PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.

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1 PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Los métodos paa detemina los máimos y mínimos de las funciones se pueden aplica a la solución de poblemas pácticos, paa esolvelos tenemos que tansfoma sus enunciados en fómulas, funciones o ecuaciones. Debido a que hay múltiples tipos de ejecicios no hay una egla única paa sus soluciones, sin embago puede desaollase una estategia geneal paa abodalos, la siguiente es de mucha utilidad. ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN. a) Identifica los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tatan de enconta. b) Realiza un coquis o diagama que incluya los datos petinentes intoduciendo vaiables paa las cantidades desconocidas. c) Enuncia los hechos conocidos y las elaciones ente las vaiables. d) Detemina de cuál de las vaiables se desea enconta el máimo o el mínimo y epesa esta vaiable como función de una de las otas vaiables. e) Enconta los valoes cíticos de la función obtenida. f) Utiliza el citeio de la pimea o de la segunda deivada paa detemina si esos valoes cíticos son máimos o mínimos. g) Veifica si hay máimos o mínimos en la fontea del dominio de la función que se obtuvo anteiomente. h) MUCHA DEDICACIÓN Y PRÁCTICA. 1.) Halla dos númeos cuya suma es 18, sabiendo que el poducto de uno po el cuadado el oto es máimo. Según el enunciado + y 18 y y Máimo Despejemos una en la pimea ecuación y su valo lo llevamos a la ecuación del máimo. y 18 ; Máimo 18 M 18, En esta ecuación hallamos el valo de que la hace máima. A. Halla la pimea deivada, se iguala a ceo y se esolve la ecuación esultante. 0

2 ( )( ) M M 18 6 si : M ; 6( v. c.) 1 B. Calculamos la segunda deivada y hallamos su valo numéico paa las aíces anteioes. M 6 1 M (6) 6 < 0 máimo; M (18) 6 > 0 mínimo si 6 y 1 ) Se dispone de una lámina de catón cuadada de 1 cm. de lado. Cotando cuadados iguales en las esquinas se constuye una caja abieta doblando los lateales. Halla las dimensiones de los cuados cotados paa que el volumen sea máimo. Volumen de la caja v 1 1 v 1 v 1 v 1( )( 6) si : v 0 1( )( 6) 0 ; 6( v. c.) v ( ) v () 8 < 0 máimo; v (6) 8 mínimo NOTA: Po la natualeza del poblema, se ve que no puede vale 6 cm. Poque el volumen seía 0, po lo tanto cm. ) Cuál seá la foma ectangula de un campo de áea dada igual a sea cecado po una valla de longitud mínima? 6 Dm paa que 05

3 Según el enunciado, áea. y ;. y 6 Mínimo + y ; Min + y INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Despejamos y en la pimea ecuación y su valo lo llevamos a la ecuación del mínimo y Min + Min 7 7 Min ; si : Min 0 0 ± 6( v. c.) 1 Min Min (6) > 0 mín ( nota : no se toma en cuenta 6) ) Se quiee ceca un campo ectangula que está junto a un camino. Si la valla del lado que está junto al camino cuesta BF. 8 el meto y paa los lados BF. el meto, halla el áea del mayo campo que puede cecase con BF.1.0. Según el enunciado, áea. y y y y 60 Despejando y en la segunda y llevando su valo al áea, nos queda: si : y A y A A A si: A ( vc..) (60) y y y y 90 m. A y (60 m)(90 m) 5.00m NOTA: Po la natualeza del poblema, no hace falta halla la segunda deivada. 06

4 5) Una esfea tiene un adio de 6 cm. Halla la altua del cilindo de volumen máimo inscito en ella. En la figua es el adio de la base del cilindo. Po Pitágoas h Volumen.. h peo 6 h ( 1h h ) V( h) 6 h V( h) V ( h) 1 h 1 V ( h) 0 ( 1 h ) 0 h ± ; se toma: h h +. 6 NOTA: Po la natualeza del poblema, no hace falta halla la segunda deivada. 6) Paa hace un filto de laboatoio, se pliega un papel cicula. Si el adio de dicho papel mide 9cm. Calcula la altua del cono que se foma paa que el volumen sea máimo. 9 h + 81 h ( 81 h ) h h v V( h) V( h) ( 81h h ) 9 V ( h) ( 81 h ); si: V ( h) 0 ( 81 h ) 0 h h cm 07

5 NOTA: Po la natualeza del poblema, no hace falta halla la segunda deivada. 7) Se dispone de una hoja de papel paa un catel que mide m. Los mágenes supeio e infeio, miden 0 cm. cada uno y los lateales 1 cm. cada uno. Halla las dimensiones de las hojas, sabiendo que la pate impesa es máima. pateimpesa : A 0 y ; además áea total : y 0y Ay ( y 0)( y ) Ay ( y ) y ( 0) ( 0y) y A ( y) + ( y ) A ( y) y y y 0y 8(6 5 y ) 8(6 5 y ) y 0 ; 5 0 si: A ( y) 0 0 y± 5 ( vc..); y 0 A ( y) y y y y 8) De todos los tiángulos isósceles de 1 m de peímeto, halla el de áea máima. En la figua: áea y.h po Pitágoas BC DC + BD ; y + h 08

6 Peímeto: + y 1 y 1 h Aea Aea INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA y y. y y. h ; ( 1 ) ( 1 ) ( 6 ) si : y 1 ; A 8 1 8( ) ( ) A () ( 6 ) A () ( 6 ) A () ( 6 ) ( 6 ) ( ) A () 6 ( ) ( ) A () ( ) + ( ) ( ) ( ) A () A () 0 0 (..); vc A () paa y El tiángulo de áea máima es equiláteo de lado igual a cm. NOTA: Po la natualeza del poblema, se ve que paa, el tiangulo se tansfomaía en una ecta, po lo tanto, es la solución. 9) En un tiángulo isósceles, los lados iguales miden 0 cm. cada uno. Halla la longitud de la base paa que el áea sea máima. 09

7 en la figua : BC BD + DC ; (0) h + ( ) h 00 h Aea : A A A ( ) A A 1600 ( ) A (1600 ) Po lo tan to : y ; NOTA: Paa la natualeza del poblema, paa 0 el tiángulo se tansfomaías en una ecta, po lo tanto 0 m. 10) Se desea constui un tanque de aceo con la foma de un cilindo cicula ecto y semiesfeas en los etemos paa almacena gas popano. El costo po pie cuadado de los etemos es el doble de la pate cilíndica. Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10. Pies? a) Tenemos que: A. esfea R ; A. cilindo sin tapa R ( ) b) La función a optimiza es el cos to: C R + R 10

8 0 R c) V. esfea R ; V. cilindo R Vtotal R + R R 0 R 60 8R C( R) 8R + R 8 C R R + R R R R 16 R + 60 C( R) C( R) R R 8 R ( R) ( 16 R + 60) 1 R 8 R 180 d) C ( R) C ( R) ( R) ( R) 96 R R C ( R) ; si: C ( R) R R R R R R ft 5 15 e) Si : R ft 15 ft 11) Detemine las dimensiones del ectángulo que se puede inscibi en un semicículo de adio a de manea que dos de sus vétices estén sobe el diámeto. Rectángulo tiene como: Base ; Altua a A bh A a et et / a a A a A A / a a a + a a a Si A 0 0 a 0 a a a a a b b a ; h a h a h h 11

9 1) Encuente el punto de la gáfica y + 1 más cecano al punto (, 1). La distancia ente los puntos (, y) y (,1) es : d + y 1 peo : y + 1 d d d Si d ; : : (..); po Ruffini v c Si : 1 y. Punto (1,) 1) Una ventana tiene foma de un ectángulo coonado po un tiángulo equiláteo. Encuente las dimensiones del ectángulo paa el cual el áea de la ventana es máima, si el peímeto de la misma debe se 1 pies. Cálculo de h : h h h h Áea del tiángulo : A A A Áea del ectángulo : A y ( ) Paa : y en función de, usamos el peímeto de la ventana: 1 1 P y+ 1 y + y A 1 Áea total de la figua : AT A T + AT

10 ( ) ( ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Base del ectángulo si : y y y y y Altua del ectángulo ) Paa que un paquete pueda enviase po coeo es necesaio que la suma de su longitud y el peímeto de su base no eceda de 108 pulgadas. Encuente las dimensiones de la caja con base cuadada de mayo volumen que se puede envia po coeo. El peímeto de la base es : P a Condición : + a 108 pu lg, tomaemos el etemo máimo + a 108, de donde 108 a El Volumen : V aa V a V a 108 a V ( a) 108a a V a a a Si V a a a a no es solución 15 1 ; : , 5 a 0 a 18 pulg 108 (18) 6 Pulg 15) La distancia R OA (en el vacío) que cube un poyectil, lanzando con velocidad inicia, V 0 desde una pieza de atilleía que tiene un ángulo de evaluación φ especto al V0 Sen φ hoizonte, se detemina según la fómula: R Detemina el ángulo φ con g el cual la distancia R es máima dada la velocidad inicial V 0. 1

11 0 φ ( condición) dr V0 cos( φ) dr V 0 cos( φ) 0 0 cos( φ) 0 φ ( vc..) dφ g dφ g d R ( V0 ) sen( φ) d R d R ( V0 ) sen( ) d R ( V0 ) sust. v. c. en < 0 dφ g dφ dφ g dφ g V0 Sen( φ) V0 en φ máimo sust en R() φ R( φ ) g g 16) Qué dimensiones debe tene un cilindo paa que sea mínima su áea total, dado el volumen V? V adio; h altua S + h; Vcilindo h h ( ) S + S( ) + S( ) + V V V d d ds V ds V v 0 0 V 0 ( vc..); 0 ds V ds d + sust v. c. d v v si: h h v ( ) V V d S + [ + ] 1 > 0 d V v 1

12 17) Un teeno ectangula se encuenta adyacente a un ío y se debe ceca en lados, ya que el lado que da al ío no equiee ceca. Si se dispone de 100 m de ceca, encuente las dimensiones del teeno con el áea máima. 0 < < 50( condición); A b h A 100 A 100 da da ( vc..) d d d A d A < 0 en 5 máimo h 5m b 50m A 150 m d d 18) Halla las dimensiones del ectángulo de áea máima inscito en una semicicunfeencia de adio. A y ABC: y + y y ectángulo [ ] 1/ Ay y y y y y y y : 0 y 0 0 y y d A da 1 + / dy / da da si y y y dy y dy y dy / y y ( y ) 1/ 1 y y y

13 ( 1/ ) ( ) + ( ) ( ) y y y y da dy y d A y + y + y d A y y dy ( y dy ) ( y ) da da da dy dy dy ( ) / da da da da 8 < 0 6 dy ( ) dy dy 8 1 dy y ; y 19) Un buque milita se encuenta anclado a 9 km. del punto más póimo de la costa. Se pecisa envia un mensajeo a un campamento milita situado a 15 km. del punto de la costa más póimo al buque, medido a lo lago de la costa; el mensajeo andando a pie hace 5 km/h y emando km/h; En qué punto de la costa debe desembaca el mensajeo paa llega al campamento en el mínimo tiempo posible? 16

14 MRU. po pítagoas : AD AB + BD Remando: AD 9 + ; A pie: DC V t t. emando : tr ; t. a pie : t km P km t V h 5 h tt tr + tp tt + tt dt 1/ dt 1 ( 81 ) dt d 5 d d dt ( vc..) d dt 1 81 d 81 d t d 1/ d t ( + ) d ( 81+ ) 81 > 0 1Km mínimotiempo empleado 81 + (1) 0) De un tonco edondo de diámeto d hay que cota una viga de sección ectangula. Qué ancho () y altua (y) debeá tene esta sección paa que la viga tenga esistencia máima posible. A) A la compesión, B) A la fleión? Nota: La esistencia de la viga a la compesión es popocional al áea de su sección tansvesal mientas que la fleión es popocional al poducto del ancho de esta sección po el cuadado de su altua. 17

15 A : A bh b ; h y; Po pitágoas : d + y y d ectángulo ( ) ( 1 1/ ) ( ) drc dr k d c Rc () k d k d + d d d d drc d k d d drc 0 0 k 0; d 0 ( vc..); Si: d / d d 1/ dr d d / d / c k dr k d c d ( d ) d ( d ) d d d d dr k ( d ) k ( ( ) d ) c dr c dr c sust. v. c. en d d d d d d d ( d ) d ( ) 1 ( ) d dr k c drc kd drc k< 0 en d d d d d d d si : ( ancho) y d y d y ( altua ) V V Vt h+ V h h h V V A h A A da ( 1 )( ) ( V ) da 8 + V d d + da 16 6V + da 6V + 68 da 6V + 68 ; si : 0 0 d d d 6V V 6V ( vc..); 0 8 t + t() + () t + d máimo 18

16 da 6V + 68 da V 8 d A V d d d d A d A V 8 d A 16V 8 d A + + > ( V ) V ( ) V V V 0 V ( ) RF K d Rf K d sust. v. c. en 6 0 d d d V d en mínimo h h h b) RF Ky d y y d drf dr f d K( d ) 0 K( d ) 0 K 0; d 0 ( vc..) d d drf drf drf drf d K ( 6) 6 K; sust. v. c. en 6 K < 0 máimo. d d d d d d d d Ancho : ; altua : y d y y d + 1) Un tozo de alambe de 10 m. de longitud se va a cota en dos pates. Una pate seá doblada en foma de cicunfeencia y la ota en foma de cuadado. Cómo debeá cotase el alambe paa que el áea combinada de las dos figuas sean tan pequeñas como sea posible. Cuadado de lado longitud del alambe 10 Cicunfeencia de adio longitud del alambe 10 + A A Áeacombinad cuadado ; cicunfeencia a: A + 1 () / 0 da 10 / da 10+ A + d + + / / d 19

17 da 5 + da ( 5 + ( + )) da 5 + ; si: 0 ( vc..) d d d da ( + ) da 5 > 0 en + mínimo d d 5 [ ] 5 + ( + ) ( + ) ( + ) ) Calcula el volumen máimo del cilindo cicula ecto, que se puede inscibi en el cono de 1 cm de altua y cm en la base, de manea que los ejes del cilindo y del cono coincidan. La figua epesenta una sección tansvesal del cono y del cilindo que pasa po el eje de ambos. po elación de tiágulos semejntes h 1 h h ( ) Volumendelcilindo : V h V V si : 0 ó ( volumen máimo no se alcanza en la fontea) dv dv V () 8 ; si: d d 8 0; 8 0 [ 8 ] 0 0; ( vc..) 0

18 d V d V 8 [ 8 6] 8 6( ) < 0 máimo d d Calculamos la altua : h h 8 El volumen máimo del cilindo inscito es : V V 89. cm 8 ) Una esfea tiene un adio de 6 cm. Halla la altua del cilindo de volumen máimo inscito en ella. Volumen del cilindo: h V h; po pitágoas :6 + 1 : X adio del cilindo h 1 h 1 h 6 V( h) h V 1h h dv dv 1 h si h h h dh dh dv dv ( 6 h) ( 6)( ) < 0 h máimo dh dh ) Se desea constui una caja sin tapa con base ectangula de catón de 16 c, de ancho y 1 cm de lago, ecotando un cuadado de cada esquina y doblando los lados hacia aiba. Calcula el lado del cuadado paa el cual se obtiene una caja de volumen máimo. Sean: longitud en cm de los cuadados que van a cotase, V Volumen en cm El volumen de una caja es el poducto de sus dimensiones. 1

19 NOTA: no puede se negativa debido a que el ancho del catón mide 16 cm no puede cotase cuadado cuyos lados midan 8 cm de lago. V lah v V + () (1 )(16 ) () 7 6 dv dv dv + ( )( ) si d d d 9; ( vc..) ; : 0 ( 8) 0 dv dv ( 18 ) sustituimos : () 18< 0 máimocuando d d 5) Se desea elaboa un pequeño ecipiente cilíndico sin tapa, que tenga un volumen de cm, el mateial que se usa paa la base cuesta tes veces más que el que se emplea paa la pate cilíndica. Suponiendo que en la constucción no se despedicia mateial, evalua las dimensiones paa las que es mínimo el costo del mateial de fabicación. Donde: Radio de la base en (cm), h la altua en (cm), V cm Sustituyendo: h h h

20 Paa obtene la ecuación de Costo de Fabicación. A costo po cm paa la pate cuva El costo paa la base a( h) C B C El costo paa la pate cilíndica: C dc C C a( h) a ( áea del cilindo) El costo total C CB + CC C a( ) + a( h) C a( + h) Como h C( ) a + 8 dc 8 dc 8 C () a ( ) a ( 6 ( + )) 6a d d dc si : ( v. c.); si 0( no tiene sentido) d 96 dc 96 a ( 6+ ( )) ( () ) sust. v. c. en : a 6+ > 0 en mínimo d d como h h 6 6) Halla dos númeos positivos que minimicen la suma del doble del pimeo más el segundo, si el poducto de los dos númeos es 88. Sea: () El pime númeo, (y) el segundo númeo, S la suma de ellos. Del enunciado : S + y; y 88 y S + d d d ds ds ds ± ds 88 ds 88 sust v.. c en > 0 en 1 mínimo d d (1) si : 1 y

21 7) Un ganjeo dispone de 100 metos de valla, con los que desea constui un coal ectangula de la máima supeficie posible. (supeficiedel coal): S y; del enunciado + y 100 y 50 S (50 ) ds ds ( vc..) d d d s d < 0 en 5 máimo y 5 S. máima es de : S 65m 8) Halla un númeo positivo cuya suma con su inveso sea mínima. 1 1 Sea un númeo su invesoes: S + ds ds ds ± + d d d ds ds sust. v. c. > 0 en 1 mínimo d d (1) si : ( v. c.), peoel valo debe se 9) Dado un cículo de adio dm, inscibe en él un ectángulo de áea máima. S y( áea del ectágulo ) ABC + y 8 y 6 S 6

22 ( ) S si : S 0 ( ) 0 ± ( v. c.) peo : ni y pueden se( ) 6 ( 96) ( )(( ) 96) S sust... v c S < 0 máimo (6 ) (6 ( ) ) si : y 6 0) Calcula las coodenadas de los puntos de la paábola distancias al punto A (,0) sean mínimas. y, tales que sus d ( A, P) + y y la paábola : y sust. en d poq el punto ala paábola d ( ) + ( ) d d 0 ( vc..) d sust. v. c. d > 0 mínimo ( + 16) (() () + 16) ±. (, ); p (, ) si y p 1) De todas las paejas de númeos eales cuyas componentes tiene suma S dada enconta aquella paa la cual el poducto P de las mismas es máimo. Aplica lo anteio al caso S 0. a) sea : e y las componentes + y S y S ; además P y dp dp Sust. P ( S ) P + S + S 0 d d dp d < 0 en máimo si y (, ) S S S S S S 5

23 S S S de Pmá y Pmá ( ) Pmá b) Si: S 0 0, y 0 P 00. má ) De todas las paejas de númeos eales cuyas componentes positivas tienen poducto dado, enconta aquella paa la cual la sume de esas componentes es mínima. Aplica lo anteio al caso P 100. a.) Sea (, y) la paeja S + y; además P y y S + P ds P ds P ds 1 ; si : 0 P 0 P( v. c.); condición > 0 d d d ds p ds p sust. v.. c > 0 en P mínimo d d ( P) p si : y y p la paeja es ( p, p) y su suma : S p b) Siendo P 100 la paeja seá (10,10) y su suma S 0. ) Una caja ceada de base cuadada debe tene un volumen de 000 pulg. El mateial del fondo y de la tapa de la caja tiene un costo de 0.0 dólaes po pulg y el mateial de los lateales cuesta dólaes po pulg. Detemine las dimensiones de la caja paa que el costo total sea mínimo. P Sea pulgadas la longitud de un lado de la base cuadada y C () dólaes el costo total del mateial. El áea de la base es pu lg. Sea y pulgadas la pofundidad de la caja. Ve figua. Puesto que el volumen de la caja es el poducto del áea de la base po la pofundidad. 6

24 y 000 y 000 ( ) 1000 ( ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Del enunciado : C áea( tapa y fondo) + áea( lateales) C + y total total ; :(0, ) : (..) C + C + Dom C si C vc C 1 + sust... v c C > 0 en 10 mínimo (10) C : 10 pu lg; y 0 pu lg y el áea de la base seá de 100 p lg mín ) Demosta que de todos los ectángulos de peímeto p dado, el de máima áea es el cuadado. peímeto del ectángulo : p ( + y) + y p y ; y su áea : A y p p da p da p p sust. A ( ) A ; si 0 p 0 ( v. c.) d d p d A p p p p < 0 en máimo y y es un cuadado : Amá d 16 5) Si una leta ceada de estaño con un volumen de 16.pulg debe tene la foma de un cilindo cicula ecto, detemina la altua y el adio de dicha lata paa utiliza la mínima cantidad de mateial en su manufactua. áea supeficial lateal: h ( pu lg) áea de la pate supeio: pu lg áea de la base : ( pulg) S h+ t 7

25 16 El volumen del cilindo cicula ecto : V h 16 h h 16 S ( ) + S( ) + ; DomS( ): ( 0, + ) + S ( ) + S ( ) ; si: S ( ) 0 8 ( vc..) 6 6 S ( ) + sust. v. c. S + > 0 mínimo h () 6) Se desean constui cajas de catón sin tapa patiendo de cuadados de lado 0 cm. a los que se les ecotan las esquinas como indica la figua y doblando a lo lago de las líneas punteadas. a) Detemina la longitud de los ecotes paa que el volumen de la caja sea máimo. b) Detemina el volumen máimo Base un cuadado de lado y la altua V dom :(0 ) () () (0 ) ; :[0,0] dv dv dv 0 0 ( )( ) + ( 0 ) ( 0 )( 6+ 0) 0 0; (..) vc d d d dv dv 0 8( 0) sust. vc.. 8(( ) 0) 160 < 0 máimo d d v 0,7.10 cm 0 0 má 7) La esistencia de una viga de sección ectangula es popocional al poducto de su ancho a po el cuadado de su altua h. a) Calcula las dimensiones de la viga de máima esistencia que puede asease de un tonco de madea de foma cilíndica de diámeto Ø dado. b) Aplícalo al caso Ø 15 (pulgadas) c) Si el tonco tiene lago L epesa en pocentaje del volumen total de madea el 8

26 d) volumen de la viga. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA a) Sea : R la esistencia de la viga y k > 0 una cte R kah ABC Φ a h R( a) ka( Φ a ); 0 a Φ dr dr φ k( Φ a ) 0 a φ φ( vc..) da da d R d R φ φ 6 ka sust. v. c. 6 k < 0 en máimo da da φ si h φ 0.816φ b) Si Φ 15" 8cm a 8.65" cm; h 1," 1cm φ c) El volumen del tono cilíndico de londitud L seá : V L V1 ahl ah ElvolumendelavigadelongitudLseáV : 1 ahl 0.6 V φ φ L % de madea utilizada en la viga es 60% de la madea total. 8) Dos postes de 0 y 8 pies de altua espectivamente se encuentan a 0 pies de distancia. Se han de sujeta con cables fijados en un solo punto, desde el suelo a los 9

27 etemos de los puntos. Dónde se han de fija los cables paa que la cantidad de cable a emplea sea mínima? Sea W longitud del cable : W y + z Del T iangulo 1: y + 00 y + 00 Ec1 Del Tiángulo : z z z Ec ; :0 0 w Siempe que ( + 00 ) ( ) ( 0) dw / 60 dw + + d / + + d dw d dw d ( + 75)( 5) 0 75 ó 1.5 ( ) / [ ] Como 75 en 0,0 y los etemos son soluciones factibles (1.5 v. c.) 0

28 9) Se desea constui un tanque con foma de paalelepípedo ectangula de 5 m de volumen, con la pate supeio abieta según indica la figua. El lago del ectángulo base debe se doble del ancho. El mateial de la base tiene un costo de 100 $ paedes de 80 $ y el de las. Detemina las dimensiones del ecipiente paa que el costo de los mateiales sea mínimo, así como el coespondiente pecio del tanque. El cos to del tan que : C C + C T base sup. lat. El cos to del mateial de la base seá : C 100. Sup 100() a C 00 a base base base Costo de la sup eficie lateal : C 80S 80(6 ah) C 80ah lat lat lat 5 V m V a ah V a h a h h a CT 00a + 80 ah; como: T 5 T T dct CT ( a) 00 a + ; donde : a > 0 00a a da a dct da a a a vc (..) dct 1600 dct sust v. c > 0 a un mínimo da a da () si: a h.5 m Las dim ensiones : a m, h.5 m, L 6 m.; C T () $500. 0) Los Puntos A y B están opuestos uno al oto y sepaados po el ma Km. El punto C está en la misma oilla que B y 6 Km a su deecha. Una compañía de teléfonos desea 1

29 tende un cable de A a C. Si el costo po km de cable es 5% más cao bajo el agua que en tiea. Qué línea de cable seía menos costosa paa la compañía? AP Cantidad de cable bajo el agua.; ABP AP + 9 PC Cantidad de cable po tiea. PC 6 P Punto cualquiea ente BC.; donde0 6 Si a cos to en. De cada km de cable bajo tiea b cos to en Bs. De cada km de cable po tiea. 5b b 5b a a b + a b+ a b cos : 9; cos : 6 a El to total C a b C a 5 / C a C a / cos : (6 ) El to de cable bajo el agua a + El to de cable po tiea b [ ] C [ ] (..) 0,6 + ± vc 9 C(0) a; C(6) a 5 ; C() ( a) El valo meno es cuando 5 5 1/ 1/ 1/ ( + 9) ( + 9 ) ( + 9) O también C a C ( ) 9a ( + 9) ( + 9) C 9a C () > 0 mínimo + 9

30 1) Se desea constui un silo de foma cilíndica ematado po una bóveda semiesféica. El costo de constucción po m es doble en la bóveda que en la pate cilíndica. Encuenta las dimensiones h y Ø del silo de volumen V dado, de foma que el costo de constucción sea mínimo. Sea : R adio de la base; h la altua de la pate cilindica. Sup. lateal Rh; Sup. boveda R Costo de Sup lateal : A ; Costo de boveda : A T $ $ m m C RhA+ R A C AR R+ h T R V R si V esvolumen dado : V v R Rh+ h h 6 R R R + V dc T 8R v dct V C T R A A (..) V+ R R vc R dr R dr 8 dc T A( R + v) dct sust. v. c. 0 ( mínimo ) > dr R dr V V R V V Como φ R φ h h 8 R 9V 6 ) Se va a constui un calentado paa agua en el foma de un cilindo cicula ecto con eje vetical, usando paa ello una base de cobe y lados de hojalata; si el cobe

31 cuesta 5 veces lo que la hojalata. Calcule la azón se la altua al adio, que haá que el costo sea mínimo cuando el volumen V es constante. V : ; ;, Sean Radio h Altua V Volumen del cilindo V h h C C C si a h a además a el Costo del mateial T tapas + lados : cilindo ; cículo, [ ] [ ] Ctapas ( cobe) 5a ; Clados ( hojalata ) a h CT 5a + a h V V V sust. h C 10a + a 10 5 C a + a C a + V 10 V V C a 10 C a sic : 0 10 V 0 ( vc..) V V C ( ) a 10 + C ( ) a 5+ V V sust. v. c. C 10 a 5 + ( V / 10 ) 10 V V V [ ] V C 10 a 5 + C 10 a 15 C 10 60a> 0 mínimo. V : V V si 10 h V ( 10 ) ) Sobe la ibea de un ío cuya oilla se supone ectilínea se desea alamba una supeficie ectangula de 10 hectáeas. Admitiendo que el costo de alambado es popocional a la longitud a alamba, dimensiona el ectángulo paa que el costo de alambamiento sea mínimo. Se supone que no se alamba sobe la ibea. Recueda que

32 1 hectáea m. Si el alambado se constuye con 5 hilos y el ollo de m vale U$S 5. Calcula además el costo del alambe necesaio. A A Sea : L a su longitud ( m) L + y; y Aeláea A y y L + ; 0 dl A dl A dl d d d 1 0 A( vc..) dl A dl A A sust.( v. c.) > 0 mínimo si : A y d d A como : 1Hectaia m 7, 0 m; y,60 m; L 89,0 m Además, el alambado debe tene 5 hilos, L 7 m y el cos to total de alambe es de U$ S 156,5. total ) Un cilindo cicula ecto va a se inscito en una esfea con deteminado adio. Calcula la azón de la altua del adio de la base del cilindo que tenga la mayo áea de supeficie lateal. Sean : θ el ángulo al cento de las esfeas, : adio del cilindo; h: altua S : S h : áeas de la sup eficie lateal del cilindo. cos ; 0, De la figua : asenθ; h a cosθ S asen θ a cosθ S θ a senθ θ Dom 5

33 ds ds a (cos θ 1) 0 cos θ 1 0 θ ( vc..) Dom( 0, ) dθ dθ d S d S d S 16asenθcos θ 8asen θ; sustvc... 8a < 0 máimo dθ dθ dθ a a h asen( ) ; h a cos( ) h h a ( azón buscada) 5) Una fábica necesita una supeficie de piso de foma ectangula y áea A m paa caga de mateiales. Paa cea esa supeficie se constuián paedes de espesoes fijos de a metos y b metos como indica la figua. Dimensiona el ectángulo de caga paa que la supeficie ectangula eteio necesaia sea mínima. Sea : e y los lados del ectángulo, de áea A; a, b : los espesoes de las paedes. Los lados del ectángulo eteio :( + a) e ( y + b) y su áea S : S + a y + b A A además : A y y S ( + a) + b ; Donde : > 0 ds A A ds b aa ds aa + + ( + ) d d d b b a 0 ( vc..) ds aa ds aa aa b sust. v. c. > 0 mínimo si : y A d d b a aa ( b ) se deduce que : si ( a b) el ectángulo dec ag a y el ectángulo eteio seán cuadados. 6

34 6) Encuenta las dimensiones y h del cono ecto de base cicula de volumen máimo que puede inscibise en una esfea de adio R dado. h V volumen del cono El cono de volumen maimo debe tene su base en la semiesfea infeio pues todo cono tiene oto con base simetica especto al plano diametal de la esfea ^AC, en la semiesfea supeio, peo de meno altua, lo que pemite vaia h en [ R, R] Del tiángulo OCB R h R + R h R hr h dv dv R ( Rh h ) si : 0 h 0; h ( vc..) dh dh V() h hr h h V() h Rh h ; Donde : R h R dh dv dv R R R ( R 6 h) sustvc.. ( R 6( )) < 0 máimo si: h dh 7) Se lanza un poyectil en el vacio desde un punto 0 (ve figua) con velocidad V o y ángulo de inclinación θ. En el sistema (XOY) indica, la tayectoia del poyectil esponde a la función: Y().. ; 0 θ ; g 9.8 ; dadas, encuenta la altua máima (h má ) que alcanza el poyectil. a) Paa V o y θ b) Calcula el 7

35 alcance L del poyectil y suponiendo V o constante, indicando el valo θ o que da máimo alcance. g a) y + ( tgθ) ; 0 θ ; Siendo v0 y θ const V o cos θ dy g dy g Vo ( senθcos θ) + tgθ 0 tgθ d V cos θ d V cos θ g o o dy g < 0 máimo d Vo cos θ g o o ymá tgθ + o cos θ V sen θ cos θ V senθ cosθ Vo senθ ymá V g g g V V o o b) Sea L alcance L L ( g senθ cos θ) L( θ) sen ( θ) ; Paa : 0 θ g dl V o cos( o dl V θ ) dl cos ( θ) si : 0 cos ( θ) 0 θ (v.c.) dθ g dθ g dθ dl Vo sen( θ ) dl Vo sen( ( sust... v c ) ) V o < 0 máimo dθ g dθ g g en : θ 8) Un tanque de m. de altua apoyado en el piso se mantiene lleno de agua mientas que po un oificio pacticado en una de sus paedes escapa un choo que golpea el piso en el punto A, a una distancia de la paed. Admite que el choo tiene foma paabólica y que en el sistema (XY) indicado su ecuación es: Y.., Donde V o es la velocidad del choo a la salida del oificio y g la aceleación de la gavedad. Sabiendo que V o.., se pide que detemines la pofundidad h a que 8

36 debe encontase el oificio paa que el choo golpee el piso a máima distancia del tanque. g g Dada : y ; de la Fig. el punto Aes : A (, h) h V V o o g ( 0): 0 la velocidad de salida del líquido V V gh h h ( gh) h h( h) ( h) h h Donde : 0; 0 h d (1 h) d si 0 h 1( vc..) dh h( h) dh d < 0 en h 1 máimo ( h) h h dh ( h( h)) 9) Considea una cicunfeencia de adio R dado. Se insciben en ella tiángulos isósceles ABC. a) Calcula el peímeto de los tiángulos en función del ángulo θ. b) Halla el tiangulo de peímeto máimo. a.) sea p el peimeto ABC. Del : OMB : MOB θ ( ángulo cental e inscito coespondientes) ( θ) MB Rsen AB ( Rsen( θ)) 9

37 MB Rsen ( θ) Rsen ( θ) CMB : BC BC BC Rcos( θ) sen θ sen θ sen θ p( θ) Rsen( θ) + (Rcos θ) p( θ) R( sen( θ) + cosθ) p( θ) Rcosθ( 1+ senθ) dp dp b.) R sen θ( senθ 1) cosθcos θ R( cos θ sen θ sen θ) Paa : 0 θ dθ + + dθ dp dp 1± 1+ 8 R( sen θ sen θ+ 1 ); si 0 sen θ sen θ+ 1 0 sen θ dθ dθ 1 senθ θ (..) v c en 0 θ 6 dp dp 1Rcos θ sust. vc.. 1Rcos ( 6 ) 6R < 0 máimo dθ dθ p R cos sen + 1 R El tiángulo es equiláteo ) Un geneado de fueza electomotiz constante ε y esistencia intena se conecta a una esistencia de caga R. en esas condiciones la potencia P disipada po la esistencia R esta epesada po la elación: P., R y en Ω, V en voltios. Detemine el valo de R en función de paa que la potencia sea máima. ( ) ( R+ ) R.( R+ ) ( ) ( R ) Rε dp dp + PR ε ε ( R+ ) dr R+ dr ( R+ ) dp 0 R + 0 R ( vc..) dr dp ε R dp ε R R ε sust... v c < 0 máimo P R+ R+ R má dr dr R a 51) Detemine los valoes de las constantes a, b, y c paa la cuva y b + c etemos elativos en ( 1, 1 ) y ( 1, 1 ) La deivada coespondiente a la función objeto de estudio está dada po: y pesente a( b c ). b + c La eistencia de etemos elativos en ± 1 indica que en este pa de valoes y 0, esto es, a ( b c) 0. De aquí, a 0, o b c. De acá sólo es admisible b c. Como los puntos dados satisfacen la ecuación dada y usando la última elación obtenida, se tiene: 0

38 a b + c 1 a b 1 a b. De esta foma, si a b c, la ecuación en cuestión se puede escibi como a a y. Po lo tanto, es ielevante el valo de a, lo a + a a( 1 + ) 1 + vedadeamente impotante es la elación obtenida ente las constantes. 5) Un vehículo debe tasladase desde el punto A hasta el punto B de la figua. El punto A dista 6 Km de una caetea ectilínea. Sobe la caetea el vehículo puede desaolla una velocidad de 100, mientas que sobe el teeno puede desaolla una velocidad de 80. a) Se desea sabe cual es el ecoido que debe ealiza el conducto paa que el tiempo empleado en i desde A hasta B sea mínimo. b) Calcula ese tiempo. km sea : v 80 apidez en el teeno, v 100 apidez en la caetea. km 1 h MN d, NB d 100, d d 6km MN NB AM Del AMN : d d + AN d d NB v1 v v1 v Po M. RU.. t ; t t + ; [0,100] dt d v AN 1 dt v v1 d + d + v d v d + v v v1 v v1 (100) (80) dt d dt v1 ( d + ) h dv ± dv (6)(80) v v dv 8( vc..) d sust... v c > 0 mínimo en 8 d b.) El tiempo de ecoido sea : t 1 h 16m 1

39 5) Demueste que la cuva de ecuación ningún valo de a. y a no tiene mínimo elativo paa El dominio de la cuva está dado po, R { 0}. De donde eiste una asíntota vetical en 0, ( ) a + a y siy a vc (. ) a a a ( a ) y" y" sust v. c. y" 6< 0 máimoen a a 5) Se considea un cuadado de lado 1 m. En tes vétices consecutivos, de él se toman los centos de tes cicunfeencias de foma que los adios de las que tienen centos en vétices consecutivos, sumen 1 m. a) Encuenta los valoes etemos de los adios de foma que los cuadantes de cículo sombeados no se solapen. b) calcula los adios de las cicunfeencias paa que el áea sombeada sea mínima. c) calcula dicha áea. a.) Como los cículos de centos A y C son de igual adio, el máimo valo paa que aquellos no se solapen seá, la mitad de la diagonal del cuadado. L siendo el lado L del cuadado de 1 m : má m á m

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