GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES Notas de curso

Transcripción

1 MARCO A. PÉREZ B. Universidad Central de Venezuela. Escuela de Matemática. GEOMETRÍA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES Notas de curso Julio, 2013.

2

3 Estas notas están basadas en un curso dado por Francisco Tovar en la UCV entre finales de 2006 y principios de Cualquier error u omisión es responsabilidad del autor. Los problemas presentados en estas notas fueron tomados del libro del profesor Manfredo Docarmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, del libro de la profesora Edith I. de Ricabarra, Geometría Diferencial, y de las prácticas dadas por el profesor Tovar. i

4 ii

5 TABLA DE CONTENIDOS 1 ESPACIO MÉTRICO R n Producto escalar Transformaciones que conservan el producto escalar Topología del espacio euclídeo Aplicaciones continuas Diferencial en R n Aplicaciones entre abiertos de un espacio métrico CURVAS REGULARES Curvas paramétricas Curvas regulares Longitud de arco de una curva Reparametrización Teoría local de curvas parametrizadas por longitud de arco Evoluta vs evolvente Problemas SUPERFICIES EN R Superficies paramétricas regulares Superficies regulares Puntos y valores regulares Cambio de parámetro Funciones diferenciables sobre superficies Plano tangente Orientabilidad Problemas iii

6 4 MÉTRICA SOBRE SUPERFICIES Primera forma fundamental Área de una superficie Isometrías entre superficies Problemas APLICACIÓN DE GAUSS Segunda forma fundamental Curvaturas sobre una superficie Coeficientes de la segunda forma fundamental Estudio de superficies mediante polinomios de Taylor Aplicación de Gauss en coordenadas locales Símbolos de Christofell Líneas asintóticas y líneas de curvatura Problemas SUPERFICIES REGLADAS Definición y tipos de superficies regladas Superficies regladas no cilíndricas Problemas GEODÉSICAS Campo vectorial y derivada covariante Paralelismo Levi-Civita Existencia y unicidad de geodésicas Problemas iv

7 CAPÍTULO 1 ESPACIO MÉTRICO R n 1.1 Producto escalar Recordemos que R n es el espacio vectorial formado por las n-tuplas (x 1,..., x n ), donde cada x i pertenece al conjunto R de los números reales, equipado con las operaciones: (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) = (x 1 + y 1,..., x n + y n ), para todo (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) R n ; λ (x 1,..., x n ) = (λ x 1,..., λ x n ), para todo (x 1,..., x n ) R 1 y todo λ R. Otra operación importante definida sobre R n es aquella conocida como producto escalar, definida por x y = n x i y i, para todo x = (x 1,..., x n )ey = (y 1,..., y n ) en R n, i=1 la cual tiene las siguientes propiedades: (1) x (y + w) = x y + x w. (2) (λx) y = λ(x y). (3) es definida positiva: x x 0 para todo x R n. Más aún, x x = 0 si, y sólo si, x = 0. Proposición (Desigualdad de Schwarz). (x y) 2 x 2 y 2, para todo x, y R n. El valor x := x x es conocido como la norma del vector x. 1

8 Usando el producto escalar se define la distancia entre dos vectores x e y: d(x, y) := x y. Proposición (Desigualdad triangular). d(x, y) + d(y, z) d(x, z). 1.2 Transformaciones que conservan el producto escalar Sea T : R n R n una transformación lineal tal que T (x y) = T (x) T (y). Note que este tipo de transformaciones preservan la norma de cualquier vector, y por ende la distancia entre dos vectores cualesquiera. En otras palabras, T es una isometría. Entre todas las isometrías, tenemos dos tipos destacables que son: (1) Traslaciones: Fijemos un vector x 0 R n. La transformación T x0 : R n R n definida por T x0 (x) = x + x 0 es conocida como traslación con respecto a x 0. (2) Rotaciones: ( Sea 0) ( θ ) 2π fijo. La transformación T θ : R 2 R 2 definida por T θ (x 1, x 2 ) = cos(θ) sen(θ) x1 se conoce como rotación a razón de θ. sen(θ) cos(θ) x 2 Ejercicio Demuestre que x y = T θ (x) T θ (y). 2

9 1.3 Topología del espacio euclídeo Usando el concepto de distancia se puede definir una topología en R n, para todo x R n. Se define B ɛ (x) = {y R n : x y < ɛ} como la bola abierta de centro x y radio ɛ. Un conjunto U R n es abierto si para todo x U existe ɛ = ɛ(x) > 0 tal que B ɛ (x) U. Un conjunto V R n es cerrado si V c = R n V es abierto. Si W es un conjunto cualquiera de R n, se denota por int(w ) su interior, el cual es abierto, y por W a su clausura, la cual es cerrada. 3

10 1.4 Aplicaciones continuas Sea x un punto en R n. Un conjunto U es un entorno de x si U es un abierto tal que x U. Una aplicación F : U R n R m es continua en un punto x 0 U si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que F (U B ɛ (x 0 )) B ɛ (F (x 0 )). Ejemplo Sea L : R n R m una transformación lineal, es decir L(ax + by) = al(x) + bl(y), para todo a, b R y x, y R n. Sea a 11 a 1n (a ij ) =..... a m1 a mn la matriz asociada a L. Tenemos que y = L(x) está dado por la multiplicación (a ij ) x 1. x n = donde y i = n j=1 a n m ijx j, para cada i = 1,..., m. La norma de L está definida por L := i=1 j=1 a2 ij. Entonces: ( m m n ) 2 (( m n ) ( n )) 2 L(x) 2 = yj 2 = a ij x i j=1 j=1 L(x) 2 L 2 x 2. i=1 Para cualquier x 0 R n, se sigue que L(x) L(x 0 ) 2 L 2 x x 0. Por lo tanto, para ɛ > 0, basta tomar δ = ɛ/ L 2 y tenemos que L es continua. j=1 y 1. y m, i=1 a 2 ij i=1 x 2 i=1 4

11 1.5 Diferencial en R n Sea L(R n, R m ) el espacio vectorial de todas las transformaciones lineales R n R m, el cual es isomorfo a R n m. Si L, L L(R n, R m ) y λ R, se define la suma y el producto por un escalar como sigue: (L + L )(x) := L(x) + L (x), para todo x R n. (λl)(x) := λl(x), para todo x R n. Si (a ij ) y (a ij ) son las matrices asociadas a L y L respectivamente, la matriz asociada a L + L está dada por (a ij + a ij ), mientras que la matriz asociada a λl viene dada por (λa ij). Sea F : U R n R m una función continua (en cada punto de U), donde U es un abierto. Se dice que F es diferenciable en x 0 U si existe una transformación lineal df x0 tal que Lim h 0 F (x 0 + h) F (x 0 ) df x0 (h) h La transformación df x0 tiene una única matriz asociada, conocida como la matriz jacobiana de F en x 0. Si F (x) = (F 1 (x),..., F m (x)), entonces dicha matriz viene expresada como: df x0 = F 1 F 1 x 1 (x 0 ) x n (x 0 )..... F m F x 1 (x 0 ) m x n (x 0 ). = Aplicaciones entre abiertos de un espacio métrico Una aplicación continua F : U R n R m, donde U es abierto, es un homeomorfismo si es biunívoca y bocontinua, es decir, si existe una aplicación F 1 : F (U) R m U R n tal que F 1 (F (x)) = x para todo x U, F (F 1 (y)) = y para todo y F (U), F es continua en U y F 1 es continua en F (U). Un homeomorfismo F es un difeomorfismo si además F y F 1 son diferenciables. Si las derivadas parciales de F y F 1 son continuas hasta el orden k, diremos que el difeomorfismo es de clase C k. 5

12 Teorema (Teorema de la Función Inversa). Sea F : U R n R m de clase C k y tal que df x0 es un isomorfismo, para algún punto x 0 U. Entonces F es un difeomorfismo entre un entorno W de x 0 y F (W ). Ejemplo Sea F : I R R 3 una aplicación continua. Tenemos que F es de la forma F (t) = (x(t), y(t), z(t)), donde df t0 = (x (t 0 ), y (t 0 ), z (t 0 )). Si df t0 0, entonces (x (t 0 ), y (t 0 ), z (t 0 )) representa en vector tangente a la curva F (t) en (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )). 6

13 CAPÍTULO 2 CURVAS REGULARES El objetivo de este capítulo es estudiar ciertos conjuntos de R 3 llamados curvas, que son unidimensionales y se les puede aplicar los métidos del cálculo para caracterizarlas. 2.1 Curvas paramétricas Definición Sea α : I R R n una aplicación de I, un intervalo abierto, a R n (para n = 2 o 3), diferenciable. Esta aplicación se denomina curva paramétrica α(t) = (x(t), y(t), z(t)) con x(t), y(t) y z(t) diferenciables. El intervalo I es de la forma (a, b), y puede incluir los casos a = y/o b =. El conjunto de puntos de R n dados por (x(t), y(t), z(t)), con t I, se denomina traza de α. La variable t se conoce como parámetro de α. El vector α (t) = (x (t), y (t), z (t)) se denomina vector tangente (o vector velocidad en términos físicos). Ejemplo (1) Sea α : (0, 2π) R 2 la curva dada por α(t) = (cos(t), sen(t)). Tenemos que, para x(t) = cos(t) y y(t) = sen(t), x 2 (t) + y 2 (t) = 1, por lo que la traza de α está dada por la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1. 7

14 (2) La curva β : (0, π) R 2 dada por (cos(2t), sen(2t)) posee la misma traza que la curva α dada en el ejemplo anterior, pero con diferente velocidad: β (t) = ( 2sen(t), 2cos(2t)) = 2α (t). Se puede decir que β es dos veces más rápida que α. (3) Parametrización racional del círculo: Consideramos la familia de rectas que pasan por el punto ( 1, 0). En general, estas rectas tienen por ecuación y = t(x + 1). Escogemos para cada recta el punto perteneciente a la circunferencia x 2 + y 2 = 1. Para ello, sustituímos y = t(x + 1) en x 2 + y 2 = 1, y nos queda: x 2 + t 2 (x + 1) 2 = 1 x t 2 (x + 1) 2 = 0 (x + 1)(x 1) + t 2 (x + 1) 2 = 0 (x + 1)[x 1 + t 2 (x + 1)] = 0 ( ) 1 t 2 1+t Sustituyendo, obtenemos y(t) = t ( ) 1 t 2 2t 1+t, 2 1+t 2 que α(t) ( 1, 0) si t o si t. (1 + t 2 )x = 1 t 2, tomando x 1 x(t) = 1 t2 1 + t 2. = 2t 1+t 2. Así la curva α : R R 2 dada por α(t) = es una parametrización de la circunferencia x 2 + y 2 = 1, pero sin el punto ( 1, 0). Note 8

15 (4) Hélice: La curva α : I R 3 dada por α(t) = (a cos(t), b sen(t), b t), con a, b R, es una hélice contenida en el cilindro x 2 + y 2 = a 2, de paso 2πb. (5) Cúspide: Sea α : R R 2 la curva dada por α(t) = (t 3, t 2 ). La traza de α está dada por el conjunto de puntos (x, y) tales que y 3 x 2 = 0. Para esta curva, se tiene α (0) = (0, 0). Note que no puede definirse un vector tangente a α en (0, 0). (6) Lazo: Sea α : R R 2 la curva dada por α(t) = (t 3 4t, t 2 4). Note que α( 2) = α(2) = (0, 0). Esta curva se conoce como lazo. 9

16 Ejercicio Parametrice racionalmente las siguientes curvas: (a) y y 0 = a (x x 0 ) 2. (b) (x x0)2 a 2 (c) (x x0)2 a 2 + (y y0)2 b 2 = 1. (y y0)2 b 2 = Curvas regulares En los ejemplos anteriores, vimos que para la curva α : R R 2 dada por α(t) = (t 3, t 2 ) es imposible definir un vector tangente en el punto (0, 0). Este problema se evita cuando restringimos nuestro estudio de curvas paramétricas a un tipo especial de ellas conocido como curvas regulares. Definición Sea α : I R R n (con n = 2, 3) una curva diferenciable. Si α (t) 0 para todo t I, entonces decimos que α es una curva regular. Esto nos permite construir un campo vectorial (campo tangente sobre la trayectoria de α). Si α (t) 0 para todo t I, se define la recta tangente sobre cada punto α(t), parametrizada por s α (t) + α(t). 2.3 Longitud de arco de una curva Sea α : I R R n (con n = 2, 3) una curva diferenciable. Consideremos una partición de I = [a, b] dada por a = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b. 10

17 Denotaremos por l la longitud de α entre α(a) y α(b). Tenemos l n i=1 α(t i) α(t i 1 ). Por el Teorema del Valor Medio para la derivada, se tiene α(t i ) α(t i 1 ) = α (ζ i ) (t i t i 1 ), para algún ζ i (t i 1, t i ) y para cada i. Nos queda l n i=1 α (ζ i ) (t i t i 1 ). Tomando el límite de n i=1 α (ζ i ) (t i t i 1 ) cuando n, tenemos que la integral l := b a α (u) du define la longitud de arco de la curva α entre α(a) y α(b). Con este cálculo, se define además la función l : I R 0 longitud de arco l(t) = t a α (u) du. Si α(t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces l(t) viene dada por l(t) = t a (x (u)) 2 + (y (u)) 2 + (z (u)) 2 du. Ejemplo Consideremos la parametrización del círculo unitario α(t) = (cos(t), sen(t)). Tenemos α (t) = ( sen(t), cos(t)), α (t) = 1 y por ende l = 2π 1du = 2π. De forma similar, se tiene que la función 0 longitud de arco viene dada por la función identidad. Definición Sea α : I R R n (con n = 2, 3) una curva diferenciable. Si α (t) = 1 para todo t I, diremos que α está parametrizada por longitud de arco o que es de velocidad unitaria. Ejercicio Calcule la longitud del arco del círculo unitario dado por una parametrización racional. 2.4 Reparametrización Teorema Si α : (a, b) R R n (con n = 2, 3) es una curva regular, entonces existe una reparametrización β de α tal que β : (0, l) R n es de velocidad unitaria, donde l es la longitud de arco de α. Demostración: Por definición, l(t) = t a α (u) du. Note que l(t) es creciente porque l (t) > 0 para todo t (a, b). De donde l es un difeomorfismo. Definimos β(s) = (α l 1 )(s). Tenemos el diagrama conmutativo α (a, b) R l(t) β (0, l) Ahora veamos que β está parametrizada por longitud de arco: β (s) = (α l 1 ) (s) = α (l 1 (s)) (l 1 ) (s) = α (l 1 (s)) l (t) β (s) = 1. = α (t) α (t), donde l (t) > 0 con t = l 1 (s). 11

18 Ejemplo Sea α : (0, 2π) R 2 la curva dada por α(t) = (r cos(t), r sen(t)) (parametrización trigonométrica del círculo x 2 + y 2 = 1). Tenemos α (t) = ( r sen(t), r cos(t)) y α (t) = r. La longitud de arco viene dada por l(t) = r t = s y l = 2πr. De donde t = s/r = l 1 (s). Por lo tanto, β : (0, 2π) R 2 tiene la fórmula β(s) = (α l 1 )(s) = (r cos(s/r), r sen(s/r)). Además, ( β (s) = r 1 ( s ) r sen, r 1 ( s ) ) ( ( s ) ( s )) r r cos = sen, cos, r r r y se sigue fácilmente que β (s) = Teoría local de curvas parametrizadas por longitud de arco Sea α : I R R n (con n = 2, 3) una curva regular. En el caso que α no satisface α 1, qué mide α? Físicamente, α (t) representa la rapidez de α. Qué mide α (s) cuando α 1? Qué tanto se despega α de su vector tangente? En esta sección resolveremos estas preguntas introduciendo nuevos conceptos. Definición Sea α : I R R n (con n = 2, 3) parametrizada por longitud de arco, valor k(s) := α (s) se conoce como la curvatura de α. Ejemplo (1) Si α : R R 3 viene dada por α(s) = s a + b, donde a y b son vectores unitarios de R 3, se tiene que α (s) = a, α (s) = 1 y α (s) = 0. Por lo que k(s) = 0. En otras palabras, toda recta parametrizada por longitud de arco tiene curvatura 0. El recíproco de este hecho también es cierto: Si α(s) es una curva regular parametrizada por longitud arco cuya curvatura es 0, entonces α es una recta o un segmento de recta. En efecto, si α (s) = 0 para todo s, se tiene que α (s) = a, para algún vector constante a. Integrando de nuevo, se tiene α(s) = s a + b, para algún otro vector b. (2) La curva α : (0, 2πr) R 2 dada por α(s) = ( r cos ( ) ( s r, r sen s )) r está parametrizada por longitud de arco, pues α (s) = ( sen ( ) ( s r, cos s )) r y α (s) = 1. Por otro lado, α (s) = ( 1 r cos ( ) s r, 1 r sen ( )) s r ( 1 y k(s) = r cos ( )) s 2 ( r + 1 r sen ( )) s 2 r = 1 r. Por lo tanto, la curvatura de todo círculo es el inverso multiplicativo de su radio. Definición Se define el vector normal a una curva parametrizada por longitud de arco como el vector unitario n(s) := α (s) α (s). Este vector está orientado hacia la concavidad de α. Derivando la relación α (s) α (s) = 1, se tiene 2α (s) α (s) = 0. Como α (s) = k(s) n(s), nos queda k(s)( n(s) α (s)) = 0, es decir n(s) α (s). La notación usual para el vector velocidad α (s) que usaremos a partir de ahora es t(s) = α (s). 12

19 Definición Si n = 3, sobre cada punto de α(s) se asocia un plano definido por los vectores n(s) y t(s). Este plano se denomina plano osculador. En términos paramétricos, este plano tiene por fórmula (u, v) u n(s) + v t(s) + α(s). Definición Dada una curva regular α : I R R 3 parametrizada por longitud de arco, el vector b(s) := t(s) n(s) se conoce como vector binormal de α en el punto α(s). Note que b(s) es unitario, y que además es ortogonal a t(s) y n(s). Definición Dada una curva regular α : I R R 3 parametrizada por longitud de arco, al triple de vectores ( t(s), n(s), b(s)) se le conoce como triedro de Frénet-Serret. Proposición (Propiedades). (1) t(s) = n(s) = b(s) = 1. (2) t (s) = k(s) n(s). Es otras palabras, k(s) mide cúanto se despega α(s) de su recta tangente. (3) t(s) n(s), t(s) b(s), n(s) b(s). Tenemos que b(s) t(s) = 0 implica b (s) t(s) = b (s) t(s) + k(s)( b(s) n(s)) = b (s) t(s) + b(s) t (s) = 0. Por otro lado, b(s) b(s) = 1 implica b (s) b(s) = 0. De esto se deduce que b (s) n(s) ( b (s) y n(s) son paralelos). 13

20 Definición Se define la torsión de α en α(s) al escalar τ tal que b (s) = τ n(s). Este escalar mide, en cierto sectido, cuánto se despega la curva de su plano osculador. Ejercicio (Propiedades). Usando t(s), n(s) y b(s) se puede describir la variación de estos vectores: (1) t (s) = k(s) n(s). (2) n (s) = k(s) t(s) + τ b(s). (3) b (s) = τ n(s). Estas relaciones pueden representarse mediante la siguiente multiplicación de matrices: k(s) 0 τ =. 0 k(s) 0 0 τ 0 t(s) n(s) b(s) t (s) n (s) b (s) Ejemplo Calculemos la torsión de la hélice circular α(t) = (a cos(t), a sen(t), b t). Primero tenemos que α (t) = a 2 + b 2. Por lo que la longitud de arco viene dada por s(t) = t a2 + b 0 2 du = t ( ( ) ( ) a 2 + b 2. Reparemetrizando por longitud de arco, nos queda β(s) = a cos s a, a sen s 2 +b 2 a, bs 2 +b 2 a ). Luego, ( ) ( ) ) ( ) ( 2 +b 2 ) ) β 1 (s) = s a ( a sen s 2 +b 2 a, a cos 2 +b 2 a, b y β (s) = a s 2 +b 2 a 2 +b (cos 2 a, sen s 2 +b 2 a, b 2 Entonces, k(s) = β (s) = a a 2 +b. Ahora calculemos el vector binormal y su derivada: 2 i j k ( ) ( ) a sen s a cos s b(s) = a t(s) n(s) = 2 +b 2 a 2 +b 2 b a2 +b ( 2 ) ( a2 +b 2 ) a2 +b 2 s cos s a sen 2 +b 2 a 0 2 +b ( ( ) 2 ( ) ) b = a2 + b sen s b, 2 a2 + b 2 a2 + b cos s a, 2 a2 + b 2 a2 + b ( ( ) ( ) ) 2 b b (s) = a 2 + b 2 cos s b, a2 + b 2 a 2 + b 2 sen s, 0 = b a2 + b 2 a 2 + b 2 n(s). Por lo tanto, τ = b a 2 +b 2. Ahora consideremos una curva regular α : I R R 2 con curvatura no nula, no necesariamente paremetrizada por longitud de arco. Sabemos que s (t) = α (t) representa la rapidez de la curva. Recordemos que t(t) = α (t) α (t). Luego, k(t) = k(t(s)) = d t dt dt ds. Como t = t(s(t)), se tiene t (s(t)) s (t) = 1, por lo que t (s(t)) = 1 α (t). Luego, k(t) = t (t) α (t) = x (t) y (t) x (t) y (t) ((x (t)) 2 +(y (t)) 2 ) 3/2, si α(t) = (x(t), y(t)). Se demostró que k 0 si, y sólo si, α(t) es parte de una recta. Además vimos que si α(t) parametriza una circunferencia de radio r, entonces su curvatura viene dada por 1/r.?1Se cumple el recíproco para este tipo de curva y curvatura? Teorema Si α es una curva regular plana con curvatura constante en I = (a, b), entonces α(t) es un arco de una circunferencia. 14

21 Demostración: Supongamos, sin pérdida de generalidad, que α está parametrizada por longitud de arco. Sabemos que n (s) = k(s) t(s) + τ b(s) = k t(s). Consideremos la curva β(s) = α(s) + 1 k n(s). Tenemos β (s) = α (s) + 1 k n (s) = t(s) + 1 k ( k t(s)) = 0. Se sigue que βs = v constante, es decir v = αs + 1 k n(s). Por lo que α(s) v = 1 1 k n(s). Por tanto, α(s) v = k, es decir, α(s) está contenida en una circunferencia de centro v y radio 1/ k. Teorema Sea k : I R R una función continua a trozos. Entonces, una curva con velocidad unitaria β : I R 2 y curvatura k(s) está dada por ( ) β(s) = cos(θ(s))ds + c 1, sen(θ(s))ds + c 2, donde θ(s) = k(s)ds + θ 0. Demostración: Tenemos β (s) = cos 2 (θ(s)) + sen 2 (θ(s)) = 1 y β (s) = (cos(θ(s)), sen(θ(s))). Luego, β (s) = ( θ (s) sen(θ(s)), θ (s) cos(θ(s))) y k(s) = β (s) = θ (s). Estas verificaciones prueban el teorema. Aunque podemos hacernos una pregunta válida: De dónde salió β(s)? Resolviendo cierto sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejercicio Hallar el sistema de EDO mencionado en la prueba anterior. Siguiendo nuestro estudio de curvas no necesariamente parametrizadas por longitud de arco. Tenemos el siguiente ejercicio: Ejercicio Sea α : I R R 3 con rapidez v(t) = α (t) = s (t) 0. Entonces se verifica: (1) t (t) = v(t)k(t) n(t). (2) n (t) = v(t)k(t) t(t) + v(t)τ(t) b(t). (3) b(t) = v(t)τ(t) n(t). Lema Sea α : I R R 3 una curva regular con velocidad v(t) no nula, entonces: (1) α (t) = v(t) t(t). (2) α (t) = v (t) t(t) + v 2 (t)k(t) n(t). 15

22 Demostración: Como t(t) = α (t) α (t) = α (t) v(t), se tiene α (t) = v(t) t(t). Derivando, α (t) = v(t) t (t) + v (t) t(t). Usando el ejercicio anterior, se obtiene α (t) = v 2 (t)k(t) n(t) + v (t) t(t). Teorema Sea α : I R 3 una curva regular con curvatura no nula. Entonces: (1) t(t) = α (t) α (t) = α (t) v(t). (2) b(t) = α (t) α (t) α (t) α (t). (3) n(t) = b(t) t(t). (4) k(t) = α (t) α (t) α (t) 3. (5) τ(t) = (α (t) α (t)) α (t) α (t) α (t) 2. Demostración: (1) y (3) se siguen a partir de la definición. siguientes cálculos: Para probar (2) y (4), hacemos los α (t) α (t) = (v(t) t(t)) (v (t) t(t) + k(t)v 2 (t) n(t)) = k(t)v 3 (t) t(t) n(t), α (t) α (t) = k(t)v 3 (t) b(t) = k(t)v 3 (t), porque b(t) es unitario. De estas dos igualdades se sigue b(t) = α (t) α (t) α (t) α (t) y k(t) = α (t) α (t) α (t) 3. Basta probar (5). (α (t) α (t)) α (t) = k(t)v 3 (t) b(t) α (t), α (t) = (α (t)) = (v (t) t(t) + v 2 (t)k(t) n(t)) = v (t) t(t) + v (t) t (t) + (2v(t)v (t) + v 2 (t)k (t)) n(t) + v 2 (t)k(t) n (t) (α (t) α (t)) α (t) = v (t)k(t)v 3 (t) t (t) b(t) + k 2 (t)v 5 (t) b(t) n(t). Sabemos que n (t) = v(t)k(t) t(t) + v(t)τ(t) b(t) y t (t) = v(t)k(t) n(t). Entonces, (α (t) α (t)) α (t) = k 2 (t)v 5 (t) b(t) ( v(t)k(t) t(t) + v(t)τ(t) b(t)) = k 2 (t)v 6 (t)τ(t), (α (t) α (t)) α (t) α (t) α (t) 2 = k2 (t)v 6 (t)τ(t) (k(t)v 3 (t)) 3 = τ(t). Definición Una isometría es una transformación afín T : R n R n R (con n = 2, 3) que preserva el producto escalar: T p T q = p q. Se puede verificar que una isometría es el resultado de componer una traslación, rotación o reflexión. 16

23 Ejercicio Si α : I R n es una curva regular, entonces la curvatura y la torsión de α son invariantes por isometrías. Teorema (Teorema Fundamental de la Teoría de Curvas). Si dos curvas tienen dominio (a, b), velocidad unitaria, la misma curvatura (no nula) y la misma torsión, entonces existe una isometría T tal que T (α) = β. Teorema Dadas dos funciones diferenciables k(s) > 0 y τ(s) de dominio I = (a, b), para todo punto P R 3 y un triedro ortogonal { t 0, n 0, b 0 }, existe una única curva α : I R 3, con α(a) = P, triedro de Frénet { t 0, n 0, b 0 } en P con k(s) y τ(s) como funciones de curvatura y torsión, respectivamente. Demostración: El primer objetivo es construir las funciones t(s), n(s) y b(s). Se plantea el siguiente sistema de EDO con condiciones iniciales: 0 k(s) 0 k(s) 0 τ(s) = 0 τ(s) 0 t(s) n(s) b(s) t (s) n (s) b (s) t(a) = t 0, n(a) = n 0, b(a) = b0. Para la coordenada x, tenemos: 0 k(s) 0 k(s) 0 τ(s) 0 τ(s) 0 x t (s) x n (s) x b (s) = x t (s) x n (s) x b (s) x t (a) = x t 0, x n (a) = x n0, x b (a) = x b0. Lo mismo para las coordenadas y y z. Como la matriz del sistema es invertible, dicho sistema tiene solución y es única. Así se obtienen las funciones t(s), n(s) y b(s). Se define la curva α como α(s) = s t(u)du + P. Tenemos que α(a) = P y α (s) = t(s). Falta ver que t(s), n(s) y b(s) son unitarios y 0 ortogonales entre sí. Consideremos el siguiente sistema con condiciones iniciales: n 1 (s) = t(s) t(s), n 1 (a) = t 0 t 0 = 1, n 2 (s) = n(s) n(s), n 2 (a) = n 0 n 0 = 1, n 3 (s) = b(s) b(s), n 3 (a) = b 0 b 0 = 1, n 4 (s) = t(s) n(s), n 4 (a) = t 0 n 0 = 0, n 5 (s) = n(s) b(s), n 5 (a) = n 0 b 0 = 0, n 6 (s) = b(s) t(s), n 1 (a) = b 0 t 0 = 0. Derivando, obtenemos: n 1(s) = 2k(s)n 4 (s), n 2(s) = 2k(s)n 4 (s) + 2τ(s)n 5 (s), n 3(s) = 2τ(s)n 5 (s), n 4(s) = τ(s)n 6 (s), n 5(s) = k(s)n 6 (s), n 6(s) = τ(s)n 4 (s) + k(s)n 5 (s). Este sistema tiene solución única. De las condiciones iniciales se obtiene que n 1 (s) = 1, n 2 (2) = 1, n 3 (s) = 1, n 4 (s) = 0, n 5 (s) = 0 y n 6 (s) = 0. 17

24 2.6 Evoluta vs evolvente Definición Sea α : I R 2 una curva regular con curvatura no nula. Un punto P R 3 es el centro de curvatura de α en un punto Q de α, si existe una circunferencia C centrada en P, con el mismo vector tangente y la misma curvatura en Q. A dicho círculo C se le conoce como círculo osculatriz. El círculo osculatriz se parece a la curva en un entorno de Q. Su radio viene dado por 1/k α (Q). Definición El conjunto de centros de curvatura de una curva regular α, con curvatura no nula, es conocido como evoluta de α, y viene expresado por la siguiente fórmula: donde Jα (t) = ( y (t), x (t)). E α (t) = α(t) + 1 Jα (t) k α (t) α (t) = α(t) + α (t) 2 α (t) Jα (t) Jα (t), Ejemplo (1) Es fácil ver que la evoluta de una circunferencia viene dada por su centro. (2) En el caso de una elipse (0, 2π) (a cos(θ), b sen(θ)), la evoluta viene dada por ( (2 2 b 2 ) (0, 2π) cos 3 (t), b2 a 2 ) sen 3 (t), a b y posee la siguiente gráfica: El concepto inverso de evoluta es aquél de evolvente. Definición Sea β : (a, b) R 2 una curva regular con velocidad unitaria. La evolvente o involuta de β que pasa por β(c), con a < c < b, está dada por la fórmula I β := β(s) + (c s)β (s). Si α es una curva regular sin velocidad unitaria, entonces su evolvente en α(c) está dada por I α := α(t) + (s α (c) s α (t)) α (t) α (t). 18

25 Ejemplo Dada la circunferencia unitaria (0, 2π) (cos(θ), sen(θ)), su evolvente viene dada por la siguiente espiral: Ejercicio Sea β : (0, l) R 2 una curva regular con velocidad unitaria. Sea I β (t) la evolvente de β por β(c), con 0 < c < l. Entonces la evoluta de I β (t) es la propia curva β. 2.7 Problemas Problema Encuentre una curva parametrizada α(t) cuya traza es la circunferencia x 2 + y 2 = 1 tal que α(t) es el círculo en sentido horario con α(0) = (0, 1). Problema Sea α(t) una curva paramétrica que no pasa por el origen. Si α(t 0 ) es el punto de la traza de α más cercano al origen y α (t 0 ) 0, muestre que el vector posición α(t 0 ) es ortogonal a α (t 0 ). Problema Una curva paramétrica α(t) tiene la propiedad de que α (t) 0. Qué podemos decir de α? Problema Sea α : I R 3 una curva paramétrica, con α (t) 0 para todo t I. Muestre que α(t) es una constante no nula si, y sólo si, α(t) es ortogonal a α (t) para todo t I. Problema Sea α : I R 3 una curva paramétrica y sea v R 3 un vector fijo. Asuma que α (t) es ortogonal a v para todo t I y que α(0) es también ortogonal a v. Demuestre que α(t) es ortogonal a v para todo t I. Problema Muestre que las tangentes a la curva regular α(t) = (3t, 3t 2, 2t 3 ) hacen un ángulo constante con la línea y = 0, z = x. Problema Sea OA = 2a el diámetro de S y OY y AV las tangentes a S en O y A, respectivamente. Sea r la semirecta dibujada desde O que corta a S en C y a la línea AV en B. En OB se marca el segmento OP = CB. Si tomamos r sobre O, el punto P describe una curva α llamada Cisoide de Diocles. 19

26 Demuestre: (a) La traza de α(t) viene dada por (b) (0, 0) es un punto singular del Cisoide. ( 2at 2 1+t 2, 2at3 1+t 2 ), donde t = tan(α) R. (c) Cuando t, α(t) se acerca a la línea x = 2a, y α (t) (0, 2a). Luego, cuando t, la curva y su tangente se acercan a x = 2a, decimos que x = 2a es una asíntota del Cisoide. ( Problema Sea α : ( 1, + ) R 2 dada por α(t) = (a) Para t = 0, α es tangente al eje X. (b) Cuando t, α(t) (0, 0) y α (t) (0, 0). 3at 1+t 3, 3at2 1+t 3 ). Pruebe que: (c) Tome la curva con orientación contraria. Ahora, cuando t 1, la curva y su tangente se acercan a la recta x + y + a = 0. Problema Dada la curva α(s) = ( a cos ( ) ( s c, a sen s ) ) c, b s c, donde s R y c 2 = a 2 + b 2. (a) Muestre que s es la longitud de arco. (b) Determine la curvatura y la torsión de α. (c) Determine el plano osculador de α. (d) Muestre que las líneas que contienen a n(s) y pasan a través de α(s) encuentran al eje Z en un ángulo constante π/2. (e) Muestre que las líneas tangentes a α hacen un ángulo constante con el eje Z. Problema Muestre que la torsión τ de α está dada por τ(s) = (α (s) α (s)) α (s) k(s) 2. Problema Una curva regular α tiene la propiedad que todas sus tangentes pasan a través de un punto fijo. (a) Pruebe que la traza de α es un segmento o una recta. 20

27 (b) Vale la conclusión hecha en (a) si α no es regular. Problema Si α(t) = (sen(2t), sen(2t)), donde t (0, π), demostrar que α(t), α (t) = 0 para todo t (0, π), e interpretar el resultado. Problema Si un punto se mueve en el plano según la ley α(t) = (R cos(wt), R sen(wt)), con t R, donde R y w son constantes, demostrar que α(t) = 1 R α (t) 2. Problema Si una partícula se mueve en el plano según la ley α(t) = (t 2 t 1, t 2 2t), con t R, encontrar v(t) y a(t), los vectores de velocidad y aceleración, y expresar el parámetro de longitud de arco s(t) medida desde t = 0, y hallar s (t) y s (t). Encontrar la curvatura k(t) y el vector normal principal n(t) para α. Problema (a) Si α : I R 3 es una curva regular y ϕ : (c, d) (a, b) un difeomorfismo entre lo intervalos (c, d) y (a, b), demostrar que β(z) = α(ϕ(z)) es una curva regular. (b) Si ϕ es una función diferenciable tal que ϕ (z) > 0 para todo z [c, d], ϕ(c) = a y ϕ(d) = b, mostrar que ϕ es un difeomorfismo entre [c, d] y [a, b]. (c) Idem si ϕ (z) < 0, ϕ(d) = a y ϕ(c) = b. (d) Demostrar que ϕ(z) = z es reparametrización de α : [a, b] R 3 que interviene en la orientación, y hallar el dominio de ϕ. Problema Demostrar que: (a) α(t) = (t, t, t), con t R, es una recta que pasa por el origen. (b) β(z) = (z 2, z 2, z 2 ), con z R, no es reparametrización de α. (c) γ(σ) = (e σ, e σ, e σ ), con σ R, es parametrización de una semirecta de la recta de la parte (a). Problema Dibujar la traza de la curva α : R R 2 dada por ( e 1/t2, e 1/t2 ) si t (, 0), α(t) = (0, 0) si t = 0, (e 1/t2, e 1/t2 ) si t = (0, + ). Demostrar que α es diferenciable pero no regular. Problema El cicloide se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que describe un punto sobre una circunferencia de radio r, cuando ésta rueda sin deslizar a lo largo de una recta fija. Demostrar que esta curva está dada por α(t) = (r (t sen(t)), r (1 cos(t))). 21

28 Problema La curva cardioide se define como los puntos del plano de una circunferencia de radio a que rueda sobre otra circunferencia de radio a. Demuestre que dicha curva se puede parametrizar por β(t) = (2a cos(t) (1 + cos(t)), 2a sen(t) (1 + cos(t))). Problema Calcule la longitud de arco, la curvatura y bosqueje el gráfico de las siguientes curvas: (a) α(t) = a (cos(t) + sen(t), sen(t) t cos(t)). (b) α(t) = (c cosh(t/c), t). (c) β(s) = a (cos 3 (s), sen 3 (s)). (d) β(t) = (t, t 2 ). (e) α(t) = ( ) a cos(t) 1+sen 2 (t), a sen(t) cos(t) 1+sen 2 (t) (Lemniscata de Bernoulli). Problema Sea β : (0, π) R 2 dada por β(t) = ( sen(t), cos(t) + Ln ( tan ( t 2))), donde t es el ángulo entre el eje negativo de las Y y el vector β(t). Demostrar: (a) β es diferenciable y regular, excepto en t = π/2. (b) β es simétrica respecto al eje de las X. (c) La longitud del segmento tangente a la curva entre el punto de tangencia y la intersección con el eje de las Y es constante e igual a 1. 22

29 Problema Probar que si todas las normales de una curva pasan por un punto fijo, la curva es un arco de circunferencia. (Recta normal es la que contiene al vector principal). Problema Una curva α : I R 3 se llama hélice si las tangentes de α forman ángulos constantes con una dirección fija u. Si α es una curva con curvatura y torsión no nulas en I, parametrizada por longitud de arco, demostrar: (a) Si α es una hélice, las normales principales son paralelas a un plano fijo. (b) Si cos(θ) = t, u entonces sen(θ) = b, u para una conveniente elección de u. (c) Si α es una hélice, probar que k(s) τ(s) (d) Si para una curva α la relación k τ es constante. es constante, entonces ella es una hélice. Problema Desarrollando las fórmulas de Frénet-Serret, calcular t, n y b, y las funciones de curvatura y torsión de la cúbica alabeada α(t) = (3t t 3, 3t 2, 3t + t 3 ), con t R. Demostrar que esta curva es una hélice, hallando u y θ. Verificar que no es una hélice circular. Problema Sea α : I R 2 una curva con curvatura no nula en I. La curva β(t) = α(t) + n(t) k(t), con t I, se llama evoluta de α. Demostrar: (a) La tangente de la evoluta en t = t 0 es la recta normal de α en t = t 0. (b) Poniendo R(t) = 1 k(t), probar que la longitud de la evoluta entre β(t 1) y β(t 2 ) es igual al valor absoluto de R 2 R 1, donde R i = R(t i ) para i = 1, 2. 23

30 (c) Una curva α cuya evoluta es β se llama envolvente de β. Toda curva con k(t) 0, para todo t, tiene infinitas envolventes, trayectorias ortogonales de su familia de rectas tangentes. Pueden construirse aplicando un hilo sobre β y estirándolo manteniéndolo tangete a β. Construya la envolvente de un círculo. Problema Usando las ecuaciones canónicas locales, demostrar que la curva α(s), proyección de una curva α sobre el plano osculador en α(0) = P, tiene en P igual curvatura que α. 24

31 CAPÍTULO 3 SUPERFICIES EN R Superficies paramétricas regulares Definición Una superficie parametrizada es un conjunto de la forma S = X(U), donde U es un subconjunto abierto de R 2 y X : U R 3 es una aplicación diferenciable (llamada una parametrización de S). Para la misma traza S = X(U) pueden haber varias parametrizaciones. Ejemplo (1) La aplicación X : U R 3, con U = {(u, v) R 2 : u 2 + v 2 < 1}, dada por X(u, v) = (u, v, 1 u 2 v 2 ) es una parametrización del hemisferio norte de la esfera S 2 (sin incluir el ecuador). (2) La aplicacin Y : V R 3, con V = (0, π/2) (0, 2π), dada por Y (u, v) = (sen(u) cos(v), sen(u) sen(v), cos(u)) es una parametrizacin del polo norte de la esfera S 2, que no incluye ni el ecuador ni el meridiano 0. 25

32 Dada una parametrización X : U R 2 R 3, fijemos un punto q = (u 0, v 0 ). Considere los abiertos I q = U {(u, v) R 2 : v = v 0 } and J q = {(u, v) R 2 : u = u 0 }. La curva σ q (u) = X(u, v 0 ), con u I q, se conoce como la u-curva que pasa por q. De manera similar, τ(v) = X(u 0, v), con v J q, es conocida como la v-curva que pasa por q. Definición Una superficie parametrizable S, con parametrización X : U R 2 R 3, se dice regular si dx q es inyectiva, para todo punto q U. El diferencial dx q es la matriz dada por x u (q) x v (q) dx q = y u (q) y v (q), donde X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). z u (q) z v (q) ( ) x y z Recuerde que dx q es inyectiva (o tiene rango 2) si, y sólo si, los vectores X u = u (q), u (q), u (q) y ( ) x y z X v = v (q), v (q), v (q) son linealmente independientes (o equivalentemente, X u X v 0). Note que la inyectividad de dx q permite definir un plano tangente en X(q), dado por el conjunto T q (S) := {X u (q) t + X v (q) h + X(q) : (t, h) R 2 }. Ejemplo Los siguientes son ejemplos de superficies paramétricas ragulares: (1) Esfera unitaria S 2 : Consideremos la parametrización X(u, v) = (sen(u) cos(v), sen(u) sen(v), cos(u)), sobre el abierto (0, π) (0, 2π), que cubre a toda la esfera menos al meridiano 0. Calculemos dx q y sus menores: 26

33 Entonces tenemos cos(u) cos(v) sen(u) sen(v) dx Q = cos(u) sen(v) sen(u) cos(v), sen(u) 0 ( ) cos(u) cos(v) sen(u) sen(v) M 1 =, det(m cos(u) sen(v) sen(u) cos(v) 1 ) = sen(u) cos(u), ( ) cos(u) sen(v) sen(u) cos(v) M 2 =, det(m sen(u) 0 2 ) = sen 2 (u) cos(v), ( ) cos(u) cos(v) sen(u) sen(v) M 3 =, det(m sen(u) 0 3 ) = sen 2 (u) sen(v). det(m 1 ) = 0 sen(u) = 0 o cos(u) = 0 u = π/2, det(m 2 ) = 0 sen(u) = 0 o cos(v) = 0 v = π/2 o v = 3π/2, det(m 3 ) = 0 v = π. Estas menores no se anulan simultáneamente, lo que significa que la matriz de la diferenciable es de rango 2, para todo q U. Es decir, X(U) es regular. (2) Cono circular: El bicono circular tiene por ecuación z 2 = z 2 + y 2. Su parte superior acepta la parametrización X : R 2 R 3 dada por X(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ). Calculamos la diferencial dx q, para cualquier q R 2 : dx q = u u 2 +v 2 v u 2 +v 2. Vemos que dx q no es diferenciable en (0, 0). Ahora consideremos Y : R >0 (0, 2π) R 3 dada por Y (u, v) = (u cos(v), u sen(v), u). En dibujos, tenemos: 27

34 En este caso, la diferencial dx q viene dada por cos(v) u sen(v) dx q = sen(v) u cos(v) 1 0. Las menores nos dan: det(m 1 ) = u, det(m 2 ) = u cos(v) y det(m 3 ) = u sen(v), las cuales no se anulan simultáneamente pues u > 0. (3) Superficie de tangente a una curva alabeada (no plana): Sea α : I R 3 una curva alabeada y regular con α 1. Consideremos la aplicación X : R I R 3 dada por X(u, v) = α(s) + u t α (s). El diferencial dx q = (X u, X s ) tiene por componentes Luego, X u = t α (s), y X s = t α (s) + u t α(s) = t α (s) + u k α (s) n α (s). X u X s = t α (s) ( t α (s) + u k α (s) n α (s)) = t α (s) t α (s) + u k α (s) t α (s) n α (s) = u k α (s) b α (s). Tenemos que X u X s = 0 si, y sólo si, u = 0 o k α (s) = 0 o b α (s) = 0. Como b α (s) 0, la superficie deja de ser regular sobre la curva α y cuando la curvatura se anula. (4) Tubos alrededor de una curva: Considérese una curva regular α : I R 3 parametrizada por longitud de arco. Fijemos una constante r > 0. Consideremos cada triedro de Frénet-Serret { t(s), n(s), b(s)} en α(s). Para θ (0, θ), la combinación r cos(θ) n(s) + r sen(θ) b(s) representa un punto de la circunferencia de radio r, centrada en α(s) y contenida en el plano perpendicular a la recta generada por t(s). La parametrización X(s, θ) = r cos(θ) n(s)+r sen(θ) b(s) define un tubo circular de radio r alrededor de la curva α, exceptuando el corte correspondiente a θ = 0. 28

35 Ahora calculamos la diferencial dx q : X s = r cos(θ) n (s) + r sen(θ) b (s), X θ = r sen(θ) n(s) + r cos(θ) b(s), n (s) = k(s) t(s) + τ(s) b(s), b (s) = τ(s) n(s), X s = r cos(θ) ( k(s) t(s) + τ(s) b(s)) + r sen(θ) ( τ(s) n(s)) = r cos(θ) k(s) t(s) r sen(θ) τ(s) n(s) + r cos(θ) τ(s) n(s), X s X θ = r 2 sen(θ) cos(θ) k(s) t(s) n(s) r 2 cos 2 (θ) k(s) t(s) b(s) = r 2 sen(θ) cos(θ) k(s) b(s) + r 2 cos 2 (θ) k(s) n(s). Como b(s) y n(s) son linealmente independientes y r > 0, tenemos que X s X θ = 0 si, y sólo si, sen(θ) cos(θ) k(s) = 0 y cos 2 (θ) k(s) = 0. Tenemos que esta superficie no es regular en los puntos donde la curvatura se anula. Para aquellos puntos con curvatura no nula, las igualdades anteriores se satisfacen simultáneamente si, y sólo si, θ = π/2 o θ = 3π/ Superficies regulares Definición Un subconjunto S de R 3 es una superficie regular si, y sólo si, para todo punto p S existe una aplicación X : U R 2 V R 3, donde U y V son abiertos de R 2 y S respectivamente, tal que: (1) Existe q U que satisface X(q) = p V S. (2) X es un homeomorfismo de V en U. (3) La diferencial dx q es inyectiva para todo q U. Ejemplo (1) El paraboloide circular S = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 + y 2 } es un ejemplo de superficie regular. Consideremos la aplicación X : R 2 R 3 dada por X(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ), la cual cubre a toda S. Notamos que esta aplicación continua e invertible, cuya inversa es la proyección (x, y, z) (x, y), que también es continua. Por lo tanto, X es un homeomorfismo. 29

36 Al calcular la diferencial para todo punto q de R 2, tenemos 1 0 dx q = 0 1, 2u 2v que es inyectiva pues el determinante de regular. ( ) es siempre no nulo. Por lo tanto, S es una superficie (2) Consideremos la esfera de radio r > 0, S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = r 2 }. Las seis parametrizaciones (u, v) (u, v, ± r 2 u 2 v 2 ), (u, v) (u, ± r 2 u 2 v 2, v), (u, v) (± r 2 u 2 v 2, u, v), con (u, v) U = {(u, v) R 2 : u 2 + v 2 < r 2 }, cubren a toda la esfera y son homeomorfismos con diferenciales inyectivas. Por lo tanto, S es regular. (3) Recordemos que conjunto S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 } representa al bicono circular de eje Z. Esta superficie no es regular, pues se presenta un problema en el punto (0, 0, 0). Cuál? 30

37 Teorema Sea f : U R 2 R una función diferenciable. Entonces el gráfico de f es una superficie regular. Demostración: Se define la siguiente parametrización para S = {(x, y, z) R 3 : z = f(x, y) y (x, y) U}: X : U R 3 dada por X(u, v) = (u, v, f(u, v)). Note que es continua y que su inversa viene dada por la proyección X 1 = π S sobre el plano XY restringida a S, que adems es continua en la topología relativa de S. Tenemos que X es un homeomorfismo con diferencial inyectiva 1 0 dx q = 0 1. f u f v Ejemplo Volviendo al ejemplo del paraboloide, tenemos otro argumento para probar que éste es regular, por ser el gráfico de la función f : R 2 R 3 dada por f(x, y) = (x, y, x 2 + y 2 ). Teorema (Teorema del Recíproco Local). Si S es una superficie regular, entonces para todo p S existe un abierto V R 2 que contiene a p y otro abierto W en alguno de los planos coordenados X = 0, Y = 0 o Z = 0 tales que V S se corresponde con el gráfico de una función diferenciable de la forma x = x(y, z), y = y(x, z) o z = z(x, y). Es otras palabras, se dice que, localmente, S es el gráfico de una función diferenciable de R 2 en R 3. 31

38 Demostración: Consideremos un punto p S y una parametrización X : U R 2 R 3 que contiene a p. Escribimos X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Tenemos la diferencial x u y u z u Al menos una de las menores (x, y) x x (u, v) = u v y y, (y, z) y y u v (u, v) = u v z z, (x, z) x x u v (u, v) = u v z z u v no se anula, pues S es regular. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que 0. Consideremos x v y v z v. (x,y) (u,v) la composición π X : U R 2 W R 2. Como J(π X) posee determinante no nulo, podemos aplicar el Teorema de la Función Inversa (Teorema 1.6.1) para deducir que existe un entorno U q de q y un entorno W q de π X(q) tales que π X restringida a U q es invertible y (π X) 1 : W q U q es diferenciable. Denotando (π X) 1 (x, u) = (u(x, y), v(x, y)), se tiene que: X (π X) 1 (x, y) = (x(u(x, y), v(x, y)), y(u(x, y), v(x, y)), z(u(x, y), v(x, y))) = (x, y, z(x, y)). Entonces, localmente toda superficie se expresa como el gráfico de una función de R 2 en R. Corolario Si S es una superficie regular, X : U R 2 R es diferenciable y dx q tiene rango 2, entonces X 1 establece un homeomorfismo entre U y X(U). 3.3 Puntos y valores regulares Definición Sea F : U R n R m una aplicación diferenciable. Los puntos regulares q de F son todos aquéllos donde dx q es sobreyectiva. Es el caso particular m = 1, es suficiente que F (q) 0. Diremos que c R m es un valor regular de F si F 1 (c) está compuesto por puntos regulares. Ejemplo Considere la esfera S = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + (z 1) 2 = c 2, c R} y la aplicación F : U R 3 R dada por F (x, y, z) = x 2 + y 2 + (z 1) 2. Tenemos que F (x, y, z) = (2x, 2y, 2(z 1)), el cual es cero si, y sólo si, (x, y, z) = (0, 0, 1). Por lo tando, todos los puntos de S son regulares a excepción de (0, 0, 1). Como F (0, 0, 1) = 0, tenemos que 0 no es un valor regular de F. Note además que x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 0 representa un único punto (0, 0, 1). El hecho de que c no sea regular refleja un mal comportamiento de la superficie. Teorema (Teorema de la Función Implícita). Sea g : R 3 R una función diferenciable. Si g(q) 0, entonces existen abiertos V q y W g(q) de q y g(q), respectivamente, y una función diferenciable h : U R 2 R tal que g(u, v, h(u, v)) = g(q) para todo (u, v, h(u, v)) V q. 32

39 Teorema Sea F : U R 3 R una aplicación diferenciable. Si c es un valor regular de F, entonces F 1 es una superficie regular. Demostración: Sea q F 1 (c). Entonces F (q) 0 porque c es un valor regular. Por el Teorema de la Función implícita, existe V q entorno abierto de q y W F (q) = W c entorno abierto de c, junto con una función diferenciable h : U R 2 R tales que F (u, v, h(u, v)) = F (q) = c, para todo (u, v) U. Esto permite escribir X : U R 2 R 3 como X(u, v) = (u, v, h(u, v)), una parametrización de un entorno relativo de q F 1 (c). Así se verifica que F 1 (c) es una superficie regular. 3.4 Cambio de parámetro Consideremos una superficie regular S y p S. Sean X : U 1 R 2 S y Y : U 2 R 2 S dos parametrizaciones alrededor de p. Note que V 1 = X 1 (X(U 1 ) Y (U 2 )) y V 2 = Y 1 (X(U 1 ) Y (U 2 )) son entornos abiertos de R 2 contenidos en U 1 y U 2, respectivamente. La aplicación (Y 1 X) V1 : V 1 V 2 se denomina cambio de parámetro, y es diferencaible. 33

40 3.5 Funciones diferenciables sobre superficies Sea S una superficie regular. Qué significa que una función f : S R 3 R sea diferencaible? Definición Sea S una superficie regular y p S. Una función f : S R 3 R se dice diferenciable en p si existe una parametrización (o carta local) X : U R 2 R 3 que contiene a p, esto es X(u 0, v 0 ) = p para algún (u 0, v 0 ) U, tal que f X : U R es diferenciable en (u 0, v 0 ). Diremos que f es diferenciable en S si lo es en cada p S. Esta definición no depende de la carta X escogida. Si Y : V R 3 es otra carta local alrededor de p. Entonces, como X 1 Y es diferenciable, se tiene que (f Y ) = (f X) (X 1 Y ) es diferenciable. Ejemplo La función f : R 3 R dada por f(x, y, z) = d 2 ((x, y, z), (x 0, y 0, z 0 )) (distancia al cuadrado entre (x 0, y 0, z 0 ) fijo y (x, y, z)), es diferenciable en el sentido usual. Ahora consideremos la restricción f S 2. Consideremos la carta X : (0, 2π) ( π/2, π/2) R 3 dada por X(u, v) = (cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)), y un punto p S 2 que no está en el meridiano 0. Tenemos que f S 2 es diferenciable en p, pues lo es. (f X)(u, v) = d 2 ((cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)), (x 0, y 0, z 0 )) = (cos(u) sen(v) x 0 ) 2 + (sen(u) sen(v) y 0 ) 2 + (cos(v) z 0 ) 2 Sea F : S 1 S 2 una aplicación entre superficies regulares. Qué significa que F sea diferenciable? Definición Una aplicación F : S 1 S 2 entre superficies regulares es diferenciable en p S 1 si existe una carta X : U R 3 de S 1 que contiene a p y otra carta Y : V R 2 R 3 de S 2 que contiene a F (p) tal que Y 1 F X es diferenciable en (u 0, v 0 ), donde p = X(u 0, v 0 ). 34

41 3.6 Plano tangente Definición Sea S una superficie regular y p S. Sea X : U R 2 R 3 una parametrización que contiene a p y q U con X(q) = p. El plano tangente a S en p es el espacio vectorial generado por los vectores X u (q) y X v (q) (trasladados al punto p). Denotaremos por T p (S) el plano tangente a S en p. Ejercicio El espacio tangente T p (S) no depende de la parametrización X escogida sobre S. Definición Sea X : U R 2 R 3 una parametrización de una superficie regular. Un vector tangente a X en p S es un vector v p para el cual existe una curva α : (a, b) X(U) R 3, representada por α(t) = X(u(t), v(t)), para la cual α(t 0 ) = p y α (t 0 ) = v p, donde a < t 0 < b. Denotaremos por X p (U) al conjunto de los vectores tangentes a X en p. 35

42 Teorema Todo vector en T p (S) es el vector tangente a una curva en S por p. De forma recíproca, todo vector tangente a una curva en S que pasa por p yace en T p (S). Demostración: Sea v 0 T p (S). Entonces existe (w 0, s 0 ) R 2 junto con una parametrización X : U R 3 tales que v = X u w 0 + X v s 0. Entonces, definimos β(t) = q + t (w 0, s 0 ), con X(q) = p. Definiendo α(t) = X(β(t)), se tiene que α(0) = X(β(0)) = X(q) = p y α (0) = dx q (β (0)) = dx q (w 0, s 0 ) = v 0. Ahora probemos el recíproco. Sea α : (a, b) S R 3 tal que α(0) = p. Se define β = X 1 (α(t)), para un entorno de p. Evidentemente, X(β(0)) = p y X(β(t)) = α(t). Por lo tanto, α (0) T p (S) ya que α (0) = dx q (β (0)) T p (S). Definición Toda aplicación diferenciable F : S 1 S 2 entre superficies regulares define, para cada punto p S 1, una transformación lineal df p : T p (S 1 ) T F (p) (S 2 ) definida por df p (v 0 ) = (F α) (0), donde α es una curva regular que pasa por p tal que α (0) = v 0. Se puede demostrar que esta definición no depende de la curva α escogida. Definición Sean S 1 y S 2 dos superficies regulares. Si ϕ : S 1 S 2 es una aplicación diferenciable, con inversa diferenciable ϕ 1 : S 2 S 1, entonces diremos que ϕ es un difeomorfismo entre S 1 y S Orientabilidad Definición Sea S una superficie regular. Consideremos una carta local X : U R 2 R 3 que contiene un punto p. Podemos definir para p un vector normal unitario n p = Xu Xv X u X v, o con signo opuesto n p = Xu Xv X u X v. Diremos que S es una superficie orientable si para cada punto p S se puede definir un campo normal unitario p n p continuo sobre S. Ejemplo Consideremos la esfera S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Consideremos la parametrización X : (0, 2π) (0, π) S 2 dada por X(u, v) = (sen(v) cos(u), sen(v) sen(u), cos(v)). Para esta parametrización, tenemos el campo normal unitario n(u, v) = Xu Xv X u X v. La parametrización Y : (0 + π/4, 2π + π/4) (0, π) S 2 dada por Y (u, v) = (cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)). Para esta parametrización tenemos el campo normal unitario n(u, v) = Yu Yv Y u Y v. En el semicírculo no cubierto por X, pero cubierto por Y, las fórmulas de los campos X e Y coinciden, por lo que podemos definir un campo normal continuo sobre S. Por lo tanto, S 2 es una superficie orientable. 36

43 Teorema Si S es una superficie regular tal que se puede cubrir con parametrizaciones tales que las funciones de cambio de parámetro tienen jacobiano positivo en los puntos de intersección, entonces S es orientable. Teorema Toda superficie regular dada por F 1 (c), con c un valor regular de F, es orientable. Demostración: n p = (Fx,Fy,Fz) F 2 x +F 2 y +F 2 z es el campo unitario normal y continuo sobre F 1 (c). Ejemplo Las siguientes superficies son de los ejemplos más clásicos en cuanto a superficies no orientables: (1) Cinta de Möbius: La cinta de Möbius se define considerando un segmento de recta AB de longitud menor que 2, perpendicular al plano XY y con centro en el punto (0, 2, 0). Luego, movemos el centro de este segmento a lo largo de la curva determinada por la circunferencia x 2 + y 2 = 4 en el plano XY. Al mismo tiempo, hacemos rotar el segmento AB sobre su centro. Estos desplazamientos se hacen de manera que cuando el centro a barrido un ángulo de u radianes, el segmento a barrido u/2 radianes al rotar alrededor de su centro. Una carta X : (0, 2π) ( 1, 1) R 3 para parametrizar esta superficie viene dada por ( ( ( u )) ( ( u )) ( u )) X(u, v) = sen(u) 2 v sen, cos(u) 2 v sen, v cos

44 Para cubrir el resto de la superficie, tenemos la carta ( ( ( u Y (u, v) = 2 v sen 2 + π )) cos (u), 4 ( 2 + v sen ( u 2 + π )) ( u sen(u), v cos π )). 4 Por cambio de variables, tenemos X(u, v) = Y (u(u, v), v(u, v)), con los cambios de variables { u = u + 3π/2, Dicho cambio es de signo negativo: la cinta, tenemos que (u,v) (u,v) v = v. = 1. Al tratar de definir un campo normal unitario sobre De donde X u X v = (u,v) (u,v) X u = Y u u u + Y v v u, X v = Y u u v + Y v v v. Y u Y v = Y u Y v. (2) Botella de Klein: Consideremos la curva ocho α : (0, 2π) R 2 dada por α(t) = (sen(t), sen(t) cos(t)). La botella de Klein se genera al rotar una curva ocho centrada en un punto (0, a, 0), de forma parecida a como se hizo en el ejemplo anterior, a lo largo de la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 en el plano Z = 0, para algún a > 0. 38

45 Una de las cartas locales para esta parametrización viene dada por K a (u, v) = [((a + cos(u/2)) sen(v) sen(u/2) sen(2v)) cos(u)] i + [((a + cos(u/2)) sen(v) sen(u/2) sen(2v)) sen(u)] j + [sen(u/2) sen(v) + cos(u/2) sen(2v)] k. Note que la u-curva u K a (u, 0) corresponde a la circunferencia x 2 + y 2 = a 2 en el plano Z = 0. Por otro lado, las v-curvas v K a (u 0, v) representan a la curva ocho rotado u 0 /2 en el plano perpendicular al plano XY correspondiente al ángulo u 0. Compruebe que esta superficie no es orientable. 3.8 Problemas Problema Demostrar que todo abierto de una superficie regular es a su vez una superficie regular. Problema Demostrar que: (a) S = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 y 2 } es una superficie regular. (b) La aplicación X(u, v) = (u + v, u v, 4uv), donde (u, v) R 2, es una parametrización de S, y entontrar la región que ella cubre. (c) Para la parametrización (b), señalar las u-curvas y las v-curvas. Problema (Superficie de revolución). Si la curva regular α(v) = (ϕ(v), ψ(v)), con v I, del plano XY no corta al eje Z, demostrar que la rotación de esa curva alrededor del eje Z genera una superficie regular, que puede ser cubierta con dos parametrizaciones del tipo X(u, v) = (ϕ(c) cos(u), ϕ(v) sen(u), ψ(v)), con (u, v) (0, 2π) I. Problema Cada componente conexa del hiperboloide de dos hojas, de ecuación x 2 y 2 + z 2 = 1, puede representarse como una gráfica de una función. Parametrize la hoja superior: (a) Por medio de una función z = f(x, y). (b) Como superficie de revolución. Problema (a) Definir el valor regular de una aplicación diferenciable. (b) Demostrar que la imagen inversa de un valor regular de F es una curva regular en R 3. 39

46 Problema Las ecuaciones (a) x 2 y 2 = 0 y (b) (x 2 1) 2 + (y 2 1) 2 = 2 son de la forma F (x, y) = c. Demostrar que, en ambos casos, c no es un valor regular y F 1 (c) no es una curva regular en R 2. Problema El conjunto S R 3 definido por la ecuación x 2 y 3 = 0 es un cilindro en R 3, que admite parametrización X(u, v) = (u 3, u 2, v) con (u, v) R 2. Se pregunta: (a) Es 0 un valor regular de F (x, y, z) = x 2 y 3? (b) Es S, con la parametrización dada, una superficie regular? Problema Justificar la ecuación z f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) para el plano tangente a la gráfica de f(x, y) en el punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Problema Demostrar que el plano tangente a la superficie definida implícitamente por la ecuación f(x, y, z) = c, c valor regular, en el punto (x 0, y 0, z 0 ) tiene ecuación 0 = f x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + f z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ). Problema Sea α : I R 3 una curva regular de curvatura no nula en I. Considere la superficie tangente de α, X(t, v) = α(t) + vα (t), con t I y v > 0. Mostrar que los planos tangentes a lo largo de la curva X(t 0, v) son iguales. Problema Sean S 1 la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 y S 2 el hiperboloide de una hoja x 2 + y 2 z 2 = 1. Sean U 1 S 1 la esfera S 1 sin los polos Norte y Sur, y U 2 S 2 el abierto del hiperboloide S 2 determinado por z < 1. Considere la aplicación φ : U 1 S 1 U 2 S 2 definida así: córtese la esfera y el hiperboloide con la semirecta de origen en (0, 0, z), paralela al plano XY, y sean P el punto obtenido sobre la esfera φ(p ) el punto sobre el hiperboloide. Demuestre que la correspondencia P φ(p ) es un difeomorfismo entre U 1 y U 2. Problema La definición de superficie de revolución puede extenderse a curvas simples cerradas regulares, que no corten al eje Z. El toro se obtiene haciendo girar una circunferencia de radio r y ecuación en el plano XZ igual a (x a) 2 + z 2 = r 2, donde r < a, alrededor del eje Z. La sección con el plano y mx, con m = tan(u), es el círculo cuyos puntos tienen coordenadas x = (a + rcos(v))cos(u), y = (a + rcos(v))sen(u) y z = rsen(v), donde 0 u < 2π y 0 v < 2π. Demostrar que: (a) El toro puede obtenerse como F 1 (c), con c un valor regular de una función diferenciable F. (b) X(u, v) = ((a+rcos(v))cos(u), (a+rcos(v))sen(u), rsen(v)), con (u, v) (0, 2π) (0, 2π), es parametrización del toro (indicando el abierto que cubre). (c) Es el toro una superficie regular orientable? Problema Demostrar que si α : I S R 3 es una curva regular en S con α(0) = p, β(t) = X 1 (α(t)) es una curva regular en el abierto U R 2 de la parametrización X. 40

47 CAPÍTULO 4 MÉTRICA SOBRE SUPERFICIES 4.1 Primera forma fundamental Supongamos que se desea medir la distancia entre dos puntos de una superficie regular S. La longitud del segmento p 1 p 2 representa la distancia entre p 1 y p 2 en R 3. El problema es que este segmento no necesariamente está contenido en S. Entonces queremos definir la distancia entre p 1 y p 2 utilizando curvas contenidas en S. (Este problema comenzó a ser estudiado a finales del siglo XVIII). Se sabe que la longitud de una curva α : I R R 3 entre t 0 y t 1 (t 0, t 1 I) viene dada por la integral l(α) = t 1 t 0 α (t) dt. Sea X : U R 2 R 3 una parametrización de S, supongamos que la curva α : I R R 3 está contenida en S. Entonces α(t) = X(β(t)) = X(u(t), v(t)), donde β : I U R 2 es una curva diferenciable en U. Específicamente, β se define como β(t) = X 1 (α(t)). 41

48 Tenemos α (t) = (X(u(t), v(t))) = X u (u(t), v(t)) u (t) + X v (u(t), v(t)) v (t). Abreviando, tenemos α = X u u + X v v. Luego, α α = (X u u + X v v ) (X u u + X v v ) = (X u X u )(u ) 2 + 2(X u X v )u v + (X v X v )(v ) 2. C. F. Gauss introduce en el siglo XIX la siguiente notación para cada parametrización X : U R 2 S: E, F, G : U R son funciones diferenciables dadas por: Usando esta notación, nos queda E(u, v) = X u (u, v) X u (u, v), F (u, v) = X u (u, v) X v (u, v), G(u, v) = X v (u, v) X v (u, v). α (t) α (t) = E(u(t), v(t))(u (t)) 2 + 2F (u(t), v(t))u (t)v (t) + G(u(t), v(t))(v (t)) 2. Abreviando, nos queda: α = E(u ) 2 + 2F u v + G(v ) 2 = I p (α). Definición La expresión I p (α) = E(u(t), v(t))(u (t)) 2 +2F (u(t), v(t))u (t)v (t)+g(u(t), v(t))(v (t)) 2, con p = α(t), se conoce como primera forma fundamental. Como p 0 = α(t 0 ) = X(β(t 0 )) = X(u(t 0 ), v(t 0 )) y p 1 = α(t 1 ) = X(β(t 1 )) = X(u(t 1 ), v(t 1 )), podemos expresar la longitud de arco como t1 l s (α) = I p (α)dt. Proposición (Repaso de álgebra). Sea M una matriz real de n n elementos. (1) M es antisimétrica si, y sólo si, a ij = a ji, para todo par i j. Los autovalores de M son reales. (2) M es definida positiva si, y sólo si, xa x t es una forma bilineal definida positiva. t 0 (3) Si M es definida positiva entonces es semejante a una matriz diagonal cuyas entradas no nulas son positivas. Recuerde que A es semejante a B si existe una matriz invertible P tal que A = P BP 1. A P se le conoce como matriz de cambio de base. Proposición La primera forma fundamental I p (u, v) = E(u, v)u 2 + 2F (u, v)uv + G(u, v)v 2 es una aplicación bilineal definida positiva. 42

49 Demostración: ( ) Sea (u, v) (0, 0). Queremos ( verificar ) que I p (u, v) > 0. Es suficiente demostrar que E F E F es definida positiva. Como es simétrica, sus autovalores son reales. Esto implica F ( G ) F G ( ) E F λ1 0 que es semejante a una matriz diagonal, donde λ F G 0 λ 1 y λ 2 son los autovalores de ( ) 2 E F. Tenemos: F G det ( E F det F G ( E F det F G ( E F det F G ( E λ F F G λ (E λ)(g λ) F 2 = 0 EG λe λg + λ 2 F 2 = 0, ) = EG F 2 = (X u X u )(X v X v ) (X u X v ) 2, ) = X u X v > 0, ) = λ 1 λ 2 > 0. ) = 0 λ 1,2 = (E + G) ± (E + G) 2 4(EG F 2 ) 2 = (E + G) ± E 2 + 2EG + G 2 4EG + 4F 2 2 = (E + G) ± (E G) 2 + 4F 2, 2 λ 1 = E + G + (E G) 2 + 4F 2 > 0, 2 Como λ 1 λ 2 > 0 y λ 1 > 0, se tiene que λ 2 > 0. En conclusión, I p (u, v) = λ 1 u 2 +λ 2 v 2, donde (u, v) P (u, v) representa el cambio de base dado por la matriz P. Proposición Si v T p (S) entonces I p ( v) = v v. Demostración: Sea α : I S una curva tal que p = α(t 0 ) y v = α (t 0 ) = X(u 0, v 0 ). Tenemos: v v = α (t 0 ) α (t 0 ) = E(u 0, v 0 )(u (t 0 )) 2 + 2F (u 0, v 0 )u (t 0 )v (t 0 ) + G(u 0, v 0 )(v (t 0 )) 2 = I p (u (t 0 ), v (t 0 )). Definición Se define como la distancia intrínseca entre dos puntos de una superficie conexa por arcos como el ínfimo de las longitudes de las curvas que unen a estos dos puntos. 43

50 Observacicón Aunque no exista una curva de longitud mínima entre ellas (por ejemplo, si la superficie no es simplemente conexa), el ínfimo siempre existe, pero puede no coincidir con el mínimo. Sea S una superficie parametrizada por X : U R 2 R 3. Se definen las aplicaciones diferenciables E(u, v) = X u X v, F (u, v) = X u X v y G(u, v) = X v X v. Recordemos que la primera forma fundamental viene dada por I p (u, v) = E(u, v)u 2 + 2F (u, v)uv + G(u, v)v 2. Esta aplicación define una manera diferente de expresar el producto escalar entre vectores de T p (S). A saber, sean v, w T p (S). Como {X u, X v } es una base de T p (S), tenemos v = v 1 X u + v 2 X v y w = w 1 X u + w 2 X v. Luego, v w = (v 1 X u + v 2 X v ) (w 1 X u + w 2 X v ) = v 1 w 1 X u X u + (v 2 w 1 + v 1 w 2 )X u X v + v 2 w 2 X v X v. Si p = X(u 0, v 0 ) entonces v w = E(u 0, v 0 )v 1 w 1 + F (u 0, v 0 )(v 2 w 1 + v 1 w 2 ) + G(u 0, v 0 )v 2 w 2. Sea θ el ángulo entre v y w. Como cos(θ) = v w v w, se tiene que cos(θ) = Ev 1w 1 + F (v 1 w 2 + v 2 w 1 ) + Gv 2 w 2. Ip ( v)i p ( w) 4.2 Área de una superficie Dada una parametrización X : U R 2 R 3 en una superficie S, si tenemos un paralelogramo D U, entonces: qué representa X(D) en S?, podemos calcular su área? 44

51 Podemos generalizar un poco el problema de calcular el área de X(D), imponiendo que D sea cualquier subconjunto medible de U. Una manera de calcular el área de X(D) puede ser dividiendo el sector X(D) en pequeños paralelogramos infinitesimales. Vamos a escoger aquellos paralelogramos generados por X u u y X v v. El área de dicho paralelogramo viene dada por X u X v u v sen(θ), donde θ es el ángulo entre X u y X v. Entonces, si tomamos una partición de n n paralelogramos, tenemos: A(X(D)) n j=1 n X u (u i, v j ) X v (u i, v j ) u v. i=1 Tomando el límite entre todas las particiones, es decir Lim n, obtenemos el área de X(D): A(X(D)) := EG F 2 dudv. D Ejemplo Sea S el cilindro parametrizado por X : (0, 2π) R R 3, X(u, v) = (cos(u), sen(u), v). Consideremos la curva α : (0, 2π) S dada por α(t) = X(u(t), v(t)) donde u(t) = v(t) = t. Primero calculemos la longitud de arco de α en (0, 2π). Calculamos la primera forma fundamental de X. E(u, v) = X u X u = ( sen(u), cos(u), 0) ( sen(u), cos(u), 0) = 1, F (u, v) = X u X v = ( sen(u), cos(u), 0) (0, 0, 1) = 0, G(u, v) = X v X v = (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 1, I p (α (t)) = E(u ) 2 + 2F u v + G(v ) 2 = = 2. 45

52 Luego, l(α) = 2π 0 2dt = 2 2π. Ahora consideremos la región D = (0, π/2) (0, 1). Usando E, F y G, también podemos calcular el área de A(X(D)). A(X(D)) = D EG F 2 dd = 2π 4.3 Isometrías entre superficies dvdu = π 2. Recordemos que una aplicación ϕ : R n R n es una isometría si para todo x, y R n se tiene x y = ϕ( x) ϕ( y). Generalicemos esta noción a superficies regulares. Definición Una aplicación diferenciable ϕ : U 1 S 1 U 2 S 2 entre superficies regulares es una isometría si para cada punto p S 1, la transformación lineal diferencial dϕ p : T p (S 1 ) T ϕ(p) (S 2 ) preserva el producto escalar en los respectivos planos tangentes, esto es si v, w T p (S 1 ) entonces v w = dϕ p (v) dϕ p ( w). De manera equivalente, ϕ is una isometría si es sobreyectiva y si para todo p U 1, dϕ p es una isometría. Ejercicio Si S es una esfera de radio r, probar que S es isométrica solamente a otra esfera del mismo radio. Teorema Toda isometría preserva la primera forma fundamental. Recíprocamente, si ϕ : S 1 S 2 es una aplicación diferenciable que preserva la primera forma fundamental, entonces ϕ es una isometría. 46

53 Demostración: Sea ϕ : U 1 S 1 U 2 S 2 una isometría. Queremos ver que I p ( v) = I ϕ(p) (dϕ p ( v)) para todo p U 1 y para todo v T p (S 1 ). Sabemos que I p ( v) = v v. Escribimos p = X(u 0, v 0 ) = X(u(t 0 ), v(t 0 )). Tenemos: I p ( v) = E(u 0, v 0 )(u (t 0 )) 2 + 2F (u 0, v 0 )u (t 0 )v (t 0 ) + G(u 0, v 0 )(v (t 0 )) 2, dϕ p ( v) dϕ p ( v) = I ϕ(p) (dϕ p ( v)) = E(u 0, v 0 )(u (t 0 )) 2 + 2F (u 0, v 0 )u (t 0 )v (t 0 ) + G(u 0, v 0 )(v (t 0 )) 2, E(u 0, v 0 ) = (Y u Y u )(u 0, v 0 ), F (u 0, v 0 ) = (Y u Y v )(u 0, v 0 ), G(u 0, v 0 ) = (Y v Y v )(u 0, v 0 ). Ahora demostraremos el recíproco. Es suficiente ver que v 1 v 2 = dϕ( v 1 ) dϕ( v 2 ), para todo par de vectores tangentes v 1, v 2 T p (S 1 ) y para todo p S 1. Sabemos que 2( v 1 v 2 ) = I p ( v 1 + v 2 ) I p ( v 1 ) I p ( v 2 ). Escribimos v 1 = u 1 X u + v 1 X v y v 2 = u 2 X u + v 2 X v, donde X es una parametrización alrededor de p. Tenemos: I p ( v 1 + v 2 ) = E(u 0, v 0 )(u 1 + u 2 ) 2 + 2F (u 0, v 0 )(u 1 + u 2 )(v 1 + v 2 ) + G(u 0, v 0 )(v 1 + v 2 ) 2, I p ( v i ) = E(u 0, v 0 )(u i ) 2 + 2F (u i v i ) + G(v i ) 2, i = 1, 2, I p ( v 1 + v 2 ) I p ( v 1 ) I p ( v 2 ) = E(u 0, v 0 )(u u 1 u 2 + u 2 2 u 2 1 u 2 2) + 2F (u 0, v 0 )(u 1 v 1 + u 1 v 2 + u 2 v 1 + u 2 v 2 u 1 v 1 u 2 v 2 ) + G(u 0, v 0 )(v v 1 v 2 + v 2 2 v 2 1 v 2 2), = E(u 0, v 0 )(2u 1 u 2 ) + 2F (u 0, v 0 )(u 1 v 2 + u 2 v 1 ) + G(u 0, v 0 )(2v 1 v 2 ) = 2(E(u 0, v 0 )u 1 u 2 + F (u 0, v 0 )(u 1 v 2 + u 2 v 1 ) + G(u 0, v 0 )(v 1 v 2 )) = 2 v 1 v 2. Entonces, v 1 v 2 = I p ( v 1 + v 2 ) I p ( v 1 ) I p ( v 2 ). Como se preserva la primera forma fundamental, tenemos: v 1 v 2 = 1 2 [ Iϕ(p) (dϕ p ( v 1 ) + dϕ p ( v 2 )) I ϕ(p) (dϕ p ( v 1 )) I ϕ(p) (dϕ p ( v 2 )) ] Teorema ( Cómo inducir una parametrización sobre una superficie?). Sea X : U 1 S 1 una parametrización sobre una superficie regular S 1 y sea V 1 = X(U 1 ) S 1. Sea ϕ : V 1 V 2 S 2 una isometría. Entonces Y = ϕ X : U 1 V 2 S 2 es una parametrización regular de S 2 que preserva los coeficientes de la primera forma fundamental, esto es: E X = E Y, F X = F Y y G X = G Y. Demostración: Sea Z : U 2 R 2 R 3 una parametrización de V 2, i.e. V 2 = Z(U 2 ). Existen coordenadas (ζ, η). Tome en cuenta que Z 1 ϕ X es diferenciable. Entonces Y = ϕ X = Z Z 1 ϕ X es diferenciable. Si Z(ζ, η) = (x(ζ, η), y(ζ, η), z(ζ, η)), tenemos que Y (u, v) = Z(x(ζ(u, v), η(u, v)), y(ζ(u, v), η(u, v)), z(ζ(u, v), η(u, v))) 47

54 es la composición de funciones diferenciables. Tenga en cuenta que U 1 es homeomorfo a V 1 por X y que V 1 es homeomorfo a V 2 por ϕ. Entonces Y = ϕ X es un homeomorfismo. Veamos que Y es regular. Como Y = ϕ X, tenemos Y u = dϕ p (X u ) y Y v = dϕ p (X v ). Luego, E y = Y u Y u = dϕ p (X u ) dϕ p (X u ) = X u X u = E X porque ϕ es una isometría, F Y = Y u Y v = dϕ p (X u ) dϕ p (X v ) = X v X v = F X, G Y = Y v Y v = dϕ p (X v ) dϕ p (X v ) = X v X v = G X, Ahora podemos deducir que Y u Y v 2 = (E Y G Y F 2 Y )(u 0, v 0 ) = (E X G X F 2 X)(u 0, v 0 ) = X u X v 2 0, lo cual implica que Y u y Y v regular. son linealmente independientes, es decir que Y es una parametrización Ejercicio (Construcción de una isometría). Sea X : U S 1 una parametrización regular de S 1 y Y : U S 2 una parametrización regular de S 2. Si los coeficientes de la primera forma fundamental para X e Y coinciden, entonces ϕ : Y X 1 es una isometría local. Ejemplo (1) Consideremos el rectángulo V 1 = (0, 2π) R y las parametrizaciones regulares X = I y Y : V 1 V 2 dada por Y (u, v) = (cos(u), sen(u), v). Tenemos E X = X u X u = (1, 0) (1, 0) = 1, E Y = Y u Y u = ( sen(u), cos(u), 0) ( sen(u), cos(u), 0) = 1, F X = X u X v = (1, 0) (0, 1) = 0, F Y = Y u Y v = ( sen(u), cos(u), 0) (0, 0, 1) = 0, G X = X v X v = (0, 1) (0, 1) = 1, G Y = Y v Y v = (0, 0, 1) (0, 0, 1) = 1. Entonces, ϕ = Y X 1 = Y es una isometría. (2) Rotamos la curva (0, cosh(v), v) alrededor del eje Z para obtener una superficie de revolución conocida como catenoide. 48

55 Una parametrización regular para esta superficie viene dada por X(u, v) = (cosh(v) sen(u), cosh(v) cos(u), v). Consideremos también la superficie de revolución obtenida al rotar la curva v senh(v) alrededor del eje Z. Una parametrización para esta superficie viene dada por Y (u, v) = (senh(v) cos(u), senh(v) sen(u), u). Tenemos: X u = (cosh(v) cos(u), cosh(v) sen(u), 0), X v = (senh(v) sen(u), senh(v) cos(u), 1), E X = cosh 2 (v) cos 2 (u) + cosh 2 (v) sen 2 (u) = cosh 2 (v), F X = 0, G X = senh 2 (v) sen 2 (u) + senh 2 (v) cos 2 (u) + 1 = senh 2 (v) + 1 = cosh 2 (v), Y u = ( senh(v) sen(u), senh(v) cos(u), 1), Y v = (cosh(v) cos(u), cosh(v) sen(u), 0), E Y = senh 2 (v) sen 2 (u) + senh 2 (v) cos 2 (u) + 1 = cosh 2 (v), F Y = 0, G Y = cosh 2 (v) cos 2 (u) + cosh 2 (v) sen 2 (u) = cosh 2 (v). Se sigue que ϕ = Y X 1 es una isometría. 49

56 4.4 Problemas Problema Calcular la primera forma fundamental en las parametrizaciones de las siguientes superficies: (a) Elipsoide: X(u, v) = (a sen(u)cos(v), b sen(u)sen(v), c cos(u)) con 0 < u < π y 0 < v < 2π. (b) Paraboloide hiperbólico: X(u, v) = (au cosh(v), au senh(v), u 2 ), con u 0 y v R. Problema (a) Verificar que X(u, v) = (u sen(α)cos(v), u sen(α)sen(v), u cos(α)), donde 0 < v < 2π y 0 < u <, es una parametrización del cono con apertura α. (b) Demostrar que la curva X(ce v sen(α)ctg(β), v), con c y β constantes, forma un ángulo constante con las generatrices del círculo. Problema La parametrización del plano z = 0 por coordenadas polares X(ρ, θ) = (ρ cos(θ), ρ sen(θ), 0), donde ρ > 0 y 0 < θ < 2π. Determinar los coeficientes de la primera forma fundamental. Problema Si el plano se coordenatiza efectuando un cambio en las coordenadas en el problema anterior, puede demostrarse que el abierto del cono representado por la parametrización del problema (2) es isométrico al sector del plano correspondiente al ángulo 2πsen(α). Comparando vcos(θ), encuentre el cambio de variables y demuestre la isometría señalada. Problema Sean α 1 : I R 3 y α 2 : I R 3 dos curvas parametrizadas por longitud de arco, con curvaturas k 1 (s) = k 2 (s) 0 para todo s I. Probar que para todo (s 0, v 0 ) excepto v = 0, los puntos X 1 (s 0, v 0 ) y X 2 (s 0, v 0 ) en las respectivas superficies de tangentes tienen entornos V 1 y V 2 tales que V 1 es isométrico a V 2. Problema Pruébese que toda superficie de tangentes regular es localmente isométrica al plano. Problema Sea φ un difeomorfismo entre V 1 S 1 y V 2 S 2 que conserva las longitudes de arcos de curvas. Probar que φ es una isometría local. Problema (a) Probar que la restricción de una isometría F de R 3 a una superficie S tal que F (S) = S es una isometría. (b) Considere la isometría de la franja abierta (0, 2π) R del plano sobre el cilindro de radio 1, menos una generatriz. Pruebe que hay isometrías φ : S 1 S 2 que no son restricciones de isometrías F : R 3 R 3. Problema Sea S la superficie de revolución de la curva (x, z) = (f(v), g(v)) alrededor del eje Z donde f(v) > 0, f (v) 2 + g (v) 2 0. Siendo X(u, v) = (f(v)cos(u), f(v)sen(u), g(v)), con 0 < u < 2π y v I, demostrar que los coeficientes de la primera forma fundamental no dependen de u. 50

57 Problema Calcule la primera forma fundamental de: (a) X(u, v) = (a sen(u)cos(v), b sen(u)sen(v), c cos(u)). (b) X(u, v) = (au cos(v), bu sen(v), u 2 ). (c) X(u, v) = (au cosh(v), bu senh(v), u 2 ). (d) X(u, v) = (a senh(u)cos(v), b senh(u)sen(v), c cosh(u)). Problema Sea X(θ, σ) = (sen(σ)cos(θ), sen(σ)sen(θ), cos(σ)) una parametrización de S 2. Sea P el plano X = Zctg(α), con 0 < α < π y β el ángulo de corte de la curva P S 2 con el semimeridiano θ = θ 0. Calcule cos(β). Problema Dada la parametrización X(u, v) = (u cos(v), u sen(v), ln(cos(v))+u) con π 2 < v < π 2, demuestre que las curvas X(u 1, v) y X(u 2, v) determinan segmentos con igual longitud sobre todas las curvas X(u, c) con c constante. Problema Demuestre que el área de la región R de la superficie z = f(x, y) está dada por 1 + fx 2 + fy 2 dxdy. Q Problema Demuestre que una superficie de revolución se puede reparametrizar tal que E = E(v), F = 0 y G = 1. 51

58 52

59 CAPÍTULO 5 APLICACIÓN DE GAUSS 5.1 Segunda forma fundamental Definición Sea S una superficie regular orientable. Entonces la aplicación N : S S 2 dada por N(u, v) = Xu Xv X u X v (que asigna a cada punto p S el vector normal a S en p) es continua y diferenciable. Tal aplicación N se conoce como aplicación de Gauss. Note que los planos tangentes T p (S) y T N(p) (S 2 ) son paralelos, pues tienen el mismo vector normal. Esto implica que la transformación lineal diferencial dn p : T p (S) T N(p) (S 2 ) es un operador de la forma dn p : T p (S) T p (S). El operador dn p es conocido como operador de la forma, pues define cómo es S. Sea α S una curva regular contenida en una superficie regular S, que pasa por un punto p S en t = 0. Considerando una parametrización regular X : U R 2 R 3 que contiene a p, podemos escribir α(t) como α(t) = X(u(t), v(t)). Ahora consideremos la restricción de la aplicación de Gauss N sobre α, entonces localmente podemos escribir N(t) = N(α(t)). Denotando α(0) = p y α (0) = t, tenemos dn α(0) (α (0)) = dn p ( t) = N (t) t=0 = N u (p)u (0) + N v (p)v (0). 53

60 Además, denotando N(u, v) = Xu Xv X (u, v) = (N u X v 1(u, v), N 2 (u, v), N 3 (u, v)), tenemos N u = ( N 1 u, N2 u, ) N3 u y N v = ( N 1 v, N2 v, ) N3 v. Si v Tp (S), entonces cómo podemos expresar dn p ( v)?. Podemos construir una curva α dentro de S parametrizada por longitud de arco tal que α(0) = p y α (0) = t. Entonces obtenemos dn p ( v) = N u (u(0), v(0))u (0) + N v (u(0), v(0))v (0) donde α(t) = X(u(t), v(t)). Ejemplo (1) Sea S = S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1}. Se quiere calcular la aplicación de Gauss para S 2. Si α S 2, entonces α tiene la fórmula α(t) = (x(t), y(t), z(t)). Luego tenemos x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) = 1, por lo que al derivar nos queda: 2x(t)x (t) + 2y(t)y (t) + 2z(t)z (t) = 0 x(t)x (t) + y(t)y (t) + z(t)z (t) = 0. Sobre α, la aplicación de Gauss N tiene la forma N α(t) = α(t), por lo que dn p ( t) = α (t) = (x (t), y (t), z (t)) = t. Tenemos que N es la identidad sobre S 2 y dn p la identidad sobre T p (S 2 ). Note además que dn p es un operador lineal con un solo autovalor de multiplicidad 2 (a saber 1). También podemos calcular dn p de otra forma, usando la parametrización regular (0, 2π) (0, π) X S 2 dada por X(u, v) = (cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)). Derivando parcialmente, tenemos X u = ( sen(u) sen(v), cos(u) sen(v), 0), X v = (cos(u) cos(v), sen(u) cos(v), sen(v)), X u X v = (cos(u) sen 2 (v), sen(u) sen 2 (v), sen(v) cos(v)), X u X v = sen(v), N(u, v) = (cos(u) sen(v), sen(u) sen(v), cos(v)) = X(u, v), N u (u, v) = X u (u, v), N v (u, v) = X v (u, v), dn p ( v) = I( v), (2) Consideremos el cilindro S = {(x, y, z) R 3 : x 2 +y 2 = 1}. Sea α(t) S una curva regular. Escribiendo α(t) = (x(t), y(t), z(t)) tenemos x 2 (t) + y 2 (t) = 1. Tenemos x(t)x (t) + y(t)y (t) = 0. Por lo que N(α(t)) = (x(t), y(t), 0). Si t = (x (0), y (0), z (0)), entonces dn p ( t) = (x (0), y (0), 0). Considere el caso en el que α es la curva generatriz α(t) = (0, 0, t). Entonces α (t) = (0, 0, 1). De donde dn p (α (0)) = (0, 0, 0). Se sigue que 0 es un autovalor de dn p. Ahora consideremos el caso en el que α es un círculo α(t) = (cos(t), sen(t), v), donde v es un valor fijo. Luego α (t) = ( sen(t), cos(t), 0), α (0) = (0, 1, 0) y dn (1,0,v) (0, 1, 0) = (0, 1, 0). Por lo que 1 es el otro autovalor de dn p. Otra forma de hallar los autovalores es considerando, por ejemplo, la parametrización regular X : (0, 2π) R S dada por X(u, v) = (cos(u), sen(u), v). En este caso, la aplicación de Gauss se escribe como N(u, v) = (cos(u), sen(u), 0). Teorema La matriz del operador dn p : T p (S) T p (S) es autoadjunta, es decir, para todo v, w T p (S) se tiene dn p ( v), w = v, dn p ( w). 54

61 Demostración: Veamos qué ocurre con X u, X v, N u y N v. (1) Derivando N(u, v), X u (u, v) = 0 respecto a v, obtenemos N, X uv = N v, X u. (2) Derivando N(u, v), X v (u, v) = 0 respecto a u, obtenemos N, X vu = N u, X v. Por continuidad de las derivadas parciales de X, resulta la igualdad N v, X u = N u, X v. Ahora, sean v, w T p (S). Podemos escribir v = v 1 X u + v 2 X v y w = w 1 X u + w 2 X v. Tenemos: dn p ( v), w = v 1 N u + v 2 N v, w 1 X u + w 2 X v = v 1 w 1 N u, X u + v 1 w 2 N u, X v + v 2 w 1 N v, X u + v 2 w 2 N v, X v = v 1 w 1 N u, X u + v 1 w 2 N v, X u + v 2 w 1 N u, X v + v 2 w 2 N v, X v, ya que N v, X u = N u, X v = v, dn p ( w). Definición La función I p ( v) = dn p ( v), v se denomina segunda forma fundamental. 5.2 Curvaturas sobre una superficie El hecho de que dn p sea autoadjunta garantiza que es simétrica. Luego, los autovalores de dn p son reales, y se pueden obtener autovectores suficientes para una base de T p (S). Definición Los autovaloes de dn p ( v) son valores reales y se denominan curvaturas principales k 1 y k 2. Sea α una curva parametrizada por longitud de arco contenida en una superficie regular orientable S, con α(0) = p y α (0) = t. Restringimos la segunda forma fundamental sobre α: I p (α (0)) = I p ( t) = dn p ( t), t = N (0), α (0) N(s), α (s) = 0, N (s), α (s) + N(s), α (s) = 0 N (s), α (s) = N(s), α (s) = N(s), k(s) n(s) = k(s) N(s), n(s) = k(s)cos(θ), donde θ es el ángulo entre N(s) y n(s), I p (α (0)) = k(0)cos(θ) = k p cos(θ). Definición El valor k n = k p cos(θ), donde θ es el ángulo entre N(p) y n(p), se denomina curvatura normal de α. Observacicón k n no depende de α, sólo del vector tangente t. Para toda curva α S con vector tangente t, S tiene la misma curvatura normal en p. 55

62 Teorema (Meusnier). Todas las curvas parametrizadas por longitud de arco que pasan por p y tienen vector tangente v unitario, tienen la misma curvatura normal. Demostración: k n = k p cos(θ) = I p (α (0)). Recordemos que I p ( v) no depende de la curva α. Si α (0) 1, tenemos α (0) = α (0) t, donde t = α (0) α (0). Entonces I p (α (0)) = dn p (α (0)), α (0) = dn p ( α (0) t), α (0) t = α (0) dn p ( t), α (0) t = α (0) 2 dn p ( t), t = α (0) 2 k n. Si consideramos t en vez de t, se verifica I p ( t) = I p ( t). La definición de k n está restringida a vectores del círculo unitario (con centro p y radio 1). Como C p es un subespacio compacto y I p una finción continua, tenemos que I p alcanza su valor máximo y mínimo en C p. A saber, k 1 es la máxima curvatura normal y k 2 la mínima curvatura normal. Sean e 1 y e 2 los autovectores (ortonormales) de dn p. Todo vector v C p se escribe como v = cos(β)e 1 + sen(β)e 2, donde β es el ángulo entre v y e 1, cos(β) = e 1, v y sen(β) = e 2, v. I p ( v) = dn p ( v), v = dn p (cos(β)e 1 + sen(β)e 2 ), cos(β)e 1 + sen(β)e 2 = cos(β)dn p (e 1 ) + sen(β)dn p (e 2 ), cos(β)e 1 + sen(β)e 2, dn p (e 1 ) = λ 1 e 1, λ 1 es el autovalor asociado a dn p, dn p (e 2 ) = λ 2 e 2, λ 2 es el autovalor asociado a dn p, I p ( v) = cos(β)λ 1 e 1 sen(β)λ 2 e 2, cos(β)e 1 + sen(β)e 2 = ( cos 2 (β)λ 1 sen 2 (β)λ 2 ) = cos 2 (β)λ 1 + sen 2 (β)λ 2. 56

63 Supongamos que e 1 está asociado a λ 1 y λ 1 > λ 2. Sabemos que k 1 es el máximo de k n ( v), con v C p. Supongamos que el valor k 1 se alcanza en v 1. Qué ocurre si β = 0? Como I p ( v 1 ) = λ 1, por el orden escogido se tiene λ 1 = k 1. Análogamente se verifica que λ 2 = k 2. Por lo tanto, k 1 es el valor máximo de k n y se alcanza en la dirección e 1, mientras que k 2 es el valor mínimo de k n que se alcanza en la dirección e 2. Ejemplo Sea S una esfera de centro (0, 0, 0) y radio r, es decir S = {(x, y, z) R 3 : x 2 +y 2 +z 2 = r 2 }. Tenemos que N(p) = p p = ( x r, y r, ) z r donde p = (x, y, z) S. Luego, dnp ( v) = v r, donde v = 1. Entonces v I p ( v) = dn p ( v), v = r, v = 1 r v, v = 1 r. Todas las curvaturas normales son iguales y resultan 1 r. Todas las curvas normales son círculos de radio máximo, los planos normales pasan por el centro de S. Consideremos el operador dn p ( v), y sean ( k 1 y k 2 los ) autovalores de dn p ( v). En la base de autovectores k1 0 (normalidades) la matriz de dn p ( v) es. 0 k 2 Definición ( ) k1 0 (1) La curvatura de Gauss de S se define como K = det = k 0 k 1 k 2. Esta curvatura se 2 relaciona con el área de S. ( ) k1 /2 0 (2) La curvatura media de S se define como la traza H = traza = k1+k2 0 k 2 /2 2. Esta curvatura se relaciona con el área de S. 5.3 Coeficientes de la segunda forma fundamental Sea α S una curva regular en una superficie regular orientable S. Luego α (0) T p (S) y N (0) T p (S). Podemos escribir α (0) = X u u (0) + X v v (0) y N (0) = N u u (0) + N v v (0). Supongamos p = α(0) y sea v = α (0) tal que v = 1. Calculando la segunda forma fundamental, tenemos I p ( v) = N (0), α (0) = N u u (0) + N v v (0), X u u (0) + X v v (0) = (u (0)) 2 N u, X u + u (0)v (0) N u, X v + u (0)v (0) N v, X u + (v (0)) 2 N v, X v. Derivando la igualdad N, X u = N, X v = 0 con respecto a u y v, obtenemos N v, X u = N, X uv = N, X vu = N u, X v (por continuidad de las derivadas parciales de X). Denotando por e = N u, X u = N, X uu, f = N u, X v = N v, X u = N, X uv = N, X vu, g = N v, X v = N, X vv, 57

64 podemos escribir la segunda forma fundamental como I p ( v) = e(u ) 2 + 2fu v + g(v ) Estudio de superficies mediante polinomios de Taylor Recordemos el teorema de aproximación de funciones de dos variables mediante el uso de polinomios de Taylor. Sea z = F (x, y) una función de dos variables, entonces z puede aproximarse a un polinomio de dos variables z P F (x 0, y 0 )(x, y) alrededor de un punto (x 0, y 0 ) de su dominio. En este caso, P F tiene grado 2. Específicamente, F (x, y) tiene la siguiente representación: F (x, y) = F (x 0, y 0 ) + F x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + F y (x 0, y 0 )(y y 0 ) F xx(x 0, y 0 )(x x 0 ) 2 + F xy (x 0, y 0 )(x x 0 )(y y 0 ) F yy(x 0, y 0 )(y y 0 ) 2 ɛ(x, y), ɛ(x,y) donde Lim (x,y) (x0,y 0) (x,y) (x 0,y 0) = 0. La primera línea de sumandos un plano tangente, mientras que la segunda línea de sumandos es conocida como la cuádrica tangente a la gráfica de f en el punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). Sea S una superficie regular orientable con una parametrización local X : U R 2 R 3, con X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Localmente, por el Teorema de la Función Implícita, en un entorno de p S se puede parametrizar como el gráfico de una función de la forma z = F (x, y). Ejercicio Para S = S 2, calcule una parametrización X(u, v) = (x, y, F (x, y)) alrededor del punto ( 2 2, 2 2, 0 ). Consideremos un sistema cartesiano adaptado a un punto p de la superficie S, de manera que N p = (0, 0, 1), T p (S) es el plano Z = 0, p = (0, 0, 0) y F (0, 0) = 0. La función F en la parametrización X(x, y) = (x, y, F (x, y)) se puede aproximar usando el Teorema de Taylor: F (x, y) = F (x 0, y 0 ) + F x (x x 0 ) + F y (y y 0 ) F xx(x x 0 ) 2 + F xy (x x 0 )(y y 0 ) F yy(y y 0 ) 2 + ɛ(x, y). 58

65 Teniendo en cuenta que el plano tangente de F (x, y) en (0, 0, 0) es Z = 0, en la ecuación z z 0 = F x (x x 0 ) + F y (y y 0 ) se tiene que z 0 = 0, F x = 0 y F y = 0. En consecuencia, la aproximación de Taylor alrededor de (0, 0) está dada por F (x, y) = 1 ( Fxx x 2 + 2F xy xy + F yy y 2) + ɛ(x, y). 2 Ahora para la parametrización X(x, y) = (x, y, F (x, y)), calculemos la segunda forma fundamental I p ( v), con v T p (S) y v = 1. Primero tenemos X x = (1, 0, F x ) y X y = (0, 1, F y ), luego N(x, y) = X x X y X x X y = F x F y 1,,, 1 + Fx 2 + Fy Fx 2 + Fy F 2 x + F 2 + y N x (x,y)=(0,0) = ( F xx (0, 0), F xy (0, 0), 0), N y (x,y)=(0,0) = ( F xy (0, 0), F yy (0, 0), 0), X x (0, 0) = (1, 0, 0), X y (0, 0) = (0, 1, 0), e = X x, N x = (1, 0, 0), ( F xx (0, 0), F xy (0, 0), 0) = F xx (0, 0), f = X y, N x = (0, 1, 0), ( F xx (0, 0), F xy (0, 0), 0) = F xy (0, 0), g = X y, N y = (0, 1, 0), ( F xy (0, 0), F yy (0, 0), 0) = F yy (0, 0), I p ( v) = F xx (0, 0)x 2 + 2F xy (0, 0)xy + F yy (0, 0)y 2, donde v = (x, y). Se puede concluir observando el polinomio de Taylor de F (x, y) de grado 2 que F (x, y) = 1 2 I p(x, y) + ɛ(x, y). Ahora consideremos el operador dn p (S). Para el autovector e 1 asociado a k 1 y el autovector e 2 asociado a k 1 (que yacen ambos en Z = 0), podemos suponer que los ejes X e Y están dados en esa dirección, es decir e 1 = (1, 0, 0) y e 2 = (0, 1, 0). 59

66 ( ) k1 0 En la base {N, e 1, e 2 }, el operador dn p (S) tiene matriz. Vamos a verificar que I 0 k p (x, y) = 2 k 1 x 2 + k 2 y 2. Para v = (x, y, 0) con v = 1, se tiene lo siguiente: Es consecuencia, obtenemos dn p (e 1 ) = k 1 e 1, dn p (e 2 ) = k 2 e 2, I p (x, y, 0) = dn(x, y, 0), (x, y, 0) = dn(xe 1 + ye 2 ), xe 1 + ye 2 = xk 1 e 1 yk 2 e 2, xe 1 + ye 2 = k 1 x 2 + k 2 y 2. F (x, y) = 1 2 I p( v) + ɛ(x, y) = 1 2 (F xxx 2 + 2F xy F yy y 2 ) + ɛ(x, y) = 1 2 (k 1x 2 + k 2 y 2 ) + ɛ(x, y). Entonces, consideremos la superficie z = k 1 x 2 + k 2 y 2, y sea c un valor cercano a cero. Entonces la curva de nivel c = k 1 x 2 + k 2 c 2 es una cónica que se clasifica de acuerdo a los signos y valores de k 1 y k 2. En base a esto, podemos clasificar los puntos de S de acuerdo al comportamiento de dicha cónica. Definición Un punto p en una superficie regular orientable S se dice: (1) punto elíptico si k 1 y k 2 tienen el mismo signo; (2) punto hiperbólico si k 1 y k 1 tienen signos opuestos; 60

67 (3) punto parabólico si k 1 = 0 o k 2 = 0, pero no ambas; (4) punto planar si k 1 = k 2 = 0, i.e. el operador dn p es nulo; (5) punto umbilical si k 1 = k 2 0. Ejemplo (1) Consideremos la superficie z = x 4 + y 4. Usando la función F (x, y) = x 4 + y 4, tenemos F xx = 12x 2, F xy = 0, F yy = 12y 2. Para p = (0, 0, 0), tenemos I p ( v) = 0, de donde k 1 = k 2 = 0 y p es un punto planar. (2) Consideremos la superficie dada por el gráfico de la función F (x, y) = x 3 3xy 2. Tenemos F xx = 6x, F xy = 6y, F yy = 6x. Luego, el punto p = (0, 0, 0) es un punto planar pues I p ( v) = 0. De hecho, en z = 0 tenemos x(x 3y 2 ) = 0, de donde x = 0 o x = ± 3y. Se tiene que S interseca al plano Z = 0 en las rectas x = 0, x = 3y y x = 3y. Note que S cruza o intersecan al plano tangente en un entorno de (0, 0, 0). (3) Consideremos el paraboloide hiperbólico de ecuación z = x 2 y 2, el cual es la gráfica de la función F (x, y) = x 2 y 2. Tenemos F xx = 2, F xy = 0 y F yy = 2. Para p = (0, 0, 0), tenemos I p ( v) = 2x 2 2y 2, por lo que k 1 = 2 y k 2 = 2. Entonces p es un punto hiperbólico. 5.5 Aplicación de Gauss en coordenadas locales Sea α una curva regular dentro de una superficie regular orientable S. Denotamos p = α(0) y t = α (0). Sabemos que dn p (α (0)) = N (0) = N u u + N v v, donde N u, N v T p (S). Como {X u, X v } es una base para T p (S), podemos escribir N u = a 11 X u + a 21 X v (1), N v = a 12 X u + a 22 X v (2). 61

68 ( ) a11 a Tenemos que 12 a 21 a 22 tiene: Por otro lado, de (2) se tiene: es la matriz asociada a dn p ( v). Nuestro interés es calcular los a ij. De (1), se e = X u, N u = a 11 X u, X u + a 12 X u, X v = a 11 E + a 12 F, f = X v, N u = a 11 X u, X v + a 12 X v, X v = a 11 F + a 12 G. f = X u, N v = a 21 X u, X u + a 22 X u, X v = a 21 E + a 22 F, g = X v, N u = a 21 X u, X v + a 22 X v, X v = a 21 F + a 22 G. Entonces tenemos la igualdad de matrices ( e f f g ( 1 G F Multiplicando por EG F 2 F E ) ( ) ( a11 a = 21 E F a 12 a 22 F G ), nos queda: ). ( ) ( ) ( a11 a 21 1 e f G F = a 12 a 22 EG F 2 f g F E ). Igualando coeficientes, obtenemos: ( ff eg EG F 2 gf fg EG F 2 ff eg a 11 = EG F 2, a gf fg 12 = EG F 2, ef fe a 21 = EG F 2, a ff ge 22 = EG F 2. Con estas igualdades podemos expresar la curvatura de Gauss en términos de E, F, G, e, f y g: ) (ff eg)(f f ge) (gf fg)(ef fe) K = det = (EG F 2 ) ef fe EG F 2 ff ge EG F 2 = f 2 F 2 ff ge egf f + egeg egf 2 + gfef + eff G f 2 EG (EG F 2 ) 2 = ge f 2 EG F 2. Ejemplo (1) Clasifiquemos los puntos del elipsoide. Consideremos la parametrización X : U S dada por X(u, v) = (a sen(u) cos(v), b sen(u) sen(v), c cos(u)), donde U = (0, π) (0, 2π). Derivando parcialmente, tenemos: X u = (a cos(u) cos(v), b cos(u) sen(v), c sen(u)), X v = ( a sen(u) sen(v), b sen(u) cos(v), 0), N = X u X v X u X v = (c b sen(u) cos(v), c a sen(u) sen(v), a b cos(u)) c2 b 2 sen 2 (u) cos 2 (v) + a 2 c 2 sen 2 (u) sen 2 (v) + a 2 b 2 cos 2 (u), 62

69 e = abc, f = 0, g = abc sen2 (u), E = a 2 cos 2 (u) cos 2 (v) + b 2 cos 2 (u) sen 2 (v) + c 2 sen 2 (u), F = cos(u) cos(v) sen(u) sen(v) (a 2 b 2 ), G = sen 2 (u) (a 2 + b 2 ), K = eg f 2 EG F 2 = c 2 cos 2 (u) + c 2 sen 2 (u) (a 2 sen 2 (v) + b 2 cos 2 > 0, para todo (u, v) U. (v)) Por lo que todo punto del elipsoide es elíptico. (2) Estudiemos el toro de revolución T localmente escogiendo la parametrización X : (0, 2π) (0, 2π) T dada por X(u, v) = ((R + r cos(u)) cos(v), (R + r cos(u)) sen(v), r sen(u)). Tenemos: X u = ( r sen(u) cos(v), r sen(u) sen(v), r cos(u)), X v = ( (R + cos(u)) sen(v), (R + r cos(u)) cos(v), 0), N(u, v) = (cos(u) cos(v), cos(u) sen(v), sen(u)), N u = ( sen(u) cos(v), sen(u) sen(v), cos(u)), N v = ( cos(u) sen(v), cos(u) cos(v), 0), e = r, f = 0, g = cos(u) (R + r cos(u)), E = r 2, F = 0, G = (R + r cos(u)) 2, a 11 = 1 r, a 12 = 0, a 21 = 0, a 22 = ( ) 1 r 0 dn p =, 0 k 1 = 1 r, k 2 = H = 1 2r cos(u) r (R+r cos(u)) cos(u) r (R + r cos(u)), cos(u) K = r 2 (R + r cos(u)), ( Símbolos de Christofell cos(u) R + r cos(u) ). cos(u) (R + r cos(u)) r, Hagamos un breve repaso de los principales conceptos que tenemos hasta el momento. Para superficies regulares orientables y parametrizadas, tenemos tres vectores: X u, X v y N(u, v). Es natural estudiar la variación de estos vectores, es decir X uu, X uv, X vv, N u y N v. Sabemos que el operador dn p : T p (S) T p (S) tiene una matriz asociada dada por ) ( ff eg EG F 2 gf fg EG F 2 ef fe EG F 2 ff ge EG F 2 63,

70 y que la curvatura de Gauss viene dada por el determinante de esta matriz, es decir K = eg f 2 EG F. Las 2 curvaturas principales k 1 y k 2 son los autovalores de dicha matriz. La curvatura normal está dada por la expresión k n = cos 2 (θ) k 1 + sen 2 (θ) k 2, donde k 1 > k 2 y θ es el ángulo entre n y N. Sobre cada punto p S se tiene el triedro {X u, X v, N}. Estudiar cómo cambia la superficie S en torno a p implica estudiar la variación de este triedro. Derivando parcialmente los elementos de este triedro, tenemos las igualdades: X uu = Γ 1 11X u + Γ 2 11X v + en, (1) X uv = Γ 1 12X u + Γ 2 12X v + fn, (2) X vu = Γ 1 21X u + Γ 2 21X v + fn, X vv = Γ 1 22X u + Γ 2 22X v + gn, N u = a 11 X u + a 21 X v, N v = a 12 X u + a 22 X v. Definición Los escalares Γ i kj se conocen como símbolos de Christofell. Note que estos escalares son simétricos, es decir Γ i jk = Γi kj como consecuencia de la igualdad X uv = X vu. Ahora la pregunta es: cómo se calculan estos símbolos? Para empezar, multiplicamos (1) por X u : E = X u, X u = E u = 2 X uu, X u, E = X u, X u u = Γ 1 11 X u, X u + Γ 2 11 X u, X v + e X u, N, Γ 1 11E + Γ 2 11 = 1 2 E u. (3) Ahora multiplicamos a (1) por X v : De (3) y (4) resulta el sistema X v, X uu = Γ 1 11 X u, X v + Γ 2 11 X v, X v + e N, X v, F = X u, X v = F u = X uu, X v + X u, X uv, E = X u, X u = E v = 2 X uv, X u, X uu, X v = F u 1 2 E v, F u 1 2 E v = Γ 1 11F + Γ 2 11G. (4) ( E F el cual tiene solución porque det F G Γ 2 11 ( ) ( ) ( E F Γ 1 11 = F G Γ E u F u 1 2 E v ) = EG F 2 > 0. Luego ( ) ( ) ( Γ G F = EG F 2 F E Γ 1 11 = 1 2 E u F u 1 2 E v 1 2 E ug F F u F E v EG F 2 y Γ 2 11 = 64 ), ), 1 2 F E u + EF u 1 2 EE v EG F 2.

71 Haciendo cálculos de manera análoga, se obtienen los sistemas ( ) ( ) ( E F Γ F G Γ 2 = 2 E ) v G, v ( ) ( ) ( E F Γ 1 22 Fv 1 = 2 G u F G Γ G v ). Ejercicio Calcular el resto de los Γ k ji. Derivando (1) y (2) e igualando, obtenemos: X uuv = X uvu, X uuv = (Γ 1 11) v X u + Γ 1 11X uv + (Γ 1 11) v X v + Γ 2 11X vv + e v N + en v, X uvu = (Γ 1 12) u X u + Γ 1 12X uu + (Γ 2 12) u X v + Γ 2 12X uv + f u N + fn u. Sustituyendo X uu, X uv y X vv por las expresiones del sistema y agrupando respecto a {X u, X v, N}, se tiene: X u ((Γ 1 11) v + Γ 1 11Γ Γ 2 11Γ ea 12 ) + X v (Γ 1 11Γ (Γ 2 11) v + Γ 2 22Γ a 22 e) + N(Γ 2 11g + e v + Γ 1 11f) = = X u ((Γ 1 12) u + Γ 1 12Γ Γ 2 12Γ fa 11 ) + X v (Γ 1 12Γ (Γ 2 12) u + Γ 2 12Γ fa 21 ) + N(Γ 1 12e + Γ 2 12f + fu). Igualando los coeficientes de X v, tenemos: 0 = (Γ 2 11) v (Γ 2 12) u + Γ 2 11(Γ 2 22 Γ 1 12) + Γ 2 12(Γ 1 11 Γ 2 12) + a 22 e fa 21, a 22 = ff ge EG F 2, a ef fe 21 = EG F 2, a 22 e fa 21 = eff gee eff + f 2 E EG F 2 = E (ge f 2 ) EG F 2 = EK. Esto demuestra que la curvatura de Gauss K depende sólo de E, F, G y sus derivadas parciales. Teorema (Teorema de Gauss). La curvatura de Gauss es invariante por isometrías locales. Dos superficies localmente isométricas tiene la misma curvatura de Gauss. El recíproco de esta última afirmación no es cierta, es decir que dos superficies con la misma curvatura de Gauss no tiene por qué ser localmente isométricas. Volviendo a los cálculos anteriores e igualando los coeficientes de N, se tiene: Γ 2 11g + e v + Γ 1 11f = Γ 1 12e + Γ 2 12f + fu, Haciendo los cálculos de X vvu = X vuv, obtenemos: e v f u = f(γ 2 12 Γ 1 11) + eγ 1 12 Γ 2 11g. (5) f v g u = eγ f(γ 2 22 Γ 1 12) gγ (6) Definición Las ecuaciones (5) y (6) se denominan ecuaciones de compatibilidad, y se deben a Coodazzi y Mainardi. 65

72 Ejercicio Demuestre la igualdad (6). Teorema (Teorema de existencia y unicidad). Si E, F, G, e, f y g son funciones diferenciables de un abierto U R 2 tales que E > 0, G > 0 y EG F 2 > 0 y que satisfacen las ecuaciones de compatibilidad, entonces para cada p R 3 y para cada triedro de vectores { v, w, N} con N unitario y ortogonal a v y w, existe un entorno V U y un difeomorfismo X : V X(V ), que define una superficie parametrizada regular, tales que E, F y G son los coeficientes de la primera forma fundamental, e, f y g los coeficientes de la segunda forma fundamental, y p = X(u 0, v 0 ), X u (u 0, v 0 ) = v, X v (u 0, v 0 ) = w. Si V es conexo y otra superficie parametrizada X : V X(V ) tiene los mismos coeficientes E, F, G, e, fy g, entonces X(V ) se obtiene por un movimiento rígido (traslación, rotación, reflexión o composición de estos) de X(V ). 5.7 Líneas asintóticas y líneas de curvatura Definición Sea S una superficie regular orientable. Una curva regular α : I S se dice asintótica si para todo t I, el vector α (t) está en una dirección asintótica, es decir es la dirección donde la curvatura normal k n (t) es cero. Sabemos que k n (t) = k α (t) cos(θ), donde θ es el ángulo entre n(t) y N(t). Luego, si k n (t) = 0 entonces cos(θ) = 0 o k α (t) = 0. Si k(t) = 0, entonces α(t) es un segmento de recta. Si cos(θ) = 0 entonces θ = π/2, es decir n(t) N(t). De donde n T α(t) (S), o equivalentemente, el plano osculador en α(t) coincide con el plano tangente. Ejemplo Sea X(u, v) = (u, v, u 2 v 2 ). Calculemos la segunda forma fundamental para una curva α(t) = X(u(t), v(t)). X u = (1, 0, 2u), X v = (0, 1, 2v), ( ) 2u N(u, v) = 4u2 + 4v 2 + 1, 2v 4u2 + 4v 2 + 1, 1, 4u2 + 4v I p (α 2 ) = 1 + 4u2 + 4v 2 ((u ) 2 (v ) 2 ) = k n (t). Entonces k n (t) = 0 si, y sólo si, (u ) 2 (v ) 2 = 0. Esta última igualdad se cumple si, y sólo si, u + v = 0 o u v = 0. En el primer caso, tenemos u(t) + v(t) = c 1, mientras que en el segundo u(t) v(t) = c 2. Por lo tanto, para esta superficie las líneas asintóticas están dadas por las curvas: 66

73 α(t) = X(u(t), c 1 u(t)) = (u(t), c 1 u(t), u 2 (t) (c 1 u(t)) 2 ) = (u(t), c 1 u(t), 2c 1 u(t) c 2 1) = u(t)(1, 1, 2c 1 ) + (0, c 1, c 2 1), β(t) = X(u(t), u(t) + c 2 ) = (u(t), u(t) + c 2, u 2 (t) (u(t) + c 2 2) 2 ) = (u(t), u(t) + c 2, 2c 2 u(t) c 2 2) = u(t)(1, 1, 2c 2 ) + (0, c 2, c 2 2). Ejercicio Dibuje las líneas asintóticas del ejemplo anterior. Supongamos que α es una línea de curvatura de una superficie regular orientable S. Entonces 0 = I p (α ) = e(u ) 2 + 2fu v + g(v ) 2 = k 1 cos 2 (θ) + k 2 sen 2 (θ). Si K = k 1 k 2 > 0, es decir S contiene puntos elípticos, entonces no hay líneas de curvatura. Si K < 0, consideremos a I p (α ) como un polinomio de grado 2 de variables u y v. Entonces (I p (α )) = 4(f 2 eg) > 0. Luego se puede factorizar I p (α ) como un producto de polinomios de grado 1 con coeficientes reales, digamos I p (α ) = (Au + Bv )(Au + Cv ). De este tenemos e = A 2 {, f = A(B+C) 2 y g = BC. Por lo tanto, si Au α(t) = X(u(t), v(t)) es una línea asintótica, entonces tenemos + Bv = 0, Au + Cv = 0. Definición Una parametrización local X : U R 2 S se dice asintótica sobre una superficie regular S si las u-curvas y las v-curvas son asintóticas, es decir, tanto X(u 0, v) como X(u, v 0 ) son líneas asintóticas para casa punto (u 0, v 0 ) U. Ejercicio Sea X una parametrización local spbre una superficie regular S. Pruebe que X es asintótica si, y sólo si, e = g = 0. Definición Sea( S una superficie ) regular orientable y α : I S una curva regular dentro de S. k1 0 Considérese la matriz del operador dn 0 k α(t) en la base de autovectores { e 1, e 2 }. La curva α se 2 denomina línea de curvatura si α (t) = e i (t) para todo t I y para algún i = 1, 2. En este caso, se tiene dn α(t) (α (t)) = k i α (t). Teorema (Doachimsthal). Sea α una curva regular contenida en la intersección de dos superficies regulares S 1 y S 2. Sean N 1 (u, v) y N 2 (u, v) los campos normales unitarios de S 1 y S 2, respectivamente. Si S 1 y S 2 se intersecan formando un ángulo constante (ángulo entre N 1 S1 S 2 y N 2 S1 S 2 ), entonces α es línea de curvatura de S 1 si, y sólo si, es línea de curvatura de S 2. 67

74 Demostración: Supongamos que N 1 (t), N 2 (t) es constante. Para α(t) S 1 S 2, tenemos: N 1(t), N 2 (t) + N 1 (t), N 2(t) = 0 dn 1 (α (t)), N 2 (t) + N 1 (t), dn 2 (α (t)) = 0. Supongamos que α (t) es un autovalor de (dn 1 ) p, entonces (dn 1 ) p (α (t)) = k 1 α (t). Luego, k 1 α (t), N 2 (t) + N 1 (t), N 2(t) = 0 k 1 α (t), N 2 (t) + N 1 (t), N 2(t) = 0 k N 1 (t), N 2(t) = 0 N 1 (t), N 2(t) = 0. Suponiendo que θ 0, π, podemos escribir N 2(t) = a 1 N 1 (t) + a 2 N 2 (t) + a 3 α (t). Como N 2(t) es ortogonal a N 1 (t) y a N 2 (t), nos queda N 2(t) = a 3 α (t), es decir α(t) es una línea de curvatura de S 2. Ejercicio Si S es una superficie de revolución generada por una curva α, entonces los meridianos y los paralelos de la superficie obtenida son líneas de curvatura. Sugerencia: Use el teorema anterior. 68

75 Definición Una parametrización local X de una superficie regular orientable S se dice principal si las u-curvas y las v-curvas son líneas de curvatura. Teorema X : U S es una parametrización principal de una superficie regular orientable S si, y sólo si, f = F = 0. Demostración: Si las u-curvas y las v-curvas son líneas de curvatura entonces X u y X v son autovectores. Luego, X u, X v = 0 = F. Por otro lado, f = N u, N v = k 1 X u, k 2 X v = k 1 k 2 X u, X v = Problemas Problema Calcúlese la curvatura de Gauss de un tubo alrededor de una curva. Problema Sea S una superficie que es tangente a un plano a lo largo de una curva α S. Probar que los puntos de esta curva son parabólicos o planares. Dar ejemplos. Problema Sea C S una curva regular de una superficie con curvatura de Gauss K > 0 en todos sus puntos. Mostrar que la curvatura k de C en P satisface k min{ K 1, K 2 } donde K 1 y K 2 son las curvaturas principales de S en P. Problema Supóngase que una superficie S tiene la propiedad que en todos sus puntos las curvaturas principales verifiquen K 1 1 y K 2 1. Es cierto que la curvatura k de una curva cualquiera de S satisface K 1? Problema Demostrar que la suma de las curvaturas normales correspondientes a todo par de direcciones ortogonales en P S es constante. Problema Describir la región de la esfera unitaria cubierta por la imagen de la aplicación de Gauss de las siguientes superficies: (a) Paraboloide de revolución: X : R 2 R 3, X(u, v) = (u, v, u 2 + v 2 ). 69

76 (b) Hiperboloide de revolución: x 2 + y 2 z 2 = 1. (c) Catenoide: x 2 + y 2 = cosh 2 (z). Problema Sea C una línea de curvatura de S que no es tangente en ningún punto a una dirección asintótica. Probar que si el plano osculador en cada punto P C forma un ánguo constante con el plano tangente a S en P, entonces C es una curva plana. Problema (a) Probar que si S es una superficie mínima (H = 0), la aplicación de Gauss N : S S 2 tiene la propiedad para todo P S y w 1, w 2 T P (S). dn P (w 1 ), dn P (w 2 ) = K(P ) w 1, w 2, (b) Si S no tiene puntos planares, demostrar que la propiedad anterior implica que el ángulo de dos curvas sobre S y el ángulo de sus imágenes esféricas son iguales, es decir que en este caso la aplicación de Gauss es conforme. Problema Determinar las curvas asintóticas y las líneas de curvatura del helicoide X(u, v) = (v cos(u), v sen(u), u) con (u, v) R 2, y mostrar que la curvatura media H es igual a 0. Problema Calcular los símbolos de Christofell y la curvatura de Gauss para la superficie de revolución X(u, v) = (ϕ(v) cos(u), ϕ(v) sen(u), ψ(v)), donde ϕ(v) y ψ(v) son curvas regulares. Problema Si (ϕ(v) cos(u), ϕ(v) sen(u), ψ(v)) es una superficie de revolución con curva generadora parametrizada por longitud de arco, o sea ϕ ψ1 2 = 1. Demostrar que si S tiene curvatura de Gauss constante, entonces: (a) ϕ es solución de la ecuación diferencial ϕ + Kϕ = 0 y ψ se obtiene por integración ψ = 1 ϕ 2 1 dv. (2) Las superficies de revolución de curvatura K = 1 que cortan ortogonalmente el plano XY tiene ecuación: ϕ(v) = c cos(u), ψ(v) = v 0 1 c2 sen 2 (v)dv. Qué forma tiene según C = 1, C > 1 o C < 1. Problema Demostrar: (a) Un punto elíptico o hiperbólico no puede ser un punto aislado. (b) Si α es una curva que une un punto P elíptico con un punto hiperbólico Q, entonces α contiene por lo menos un punto parabólico o planar. 70

77 CAPÍTULO 6 SUPERFICIES REGLADAS 6.1 Definición y tipos de superficies regladas Definición Una superficie regular S se dice reglada si admite una parametrización X : U R 2 S de la forma X(u, v) = α(u) + v γ(u), donde α y γ son curvas en R 3 tales que α (u) 0. A la curva α se le conoce como curva directriz o curva base, mientras que a γ se le denomina curva generatriz. A las rectas v α(u 0 ) + v γ(u 0 ) se les conoce como rectas generatrices. Ejemplo (1) Hiperboloide de una hoja: Esta superficie tiene por ecuación x2 a 2 parametrizarla por + y2 b 2 + z2 c 2 = 1, y podemos donde u (0, 2π) y v R. X(u, v) = (a cos(u), b sen(u), 0) + v( a sen(u), b cos(u), c), (2) Hiperboloide parabólico: Esta superficie tiene por ecuación z = x2 por X(u, v) = (au, 0, u 2 ) + v(a, ±b, 2u). 71 a 2 y2 b 2, y la podemos parametrizar

78 (3) Cono generalizado: Es un ejemplo de superficie reglada que se obtiene cuando α(u) = w (constante). En este caso, la parametrización es de la forma X(u, v) = w + vγ(u). Si u 0 es un valor fijo, todas las rectas w + vγ(u 0 ) pasan por w, este punto se conoce como vértice del cono. (4) Cilindro generalizado: Es un ejemplo de superficie reglada que se obtiene cuando γ(u) = w (constante). En este caso, la parametrización es de la forma X(u, v) = α(u) + v w. (5) Cinta de Möbius: Descrita en el Ejemplo (1) es también una superficie reglada, pues tenemos una parametrización ( ( u ) ( u ) ( u )) X(u, v) = a(cos(u), sen(u), 0) + av cos cos(u), cos sen(u), sen Definición Una superficie reglada definida por más de una familia de rectas se conoce como doblemente reglada. 72

79 Lema Si una superficie S admite una parametrización de la forma X(u, v) = α(u) + vγ(u), entonces la curvatura de Gauss para todo punto de S es no positiva. Demostración: Tenemos e = N, X vv = 0 pues X vv = 0. Luego K = eg f 2 EG F 2 = f 2 EG F 2 0. Definición Se dice que una superficie S es reglada llana si K = 0 para todo p S. Lema Una superficie S es reglada llana si, y sólo si, f = 0 para todo p S. Ejercicio Las rectas generatrices v α(u 0 )+vγ(u 0 ) de una superficie reglada S son curvas asintóticas de S. Definición Una superficie regular S R 3 de dice desarrollable tangencial de una curva (regular) α : I R 3 si admite una parametrización de la forma X(u, v) = α(u) + vα (u). Lema Si una superficie regular S es desarrollable, o es un cono generalizado, o es un cilindro generalizado, entonces S es llana. Demostración: Probemos sólo el caso en el que S es desarrollable tangencial a una curva α. Supóngase que X(u, v) = α(u) + vα (u). Luego: Entonces f = det α (u) α (u) + vα (u) α (u) X u = α (u) + vα (u), X v = α, X uv = α (u), X uu = α (u) + vα (u), X vv = 0. X u X v = 0, por lo que K = 0. Ejercicio En el lema anterior, demuestre los casos cuando S es un cono generalizado o un cilindro generalizado. 73

80 6.2 Superficies regladas no cilíndricas Definición Una parametrización X(u, v) = β(u) + vγ(u) se dice no cilíndrica si γ γ es un vector no nulo. Lema Si X(u, v) = β(u) + vγ(u) es una parametrización no cilíndrica de una superficie S, entonces S admite una parametrización X(u, v) = σ(u) + vδ(u), donde α = 1 y σ δ = 0. Demostración: Consideremos X(u, v) = β(u) + vδ(u), donde δ(u) = γ (u) γ (u). Vemos que X tiene la misma traza que X, y que δ(u) = 1 y δ(u) δ (u) = 0. Se define σ(u) = β(u) + t(u)δ(u), para alguna función derivable t(u). Luego, multiplicando por δ (u), obtenemos σ (u) = β (u) + t (u)δ(u) + t(u)δ (u) 0 = σ (u) δ (u) = β (u) δ (u) + t (u)δ(u) δ (u) + t(u)δ (u) δ (u), t(u) = β (u) δ (u) δ (u) δ (u). Ahora definimos X(u, v) = X(u, t(u) + v) = β(u) + (t(u) + v)δ(u) = σ(u) + vδ(u), donde σ(u) = β(u) + t(u)δ(u). Finalmente, tenemos que las trazas de X, X y X son las mismas. Definición En el lema anterior, a σ se la denomina línea de estricción de X. Definición Sea X una superficie reglada no cilíndrica. Se define el parámetro de distribución de X por p(u) = (σ δ) δ δ δ. Ejercicio Para una superficie reglada no cilíndrica S, demuestre que K = p2 (u) (p 2 (u)+v 2 ) 2. Ejemplo (1) Consideremos la parametrización del helicoide X(u, v) = (0, 0, bu) + av(cos(u), sen(u), 0). En este caso, tenemos σ(u) = (0, 0, bu) y δ(u) = (cos(u), sen(u), 0). Luego, X(u, v) = (0, 0, bu) + v(cos(u), sen(u), 0). (2) Para el paraboloide hiperbólico, consideremos la parametrización X(u, v) = (u, 0, 0) + v(0, 1, u). En este caso, tenemos: 74

81 ( ) v X u, 1 + u 2 δ(u) = = (u, 0, 0) + ( 0, σ(u) = (u, 0, 0), p(u) = 1 u u 2, v 1 + u 2 u 1 + u 2 (0, 1, u), ), 6.3 Problemas Problema Probar que la línea de estricción es única, o sea, no depende de la directriz. Problema Encuentre los puntos singulares, si los hay, de las superficies siguientes: (a) Cilindro de generatrices con dirección constante: X(u, v) = α(u) + w v, con w constante. (b) X(u, v) = α + v w(u). (c) Superficie de tangentes a una curva. Problema Encontrar la línea de estricción del helicoide y del hiperboloide de revolución cuyas generatrices se apoyan sobre un círculo y forman un ángulo de 45 con las tangentes al mismo. Problema Dada una superficie S y una curva regular α(s) sobre S, la familia monoparamétrica de planos T α(s) (S) envuelve una superficie regleada cuyas generatrices son las rectas límites de las rectas de intersección de dos planos próximos. (a) Probar que las rectas de intersección de los planos tangentes en α(s) y α(s + s) tienden a una recta que pasa por α(s) con dirección N(S) N (S) N (S). (b) Escribir la ecuación de la superficie reglada. (c) Probar que la superficie reglada es desarrollable. Problema Demostrar que la normal a una superficie reglada desarrollable es constante a lo largo de una generatriz. Problema Demostrar que el paraboloide hiperbólico z = x 2 y 2 es una superficie reglada no desarrollable. 75

82 76

83 CAPÍTULO 7 GEODÉSICAS 7.1 Campo vectorial y derivada covariante Definición Sea S una superficie regular. Un campo vectorial asociado a S es una aplicación continua w : U S R 3 tal que a cada punto p S se le asocia un vector w(p) T p (S). Sea α una curva regular dentro de una superficie regular S. A partir de w como en la definición anterior, se puede definir un campo w(t) = w α(t). Se tiene w (t) = d dt (w α). Usando el triedro {X u, X v, N}, podemos escribir w (t) = A(t)X u +B(t)X v +c(t)n. Definición La proyección ortogonal de w (t) en el plano tangente T α(t) (S) se denomina derivada covariante de w (t). Dw dt (t 0) := A(t)X u + B(t)X v. 77