TEMA PRELIMINAR. Los sistemas de representación son objeto de estudio en la geometría descriptiva, la cual se fundamenta en la geometría proyectiva.

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1 TEMA PRELIMINAR 1. Sistemas de Repesentación y Geometía. En esta pate de la intoducción, se tata de encuada el estudio de los sistemas de epesentación dento de lo que es la geometía. Paa ello se va a intenta mosta de foma somea, qué se entiende po geometía y qué aspectos abacan las difeentes pates en que se ha estuctuado tas más de 4000 años de histoia. Los sistemas de epesentación son objeto de estudio en la geometía desciptiva, la cual se fundamenta en la geometía poyectiva. En el diccionaio de la Real Academia se encuentan las siguientes definiciones, que pemiten acecase a la definición de geometía: Geometía: Medida del espacio ocupado po un cuepo. Dimensión: Longitud, áea o volumen de una línea, supeficie o un cuepo, espectivamente. Extensión de un objeto en una diección deteminada. Medi: Es compaa una cantidad con su espectiva unidad, con el fin de aveigua cuantas veces la pimea contiene la segunda. Así, po consiguiente: - La medida de un cuepo es su volumen y tiene tes dimensiones. - La medida de una supeficie es su áea y tiene dos dimensiones. - La medida de una línea es su longitud y tiene una dimensión. - La medida de un ángulo es su gaduación y tiene una dimensión. No obstante, esta definición de geometía esulta insuficiente paa abaca los difeentes campos de estudio que actualmente tiene, como son los espacios abstactos y cietas pates de la geometía que están muy elacionadas con otas pates de las matemáticas, po ejemplo la geometía algebaica con el álgeba. Paa ealiza una mejo apoximación de lo que se entiende po geometía, se ecue a Puig Adam, que da la siguiente definición: La geometía estudia elaciones que ligan diecta o indiectamente los elementos (puntos, ectas, planos) constitutivos de las figuas geométicas. A continuación paa pesenta el método que sigue la geometía paa su desaollo, se da el significado de los vocablos que se van emplea: Definición: Poposición que expone con claidad y exactitud las caacteísticas genéicas y difeenciadas de una cosa mateial o inmateial.

2 Axioma: Postulado: Pincipio, sentencia, poposición tan claa y evidente que no necesita demostación. Supuesto que se establece paa funda una demostación. Postulado y axioma se considean sinónimos. Poposición: Enunciado de una vedad demostada o que se tata de demosta. Teoema: Poposición que afima una vedad demostable. La geometía se desaolla siguiendo el poceso de azonamiento, que con gan claidad, expesa Puig Adam como sigue: 1º. Enuncia los conceptos pimaios - punto, ecta, plano -, sin definilos, ya que no es posible efeilos a otos más sencillos, (se puede da una descipción más o menos apoximada). 2º Admiti cietas popiedades que elacionan estos conceptos, sin demostalos, es deci, enuncia los axiomas coespondientes. 3º Deduci lógicamente los estantes teoemas o popiedades geométicas, a pati de conceptos pimaios y axiomas. La impotancia del método se debe a que es el fundamento que ha pemitido desaolla y estuctua la geometía tal y como actualmente se la conoce. La tascendencia que tiene Euclides y su oba Elementos de Geometía, se debe a que los conocimientos de la época los estuctuó y odenó siguiendo un método simila al expuesto. No fue pefecto, y el tiempo lo ha mejoado, peo su validez pedua después de 23 siglos. Euclides enunció sus cinco axiomas o postulados de caácte geomético, que po su impotancia históica se tansciben, como sigue: Postúlese: 1) que po cualquie punto se pueda taza una ecta que pasa po oto punto cualquiea; 2) que toda ecta limitada pueda polongase indefinidamente en la misma diección; 3) que con un cento dado y un adio dado se pueda taza un cículo; 4) que todos los ángulos ectos sean iguales ente sí, y 5) que si una ecta, al cota a otas dos, foma los ángulos intenos de un mismo lado menoes que dos ectos, esas dos ectas polongadas indefinidamente se cotan del lado en que están los ángulos menoes que dos ectos. El quinto postulado es el que se denomina de Euclides y ha tenido gan tascendencia históica en el desaollo de la geometía. Expesado de oto

3 modo, dice: Po un punto exteio a una ecta se puede taza una paalela a dicha ecta, y sólo una. Actualmente hay distintos sistemas de axiomas que dan luga a que la geometía se desaolle de fomas difeentes, en consecuencia, se puede habla de geometía euclídea o mética, geometía hipebólica, geometía de Riemann. Dento del sistema de axiomas que da luga a la geometía euclídea o mética, se estudian difeentes tansfomaciones, como las méticas, que dan luga a la geometía mética; las poyectivas, a la geometía poyectiva; las afinidades, a la geometía afín, etc. Las amas de la geometía que afectan al estudio de los sistemas de epesentación son: la geometía mética o euclídea, la geometía poyectiva y la geometía desciptiva, de las cuales se va a da una somea descipción. La geometía euclídea se puede defini en un sentido esticto como la que se deduce de los axiomas de Euclides (completados), que tata cuestiones del plano y del espacio, y compende todas las nociones que son comunes en estudios elementales de geometía. En un sentido más amplio, estudia, en un espacio euclídeo de dimensión cualquiea dotado de una noción de distancia, cuestiones elativas a figuas que desde un punto de vista analítico son de pime y segundo gado, y de las figuas que se constuyen con las anteioes. Especificando un poco más, conocidos el plano, el espacio y los axiomas de patida, la geometía mética estudia desde el punto de vista de la medida, las figuas geométicas planas y del espacio, dicho de ota foma, las caacteísticas geométicas de las figuas planas y espaciales (ángulos, longitudes, supeficies y volúmenes de polígonos, cuvas, poliedos, así como las ideas de potencia y tangencia) y las siguientes tansfomaciones: desplazamientos (taslación, gio y simetía), homotecia y semejanza, e invesión. Es deci, tansfomaciones en las que los puntos de la figua homóloga con especto a la oiginal están definidos po medio de una elación en la que intevienen ángulos o distancias, y en los que se analizan los elementos geométicos que no vaían en dicha tansfomación, a los que se llama invaiantes. La geometía poyectiva tata del estudio de las popiedades comunes a las divesas epesentaciones de una misma figua plana y que esulten invaiantes mediante la poyección de la figua desde un punto sobe un nuevo plano. Suge de los estudios de pespectiva de los pintoes del Renacimiento. Pescinde del concepto de medida. Una tansfomación poyectiva estudia los elementos que pemanecen invaiantes en una figua al aplica las opeaciones de poyecta y cota. Básicamente, son objeto de estudio la coelación, la homogafía y la polaidad. Las tansfomaciones poyectivas son más geneales que las

4 definidas en la geometía mética y están englobadas estas últimas, excepto la invesión, como casos paticulaes de aquellas. Coelación, es una poyectividad en la que los elementos que se coesponden son de distinta especie: punto-ecta, punto-plano (como en la ley de dualidad). Homogafía, cuando se coesponden punto a punto, ecta a ecta y plano a plano, de tal modo que a dos elementos incidentes de una figua coespondan elementos incidentes en la ota. Obsévese que las cuvas cónicas se pueden estudia aquí como consecuencia de tansfomaciones poyectivas de la cicunfeencia. Del mismo modo, cualquie tiángulo se puede obtene po homología patiendo de un tiángulo, cualquie cuadiláteo a pati de un cuadado,... La geometía desciptiva tata de la esolución de poblemas tidimensionales, mediante poyecciones ealizadas sobe un plano. Se puede considea que la geometía desciptiva está fundamentada en la geometía poyectiva, aplicando las nociones que en ella se desaollan. 2. El espacio euclídeo y los elementos del infinito. - Elementos fundamentales de las figuas geométicas. Los conceptos pimaios en los que se sustenta la geometía son el punto, la ecta y el plano. Tomándose como postulado el punto, una sucesión infinita de puntos da luga a una ecta, un conjunto infinito de ectas y puntos coplanaios da luga al plano y el conjunto de puntos, ectas y planos da luga al espacio. Definidos los elementos geométicos básicos y aplicando el concepto de distancia a puntos, ectas y planos, esultan las difeentes figuas geométicas. Recta puntual Plano puntual Espacio puntual Figua 1. Elementos geométicos básicos. Figuas geométicas. Estos elementos siven de base de patida, junto con los axiomas o postulados que se ián exponiendo de foma sucesiva a medida que se vayan aplicando, paa desaolla los sistemas de epesentación y sus aplicaciones. - Elementos del infinito. () Figua: Mética (dimensión) Poyectiva (posición) En la época en que Euclides desaolló sus elementos de geometía, el espacio abacado ea muy gande peo no llegaba al infinito, en consecuencia, el desaollo de la geometía ha estado afectada po esta limitación hasta que

5 se incopoó la noción del infinito. Una ecta tiene un punto del infinito, es el que se encuenta en la ecta infinitamente alejado y es el mismo sea en un sentido o en el oto de la ecta (se entiende po diección la que indica una línea, teniendo ésta dos sentidos). m n (3) (1) (2) u s v Figua 2. Punto del infinito de la ecta. Haces de ectas. Punto del infinito. Esto se puede entende un poco mejo, consideando que una ecta es una cicunfeencia de adio infinito, esta cicunfeencia se ciea en el punto del infinito (que es uno sólo paa esta ecta). El punto del infinito de una ecta está elacionado con la diección que tiene, así pues, todas las ectas paalelas tienen el mismo punto del infinito. Consecuencia de ello es que al postula que: un plano queda definido po dos ectas que se cotan, como m, n, o con dos ectas paalelas, como, s, se está epitiendo la misma idea, pues las ectas paalelas se cotan en el punto del infinito que tienen común. Dicho de ota foma: po un punto como el (1), de la figua 2, se puede hace pasa cuantas ectas se quiean, po un punto (2) del infinito, se pueden hace pasa cuantas ectas se quiean, todas ellas paalelas a, s. Análogamente, po el punto (3) del pasan todas las paalelas a u, v. Pues bien, al conjunto de puntos del de las posibles diecciones que pueden dase en el plano, es lo que se llama ecta del de dicho plano. (1) α β λ µ Figua 3. Haces de planos. Recta del infinito. Siguiendo simila azonamiento paa haces de planos del espacio, po la línea (1), de la figua 3, se puede hace pasa cuantos planos la contengan; los

6 planos α, β pasan po la misma línea del ; los planos λ, µ se cotan en ota línea del, y el conjunto de todas las líneas del de las posibles posiciones difeentes de los planos, configuan el plano del. Es deci, el infinito tiene foma plana. Así definidos los elementos del infinito (los cuales se pueden tata también analíticamente) consevan los divesos postulados o pincipios definidos paa la geometía mética finita. Se obseva así, que la intesección de una ecta con el plano del, es el punto del de la ecta; la intesección de un plano con el del, es una línea, la del del plano. El postulado que dice que una cota a un plano en un punto, o está contenida en él, o es paalela a él, se simplifica a una ecta cota a un plano en un punto o está contenida en él, ya que si es paalela a él implica que la intesección con el plano está en el. Este oto postulado po el que dos ectas coplanaias, o se cotan o son paalelas se simplifica así: dos ectas coplanaias se cotan en un punto pues las paalelas tienen el punto del infinito común. Expesado de oto modo, el concepto de diección o punto del cumple con las popiedades de incidencia, así: En Geometía Plana I. Dos ectas deteminan un punto II. Dos puntos deteminan una ecta situado en ambas. que pasa po ellos. En Geometía del Espacio I. Dos puntos deteminan una ecta II. Dos planos deteminan una ecta que pasan po ambas. situada en ambos. III. Un punto y una ecta no incidentes IV. Un plano y una ecta no incidentes deteminan un plano que pasa po definen un punto situado en ambos. ellos. V. Tes puntos no alineados deteminan un plano que pasa po ellos. VII. Si una ecta tiene dos puntos en un plano, está contenida en él. VI. Tes planos no concuentes en una ecta, deteminan un punto. VIII. Si una ecta petenece a dos planos que pasan po un punto, es incidente con dicho punto. Téngase en cuenta que las ectas se han epesentado con segmentos y el plano con cuadiláteos, peo estos son y no se limitan a la poción de ecta y plano epesentados sino a todo él, llegando hasta el. Al habla del, se está hablando de algo que de foma diecta no se puede obseva, po lo cual, el conocimiento que se tiene del se obtiene extapolando y veificando que las popiedades sean compatibles con el entono finito mejo conocido, así puede aceptase que el punto del de una ecta es único yendo en uno u oto sentido de la ecta y paa todas las paalelas a ella, y así con otas cuestiones que se han señalado.

7 Paa difeencia unos puntos de otos, se denominan puntos popios a los que pueden epesentase en el dibujo po encontase en el entono póximo (aunque estén muy alejados) e impopios a los puntos que se hallan en el. - Ley de dualidad o coelación en el espacio. Es una ley, po la que enunciados, poposiciones y teoemas, en los que no inteviene el concepto de magnitud, es deci, la dimensión de las figuas, admiten el intecambio de ecta po punto y vicevesa en la geometía plana (Véase el cuado anteio) y punto po plano o ecta po ecta en la geometía del espacio. En las adiaciones, las ectas po planos, y tansfoman la edacción de petenencia esta en po su ecípoca pasa po. La ley de dualidad pemite pues agupa en paes las popiedades de la Geometía Poyectiva, empleándose la foma de exposición de doble columna. Esta ley es válida paa las popiedades gáficas de las figuas y no lo es, en geneal, paa las méticas. Esto facilita la esolución de poblemas, al pode esolvelos mediante el enunciado popuesto o mediante su dual. - Figuas de pimea categoía. Están constituidas po uno sólo de los elementos geométicos fundamentales (punto, ecta, plano). Hay tes tipos: la seie ectilínea o alineación de puntos, haces de ectas y haces de planos: Seie ectilínea. El conjunto de los puntos situados en una ecta. La ecta es la base de la seie. Puede se popia o impopia. P Q R S T Haz de ectas del plano que pasan po un punto, denominado vétice del haz. El vétice puede se popio o impopio y la base también. V V P V V R Q S Q P R S S R V Q P S V R P Q P Q R S Haz de planos que pasan po una ecta, denominada aista. La aista puede se popia o impopia. S aista R Q P S RQP aista T

8 - Figuas de segunda categoía. Son las constituidas po dos elementos geométicos fundamentales. Las hay de dos especies y son duales ente sí. En el plano Todos los puntos y ectas de un plano, constituyen elementos de figuas planas. Ej. tiángulo, cicunfeencia,... t A B s C En el espacio Todos los planos y ectas que pasan po un punto constituyen una adiación. Ej. Supeficie cónica, cilíndica, pismática, V s t u - Figuas de tecea categoía. Es todo conjunto de puntos, ectas y planos del espacio y es lo que constituye el espacio tidimensional, como son el tetaedo o el hipeboloide... Opeaciones gáficas. Las dos opeaciones gáficas fundamentales son poyecta y cota, ealizadas de foma sucesiva, es deci, poyecta desde un punto y cota después esta adiación po un plano, es lo que se denomina obtene la poyección de la figua puntual espacial desde ese punto sobe un plano. Poyecta Poyecta un punto A desde oto punto V, es taza la ecta VA. Poyecta una ecta desde el punto V, no incidente con, es taza el plano V. Poyecta el punto P desde la ecta es taza el plano P. Cota Cota una ecta po ota en el plano, es obtene el punto intesección de ambas. Cota una ecta po un plano π es obtene el punto intesección de π con. Cota el plano α con la ecta es obtene el punto intesección. En consecuencia, las opeaciones de poyección y cote, que son duales, consevan las elaciones de incidencia. La poyectividad según Poncelet: Dos fomas de 1º o 2ª categoía son poyectivas ente sí cuando pueden obtenese una de ota po una sucesión de poyecciones y secciones. Otas poyectividades se han definido po Chasles, Staudt y otos atendiendo a popiedades méticas u otas caacteísticas. La combinación de estas dos opeaciones se va a aplica paa poyecta de foma que puedan estituise, una figua de tes dimensiones sobe una de dos, dando luga a los difeentes sistemas de poyección.

9 - Algunas consecuencias de la incopoación del plano del al espacio euclídeo. Ya se han indicado los efectos que sobe algunos de los postulados tiene la incopoación del ; otas aplicaciones geométicas en las que esulta de gan utilidad, ya que unifica y simplifica su estudio, son: I. El cono-cilindo, piámide-pisma. II. Elipse, paábola e hipébola. III. Poyecciones paalelas (que se estudian en el siguiente tema). I. El cono-cilindo, piámide-pisma. El cono y la piámide, figua 4, son figuas geométicas que se genean po medio de una línea o geneatiz que pasa po un punto fijo o vétice y se apoya en una cicunfeencia o en una línea poligonal denominada diectiz, espectivamente. Al aleja los vétices del cono y la piámide hasta el, se obseva que las geneatices quedan paalelas (tienen todas ellas el mismo punto del ) y la supeficie esultante es un cilindo o un pisma espectivamente. Es deci, el cilindo es un cono con el vétice impopio (en el ) y el pisma es una piámide de vétice impopio, lo cual muesta que todas ellas son figuas con aspectos Vétice Vétice Geneatices Geneatices Diectiz Diectiz Cono Piámide Cilindo Pisma geométicos comunes. Figua 4. Cono - piámide, cilindo - pisma. II. Elipse, paábola e hipébola. Las cuvas cónicas son el esultado de la intesección de un plano con una supeficie cónica. Siendo: α el ángulo fomado po las geneatices y el eje, β el ángulo fomado po el plano y el eje.

10 Figua 5. Cuvas cónicas. Si β > α la intesección que sale es una elipse, que es más alagada a medida que el valo de β se va a cecando al de α. Cuando β = α la intesección es una paábola, peo teniendo en consideación al, podía decise que es un caso paticula de elipse en la que uno de los extemos está en el. Y así como en el extemo V confluyen el eje y las dos mitades de la paábola, en el oto extemo, que es un punto del, coinciden las otas dos mitades y el oto extemo del eje. Si β < α el plano cota a la supeficie cónica a ambos lados del vétice, po lo cual la cuva tiene dos amas. Podía decise que las dos amas de esta cuva se ciean en el. Las ectas tangentes en los puntos del son las asíntotas, po lo que el punto del de cada asíntota y los dos extemos de la cuva coespondientes, coinciden en un mismo punto del 1 y la ota asíntota junto con los otos dos extemos coinciden en oto, 2.

11 III. Poyecciones paalelas En el siguiente tema se hace una exposición más detallada de los difeentes sistemas de epesentación, lo que aquí se muesta es una difeencia cualitativa que esulta ente una poyección cónica y una cilíndica o //. Pantalla o plano de epesentación Pantalla o plano de epesentación Punto de vista V Punto de vista V en el a) b) Figua 6. Poyecciones cónica y paalela. (En pespectiva caballea). Se obseva que en la figua 6 a), más intuitiva, el punto de vista se asimila al ojo del obsevado y en el plano de epesentación se apecia lo que el obsevado estaía viendo, es una figua que da una idea más eal de cómo es el objeto. En la figua 6 b), se aplica el atificio de envia al obsevado al, con lo que los ayos de visualización son //, el esultado es una epesentación que no da una idea tan eal del objeto, peo tiene la ventaja de que las magnitudes que son // al plano de poyección consevan su valo, con lo cual se conocen mejo las medidas y caacteísticas geométicas del mismo. - Notación empleada. Se adoptan los siguientes citeios paa designa los elementos geométicos y sus poyecciones: Paa designa puntos, ectas y planos epesentados en los dibujos en poyección diecta (la que muesta su posición en el espacio): Punto: A, B, C,... P, Q,... Letas mayúsculas del alfabeto latino. Recta: a, b, c,..., s,... Letas minúsculas del alfabeto latino. Plano: α,β,γ,... π, ω,... Letas minúsculas del alfabeto giego. Las poyecciones del punto y la ecta se designan con la misma leta, añadiendo una comilla a la poyección sobe el plano hoizontal, dos comillas a la poyección sobe el plano vetical, tes comillas a la del segundo vetical. Po

12 ejemplo: A - A - A - -. La taza (o intesección) del plano con el hoizontal, se designa añadiendo el subíndice 1 al nombe del plano. A la taza con el vetical se le añade el subíndice 2. Po ejemplo: δ δ 1 δ 2 Los ángulos se designan con letas del alfabeto giego λ, θ,... y estaán indicados de modo que no dé luga a confusión con un plano. Paa indica: ectas paalelas // pependicula petenece no petenece intesección z Los ejes x,y,z se van a designa siguiendo la egla de la mano deecha. Desaollo de la exposición. x y Vistos los elementos geométicos básicos en los que se sustentan los sistemas de epesentación, en el pime tema se pasa a expone sus fundamentos y una clasificación en los que se muestan los de más inteés po su aplicación en la expesión gáfica en la ingenieía. El siguiente tema aboda el punto, la ecta y el plano en el sistema diédico. Los temas teceo y cuato desaollan el cambio de plano, gio y abatimiento, es deci, las heamientas que pemiten manipula las figuas paa conoce sus magnitudes, fomas u otos aspectos geométicos que sea necesaio conoce. Los temas quinto al octavo plantean la esolución de los poblemas más usuales: intesecciones, paalelismo, pependiculaidad y ángulos. Las supeficies y algunas aplicaciones caacteísticas se estudian en los temas 9 al 12. Del 13 al 16 se desaolla el sistema de planos acotados. Paa claifica la exposición se dibujan esquemas en pespectiva que facilitan la visualización del poblema, que seguidamente se esuelve en el plano de dibujo. El objetivo es llega a se capaces de epesenta un objeto, de foma claa, geométicamente pecisa y siguiendo citeios comúnmente establecidos. Paa lo cual se petende estudia: los sistemas de epesentación diédico y de planos acotados, nociones de pespectiva isomética y caballea, homología, fundamentos de nomalización del dibujo técnico y DAO 2D y 3D de modo que los poblemas habitualmente esueltos en 2D, en el papel, se esuelvan en 3D desaollando la geometía del espacio apopiada y el método idóneo paa este entono.

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