TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Proyectividad y homografía Homología y afinidad Inversión TEMA4. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.
|
|
- Samuel Ayala Alcaraz
- hace 8 años
- Vistas:
Transcripción
1 TRNSRMINES GEMÉTRIS Poyctivi y homogfí Homologí y fini Invsión TEM4 IUJ GEMÉTRI bjtivos y ointcions mtoológics Est Tm tin como objtivos intouci l lumno n los conocimintos poyctivi, homogfí, homologí, fini invsión qu son gn plicción n stuios supios. Es convnint qu l lcto fij ls is cls sob ls popis c un sts tnsfomcions gométics. 1. Intoucción L Gomtí Poyctiv stui ls popis gométics qu s obtinn po poycción cntl. Est gomtí s bs n tmins opcions qu s lizn sob foms gométics concts, l stuio ivss tnsfomcions y l intoucción sistmátic los lmntos gométicos situos n l infinito. El concpto poyctivi s l funmnto los ifnts sistms psntción qu componn l Gomtí sciptiv qu más lnt sá objto stuio. 2. oms gométics funmntls Un fom gométic s un conjunto lmntos funmntls gupos n spcis: puntos, cts y plnos. Sgún s gupn stos lmntos n lug ls llms foms funmntls, qu s clsificn n ls siguints ctgoís:. oms funmntls pim ctgoí Son ls foms po lmntos l mism spci. Si ctilín. Es l conjunto puntos qu ptncn un ct llm bs l si (ig. 1). ig. 1. Hz cts. Es l conjunto cts un plno qu psn po un punto llmo vétic l hz (ig. 2). V b c ig. 2. IUJ TÉNI II - chillto 37
2 IUJ GEMÉTRI c γ ig. 3. b Hz plnos. Es l conjunto plnos qu psn po un ct llm ist (ig. 3).. oms funmntls sgun ctgoí Son ls foms po lmntos istint spci, más po ls foms pim ctgoí. o om pln. Es l conjunto toos los puntos y cts qu constituyn un plno (ig. 4). Rición cts. Es l conjunto cts l spcio qu psn po un punto (ig. 5). Rición plnos. Es l conjunto plnos qu psn po un punto (ig. 6). ig. 4. ig. 5.. oms funmntls tc ctgoí γ Es l conjunto toos los puntos, ls cts y los plnos l spcio, incluis ls foms pim y sgun spci. ω ρ ε 3. pcions básics l poyctivi Son l poycción, s un punto o un ct y l scción po un ct o un plno. ig. 6.. Tipos poyccions Poycción un punto s oto. onsist n tz l ct qu ps po mbos (ig. 7). Poycción un ct s un punto qu no ptnc ll. onsist n tz l plno finio po mbs (ig. 8). ig. 7. Poycción un punto s un ct qu no lo contin. onsist, como n l cso ntio, n tz l plno finio po mbos (ig. 9). ig. 8. ig IUJ TÉNI II - chillto
3 . Tipos sccions Scción un ct po ot. Es l tminción l punto común mbs (ig. 10). Scción un plno po un ct,, o vicvs. onsist n hll l punto común mbos (ig. 11). Scción un plno po oto b. onsist n tmin l ct común mbos (ig. 12). 4. Rlcions nt poycción y scción l poyct un si ctilín,,,,... tc., un ct, s un punto xtio ll, s obtin un hz cts,, b, c,... tc., vétic qu ptncn l plno finio po y (ig. 13). Po, tmbién l cípoc, l scción un hz cts,, b, c,..., tc., po ot ct, qu no ps po l vétic l hz, pouc un si ctilín,,,,... tc. Si poyctmos un si ctilín,,,,... tc., un ct, s ot ct m, no coplni con, s obtin un hz plnos, b, g,... tc., cuy ist s m (ig. 14). ho bin, si sccionmos un hz plnos, b, g,... tc., ist s m po un ct, no coplni con ll, s obtin un si ctilín,,,. ig. 10. ig ig. 12. γ m IUJ GEMÉTRI ig. 14. b ig. 13. c V b c γ Ω L poycción un hz cts,, b, c,...tc., vétic V s un punto xtio l hz, pouc un hz plnos,, b, g,... tc., cuy ist s l poycción V s (ig. 15). sí mismo, l scción un hz plnos, b, g,... tc., ist, po oto plno W, qu no contin l ist, tmin un hz cts,, b, c, tc., cuyo vétic V s l intscción l ist po l plno W. l poyct un fom pln E s un punto xtio ll, s obtin un supfici i vétic (ig. 16). l mismo moo, l scción un supfici i vétic po un plno qu no contin ést pouc un fom pln E. ig. 15. E ig. 16. IUJ TÉNI II - chillto 39
4 IUJ GEMÉTRI b c s δ γ m t 5. Hcs y sccions poyctivos S l si ctilín,, y contni n l ct y l punto, xtio ést l ig. 17. Poyctno l cit si s l punto s obtin l hz cts, b, c y. l sccion st hz po ot ct s s pouc ot si ctilín,, y. Si s poyct st últim si s un ct m, no coplni con s, tnmos un hz plnos,, b, g y, cuy ist s l ct m, qu l sccionlo po ot ct t, no coplni con m, á ot si,, y. Tos sts foms pim ctgoí, sis y hcs, s ic qu son poyctivos nt sí. l mismo moo, mint poyccions y sccions sucsivs s pu ps un fom sgun ctgoí ots, bc,,... tc., qu son nt lls poyctivs (ig. 18). lo ntio s pu nunci: ig. 17. os foms pim o sgun ctgoí s llmn poyctivs nt sí cuno s obtinn un ot po un sucsión poyccions y sccions. L tnsfomción qu pmit ps l pim l sgun s ic qu s invs l qu tnsfom l sgun n l pim. Ests tnsfomcions s llmn poyctivs. 6. Homogfí c b S nomin homogfí culqui tnsfomción poyctiv qu stblc un cosponnci nt os foms gométics, moo qu un lmnto, punto o ct, un lls l cospon oto lmnto l mism spci, punto o ct, l ot. Tnsfomcions homogáfics son: l tslción, ls simtís, l gio, l homotci, sí como l homologí y, su cso pticul, l fini, qu s stuin continución. 7. Homologí pln ig. 18. Es un tnsfomción homogáfic sultnt fctu un poycción s un punto, n l qu c uno los puntos y ls cts un figu pln l cosponn, spctivmnt, un punto y un ct su figu homológic, moo qu: 1º. Ls pjs puntos homológicos y, y,... tc., stán linos con oto punto fijo, llmo cnto homologí. 2º. Ls pjs cts y, s y s,... tc., s cotn n puntos ptncints un ct fij, llm j homologí. En l ig. 19 l tiángulo l cospon l n un homologí cnto y j y s cumpln ls 40 IUJ TÉNI II - chillto
5 os conicions stblcis: ls pjs puntos homológicos y, y y y ptncn cts qu concun n, llms yos homologí, y, po ot pt, ls cts y s s cotn, spctivmnt, con sus homológics y s n los puntos 1 º 1 y 2 º 2 l j. L ct t, qu ps po los puntos y, y su homológic t, qu contin y, son plls l j, po tnto, cumpln l conición cots n un punto ést qu, n st cso, s tt l punto impopio o l infinito. 8. Elmntos obls n l homologí omo pu compobs n l ig. 19 l homologí s un tnsfomción hz obl, conjunto cts qu psn po su cnto, y qu l ct coinci con, l con,... tc., y si linl obl, conjunto puntos on l j cot l hz obl ntio. Po tnto, los puntos obls, s ci, homológicos sí mismos, son l cnto homologí y los qu ptncn l j. En conscunci: Si un ct cot l j, su homológic tmbién lo cotá n l mismo punto. Si un figu s tngnt l j, su homológic tmbién lo sá n l mismo punto. Si un figu no tin puntos comuns con l j, su homológic tmpoco los tná. Si un figu ps po l cnto, su homológic tmbién ps po él. Si sts figus son cuvs, sán tngnts n l cito cnto. En un homologí hy, más, lguns cts obls, sts son: l j, qu, po lo visto ntiomnt, lo s punto punto, y ls cts qu fomn l hz concunt n, unqu sólo tinn os puntos obls, l popio punto y los puntos L º L, M º M, N º N,... tc., on cotn l j (ig. 19). t t M M L L N N ig. 19. P P s s IUJ GEMÉTRI 1 1 P 9. Rcts límits En un homologí s pu clcul l punto homológico un punto impopio o l infinito. S l homologí l ig. 20 fini po su cnto, l j y l pj cts y. El homológico l punto P, impopio l ct, b ptnc y st lino con y P, po lo tnto, P s l punto intscción con l pll po. ig. 20. l mismo moo, l punto, homológico, punto impopio l ct, sá l intscción con l pll po. pliqumos lo ntio los puntos impopios o l infinito figus homológics nt sí. IUJ TÉNI II - chillto 41
6 IUJ GEMÉTRI I I I G G M I 2 G 3 1 L m M L H 2 l ig. 21. H N 1 H 1 2 N N N Los tiángulos y l ig. 21 s cosponn n un homologí cnto y j. Los puntos impopios socios l pimo, G, H I, tinn como homológicos, spctivmnt, G, H I qu ptncn un ct m, n l qu s ncuntn los homológicos toos los puntos impopios l figu. Rpitino l opción con l figu, tiángulo, l qu s socin los puntos impopios L, M y N, sus homológicos, L, M y N ptncn l ct l, lug gomético los homológicos los puntos impopios l figu. mbs cts, m y l s llmn cts límits y son ls homológics ls cts impopis socis, spctivmnt, ls figus y, s ci, m s l homológic l ct m, ct impopi soci, y l lo s l, ct impopi soci. Est s l zón po l qu ls os cts límits son plls l j, y qu, c un lls, b concui con su homológic n un punto ést. t popi impotnt ls cts límits s qu c un lls ist l j lo mismo qu l ot l cnto homologí y l invs. L istnci 1 m l j s l mism qu hy l, po l mismo moo, l istnci 2 m s l mism qu hy l l j. Esto s fácilmnt vificbl si obsvmos los pllogmos G 1L y H 2M l ig. 21. En mbos csos l pim punto s l cnto homologí, l sguno ptnc m, l tco s hll n l j y l cuto s ncunt n l. Si, como ocu n l ig. 21, l ct l no cot l figu ni m cot, l homológic un figu c s ot figu c. bsévs qu sigun sino cs unqu l cot o, como ocu n st cso, m cot. uno un ls figus o tin un vétic n l o n m, spctivmnt, su homológic s un figu bit con un punto impopio (ig. 22). El homológico l punto, qu ptnc l ct límit l, s, po l finición ntio, un punto impopio. Po tnto, ls cts y bn cots n l infinito, lugo son plls. 1 2 ig. 22. En l cso qu l ct límit l s scnt l figu o m lo s su figu homológic cosponint s compon os pts bits (ig. 23). l lo l figu l cospon l sgmnto sgmnto qu, p i un xtmo oto, h ps po l punto impopio M, homológico M, qu ptnc l ct límit l. l mismo moo, l lo, qu tin uno sus puntos N, n l ct l, l cospon, uno cuyos puntos, N, s impopio. Po tnto, l figu sult pti pti. 3 l 42 IUJ TÉNI II - chillto
7 N M 1 1 M 2 2 N l IUJ GEMÉTRI M M ig tos ncsios p fini un homologí P fini un homologí son ncsios ts tos nt: l j, l cnto, un pj puntos, un pj cts, l icción l j, un ls cts límits, tc. nt toos los csos posibls, y más l cso xpusto n l ig. 20, s xponn continución lgunos, lizno su solución hst convtilos n l pimo llos cuy solución s inmit. 1º.os l cnto,, l j y un pj puntos homológicos y (ig. ig. 24) P clcul l figu, pti los tos nuncios y l figu, s poc como sigu: El vétic l figu b ptnc l yo homologí y l ct 1, homológic l ct qu cot l j n l punto 1. El punto on s cotn mbs s l punto busco. P clcul l sto los vétics s poc l mism fom. Téngs n cunt qu los puntos qu s vn tminno pmitn ispon más pjs puntos homológicos n los qu poys, n cso ncsio, p clcul los vétics stnts. S vit qu ls pjs puntos homológicos qu ptncn l j, s ci, los puntos obls, no sivn como to p tmin un homologí. N N ig º.os os pjs puntos homológicos - y - y l icción l j homologí (ig. 25) El cnto homologí s hll n l intscción los yos y. El j, pllo l icción, ps po l punto 1 º 1 on s cotn ls cts homológics y. Un vz conocios l cnto y l j homologí, l pocso p hll l sto los vétics l figu s l scito n l cso ntio. 1 1 ig º.os l cnto,, l j y l ct límit l (ig. 26) l figu, s tt clcul l homológico uno sus vétics, po jmplo, p convtilo n l cso 1º. l punto M, ptncint l ct y l, l cospon M, punto impopio lino con M y IUJ TÉNI II - chillto 43
8 IUJ GEMÉTRI M M 1 1 M ig. 26. G l G G m con. El punto, qu h ptnc l ct M, s ncunt n l intscción l yo homologí con l pll po l ct M. 4º.os l cnto,, l j y l ct límit m (ig. 27) omo n l cso ntio, s tt clcul l homológico uno los vétics l figu. El punto G, cosponint G, qu ptnc l ct, b s un punto l ct límit m y l yo homologí G, po tnto, s l intscción con m l pll po l ct. El punto s hll n l intscción l yo con l ct G 1, homológic l qu contin los puntos,, G y 1. Est último punto s obl po ptnc l j. 11. Homologís conicions spcils Si n un homologí, l j, l cnto, o mbos l mismo timpo s hcn impopios, s ci, s hlln n l infinito, sultn tnsfomcions consis csos límits homologí. lguns lls s hn stuio n l cuso pso. ig º.Ej Ej impopio (ig. 28) Los puntos on s bn cot ls pjs cts homológics son impopios, po lo qu ésts son plls. Est conición convit l homologí n un homotci cnto y zón: = = = constnt Si más, l vlo st zón s -1 sult un simtí cntl o un gio 180 o, qu son lo mismo (ig. 29). ig o 2 2 ig º.nto impopio (ig. 30) El punto concunci los yos homologí s un punto l infinito, po lo qu son pllos. 1 1 ig. 30. st cso pticul, llmo homologí fín o, simplmnt, fini, s l ic continución un nálisis más tllo, po su impotnci n l stuio los sistms psntción qu s stuián más lnt. 44 IUJ TÉNI II - chillto
9 3º.nto y j impopios (ig. 31) Po un pt, los yos homologí sán pllos y po ot ls pjs cts homológics tmbién lo sán. Ests cctístics convitn st homologí n un tslción cuy icción s l scp l punto p hcs impopio. 12. fini omo s h visto ntiomnt, st tnsfomción s un cso límit homologí, cuno l cnto s impopio. Po tnto, ls conicions qu s bn cumpli n l fini son: 1ª. Ls pjs puntos fins y, y,... tc., s hlln sob cts plls nt sí y plls un icción tmin, llm icción fini. 2ª. Ls pjs cts y, s y s,... tc., s cotn n puntos qu ptncn un ct fij, llm j fini. En l ig. 32 l cuiláto l cospon l n un fini j y icción. Pu compobs qu s mntinn ls conicions un homologí, xcpto qu l hz yos concu, n st cso, n un punto impopio n l icción. En l fini los únicos puntos obls son los l j. Los fins los puntos impopios tmbién stán n l infinito. Po st cus, n l fini no s tomn n consición ls cts límits qu son impopis. L ig. 31. N s P 1 1 M s ig IUJ GEMÉTRI Rzón fini En un fini, l istnci un punto l j y l su cosponint fín, toms mbs n l ct qu los un, stán n un lción constnt. Po tnto, n l ig. 32 s cumpl: L L L = M M M = N N = P = K N P M N L 2 2 Sino K un constnt llm zón fini. Si l vlo K s positivo, un pj lmntos fins: puntos, sgmntos o figus, s hlln n l mismo smiplno spcto l j (ig. 33). uno l vlo K s ngtivo c lmnto stá situo istinto lo su fín spcto l j (ig. 32). unqu l icción fini y l j pun fom un ángulo culqui, n ocsions mbs son ppniculs, iciénos ntoncs qu l fini s otogonl (ig. 33). uno n un fini otogonl l zón tin vlo K = -1, s cumpliá: L ig. 33. M N 2 2 L = L; M = M,... y n st cso l fini s tmbién un simtí xil cuyo j s l fini (ig. 34). ig. 34. IUJ TÉNI II - chillto 45
10 IUJ GEMÉTRI ig tos qu finn un fini Los tos ncsios qu con más fcunci isponmos p fini un fini son: 1º.El j y un pj puntos fins y (ig. 35) Si conocmos un pj puntos fins conocmos l icción fini qu, n st cso, l tmin l ct. El punto, fín oto o,, s hll n l pll po ést l ct y n l ct, fín, qu ps po y y cot l j n l punto obl 1 º 1. 2º.os tiángulos fins (ig. 36) En l fini qu tminn los tiángulos y s pi clcul l cuiláto fín l. P hll l punto, fín l cuto vétic, s pciso tmin l icción fini y l j. L pim sult s l ls cts, y, y l j sult l cálculo os sus puntos, 1 º 1, on s cotn ls cts y y 2 º 2, intscción y. El punto s l intscción l pll po con l ct fín. 3º.El El j,, l zón fini K y l ic- ción (ig. 37) ig. 36. S, po jmplo, K = 5/2, p clcul, fín l punto o, y convti st cso n l pimo los psntos, s tz po l pll, qu cot l j n L. S ivi l sgmnto L n os pts iguls, sino sts os ivisions ls qu cosponn l nomino l zón fini. El punto s hll n l ct L un istnci L igul cinco ivisions y l mismo lo spcto l j po tn l zón vlo positivo. K = 5 2 Téngs n cunt qu si l fini qu convit l punto n tin como zón K = 5/2, l qu convit n s K 1 = 2/5. Po sto, convin fij l posición qu ocup, n l fcción qu tmin l vlo l zón, l mi c uno los sgmntos, qu n l ig. 37 s: L L = K = 5 2 L 14. fini nt cicunfnci y lips ig. 37. L lción fini qu pu stblcs nt un cicunfnci y un lips tin plicción páctic muy impotnt n los sistms psntción qu s bsn n l poycción cilínic, como poá compobs más lnt. Po llo, tminmos l lips fín un cicunfnci. 46 IUJ TÉNI II - chillto
11 S l fini fini po l j, l icción y l zón K = -3/4 y l cicunfnci cnto l ig. 38. P clcul l cnto l lips fín l cnto l cicunfnci s tz po l pll l icción, l cul cot l j n l punto L. S ivi l sgmnto L n cuto pts iguls y l punto s hll l lo contio spcto l j, po tn zón ngtiv, un istnci L ts ss pts. un pj culqui iámtos ppniculs l cicunfnci, po jmplo y, l cospon un pj iámtos conjugos l lips, n st cso y. on stos os iámtos conjugos s pu constui l lips. S pu obtn l lips po mio sus js. En l ig. 39 s pt los mismos tos qu n l figu ntio y s tminn los js l lips fín l cicunfnci cnto. 2 2 L K = IUJ GEMÉTRI Un vz tmino l cnto l lips, como s h xplico ntiomnt, s tt clcul los puntos l j qu l unilos con los cntos, y, ls os cuvs n, n mbos csos, un pj cts ppniculs. Los puntos qu s buscn 1 º 1 y 2 º 2, son los xtmos l iámto l cicunfnci qu ps po los puntos y y tin l cnto P n l j. icho oto moo, l sgmnto cuyos xtmos son los puntos 1 º 1 y 2 º 2 s h v s los puntos y bjo ángulos 90 o. P sto s tz l mitiz - qu cot n P l j. Los iámtos ppniculs y l cicunfnci tinn como fins, spctivmnt, l j mno y l myo l lips. 2 2 ig. 38. P K = 3 4 En l cso qu l fini s otogonl, s ci, qu l icción fini s ppnicul l j, cso qu s n l ig. 40 y muy fcunt n ls pliccions qu l fini tin n los sistms psntción bsos n ls poyccions cilínics, l pj iámtos l cicunfnci qu s tnsfomn n los js l lips s l qu fomn l pllo,, l j, qu s tnsfom n, j myo l lips, y l ppnicul,,, l qu cospon, j mno l cuv. ig Invsión. finición y tipos L invsión s un tnsfomción qu hc cospon un punto oto cumplino ls siguints conicions: 1ª. mbos puntos stán linos con oto punto fijo,, llmo cnto invsión. 2ª. El poucto ls istncis mbos puntos l cito cnto invsión s un vlo constnt, K, llmo potnci invsión, s ci: = K ig. 40. IUJ TÉNI II - chillto 47
12 IUJ GEMÉTRI ig. 41. ig. 42. K > 0 K < 0 P vlos positivos K, un pj puntos invsos s hlln l mismo lo, ttános un invsión positiv (ig. 41). Si K s un númo ngtivo, los puntos y s ncuntn uno c lo l cnto, iciénos ntoncs qu l invsión s ngtiv (ig. 42). 16. Elmntos y figus obls n un invsión Los únicos puntos obls, s ci, invsos sí mismos n un invsión n l qu s cumpl K > 0, son qullos qu istn ÖK l cnto, y qu ÖK ÖK = K, qu s l potnci invsión. l tts puntos qu s hlln un istnci constnt l cnto invsión, tminn un cicunfnci cuyo cnto s l invsión,, y su io l iz cu su potnci, ÖK (ig. 43). Est cicunfnci, lug gomético los puntos invsos sí mismos n un invsión positiv, cib l nomb cicunfnci puntos obls (c.p..) o utoinvsión. K ig. 43. c.p.. c.p.. s s En l invsión ngtiv no xistn puntos obls, y qu un punto y su invso s hlln istinto lo, lugo no pun coincii. En conscunci, si K < 0, l invsión no tin c.p.., lo cul s lógico y qu Ö-K s un númo qu no tin solución l. unqu l únic figu obl qu lo s punto punto s l c.p.., n un invsión hy un si lmntos o figus qu son obls poqu l invso uno sus puntos s oto punto qu tmbién ptnc ll. Son obls ls cts qu psn po l cnto invsión, unqu sólo os sus puntos son obls, los qu ptncn tmbién l c.p.. (ig. 44). Tmbién son obls ls cicunfncis spcto ls culs l cnto invsión tng un potnci igul l invsión K, si l potnci s positiv, cso l ig. 45, o -K si s ngtiv, como n l ig. 46. ig. 44. En l pim cso s cumpl: c.p.. = = M 2 = N 2 = K y n l sguno: M M = E E = -K K N N E E ig. 45. ig IUJ TÉNI II - chillto
13 lo ntio s uc qu: culqui cicunf- nci qu ps po un pj puntos invsos s figu obl, unqu, si l invsión s positiv, solo tin os puntos obls, los qu ptncn su vz l c.p.., M º M y N º N n l ig. 45, y si l invsión s ngtiv no tin ninguno (ig. 46). pti l ucción ntio, tmbién s pu fim qu: os pjs puntos invsos son concíclicos, s ci, hy un cicunfnci qu contin los cuto. 17. Rcts ntiplls Sbmos, po l tom Thls, qu l cot os cts, y b, concunts n po os cts plls, y s, s obtinn os tiángulos y, smjnts po tn los ts ángulos iguls y, como conscunci, los los popocionls (ig. 47). s b ig. 47. γ IUJ GEMÉTRI Po tnto: = n m Po tmbién s pu obtn un pj tiángulos smjnts l cot os cts concunts, y b, po os cts no plls, m y n qu s ls nomin ntiplls spcto ls y b, y qu, su vz, son ntiplls m y n. lo ntio y l nálisis ls igs. 48 y 49 sult: b γ = qu s tnsfom n: ig. 48. = qu como s h visto ntiomnt, must qu los puntos y tinn como invsos spctivos y n un invsión cnto y qu, como h quo mosto, ptncn un cicunfnci cnto. En sumn: os cts concunts n son cots po os ntiplls spcto lls n puntos invsos un invsión cnto. m γ γ n 18. tminción l invso un punto o Un invsión qu tmin po su cnto y su potnci invsión K. Sin mbgo, p solv poblms invsión o fctu pliccions l mism s pu pti tmbién otos tos, como s pu compob n l cálculo l invso un punto conocio n los siguints csos: ig. 49. b IUJ TÉNI II - chillto 49
14 IUJ GEMÉTRI c.p.. K N M ig º.onocino l cicunfnci puntos obls (c.p..) (ig. 50) S l punto o, p clcul su invso,, s tz s un ls tngnts l c.p.. y s l punto tngnci, M, s tz l ppnicul l ct. El punto cot sts os cts s l invso l punto o. Est constucción s justific po l tom l ctto cuyo nuncio ic: n un tiángulo ctángulo c ctto s mi popocionl nt l hipotnus y su poycción sob ll. u plico l tiángulo M s cumpl: M = M qu s tnsfom n: = M 2 = K lo qu must qu s l invso n un invsión cnto y potnci K. Si l punto o s, intio l c.p.., s tz po l ppnicul l ct y po N, punto on l cit ppnicul y l c.p.. s cotn, s tz l tngnt st. El punto, on l tngnt cot l ct, s l invso l punto o. En st cso l tiángulo ctángulo s N, l ctto N = ÖK, l hipotnus y l poycción quél sob st (ig. 50). 2º.onocino l cnto y un pj puntos invsos (igs. 51 y 52) ig. 51. Ptino un ls uccions hchs n l pto 16 st tm, n l qu s cí qu os puntos culsqui y sus cosponints invsos son concíclicos y sbino qu ts puntos son suficints p tmin un cicunfnci, l poblm s uc tz l cicunfnci qu ps po los puntos y, pj puntos invsos conocios, y po l punto o. El invso st,, s l punto on l cit cicunfnci cot l ct (ig. 51). Exist oto pociminto p solv st poblm bso n l ntipllismo l invsión qu s plic n l ig. 52. S tmin l ángulo, b, qu fomn ls cts y y s tz po l ct qu fom con l mismo ángulo b. El punto on st ct cot l s l invso. ls os cts qu psn po y fomn l ángulo b con, l coct s l qu mntin constnt l vlo l potnci invsión K. Es ci, s b tn n cunt qu si >, ntoncs <. ig. 52. En l cso qu l invsión fu ngtiv s pu plic culqui los pocimintos 50 IUJ TÉNI II - chillto
15 ntios pitino, n c cso, l mismo pocso sguio p l invsión positiv. 3º.onocino l cnto y un cicunfnci obl En st cso s sulv po convsión n uno los ntios, po lo cul, solo s xplic n l ig. 53, p l invsión positiv, y n l ig. 54, p l ngtiv, l cit convsión. S, n mbos csos, l cnto invsión y l cicunfnci cnto figu obl l mism. ulqui ct qu ps po y s scnt l cicunfnci cot st n un pj puntos invsos y. onocino l cnto y st pj puntos s pu clcul l invso oto punto o, po culqui los pocimintos vistos n l cso ntio. ig. 53. IUJ GEMÉTRI Si l invsión s positiv, pti l cnto invsión y l cicunfnci obl cnto s pu clcul, más, l c.p.. moo qu l poblm s tnsfom n l pimo los csos sultos (ig. 55). ig. 54. K M 19. igu invs un ct Y hmos visto qu un ct qu ps po l cnto invsión s obl, po tnto, su invs s ll mism (ig. 56). Vmos ho cuál s l figu invs un ct qu no ps po l cnto invsión (ig. 57). S l invsión fini po l c.p.. cnto y l ct, psno, continución, clcul los invsos lgunos puntos ést. c.p.. ig. 55. ig. 56. El pimo llos, pi l ppnicul s, tin como invso. El invso P, punto l infinito l ct, s l cnto invsión, y qu, si l poucto os istncis s un vlo l, K o -K, si un lls vl infinito l ot vl co. P hll l invso un punto culqui l ct s plic l métoo ls ntiplls, po lo qu s ncunt n l pi l ppnicul po l ct. omo p oto punto s ptiá l pocso, s uc qu los invsos los puntos l ct ptncn un cicunfnci iámto. M P c.p.. ig. 57. P IUJ TÉNI II - chillto 51
16 IUJ GEMÉTRI P ig. 58. P Si l invsión s ngtiv, fini po l cnto y l pj puntos y, s llg l mism conclusión, como pu pcis n l ig. 58. omo sumn lo ntio s pu nunci: L figu invs un ct qu no ps po l cnto invsión s un cicunfnci qu ps po él, cuyo cnto s hll n l ppni- cul l ct po l cnto invsión. Po, l s l invsión un tnsfomción cípoc, s ci, si l invso l punto s, l invso s, tmbién s pu fomul l nuncio cípoco l ntio: L figu invs un cicunfnci qu ps po l cnto invsión s un ct qu no ps po él y s ppnicul l ct qu tminn l cnto invsión y l l cicun- fnci. c.p.. ig. 59. c.p.. ig ig. 61. ig En l cálculo l figu invs un ct qu no ps po l cnto invsión, cuno l invsión s positiv s pun, más, os csos pticuls: 1º.L L ct s tngnt l c.p.. (ig. 59) El punto tngnci s punto obl º, po lo qu st y l cnto invsión son los xtmos l iámto l cicunfnci invs l ct. 2º.L L ct s scnt l c.p.. (ig. 60) Los puntos intscción l ct y l c.p.., º y º son obls, lo qu signific qu ptncn tnto como l cicunfnci cnto invs ll. En conscunci, l poblm s uc tz l cicunfnci qu ps po ts puntos:, º y º. too lo xpusto n st pto s uc qu un cicunfnci y un ct xtio ll pun consis invs un ot n un invsión positiv y ot ngtiv cuyos cntos invsión son los xtmos l iámto l cicunfnci ppnicul l ct. S l cicunfnci cnto y l ct l ig. 61. mbs son invss n l invsión positiv cnto 1, n l qu l invso l punto l ct s 1. Po tmbién s cosponn n un invsión ngtiv cnto 2, n l qu l invso l punto s 2. Si l cicunfnci y l ct son scnts, ls os invsions cntos 1 y 2 qu ls lcionn son positivs (ig. 62). 52 IUJ TÉNI II - chillto
17 En l cso qu l ct y cicunfnci sn tngnts, solo hy un invsión, positiv, qu ls hc cospon, n l qu l punto tngnci mbs s obl, punto º (ig. 63). 20. igu invs un cicunfnci qu no ps po l cnto invsión En l invsión fini po l c.p.. cnto l ig. 64, los puntos invsos y, xtmos l iámto l cicunfnci cnto, contnios n l ct, son, spctivmnt, y, lugo b cumplis: = = K sino K l potnci invsión. ig. 63. IUJ GEMÉTRI Po ot pt, l potnci l punto spcto l cicunfnci cnto, qu llmmos P, poá xpss: = P Si s ivi l xpsión ntio po st s obtin: = = K P Tnino n cunt qu l cocint os constnts, K y P, sigu sino ot constnt, st últim xpsión s l un homotci cnto y zón K/P, n l qu l punto homotético s y l s. Po lo qu, plicno l popi qu os figus homotétics son smjnts, s pu fim: c.p.. L figu invs un cicunfnci qu no ps po l cnto invsión s ot cicunf- nci qu tmpoco ps po él y s, más invs, homotétic l ntio n un homotci cuyo cnto s l l invsión y cuy zón homotci s K/P (cocint nt l potnci invsión y l potnci l cnto invsión spcto l cicunfnci inicil). N M Po too lo ntio, ls cicunfncis cntos y l ig. 64 son invss y l vz homotétics, sino l punto cnto mbs tnsfomcions. Po, sí como los invsos los puntos y son, spctivmnt, y, l homotético s y l s. Est s l zón po l qu un pj puntos invsos s ls llm tmbién ntihomotéticos. omo conscunci sto último, los cntos y ls os cicunfncis son homotéticos po no son invsos, po lo qu, p no confuni, l cnto l cicunfnci invs l cnto no convin llml. ig. 64. IUJ TÉNI II - chillto 53
18 IUJ GEMÉTRI ig. 65. uno l invsión s ngtiv, como n l ig. 65, pu sguis l mismo zonminto y llg l mism conclusión qu n l cso l invsión positiv. P tmin l cicunfnci invs ot n un invsión fini po l cnto y un pj puntos invsos, tnto si l invsión s positiv, ig. 66, como si s ngtiv, ig. 67, s pu povch l most lción homotci nt lls. S, n mbos csos, l invsión cnto, l pj puntos invsos y y l cicunfnci cnto, l qu s tt clcul su invs. L ct cot, más, st cicunfnci n l punto, qu sá, como hmos visto, más invso, l homotético. sto s uc qu l cnto,, l cicunfnci invs l s hll n l punto on l ct cot l pll po ig. 66. ig. 67. TIVIES 1. l pj sgmntos homológicos y y l punto obl P º P, hll l homológico l punto (ig. 68). P P ig un homologí s conoc l cnto,, l j,, y l pj puntos -. tmin l homológico l punto (ig. 69). ig IUJ TÉNI II - chillto
19 3. En l homologí fini po l cnto,, l j, y l ct límit l, hll l figu homológic l tiángulo (ig. 70). 4. Hll l figu homólogic l pllogmo conocino l cnto,, l j,, y l ct límit m (ig. 71). l ig. 70. m IUJ GEMÉTRI 5. un homologí s conocn ls cts º, s y s y l p puntos P y P. lcul l cnto, l j y ls cts límits. ompob qu s cumpln ls popis sts (ig. 72). ig. 71. P P s s 6. Hll l figu fín l ctángulo conocino l j,, y l punto fín l vétic (ig. 73). ig. 72. ig. 73. IUJ TÉNI II - chillto 55
20 IUJ GEMÉTRI ig. 74. E 7. lcul l punto fín conocino l j fini,, y l pj puntos - (ig. 74). 8. En un fini otogonl j y zón: K = L L = 3 4 ibuj l figu fín l hxágono gul E (ig. 75). ig Los puntos y son, spctivmnt, los cntos un cicunfnci y un lips fins nt sí n un fini j. Sino t un tngnt l lips, clcul los js st (ig. 76). t ig. 76. P 10. lcul l invso l punto P n un invsión l qu s conoc l cnto,, y l pj puntos invsos - (ig. 77). ig IUJ TÉNI II - chillto
21 11. ibuj l c.p.. l invsión qu tnsfom l ct n l cicunfnci cnto (ig. 78). 12. Hll l invso l punto P n un invsión ngtiv qu tnsfom l cicunfnci cnto 1 n l cnto 2 (ig. 79). ig. 78. IUJ GEMÉTRI P En l invsión fini po l cnto,, y l pj puntos invsos -, ibuj l figu invs l cicunfnci cnto (ig. 80). ig Sbino qu los puntos P y P son invsos, hll l ct qu ps po P y s invs l cicunfnci cnto (ig. 81). ig. 80. P P ig. 81. IUJ TÉNI II - chillto 57
22 IUJ GEMÉTRI ig Hll l figu invs l cicunfnci cnto conocino l cnto invsión,, y l pj puntos invsos - (ig. 82). 16. tmin l figu invs l sgmnto n un invsión l qu s conoc l c.p.. (ig. 83). c.p.. ig IUJ TÉNI II - chillto
Ecuaciones de Poisson y Laplace
Elctc y Mgntsmo / Elctostátc Dfncón Los conuctos n lctostátc. mpo un cg puntul. plccons l Ly Guss Intgls supposcón. Potncl lctostátco Dfncón Intptcón. Intgls supposcón. Ecucons Posson y Lplc. oncons Intfs.oncons
Más detallesUNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID JUNIO 2008
UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID JUNIO El mn pnt o opcion, B. El lumno bá lgi UN Y SÓLO UN ll olv lo cuto jcicio qu cont. No pmit l uó clculo con cpci pntción gáfic. PUNTUCIÓN: L clificción
Más detallesCónicas singulares y degeneradas. Elementos principales
Son cuvs plns sguno go. Tmbién s ls llm Sccions ónics, poqu son l sulto intsct con un plno un cono volución. Ls cuvs cónics popimnt ichs son ts: Elips, ábol Hipébol, unqu ltno l cono o l posición l plno
Más detallesIES CASTELAR BADAJOZ Examen Junio de 2011(General) Solución Antonio Mengiano Corbacho UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA MATEMÁTICAS II
IES CASTELAR BADAJOZ Emn Junio d (Gnrl) Antonio ngino Corbcho UNIVERSIDAD DE ETREADURA ATEÁTICAS II ATEÁTICAS II Timpo máimo: hor minutos Instruccions: El lumno lgirá un d ls dos opcions propusts Cd un
Más detallesSEPTIEMBRE 2001 INSTRUCCIONES:
SEPTIEMBRE INSTRUCCIONES El mn psnt os opcions B; l lumno bá lgi un lls contst zonmnt los cuto jcicios qu const ich opción n h. min. OPCIÓN Ejcicio. Clificción máim puntos. Dtmin l cución ctsin l lug gomético
Más detallesIES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2013 Juan Carlos Alonso Gianonatti OPCIÓN A. se pide
IES Mditáno d Málg Solución Sptimb Jun los lonso Ginontti Ejcicio.- liicción máim puntos Dd l unción: 7 s pid ( 7 puntos Hll ls síntots d dich gic OPIÓN b ( 7 puntos Dtmin los intlos d cciminto dcciminto
Más detallesr,, R r exp exp 1 cos cos 1
Como obtn función on y su ngí tvés cución Schöing. Rcomos qu función on s un cución mtmátic, qu cump citos quisitos, n cu s ncunt to infomción sistm, n st cso s tt infomción cion con ctón o núco. st función
Más detallesRAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Cpít ulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Dfiniions Pvis: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llmo tmién n posiión nóni o stán. Es quél ángulo tigonométio uo véti oini on l oign l sistm
Más detallesProblema A.1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: S, (2 puntos) y la matriz S -1, que es la
José Aulio Pin Romo JULIO MII www.pin.s EXAMEN DE ELECTIVIDAD JULIO. MATEMÁTICA II OPCIÓN A Poblm A.. Obtn ondmnt scibindo todos los psos dl onminto utilido: ) El vlo dl dtminnt d l mti ( puntos) l mti
Más detallesSEPTIEMBRE Tiempo: 90 minutos OPCIÓN A ( ) ( )
SEPTIEMRE 5 INSTRUCCIONES El mn psn os opcions ; l lumno bá lgi un sólo un lls solv los cuo jcicios qu cons. No s pmi l uso clculos con cpci psnción gáfic. PUNTUCIÓN L clificción máim c jcicio s inic n
Más detalles3A,,. Prueba que M es un subespacio
.- Dtin os tis us X Y on tls qu: Y X Y X.- Estui l inpnni linl ls tis C.- Pu qu ls siguints tis son un s l spio vtoil ls tis us on.- S onsi l onjunto } R. Pu qu s un suspio vtoil.- Hll os tis us on os
Más detallesTEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto TEMAS Y GEOMETRÍA EN EL ESACIO ECUACIONES DE RECTAS Y LANOS EJERCICIO es plelo plno que contiene l ect Escibe l ecución del. s hll l ecución de un plno,
Más detallesPara que exista límite de una f(x) en un punto han de coincidir los límites laterales en dicho punto.
REPASO LÍMITES º BACH. RECORDAR: Para qu ista límit d una f() n un punto han d coincidir los límits latrals n dicho punto. A fctos dl f() no tnmos n cunta lo qu ocurr actamnt n a, sino n las a proimidads.
Más detallesTRANSFORMADORES EN PARALELO
TRNFORMDORE EN PRLELO. Trnsformdors d igul rzón d trnsformción Not: no s tomn n cunt ls pérdids n l firro. q q q llmrmos s cumpl b. Trnsformdors d rzón d trnsformción un poco distints Rfridos l scundrio:
Más detallesTema 2: Antonio González Fernández Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla. Parte 6/7 Energía electrostática
Tm : Pincipios d l lctostátic, Antonio Gon nzálz Fná ándz Antonio Gonzálz Fnándz Dptmnto d Físic Aplicd III nivsidd d Svill Pt 6/7 Engí lctostátic Engí, tbjo y clo: l pim pincipio i i d l tmodinámic i
Más detallesp m son términos semejantes
Páin dl Colio d Mtmátics d l ENP-UNAM Ocions con monomios olinomios Auto: D. José Mnul Bc Esinos OPERACIONES CON MONOMIOS Y POLINOMIOS UNIDAD IV IV. OPERACIONES CON MONOMIOS Un vil s un lmnto d un ómul,
Más detallesSolución de la ecuación de Schödinger para una partícula libre.
Solución d l cución d Schöding un tícul lib. Vmos nliz l volución tmol d l función d ond d un tícul lib con un jmlo concto. Ptimos d l siguint condición inicil: (; ) ik dond y k son dos constnts ls. Lo
Más detalles3. Explica en qué consisten la miopía y la hipermetropía. Qué lentes se usan para su corrección?
CANARIAS / JUNIO 0. LOGS / ÍSICA / XAMN COMPLTO D las dos opcions popustas, sólo hay qu dsaolla una opción complta. Cada poblma cocto val po ts puntos. Cada custión cocta val po un punto. OPCIÓN A Poblmas.
Más detallesTEMA II: POSICIONES RELATIVAS ENTRE ELEMENTOS
TEA II: POSICIONES RELATIVAS ENTRE ELEENTOS..D Ente dos ects Dos ects en el espcio pueden se: ) plels (sus poecciones homónims son plels) b) secntes (tienen un único punto en común) c) o cuse Ejemplo 4
Más detallesMás información: Grupo DIA. Teléfono: 91 398 54 00. Nieves Álvarez. Lara Vadillo. Ginés Cañabate. comunicación@diagroup.com
Doi pn Má infomción: Gpo DIA. Tléfono: 91 398 54 00 Niv Álvz. L Villo. Giné Cñbt comnicción@igop.com Román y Aocio. Tléfono: 91 591 55 00 Jvi Agil: j.gil@omnyocio. Silvi Sotomyo:.otomyo@omnyocio. INDICE:
Más detallesSiempre verifica que a 2 = b 2 + c 2 (Th. Pitágoras)
Págin 1 FIGURAS EN EL PLANO POLÍGONOS FIGURAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO 1.- Polígono de 3 ldos: Tiángulo. B Los ángulos inteioes de culquie tiángulo sumn siempe 180º. El áe de culquie tiángulo se puede
Más detallesla integral de línea de B alrededor de un trayecto cerrado
LEY DE AMPERE L ley de Guss de los cmpos elécticos implic el flujo de E tvés de un supeficie ced; estlece que este flujo es igul l cociente de l cg totl enced dento de l supeficie ente l constnte ε. En
Más detallesCAPITULO 6 INTEGRALES MULTIPLES
CAPITULO Nusts lms cus cults pun compn l mvillos quitctu l muno mi l cuso c plnt vguno ún scln ts l conociminto ininito Chistoph Mlow. INTEGALES MULTIPLES.. Intgls ols... Cálculo un intgl ol n gions gnls...
Más detallesCAPÍTULO V MOMENTOS DE INERCIA. El momento de inercia de un área tiene la forma
sistci d Mtils. Cpítul V. CPÍTULO V MOMENTOS DE NEC 5.. Mmts d ici d ás El t d ici d u á ti l fm Mmt d ici spct dl j : Mmt d ici spct dl j : Nt qu l cdd qu v l itgd s l cti l j spct dl qu s clcul l t d
Más detalles4πε. q r 2. q r C 2 2
. ) A un distnci d. cm dl cnto d un sf conducto con cg cuyo dio s d. cm, l cmpo léctico s d 48 N/. uál s l cmpo léctico.6 cm dl cnto d l sf? ) A un distnci d. cm dl j d un cilindo conducto muy lgo con
Más detalles5. Convergencia de integrales impropias. Las funciones Γ y Β de Euler.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lcción. Intgals y aplicacions. 5. Convgncia d intgals impopias. Las funcions Γ y Β d Eul. La foma haitual d calcula una intgal impopia, po jmplo dl intgando, aplica
Más detallesAPUNTES DE CRISTALOGRAFÍA: RETÍCULO RECÍPROCO Màrius Vendrell RETÍCULO RECÍPROCO
RETÍCULO RECÍPROCO A pti el etíulo efinio nteiomente, en el que omo nuo oespone un motivo o llmemos etíulo ieto, es posible efini oto etíulo (que llmemos eípoo) en el ul los tes vetoes funmentles son:
Más detalles26 EJERCICIOS de LOGARITMOS
6 EJERCICIOS d LOGARITMOS Función ponncil y rítmic:. Pr cd un d ls funcions qu figurn continución, s pid: i) Tbl d vlors y rprsntción gráfic. ii) Signo d f(). iii) Corts con los js. iv) Intrvlos d crciminto.
Más detalles= 001. ( ) t. 1 adja A = A 1
UNIVERSIDDES PÚLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUE DE CCESO LS ENSEÑNZS UNIVERSITRIS OICILES DE GRDO MODELO Cso / MTERI MTEMTICS II El lmno contstá los cto jcicios d n d ls dos opcions ( o ) q s l ocn. Nnc
Más detallesCapítulo 8. Estructura electrónica de moléculas diatómicas
Cpítulo 8. Estuctu lctónic d moléculs ditómics Apoximción d Bon-Oppnhim Suponindo qu los núclos y lctons posn mss puntuls y dspcindo ls intccs spin-óit y ots considcs ltivists, l hmiltonino d un sistm
Más detallesOPCIÓN A. Días de lectura Total de páginas Quijote Eva E D ED Marta E 5 D + 14 (E 5).( D + 14) Susana E 11 D + 44 (E 11).( D + 44)
IES Mditrráno d Málg Solución Junio Jun Crlos lonso Ginontti OPCIÓN..- Ev Mrt Susn son trs jóvns migs qu s compromtn lr El Quijot st vrno. Cd un por sprdo n unción dl timpo dl qu dispon dcid lr un mismo
Más detallesPor tanto,p(r) es la probabilidad de encontrar al electrón en esta envolvente.
LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL HIDROGENO qq Ddo qu : U k dpnd solnt d l distnci dil nt l núclo y l lctón, lgunos d los stdos pitidos p st átoo pudn s psntdos dint funcions d ond qu solo dpndn d L s sipl
Más detallesPRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE NAVARRA JUNIO 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
IES CSTELR DJOZ nguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE NVRR JUNIO (GENERL) (RESUELTOS por nonio nguino) TEÁTICS II Timpo máimo: hors minuos Rlir un d ls dos opcions propuss ( o ) OPCIÓN º) Esudi l
Más detallesEsta guía es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:
Deptmento de Físic, UTFSM Físic Genel II / of: A. Bunel. FIS10: FÍSICA GENERAL II GUÍA #3: otencil Eléctico. Objetivos de pendizje Est guí es un hemient que usted debe us p log los siguientes objetivos:
Más detallesPRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE MURCIA JUNIO 2012 (GENERAL) MATEMÁTICAS II SOLUCIONES Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos ----------
IES ASTELAR BADAJOZ A nguino PRUEBA DE AESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE URIA JUNIO (GENERAL) ATEÁTIAS II SOLUIONES Timpo máimo: hors minutos Osrvcions importnts: El lumno drá rspondr tods ls custions d un d
Más detallesDERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:
DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pá. DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién
Más detallesTEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL
IES Al-Ándlus. Dpto. Físic Químic. F.Q. 1º Bchilleto. Tem 5: Cálculo vectoil - 1-5.1 VECTORES TEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL 5.1 Vectoes 5. Sistems de efeenci. Coodends. Componentes de un vecto. 5.3 Opeciones
Más detallesf v P v r v =t v GEOMETRÍA A v DESCRIPTIVA h v B v A r r h B h t h B d h h M h P h A h Ing. Alberto M. Pérez G.
. f P =t GEOMETRÍ DESRIPTIV DESRIPTIV P M t g P M f Ing. lto M. Péz G. GEOMETRÍ DESRIPTIV Unisi los ns Núlo Unisitio Rfl Rngl Dptmnto Ingnií Tujillo-Vnzul Tjo psnto on fins snso l tgoí sistnt n l slfón
Más detallesTomamos el menor formado por las dos primeras columnas y la primera y tercera filas. 1 1
Blu I. Álg Mtmátis II Autvluión Págin D l mti M m m : ) Hll ls vls m u ls vts il M sn linlmnt innints. ) Estui l ng M sgún ls vls m. ) P m, lul l invs M. ) P u ls vts il M sn linlmnt innints, n (M ) tin
Más detallesIES Mediterráneo de Málaga Solución Septiembre 2006 Juan Carlos Alonso Gianonatti PRUEBA A PROBLEMAS
IES Mditáno d Málg Solución Spti 6 Jun Clos lonso Ginontti PRUEB PROBLEMS PR-- - ) Hálls l lo d p l qu l ct l plno sn pllos ) P clcúls l cución dl plno qu contin s ppndicul ) Los ctos dictos d ct plno
Más detallesCASTILLA LEÓN / SEPTIEMBRE 02. LOGSE / FÍSICA / EXAMEN COMPLETO
OCIÓN A Cd lumno lgiá obligtoimnt un d ls dos opcions qu s poponn. L puntución máxim s d 3 puntos p cd poblm y d puntos p cd custión. OBLEMAS. ) Si l luz sol td n pomdio 8,33 minutos n llg l Ti,,7 minutos
Más detallesLUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS
REPASO Y APOYO OBJETIVO 1 LUGARES GEOMÉTRICOS Y ÁNGULOS Nombe: Cuso: Fec: Se llm lug geomético l conjunto de todos los puntos que cumplen un detemind popiedd geométic. EJEMPLO Cuál es el lug geomético
Más detallesEjercicio 1. x a. Ejercicio 2.
Sptim 5 - Opción A (Molo 6) Ejcicio. D un función f: R R s s qu f() y qu f (. () [ punto] Dtmin f. () [ 5 puntos] Clcul l á l ión limit po l áfic f, po l j sciss y po ls cts cucions - y. () Aplicno l Tom
Más detallesMatemáticas II Bloque VI Carlos Tiznado Torres
Mtmátis II loqu VI rlos Tizno Torrs IRUNFERENI El írulo y l irunfrni son os ojtos gométrios qu hn llmo l tnión y hn sio l ojto stuio un grn númro mtmátios s timpos ntiguos, sino más grn utili práti pr
Más detallesFacultad de Ingeniería Física 1 Curso 5
Facultad d Ingniía Física Cuso 5 Índic Funt n moviminto con spcto al ai 3 Rsumn5 Ejcicio 5 Ejcicio 28 El obsvado stá n moviminto spcto a la unt n poso8 Rsumn Funt y obsvado n moviminto Ejcicio 3 Númo d
Más detallesIntegral Definida. Aplicaciones
Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució
Más detallesDerivadas: Teoría y ejercicios DERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:
Drivds: Torí jrcicios Bcillrto DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis =, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán.
Más detallesREPRESENTACION GRAFICA.
REPRESENTACION GRAFICA. Calcular puntos notabls así como intrvalos d monotonía y curvatura d: ² - = 0 ; ² = ; = son los valors d qu anulan l dnominador D = R- y () = 0 ; - 4 = 0 ; = 0 posibl ma, min Monotonia:
Más detalles2. Conversión de Coordenadas.
Cvsó Cs Ctí Mtátc A Stll Vázquz Cvsó Cs Pccó C Sst cs sétc sétc Pl l Pccó,, Elps supc c ptz, φ, Cálcul lítc ucó Alítc vbl cplj λ = λ λ,sλ l ltu l M Ctl l Hus, φ l lttu Isétc cspt l lttu ésc ϕ s S s ucs
Más detallesGEOMETRÍA 3º E.S.O. FIGURAS SEMEJANTES SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
GEOMETRÍ DEL PLNO 3º E.S.O. FIGURS SEMEJNTES Dos figus son semejntes cundo sólo difieen en tmño. Los segmentos coespondientes son popocionles. d longitud de un de ells se otiene multiplicndo l longitud
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE TRABAJO Y ENERGÍA
POLEMS ESUELOS E JO Y ENEGÍ Equip dct: ti J. Gc Mi Hádz Puc lfs l lmt POLEM U l d ms qu s mu 4 m/s pt iztlmt u lqu d md st u pfudidd d 5 cm. uál s l fuz mdi qu s lizd s l l p dtl?. F N d m S F l fuz mdi
Más detallesGEOMETRÍA 1º BACHILLERATO
GEOMETRÍA º AHILLERATO ) Dmin c co l coo pi ) A() A =() hll () - = = - = = ) () A =(--) hll A A() - =- = - =- = ( ) A( ) c) (-) A =() hll A A() - = = + = =- ) S lo co li ( ) ( ) w ( ) hz l pción gáfic
Más detallesLím. = Lím. 1 e. x 1. x 0
UNIVERSIDDES PÚLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUE DE CCESO LS ENSEÑNZS UNIVERSITRIS OICILES DE GRDO MODELO Cuso / MTERI: MTEMTICS II El lumno consá los cuo jcicios d un d ls dos opcions ( o ) qu s l ofcn.
Más detallesPractico 7 Fuerza y Leyes de Newton
008 Pctico 7 uez y Leyes de Newton ) Un bloque de 5.5 Kg. está inicilmente en eposo sobe un supeficie hoizontl sin ficción. Es empujdo con un fuez hoizontl constnte de 3.8 N. ) Cuál es su celeción? b)
Más detallesUNIVERSIDAD DE LA RIOJA JUNIO lim
IES Mditrráno d Málg Emn Junio d Jun Crlos lonso Ginontti UNIVERSIDD DE L RIOJ JUNIO El lumno contstrá los jrcicios d un d ls dos propusts ( o ) qu s l ofrcn. Nunc dbrá contstr jrcicios d un propust jrcicios
Más detallesFísica. g u a y F R. Entonces : tg
Físic g u y. Clcul l istnci el equiliio ente ls os esfes e l figu, e ms m, cgos con q coulomios, si se supone que el ángulo con l veticl es muy pequeño, y los hilos que los sujetn no tienen ms. SOLUCIÓN:
Más detallesSolución Tarea de Aproximaciones y errores de redondeo
Métodos numéicos y álgb linl CB0085 Apoximcions y os d dondo T d Apoximcions y os d dondo. Clcul l o bsoluto y l o ltivo si p y p 2.78 dond p s l vlo clculdo. : vlo l vlo clculdo 2.78 o bsoluto : vlo clculdo
Más detallesI.E.S. Mediterráneo de Málaga Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti PROPUESTA A
I.E.S. Mditrráno d Málg Junio Jun Crlos lonso Ginontti PROPUEST.- ( punto) S f() un función positiv n l intrvlo [ ] sí ( ) f pr. Si l ár itd por f() l j d bciss (j O) ls rcts s igul clcul l ár dl rcinto
Más detallesÁrboles binarios. Árbol: definición. Árbol (del latín arbor oris):
Árol: iniión Árols inrios Árol (l ltín ror oris): Plnt prnn, trono lñoso y lvo, qu s rmii irt ltur l sulo. (otrs, vr Rl Ami Espñol ) Frno Guii Polno Esul Innirí Inustril Pontiii Univrsi Ctóli Vlpríso,
Más detallesIntegrales impropias.
IX / 8 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA nro-mrzo d 4 Dprtmnto d Mtmátics Purs y Aplicds. Intgrls impropis. Ejrcicios sugridos pr : los tms d ls clss dl 4 y 9 d mrzo d 4. Tms : Otrs forms indtrminds. Intgrls
Más detalles( ) ( ) ( ) ( ) BLOQUE A + = + IES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2012 Juan Carlos Alonso Gianonatti
IES Mditáno d Málg Solución Junio Jun Clos Alonso Ginontti BLOQUE A CUESTIÓN A..- ) Discut l guint stm d cucions n unción dl pámto [ 5 puntos] ) Rsul l stm cundo s comptil [ punto] λ λ λ Solución 8 Con
Más detalles2πR π =
PÁGIN 11 Pág. 1 oodends geogáfi cs 19 os ciuddes tienen l mism longitud, 15 E, y sus ltitudes son 7 5' N y 5' S. uál es l distnci ente ells? R b 7 5' b 5' Tenemos que ll l longitud del co coespondiente
Más detallesSOLUCIONES DE LIMITES
SOLUCIONES DE LIMITES.. Ln Sustituyndo por obtnmos: INDETERMINADO Ln Como s trt d un indtrminción d tipo L Hopitl, plicmos dich rgl: Ln Ln Rsolvmos prt l it Ln INDETERMINACIÓN d tipo L Hopitl otr vz: 6Ln
Más detallesTeorema Maestro. Introducción. Arturo Díaz Pérez. Recurrencia general para estrategias divide y vencerás. Análisis y Complejidad de Algoritmos 1
Arturo Díz Pérez Aálisis y Diseño e Aloritmos Teorem Mestro Arturo Díz Pérez Aálisis y Diseño e Aloritmos Mestro- Itroucció Recurreci eerl pr estrteis ivie y vecerás T + T T Aálisis y Diseño e Aloritmos
Más detallesAlgebra I 1er. Cuatrimestre 2013 Práctica 1 - Conjuntos
lr I 1r. utrimstr 013 Práti 1 - onjuntos Si s un suonjunto un onjunto rrnil V, notrmos por l omplmnto rspto V. Por onvnión, si x s un númro rl positivo, x not l únio númro rl positivo uyo uro s x. 1. Do
Más detallesTEMA 7. SUCESIONES NUMÉRICAS.
º EO Tem 7 TEMA 7. UCEIONE NUMÉRICA.. UCEIONE NUMÉRICA. Imgiemos el ecoido que efectú u bló que se h lzdo l suelo y midmos ls distcis ete bote y bote: Ls distcis fom u sucesió de úmeos: 0, 5, 0, 5,. U
Más detallesPRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA JUNIO 2009. (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos
I.E.S. CSTELR BDJOZ PRUEB DE CCESO (LOGSE) UNIVERSIDD DE EXTREMDUR JUNIO 9 (RESUELTOS po ntonio Menguino) MTEMÁTICS II Tiempo máimo: ho minutos El lumno elegiá un de ls dos opciones popuests. Cd un de
Más detallesBLOQUE 2: MOVIMIENTO RELATIVO
LOQUE 2: MOVIMIENTO RELTIVO Sistems e efeenci en tslción Sistems e efeenci en otción LOQUE 2: Moimiento eltio El moimiento e un ptícul epene el S.R. elegio. sí, os obseoes (S.R. ifeentes) no tienen po
Más detallesVectores. Bases. Producto escalar, vectorial y mixto; y aplicaciones
Mtemátics II Geometí del espcio Vectoes. Bses. Podcto escl vectoil mixto; plicciones Obsevción: L moí de los poblems eseltos continción se hn popesto en los exámenes de Selectividd.. Ddos los vectoes (
Más detallesACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS. trino grau fernández. x lím. lím. lím. lím. sen x 1. x 1. lím x 0 sen x x. lím. x lím. sen x. x arcsen x lím 11.
L Í M I T E S th ls ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Ln tg sn sn [ ( )] 5 sn 6 cotg 7 sn sn 8 9 sn rcsn sn b sn sn cotg 5 sn cos 6 sn 7 n 8 Ln 9 Ln trino gru frnándz th ls 5 Clculr pr qu s cumpl: π Ln tg
Más detallesCálculo con vectores
Unidd didáctic 1 Cálculo con vectoes 1.- Mgnitudes escles vectoiles. Son mgnitudes escles quells, como l ms, l tempetu, l enegí, etc., cuo vlo qued fijdo po un númeo (con su unidd coespondiente). Gáficmente
Más detallesÁlgebra I Práctica 1 - Conjuntos
FEyN - U - Sguno utimst 03 Álg I Páti - onjuntos Si s un suonjunto un onjunto nil V, notmos po l omplmnto spto V.. Do l onjunto =,, 3}, tmin uáls ls siguints imions son vs i) ii) } iii), } iv), 3} v) }.
Más detallesTEMA VI: ACIDOS Y BASES
www.selectividd-cgrnd.com TEMA VI: ACIDOS Y BASES 1.- El ácido clorocético (ClCH COOH) en concentrción 0,01M y 5 C se encuentr disocido en 1%. Clculr: ) L constnte de disocición de dicho ácido. b) El ph
Más detallesTRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN
ERMODINAMICA ÉCNICA Y RANSMISIÓN DE CAOR RANSMISIÓN DE CAOR POR RANSMISIÓN DE CAOR POR EN ESACIONARIO. Intoducción.. Balanc d ngía n una supfici plana. 3. Balanc d ngía n supficis cilíndicas y sféicas.
Más detallesA r SOLUCION. v M. a) Circunferencia fija. Movimiento sobre la circunferencia
Un ct B s mu n dicción ppndicul su dicción cn lcidd cnstnt. En su mimint, ct un cicunfnci fij d cnt di n l punt ibl. Supnind qu l ct l cicunfnci pmncn n un pln únic n td instnt: B Hll l lcidd clción dl
Más detallesRepresentar las dos proyecciones y la tercera proyección de los puntos dados a continuación:
Repesent ls dos poyecciones y l tece poyección de los puntos ddos continución: pto. lej. cot A + 0 B + = + C + < + D 0 + E - > + F - = + G - > + H - 0 I - > - J - = - K L - 0 < - - M + < - N + = - + >
Más detallesÁlgebra I Práctica 1 - Conjuntos, Relaciones y Funciones
FEyN - U - uso Vno 206 onjuntos Álg I Páti - onjuntos, Rlions y Funions Si s un suonjunto un onjunto nil V, notmos po l omplmnto spto V.. Do l onjunto = {, 2, 3}, tmin uáls ls siguints imions son vs i)
Más detallesOPERACIONES MATEMÁTICAS
Cpítulo OPERACIONES MATEMÁTICAS OPERACIÓN MATEMÁTICA E un poo qu onit n l tnfoión un o á nti n ot ll ulto, jo it gl o oniion n l ul fin l opión. To opión táti pnt un gl finiión y un íolo qu l intifi llo
Más detalles51 EJERCICIOS DE VECTORES
51 EJERCICIOS DE VECTORES 1. ) Representr en el mismo plno los vectores: = (3,1) b = ( 1,5) c = (, 4) = ( 3, 1) i = (1,0) j = (0,1) e = (3,0) f = (0, 5) b) Escribir ls coorens e los vectores fijos e l
Más detallesRepartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz
Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr
Más detallesPor dos puntos pasan infinitas circunferencias secantes formando un haz. La recta que une los dos puntos es su eje radical.
TNNI. onceptos, popieddes y noms. Po un punto psn infinits cicunfeencis tngentes. L ect tngente ells po dicho punto es su eje dicl. Po dos puntos psn infinits cicunfeencis secntes fomndo un hz. L ect que
Más detallesÁlgebra I Práctica 1 - Conjuntos
FEyN - U - Sguno utimst 203 Álg I Páti - onjuntos Si s un suonjunto un onjunto nil V, notmos po l omplmnto spto V.. Do l onjunto = {, 2, 3}, tmin uáls ls siguints imions son vs i) ii) {} iii) {2, } iv)
Más detallesTarea 11. Integral Impropia
Tr Intgrl Imroi Ers con l límit corrsondint cd un d ls siguints intgrls Mustr un dibujo qu indiqu l ár qu s clculrí (si ist) con l intgrl rsctiv, no clculs l intgrl d ; b) d ; c) d ; d) / cot( ) d En los
Más detallesMétodo de las Imágenes.
Electici Mgnetismo Cuso 5/6 Métoo e ls Imágenes. Es un métoo potente ue pemite esolve lgunos polems complicos. Consiste en moific el polem, mplino el ecinto, e fom ue:» Resulte más sencillo.» Se sign cumplieno
Más detallesRADIACIONES ÓPTICAS INCOHERENTES. Problemas resueltos
RADIACIONS ÓPTICAS INCOHRNTS Poblms sultos ÍNDIC SÍMBOOS Y ABRVIATURAS... 7. CONCPTOS BÁSICOS... 9. VAUACIÓN D A XPOSICIÓN ABORA A RADIACIONS ÓPTICAS... 39 3. CONTRO Y RDUCCIÓN D A XPOSICIÓN A AS RADIACIONS
Más detallesECUACIONES DE LA RECTA
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO ECUACIONES DE LA RECTA P hll l ecución de un ect en el espcio necesito: Dos puntos Un punto su vecto diecto Not: Nosotos utiliemos siempe un punto A(,, ) un vecto v (,b,c).
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. Respecto del sistema de referencia, las coordenadas del punto A= a, a, a
Geometí Anlític: El Espcio Afín Pofeso:Mí José Sánchez Queedo. EL ESPACIO AFÍN SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO AFÍN Un sistem de efeenci del espcio fín está compuesto po un punto fijo O del espcio
Más detallesIES Mediterráneo de Málaga Solución Junio 2004 Juan Carlos Alonso Gianonatti OPCIÓN A
IES Mditrráno d Málg Solución Junio Jun rlos lonso Ginontti OPIÓN - undo l ño 8 Bthovn scrib su Primr Sinoní su dd s di vcs mor qu l dl jovncito Frn Schubrt Ps l timpo s Schubrt quin compon su célbr Sinoní
Más detallesResolución de Problemas: Trapajo Práctico nº 4
Resolución e Poblems: Tpjo Páctico nº 4 Poblem 2: En el cento e un cubo e 1cm e lo se coloc un cg puntul Q5mC. Cuánto vle el flujo eléctico tvés e un c? Y si l cg se ubic en un vétice el cubo? P clcul
Más detallesModelo 2014. Problema 1B.- (Calificación máxima: 2 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real a:
odelo. Proble B.- (Clificción ái puntos) Se consider el siste linel de ecuciones dependiente del práetro rel ) Discútse en función de los vlores del práetro R. b) Resuélvse pr.. l siste se clsific en función
Más detallesTEMA: ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
CUSO: º DSOLLO D PODUCTOS LCTÓNICOS. MÓDULO: LCTÓNIC NLÓGIC TM: NÁLISIS D CICUITOS LÉCTICOS NÁLISIS D CICUITOS LÉCTICOS. INTODUCCIÓN.. LYS D KICHOFF.. NÁLISIS D CICUITOS N COINT CONTÍNU. 4. OTOS MÉTODOS
Más detallesSe llama tasa de variación media (T.V.M.) de una función y = f(x) en un intervalo a. T.V.M. a,b =
TEMA 7: DERIVADAS 7. Concpto d drivd. Función drivd. 7. Rgls d drivción. 7. CONCEPTO DE DERIVADA. FUNCIÓN DERIVADA. Est concpto mtmático no sólo nos prstrá un yud primordil n l rprsntción d funcions y
Más detallesPRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE LA RIOJA JUNIO 2011 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
IES CASTEAR BADAJOZ PRUEBA DE ACCESO (OGSE) UNIVERSIDAD DE A RIOJA JUNIO (GENERA) (RESUETOS po Antonio Mnguiano) MATEMÁTICAS II Timpo máimo: hoas y minutos El alumno contstaá a los jcicios d una d las
Más detallesTema 4: Integrales Impropias
Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem
Más detallesDERIVADAS. La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente límite, si existe:
DERIVADAS Dinición d drivd. L drivd d un unción n l punto d bscis =, s din como l siuint límit, si ist: lím A l drivd d un unción n un punto s l llm tmbién ts d vrición instntán. Intrprtción ométric d
Más detallesVARIACIÓN DE IMPEDANCIAS CON LA FRECUENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA
AIAIÓN DE IMPEDANIAS ON A FEUENIA EN IUITOS DE OIENTE ATENA Fundamnto as impdancias d condnsadors bobinas varían con la frcuncia n los circuitos d corrint altrna. onsidrarmos por sparado circuitos simpls.
Más detallesSEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
IES ÉLAIOS Curso - Ruprión ª Evluión ÁREA: MATEMÁTICAS º ESO OPCIÓN B TEMAS,, 6 y 7 ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN DE LA ª EVALUACIÓN SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. S quir onstruir un prtrr on orm triángulo rtángulo.
Más detallesCURVAS TÉCNICAS Óvalo, ovoide, espiral y voluta. Trazado como aplicación de tangencias TEMA9. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.
URS ÉNIS Óvlo, ovoide, espil y volut. zdo omo pliión de tngenis jetivos y oientiones metodológis E9 IUJ GEÉRI Se tt de un unidd temáti ot y senill. El lumno pendeá, l menos, un poedimiento de onstuión
Más detallesMatemática financiera. Material recopilado por el Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorando en Educación Matemática.
Mtátc fnnc. Mtl copldo po l Pof. Enqu Mtus Nvs Doctondo n Educcón Mtátc. 4. TASAS DE INTERES Y EQUIVALENCIA ENTRE TASAS OBJETIVOS. Dstngu y xplc ls dfncs nt ntés pódco, nonl y fctvo. 2. Copnd y xplc los
Más detalles