REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS PARA

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1 CAPÍTULO 22 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS PARA LOS OPERADORES ADITIVOS Universidad de Granada En este artículo presentamos la construcción y formalización de una representación geométrica y otra simbólica para expresar un concepto aritmético, como es el de operador aditivo, en el seno de una tabla numérica conocida como Tabla La representación geométrica constituye una nueva expresión visual del operador aditivo, y permite estudiarlo desde un punto de vista figurativo y geométrico. La expresión simbólica constituye una descripción aritmética de dicho operador. INTRODUCCIÓN Las representaciones de tipos geométrico y simbólico para el operador aditivo que presentamos en esta colaboración surgen al proponernos estudiar las tablas numéricas como posible fuente de patrones numéricos y geométricos, con el enfoque puesto especialmente en las representaciones de carácter visual. Más que el hallazgo de las representaciones, posiblemente sea de mayor interés para el estudiante de doctorado en Didáctica de las Matemáticas el proceso seguido en la investigación que hace posible la obtención y formalización de tales representaciones, pero dada la limitación de espacio con la que contamos, nos limitaremos a presentar de forma resumida la formalización de dichas representaciones después de ofrecer esquemáticamente algunos puntos del proceso mencionado: 1) Se comenzó estudiando diversas tablas numéricas, como la de los 100 primeros números naturales (Tabla-100), la de la suma, la resta, la multiplicación, triángulo de Pascal, etc., seleccionando de la bibliografía consultada las actividades escolares que considerábamos apropiadas para presentarlas en un aula de formación de profesores de primaria. En Gómez, P., y Rico, L. (Eds.). Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro. Granada: Editorial Universidad de Granada.

2 314 2) Una vez comenzado el trabajo por la Tabla-100, se tomó la decisión de limitar el estudio a dicha tabla, dada la simplicidad de la misma y por el hecho de constatar su uso en el medio escolar. 3) La obtención de las cadenas como figuras geométricas para representar operadores aditivos surge al analizar un problema de cálculo de sumas y restas en un contexto escolar de primaria. 4) Se decide trabajar con estas representaciones con futuros maestros de primaria, para lo que se desarrolla una primera fase con tareas apropiadas para crear un contexto adecuado de relaciones entre números y geometría. 5) El estudio y análisis de las respuestas dadas por los estudiantes, tanto por escrito como mediante entrevistas, induce en el profesor-investigador la necesidad de indagar y formalizar los aspectos matemáticos que surgen en torno a estas representaciones, como compatibilidad de las representaciones con la estructura algebraica de los operadores aditivos, problemas de comportamiento de las representaciones en los bordes de la tabla, invariantes frente a transformaciones geométricas, etc. Es en este contexto en el que hay que entender la presentación que realizamos de las representaciones, ya que muestra parte de una investigación, en la que, partiendo de un problema didáctico, se han obtenido, además, algunos resultados de tipo matemático. REPRESENTACIONES Y VISUALIZACIÓN La idea de representación y, más concretamente, la de sistema de representación, es objeto de atención especial dentro de la Educación Matemática ya que constituye una herramienta útil para estudiar la comprensión de las matemáticas por parte de las personas y los procesos de aprendizaje matemático. Autores como Janvier (1987), Douady (1986), Hiebert y Carpenter (1992), Kaput (1992), Goldin (1993) y Duval (1993) han realizado contribuciones notables en este terreno. Rico (1997) incluye las representaciones como uno de los organizadores del currículo de matemáticas, es decir, como uno de los modos de aportar significación a las matemáticas escolares. La noción de representación y los sistemas matemáticos de signos vienen siendo objeto de estudio en el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del IPN de México por autores tales como Hitt (1998) y Filloy y Rojano (1993). Castro y Castro (1997) realizan un trabajo detallado sobre las representaciones, siendo éstas tema central en algunas tesis doctorales realizadas en la Universidad de Granada (Castro, 1994; González, 1995; Romero, 1995; Ruiz, 2000) y en la Universidad de Zaragoza (Gairín, 1998). La noción de visualización o pensamiento visual está fuertemente ligada a la capacidad de formación de imágenes mentales. Las personas recibimos información a través de los sentidos, especialmente el auditivo y el visual. Los medios utilizados con mayor frecuencia en la emisión, transmisión y recepción de conocimiento mate-

3 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS PARA LOS OPERADORES ADITIVOS 315 mático son los enunciados verbales y las representaciones gráficas o simbólicas. Hablamos de visualización cuando en una representación predominan las imágenes y componentes gráficos (Castro y Castro, 1997, p. 95). Diversos psicólogos y educadores matemáticos se han interesado en el estudio de la visualización en relación con las matemáticas y el proceso de su aprendizaje. En general, hay consenso entre investigadores y especialistas en que el desarrollo de las capacidades que caracterizan el pensamiento visual proporciona a los alumnos nuevos caminos para pensar y hacer matemáticas. Castro (1994) realiza una revisión sobre el estado de la cuestión acerca de la visualización en la enseñanza de las matemáticas y en las investigaciones, y sostiene que la visualización es importante para la educación puesto que la comprensión alcanzada mediante elementos visuales y simbólicos se complementan, por ello mismo el aprendizaje debe lograrse integrando información que utilice ambos tipos de códigos (p. 41). Dentro de un trabajo más amplio (Ruiz, 2000), hemos desarrollado de forma paralela dos representaciones para el operador aditivo en la tabla de los cien primeros números naturales. Una, de carácter geométrico (cadena), que visualiza los desplazamientos por dicha tabla numérica y otra de tipo simbólico (expresión aritmética de la cadena) que constituye una descripción aritmética de dichos desplazamientos. LA TABLA DE LOS CIEN PRIMEROS NÚMEROS NATURALES Una tabla organizada en filas y columnas con los números del 1 al 100, (Figura 1), constituye un sistema de representación estructurado del conjunto de los cien primeros números naturales. Diversos autores como Litwiller y Duncan (1980), Thornton y otros (1985), Ajose (1991), han estudiado esta tabla y han mostrado que con ella es posible diseñar y proponer actividades didácticas útiles para la enseñanza y aprendizaje de la Aritmética Escolar Figura 1. Tabla-100

4 316 La estructura aditiva de la tabla es la base sobre la que se asienta la representación geométrica de los operadores aditivos. Los números de cada fila (respectivamente, columna) están en progresión aritmética y se relacionan aditivamente mediante la suma o resta de unidades (respectivamente, decenas). Estas características aditivas permiten considerar operaciones sencillas sobre la tabla con un enfoque diferente al planteamiento algorítmico convencional. Así, la suma y resta de números naturales se visualizan mediante desplazamientos sobre la tabla; desplazarse k posiciones a derecha/izquierda de un determinado número equivale a sumar/restar k unidades a ese número, y desplazarse k lugares hacia abajo/arriba equivale a sumar/restar k decenas al número de partida. Por ejemplo, si partiendo de l2, queremos efectuar sucesivamente las operaciones sumar 4, sumar 20, restar 2, sumar 23 y restar 9, cuya expresión decimal podría ser , este proceso podemos visualizarlo mediante los siguientes desplazamientos situados en el 12: derecha 4 ; bajar 2 ; izquierda 2 ; bajar 2 y derecha 3 ;subir 1 y derecha 1, originando el recorrido correspondiente en la tabla (Figura 2) Figura 2. Recorrido en la tabla: = 48 De esta manera, en esta representación tabular de los cien primeros números naturales, cada número se puede contemplar como punto de un plano discreto a partir del cual se llevan a cabo determinados desplazamientos. Recíprocamente, ciertos puntos de un plano discreto se consideran vinculados a los cien primeros naturales. Tabla-100 Partiendo de una representación usual de los números naturales, la recta numérica, en la que los números se presentan como puntos igualmente espaciados de una semirrecta:

5 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS PARA LOS OPERADORES ADITIVOS podemos considerar diez segmentos de diez números, tomados a partir de 1, y situarlos paralelamente unos a otros, igualmente espaciados, a modo de cuadrícula o geoplano 10x10. Con esta organización gráfica se amplía la representación lineal a las dos dimensiones del plano y se aportan nuevos elementos geométricos para el estudio de los números. La caracterización formal de la tabla de los cien primeros números tiene en cuenta: El conjunto ordenado C de los cien primeros números naturales, C = {1, 2, 3, 4,..., 99, 100} Un subconjunto discreto G del plano euclídeo: el geoplano 10x10 (Figura 3). La cuadrícula, o retícula cuadrada. (Figura 4). Figura 3. Geoplano 10x10 Figura 4. Cuadrícula Cada punto del geoplano G se identifica con un número del conjunto C situado en el centro de cada celdilla de la cuadrícula, manteniendo el orden natural según se marca en la recta numérica y por filas consecutivas. Se establece así una caracterización de la Tabla-100 (T 100 ), conjunto con las propiedades aritméticas de C y las geométricas de la cuadrícula y de G; los elementos de T 100 tienen la doble consideración de puntos y de números 1. Este formato ayuda a visualizar los desplazamientos por la tabla mediante recorridos formados por celdillas contiguas. 1. Esta consideración de geoplano de la Tabla-100 no se utiliza en este artículo pero sí constituye un ingrediente básico en la formalización de dicha tabla y fue utilizado en la investigación más amplia al considerar polígonos cuyos vértices son números-puntos de la Tabla-100.

6 318 La Figura 5 muestra los tres elementos, a modo de estratos, que constituyen T 100 : Conjunto C de los números naturales del 1 al 100, Geoplano 10x10 y Cuadrícula 10x Figura 5. Componentes de T100 OPERACIONES ADITIVAS EN T 100 La doble condición de cada elemento de T 100 como punto y como número permite considerar las operaciones y relaciones entre estos elementos al menos con dos interpretaciones diferentes: aritmética y geométrica. Una operación aditiva (suma o resta) en T 100 se puede interpretar como algoritmo aritmético o como transformación geométrica. Por una parte consideramos la suma (resta) de dos números naturales con las reglas aritméticas usuales y, por otra, los desplazamientos a derecha (izquierda) con los que se identifican la suma (resta) de unidades y hacia abajo (arriba) para la suma (resta) de decenas. Los desplazamientos sobre la tabla destacan el significado usual de la suma y la resta como operador (Vergnaud 1983) ya que muestran un estado o celdilla inicial (primer sumando o minuendo), un estado o celdilla final (resultado o estado final), y una transformación o recorrido por las casillas (segundo sumando o sustraendo). El desplazamiento, con sus componentes vertical y horizontal así como su dirección, constituyen una representación gráfica del operador aditivo correspondiente. Cadenas fijas Considerando la interpretación geométrica asignada a la suma (resta) como desplazamiento dentro de la tabla, si se marca la celdilla correspondiente a un número inicial (origen), a partir de ella, es posible desplazarse hasta la celdilla que corresponde a otro número (final) siguiendo varios recorridos, uno de los cuales se presenta en la Figura 2.

7 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS PARA LOS OPERADORES ADITIVOS 319 Cada recorrido expresa una secuencia de sumas o restas que llevan del número inicial al resultado. Las celdillas verticales y horizontales de cada tramo del recorrido indican, respectivamente, las decenas y unidades de las sucesivas sumas o restas. Los recorridos vienen dados por concatenaciones de celdillas cuadradas, cada dos con un lado común, organizados en sucesivos tramos horizontales y verticales, mediante los cuales se llega desde la casilla origen hasta la casilla final. Estos recorridos representan por tanto secuencias de sumas (restas) que tienen por primer sumando (minuendo) la celdilla inicial y por resultado la celdilla final. El desplazamiento muestra la secuencia de operaciones aditivas que llevan desde el primer término hasta el resultado. Cada uno de estos recorridos sobre T 100 descrito como un encadenamiento de celdillas con un lado común, a modo de poliminó orientado, lo denominamos cadena fija. La Figura 6 muestra dos convenios para indicar el orden de recorrido en las cadenas fijas: usando flechas (cadenas B y C) o bien destacando el origen con un círculo (cadena A). B A C Figura 6. Cadenas fijas en T100 Expresiones aritméticas de los recorridos. Expresión aritmética reducida y cadena fija simple Al recorrido de la Figura 2 le corresponde una cadena fija, que se interpreta aritméticamente como la aplicación sucesiva, a partir de la casilla 12, de operaciones aditivas tales como (+4), (+20), (-2), (+23), (-9). Si consideramos exclusivamente los tramos horizontales y verticales de la cadena, conservamos el orden de los desplazamientos, asignamos el signo (+) al avance y el (-) al retroceso y notamos los tramos verticales mediante ( superíndice ) y los tramos horizontales mediante ( subíndice ), dicha cadena viene descrita por a la que llamamos expresión aritmética del recorrido, e indica una operación aditiva formada por una secuencia de sumas y restas.

8 320 Estas expresiones asociadas a las cadenas fijas se reducen a un par ordenado; para ello es suficiente con sumar algebraicamente, por una parte, las componentes de las unidades y, por otra, las componentes de las decenas. La expresión simplificada de la cadena es , que corresponde a "sumar 3 decenas y sumar 6 unidades". Abreviadamente, escribimos la expresión aritmética reducida de un recorrido sobre T 100 como a ± b ±. Dadas dos cadenas fijas diferentes, si coinciden tanto su casilla origen como su casilla final, ambas tienen la misma expresión aritmética reducida. Por tanto, la correspondencia entre las cadenas fijas y las expresiones aritméticas reducidas no es biunívoca, ya que hay diferentes cadenas fijas con la misma expresión aritmética reducida; este es el caso de las cadenas (cadena sombreada de la Figura 7) y (cadena indicada solo mediante flechas en la Figura 7). A ambas le corresponde el par Figura 7. Cadenas con igual expresión aritmética reducida Las expresiones aritméticas reducidas se corresponden con unas cadenas fijas especialmente sencillas, a las que llamamos cadenas fijas simples, ya que están formadas como máximo, por un sólo tramo vertical y un sólo tramo horizontal, y en este orden. Estas cadenas simples pueden tener solamente un tramo, bien vertical u horizontal, cuando una de sus componentes sea nula. Expresión polinómica de una cadena fija Dadas la casilla inicial y una cadena fija, llamamos expresión polinómica de esta cadena a la expresión en base diez del sumando al que ésta se reduce. Así, si en la casilla 12 situamos la cadena fija "bajar 3, derecha 1" cuya expresión aritmética es , el resultado será: = 53. La cadena fija se reduce a 31, expresión en base diez de En general, para una cadena fija cualquiera cuya expresión aritmética reducida sea a ± b ± (con a y b entre 0 y 9) su expresión polinómica la escribimos abreviadamente como 10 (±a) ± b.

9 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS PARA LOS OPERADORES ADITIVOS 321 Equivalencia de cadenas fijas A cada cadena fija le corresponde una única expresión aritmética reducida, y por tanto un único operador aditivo. En cambio, para un operador dado existen diversas cadenas fijas que lo representan, no siendo biunívoca la correspondencia entre cadenas fijas y operadores aditivos en T 100. La Figura 8 muestra cadenas fijas distintas correspondientes al mismo operador. A A' B B' C' C Figura 8. Pares de cadenas equivalentes Introducimos una relación R en el conjunto de las cadenas fijas sobre T 100 como sigue: "Dos cadenas fijas cualesquiera son equivalentes si y solo si corresponden al mismo operador aditivo (la diferencia entre la casilla final e inicial en cada una de las cadenas es la misma)". Es evidente que la relación R es de equivalencia. Cadenas libres y representantes canónicos A cada una de las clases de equivalencia así obtenida la denominamos cadena libre; todas las cadenas fijas de una misma clase representan el mismo operador aditivo, y recíprocamente. Las cadenas libres se identifican con el operador aditivo que corresponde a todas las cadenas fijas de dicha clase. Esta identificación permite definir el conjunto de los operadores aditivos o cadenas libres sobre T 100 como el conjunto cociente Ω = /R.

10 322 Figura 9. Cadenas representantes canónicos correspondientes a los operadores [+21], [-21], [+19], [-19], [+20], [-20], [+2] y [-2] Los representantes canónicos de las cadenas libres o cadenas fijas simples mínimas, son aquellas cadenas simples con menor número de casillas. (Figura 9). La tabla 1 recoge un ejemplo de cada uno de los cuatro tipos de representantes canónicos que se pueden dar, así como sus expresiones aritméticas y operadores aditivos asociados: Operador en forma decimal [+21] [+19] [-19] [-21] [-20] [+20] [+2] [-2] Expresión aritmética reducida Cadena fija simple asociada al operador Cadena fija simple mínima (representante canónico) Expresión aritmética representante canónico [+9] 0 9+ C(1+ 1-) [+21] C(2+ 1+) [-14] 1-4- C(1-4-) [-28] 2-8- C(3-2+) Tabla 1. Ejemplos de representaciones geométricas y simbólicas para el operador aditivo

11 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Y SIMBÓLICAS PARA LOS OPERADORES ADITIVOS 323 REPRESENTACIONES DE LOS OPERADORES ADITIVOS Formalmente un operador aditivo sobre el conjunto Z de los números enteros es una aplicación: f k :Z Z, tal que x Z, f( x) = x+ k, siendo k un elemento fijo de Z. Un operador aditivo es, pues, una transformación sobre Z definida mediante una operación aditiva. Si nos limitamos a T 100 la cadena libre constituye una representación geométrica de los operadores aditivos en la tabla. Una de las líneas de investigación conocidas sobre problemas aditivos es la denominada cálculo relacional, cuyo impulsor es Gerard Vergnaud (Vergnaud y Duran, 1983, p. 128), destacando también los trabajos de Hernández y Socas (1994). Vergnaud realiza una clasificación exhaustiva, englobando tipos de problemas que consideran clases más amplias de números como los números enteros, abarcando de esta forma un campo conceptual más amplio. En su marco teórico es destacable la distinción que hace entre estado (medida) y operador (transformación), utilizando para ello diversos símbolos con los que representa las relaciones básicas en el enunciado de un problema. La tabla 2 esquematiza las representaciones correspondientes a las categorías 2ª y 4ª de enunciados. Esta tabla recoge un ejemplo tipo así como el diagrama y la ecuación correspondientes a esas categorías. En la última columna añadimos la representación de tipo geométrico correspondiente a cada una de esas categorías al utilizar las cadenas. Para el caso de la 2ª categoría, los estados inicial (20) y final (8) viene representados de manera simbólica, mientras la transformación adopta una forma geométrica, que es la cadena izquierda 2, subir 1 correspondiente a restar 12. De esta forma se diferencian de manera clara las formas de representar estados y transformación. Categoría Diagrama Ejemplo Ecuación 2ª. Estado- Transformaci ón-estado (ETE) 4ª. Transform- Transform- Transform. (TTT) a a b c b c Tenía 20 canicas y he perdido 12, ahora tengo 8. Gané 12 canicas y pierdo 10. En total he ganado (-12) = 8 (+12)+ (-10)=(+2) Representación geométrica 8 = 20 Tabla 2. Representaciones geométricas para dos categorías de enunciados verbales de problemas de estructura aditiva

12 324 En la cuarta categoría se trata de una composición de transformaciones, y en ella no intervienen los estados. La representación geométrica consiste pues en la composición de dos cadenas, superponiendo la casilla final de la primera cadena (trazo doble) con la inicial de la segunda (sombreada). El resultado es la cadena que comienza en el origen de la primera y termina en el final de la segunda. Tal y como se muestra en un trabajo más amplio (Ruiz, 2000), estas nuevas representaciones para los operadores aditivos en T 100 permiten estudiar la estructura algebraica de dichos operadores de una manera visual adoptando como dominio la extensión de T 100 a todo Z. También es posible constatar el cambio que experimentan dichos operadores cuando sometemos a las cadenas asociadas correspondientes al efecto de algunas isometrías del plano. REFERENCIAS Ajose, S. (1991). Patterns in the hundred squared chart. Part 1. The Mathematics Teacher, 84 (1), Castro, E. (1994). Exploración de patrones numéricos mediante configuraciones puntuales. Estudio con escolares de primer ciclo de secundaria (12-14 años). Tesis doctoral. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada. Castro, E., y Castro, E. (1997). Representaciones y modelización. En L. Rico, E. Castro, E. Castro, M. Coriat, A. Marín, L. Puig, M. Sierra y M. M. Socas (Eds.), La educación matemática en la enseñanza secundaria (pp ). Barcelona: ice - Horsori. Douady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Recherches en Didactique des Mathématiques, 7, Duval, R. (1993). Semiosis et Noesis. En Lecturas en Didáctica de la Matemática: escuela Francesa. México: CINVESTAV. Filloy, E. & Rojano, T. (1993). Translating from natural language to Algebra and viceversa. EN Proceedings PME-NA. Virginia. Gairín, J. M. (1998). Sistemas de representación de números racionales positivos. Un estudio con maestros en formación. Tesis doctoral. Zaragoza: Universidad de Zaragoza. Golding, G. (1993). The IGPME working Group on Representations. En Proceedings of the Seventeenth International Conference for the Psychology of Mathematics Education. Tsukuba: University of Tsukuba. González, J. L. (1995). El Campo Conceptual de los Números Naturales Relativos. Tesis doctoral. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada. Hernández, J. y Socas, M. M. (1994). Modelos de competencia para la resolución de problemas basados en los sistemas de representación en Matemáticas. Suma, 16, Hiebert, J., & Carpenter, T.P. (1992). Learning and teaching with understanding. En D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp ). New York: Macmillan. Hitt, F. (1998). Difficulties in the articulation of different representations linked to the concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17 (1),

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