Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal Escuela Politécnica Superior. Universidad de Alicante.

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1 CONSUMO ÓPTIMO EN EL TRANSPORTE TERRESTRE Francisco Javier Gil Chica Manuel F. Pérez Polo José Ángel Berná Galiano Departamento de Física, Ingeniería de Sistemas y Teoría de la Señal Escuela Politécnica Superior. Universidad de Alicante. Apdo 99, Alicante Abstract: En este artículo investigamos el ahorro energético posible para los vehículos terrestres. Concretamente, el que puede conseguirse del conocimiento previo de la topografía de la ruta que seguirá el vehículo. La conjunción de sistemas de gestión del motor con sistemas de navegación y posicionamiento mediante GPS da sentido a esta investigación. Keywords: Transportes, consumo óptimo, navegación 1. INTRODUCCIÓN La eficiencia energética en los medios de transporte, de cualquier tipo, es y será una preocupación constante. Muchas son las oportunidades de optimización de estos medios de transporte: eficiencia energética de los motores, reducción de rozamientos, por rodadura, internos y aerodinámicos o reducción de peso, por citar unos pocos relevantes. La introducción de los controles electrónicos en los motores ha proporcionado nuevas oportunidades de mejora en los últimos diez años. Al mismo tiempo, son comunes los sistemas de control de velocidad y los sistemas de navegación. Este trabajo parte de la observación simple de que la conjunción de ambos sistemas, navegación y control del motor, ofrece una nueva oportunidad de optimización. Un caso ad hoc servirá para exponer la idea central. Imaginemos que un desplazamiento por carretera discurre entre dos puntos situados a la misma cota de altura. Imaginemos que entre ambos se eleva un puerto de montaña. Fijada una velocidad media determinada, un sistema de control que conozca con antelación la existencia del puerto, y la bajada subsiguiente, puede ajustar la velocidad de crucero en el ascenso por debajo de la media nominal, reduciendo el consumo, y aprovechar después la bajada para recuperar el tiempo perdido. Este es un escenario ideal, usado únicamente con el propósito de mostrar una idea. Evidentemente, las condiciones reales del tráfico difieren mucho de este caso ideal, pero al mismo tiempo es preciso reconocer la evolución en los tipos de trayectos: son más largos y se realizan con mayor frecuencia por vías rápidas, a velocidad casi constante y sin necesidad de obtener grandes aceleraciones, puesto que los adelantamientos se realizan simplemente cambiando de carril. Es interesante por tanto preguntarse por el grado de optimización que podría conseguir un sistema de control que actuase sobre el motor en función de la topografía del trayecto.. EL MODELO Consideraremos un modelo bidimensional. Un vehículo de masa m se desplaza entre dos puntos

2 x y x 1 siguiendo una curva f(x). La energía cinética del vehículo es T = 1 m(ẋ + ẏ ) (1) y teniendo en cuenta que y = f(x) y ẏ = f ẋ Finalmente, dividiendo por el factor m(1 + f ): ẍ + ẋ f f 1 + f + g f 1 + f + β mẋ = u(1 + f ) 1/ (13) T = 1 m(1 + f )ẋ () Si introducimos variables de estado x 1 = x y x = ẋ podemos escribir donde el apóstrofe indica derivada respecto de x. Por su parte, la energía potencial es simplemente y la Lagrangiana ([1],[]), U = mgf (3) donde x = z( x, u) (14) x = [ x1 x ] (15) L = T U = 1 m(1 + f )ẋ mgf (4) La función de disipación de Rayleigh es y z = [ z1 z ] (16) F = 1 β(ẋ + ẏ ) = 1 β(1 + f )ẋ (5) con La ecuación del movimiento se sigue de ( ) d L L dt ẋ x + F ẋ = Q x (6) donde Q x es la fuerza generalizada, que viene dada por Q x = F T r x (7) donde r es el vector de posición del vehículo y F la fuerza que se aplica sobre el mismo. Si α es el ángulo que forma la curva sobre la que el vehículo se desplaza con la horizontal y u es el módulo de la fuerza de autopropulsión, [ ] u cosα F = (8) u sinα mientras que r = de donde se sigue que [ ] x f(x) (9) Q x = u cosα + uf sin α (1) con lo que obtenemos la siguiente ecuación del movimiento mẍ(1 + f ) + mf f ẋ + mgf + β(1 + f )ẋ = u(cosα + f sin α) (11) Teniendo en cuenta que tanα = f cosα + f sin α = 1 + f (1) z 1 = x z = x f f 1 + f g f 1 + f β m x u + (17) m(1 + f ) 1/ Es necesario ahora que nos preguntemos respecto a qué deseamos optimizar el consumo. Puesto que los sistemas de control de velocidad están tan extendidos, y puesto que, en general, no se aceptaría una reducción en el consumo a costa de reducir la velocidad media, parece razonable comparar respecto al consumo que se obtendría en un desplazamiento a velocidad constante. Es necesario sin embargo considerar cómo lo que genéricamente hemos denominado u, el esfuerzo de autopropulsión, responde en realidad a dos cosas distintas: la aceleración que puede proporcionar el motor y la deceleración, que no consume combustible, que pueden generar los frenos. Aquí no haremos esta distinción por una razón: el frenado es ineficiente y es preciso penalizarlo de igual modo que el consumo, porque, en condiciones ideales, el frenado significa desperdiciar energía que antes fue suministrada, y por tanto suministrada en vano. Otra observación pertinente es qué se entiende por velocidad constante? Es distinto mantener una velocidad constante sobre la carretera, en cuyo caso ẋ + ẏ = v (18) que mantener una velocidad constante sobre el mapa, en cuyo caso ẋ = v (19)

3 En el segundo caso, el esfuerzo a velocidad constante por unidad de masa u /m es una función de x 1 y de la velocidad nominal media x. Haciendo f = obtenemos entonces u m = x f f (1 + f ) + g f 1/ (1 + f ) 1/ + β m x (1 + f ) 1/ () En el primer caso, como ẏ = f ẋ, se sigue que v x = ẋ = (1) (1 + f ) 1/ Derivando respecto al tiempo ésta última ẋ = v f f (1 + f ) () Sustituyendo este valor en la ecuación del movimiento para x obtenemos el esfuerzo específico cuando el módulo de la velocidad es constante: 3. u m = βv m + gf (1 + f ) 1/ (3) FUNCIÓN DE COSTE Y MÉTODO DE RESOLUCIÓN Elegiremos una función de coste ([3],[4],[5],[6]) que tenga en cuenta por un lado el esfuerzo de autopropulsión, y por otro la desviación respecto a la velocidad media nominal. Por otro lado, completaremos la función de coste con un término de Mayer que penalize la separación del estado final del sistema respecto al estado final que se pretende. Este estado final se alcanza tras un tiempo T, que depende de la diferencia entre las abcisas de los puntos origen y destino y de la velocidad media nominal x. Así J = T (u + (x x ) )dt + x T M x (4) siendo M una matriz de ponderación que de momento podemos considerar como la matriz identidad. Con todo esto escribiremos la hamiltoniana H = αu + (x x ) + p T z (5) siendo p un vector de multiplicadores indeterminados de Lagrange de dimensión al que se denomina co-estado, de donde se siguen las ecuaciones de control ([3]) = H u p = H x (6) que habremos de resolver junto con la ecuación de la dinámica. Como condiciones de contorno, el sistema evoluciona desde un estado inicial determinado a un estado final indeterminado durante un tiempo T que es el cociente entre la distancia horizontal desde el punto origen al destino deseado y la velocidad nominal x. El co-estado ha de satisfacer por otro lado p(t) = M x(t) (7) En general, no existe solución analítica para este problema no lineal, por lo que hemos de recurrir a métodos numéricos. Concretamente, el método del gradiente permite obtener aproximaciones sucesivas para el control óptimo a partir de un control tentativo con el que iniciar el procedimiento. Este control tentativo puede muy bien ser u /m. A partir de él integraremos las ecuaciones del movimiento, obteniendo x(t). Integrando la segunda de (6) con la condición de contorno (7) obtenemos p(t). Del conocimiento del estado y coestado podemos, para cada instante, calcular la hamiltoniana. Puede demostrarse ([6]) entonces que una corrección al control de la forma δu = ǫ H u (8) hace más pequeña la cantidad J, y por tanto acerca u /m al control óptimo. El procedimiento puede iterarse hasta obtener una solución satisfactoria. En general, la cantidad pequeña ǫ varía a medida que avanza el algoritmo, permitiendo acelerar la convergencia o corregir un ciclo divergente; para ello, comparamos la cantidad J en una iteración con su valor en la iteración anterior. Si ha disminuido, aumentamos ǫ para acelerar la convergencia, pero no más allá de cierto límite. Si J ha aumentado, nos encontramos en un ciclo divergente, y es preciso reducir ǫ a un valor pequeño. De esta forma se consigue un algoritmo robusto. Entrando en los detalles del cálculo, llamando z 1,z a las componentes de z y p 1,p a las componentes del co-estado, tenemos que de donde H u = αu + p m (1 + f ) 1/ u m = p m (1 + f ) 1/ (9) (3) Por otro lado, teniendo en cuenta que z 1 no es función de x 1 : ṗ 1 = H z = p x 1 x 1 = p x f + f f + f 3 f f f 1 + f

4 +p g f f f (1 + f ) + u f f m (1 + f ) 3/ ṗ = H = (x x x ) p 1 [ f f +p x 1 + f + β ] m 4. PERFIL DEL ITINERARIO (31) Puesto que estamos interesados en el ahorro relativo a un esfuerzo dado, el que produce un desplazamiento con velocidad constante, normalizaremos el recorrido al intervalo [,1] en la unidad de tiempo, y tomaremos m como la unidad. Falta finalmente para comenzar la resolución numérica elegir un perfil para el itinerario, f(x). Sea f(x) = h sin(πx)cos(3πx) donde h es un factor de escala que controla la pendiente media. A modo de ilustración, reproducimos esta función en la Figura (1), con h =.1: f(x) x Figura 1 En la Figura () hemos representado el esfuerzo de control óptimo por unidad de masa en función de β para un conjunto de valores de este parámetro, variando entre β =. y β =.6. Como es evidente, el esfuerzo específico es una función creciente del rozamiento. Pero también puede apreciarse cómo la curva se aplana para valores crecientes de β. En el caso extremo en que β tenga un valor muy grande, la influencia de la pendiente del recorrido se hace despreciable, en cuyo caso el esfuezo específico ha de reducirse a una constante. En la Figura (3) se representa el parámetro σ, definido por u/m σ β =.6 β =.4 β =. β = (t/4) s Figura β Figura 3 en un estado final que se encuentra lejos del estado final deseado. Esto significa que no existe una solución válida para un intervalo amplio de valores de β, aunque este extremo carezca en realidad de importancia práctica, puesto que los vehículos actuales se mueven un intervalo reducido de coeficientes aerodinámicos y resistencia a la rodadura, que son los que en última instancia determinan el valor de β. Como ilustración final, hemos considerado un perfil de la forma fx) =.1x(1 x), y representamos en la Figura (4) el control necesario para mover el vehículo de tal forma que el módulo de la velocidad sea constante y el control óptimo cuando β =.3 y la velocidad media nominal es v = 1.. El control óptimo lleva al vehículo a un estado final x 1 =.9, y reduce la velocidad desde la velocidad media nominal en un 16%. Es claro sin embargo a partir de la gráfica que el ahorro obtenido compensa ampliamente. Una elección distinta de la función de coste, en concreto del parámetro α y de la matriz M conducen al sistema más cerca del punto de consigna, reduciendo el margen de ahorro. σ = u (j) u (j) (3) 5. CONCLUSIÓN donde la sumatoria se extiende a un conjunto discreto de valores del tiempo, igualmente espaciados. No obstante, esta gráfica ha de ser interpretada con cautela, puesto que al hacerse más grande el parámetro β el control óptimo se alcanza Existe una oportunidad de optimización en el consumo de los vehículos para transporte por carretera, y esta oportunidad viene dada por la conjuncin de sistemas de control para el motor, y en concreto sistemas de control de la velocidad, y sistemas de navegación. Hemos demostrado que

5 u/m, velocidad constante [4] R. F. Stengel. Optimal control and estimation. Dover [5] E. R. Pinch. Optimal control and the calculus of variations. Oxford University Press u/m optimo [6] Donald E. Kirk. Optimal control theory. An introduction Dover, t/4 s Figura 4 es posible un ahorro energético. Al contrario que otras tecnologías que redundan en la eficiencia energética, el sistema que proponemos a) no excluye a cualquier otro que se quiera aplicar; b) no implica componentes mecánicos o electrónicos nuevos, sino sólo un software adecuado y c) es válido por tanto para cualquier clase de vehículo, ligero o pesado. Nuestro modelo por otra parte no considera a los vehículos híbridos, y notoriamente entre ellos al modelo Prius de Toyota, capaces de recuperar energía cinética y transformarla en electricidad cuando se usan los frenos o la retención del motor. Finalmente, hemos obtenido un control en bucle abierto. En las condiciones actuales en muchas autovías y autopistas, la condiciones reales son próximas a las condiciones ideales: largos trayectos a velocidad constante o casi constante y casi total ausencia de aceleraciones, incluso para realizar adelantamientos, que se efectúan simplemente cambiando de carril. No obstante, un sistema a bordo debería funcionar en bucle cerrado, y esto no parece difícil, habida cuenta de que muchos vehículos montan ya sistemas de control basados en procesadores de 3 bits, e incluso sistemas multiprocesador, lo que permite recalcular el control (lo que requiere una cierta capacidad de cálculo y unos pocos segundos) en función de la posición, suministrda por el GPS, y la cartografía, obtenida del sistema de navegación. 6. BIBLIOGRAFÍA [1] L. A. Pars. A treatise on analytical dynamics. London; Heinemann, 1965 [] H. Goldstein. Classical Mechanics. Second Edition. Addison-Wesley, 1986 [3] S. Barnet y R. G. Cameron. Introduction to mathematical control theory. Clarendon Press. Oxford. 1993