lím y E 2 ( a ; y ) = y esto implica que lím y E 2 ( a ; y ) = Naturaleza de un punto crítico teniendo como criterio los valores propios de la matriz Hessiana Si a es un punto crítico de f tenemos que f(a) =. En este caso f( a + y ) = f( a ) + 1 2! y H( a ) y + y E 2 ( a ; y ). Teorema Sea A = (a ij ) una matriz n n y simétrica. Supongamos que Q(y) = y A y = n n a ij y i y j. Entonces i=1 j=1 82

83 1. Q( y ) > y los valores propios de A son positivos. 2. Q( y ) < y los valores propios de A son negativos. Demostración. Por ser A una matriz simétrica, A es diagonalizable, esto es existe una matriz P ortogonal (P = P) tal que P T AP = D = diag(λ 1, λ 2,, λ n ) donde λ i i=1,...,n son valores propios de A los cuales son reales. Haciendo y = xp, tenemos Q(y) = y A y = xp AP x = xd x = n λ i x 2 u Claramente y, x. Si los valores propios de A son positivos entonces Q(y) >. Ahora si Q(y) > y, tenemos en particular que si y = e i P, donde e i = (,, 1, ) es el k-esimo vector unitario de la base usual tenemos que Q(y) = λ i >. La parte (2) se prueba de manera similar. Teorema Sea f un campo escalar con derivadas de orden dos continuas en una bola B r ( a ). Sea H( a ) la matriz Hessiana en un punto estacionario a. Entonces: 1. Si todos los valores propios de H( a ) son positivos entonces f tiene un mínimo relativo en a. 2. Si todos los valores propios de H( a ) son negativos entonces f tiene un máximo relativo en a. 3. Si H( a ) tiene valores propios negativos y positivos entonces f tiene un punto silla en a. Demostración. sea Q(y) = y H( a ) y y puesto que f(a) =, tenemos que donde i=1 f( a + y ) f( a ) = 1 2! y H( a ) y + y E 2 ( a ; y ). lím E 2 ( a ; y ) =. Vamos a mostrar que existe r >, tal que y < y < r, talque f( a + y ) f( a ) tiene el mismo signo que Q(y). Supongamos que los valores propios de H( a ) son positivos λ 1, λ 2,, λ n.si h = mín{λ 1, λ 2,, λ n } y < t < h entonces λ 1 t, λ 2 t,, λ n t son también positivos. Estos son los valores propios de H( a ) ti, siendo I la matriz idéntica n n. Por lo tanto la forma cuadrática y (H( a ) ti) y > y de acuerdo al teorema anterior. Por lo que concluimos que y H( a ) y > t y 2 < t < h. 83

84 Tomando t = 1 2 h tenemos Q(y) > 1 2 h y 2 y. Puesto que lím y E 2 ( a ; y ) =, existe r > tal que E 2 ( a ; y ) < 1 4 h con tal que < y < r. Para tales y tenemos Esto demuestra que y E 2 ( a ; y ) < 1 4 h < 1 2 Q(y). f( a + y ) f( a ) 1 2 Q(y) y E 2 ( a ; y ) > Por consiguiente f tiene un mínimo relativo en a. En la misma forma se prueba (2). Para mostrar (c) supongamos que λ 1 y λ 2 son valores propios de H( a ) con signos opuestos. Sea h = mín{ λ 1, λ 2 }, para < t < h entonces λ 1 t, λ 2 t son valores propios de H( a ) ti de signos opuestos. Por lo tanto La forma cuadrática y (H( a ) + ti) y toma valores positivos en una vecindad de a. Nuevamente, puesto que lím E 2 ( a ; y ) =, existe r > tal que y E 2 ( a ; y ) < 1 4 h con tal que < y < r. Para tales y tenemos que el signo de f( a + y ) f( a ) es el mismo que el de Q(y). Entonces tenemos en la vecindad de a valores positivos y negativos de f. por lo tanto f tiene un punto silla en a Criterio para determinar extremos de funciones de dos variables Teorema [Condiciones suficientes para los extremos] Supóngase que f(x, y) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de a y que f( a ) =. Sea A = 2 f( a ) x 2, B = 2 f( a ) x y, C = 2 f( a ) y 2 y H( [ ] A B a ) = B D y D = det(h( a )). Entonces 1. Si D > y 2 f( a ) x 2 >, entonces tiene un mínimo relativo en a. 2. Si D > y 2 f( a ) x 2 <, entonces tiene un máximo relativo en a. 3. Si Si D <, entonces tiene un punto silla en a. 4. Si D =, el criterio no decide nada. 84

85 Demostración. Para calcular los valores propios de la matriz Hessiana, hallamos la ecuación característica det(λi H( a )) =, teniendo la ecuación en λ, λ 2 (A + C)λ + D = donde D = det(h( a )). Los valores propios λ 1 y λ 2 están ligados por la relación λ 1 + λ 2 = A + C y λ 1 λ 2 = D. Claramente si D > entonces ambos valores propios son positivos o negativos. Como D = AC B 2 y D > entonces AC > B 2. Entonces A y C tienen el mismo signo. Por lo tanto si A es positivo entonces C es positivo y esto implicaríáa que λ 1 y λ 2 serían positivos y por lo tanto a es un punto mínimo de f. Similarmente si A es negativo entonces C es negativo y esto implicaría que λ 1 y λ 2 serían negativos y por lo tanto a es un punto máximo de f. En forma similar se demuestra (3). D <, entonces los valores propios de H(a)serían de signo opuesto y por lo tanto f tiene un punto silla en a Ley de la conservación de la energía. Campos conservativos Definición Sea U un abierto de R n. Un campo vectorial sobre U, se dice que es un campo conservativo si existe una campo escalar ϕ talque F = ϕ. A la función ϕ se le llama energíá potencial Supongamos que una partícula de masa m se desplaza a lo largo de una curva derivable r(t) y supongamos que la partícula cumple la segunda ley de Newton: F( r(t)) = m r (t) para todo t donde r(t) esté definido. Por ser F un campo conservativo tenemos que F(X) = mr (t) = ϕ( r(t)) = mr (t) + ϕ( r(t)) =. Multiplicando escalarmente esta última ecuación tenemos que m r (t) r (t) + ϕ( r(t)) r (t) = Observando que y 1 (t) 2 mdv2 = mr (t) r (t) dt dϕ( r (t)) = ϕ( r(t)) r (t), dt 85

86 tenemos que ( d 1 dt 2 mv2 (t) + ϕ( ) r (t)) = De lo cual concluimos que la función 1 2 mv2 (t) + ϕ( r (t)) es una constante. Este resultado se conoce como la ley de la conservación de la energía. La función 1 2 mv2 (t) se le llama la energía cinética y a la función ϕ( r (t)) energía potencia. Por lo tanto la ley de la conservación dice que la suma de la energía cinética y potencial es una constante. Observemos que si el dominio de definición de la curva es [a, b], tenemos por la ley de la conservación de la energía que 1 2 mv2 (b) + ϕ( r (b)) = 1 2 mv2 (a) + ϕ( r (a)) O sea que la diferencia de la energía cinética es igual a la diferencia de la energía potencial, esto es 1 2 mv2 (b) 1 2 mv2 (a) = ϕ( r (a)) ϕ( r (b)) La mayor parte de los campos de la física clásica son conservativos.por ejemplo consideremos una fuerza que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto al origen y que tiene la dirección del vector posición. Entonces existe una constante C tal que ya que F ( x ) = C 1 x 2 x x x x es un vector unitario en la dirección de x. Así F ( x ) = C 1 x 3 x. Una función potencial para F es dada por ϕ( x ) = C x lo cual puede demostrarse calculando las derivadas parciales. 86

87 Capítulo 3 Integrales Múltiples 3.1. Integrales Dobles Vamos a considerar una función de dos variables f : S R 2 R. Subdividamos la región S en N subregiones S 1, S 2,...S N donde cada una de ellas está acotada por una curva simple cerrada suave a trozos y de área A k = área(s k ). en donde (x k, y k ) es cualquier punto en la subregión S k. Denotemos por d k el diámetro de la región S k ( la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera en S k ) y por norma de la partición P = max 1 k N {d k }. Formemos la suma N f(x k, y k ) A k k=1 87

88 Definición Definimos la integral doble de f sobre S, denotada por S f(x, y)da ó S f(x, y)dxdycomo S N f(x, y)da = lim P f(x k, y k ) A k si el límite existe y es independiente de las particiones {S k } y de los puntos {(x k, y k )}. k=1 Puede mostrarse que si f es acotada y continua en S, f será integrable, es decir la integral existe. Nota. Frecuentemente se subdivide S mediante rectas paralelas a los ejes coordenados. Puede darse el caso donde hayan subregiones no rectangulares. Sin embargo la partición puede hacerse tan fina que estas subregiones pueden despreciarse y puede mostrarse que la suma de estas regiones es despreciable. En este caso el área de cada subrectángulo es x i y j y se tiene que S f(x, y)dxdy = lim P n i=1 j=1 m f(x i, y j ) x i y j Observemos que hemos reemplazado da por el símbolo dxdy. Nota. Si f(x, y) = 1 tenemos que Área(S) = da = dxdy S S Propiedades de la Integral doble Se puede demostrar que la integral cumple las mismas propiedades de la integral unidimensional como son: 1. S [c 1f(x, y)+c 2 g(x, y)]dxdy = c 1 S f(x, y)dxdy+c 2 S g(x, y)dxdy 2. Si S = S 1 S 2 y S 1 S 2 = φ, entonces f(x, y)dxdy = f(x, y)dxdy + f(x, y)dxdy S 1 S 2 S 88

89 3. si f g entonces f(x, y)dxdy g(x, y)dxdy S S En particular si f entonces f(x, y)dxdy S El siguiente teorema nos permite calcular las integrales de funciones continuas en términos de las integrales unidimensionales en el rectángulo S = [a, b] [c, d] Teorema Sea f : S = [a, b] [c, d] R. Si f es continua entonces f(x, y)dxdy = b ( ) d f(x, y)dy dx = d S a c c a ( ) b f(x, y)dx dy Nota. Esta forma de calcular la integral doble se le llama cálculo de la integral doble en forma iterada Integración en regiones más generales Consideraremos dos tipos de regiones. Región tipo I. Está descrita por el conjunto S = {(x, y) : a x b, φ 1 (x) y φ 2 (x)} esto es, la región acotada a izquierda y derecha por líneas rectas y arriba y abajo por las funciones φ 2 (x) y φ 1 (x) como se muestra en la figura abajo. 89

90 En este caso las integrales iteradas toman la forma ( b ) φ2(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx S Región tipo II. Está descrita por el conjunto a φ 1(x) S = {(x, y) : c y d, φ 1 (y) x φ 2 (y)} esto es, la región acotada arriba y abajo por lineas rectas horizontales y a izquierda y a derecha por las funciones φ 1 (y) y φ 2 (y) como se ve esquematizado en la gráfica abajo. 9

91 En este caso, las integrales iteradas toman la forma ( d ) φ2(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy S c φ 1(y) Una región puede ser al mismo tiempo de tipo I ó tipo II. Por ejemplo, la región que se muestra en la figura abajo. De tipo I se describe en la forma S = { (x, y) : x 1, x 2 y x } y de tipo II en la forma S = {(x, y) : y x y, y 1} Cálculo de integrales dobles: áreas y volúmenes. 1. Sea S = {(x, y) : a x b φ 1 (x) y φ 2 (x)}. Si hacemos f(x, y) = 1 para todo (x, y) S tenemos que S dxdy = b φ2(x) a [ φ 1(x) dy]dx = b [y φ2(x) a b φ ]dx = 1(x) [φ 2 (x) φ 1 (x)]dx Así, el área de S está dada por S dxdy. 2. Sea f > y continua en S. Supongamos que S es de tipo I y consideremos el sólido limitado por la gráfica de z = f(x, y) y por la región S. Claramente φ2(x) φ 1(x) f(x, y)dy representa el área de la sección transversal que se obtiene al cortar el sólido por un plano paralelo al plano yz. (Ver figura). a 91

92 Por lo tanto podemos definir el volumen del sólido como V ol(sol) = b φ2(x) a [ φ 1(x) f(x, y)dy]dx = S f(x, y)dxdy El mismo razonamiento para regiones de tipo II. En general si f(x, y) g(x, y) la integral [g(x, y) f(x, y)]dxdy S representa el volumen del sólido limitado entre las dos superficies. Ejemplo Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 Solución. El sólido está comprendido entre las gráficas de z = f(x, y) = R2 x 2 y 2 y z = g(x, y) = R 2 x 2 y 2. La región S = { (x, y) : x 2 + y 2 R 2. } V ol (V ) = S [f(x, y) g(x, y)]dxdy = 2 S f(x, y)dxdy = 8 R [ R 2 x 2 R2 x 2 y 2 dy]dx Hagamos A = R 2 x 2 o sea A 2 = R 2 x 2 por lo tanto r 2 x 2 y 2 = A2 y 2 = A 1 ( y A )2. Si hacemos el cambio de variable y = asenθ en- 92

93 tonces dy = a cos θdθ y obtenemos V ol(v ) = 2 f(x, y)dxdy S [ R ] R 2 x 2 = 8 R2 x 2 y 2 dy dx = 8 = 8 = 8 R [ ] π/2 A 2 1 sen 2 θ cosθdθ dx R π [ A 2 cos 2 θdθ]dx = 8 R A 2 π/2 R 1 cos2θ 2 [ ] R 2 x 2 A2 y 2 dy dx = 1 2 θ R π = 8 4 A2 dx = 8 π R (R 2 x 2 )dx 4 = 2π (R 2 x x3 R 3 ) = 2π(R 3 R3 3 ) = 2π2 3 R3 = 4 3 πr3. Ejemplo Dibujemos la región de integración de 1 x [ f(x, y)dy]dx x 2 La región de integración está dada por S = (x, y) : x 1, x 2 y x π/2 dx Observemos que la región S puede ser descrita por S = {(x, y) : y x y, x 1} Así, la integral la podemos escribir como 1 x [ y x 2 f(x, y)dy]dx = 1 y [ f(x, y)dx]dy 93

94 A este cambio en los limites de integración se le conoce como cambio en el orden de integración (invertir el orden de integración), lo que puede hacerse cuando la región es de los dos tipos al mismo tiempo. Muchas veces integrales que no podemos calcular en un orden determinado, podemos resolverla invirtiendo su orden como se puede ver en el ejemplo a continuación: Ejemplo Evaluar la integral 6 2 [ x/3 La región de integración es de tipo I: x y 3 + 1dy]dx S = (x, y) : x 6, x/3 y 2 Observemos que la integral y no tiene antiderivada elemental. Como S también es de tipo II, podemos invertir el orden de integración y obtenemos la descripción S = {(x, y) : y 2, x 3y} Así la integral la podemos expresar como 6 2 [ x/3 x y 3 + 1dy]dx = = 2 3y [ 2 x y 3 + 1dx]dy = 2 3y y3 + 1[ xdx]dy 2 y3 + 1[ x2 2 3y ]dy = 9 2 y2 y 3 + 1dy = (y 3 + 1) 3/2 2 = 27 1 = 26 94

95 Cambio de variable En el caso de la integral de una variable, el método de sustitución nos permitía transformar la integral a una integral más simple. Recordemos que si tenemos que resolver la integral b a f(x)dx y hacemos un cambio de variable x = g(t) de tal manera que la función sea diferenciarle, tenemos que dx = g (t)dt y el cambio de variable lo escribimos como b a f(x)dx = g 1 (b) g 1 (a) f(g(t))g (t)dt En el caso de dos dimensiones tenemos un resultado similar. Sin entrar en muchos detalles, consideremos un campo vectorial T : R 2 R 2 que transforma un conjunto cerrado U en un conjunto Ω, esto es T : U Ω es uno a uno y sobre. Denotando T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) y asumiendo que T es diferenciable, diremos que T define un cambio de variables de las variables (u, v) a las variables (x, y). Escribiendo x = x(u, v), y = y(u, v) consideramos la matriz (x, y) (u, v) = [ x y] = [ x u x v llamada matriz Jacobiana, que jugará un papel importante más adelante. Su ) determinante es llamado el Jacobiano de T, denotado JT(u, v) ó det. y u y v ] ( (x,y) (u,v) Ejemplo (Coordenadas Polares) Recordemos que otro sistema de coordenadas en el plano además de las coordenadas cartesianas (x, y) de un punto P son las coordenadas polares del punto P definidas por (r, θ) donde r = OP, distancia del origen al punto P y θ es el ángulo entre el vector OP y el eje x, medido en el sentido positivo ( o dirección contraria a las manecillas del reloj) desde a 2π. Esto es r = x 2 + y 2 y hallamos θ tal que tanθ = y x, donde si y >, entonces θ se toma θ π y si y <, entonces θ se toma π < θ 2π. Si x = y y > se toma θ = π 2. Si x = y y < se toma θ = 3π 2. Recíprocamente si un punto P está dado en coordenadas polares (r, θ), entonces las coordenadas cartesianas de P(x, y) están dadas por x = r cosθ y = rsenθ. 95

96 Observemos que también podríamos escoger en lugar del intervalo [, 2π) para los valores de θ, cualquier intervalo de longitud 2π. Otro intervalo que se utiliza también es el intervalo ( π, π). Definamos la función (x, y) = T(r, θ) = (r cosθ, rsenθ) como un cambio de coordenadas polares a las coordenadas cartesianas. Observemos que en este caso la matriz Jacobiana está dada por [ ] (x, y) (r, θ) = cosθ senθ rsen θ r cosθ ([ ]) cosθ sen θ y su Jacobiano está dado por J = det = r. rsen θ r cosθ La función T transforma regiones rectangulares en el plano r θ en regiones circulares en el plano x y. Ejemplo La región rectangular para a > se transforma en la región U = {(r, θ) : r a, θ < 2π} S = B r (a) = { (x, y) : x 2 + y 2 a 2}. Ejemplo La región rectangular para a > U = {(r, θ) : a r b, θ < 2π} se transforma en la región S = B r (a) = { (x, y) : a 2 x 2 + y 2 b 2}. 96

97 La fórmula del cambio de variable Consideremos el cambio de variable { x = h1 (u, v) y = h 2 (u, v) (u, v) U donde asumimos que las funciones h 1, h 2 son campos escalares continuos y diferenciables y tal que a cada punto (x, y) S está en correspondencia 1-1 con los puntos (u, v) de U y además la curva que limita a U se envía en la curva que limita a S. Esto lo podemos definir más concretamente definiendo el campo vectorial F : U S dado por F (u, v) = (h1 (u, v), h 2 (u, v)) tal que F es un campo invertible es decir existe F 1 : S U. Si particionamos la región U en rectángulos pequeños de longitud u, v, las imágenes de estos rectángulos serán pequeños paralelogramos curvilíneos en la región S. 97

98 En la gráfica abajo vemos un zoom de este pequeño rectángulo y su correspondiente imagen curvilínea. Al rectángulo T i,j en el plano uv le corresponde la región curvilínea R i,j en el plano xy. Hallemos la relación entre el área del rectángulo T i,j con el área de R i,j. Área de T i,j Área a de R i,j = A(T i,j.) = u v = A(R i,j ) Q 1 Q 2 Q 1 Q 4 Calculando aproximadamente las coordenadas de los puntos Q 1, Q 2, Q 4 usando diferenciales y teniendo en cuenta que P 1 = (u, v), P 2 = (u + u, v), P 4 = (u, v + v) y Q 1 Q 2 Q 4 = (x 1, y 1 ) = F (u, v) = (h 1 (u, v), h 2 (u, v)) = (x 2, y 2 ) = F (u + u, v) = (h 1 (u + u, v), h 2 (u + u, v)) = (x 4, y 4 ) = F (u, v + v) = (h 1 (u, v + v), h 2 (u, v + v)) Usando diferenciales, (ver sección 2.3.4), los puntos x 2, y 2 los podemos aproximar por Así x 2 = h 1 (u + u, v) h 1 (u, v) + h 1 u (u, v) u = x 1 + h 1 (u, v) u u y 2 = h 2 (u + u, v) h 2 (u, v) + h 2 u (u, v) u = y 1 + h 2 (u, v) u u Q 2 (x 1 + h 1 u (u, v) u, y 1 + h 2 (u, v) u) u 98

99 Haciendo lo mismo con el punto Q 4 tenemos Ahora y Q 4 (x 1 + h 1 v (u, v) v, y 1 + h 2 (u, v) v). v ( h1 Q 1 Q 2 = Q 2 Q 1 ( h1 Q 1 Q 4 = Q 4 Q 1 Q 1 Q 2 Q 1 Q 4 u v Denotemos este determinante por J(u, v) = u (u, v) u, h 2 u ) (u, v) u ) v (u, v) v, h 2 (u, v) v v h 1 u h 2 u h 1 u h 2 u h 1 v h 2 v. h 1 v h 2 v k. Es llamado el Jacobiano del cambio de variable. Ahora, el área Área a de R i,j = área(r i,j ) Q 1 Q 2 Q 1 Q 4 u v J(u, v) = J(u, v) área(t ij ) Para calcular f(x, y)dxdy tenemos que S f(x, y)dxdy f(x i, y j ).(área(r i,j )) S f(h 1 (u i, v j ), h 2 (u i, v j )) J(u, v) área(t ij ) Tomando el límite cuando u, v se tiene que f(x, y)dxdy = f(h 1 (u, v), h 2 (u, v)) J(u, v) dudv S U Esta fórmula es conocida como la fórmula de cambio de variable para las integrales dobles. Ejemplo En coordenadas polares tenemos x = r cosθ, y = rsenθ 99

100 En este ejemplo r, θ hacen el papel de las variables u, v. Si r > y θ 2π tenemos una aplicación 1-1 y sobre. El Jacobiano de la transformación está dado por J(r, θ) = (x, y) (r, θ) = x y = cosθ rsen θ sen θ r cosθ = r entonces en el cambio a coordenadas polares tenemos que f(x, y)dxdy = f(r cosθ, rsenθ)rdrdθ. S T Ejemplo Calcular a2 x 2 y 2 dxdy S donde S = { (x, y); x a, y a 2 x 2}. Al hacer el cambio a coordenadas polares, tenemos que la región T que se transforma en S por dicho cambio es T = {(r, θ) : r a, θ π/2}y la integral se transforma en T a2 r 2 rdrdθ = a π/2 [ = π/2 (a2 r 2 ) 3/2 3 a a2 r 2 rdθ]dr = π/2 a2 r 2 rdr a = π 6 a3 Si multiplicamos este resultado por 8 obtenemos el volumen de la bola igual a 4 3 πa3. Ejemplo Calcular S e y x y+x dxdy donde S es la región limitada por la recta x + y = 2 y los ejes coordenados. Definamos el cambio de variable u = y x y v = y + x. Resolviendo para x y y obtenemos x = v u 2 y y = u+v 2 (ver figura) 1

101 Hallando el Jacobiano tenemos que J(u, v) = 1/2 Así la integral la podemos resolver en la forma e y x y+x dxdy = e u 1 v 2 dudv = 1 2 v e u 1 2 v dudv = ve u v v 2 2 v dv S T 2 v = 1 2 v(e 1 e )dv = e 1 e 3.2. Integrales Triples La definición de la integral doble se puede generalizar casi sin cambios a n- dimensiones, en particular, para n = 3, si f es continua definida en una región V del espacio R 3 acotada por una superficie cerrada tenemos que N (x, y, z)dv = lim P f(x k, y k, z k ) V k V En donde V k representa el volumen de cada subregión V k del sólido V. Como en el caso de integrales dobles a veces se usa en lugar de dv el símbolo dxdydz. El siguiente teorema nos permite calcular las integrales de funciones continuas en términos de las integrales unidimensionales en el cubo V = [a, b] [c, d] [e, f]. Teorema Sea f : V = [a, b] [c, d] [e, f] R. Si fes continua, entonces ( b ( d ) ) f f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dz dy dx. V a c Nota. En este teorema en particular, no importa el orden en el cual integremos, es decir, la integral triple puede calcularse también en el orden ( b ( f ) d )dz a e c f(x, y, z)dy dx ó en cualquier otro. e k=1 11

102 Regiones más generales Consideraremos tres tipos de regiones: Región tipo I Si el volumen V está limitado entre dos superficies z = z 1 (x, y), z = z 2 (x, y) con z 1 (x, y) z 2 (x, y) y S es la proyección de dicho volumen al plano xy. Entonces la integral se calcula en la forma ( ) z2(x,y) f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dz da. V Región tipo II S z 1(x,y) Si el volumen V está limitado entre dos superficies y = y 1 (x, z), y = y 2 (x, z) con y 1 (x, z) y 2 (x, z) y S es la proyección de dicho volumen al plano xz. 12

103 Entonces la integral se calcula en la forma ( ) y1(x,z) f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dy da. V Región tipo III S y 1(x,z) Si el volumen V está limitado entre dos superficies x = x 1 (y, z), x = x 2 (y, z) con x 1 (y, z) x 2 (y, z) y S es la proyección de dicho volumen al plano yz. Entonces la integral se calcula en la forma ( ) x1(y,z) f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dx da. V S x 1(y,z) Nota. El volumen de la región V está dado por Volumen(V ) = dv = V V dxdydz Nota. La integral doble sobre S que aparece en el cálculo de la integral triple, se calcula como vimos anteriormente, viendo si S es de tipo I ó tipo II. Por ejemplo, si V es de tipo I y S es también de tipo I, se tendría la integral iterada V f(x, y, z)dxdydz = b y2(x) z2(x,y) a y 1(x) z 1(x,y) f(x, y, z)dxdydz. Ejemplo Hallar la integral V xydxdydz donde V es el dominio limitado por los planos x + y + z = 1, el plano xy, y el plano xz. Consideremos un bosquejo de este volumen y su proyección sobre el plano xy. 13

104 Claramente podemos observar que la variable z está limitada por z 1 x y. La proyección S está definida por S = {(x, y) : x 1, y 1 x}. Así, la integral triple la calculamos así: 1 1 x 1 x y f(x, y, z)dxdydz = xydzdydx V = = 1 1 x 1 xy(1 x y)dydx (1/6)x(1 x) 3 dx = Cambio de variable en integrales triples. Dado un cambio de variables x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w), a un punto P(u, v, w) del espacio uvw le corresponde un punto del espacio xyz, es decir el sistema de ecuaciones establece una correspondencia 1-1 entre los puntos de ambos espacios. Un dominio V en el espacio uvw se corresponde biunívocamente con un volumen T en el espacio xyz. La siguiente es la fórmula del cambio de variable: f(x, y, z)dxdydz V = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J(u, v, w) dudvdw T donde J(u, v, w) = (x,y,z) (u,v,w) = x y z. Nota. Claramente si f = 1 entonces dxdydz = J(u, v, w) dudvdw V lo que implica que el J(u, v, w) es la razón de proporción entre el volumen V y el volumen T. Ahora estudiaremos algunos cambios de variable importantes. T 14

105 Coordenadas cilíndricas. Consideremos el sistema de coordenadas (r, θ, z) como se muestra en la figura Estas coordenadas están ligadas a las coordenadas (x, y, z) mediante las ecuaciones dadas por x = r cosθ, y = rsenθ, z = z Las coordenadas (r, θ, z) se llaman coordenadas cilíndricas del punto P ya que x 2 + y 2 = r 2. De este sistema de ecuaciones tenemos que el Jacobiano está dado por J(r, θ, z) = x y z = r y la fórmula del cambio de variable se expresa en la forma f(x, y, z)dxdydz = f(r cosθ, rsenθ, z)rdrdθdz V T Ejemplo Calcule la integral (x 2 + y 2 )dxdydz donde V es el volumen limitado por el casquete superior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 y cortada por el cilindro x 2 + y 2 = 1. 15

106 Utilizando coordenadas cilíndricas tenemos que este volumen puede verse como T = (r, θ, z) : r 1, θ 2π, z 4 r 2 Por lo tanto la integral está dada por (x 2 + y 2 )dxdydz = = = 2π 1 4 r 2 2π 1 4 r 2 2π Coordenadas esféricas. [ r 2 rdzdrdθ r 3 dzdrdθ r 2 4 r 2 dr]dθ = 2π( 64 Las coordenadas esféricas (ρ, θ, ϕ) son las indicadas en la figura ). 5 y están ligadas con las coordenadas cartesianas mediante las siguientes ecuaciones 16

107 x = ρ cosθ sen ϕ, y = ρ sen θ senϕ, z = ρ cosϕ, con θ 2π, ϕ π, ρ a En coordenadas esféricas, la esfera de radio a tiene ecuación ρ = a. El Jacobiano en coordenadas esféricas está dado por J(ρ, θ, ϕ) = x y z = ρ 2 senϕ y la formula del cambio de variable toma la forma V f(x, y, z)dxdydz = T f(ρ cosθ sen ϕ, ρ senθ senϕ, ρ cosϕ)ρ 2 sen ϕdρ dθ dϕ Ejemplo Hallar el volumen de la parte del cono z = x 2 + y 2 intersectada por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2. V ol = V dxdydz = T ρ 2 senφdρ dθ dϕ donde T = (ρ, θ, ϕ) : ρ a, θ 2π, ϕ π/4 entonces 2π a π/4 V ol = ρ 2 senϕdϕdρ dθ = 2π( a3 2 3 (1 2 ) = 2 2 πa Aplicaciones de las integrales múltiples Momentos y centros de masa. Nuestro objetivo es hallar el punto P en que una lámina plana delgada se equilibra horizontalmente. Este punto se llama centro de masa (o centro de 17

108 gravedad) de la placa. Vamos a suponer inicialmente que tenemos dos masas m 1 y m 2 ubicadas sobre una varilla de masa despreciable en los lados opuestos de un fulcro (de un balancín) y a una distancia d 1 y d 2 respectivamente. De acuerdo al principio de Arquímedes, la varilla se equilibra si m 1 d 1 = m 2 d 2 Si suponemos que la varilla coincide con el eje x, con m 1 y m 2 ubicadas en x 1 y x 2 respectivamente (x 1 < x 2 ). Supongamos que queremos hallar su centro de masa, x. Claramente d 1 = x x 1 y d 2 = x 2 x, y por consiguiente m 1 (x x 1 ) = m 2 (x 2 x) m 1 x + m 2 x = m 1 x 1 + m 2 x 2 x = m 1x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 Los números m 1 x 1 y m 2 x 2 se conocen como momentos de las masa m 1 y m 2 ( con respecto al origen). Es claro que el centro de masa se obtiene de sumar los momentos y de dividir por la masa total m = m 1 + m 2. En general si tenemos un sistema de n partículas con masa m 1, m 2,..., m n ubicadas en los puntos x 1, x 2,..., x n sobre el eje x., se puede demostrar que el centro de masa del sistema está en x = m 1x 1 + m 2 x m n x n m 1 + m m n = 18 n m k x k n = m k k=1 k=1 n m k x k m, k=1

109 donde m = n m k la la masa total del sistema y la suma de los momentos k=1 M = n m k x k se llama el momento del sistema respecto al origen. Observemos k=1 que en este caso podemos escribir mx = M, lo cual significa que si la masa total se concentra en el sistema en el centro de masa x, entonces su momento sería el mismo que el momento del sistema. Generalizando al plano xy, consideremos n partículas con masa m 1, m 2,..., m n ubicadas en los puntos (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )..., (x n, y n ). Por analogía con el caso unidimensional podemos definir el centro de masa de coordenadas (x, y) por las fórmulas x = n m k x k k=1 m y = n m k y k m. k=1 Si escribimos M y = n k=1 m k x k, y M x = n k=1 m k y k, diremos que M y es el momento del sistema respecto al eje y y mide la tendencia del sistema a girar sobre el eje y y M x es el momento del sistema respecto al eje x y mide la tendencia del sistema a girar sobre el eje x. Observemos que mx = M y y my = M x, lo cual implica que m(x, y) = (M y, M x ) Densidad y masa. Supongamos que tenemos una lamina delgada ocupa una región plana S. Subdividamos la región S en N subregiones S 1, S 2,...S N donde cada una de ellas está acotada por una curva simple cerrada suave a trozos y de área A k = area(s k ). en donde (x k, y k ) es cualquier punto en la subregión S k. Denotemos por d k el diámetro de la región S k ( la mayor distancia entre dos puntos cualesquiera en S k ) y por norma de la partición definiremos P = max 1 k N {dk}. 19

110 Definimos la densidad ρ(x, y) (en unidades de masa por unidad de área) en cada punto (x, y). por m ρ(x, y) = lím P A donde m y A son la masa y el área de una de las subregiones de S que contiene a (x, y). La masa total m de la lámina la podemos aproximar por m N ρ(x k, y k ) A k k=1 Por lo tanto podemos definir la masa total de la lámina como m = lím P k=1 ( en el caso que el límite exista). N ρ(x k, y k ) A k = S ρ(x, y)dxdy En la misma forma como definimos la masa podemos hablar de la cantidad total de carga eléctrica que se distribuye a través de una región plana S si conocemos la densidad de carga σ(x, y) (en unidades de carga por unidad de área) en el punto (x, y), entonces la carga total está dada por Q = σ(x, y)dxdy S Para buscar en centro de masa de la lámina S, (x, y) observemos que podemos aproximar los momentos del sistema por M y M x n n n m k x k ρ(x k, y k ) A k x k = x k ρ(x k, y k ) A k, k=1 n m k y k k=1 n ρ(x k, y k ) A k y k = k=1 k=1 k=1 k=1 n y k ρ(x k, y k ) A k. 11

111 Así podemos definir los momentos del sistema como M y = lím M x = lím P k=1 P k=1 n x k ρ(x k, y k ) A k = n y k ρ(x k, y k ) A k = Por lo tanto el centro de masa está dado por S S xρ(x, y)dxdy yρ(x, y)dxdy donde x = M y m = 1 m S xρ(x, y)dxdy y y = M x m = 1 m S m = ρ(x, y)dxdy S yρ(x, y)dxdy En el caso que la densidad sea constante llamaremos al centro de masa centroide. Ejemplo Si la densidad de una lámina semicircular es proporcional a la distancia desde el centro del círculo. Determine el centro de masa de la lámina. Solución. Si consideramos la lámina como la mitad de círculo x 2 +y 2 a 2. La distancia desde un punto (x, y) del círculo al origen está dada por x 2 + y 2. Por lo tanto la densidad está dada por ρ(x, y) = K x 2 + y 2, donde K es una constante de proporcionalidad. Así, la masa está dada por m = K x 2 + y 2 dxdy S Para calcular esta integral hacemos un cambio de variable a coordenadas polares. En este caso la región estaría dada por r a y θ π, y esta integral sería m = = K S π K x 2 + y 2 dxdy = K a dθ r 2 dr = Kπ r3 3 π a a r rdrdθ = Kπa3. 3 Puesto que la lámina y la función de densidad es simétrica respecto al eje y, el centro de masa está sobre el eje y, esto es x =. Puesto que 111

112 y = 1 yρ(x, y)dxdy = 3 m S Kπa 3 3 = πa 3 y x 2 + y 2 dxdy = 3 πa 3 = 3 πa 3 S π sen θdθ a yk x 2 + y 2 dxdy S π a r 3 dr = 3 πa 3 cosθ π rsen θ r rdrdθ r 4 a 4 = 3 πa 3 2a4 4 = 3a 2π Momento de Inercia. Recordemos del Capítulo I que el movimiento rectilíneo se caracteriza por que el vector velocidad y la aceleración son vectores colineales. El vector velocidad es dado por v(t) = d x dt y la aceleración es a(t) = d 2 x dt. La 2 fuerza relacionada con la aceleración según la ley de Newton está dada por F = m a o 1 a = F. m Como se muestra en la segunda fórmula, la fuerza es directamente proporcional a la fuerza pero inversamente proporcional a la masa. Por lo tanto podemos pensar en la masa m de la partícula, como una medida de su capacidad para resistir la aceleración, por que si la fuerza es la misma y m aumenta, entonces a disminuye. Consideremos ahora el caso de una partícula de masa m que gira alrededor de un eje fijo 112

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