Geometría Plana. Moisés Villena Muñoz

Transcripción

1 NGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE NGULOS LTERNOS INTERNOS, LTERNOS EXTERNOS, CORRESPONDIENTES FIGUR PLN 4 TRIÁNGULOS 5 CUDRILTEROS 6 FIGURS CIRCULRES La trigonometría con a están íntimamente reacionadas. Se requiere e uso de conceptos y procedimientos geométricos para resover situaciones prácticas, de aí su importancia de estudio.

2 Definiciones y criterios de trigonometría van a ser úties en este capítuo.. NGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Suponga que dos rectas tienen un mismo punto de intersección punto de intersección se o denomina vértice. Los pares de ánguos " x ","φ " y " y "," β " se os denomina "ánguos opuestos por e vértice". Observe que os ánguos opuestos por e vértice son de igua medida.. NGULOS LTERNOS INTERNOS, LTERNOS EXTERNOS, CORRESPONDIENTES. Suponga que se tienen tres rectas, y ubicadas en e pano de a manera indicada en e gráfico: C D E F G H Los ánguos,, G y H se denominan Externos. Los ánguos C, D, E y F se denominan Internos. Los pares de ánguos: C y F, D y E se denominan ternos Internos. y H, y G se denominan ternos Externos.

3 y E, y F, C y G, D y H se denominan Correspondientes. // Si, son paraeas ( ) entonces os pares de ánguos aternos internos, aternos externos y correspondientes son de igua medida. C D E F G H Ejercicio Propuesto. Si as rectas y CD son paraeas en e gráfico adjunto, determine a medida en radianes π π de ánguo x y a medida de ánguo y. Resp. x, y. 6

4 FIGUR PLN Se denomina FIGUR PLN a todo subconjunto no vacío de pano.. Figura pana convexa Sea F una figura pana cerrada y sean P y P puntos de pano. F es convexa si y sóo si P F, P F PP F Una figura convexa sería: P P Una figura no convexa podría ser P P 4 De aquí en adeante trataremos sóo con figuras convexas.. Puntos Coineaes Sean P, P y P tres puntos de pano. P, P y P son coineaes si y sóo si P P P o P P P P P. o P En otros términos, se dice que os puntos son coineaes si pertenecen a una misma recta. Si tenemos puntos no coineaes, podemos formar una figura pana cerrada trazando segmentos de rectas uniendo todos os puntos. Esta figura, formada así, se convertirá en un importante objeto de estudio.

5 . Poigona. Sean P, P,, P n, n puntos no coineaes. Se denomina POLIGONL a conjunto de puntos que pertenecen a a unión de os segmentos de rectas P P, P P,, P n P P P 8 P P 7 P P 6 P 4 P 5 La poigona divide a pano en dos regiones: a interior a a poigona y a exterior a a poigona..4 Poígono. Se denomina POLÍGONO a conjunto de punto que pertenecen tanto a o poigona como a a región interior de a poigona. os puntos P, P,, P P n se os denomina vértices de P,, P n P se os denomina ados de poígono. os segmentos P, P poígono. os segmentos de rectas formados entre vértices no consecutivos, se es denomina diagonaes. os ánguos P P P, P P P,, 4 P P P se es denomina ánguos interiores. n n Si os ados de poígono son de igua medida, se dice que es un poígono reguar; caso contrario se dice que es un poígono irreguar. 5

6 .4. Congruencia y semejanza de poígonos Sean os poígonos P( PP P n ) y Q( Q Q Q n ) P Q P Q P P 4 Q P 5 Q 4 Suponga que:. Los ánguos interiores, respectivamente, son de igua medida. Y; P P P P P P n. k Q Q Q Q Q Q Entonces, si k se dice que os poígonos son conguentes, caso contrario, es decir si k, se dice que os poígono son semejantes. n Q 5 4 TRIÁNGULO E triánguo es un poígono de tres ados. 4. CLSIFICCIÓN DE LOS TRIÁNGULOS DE CUERDO SUS LDOS 4.. Equiátero Todos sus ados y ánguos tienen igua medida. 6 Por tanto sus ánguos interiores miden 60. POR QUÉ? 4.. Isóscees Tienen sóo dos ados y sus respectivos ánguos adyacentes de igua medida

7 5.4.. Escaeno Tienen sus ados y ánguos de diferentes medidas E siguiente teorema es de gran utiidad. 4. TEOREM En todo triánguo a suma de as medidas de sus ánguos interiores es igua a 80. DEMUÉSTRELO! 4. TEOREM DEMUÉSTRELO! En triánguos de ados de igua medida o proporcionaes se oponen ánguos de igua medida. 4.4 CONGRUENCI Y SEMEJNZ DE TRIÁNGULOS Para determinar si dos triánguos son congruentes o semejantes, bastará con: CRITERIO : Comprobar que tienen dos ánguos de igua medida (semejantes) y un ado de igua medida (congruentes). 7

8 CRITERIO : Comprobar que tienen dos ados de medidas proporcionaes (semejantes) o igua medida (congruentes). CRITERIO : Comprobar que tienen tres ados de medidas proporcionaes (semejantes) o tres ados de medidas iguaes (congruentes). Ejempo Referente a gráfico: C, DC CDE, D 6, CE 8 Haar DE C D SOLUCIÓN: E Primero ubicamos os datos en e gráfico. Se observa que e triánguo C es isóscees, e triánguo D es semejante a triánguo CDE debido a que tienen dos ánguos de igua medida. 6 POR TNTO: x 8 x 6 C 8 E x D Ejempo Referente a gráfico: D, EC, EF, Haar DF DF E 90 0 D E F 8 C

9 SOLUCIÓN: Primero ubicamos os datos en e gráfico. Se observa que e triánguo DF es semejante a triánguo CEF debido a que tienen dos ánguos de igua medida. D x E F C POR TNTO: x x Ejempo En e triánguo de a figura:, C 5, C 5, MN // C, MN 4. Haar NC. M N C SOLUCIÓN: Ubicando os datos en a figura, se observa que e triánguo C es semejante a triánguo MN. M 4 N / 5 / C y 4 picando semejanza: y qué?. hora: x NC 5 y 5 4 (unque ya se podría predecir este vaor. Por 9

10 Ejercicios Propuestos. En a figura adjunta, e ánguo PRQ es igua a π, QT QV, PS PV. Determine a medida de ánguo SVT. Resp. π 4. En a figura adjunta, RS es a atura correspondiente a ado PQ, PT es a atura correspondiente a ado RQ, PQ 8, RS 9 y PT 6. Determine a ongitud de QR. Resp... Si se tiene e triánguo C y e segmento MN es paraeo a segmento, entonces a distancia x es igua a: Resp. + 4 x 4 4. Referente a gráfico adjunto, se tienen os siguientes datos: D + 0, EC, C 0, EF FC, C ED. Determine a ongitud de ado D. Resp En e triánguo, MN C, 6, C 5, MN 9. Determine per( ΔC) per( ΔMN) 0

11 Resp RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS La resoución de un triánguo consiste en estabecer as medidas de todos sus ados y ánguos. Para o cua existen procedimientos diferentes dependiendo si e triánguo es rectánguo o si es un triánguo cuaquiera Triánguo rectánguo Si tenemos un triánguo rectánguo: Para determinar a medida de uno de sus ados conociendo as medidas de os otros dos ados podemos hacer uso de Teorema de Pitágoras, es decir que c a + b de donde: c a b a c c + b b a Si conocemos a menos a medida de dos de sus ados podemos hacer uso de as funciones trigonométricas para os ánguos agudos y :

12 a sen c b cos c a tg b b sen c a cos c tg Puede ocurrir también que si conocemos as medidas de os ánguos y a medida de un ado entonces podemos empear as funciones trigonométricas anteriores para determinar as medidas de os otros ados. Para probemas de apicaciones, as siguientes definiciones resutan úties. b a torre Suponga que desde e sueo observamos hacia a cúspide de una ánguo " x " se o ama "nguo de eevación" Si cambiamos a óptica, suponga ahora que hacemos a observación desde a cúspide de a torre hacia un objetivo en e sueo. Entonces a ánguo " y " se o ama "nguo de depresión" Ejercicio resueto Desde un punto O, e ánguo de eevación a a cúspide de una torres es de 45. ejándose 00m e ánguo de eevación es de 0. Determinar a atura de a torre. SOLUCIÓN: Un esquema de panteamiento de probema sería:

13 La atura " x " de a torre se a determina empeando funciones trigonométricas para os ánguos de os triánguos que se forman: Para e triánguo: x tg y x 00 + y Por otro ado: tg 45 x y x x y y Por o tanto: x 00 + x ( 00 + x) x 00 + x x x x x Ejercicio resueto Una chimenea tiene 0m. de atura más que otra. Un observador que está a 00m. De distancia de a más baja observa que sus cúspides están en una recta incinada respecto a horizonte un ánguo de 0 º ; háese as aturas de as chimeneas. SOLUCIÓN: Un esquema de panteamiento de probema es: picando funciones trigonométricas a os ánguos de triánguo rectánguo que se forma, tenemos: tg 0 x 00 x 00 tg 0 00 h x m H x H H m

14 4.4. Triánguo en genera Si tenemos un triánguo cuaquiera Dependiendo de a información que dispongamos podemos hacer uso de as siguientes eyes: Ley de Seno sen sen a b sen C c DEMUÉSTREL! Ley de Coseno c a + b ab cos C a c + b bc cos b c + a ac cos DEMUÉSTREL! Ejercicio resueto Sea un triánguo C ta que 05, medidas de os ados c y a y a de ánguo SOLUCIÓN: Esquematizando a información, tenemos: C 60, b 4. Encuentre as La medida de ánguo sería: 80 C Obtengamos sen 5 y sen 05 : sen5 sen(45 0 ) sen 45 cos 0 cos 45 sen 0 sen5 4 ( ) sen05 sen( ) sen 60 cos 45 + cos 60 sen ( + )

15 picando a ey de os senos determinamos as medidas de os ados "c" y "a": c b a b senc sen sen sen c 4 b sen a sen60 sen5 sen 4sen 60 4 sen05 c a sen5 sen5 4 4 ( ) 4 + c a ( ) ( ) 4 4 4( + ) a ( ) Piense cuá sería e procedimiento para resover e probema, apicando a ey de os cosenos. Ejercicio resueto Sea un triánguo C ta que a 5, b 5, c 5. Encontrar as medidas de os ánguos internos. SOLUCIÓN: Esquemáticamente tenemos: picando a ey de coseno: c cos cos cos cos + b a bc () 5/ + ( 5 ) () 5/ (5) ( 5 ) ( 5 ) (5) ( 5 ) 0 La medida de uno de os otros dos ánguos, se a puede determinar apicando también a ey de coseno o apicando a ey de os senos. sen sen C c a sen C sen sen 0 picando a ey de os senos: tenemos: 5 c a 5 sen C C 0 Este útimo resutado también o podemos obtener directamente. Observe que e triánguo es isóscees, por tanto sus ánguos adyacentes son iguaes. La medida de tercer ánguo se o obtiene por diferencia, es decir:

16 Ejercicio resueto Los ánguos internos de un triánguo cuyos ados miden: a m ; b m ; c ( ) m ; son: a) 45 ; 75 ; C 60 b) 60 ; 45 ; C 75 c) 5 ; 60 ; C 05 d) 0 ; 5 ; C 5 e) 50 ; 45 ; C 0 SOLUCIÓN: Semejante a probema anterior, conocemos as medidas de todos os ados de triánguo. a cos cos cos ( ) + ( ) ( )( cos ( )( ) ) ( )( picamos ahora a ey de seno para encontrar a medida de ánguo, aunque también a podemos encontrar con a ey de coseno 5 + c b ac 4 cos sen sen a b a sen sen b sen sen5 sen 4 sen 0 La medida de ánguo C a encontramos por diferencia de ánguos: C Finamente, nos queda: Ejercicios propuestos. En e triánguo de a figura, e vaor de a medida de ánguo φ es: a) 0 º b) 75 º c) 45 º d) 90 º e) 60 º + a a 6. Los ados de un triánguo miden respectivamente: a + ; b ; c 6. Entonces os ánguos interiores de triánguo son: a) 0º, 50º, 00º

17 b) 5º, 45º, 0º c) 5º, 75º, 90º d) 45º, 60º, 75º e) 45º, 0º, 05º. En un triánguo C os ánguos y miden 0 y 5 respectivamente, y e ado es de 00 m. Determine a ongitud de a perpendicuar trazada desde e vértice C a ado proongado. Resp. 50 ( + ). 4.4 PERÍMETRO Y RE DE UN TRIÁNGULO. Sea un triánguo C. Cuaquiera de os tres ados se definen como bases de triánguo. Como atura (h) de triánguo se define a a ongitud de a perpendicuar trazada desde un vértice hacia una de sus bases o a a proongación de estas bases: Por o tanto: Perímetro a + b + c rea ase atura b h c h a h Para triánguos particuares, tenemos: b h Área Observe que en os triánguos anteriores se cumpe que: h sen h c sen c Por tanto: b h bc sen Conociendo a medida de uno de sus ánguos interiores y as medidas de os ados que constituyen a este ánguo, e área sería: bc sen absen C Área ac sen 7

18 Los triánguos son poígonos básicos, porque os demás poígonos pueden ser divididos en triánguos, o cua permite resover otras situaciones. Ejempo En a figura adjunta RS es a atura correspondiente a ado PQ, PT es a atura correspondiente a ado RQ, si PQ 8, RS 9 y PT 6, entonces a ongitud QR es: a) 6 b) 6 c) d) 7 4 e) 4 7 SOLUCIÓN: Ubicando a información en e diagrama dado, tenemos: E área de triánguo PQR se a puede determinar, en este caso, de dos maneras:. Tomando coma base a PQ entonces su atura sería RS, por tanto e área es: (8)(9). Tomando coma base a RQ entonces su atura sería PT, por tanto e área es Finamente iguaando as áreas RESPUEST: Opción "c" Ejempo x(6) ( 8)(9) x(6) entonces: 6x 7 x E triánguo C es equiátero de ado 5. Si y son rectas paraeas. Haar e vaor de área de triánguo D. C D 8

19 SOLUCIÓN: Ubicando os datos en e gráfico, se observa que os triánguos C y D tienes a misma base y a misma atura, por tanto tendrán a misma área, entonces: C D 5 h 5 h rea ΔD rea ΔC (5)(5) sen60 u 4 Ejempo Cacuar e vaor de área de triánguo C si D 8 y CD D SOLUCIÓN: Ubicando os datos en e gráfico. C 8 h D C Tomamos como base C 0. Determinamos h. considerando que e triánguo D es semejante a triánguo DC: h h 6 h 4 8 h ( 0)( 4) Finamente: rea Δ C 0u 9

20 Ejempo 4 En a figura adjunta, q es un triánguo isóscees de área igua a 6 ; t es un triánguo equiátero de ado de medida igua a. Entonces a medida de a hipotenusa de triánguo p es igua a: a) 6 b) c) ( ) d) e) 6 SOLUCIÓN: Interpretando a información proporcionada, tenemos: x 6 ( x)( x) E área de triánguo "q" es: q 6 entonces: x x " y " es a atura de triánguo equiátero "t", entonces y sen 60 sen 60 Y para e triánguo "p" tenemos: sen 60 RESPUEST: Opción "a" x + y + 6 x Ejercicios Propuestos 4. Un triánguo cuya hipotenusa mide 85 cm. es ta que, a aumentar a ongitud de uno de sus ados en cm. y a disminuir a ongitud de otro en 7 cm., a ongitud de a hipotenusa no se atera. Encuentre as medidas de os ados de triánguo. Resp. 40 cm y 75 cm.. Sobre e ado de cuadrado CD se construye un triánguo equiátero E y se unen os puntos E y D. Si D, cacuar e área de triánguo DE y a ongitud G. Resp. ;. 4 0

21 . Dado e triánguo Δ C, y os puntos medios D, E, F son os puntos medios de os reaδdef ados de triánguo. Determine a reación: reaδc Resp La esquina inferior derecha de una página se doba hasta acanzar e ado mayor izquierdo, como se muestra en a figura. Si e ancho de a página es 6 cm. y 0, determine a ongitud L Resp. 8 cm. 5. Cacuar e área de a región sombreada, si e cuadrado CD tiene ados de ongitud "a" y os puntos P y Q son puntos medios de os ados de cuadrado. Resp. a 0 6. Si P es un triánguo con vértices P, P y P y Q un triánguo semejante a P con vértices Q, Q y Q ta que P P Q Q P P Q Q P P Q Q k, demuestre que P k Q.

22 5 CUDRILÁTEROS Los cuadriáteros son poígonos de cuatro ados. Entre os más conocidos, tenemos: Rectánguo Área b h Cuadrado Área Paraeogramo Área b h Trapecio Área ( + b) h Ejercicios Propuestos 5. Si un triánguo equiátero tiene igua perímetro que un cuadrado, entonces es verdad que: a) E área de triánguo es igua que e área de cuadrado. b) E ado de cuadrado es más grande que e ado de triánguo. c) E área de cuadrado es mayor que e área de triánguo. d) La diagona de cuadrado tiene igua ongitud que a atura de triánguo. e) E ado de cuadrado es mayor que a atura de triánguo.. Encuentre e perímetro y a diagona de un cuadrado cuya área es a tercera parte de área de un cuadrado de ado igua a 9 cm.. Si se aumenta m. a ado de un cuadrado, su área aumenta en 6 m. E ado de cuadrado inicia es: a) 4 m. b) 6 m. c) 8 m. d) 6 m. e) m.

23 6. FIGURS CIRCULRES 6. CIRCUNFERENCI. La circunferencia ya fue definida como ugar geométrico en e capítuo de cónicas, se trata ahora de definira como una figura pana. + Sea r R y P 0 un punto de un pano π. La circunferencia se define como e conjunto de puntos P de pano π taes que a distancia de os puntos de P a P 0 es igua a r. Es decir: C P π / d P, P r { ( ) } 0 La ongitud de a circunferencia está dada por: Perímetro πr JUSTIFÍQUEL! 6. CÍRCULO E círcuo es a unión de os puntos de a circunferencia con os puntos de su interior. Es decir: Circuo P π / d P, P r { ( ) } 0 E área de círcuo está dada por: Área πr JUSTIFÍQUEL! 6.. Posiciones reativas entre una recta y una circunferencia C. y C no se intersecan. En ta caso, no tienen punto en común y a se a denomina recta externa.

24 P 0. y C se intersecan en un punto. En ta caso a se a denomina recta Tangente. r P 0. y C se intersecan en dos puntos. En ta caso, a se a denomina recta secante. P 0 segmento de recta desde e punto a punto,, se e denomina CUERD. segmento de circunferencia de punto a punto,, se e denomina RCO. 4

25 Si a recta secante pasa por e centro, a a cuerda se e denomina diámetro. 6.. nguo centra y nguo inscrito. En a figura, a ánguo P 0 C se e denomina ánguo centra. ánguo C se e denomina ánguo inscrito P 0 C Teorema. La medida de ánguo centra es e dobe de a medida de ánguo inscrito. Ejercicios Propuestos 6. La ongitud de a circunferencia centrada en P 0 es: a) 8 π b) 9 π c) 0 π d) 8 π e) π. En a figura adjunta, a cuerda es igua a radio de círcuo, y a cuerda C es igua a π r. Determine a medida de ánguo D. Resp.. 5

26 . En e gráfico adjunto, os arcos MN, NP, y PQ tienen a misma ongitud y O es e centro de a circunferencia. Determine a medida de ánguo PRQ. Resp. h En a figura adjunta, se muestran dos triánguos inscritos en una circunferencia, con a medida de sus respectivos ados, si PQ es e diámetro, determine a + b. Resp Poígonos reguares inscritos y circunscritos a circunferencias inscribir poígonos reguares en circunferencias se obtienen resutados interesantes en reación de ado de poígono con e radio de a circunferencia. Ejempo Obtener a reación entre e ado de un triánguo equiátero inscrito en un círcuo de radio r SOLUCIÓN: r 0 r 0 OO r 6 De triánguo rectánguo O, observe a figura, tenemos: Cos0 rcos0 r r

27 Ejempo Obtener a reación entre e ado de un cuadrado inscrito en un círcuo de radio r SOLUCIÓN: r 45 O r De triánguo rectánguo O, observe a figura, tenemos: Cos45 rcos45 r r Ejempo Obtener a reación entre e ado de un hexágono inscrito en un círcuo de radio r SOLUCIÓN: O r r De triánguo rectánguo O, observe a figura, tenemos: 60 cos60 Cos r r r SECTOR CIRCULR Un sector circuar es una porción de un círcuo 7

28 La medida de arco s está dada por: E área de sector circuar está dada por: S θr Área θ ( r ) 6. 4 CORON CIRCULR π [( r ) ( r ) ] Ejercicio resueto Haar e área de a región sombreada de a figura: Área sombreada sector circuar triánguo Δ θr r senθ sc t r ( θ sen θ) La región anterior se a denomina segmento circuar. Ejercicio resueto E triánguo C es equiátero, O cm. Determine e área de a parte sombreada. a) 45. cm b) c) d) e) 65. cm 45. cm 65. cm 5. cm 8

29 SOLUCIÓN: Ubicando a información en a figura dada: E área de a región sombreada es: círcuo triánguo E área de círcuo es: círcuo círcuo círcuo πr π () 44π Para haar e área de triánguo, primero necesitamos haar a ongitud de su ado cos0 ( ) sen 60 triánguo cos0 44() 4cos0 entonces: triánguo 4 triánguo 08 44π 08 Por o tanto: 65. cm RESPUEST: opción "b" Ejercicio resueto Si O y O son os centros de as circunferencias de radio igua a. Haar e área de a región sombreada. r r O O SOLUCIÖN: Marcando os radios en a región sombreada: 60 O 60 O 9

30 Se observa que e área de a región buscada es e dobe de área de segmento circuar de radio y ánguo de 0. Es decir: O 0 O ( [ ]) π π r θ senθ [ sen ] π Ejercicio resueto Si O, O y O son os centros de as circunferencias de radio igua a. Haar e área de a región sombreada. O O O SOLUCIÓN: Marcando os radios en a región sombreada O 60 O O Se observa que e área de a región sombreada buscada, es igua a área de triánguo equiátero OO O más tres veces e área de segmento circuar de radio y ánguo 60. Es decir: [ ] π π ( )() sen60 + () ( sen π ) 0

31 Ejercicio resueto 4 Si O e centros de as circunferencia de radio igua a R. Haar e área de a región sombreada. R O SOLUCIÓN E área buscada sería e área de hexágono menos e área de sector circuar de radio y ánguo de 0 R O 0 R a E área de hexágono sería: h na ( 6)( R)( R sen60 ) R R E área de sector circuar sería: π π C R R E área buscada sería: π h C R R R π 60 R Ejercicio resueto 5 Si e triánguo C es equiátero de ado, haar e área de a región sombreada. C SOLUCIÓN: La región sombreada es una corona circuar, por tanto habrá que determinar os radios de as circunferencias.

32 C R 0 O D r Recuerde que R entonces R hora bien, en e triánguo rectánguo OD: Por o tanto: tg0 r r r π π ( ) π R r π π 4 4 Ejercicios Propuestos 7. Si es e ado de hexágono reguar y C es e ado de triánguo equiátero inscrito en e círcuo centrado en O, entonces e vaor de ánguo es: Resp. π. En un círcuo de radio r se tiene inscrito un rectánguo de ta manera que a base de rectánguo es igua a radio de círcuo. Determine a medida de a atura de rectánguo. Resp. r.. E área de triánguo equiátero circunscrito a a circunferencia es 4. Cacuar e área de triánguo O. Resp..

33 4. Si e trianguo equiátero de a figura adjunta tiene un área tota cuyo vaor es cacue e área de a región sombreada. a, Resp. + π a 5. Si se conoce que a ongitud de ado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es de 7 m., determine e área de cuadrado circunscrito a a circunferencia. Resp. 96 m 6. Si e perímetro de triánguo equiátero inscrito en una circunferencia es de 9 cm., determine a ongitud de ado de triánguo equiátero circunscrito a a misma circunferencia. Resp. 6 cm 7. En a gráfica se observan dos circunferencias concéntricas de radio interior r y radio exterior R. Si e segmento, que es tangente a a circunferencia interna, tiene una ongitud de a unidades, determine e área de a corona circuar. Resp. π a. 8. E vaor de área de a región sombreada de a figura adjunta es: a) ( 5π 4) cm b) ( 5π ) cm c) (.5π 4) cm d) ( 5π + 4) cm e) (.5π 4) cm 9. E porcentaje de fracción 9 está gráficamente representado por cuaquiera de as 8 siguientes figuras sombreadas. Identifíquea. a) b) c) π 4 d) e)

34 0. Si e área de cuadrado CD es 6u y se divide en 6 cuadrados iguaes, e área de a parte rayada es: a) ( π + 4) u b) 4 u c) ( 4 π ) u d) ( π + 4) u e) ( π 4) u. Encuentre e área de a región sombreada de a figura en términos de radio r.. Si os ados de cuadrado CD miden 4 cm. Entonces e área de a parte sombreada de a figura es: a) 6 cm b) c) d) e) 8π cm 6π cm π cm 4π cm. En e triánguo equiátero de a figura adjunta se construyen seis arcos de circunferencia ubicando sus centros en os vértices,, C o en os puntos medios de os ados D, E, F. Entonces e área de a región sombreada es: a) a ( π ) b) a π c) a ( π ) d) e) a π a π a 4 4. Si e diámetro de a circunferencia de a figura adjunta es 0 cm. y a ongitud de a cuerda es 5, entonces e área de a región sombreada es: a) 5 π b) c) d) 5 π 4 5π 00 π 4

35 e) 00 π 5. En a figura adjunta C es un triánguo equiátero y su ado mide 0 cm. ; P, M y N son os puntos medios de cada ado; MN, PN y PM son arcos de circunferencia cuyos centros son os vértices de triánguo. Entonces e área de a región sombreada es en centímetros cuadrados igua a: a) 00 5π b) ( 50 5π ) c) ( 50 5π ) d) ( 00 5π ) e) ( π ) 6. E perímetro de a región sombreada es: π + a) ( ) b) ( r + ) c) ( π + ) d) π ( π + ) e) ( π + ) 7. En a siguiente figura: C CD D r 4cm Entonces e área de a región sombreada es: a) cm b) 8 cm c) 5 cm d) 6 cm e) 6 cm 8. E perímetro de a región sombreada es: a) π cm b) ( π +) cm c) cm d) ( π + ) cm e) 4 cm 9. Cacuar e área de a región sombreada, si e radio de a circunferencia externa es a. Resp. 4a ( π ) 5

36 0. Determine e área de a región sombreada de gráfico adjunto, conociendo que a recta es perpendicuar a as rectas y, sobre eas se grafica una circunferencia de radio a; uego se grafica una segunda circunferencia de ta forma que es tangente a a primera circunferencia y tangente a as rectas y. a Resp. π a 6 4. La figura muestra un hexágono reguar cuyo ado mide 5 cm. Si cada vértice se toma como centro para construir arcos de circunferencia desde os puntos medios de cada ado: M, N, O, P, Q y R, cuá es e área de a superficie sombreada. Q R P M O N 75 5 Resp. π. Si se tiene un poígono reguar de n ados, donde a ongitud de uno de sus ados es. n Demuestre que a medida de a apotema es tg π n. Demuestre que e radio de a circunferencia que puede circunscribirse en un poígono reguar de "n" ados, donde a ongitud de uno de sus ados es, está dado por n sec π n 4. Si P es un poígono reguar de n ados inscrito en una circunferencia de radio r, demuestre que e área de P es nr π sen n 5. Sea,, C un triánguo cuaquiera inscrito en una circunferencia de radio r. abc Demuestre que e área de triánguo es. 4r a c r C b 6