TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Proyectividad y homografía Homología y afinidad Inversión TEMA4. Objetivos y orientaciones metodológicas. 1.

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1 TRNSRMINES GEMÉTRIS Poyctivi y homogfí Homologí y fini Invsión TEM4 IUJ GEMÉTRI bjtivos y ointcions mtoológics Est Tm tin como objtivos intouci l lumno n los conocimintos poyctivi, homogfí, homologí, fini invsión qu son gn plicción n stuios supios. Es convnint qu l lcto fij ls is cls sob ls popis c un sts tnsfomcions gométics. 1. Intoucción L Gomtí Poyctiv stui ls popis gométics qu s obtinn po poycción cntl. Est gomtí s bs n tmins opcions qu s lizn sob foms gométics concts, l stuio ivss tnsfomcions y l intoucción sistmátic los lmntos gométicos situos n l infinito. El concpto poyctivi s l funmnto los ifnts sistms psntción qu componn l Gomtí sciptiv qu más lnt sá objto stuio. 2. oms gométics funmntls Un fom gométic s un conjunto lmntos funmntls gupos n spcis: puntos, cts y plnos. Sgún s gupn stos lmntos n lug ls llms foms funmntls, qu s clsificn n ls siguints ctgoís:. oms funmntls pim ctgoí Son ls foms po lmntos l mism spci. Si ctilín. Es l conjunto puntos qu ptncn un ct llm bs l si (ig. 1). ig. 1. Hz cts. Es l conjunto cts un plno qu psn po un punto llmo vétic l hz (ig. 2). V b c ig. 2. IUJ TÉNI II - chillto 37

2 IUJ GEMÉTRI c γ ig. 3. b Hz plnos. Es l conjunto plnos qu psn po un ct llm ist (ig. 3).. oms funmntls sgun ctgoí Son ls foms po lmntos istint spci, más po ls foms pim ctgoí. o om pln. Es l conjunto toos los puntos y cts qu constituyn un plno (ig. 4). Rición cts. Es l conjunto cts l spcio qu psn po un punto (ig. 5). Rición plnos. Es l conjunto plnos qu psn po un punto (ig. 6). ig. 4. ig. 5.. oms funmntls tc ctgoí γ Es l conjunto toos los puntos, ls cts y los plnos l spcio, incluis ls foms pim y sgun spci. ω ρ ε 3. pcions básics l poyctivi Son l poycción, s un punto o un ct y l scción po un ct o un plno. ig. 6.. Tipos poyccions Poycción un punto s oto. onsist n tz l ct qu ps po mbos (ig. 7). Poycción un ct s un punto qu no ptnc ll. onsist n tz l plno finio po mbs (ig. 8). ig. 7. Poycción un punto s un ct qu no lo contin. onsist, como n l cso ntio, n tz l plno finio po mbos (ig. 9). ig. 8. ig IUJ TÉNI II - chillto

3 . Tipos sccions Scción un ct po ot. Es l tminción l punto común mbs (ig. 10). Scción un plno po un ct,, o vicvs. onsist n hll l punto común mbos (ig. 11). Scción un plno po oto b. onsist n tmin l ct común mbos (ig. 12). 4. Rlcions nt poycción y scción l poyct un si ctilín,,,,... tc., un ct, s un punto xtio ll, s obtin un hz cts,, b, c,... tc., vétic qu ptncn l plno finio po y (ig. 13). Po, tmbién l cípoc, l scción un hz cts,, b, c,..., tc., po ot ct, qu no ps po l vétic l hz, pouc un si ctilín,,,,... tc. Si poyctmos un si ctilín,,,,... tc., un ct, s ot ct m, no coplni con, s obtin un hz plnos, b, g,... tc., cuy ist s m (ig. 14). ho bin, si sccionmos un hz plnos, b, g,... tc., ist s m po un ct, no coplni con ll, s obtin un si ctilín,,,. ig. 10. ig ig. 12. γ m IUJ GEMÉTRI ig. 14. b ig. 13. c V b c γ Ω L poycción un hz cts,, b, c,...tc., vétic V s un punto xtio l hz, pouc un hz plnos,, b, g,... tc., cuy ist s l poycción V s (ig. 15). sí mismo, l scción un hz plnos, b, g,... tc., ist, po oto plno W, qu no contin l ist, tmin un hz cts,, b, c, tc., cuyo vétic V s l intscción l ist po l plno W. l poyct un fom pln E s un punto xtio ll, s obtin un supfici i vétic (ig. 16). l mismo moo, l scción un supfici i vétic po un plno qu no contin ést pouc un fom pln E. ig. 15. E ig. 16. IUJ TÉNI II - chillto 39

4 IUJ GEMÉTRI b c s δ γ m t 5. Hcs y sccions poyctivos S l si ctilín,, y contni n l ct y l punto, xtio ést l ig. 17. Poyctno l cit si s l punto s obtin l hz cts, b, c y. l sccion st hz po ot ct s s pouc ot si ctilín,, y. Si s poyct st últim si s un ct m, no coplni con s, tnmos un hz plnos,, b, g y, cuy ist s l ct m, qu l sccionlo po ot ct t, no coplni con m, á ot si,, y. Tos sts foms pim ctgoí, sis y hcs, s ic qu son poyctivos nt sí. l mismo moo, mint poyccions y sccions sucsivs s pu ps un fom sgun ctgoí ots, bc,,... tc., qu son nt lls poyctivs (ig. 18). lo ntio s pu nunci: ig. 17. os foms pim o sgun ctgoí s llmn poyctivs nt sí cuno s obtinn un ot po un sucsión poyccions y sccions. L tnsfomción qu pmit ps l pim l sgun s ic qu s invs l qu tnsfom l sgun n l pim. Ests tnsfomcions s llmn poyctivs. 6. Homogfí c b S nomin homogfí culqui tnsfomción poyctiv qu stblc un cosponnci nt os foms gométics, moo qu un lmnto, punto o ct, un lls l cospon oto lmnto l mism spci, punto o ct, l ot. Tnsfomcions homogáfics son: l tslción, ls simtís, l gio, l homotci, sí como l homologí y, su cso pticul, l fini, qu s stuin continución. 7. Homologí pln ig. 18. Es un tnsfomción homogáfic sultnt fctu un poycción s un punto, n l qu c uno los puntos y ls cts un figu pln l cosponn, spctivmnt, un punto y un ct su figu homológic, moo qu: 1º. Ls pjs puntos homológicos y, y,... tc., stán linos con oto punto fijo, llmo cnto homologí. 2º. Ls pjs cts y, s y s,... tc., s cotn n puntos ptncints un ct fij, llm j homologí. En l ig. 19 l tiángulo l cospon l n un homologí cnto y j y s cumpln ls 40 IUJ TÉNI II - chillto

5 os conicions stblcis: ls pjs puntos homológicos y, y y y ptncn cts qu concun n, llms yos homologí, y, po ot pt, ls cts y s s cotn, spctivmnt, con sus homológics y s n los puntos 1 º 1 y 2 º 2 l j. L ct t, qu ps po los puntos y, y su homológic t, qu contin y, son plls l j, po tnto, cumpln l conición cots n un punto ést qu, n st cso, s tt l punto impopio o l infinito. 8. Elmntos obls n l homologí omo pu compobs n l ig. 19 l homologí s un tnsfomción hz obl, conjunto cts qu psn po su cnto, y qu l ct coinci con, l con,... tc., y si linl obl, conjunto puntos on l j cot l hz obl ntio. Po tnto, los puntos obls, s ci, homológicos sí mismos, son l cnto homologí y los qu ptncn l j. En conscunci: Si un ct cot l j, su homológic tmbién lo cotá n l mismo punto. Si un figu s tngnt l j, su homológic tmbién lo sá n l mismo punto. Si un figu no tin puntos comuns con l j, su homológic tmpoco los tná. Si un figu ps po l cnto, su homológic tmbién ps po él. Si sts figus son cuvs, sán tngnts n l cito cnto. En un homologí hy, más, lguns cts obls, sts son: l j, qu, po lo visto ntiomnt, lo s punto punto, y ls cts qu fomn l hz concunt n, unqu sólo tinn os puntos obls, l popio punto y los puntos L º L, M º M, N º N,... tc., on cotn l j (ig. 19). t t M M L L N N ig. 19. P P s s IUJ GEMÉTRI 1 1 P 9. Rcts límits En un homologí s pu clcul l punto homológico un punto impopio o l infinito. S l homologí l ig. 20 fini po su cnto, l j y l pj cts y. El homológico l punto P, impopio l ct, b ptnc y st lino con y P, po lo tnto, P s l punto intscción con l pll po. ig. 20. l mismo moo, l punto, homológico, punto impopio l ct, sá l intscción con l pll po. pliqumos lo ntio los puntos impopios o l infinito figus homológics nt sí. IUJ TÉNI II - chillto 41

6 IUJ GEMÉTRI I I I G G M I 2 G 3 1 L m M L H 2 l ig. 21. H N 1 H 1 2 N N N Los tiángulos y l ig. 21 s cosponn n un homologí cnto y j. Los puntos impopios socios l pimo, G, H I, tinn como homológicos, spctivmnt, G, H I qu ptncn un ct m, n l qu s ncuntn los homológicos toos los puntos impopios l figu. Rpitino l opción con l figu, tiángulo, l qu s socin los puntos impopios L, M y N, sus homológicos, L, M y N ptncn l ct l, lug gomético los homológicos los puntos impopios l figu. mbs cts, m y l s llmn cts límits y son ls homológics ls cts impopis socis, spctivmnt, ls figus y, s ci, m s l homológic l ct m, ct impopi soci, y l lo s l, ct impopi soci. Est s l zón po l qu ls os cts límits son plls l j, y qu, c un lls, b concui con su homológic n un punto ést. t popi impotnt ls cts límits s qu c un lls ist l j lo mismo qu l ot l cnto homologí y l invs. L istnci 1 m l j s l mism qu hy l, po l mismo moo, l istnci 2 m s l mism qu hy l l j. Esto s fácilmnt vificbl si obsvmos los pllogmos G 1L y H 2M l ig. 21. En mbos csos l pim punto s l cnto homologí, l sguno ptnc m, l tco s hll n l j y l cuto s ncunt n l. Si, como ocu n l ig. 21, l ct l no cot l figu ni m cot, l homológic un figu c s ot figu c. bsévs qu sigun sino cs unqu l cot o, como ocu n st cso, m cot. uno un ls figus o tin un vétic n l o n m, spctivmnt, su homológic s un figu bit con un punto impopio (ig. 22). El homológico l punto, qu ptnc l ct límit l, s, po l finición ntio, un punto impopio. Po tnto, ls cts y bn cots n l infinito, lugo son plls. 1 2 ig. 22. En l cso qu l ct límit l s scnt l figu o m lo s su figu homológic cosponint s compon os pts bits (ig. 23). l lo l figu l cospon l sgmnto sgmnto qu, p i un xtmo oto, h ps po l punto impopio M, homológico M, qu ptnc l ct límit l. l mismo moo, l lo, qu tin uno sus puntos N, n l ct l, l cospon, uno cuyos puntos, N, s impopio. Po tnto, l figu sult pti pti. 3 l 42 IUJ TÉNI II - chillto

7 N M 1 1 M 2 2 N l IUJ GEMÉTRI M M ig tos ncsios p fini un homologí P fini un homologí son ncsios ts tos nt: l j, l cnto, un pj puntos, un pj cts, l icción l j, un ls cts límits, tc. nt toos los csos posibls, y más l cso xpusto n l ig. 20, s xponn continución lgunos, lizno su solución hst convtilos n l pimo llos cuy solución s inmit. 1º.os l cnto,, l j y un pj puntos homológicos y (ig. ig. 24) P clcul l figu, pti los tos nuncios y l figu, s poc como sigu: El vétic l figu b ptnc l yo homologí y l ct 1, homológic l ct qu cot l j n l punto 1. El punto on s cotn mbs s l punto busco. P clcul l sto los vétics s poc l mism fom. Téngs n cunt qu los puntos qu s vn tminno pmitn ispon más pjs puntos homológicos n los qu poys, n cso ncsio, p clcul los vétics stnts. S vit qu ls pjs puntos homológicos qu ptncn l j, s ci, los puntos obls, no sivn como to p tmin un homologí. N N ig º.os os pjs puntos homológicos - y - y l icción l j homologí (ig. 25) El cnto homologí s hll n l intscción los yos y. El j, pllo l icción, ps po l punto 1 º 1 on s cotn ls cts homológics y. Un vz conocios l cnto y l j homologí, l pocso p hll l sto los vétics l figu s l scito n l cso ntio. 1 1 ig º.os l cnto,, l j y l ct límit l (ig. 26) l figu, s tt clcul l homológico uno sus vétics, po jmplo, p convtilo n l cso 1º. l punto M, ptncint l ct y l, l cospon M, punto impopio lino con M y IUJ TÉNI II - chillto 43

8 IUJ GEMÉTRI M M 1 1 M ig. 26. G l G G m con. El punto, qu h ptnc l ct M, s ncunt n l intscción l yo homologí con l pll po l ct M. 4º.os l cnto,, l j y l ct límit m (ig. 27) omo n l cso ntio, s tt clcul l homológico uno los vétics l figu. El punto G, cosponint G, qu ptnc l ct, b s un punto l ct límit m y l yo homologí G, po tnto, s l intscción con m l pll po l ct. El punto s hll n l intscción l yo con l ct G 1, homológic l qu contin los puntos,, G y 1. Est último punto s obl po ptnc l j. 11. Homologís conicions spcils Si n un homologí, l j, l cnto, o mbos l mismo timpo s hcn impopios, s ci, s hlln n l infinito, sultn tnsfomcions consis csos límits homologí. lguns lls s hn stuio n l cuso pso. ig º.Ej Ej impopio (ig. 28) Los puntos on s bn cot ls pjs cts homológics son impopios, po lo qu ésts son plls. Est conición convit l homologí n un homotci cnto y zón: = = = constnt Si más, l vlo st zón s -1 sult un simtí cntl o un gio 180 o, qu son lo mismo (ig. 29). ig o 2 2 ig º.nto impopio (ig. 30) El punto concunci los yos homologí s un punto l infinito, po lo qu son pllos. 1 1 ig. 30. st cso pticul, llmo homologí fín o, simplmnt, fini, s l ic continución un nálisis más tllo, po su impotnci n l stuio los sistms psntción qu s stuián más lnt. 44 IUJ TÉNI II - chillto

9 3º.nto y j impopios (ig. 31) Po un pt, los yos homologí sán pllos y po ot ls pjs cts homológics tmbién lo sán. Ests cctístics convitn st homologí n un tslción cuy icción s l scp l punto p hcs impopio. 12. fini omo s h visto ntiomnt, st tnsfomción s un cso límit homologí, cuno l cnto s impopio. Po tnto, ls conicions qu s bn cumpli n l fini son: 1ª. Ls pjs puntos fins y, y,... tc., s hlln sob cts plls nt sí y plls un icción tmin, llm icción fini. 2ª. Ls pjs cts y, s y s,... tc., s cotn n puntos qu ptncn un ct fij, llm j fini. En l ig. 32 l cuiláto l cospon l n un fini j y icción. Pu compobs qu s mntinn ls conicions un homologí, xcpto qu l hz yos concu, n st cso, n un punto impopio n l icción. En l fini los únicos puntos obls son los l j. Los fins los puntos impopios tmbién stán n l infinito. Po st cus, n l fini no s tomn n consición ls cts límits qu son impopis. L ig. 31. N s P 1 1 M s ig IUJ GEMÉTRI Rzón fini En un fini, l istnci un punto l j y l su cosponint fín, toms mbs n l ct qu los un, stán n un lción constnt. Po tnto, n l ig. 32 s cumpl: L L L = M M M = N N = P = K N P M N L 2 2 Sino K un constnt llm zón fini. Si l vlo K s positivo, un pj lmntos fins: puntos, sgmntos o figus, s hlln n l mismo smiplno spcto l j (ig. 33). uno l vlo K s ngtivo c lmnto stá situo istinto lo su fín spcto l j (ig. 32). unqu l icción fini y l j pun fom un ángulo culqui, n ocsions mbs son ppniculs, iciénos ntoncs qu l fini s otogonl (ig. 33). uno n un fini otogonl l zón tin vlo K = -1, s cumpliá: L ig. 33. M N 2 2 L = L; M = M,... y n st cso l fini s tmbién un simtí xil cuyo j s l fini (ig. 34). ig. 34. IUJ TÉNI II - chillto 45

10 IUJ GEMÉTRI ig tos qu finn un fini Los tos ncsios qu con más fcunci isponmos p fini un fini son: 1º.El j y un pj puntos fins y (ig. 35) Si conocmos un pj puntos fins conocmos l icción fini qu, n st cso, l tmin l ct. El punto, fín oto o,, s hll n l pll po ést l ct y n l ct, fín, qu ps po y y cot l j n l punto obl 1 º 1. 2º.os tiángulos fins (ig. 36) En l fini qu tminn los tiángulos y s pi clcul l cuiláto fín l. P hll l punto, fín l cuto vétic, s pciso tmin l icción fini y l j. L pim sult s l ls cts, y, y l j sult l cálculo os sus puntos, 1 º 1, on s cotn ls cts y y 2 º 2, intscción y. El punto s l intscción l pll po con l ct fín. 3º.El El j,, l zón fini K y l ic- ción (ig. 37) ig. 36. S, po jmplo, K = 5/2, p clcul, fín l punto o, y convti st cso n l pimo los psntos, s tz po l pll, qu cot l j n L. S ivi l sgmnto L n os pts iguls, sino sts os ivisions ls qu cosponn l nomino l zón fini. El punto s hll n l ct L un istnci L igul cinco ivisions y l mismo lo spcto l j po tn l zón vlo positivo. K = 5 2 Téngs n cunt qu si l fini qu convit l punto n tin como zón K = 5/2, l qu convit n s K 1 = 2/5. Po sto, convin fij l posición qu ocup, n l fcción qu tmin l vlo l zón, l mi c uno los sgmntos, qu n l ig. 37 s: L L = K = 5 2 L 14. fini nt cicunfnci y lips ig. 37. L lción fini qu pu stblcs nt un cicunfnci y un lips tin plicción páctic muy impotnt n los sistms psntción qu s bsn n l poycción cilínic, como poá compobs más lnt. Po llo, tminmos l lips fín un cicunfnci. 46 IUJ TÉNI II - chillto

11 S l fini fini po l j, l icción y l zón K = -3/4 y l cicunfnci cnto l ig. 38. P clcul l cnto l lips fín l cnto l cicunfnci s tz po l pll l icción, l cul cot l j n l punto L. S ivi l sgmnto L n cuto pts iguls y l punto s hll l lo contio spcto l j, po tn zón ngtiv, un istnci L ts ss pts. un pj culqui iámtos ppniculs l cicunfnci, po jmplo y, l cospon un pj iámtos conjugos l lips, n st cso y. on stos os iámtos conjugos s pu constui l lips. S pu obtn l lips po mio sus js. En l ig. 39 s pt los mismos tos qu n l figu ntio y s tminn los js l lips fín l cicunfnci cnto. 2 2 L K = IUJ GEMÉTRI Un vz tmino l cnto l lips, como s h xplico ntiomnt, s tt clcul los puntos l j qu l unilos con los cntos, y, ls os cuvs n, n mbos csos, un pj cts ppniculs. Los puntos qu s buscn 1 º 1 y 2 º 2, son los xtmos l iámto l cicunfnci qu ps po los puntos y y tin l cnto P n l j. icho oto moo, l sgmnto cuyos xtmos son los puntos 1 º 1 y 2 º 2 s h v s los puntos y bjo ángulos 90 o. P sto s tz l mitiz - qu cot n P l j. Los iámtos ppniculs y l cicunfnci tinn como fins, spctivmnt, l j mno y l myo l lips. 2 2 ig. 38. P K = 3 4 En l cso qu l fini s otogonl, s ci, qu l icción fini s ppnicul l j, cso qu s n l ig. 40 y muy fcunt n ls pliccions qu l fini tin n los sistms psntción bsos n ls poyccions cilínics, l pj iámtos l cicunfnci qu s tnsfomn n los js l lips s l qu fomn l pllo,, l j, qu s tnsfom n, j myo l lips, y l ppnicul,,, l qu cospon, j mno l cuv. ig Invsión. finición y tipos L invsión s un tnsfomción qu hc cospon un punto oto cumplino ls siguints conicions: 1ª. mbos puntos stán linos con oto punto fijo,, llmo cnto invsión. 2ª. El poucto ls istncis mbos puntos l cito cnto invsión s un vlo constnt, K, llmo potnci invsión, s ci: = K ig. 40. IUJ TÉNI II - chillto 47

12 IUJ GEMÉTRI ig. 41. ig. 42. K > 0 K < 0 P vlos positivos K, un pj puntos invsos s hlln l mismo lo, ttános un invsión positiv (ig. 41). Si K s un númo ngtivo, los puntos y s ncuntn uno c lo l cnto, iciénos ntoncs qu l invsión s ngtiv (ig. 42). 16. Elmntos y figus obls n un invsión Los únicos puntos obls, s ci, invsos sí mismos n un invsión n l qu s cumpl K > 0, son qullos qu istn ÖK l cnto, y qu ÖK ÖK = K, qu s l potnci invsión. l tts puntos qu s hlln un istnci constnt l cnto invsión, tminn un cicunfnci cuyo cnto s l invsión,, y su io l iz cu su potnci, ÖK (ig. 43). Est cicunfnci, lug gomético los puntos invsos sí mismos n un invsión positiv, cib l nomb cicunfnci puntos obls (c.p..) o utoinvsión. K ig. 43. c.p.. c.p.. s s En l invsión ngtiv no xistn puntos obls, y qu un punto y su invso s hlln istinto lo, lugo no pun coincii. En conscunci, si K < 0, l invsión no tin c.p.., lo cul s lógico y qu Ö-K s un númo qu no tin solución l. unqu l únic figu obl qu lo s punto punto s l c.p.., n un invsión hy un si lmntos o figus qu son obls poqu l invso uno sus puntos s oto punto qu tmbién ptnc ll. Son obls ls cts qu psn po l cnto invsión, unqu sólo os sus puntos son obls, los qu ptncn tmbién l c.p.. (ig. 44). Tmbién son obls ls cicunfncis spcto ls culs l cnto invsión tng un potnci igul l invsión K, si l potnci s positiv, cso l ig. 45, o -K si s ngtiv, como n l ig. 46. ig. 44. En l pim cso s cumpl: c.p.. = = M 2 = N 2 = K y n l sguno: M M = E E = -K K N N E E ig. 45. ig IUJ TÉNI II - chillto

13 lo ntio s uc qu: culqui cicunf- nci qu ps po un pj puntos invsos s figu obl, unqu, si l invsión s positiv, solo tin os puntos obls, los qu ptncn su vz l c.p.., M º M y N º N n l ig. 45, y si l invsión s ngtiv no tin ninguno (ig. 46). pti l ucción ntio, tmbién s pu fim qu: os pjs puntos invsos son concíclicos, s ci, hy un cicunfnci qu contin los cuto. 17. Rcts ntiplls Sbmos, po l tom Thls, qu l cot os cts, y b, concunts n po os cts plls, y s, s obtinn os tiángulos y, smjnts po tn los ts ángulos iguls y, como conscunci, los los popocionls (ig. 47). s b ig. 47. γ IUJ GEMÉTRI Po tnto: = n m Po tmbién s pu obtn un pj tiángulos smjnts l cot os cts concunts, y b, po os cts no plls, m y n qu s ls nomin ntiplls spcto ls y b, y qu, su vz, son ntiplls m y n. lo ntio y l nálisis ls igs. 48 y 49 sult: b γ = qu s tnsfom n: ig. 48. = qu como s h visto ntiomnt, must qu los puntos y tinn como invsos spctivos y n un invsión cnto y qu, como h quo mosto, ptncn un cicunfnci cnto. En sumn: os cts concunts n son cots po os ntiplls spcto lls n puntos invsos un invsión cnto. m γ γ n 18. tminción l invso un punto o Un invsión qu tmin po su cnto y su potnci invsión K. Sin mbgo, p solv poblms invsión o fctu pliccions l mism s pu pti tmbién otos tos, como s pu compob n l cálculo l invso un punto conocio n los siguints csos: ig. 49. b IUJ TÉNI II - chillto 49

14 IUJ GEMÉTRI c.p.. K N M ig º.onocino l cicunfnci puntos obls (c.p..) (ig. 50) S l punto o, p clcul su invso,, s tz s un ls tngnts l c.p.. y s l punto tngnci, M, s tz l ppnicul l ct. El punto cot sts os cts s l invso l punto o. Est constucción s justific po l tom l ctto cuyo nuncio ic: n un tiángulo ctángulo c ctto s mi popocionl nt l hipotnus y su poycción sob ll. u plico l tiángulo M s cumpl: M = M qu s tnsfom n: = M 2 = K lo qu must qu s l invso n un invsión cnto y potnci K. Si l punto o s, intio l c.p.., s tz po l ppnicul l ct y po N, punto on l cit ppnicul y l c.p.. s cotn, s tz l tngnt st. El punto, on l tngnt cot l ct, s l invso l punto o. En st cso l tiángulo ctángulo s N, l ctto N = ÖK, l hipotnus y l poycción quél sob st (ig. 50). 2º.onocino l cnto y un pj puntos invsos (igs. 51 y 52) ig. 51. Ptino un ls uccions hchs n l pto 16 st tm, n l qu s cí qu os puntos culsqui y sus cosponints invsos son concíclicos y sbino qu ts puntos son suficints p tmin un cicunfnci, l poblm s uc tz l cicunfnci qu ps po los puntos y, pj puntos invsos conocios, y po l punto o. El invso st,, s l punto on l cit cicunfnci cot l ct (ig. 51). Exist oto pociminto p solv st poblm bso n l ntipllismo l invsión qu s plic n l ig. 52. S tmin l ángulo, b, qu fomn ls cts y y s tz po l ct qu fom con l mismo ángulo b. El punto on st ct cot l s l invso. ls os cts qu psn po y fomn l ángulo b con, l coct s l qu mntin constnt l vlo l potnci invsión K. Es ci, s b tn n cunt qu si >, ntoncs <. ig. 52. En l cso qu l invsión fu ngtiv s pu plic culqui los pocimintos 50 IUJ TÉNI II - chillto

15 ntios pitino, n c cso, l mismo pocso sguio p l invsión positiv. 3º.onocino l cnto y un cicunfnci obl En st cso s sulv po convsión n uno los ntios, po lo cul, solo s xplic n l ig. 53, p l invsión positiv, y n l ig. 54, p l ngtiv, l cit convsión. S, n mbos csos, l cnto invsión y l cicunfnci cnto figu obl l mism. ulqui ct qu ps po y s scnt l cicunfnci cot st n un pj puntos invsos y. onocino l cnto y st pj puntos s pu clcul l invso oto punto o, po culqui los pocimintos vistos n l cso ntio. ig. 53. IUJ GEMÉTRI Si l invsión s positiv, pti l cnto invsión y l cicunfnci obl cnto s pu clcul, más, l c.p.. moo qu l poblm s tnsfom n l pimo los csos sultos (ig. 55). ig. 54. K M 19. igu invs un ct Y hmos visto qu un ct qu ps po l cnto invsión s obl, po tnto, su invs s ll mism (ig. 56). Vmos ho cuál s l figu invs un ct qu no ps po l cnto invsión (ig. 57). S l invsión fini po l c.p.. cnto y l ct, psno, continución, clcul los invsos lgunos puntos ést. c.p.. ig. 55. ig. 56. El pimo llos, pi l ppnicul s, tin como invso. El invso P, punto l infinito l ct, s l cnto invsión, y qu, si l poucto os istncis s un vlo l, K o -K, si un lls vl infinito l ot vl co. P hll l invso un punto culqui l ct s plic l métoo ls ntiplls, po lo qu s ncunt n l pi l ppnicul po l ct. omo p oto punto s ptiá l pocso, s uc qu los invsos los puntos l ct ptncn un cicunfnci iámto. M P c.p.. ig. 57. P IUJ TÉNI II - chillto 51

16 IUJ GEMÉTRI P ig. 58. P Si l invsión s ngtiv, fini po l cnto y l pj puntos y, s llg l mism conclusión, como pu pcis n l ig. 58. omo sumn lo ntio s pu nunci: L figu invs un ct qu no ps po l cnto invsión s un cicunfnci qu ps po él, cuyo cnto s hll n l ppni- cul l ct po l cnto invsión. Po, l s l invsión un tnsfomción cípoc, s ci, si l invso l punto s, l invso s, tmbién s pu fomul l nuncio cípoco l ntio: L figu invs un cicunfnci qu ps po l cnto invsión s un ct qu no ps po él y s ppnicul l ct qu tminn l cnto invsión y l l cicun- fnci. c.p.. ig. 59. c.p.. ig ig. 61. ig En l cálculo l figu invs un ct qu no ps po l cnto invsión, cuno l invsión s positiv s pun, más, os csos pticuls: 1º.L L ct s tngnt l c.p.. (ig. 59) El punto tngnci s punto obl º, po lo qu st y l cnto invsión son los xtmos l iámto l cicunfnci invs l ct. 2º.L L ct s scnt l c.p.. (ig. 60) Los puntos intscción l ct y l c.p.., º y º son obls, lo qu signific qu ptncn tnto como l cicunfnci cnto invs ll. En conscunci, l poblm s uc tz l cicunfnci qu ps po ts puntos:, º y º. too lo xpusto n st pto s uc qu un cicunfnci y un ct xtio ll pun consis invs un ot n un invsión positiv y ot ngtiv cuyos cntos invsión son los xtmos l iámto l cicunfnci ppnicul l ct. S l cicunfnci cnto y l ct l ig. 61. mbs son invss n l invsión positiv cnto 1, n l qu l invso l punto l ct s 1. Po tmbién s cosponn n un invsión ngtiv cnto 2, n l qu l invso l punto s 2. Si l cicunfnci y l ct son scnts, ls os invsions cntos 1 y 2 qu ls lcionn son positivs (ig. 62). 52 IUJ TÉNI II - chillto

17 En l cso qu l ct y cicunfnci sn tngnts, solo hy un invsión, positiv, qu ls hc cospon, n l qu l punto tngnci mbs s obl, punto º (ig. 63). 20. igu invs un cicunfnci qu no ps po l cnto invsión En l invsión fini po l c.p.. cnto l ig. 64, los puntos invsos y, xtmos l iámto l cicunfnci cnto, contnios n l ct, son, spctivmnt, y, lugo b cumplis: = = K sino K l potnci invsión. ig. 63. IUJ GEMÉTRI Po ot pt, l potnci l punto spcto l cicunfnci cnto, qu llmmos P, poá xpss: = P Si s ivi l xpsión ntio po st s obtin: = = K P Tnino n cunt qu l cocint os constnts, K y P, sigu sino ot constnt, st últim xpsión s l un homotci cnto y zón K/P, n l qu l punto homotético s y l s. Po lo qu, plicno l popi qu os figus homotétics son smjnts, s pu fim: c.p.. L figu invs un cicunfnci qu no ps po l cnto invsión s ot cicunf- nci qu tmpoco ps po él y s, más invs, homotétic l ntio n un homotci cuyo cnto s l l invsión y cuy zón homotci s K/P (cocint nt l potnci invsión y l potnci l cnto invsión spcto l cicunfnci inicil). N M Po too lo ntio, ls cicunfncis cntos y l ig. 64 son invss y l vz homotétics, sino l punto cnto mbs tnsfomcions. Po, sí como los invsos los puntos y son, spctivmnt, y, l homotético s y l s. Est s l zón po l qu un pj puntos invsos s ls llm tmbién ntihomotéticos. omo conscunci sto último, los cntos y ls os cicunfncis son homotéticos po no son invsos, po lo qu, p no confuni, l cnto l cicunfnci invs l cnto no convin llml. ig. 64. IUJ TÉNI II - chillto 53

18 IUJ GEMÉTRI ig. 65. uno l invsión s ngtiv, como n l ig. 65, pu sguis l mismo zonminto y llg l mism conclusión qu n l cso l invsión positiv. P tmin l cicunfnci invs ot n un invsión fini po l cnto y un pj puntos invsos, tnto si l invsión s positiv, ig. 66, como si s ngtiv, ig. 67, s pu povch l most lción homotci nt lls. S, n mbos csos, l invsión cnto, l pj puntos invsos y y l cicunfnci cnto, l qu s tt clcul su invs. L ct cot, más, st cicunfnci n l punto, qu sá, como hmos visto, más invso, l homotético. sto s uc qu l cnto,, l cicunfnci invs l s hll n l punto on l ct cot l pll po ig. 66. ig. 67. TIVIES 1. l pj sgmntos homológicos y y l punto obl P º P, hll l homológico l punto (ig. 68). P P ig un homologí s conoc l cnto,, l j,, y l pj puntos -. tmin l homológico l punto (ig. 69). ig IUJ TÉNI II - chillto

19 3. En l homologí fini po l cnto,, l j, y l ct límit l, hll l figu homológic l tiángulo (ig. 70). 4. Hll l figu homólogic l pllogmo conocino l cnto,, l j,, y l ct límit m (ig. 71). l ig. 70. m IUJ GEMÉTRI 5. un homologí s conocn ls cts º, s y s y l p puntos P y P. lcul l cnto, l j y ls cts límits. ompob qu s cumpln ls popis sts (ig. 72). ig. 71. P P s s 6. Hll l figu fín l ctángulo conocino l j,, y l punto fín l vétic (ig. 73). ig. 72. ig. 73. IUJ TÉNI II - chillto 55

20 IUJ GEMÉTRI ig. 74. E 7. lcul l punto fín conocino l j fini,, y l pj puntos - (ig. 74). 8. En un fini otogonl j y zón: K = L L = 3 4 ibuj l figu fín l hxágono gul E (ig. 75). ig Los puntos y son, spctivmnt, los cntos un cicunfnci y un lips fins nt sí n un fini j. Sino t un tngnt l lips, clcul los js st (ig. 76). t ig. 76. P 10. lcul l invso l punto P n un invsión l qu s conoc l cnto,, y l pj puntos invsos - (ig. 77). ig IUJ TÉNI II - chillto

21 11. ibuj l c.p.. l invsión qu tnsfom l ct n l cicunfnci cnto (ig. 78). 12. Hll l invso l punto P n un invsión ngtiv qu tnsfom l cicunfnci cnto 1 n l cnto 2 (ig. 79). ig. 78. IUJ GEMÉTRI P En l invsión fini po l cnto,, y l pj puntos invsos -, ibuj l figu invs l cicunfnci cnto (ig. 80). ig Sbino qu los puntos P y P son invsos, hll l ct qu ps po P y s invs l cicunfnci cnto (ig. 81). ig. 80. P P ig. 81. IUJ TÉNI II - chillto 57

22 IUJ GEMÉTRI ig Hll l figu invs l cicunfnci cnto conocino l cnto invsión,, y l pj puntos invsos - (ig. 82). 16. tmin l figu invs l sgmnto n un invsión l qu s conoc l c.p.. (ig. 83). c.p.. ig IUJ TÉNI II - chillto

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