Capítulo 7. Simetría Molecular. 1) Elementos y operaciones de simetría. 1.1) Definiciones

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1 apítulo 7. Simetría Molecular ) Elemeto y operacioe de imetría.) Defiicioe Se puede obteer mucha iformació cualitativa de la fucioe de oda y propiedade moleculare (epectro, actividad óptica, ) a partir de la imetría que preeta la molécula. Se etiede por imetría molecular la imetría de la etructura formada por lo diferete úcleo de la molécula e u poició de equilibrio. oviee remarcar que la imetría molecular puede depeder del etado electróico de la molécula. Aí, por ejemplo, la molécula de formaldehído e plaa e u etado fudametal, pero deja de er plaa e el primer ivel electróico excitado. Se defie como operació de imetría aquella traformació de u cuerpo de tal maera que la poició fial e idicerible co repecto a la iicial. Elemeto de imetría e ua etidad geométrica (puto, líea o plao) co repecto al cual e realiza ua operació de imetría. Eto elemeto de imetría o rotacioe, reflexioe e iverioe. U cuerpo tiee u eje de imetría de orde i la rotació de π/ radiae e toro a ete eje da ua cofiguració idicerible de la poició iicial. B B ig. 7.. Molécula de B. E la molécula B exite u eje (perpedicular al plao molecular y que paa por el átomo de boro). La operació de rotació alrededor de ee eje e etido cotrario a la aguja del reloj e epecifica mediate el ímbolo. El aceto circuflejo e emplea para deotar la operació de imetría, mietra que e el elemeto de imetría o e emplea el aceto. Adicioalmete la molécula de B preeta tre eje de imetría, aquello que cotiee a cada uo de lo tre elace B-. Evidetemete toda molécula preeta eje de imetría. Ua molécula preeta u plao de imetría (repreetado por la letra σ) i la reflexió de todo lo úcleo co repecto a ee plao da ua cofiguració idicerible de la iicial. La operació de imetría e deota co el ímbolo ( σˆ ). La molécula de B preeta cuatro plao de imetría. Uo de ello e el plao molecular (hay que teer e cueta que toda molécula plaa preetará como míimo u plao de imetría, el de la molécula). Lo otro tre o plao perpediculare al plao molecular y que cotiee cada uo de ello u elace B-. ay que remarcar que eto plao de imetría o coicide co lo ateriormete cometado, ya que el paaría lo puto que hay por ecima del plao molecular abajo y eo o lo haría u plao (eto tedrá batate importacia e ejemplo poteriore). Ua molécula tiee cetro de iverió (repreetado por la letra i) i al ivertir todo lo úcleo co repecto a ee cetro la cofiguració e idicerible de la iicial. La operació correpodiete e deomia î. Eta operació traforma la coordeada de todo lo úcleo (x,y,z) e u opueta (-x,-y,-z). apítulo. 7. Simetría Molecular

2 La molécula de B o preeta cetro de iverió. La molécula de S 6 preeta u cetro de iverió obre el átomo cetral de azufre. Exite u cuarto elemeto de imetría deomiado eje de rotació-reflexió (o tambié eje impropio) repreetado por S. Exite u eje S i la rotació de π/ alrededor de ee eje y ua poterior reflexió e u plao perpedicular a él geera u cofiguració idética a la iicial. La operació e repreeta por Ŝ 5 4 S î 6 S ig. 7.. Molécula de S Evidetemete i u cuerpo tiee u eje y u plao de imetría perpedicular, tambié tedrá u eje S. Si embargo puede ocurrir que o exita iguo de lo do y exita u eje rotació-reflexió. U ejemplo demotrativo e la molécula de metao. S 4 S 4 S σ 4 ig. 7.. Molécula de metao. 4 E eta figura e aprecia que ua rotació de 9º eguida de ua reflexió e u plao perpedicular al eje geera ua cofiguració idética a la iicial. Eo idica que la molécula de metao tiee u eje S 4. Pueto que todo cuerpo preeta eje de imetría, i exite algú plao de imetría e la molécula tambié exite u eje S, eto implica que Ŝ = σˆ. Se puede demotrar fácilmete que Ŝ = î. Supogamo que el eje S etá colocado obre el eje z. Ua rotació de 8º obre ee eje traforma la coordeada iiciale (x, y, z) e (-x, -y, z). Ua poterior reflexió obre le plao Y traformará la coordeada e (-x, - y, -z) que e lo mimo que haría u cetro de iverió. E ua rotació obre u eje, lo úico puto que o e mueve o lo que e ecuetra obre ee eje. Eto implica que el cetro de maa del itema ha de etar obre el eje, lo mimo ocurre co lo plao y co lo eje impropio. El cetro de maa etá e todo lo elemeto de imetría, y etá e la iterecció de todo ello. Geeralmete e itúa la molécula co u cetro de maa ituado e el orige de u itema de coordeada carteiaa. El eje de rotació má elevado e hace coicidir co el eje z. U plao de imetría que cotega ee eje e epecifica como σ v (vertical), mietra que u plao perpedicular a ee eje e epecifica como σ h (horizotal) A cada operació de imetría e le puede aigar u operador. U operador mecaocuático opera obre fucioe, mietra que ua operació de imetría opera obre puto, para cada operació de imetría Rˆ e defie u operador Ô R. La operació de imetría Rˆ traforma u puto ituado e (x,y,z) e otro ituado e (x,y,z ) apítulo. 7. Simetría Molecular

3 Rˆ (x, y, z) (x', y', z' ) [7.] Se defie el operador aociado a ea operació de imetría como: Ô R f(x', y', z' ) = f(x, y, z) [7.] E decir traforma la fució e lo puto depué de la operació de imetría e la fució ate de ea mima operació. omo ejemplo upogamo que e tiee la fució p y. Si e realiza ua rotació de 9 grado alrededor del eje z, el orbital p y e traforma e el p x. El operador aociado a ea rotació de 9 grado erá: Ô 4 (z) p x = p y [7.] y O 4(z) y ig Efecto del operador Ô 4 (z) x x E el cao de la iverió, e tiee : î(x, y, z) (-x,-y,-z) [7.4] El operador aociado a la iverió e: Ô i f ( x, y, z) = f (x, y, z) [7.5] Lo que muetra claramete que el operador Ô i e el operador paridad ( Πˆ, e decir aquel operador que traforma f(x,y,z) e f(-x,-y,-z)). Si e realiza la operació de iverió de u orbital p x e obtiee el orbital p x, eto implica que Ô p = p Evidetemete como e ha defiido eto operadore, o afecta a la coordeada de pi de lo orbitale. uado u itema etá caracterizado por la operacioe de imetría Rˆ, Rˆ... lo operadore correpodiete a ea operacioe de imetría comuta co el hamiltoiao. Si ua molécula tiee cetro de imetría, el operador Πˆ comuta co el hamiltoiao electróico de la molécula. Se puede elegir la fucioe de oda como pare o impare de acuerdo co lo valore propio de Πˆ. i x x.) Producto de operacioe de imetría Se defie producto de do operacioe de imetría a la aplicació uceiva de ea do operacioe. apítulo. 7. Simetría Molecular

4 E la molécula de B vita ateriormete exite tre eje i e realiza tre rotacioe uceiva de uo de ello e obtiee exactamete la mima geometría que la iicial, e decir e ha realizado la operació idetidad ( = Ê ). Lo reflexioe uceiva obre el mimo plao o do iverioe tambié erá la operació idetidad ( σ ˆ = î = Ê ). La molécula de beceo, preeta u eje 6 perpedicular al plao molecular. Si e realiza do rotacioe de 6º e como realizar ua rotació de º, lo que implica que 6 =. Por la mima razó 6 =. Eto implica que u eje de imetría 6 tambié e y. Se ha vio ateriormete que Ŝ = σˆ. Se puede demotrar que Ŝ ˆ = σ = î. Ua rotació de 8 alrededor del eje z modifica la coordeada (x,y,z) e (-x,-y,z). Ua poterior reflexió obre u plao perpedicular al eje z traformará la coordeada e (-x,-y,-z) que equivale a la iverió. Por regla geeral la operacioe de imetría o comuta. ) Grupo putuale de imetría El cojuto de toda la operacioe de imetría de ua molécula forma u grupo matemático. Lo grupo de imetría de la molécula recibe el ombre de grupo putuale. Exite cico grade grupo de imetría y toda molécula ha de perteecer a alguo de ello. I. Grupo que o tiee eje. La molécula o tiee igú elemeto de imetría. La úica operació de imetría del grupo e la operació idetidad. U ejemplo de ete grupo e la molécula de lbr.. La molécula ólo tiee u plao de imetría, que e el plao molecular. La operacioe de imetría o Ê y σˆ. omo ejemplo e puede citar la molécula de lo. i La molécula preeta úicamete u cetro de iverió. U ejemplo e la coformació del l-l que aparece e la figura. Br l i O l l l ig Molécula del grupo I II Grupo co u olo eje (=,, ). La molécula preeta úicamete u eje. Lo elemeto de imetría o,,...,, Ê h (=,, ). La molécula preeta u plao de imetría y u eje perpedicular al mimo. Ya que σ ˆ h = Ŝ el eje e tambié eje S. Si e par, el eje e tambié y tambié e S, lo que implica que la molécula tiee cetro de iverió (vito ateriormete). El grupo h coicide co el grupo ) v (=,, ). La molécula tiee u eje y plao de imetría verticale. La iterecció de lo plao forma el eje. S (=4, 6, ). La molécula preeta u eje S. Si e impar, teemo que: apítulo. 7. Simetría Molecular 4

5 Ŝ = σˆ h Ŝ = ( σˆ h ) = σˆ h σˆ h...ˆ σ h = σˆ h La última igualdad e cierta ya que amba operacioe comuta ( ólo afecta a x e y, mietra que σ ólo afecta a la coordeada z). Por otra parte e abe que = Ê y σ ˆ h = σˆ h (i e impar). Eto implica que exite u plao de imetría horizotal. Por otra parte : Ŝ = ŜŜ = σˆ hŝ = σˆ hσˆ h = Tambié tiee u eje, lo que implica que coicide co el grupo h. Si e par, Ŝ = î, el grupo S e igual al i. Eto implica que ólo puede tomar lo valore 4, 6, O O N h v ig Molécula del grupo II S 4 III Grupo co u eje y eje D (=,, ). La molécula preeta u eje y eje perpediculare al primero y o preeta igú plao de imetría D h (=,, ). La molécula tiee u eje, eje y u plao de imetría perpediculare al eje e tambié u eje S. Tambié preeta plao de imetría perpediculare, que paa por lo eje y Si e par, el eje e y S y la molécula tiee cetro de imetría.. D d (=,, ). La molécula preeta u eje, eje y plao de imetría verticale que paa por el eje y biecta lo águlo etre lo eje adyacete. Lo plao verticale recibe el ombre de plao diagoale (σ d ). El eje e tambié u eje S l l Au l l ig Molécula del grupo III D 4h D 6h D d IV Grupo co má de u eje (>) Eto grupo etá relacioado co la imetría de lo deomiado ólido platóico, e decir, aquello ólido que preeta polígoo regulare elazado. ay cico ejemplo, el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro petagoal y el icoaedro. T d. La molécula tiee forma de tetraedro regular, como por ejemplo el metao. Preeta 4 eje (obre cada elace -), tre eje S 4 que o tambié eje (ue puto medio de arita opueta) y ei plao de imetría (cada uo de ello cotiee do elace -). apítulo. 7. Simetría Molecular 5

6 O d. La molécula tiee forma de cubo o de octaedro (ambo preeta lo mimo elemeto de imetría ya que o cuerpo que e deomia duale ya i e ue lo puto medio de la cara de u cubo e obtiee u octaedro y vicevera). Tiee cetro de imetría, tre eje 4 (paa por lo cetro de la cara y o a u vez y S 4 ), cuatro eje (paa por lo vértice opueto y o tambié S 6 ), ei eje (ue lo puto de la arita opueta), tre plao de imetría (paralelo a la cara) y ei plao de imetría (paa por arita opueta). K h (o R ). E el grupo de imetría de ua efera. No e importate e molécula auque i lo e e átomo. J h. E el grupo de imetría dodecaedro y del icoaedro. No e importate e molécula. V Molécula lieale La molécula lieale tiee u eje (que coicide co el eje molecular) e ifiito plao de imetría que cotiee ee eje. v. La molécula o e imétrica, e decir o preeta cetro de iverió. D h. La molécula preeta u cetro de imetría. Tambié tiee u plao σ h e ifiito eje (perpediculare al eje ) Para determiar el grupo de imetría de ua molécula e puede emplear el diagrama de flujo que aparece e la figura 8. Aimimo tambié e puede determiar ee mimo grupo co el reume de la forma que aparece e la figura 9. ) Propiedade de grupo Ya que la operacioe de imetría que preeta ua molécula forma u grupo, coviee recordar algua defiicioe y propiedade que preeta eto cojuto de elemeto. Se defie orde del grupo (h) como el úmero de elemeto que lo forma. Lo elemeto de u grupo debe cumplir la iguiete propiedade: El producto de do elemeto del grupo o el cuadrado de cualquiera de ello debe er otro elemeto del grupo. Por regla geeral el producto o e comutativo. Uo de lo elemeto del grupo debe er comutativo co todo lo demá y dejarlo ivariate. E el que e deomia elemeto idetidad (E). Se cumple la ley aociativa de la multiplicació. ada elemeto tiee u ivero (recíproco) que tambié e u elemeto del grupo. U elemeto por u ivero iempre geera el elemeto uidad. omo ejemplo e puede tomar la molécula de amoiaco y ver lo elemeto de imetría que poee. A partir de eo elemeto e puede formar la tabla de multiplicació del grupo. σ' v B - σ v A N σ'' v A N B ig. 7.8: Elemeto de imetría del amoiaco ( v ) apítulo. 7. Simetría Molecular 6

7 í Molécula lieal? o í o D h i? v í m (>, m ) í o i? T d í o o I h? O h í í?? í D h σ h? o o í o σ h? h σ? í D d σ d? o o í í o σ v? v i? i D o o o í S? S í ig Diagrama de flujo para determiar el grupo de imetría de la molécula apítulo. 7. Simetría Molecular 7

8 4 5 6 D v (piramide) h D h (plao o bipiramide) D d S ig. 7.. Reume de la forma correpodiete a lo ditito grupo. apítulo. 7. Simetría Molecular 8

9 e refiere a ua rotació de grado e etido cotrario de la aguja del reloj y e ua rotació e etido de la aguja del reloj. E evidete que geera la idetidad. Tambié e evidete que Si e realiza la operacioe iguiete: = eguido de (N,A,B,,) (N,,A,B) σ ˆ v (N,,B,A) [7.6] Eta operacioe equivale a: (N,A,B,) σ ˆ ' v ' (N,,B,A) [7.7] '' Eto implica que σˆ = σˆ v v o coideracioe imilare a la realizada, e pude cotruir la tabla de multiplicació del grupo que etá formado por todo lo producto de la diferete operacioe de imetría. - (eg.) (primero) E σ v σ v σ v - E E σ v σ v σ v - E σ v σ v σ v - - E σ v σ v σ v σ - v σ v σ v σ v E σ - v σ v σ v σ v E σ - v σ v σ v σ v E 4) Repreetació de la traformacioe Toda la operacioe de imetría de u grupo puede repreetare mediate ua matriz repreetativa de la traformació (D R ). Supogamo que e toma lo orbitale de lo diferete átomo que forma el amoiaco y e etudia como e ve afectado por la diferete operacioe de imetría. Ua de la poible operacioe e la reflexió e u plao, que geeraría: ˆσ v ( N, A, B, ) = ( N, A,, B ) [7.8] Eto e puede repreetar mediate el iguiete producto: N A B = N A B [7.9] La matriz de cuatro por cuadro D(σ v ) e la matriz repreetativa de dicha operació de imetría. Si e realiza la operació de imetría e obtiee: apítulo. 7. Simetría Molecular 9

10 apítulo. 7. Simetría Molecular ( N, A, B, ) = ( N,, A, B ) [7.] = B A N B A N [7.] Mediate u procedimieto aálogo puede obteere la otra matrice: D(E) = D( - ) = [7.] D(σ v ) = D(σ v ) = [7.] Eta repreetació matricial depede del tipo de bae empleado. Si e lugar de emplear lo orbitale e hubiera empleado otra bae (por ejemplo orbitale p x ) la matrice podría er diferete. Se deomia carácter de ua operació (χ) a la uma de lo elemeto que forma la diagoal pricipal, e decir la traza de la matriz. E el grupo v lo caractere o: D(E) D( ) D( - ) D(σ v ) D(σ v ) D(σ v ) χ 4 La operacioe que tiee el mimo carácter e dice que o de la mima clae, e decir la rotacioe perteece a la mima clae (lo cual e lógico) y lo mimo ocurre co la reflexioe. Eto idica que e tiee tre clae diferete. 5) Repreetacioe irreducible La matrice obteida e el apartado aterior depede del tipo de bae empleada. E uetro cao toda o tetradimeioale, e decir o matrice de 4x4, pero toda tiee la mima forma:

11 apítulo. 7. Simetría Molecular Eto demuetra que el orbital del N o e mezcla co lo otro. Eto idica que la bae e puede dividir e do diferete, ua formada por u orbital ( N ) y la otra formada por lo otro tre ( A, B y ). La ueva matrice o: - bae N : D(E) D( ) D( - ) D(σ v ) D(σ v ) D(σ v ) χ La repreetació que tiee todo lo elemeto igual a e deomia repreetació ifiel y evidetemete e irreducible, e decir o e puede reducir e matrice de meor dimeió. - bae A, B, : D(E) D( ) D( - ) D(σ v ) D(σ v ) D(σ v ) χ Eta reducció e puede deotar: D (4) = D () D () [7.4] La repreetació D () e puede reducir i e realiza ua modificació de la bae y e toma la bae: = A B = A B = B [7.5] Si e realiza ua operació de imetría co eta ueva bae: = A B σ v ˆ A B = = A B σ v ˆ A B = = B σ v ˆ B = Se tedrá: = [7.6] De igual forma e puede obteer toda la matrice D(E) D( ) D( - ) / / / / / / / / χ

12 (σ v ) D(σ v ) D(σ v ) / / / / / / χ / / Eto permite hacer ua ueva reducció (D () = D () D () ) Ete procedimieto permite ir reduciedo la dimeioe de la matrice hata llegar a repreetacioe irreducible. Lo caractere de ea operacioe (la traza de la matrice) forma la tabla de caractere de repreetacioe irreducible. No e fácil la obteció de ea tabla. Para u obteció e puede emplear el deomiado Gra Teorema de la Ortogoalidad. Si e defie h como el orde del grupo (úmero de operacioe de imetría), l i e la dimeió de la repreetació i (orde de cada ua de la matrice), R la divera operacioe de imetría del grupo y Γ i (R) m e el elemeto que ocupa la fila m y la columa correpodiete a ua operació R de la repreetació irreducible i. El Gra Teorema de la Ortogoalidad idica que: * h [ Γi ( R) m ][ Γj (R) m'' ] = δ ijδ mm' δ ' [7.7] R l l i j Si todo lo úmero o reale, e puede elimiar el aterico. A partir de ete teorema e puede obteer cico regla para la obteció de lo caractere de la repreetacioe irreducible ) El úmero de repreetacioe irreducible de u grupo e igual al úmero de clae del mimo. ) E ua repreetació (reducible o irreducible) lo caractere de toda la operacioe que perteece a la mima clae o idético. ) La uma de lo cuadrado de la dimeioe de la repreetacioe irreducible e igual al orde del grupo. l = h [7.8] i i 4) La uma de lo cuadrado de lo caractere por el úmero de elemeto de cada clae (g R ) e igual al orde del grupo. χ i ( R) g R = h [7.9] R 5) Lo vectore cuya compoete o lo caractere de do repreetacioe irreducible diferete o ortogoale. g R χ i (R) χ j (R) = [7.] R Teiedo e cueta eta regla e puede calcular fácilmete la tabla de caractere de lo diferete grupo. Si e coidera el grupo v e vio ateriormete que tiee 6 elemeto apítulo. 7. Simetría Molecular

13 de imetría agrupado e tre clae (E, y σ ϖ ), eto implica que tedrá tre repreetacioe irreducible. La tercera regla (ecuació 7.8) idica que: l l l = h = 6 Ya que l i tiee que er úmero etero poitivo, lo úico valore poible de l i o: l = l = l = La primera repreetació iempre tiee todo caractere iguale a. E σ v Γ Eto caractere cumple la regla 4 (ecuació 7.9) () () = 6 Lo caractere de la eguda repreetació (, χ ( ) y χ (σ v )) debe cumplir la regla 4 y 5 (ecuacioe 7.9 y 7.). [χ ( )] [χ (σ v )] = 6 [χ ( )] [χ (σ v )] = Lo valore de lo caractere o: χ ( ) = ; χ (σ v ) = - La eguda repreetació erá: E σ v Γ - Lo caractere de la tercera repreetació (, χ ( ) y χ (σ v )) debe cumplir la regla 4 y 5 (ecuacioe.8 y.9). [χ ( )] [χ (σ v )] = 6 [χ ( )] [χ (σ v )] = Lo valore de lo caractere o: χ ( ) = - ; χ (σ v ) = La tercera repreetació erá: E σ v Γ - Segú e ha demotrado, la tabla de caractere del grupo v e: E σ v Γ Γ - Γ - La omeclatura empleada para epecificar la repreetacioe irreducible (Γ i ) e aticuada y actualmete e emplea otra omeclatura que igue la regla: apítulo. 7. Simetría Molecular

14 Se emplea la letra A y B para epecificar la repreetacioe uidimeioale, E para la bidimeioale y T para la tridimeioale. Se emplea la letra A i la rotació repecto al eje pricipal e imétrica (χ( ) = ) y B i e atiimétrica (χ( ) = - ) E la repreetacioe A y B e emplea el ubídice y i e imétrica o atiimétrica repecto a u eje perpedicular al eje pricipal. Si o exite ee eje, e toma u plao σ v. Se emplea i i la repreetació e imétrica o atiimétrica repecto a la reflexió obre u plao horizotal. Si la molécula preeta cetro de iverió, e emplea lo ubídice g (gerade, que igifica par e alemá) o u (ugerade, impar e alemá) depediedo de que ea imétrica o atiimétrica co repecto a la iverió. Lo ubídice para la repreetacioe E y T igue ua regla ligeramete má complicada. E la tabla de caractere aparece diferete zoa. Aí por ejemplo la tabla correpodiete al grupo v e: v E σ v A A E - - z R z (x,y) (R x,r y ) x y, z (x -y,xy) (xz,yz) I II III IV I: ímbolo de la repreetacioe irreducible. II: caractere de la repreetacioe irreducible. III: coordeada carteiaa (x,y,z) y rotacioe repecto a lo eje (R x,r y,r z ). La coordeada z o e itercambia co la otra y e comporta como la repreetació A, e decir e imétrica repecto a toda la operacioe de imetría. R z tampoco e itercambia co la otra rotacioe y e imétrica repecto a E y y atiimétrica repecto a σ v. Lo orbitale p x, p y y p z e puede aimilar a la coordeada (x,y,z). La coordeada (x,y) y la rotacioe (R x,r y ) e itercambia depediedo de la operació. IV: imilar al apartado aterior pero referido a lo cuadrado y producto biario (que puede aimilare a lo orbitale d). 6) Matrice La matrice o u cojuto de elemeto dipueto e fila y columa que tiee ua regla epeciale para combiare etre ello. La matrice cuadrada o aquella que tiee el mimo úmero de fila que de columa. Ua matriz de ete tipo vedrá dada por: M M M =... M M M M M M... M El elemeto M r e ecuetra e la fila r y e la columa. apítulo. 7. Simetría Molecular 4

15 Do matrice M y N o iguale i todo lo elemeto de la matriz M o iguale a lo elemeto de la matriz N, e decir, M r = N r. Se defie uma de do matrice a ua tercera matriz obteida umado lo elemeto de amba matrice que ocupa la mima poicioe, e decir i L = M N lo elemeto de L e obtiee mediate la expreió L r = M r N r. M = N = L = = Se defie producto de do matrice (co elemeto M r y N r ) a ua tercera matrice tal que u elemeto viee dado por la expreió: L = M N, e decir e multiplica la fila de la primera matriz por la columa de la eguda. r p rp p MN = x x4 x7 6 = 4x 5x4 6x7 9 7x 8x4 9x7 x x5 x8 4xx 5x5 6x8 7x 8x5 9x8 x 6 x9 4x 5x6 6x9 7x 8x6 9x9 Por regla geeral la multiplicació de matrice o e comutativa. Matriz diagoal e aquella que lo elemeto que o etá e la diagoal pricipal o cero, e decir M r = i r La matriz uidad ()e la matriz diagoal cuyo elemeto de la diagoal pricipal o igual a. = Matriz trapueta e la matriz que e obtiee al itercambiar fila por columa (N r N r ): N = Ñ = 4 4 Matriz ivera e aquella que al multiplicarla por la derecha o por la izquierda co la matriz iicial da la matriz uidad, e decir: N N - = N - N = Para calcular la matriz ivera hay que realizar lo iguiete pao: a) Se calcula el determiate de la matriz N = det N 4 4 = x4 x = apítulo. 7. Simetría Molecular 5

16 apítulo. 7. Simetría Molecular 6 Si el determiate de N hubiera ido igual a cero, N ería ua matriz igular y o tedría ivera. b) Se forma la trapueta de N y e calcula la matriz Ñ de tal maera que u elemeto Ñ r ea lo cofactore de N r (el determiate formado a partir de la matriz elimiado la fila r y la columa y multiplicado por (-) r ) = = 4 Ñ' 4 Ñ c) La ivera de N e igual a la matriz Ñ dividida por el det N. = = / / 4 N

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