1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y

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1 UNIDAD I. FUNCIONES POLINOMIALES Conceptos clave: Sean X y Y dos conjuntos no vacíos. 1. Una función de X en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X con un único elemento de Y 2. función polinomial es de la forma Donde son números reales llamados los coeficientes de la función polinomial y es un entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los números reales. 3. es el coeficiente principal de la función y es el grado de la función polinomial. Una forma de graficar una función polinomial es asignar valores a la variable, y calcular estos para, de esta forma se tienen algunas parejas ordenadas que forman parte de la función. Ejemplos 1) La altura h en metros de una pelota de golf lanzada desde un montículo en un tiempo de t dado en segundos está dada por h(t)= -4t 2 +20t+5.? P1 Cuándo, Cual es el valor de la altura? P2. Cuándo, Cual es el valor de la altura? P3 Cuándo, Cual es el valor de la altura P4 Qué implica este último resultado? Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-1

2 En la expresión dada la altura depende únicamente de tiempo t. P5 De acuerdo al concepto clave 2, es una función polinomial P6 Por qué? P7 Cuáles son los coeficientes de? P8 De qué grado es la función polinomial? 2) Se requiere construir una caja sin tapa, a partir de una lámina rectangular que mide 21cm de largo y 16cm de ancho. Se debe construir la caja cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas de la lámina, doblando hacia arriba los lados y soldando. Encuentra la medida del lado de los cuadrados que deben cortarse para obtener la caja de volumen máximo. x x x x 16 cm x x 21 cm x x Si es la medida del lado del cuadrado que cortaremos en cada esquina, P9 Cuánto mide el largo del rectángulo? 21 - P10 Cuánto mide el ancho del rectángulo? Unidad 1 Funciones Polinomiales

3 P11 Cuál será la altura de la caja? P12 Cuál será el volumen de la caja? V=(21 - )(16 - )x Haciendo las operaciones correspondientes, el volumen anterior puede escribirse como: Es una expresión que indica que el volumen de la caja depende únicamente del lado x del cuadrado que cortamos. P13 De acuerdo al concepto clave 2, es una función polinomial P14 Por qué? P15 Cuáles son los coeficientes de? P16 De qué grado es la función polinomial? P17 En la siguiente tabla, completa los valores que faltan, según el lado del cuadrado. Lado del cuadrado Volumen de la Caja V Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-3

4 En el ejercicio anterior, es el lado del cuadrado que se corta en cada esquina de la lámina, representa un número, tomado de un conjunto D de números reales. Hay una regla de correspondencia que asocia a cada valor un único número real V, en donde V (volumen) es un número tomado de un conjunto C de números reales. La regla de correspondencia es: En el ejercicio de la caja: P18 Porqué no puede ser menor que cero? P19 Porqué no puede ser mayor que ocho? P20 El valor de solamente puede ser entero? P21 El volumen puede tomar valores negativos? 1-4 Unidad 1 Funciones Polinomiales

5 3) Una compañía de Gas LP, desea construir tanques de gas para empresas que así lo demandan, se requiere soldar a una pieza cilíndrica de acero de 6 mts de largo con dos semiesferas en cada extremo, tal como se muestra abajo. Se requiere modificar el volumen del tanque, pero sólo es permitido variar el radio, es decir, el largo del tanque debe permanecer constante a 6mts. P22 El volumen del cilindro es es 6mts, entonces, pero debido a que la altura siempre Si unimos las dos mitades de las esferas, se forma una esfera cuyo volumen es: P23 Cuál es el volumen total del tanque? Es una expresión que indica que el volumen del tanque depende únicamente del radio, tal como se especificó en un principio. P24 De acuerdo al concepto clave 2, Por qué es función polinomial? P25 Cuáles son los coeficientes de? P26 De qué grado es la función polinomial? Hay una regla de correspondencia que asocia a cada valor x un único número real V, en donde V (volumen) es un número tomado de un conjunto de números reales. P27 La regla de correspondencia es: Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-5

6 4) Se tiene un troco cilíndrico de 30cm de diámetro y se requiere obtener una viga con la mayor resistencia posible. Sabiendo que la resistencia es directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la altura. Cuál es el ancho y el alto de la viga? Vista de frente y x P28 Si es el ancho de la viga y la altura, cuándo mide la diagonal? P29 Por qué? 30cm y x P30 De acuerdo con el teorema de Pitágoras P31 Despejando, por lo tanto y 1-6 Unidad 1 Funciones Polinomiales

7 P32 Si anteriormente indicamos que la resistencia R de la viga de sección transversal rectangular es directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la altura, podemos decir que P33 Completa la siguiente tabla con los valores que se te solicitan para (ancho), realiza las operaciones y obtén (altura) y (resistencia) Se puede observar que a valores distintos del ancho, la altura varía al igual que la resistencia Con base en los resultados, a qué altura y ancho de la viga parece haber una resistencia mayor? De acuerdo a lo obtenido sabemos que., y también que Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-7

8 P34 Utilizando la ecuación 2 para sustituirla en la ecuación 1 tenemos: La expresión que acabas de obtener, depende solo de la variable x, que en el contexto del problema representa a, es decir: La resistencia así calculada dependerá solo del ancho de la viga. P35 De qué grado es la función polinomial? Hay una regla de correspondencia que asocia a cada valor x un único número real R, en donde R (resistencia) es un número tomado de un conjunto de números reales. P36.La regla de correspondencia es: P37 Completa la siguiente tabla con los valores que se te solicitan para x(ancho), obtén y(altura) y R(resistencia) Unidad 1 Funciones Polinomiales

9 Ejercicio 1.1 Para cada uno de los ejercicios siguientes encontrar la función que se solicita e indicar si se trata de una función polinomial y justificarlo, indicar también de que grado es esta. 1.- La altura h en metros de una pelota de golf lanzada desde un montículo en un tiempo de t dado en segundos está dada por a) Cuándo.5, Cual es el valor de la altura? b) Cuándo, Cual es el valor de la altura? c) Cuándo, Cual es el valor de la altura? d) Cuándo, Cual es el valor de la altura? e) Qué implica este último valor? 2.- Si el volumen de una caja en forma de prisma rectangular es 210cm 3 y las dimensiones de la caja en centímetros son tres números naturales consecutivos. Encuentra las dimensiones de la caja. 3.-Se necesitan construir cajas para regalo como la que se muestra en la siguiente figura: Si se cortan 6 cuadrados de cm por lado en cada esquina y en la parte media de una lámina rectangular y posteriormente se doblan hacia arriba los extremos y los lados, se forma una caja con su tapadera. a) Encuentra la función que representa el volumen de la caja b) Si mide 6cm. Cuál es el volumen de la caja? c) Si mide 5cm. Cuál es el volumen de la caja? d) Cuál es el máximo valor que puede tomar? e) El valor de solamente puede ser entero? f) El volumen puede tomar valores negativos? Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-9

10 g) Si el volumen de la caja es de cm 3 Cuánto mide su alto? 4.- Si se construye tanque de almacenamiento para granos (llamado silo) de forma cilíndrica con una tapa en forma de semiesfera, encuentra la función que representa el volumen sabiendo que la altura del cilindro siempre debe ser de 9mts y el radio puede variar. r 9mts 5.- Determinar el punto de la parábola que esté más cercano al punto (5,25). Ayuda:, como el punto (x,y) satisface la ecuación, se sustituye esta última en la ecuación de la distancia Unidad 1 Funciones Polinomiales

11 Conceptos clave: Sean y dos conjuntos no vacíos. 4. Una función de en es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de con un único elemento de. 5. Dominio de la función es el conjunto. 6. Valor de la función en x o imagen de. Es el elemento de Y correspondiente a un elemento de. 7. Rango de la función, es el conjunto de todas las imágenes. 8. Cada uno de los elementos del conjunto deberá tener una imagen, pudiendo incluso ser la misma. 9. No todos los elementos de son imágenes de uno o más elementos de, por tanto, el rango pudiera ser un subconjunto de. Conjunto Conjunto Regla=f Rango DOMINIO 10. Los conjuntos y se pueden definir en términos de variables dependientes e independientes, así, los elementos del conjunto pueden entenderse como las variables independientes y los elementos del conjunto como las variables dependientes. 11. Al conjunto se le denomina como, se lee de o función de. Algunas otras veces 12. El contradominio, es el conjunto de números de entre los cuales se podrán elegir aquellos y que se asociarán a cada x. 13. Los elementos de y que se utilizan para asociarse con algún elemento x son el rango de la función. 14. La función puede representarse como un conjunto de parejas ordenadas (x,y), donde 15. No puede haber dos o más parejas ordenadas con el mismo primer Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-11

12 elemento. Cuando en el símbolo, se reemplaza por un numero, como,,, etc. El símbolo representa también un número. Es decir, el valor obtenido al sustituir en la regla de correspondencia por el número dado. Ejemplos 1) Si sabes que toda persona tiene cierta estatura, estas asociando el nombre de la persona con un número que es precisamente la altura de la persona. Una misma persona puede tener dos estaturas distintas? Dos personas pueden tener la misma estatura? La estatura podría ser un numero negativo? P38. Cuál es el dominio? P39. Cuál es el rango? De acuerdo al concepto clave 10, la variable dependiente es y la variable independiente es: 2) Cuando te das de alta en una red social por ejemplo facebook, uno de los datos que te pide es tu nombre, al final tendrás una cuenta en facebook. P40. La misma cuenta puede ser usada por dos distintas personas? (Se asume que la cuenta no puede ser prestada o trasferida). P41. Una misma persona puede tener dos o más cuentas diferentes? P42. Cuál es el dominio? P43. Cuál es el rango? De acuerdo al concepto clave 10, la variable dependiente es y la variable independiente es: 1-12 Unidad 1 Funciones Polinomiales

13 3) En el ejemplo de la sección anterior de la pelota de golf lanzada desde un montículo cuya altura en un tiempo en segundos es. P44. Cuál es el dominio? P45. Cuál es el rango? 4) En el ejemplo de la sección anterior de la caja sin tapa, donde debía obtenerse la caja de volumen máximo. x x x x 16 cm x x 21 cm x x Encontraste que la regla de correspondencia se podía escribir como: Es una expresión que indica que el volumen de la caja depende únicamente del lado del cuadrado que cortamos. La siguiente tabla, la completaste en la sección anterior. Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-13

14 Lado del cuadrado Volumen de la Caja De acuerdo a los conceptos clave 11 a 14, los valores correspondientes de y, pueden registrarse como un conjunto de parejas ordenadas, donde el primer elemento representa el lado del cuadrado y el segundo al volumen que le corresponde. Toma los valores correspondientes en la tabla para formar las siguientes parejas ordenadas. (2.6, ); (2.8, ); (3, ); (3.2, ); (3.4, ) Localiza otros puntos por ejemplo da valores a volumen correspondiente a cada uno. desde 0 hasta 8 y calcula el Las parejas ordenadas pueden ubicarse en una gráfica, lo primero es localizar en un sistema de coordenadas cartesianas las parejas y después unir en un trazo suave dichos puntos Así podemos decir que de acuerdo a lo visto y a los conceptos clave que: P46. En el problema de la caja, cuál es el dominio y rango de la función? 1-14 Unidad 1 Funciones Polinomiales

15 En el problema del tronco cilíndrico de 30cm de diámetro en donde se requería obtener una viga con la mayor resistencia posible. Sabiendo que la resistencia es directamente proporcional al ancho y al cuadrado de la altura. Encontraste que la regla de correspondencia es: Toma los valores correspondientes en la tabla y forma en tu cuaderno las parejas ordenadas, tal como lo hiciste para el ejemplo de la caja. Localiza los puntos sobre el eje cartesiano y bosqueja la grafica, si es necesario, proporciona mas valores para que formes más parejas ordenadas Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-15

16 Ejercicio 1.2 Para cada una de las siguientes funciones: a) identifica el dominio y el rango b) Elabora una tabla de valores permitidos de acuerdo con el dominio. c) Forma las parejas ordenadas a partir de la tabla de valores del inciso b). d) Bosqueja la gráfica de cada una de las funciones Unidad 1 Funciones Polinomiales

17 Conceptos clave: 16. Intervalo. es una forma de expresar una parte de la recta numérica. a. Intervalo cerrado. Sean a y b dos números reales con a<b; un intervalo cerrado se denota por [a,b], consta de todos los números reales x, en donde x, es mayor o igual que a y menor o igual que b, es decir,. b. Intervalo abierto. Sean a y b dos números reales con a<b; un intervalo abierto se denota por (a,b), consta de todos los números reales x, en donde x, es mayor que a y menor que b, es decir,. c. Intervalos semiabiertos o semicerrados. Son [a,b) que comprende a todos los números reales x para los cuales x es mayor o igual que a y menor que b, es decir, y (a,b] que comprende a todos los números reales x para los cuales x es mayor que a y menor o igual que b, es decir,. En cada una de las definiciones anteriores, a es el extremo izquierdo y b es el extremo derecho. 17. El símbolo, (se lee infinito), es una notación que indica que no hay límite en la dirección positiva. 18. El símbolo -, (se lee menos infinito), es una notación que indica que no hay límite en la dirección negativa. De esta forma podemos definir otros intervalos: 19. son todos los números x para los cuales tambien se expresa como:, 20. son todos los números x para los cuales tambien se expresa como:, 21. son todos los números x para los cuales tambien se expresa como:, 22. son todos los números x para los cuales tambien se expresa como:, 23. son todos los números x reales para los cuales para los cuales, es decir, todos los números reales. Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-17

18 Ejemplos 1) De acuerdo al concepto clave 16.a, Una forma de representar a los números reales que se encuentran entre 1 y 4 incluyendo al 1 y al 4, es: [1,4]. P47. El numero 1.5 está dentro del intervalo? P48. El numero está dentro del intervalo? P49. El numero está dentro del intervalo? P50. El numero está dentro del intervalo? Una infinidad de números, se encuentran dentro del intervalo [1,4]. P51. Si requieres representar un intervalo de números entre -1 y 5, pero sin incluir al -1 ni al 5, Cómo lo representarías? P52. Si requieres representar un intervalo de números entre el -10 y -8, pero sin incluir al -8, Cómo lo representarías? P53. Indica con tus propias palabras que representan los siguientes intervalos a) [-4,5) b) (-4,5) c) (-4,5] 1-18 Unidad 1 Funciones Polinomiales

19 d) [-4,5] e) P54. Indica con una S dentro del paréntesis, si el valor dado se encuentra dentro del intervalo dado, en otro caso deja el paréntesis en blanco. a) 9.873, está en el intervalo [9,10) ( ) b) , está en el intervalo (-11,0] ( ) c) 0 está en el intervalo (0,10) ( ) d) 100, está en el intervalo (90,100] ( ) e) 14.59, está en el intervalo [14.59,16) ( ) f) -1.2, está en el intervalo (-2,0] ( ) g) 73, está en el intervalo (70,73) ( ) h) -22, está en el intervalo (-23,9) ( ) i) 9.873, está en el intervalo [9,9.5] ( ) j) , está en el intervalo [-11.22,0] ( ) Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-19

20 Ejercicio Indica con tus propias palabras que representan los siguientes intervalos, por mucha atención, algunos intervalos no tienen sentido y deberás indicarlo. 1. Intervalos a) [-8,3) b) (-4,-5) c) (-3,4] d) [-3,10] e) 2. Indica el intervalo según corresponda: a) Todos los números comprendidos entre 9 y 12. b) Todos los números comprendidos entre 9 y 12 incluyendo al 9 c) Todos los números entre -14 y -5 incluyendo a -5 d) e) f) g) 3.- Indica con una S dentro del paréntesis, si el valor dado se encuentra dentro del intervalo dado, en otro caso deja el paréntesis en blanco. a) 11.3, está en el intervalo [5,112) ( ) b) -22, está en el intervalo (-11,0] ( ) c) -1 está en el intervalo (-1,10) ( ) d) , está en el intervalo (-14,-13] ( ) e) , está en el intervalo [14.1,14.2) ( ) f) -9.9, está en el intervalo (-10,0] ( ) g) 7.11, está en el intervalo (7,7.3) ( ) h) -1010, está en el intervalo [-1100,9) ( ) i) 873.9, está en el intervalo (873.9, 900] ( ) j) , está en el intervalo [-873.9,0) ( ) 1-20 Unidad 1 Funciones Polinomiales

21 Conceptos clave: 24. Ecuación polinomial con dos variables Si a le restamos entonces: Si sustituimos por la variable obtenemos una ecuación polinomial con dos variables. Otra forma de expresarlo es: Donde ecuación polinomial y son números reales llamados los coeficientes de la es un entero no negativo. es el coeficiente principal de la ecuación y polinomial. es el grado de la ecuación 25. En el caso de una función polinomial al valor x que hace que Se le llama cero del polinomio. Cuando esto sucede, se tiene un punto donde la gráfica corta al eje x, es decir, el par ordenado (x,0). 26. Al valor de x que cumple con: Se le llama solución o raíz de la ecuación. Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-21

22 Ejemplos 1) De acuerdo al concepto clave 24 para, si sustituimos por la variable, obtenemos: o 2) Para en,, por lo tanto, de esta forma tenemos la pareja ordenada. En la siguiente tabla encuentra las parejas ordenadas para los valores de la variable x que se indican. P P56. Podrías evaluar la función anterior para valores no enteros? Por qué?. P57. Evalúa para x con los siguientes valores 2.56, 1.45 y forma las parejas ordenadas Unidad 1 Funciones Polinomiales

23 P58. Con las parejas ordenadas que obtuviste bosqueja la gráfica de, P59. Cuál es el dominio y rango de la función? De acuerdo al concepto clave 24, obtuviste la ecuación polinomial o Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-23

24 Notaras que se cumple con: ordenada (-2,-13), tenemos:, es decir, tomando la pareja Toma otras parejas ordenadas de la tabla que ya calculaste y verifica que esto siempre se cumple. Para (, ) ; Para (, ) ; Para (, ) ; Para (, ) ; P60. De acuerdo al concepto clave 25, Cuál es el valor de que hace que? P61. Cuál es la pareja ordenada? P62. De acuerdo al concepto clave 26, cual es la raíz o solución de la ecuación. La grafica corta el eje en ese punto. 2) Para de acuerdo al concepto clave 24 tenemos: P63. o P64. Evalúa para los valores que se indican en la tabla Unidad 1 Funciones Polinomiales

25 P65. Bosqueja la gráfica Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-25

26 P66. Cuál es el dominio y rango de la función? De acuerdo al concepto clave 24, obtuviste la ecuación polinomial Toma algunas parejas ordenadas y como en el ejemplo anterior, verifica que o Para: (, ); 0 Para: (, ); 0 Para: (, ); 0 Para: (, ); 0 P67. De acuerdo al concepto clave 25, Cuáles son los valores de que hacen que? P68. Cuáles son las parejas ordenadas? P69. De acuerdo al concepto clave 26, cuales son las raíces o soluciones de la ecuación. La grafica corta el eje en esos puntos Unidad 1 Funciones Polinomiales

27 Ejercicio 1.4 Para cada uno de las funciones dadas. a) Indica cual es dominio y rango b) Elabora una tabla de valores (en un rango de -5 a 5) c) Indica cuál es el valor o valores de que hacen que. d) Indica cuál es la pareja ordenada o parejas ordenadas que cumplen con el inciso c. e) Cuáles son las raíces de la ecuación f) Bosqueja la gráfica Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-27

28 Conceptos clave: 27. Criterio de la recta vertical En el plano cartesiano podemos representar los puntos de coordenadas que satisfagan cierta función. Sin embargo, como antes ya mencionamos en los conceptos clave de la primera sección, cada numero, en el dominio de, tiene una y solo una imagen. Es por esta razón que la grafica de una función, no puede tener dos puntos con la misma abscisa y distintas ordenadas. Por lo anterior, la grafica de una función debe satisfacer el criterio de la recta vertical. Un conjunto de puntos en el plano xy, es la gráfica de una función si, y solo si, una recta vertical intersecta a la gráfica a lo mas en un punto. Concluimos que si la recta vertical intersecta a la gráfica en más de un punto, entonces NO es una función. Ejemplos 1) En la siguiente gráfica indica mediante el criterio de la recta vertical si se trata de una función o no. P70. Si trazas una recta vertical en la gráfica de arriba, en cuántos puntos intersecta a la grafica? 1-28 Unidad 1 Funciones Polinomiales

29 P71. Dado lo anterior puedes concluir que la grafica representa a una función. 2) En las siguientes gráficas indica mediante el criterio de la recta vertical si se trata de una función o no. a) b) c) d) P72. Dado lo anterior puedes concluir que: La grafica a) representa a una función. La grafica b) representa a una función. La grafica c) representa a una función. Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-29

30 La grafica d) representa a una función. Conceptos clave: Teorema del factor 28. Sea f una función polinomial, entonces es un factor de ) si, y solo si. Es decir, a) Si, entonces es un factor de, b) Si es un factor de, entonces. c) Al número c, se le conoce también como cero o raíz del polinomio. La factorización de un polinomio, consiste en expresarlo como el producto de un conjunto de binomios de la forma con a y b números reales, de tal manera que el resultado de la multiplicación de dichos binomios sea precisamente el polinomio original. Factorización de funciones polinomiales 29. Las funciones polinomiales pueden factorizarse de la misma forma que se hace para un polinomio. a) factor común. b). Diferencia de cuadrados. c). Binomio con un término común. d). Diferencia de cubos. e). Suma de cubos Unidad 1 Funciones Polinomiales

31 Ejemplos P73. De acuerdo al concepto clave 29a, la función polinomial, se puede factorizar como: P74. De acuerdo al concepto clave 29b, en lo que está entre paréntesis, puede también factorizarse como: De tal forma que al factorizar, queda como. Cuando,, en que otros dos casos el valor de x hace que,, de acuerdo al concepto clave 28c, son los ceros o del polinomio. P75. De acuerdo al concepto clave 28, Cuáles son los tres factores de,,. 2) De acuerdo al concepto clave 29c, la función, puede factorizarse como P76. Cuáles son los dos casos en que 0, Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-31

32 P77. De acuerdo al concepto clave 28b, Cuáles son los dos factores de,. Cuáles son los ceros o raíces del polinomio?, 3) La función de acuerdo al concepto clave 29d, puede factorizarse como P78. Indica una de las raíces del polinomio, Cuál es uno de sus factores? Seguramente ya te diste cuenta, los ceros o raíces de una función polinomial los podemos obtener de los factores de dicha función como se indica en concepto clave 28c, o viceversa, si sabemos las raíces o ceros de una función polinomial, podremos encontrar sus factores. Ejemplos 1) En evalúa la función cuando De acuerdo con los conceptos clave 28b y 28c, un factor de la anterior función es: y por tanto una de sus raíces o cero es: 1-32 Unidad 1 Funciones Polinomiales

33 Sabiendo que uno de sus factores es como:, la función puede escribirse P79. Pero en, podemos aplicar el concepto clave 29c y factorizar, por lo tanto la función factorizada es: En el caso anterior fue fácil encontrar los tres factores, sin embargo, esto no siempre sucede. Tomaremos este mismo ejemplo para explicar otra forma de obtener los factores de un polinomio cuando la respuesta no es tan sencilla. Suponiendo que tienes el factor de un número por ejemplo, 202=28( ) Cómo sabes cuál es el otro factor? Esto mismo se hace para encontrar los factores de la función polinomial, es decir, dividir entre el factor conocido. Repasemos brevemente lo que haces cuando divides: 3 Toca a X7 = 21, cambiamos signo y lo restamos de Restan 4 Cociente Divisor Dividento Residuo Para los polinomios el procedimiento es el mismo, Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-33

34 Procedimiento para dividir un polinomio. De acuerdo al ejemplo, la función polinomial es, sabiendo que es un factor, procedemos a hacer la siguiente división: 1.- Debemos encontrar la forma de que al multiplicar por alguna otra constante o variable y cambiar su signo podamos eliminar. La variable es: términos cambiamos signo a todos los 2.- Procedemos como en el paso 1, ahora busca la forma de que al multiplicar por alguna otra variable o constante y cambiarle signo, sea posible eliminar. En este caso de antemano sabíamos que el residuo sería cero, puesto que es factor del polinomio o dicho de otra forma, 2 es raíz del polinomio. El valor es: cambiamos signo a todos los términos. 3.- Ahora nuevamente procedemos como en los pasos 1 y 2, debes buscar una constante o variable que al multiplicarla por y cambiarle signo, sea posible eliminar. El valor es: términos. cambiamos el signo a todos los Como en cualquier otra división, cuando el residuo es cero, podemos decir que Trasladado a nuestra función polinomial, Dividendo = Divisor X Cociente 1-34 Unidad 1 Funciones Polinomiales

35 Sabemos que los otros factores de este polinomio son, pudimos haber hecho la división con cualquiera de estos dos y el residuo hubiera sido también cero, Por qué? Ejemplos 1) En, demuestra que es un factor de la función polinomial, es decir, que, es un cero o raíz de la función. P Debemos encontrar la forma de que al multiplicar por alguna otra constante o variable y cambiar su signo podamos eliminar. Cuál es ese valor? todos los terminos cambiamos signo a 2.- Procedemos como en el paso 1, ahora busca la forma de que al multiplicar por alguna otra variable o constante y cambiarle signo, sea posible eliminar. El valor es: signo a todos los términos. cambiamos 3.- Ahora nuevamente procedemos como en los pasos 1 y 2, debes buscar una constante o variable que al multiplicarla por y cambiarle signo, sea posible eliminar Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-35

36 El valor es: cambiamos signo a todos los términos. el 2) En, demuestra que es un factor de la función polinomial, es decir, que, es un cero o raíz de la función. P Debemos encontrar la forma de que al multiplicar por alguna otra constante o variable y cambiar su signo podamos eliminar. Cuál es ese valor? signo a todos los términos cambiamos Continúa hasta finalizar, Cuál será el residuo? 1-36 Unidad 1 Funciones Polinomiales

37 Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-37

38 Ejercicio 1.5 Realiza los siguientes ejercicios: a) Indica cuales son los factores b) Indica cuales son los ceros o raíces del polinomio c) utiliza el criterio de la recta vertical para determinar si se trata o no de una función Escribe las funciones en sus respectivos factores, sabiendo uno de sus factores: 5. Un factor es: 6. Un factor es: 7. Un factor es: 8. Un factor es: En los siguientes ejercicios, demuestra por medio de la división de polinomios si el valor dado es factor o no de la función polinomial dada. 9. Factores propuestos 10. Factores propuestos 11. Factores propuestos 12. Factores propuestos 1-38 Unidad 1 Funciones Polinomiales

39 Conceptos clave: División sintética Para encontrar el cociente y residuo de una función polinomial de grado 1 o mayor que es dividida entre, una versión abreviada de la división larga, es la llamada división sintética mucho más fácil de manejar. 30. Teorema del factor Sea una función polinomial, entonces es un factor de si, y solo si,. Es decir, a) Si, entonces es un factor de b) Si es un factor de, entonces c) Al número c, se le conoce también como cero o raíz del polinomio. La factorización de un polinomio, consiste en expresarlo como el producto de un conjunto de binomios de la forma con a y b números reales, de tal manera que el resultado de la multiplicación de dichos binomios sea precisamente el polinomio original. 31. Teorema del residuo: Sea una función polinomial. Si es dividida entre, entonces el residuo es 32. Una ecuación polinomial de grado tiene exactamente factores lineales y por tanto raíces. Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-39

40 Procedimiento para la división sintética. siguiente arreglo: Para la función polinomial, sabiendo que es un factor, procedemos usar el Divisor Dividendo Productos parciales Cociente y residuo 1. En el dividendo escribe sólo los coeficientes del polinomio, en orden descendente. Divisor Productos parciales Cociente y residuo 2. En el lugar del divisor anota el término constante cambiando el signo de este Productos parciales Cociente y residuo 3. La fila de productos parciales la dejamos en blanco y bajamos el primer coeficiente del dividendo a la tercera fila, para ir formando el cociente Unidad 1 Funciones Polinomiales

41 4. Multiplicamos este cociente por el divisor y anotamos el producto abajo del segundo coeficiente del dividendo Sumamos la columna Multiplicamos el resultado por el divisor y anotamos el resultado para el tercer coeficiente del polinomio Se hace la suma de la columna Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-41

42 8. Multiplicamos el resultado por el divisor y ponemos el producto bajo la columna del cuarto coeficiente (divisor) Obtenemos la suma de la cuarta columna El residuo es cero Los tres números de la tercera fila 1, 4 y 3, son los coeficientes del cociente, el cual es un polinomio de un grado menor que el dividendo, es decir, el polinomio resultante es. De acuerdo con el concepto clave 30, si el residuo es cero entonces es un factor. Si este no fuera un factor y de acuerdo con el concepto clave 31 el residuo sería. Ejemplos 1) En utiliza división sintética y demuestra que de acuerdo al concepto clave 31, el residuo es 8 cuando el divisor es De acuerdo el procedimiento, Cuál es el divisor ya con el cambio de signo? Cuáles son los coeficientes? 1-42 Unidad 1 Funciones Polinomiales

43 P83. Realiza la división sintética en tu cuaderno, guíate con el procedimiento para la división sintética que antes hicimos. 2) Usa la división sintética y demuestra que es un factor de Si es un factor, entonces al evaluar De acuerdo al procedimiento antes visto, puesto que, es un factor, de acuerdo al concepto clave 30 el residuo de la división sintética debe ser: Si en un polinomio faltaran algunas potencias de, por ejemplo Al hacer la división sintética, deben incluirse ceros en las posiciones faltantes, es decir: Posteriormente se procede a realizar la división. Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-43

44 3) En 6 si es una raíz, es decir, que al evaluar la función en ese valor el resultado será: Por el teorema del factor (concepto clave 30) se cumple que: Si efectúas la división sintética para el factor, el residuo será: Entonces el cociente nos arroja el factor buscado, es decir, la función, 6, puede ser factorizada como: ) P84. Podemos efectuar la división sintética sobre este nuevo factor o aplicar la formula general de segundo grado y encontraremos que los otros dos factores son: P85. Así es que, puede factorizarse y escribirse como: 4) Si, y son tres de las cinco raíces de la función Factorizala y obtén las otras dos raíces. P86. Sabiendo que una de las raíces es aplicando división sintética obtenemos que el cociente resultante es: 1-44 Unidad 1 Funciones Polinomiales

45 Aplicando nuevamente la división sintética a con (no olvides completar con ceros los coeficientes de las que faltan tal como se explicó después del ejemplo 2 anterior). Continua en tu cuaderno aplicando la división sintética para el cociente que resulta sabiendo que aplicando división sintética obtenemos que el cociente es: Aplicando por tercera ocasión la división sintética al cociente con obtenemos que el cociente es: Ahora puedes aplicar la formula general para encontrar las raíces de una ecuación de segundo grado para el cociente las dos raíces restantes son:,. P87. Finalmente, una vez conocidas las cinco raíces de, se pude factorizar como: Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-45

46 Ejercicio 1.6 Para cada uno de los ejercicios siguientes demuestra por división sintética que el valor propuesto es factor de la función polinomial dada. 1. Factor: 2. Factor: 3. Factor: 4. Factor: 5. Factor: 1-46 Unidad 1 Funciones Polinomiales

47 Conceptos clave: Raíces racionales Para encontrar las raíces racionales de una función polinomial usaremos el teorema de los ceros racionales o de las raíces racionales. 33. Teorema de las raíces racionales: Sea f una función polinomial de grado 1 o superior de la forma. Condiciones 1., 2. cada coeficiente es un entero. Si la fracción irreductible es una raíz racional de la función polinomial del tipo antes descrito, entonces es un factor de y es un factor de. Procedimiento para aplicar el teorema de las raíces racionales. 1) En un ejemplo ya visto en la sesión anterior 6, apliquemos el teorema de las raíces racionales. Una raíz debe ser, donde p es un factor de 6, es decir, p puede ser, y q es un factor de 1, esto es: q puede ser +1 o -1. Por lo tanto las raíces pueden ser. El paso siguiente es probar una a una las raíces haciendo la división correspondiente (se recomienda la división sintética) usando el teorema del residuo (concepto clave 31) y teorema del factor (concepto clave 30) nos permite encontrar las raíces y factores del polinomio con más facilidad. Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-47

48 Ejemplos 1) Encontrar las raíces de la función de a cuerdo al concepto clave 33. p es un factor de 2, es decir: q es un factor de 4, es decir: P88. Por lo tanto las posibles raíces son: Probemos con No es raíz Probemos con Si es raíz, entonces, puede factorizarse como: ) Las otras raíces puedes encontrarlas aplicando la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado para: P89. Las otras dos raíces son: 1-48 Unidad 1 Funciones Polinomiales

49 2) Hallar las raíces de de acuerdo al concepto clave 33. p es un factor de: q es un factor de: Las posibles raíces pueden ser Probemos con No es raíz Probemos con Si es raíz, entonces factorizarse como: ), puede Las otras raíces puedes encontrarlas aplicando la formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. Puesto que al dividir entre tres no se altera la ecuación, podemos obtener: Aplicando tenemos P90. Las otras dos raíces son: Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-49

50 Ejercicio 1.7 Para cada uno de los siguientes ejercicios encuentra únicamente todos los posibles ceros o raíces del polinomio dado Para los ejercicios siguientes resuelve por división sintética encontrando todas y cada una de sus raíces Unidad 1 Funciones Polinomiales

51 Conceptos clave: 34. Dada una ecuación polinomial de grado, con coeficientes enteros, podemos expresarla como el producto de factores lineales. El proceso inverso también es posible. 35. Dado un conjunto de números reales se pueden formar factores lineales con ellos y construir una ecuación polinomial que tenga ese conjunto de números como raíces. 36. Una ecuación cuadrática, puede escribirse como:, que a su vez puede expresarse como el producto de dos factores lineales., donde son las raíces de la ecuación. Así el dominio de la función cuadrática asociada a esta ecuación son todos los números reales. R. 37. Se dice que una función es positiva en la región en que se gráfica se encuentra arriba de las abscisas. 38. Se dice que una función es negativa en la región en que se gráfica se encuentra abajo de las abscisas. 39. Una función polinomial tiene como dominio al conjunto de los números reales, es decir, está definida para todo número real. Este tipo de gráficas consta de un solo trazo sin rupturas, se traza sin levantar el lápiz. En general se dice que toda función polinomial es continua. Ejemplos 1) Encontrar la ecuación cuadrática que tiene como raíces. P91. Multiplica los términos, la ecuación de segundo grado Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-51

52 Reduciendo términos semejantes y eliminando denominadores queda: 2) Encontrar la ecuación cuadrática que tiene como raíces. P92. Multiplica los términos, la ecuación de segundo grado que obtienes es: Reduciendo términos semejantes y eliminando denominadores queda: P93. De acuerdo al concepto clave 39 sobre funciones continuas, indica cuales de las siguientes son funciones continuas. a) b) c) d) 1-52 Unidad 1 Funciones Polinomiales

53 3) De acuerdo al concepto clave 37 y 38 para las funciones positivas y negativas, en la siguiente gráfica Si la función es positiva, pero si, la función es: P94. En las siguientes gráficas, indica cuando la función es positiva y cuando es negativa a) La función es positiva cuando a La función es negativa cuando Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-53

54 b) La función es positiva cuando, o La función es negativa cuando está entre y c) La función es positiva cuando está entre y La función es negativa cuando o d) La función es positiva cuando: está entre y. También cuando La función es negativa cuando está entre y y cuando 1-54 Unidad 1 Funciones Polinomiales

55 Procedimiento bosquejar una grafica de una función polinomial 1.- Localiza los ceros o raíces del polinomio en un sistema de coordenadas cartesianas. 2. Dividir el eje x en intervalos, a partir de las raíces dadas. 3. Determinar el carácter positivo o negativo de la función en cada intervalo. 4. Bosquejar la grafica tomando ventaja de que la función es continua. Ejemplos 5) Bosquejar la gráfica de la función polinomial cuyos ceros o raíces son. De acuerdo con los ejemplos 1 y 2 anteriores, P95. Por tanto P96. Los ceros dividen al eje en tres intervalos Unidad 1 Funciones Polinomiales. 1-55

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