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1 Leyes de Kepler 1.- Todo planeta que gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica, en la cual el Sol ocupa una de los focos. Planeta Sol 2.- El radio focal que une a un planeta con el Sol describe áreas iguales en tiempos iguales. A D A 1 A 2 Sol B C 3.- Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los radios de sus órbitas. T 2 = K R 3 El valor de la constante K = 1 año 2 = 3.01x10-19 (ua) 3 m 3 La unidad astronómica es 1.49x10 11 m 1

2 El valor de la constante K puede ser obtenida de otra forma: F c = F g m 2 = G M sol m R pero = 2πR T 2 m 2πR 4πm GM Sol m R ( T ) = RT 2 = T 2 2 = ( 4π 2 ) R 3 GM Sol K = 2.98x10-19 m 3 GRAITACIÓN UNIERSAL INTRODUCCIÓN: Al estudiar el movimiento de los planetas con base en las leyes de Kepler, Newton observó que describen órbitas elípticas alrededor del Sol y deben estar sujetos a una fuerza centrípeta pues de lo contrario sus trayectorias no serían curvas. Consideremos la siguiente situación: m M Sol Planeta Fcentrípeta R La fuerza centrípeta que mantiene a un planeta en su órbita, se debe a la atracción que el Sol ejerce sobre él. 2

3 LEY DE GRAITACIÓN UNIERSAL Al analizar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, Newton se dio cuenta de que debía existir una fuerza de atracción de la Tierra sobre la Luna, análoga a aquella con la que el Sol atare a los planetas. Según se dice, al observar una manzana desprenderse de un árbol plantea la idea de que su caída también debía ser causada por la aceleración de la Tierra. Reuniendo las ideas de que el Sol atrae a los planetas y la Tierra atrae a la Luna y a la manzana, newton llegó a la conclusión de que la atracción observada debe ser un fenómeno general (universal) y manifestarse entre dos objetos materiales. DOS CUERPOS CUALESQUIERA SE ATRAEN CON UNA FUERZA PROPORCIONAL AL PRODUCTO DE SUS MASAS, E INERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA ENTRE ELLOS. F = GM 1 M 2 Constante de gravitación universal G = 6.67x10-11 Nm 2 Tierra F F Luna Kg 2 MOIMIENTO DE LOS SATÉLITES En el siglo XIII Newton tenía la idea clara de cómo se podía colocar un satélite en órbita, pero no se disponía entonces de la fantástica tecnología para llevarlo a cabo. Consideremos la siguiente situación: m Planeta h F R T Tierra 3

4 Radio orbital r = R T + h Cálculo de la velocidad del satélite Se tiene: F G = G M m y F C = m 2 r F C = F G m 2 = G M m r r 2 = ( G M ) r Periodo de revolución del satélite El tiempo que el satélite tarda en dar una vuelta alrededor del centro de la Tierra, en su periodo de revolución. Se tiene: d = T 2πr = T T = 2πr ariación de la aceleración de gravedad Consideremos la siguiente situación: m F G = G M m P r 2 Pero F G = m g r m g = G M m r 2 g = G M M R r 2 Comentarios: Obsérvese que el valor de la masa del cuerpo no aparece en la ecuación, o sea, el valor de g depende de m Cuánto más nos alejamos del centro de la Tierra, menor es el valor de g. 4

5 GUÍA DE FÍSICA LEYES DE KEPLER Y LEY DE GRAITACIÓN UNIERSAL 1.- Recordando la primera ley de Kepler: a) Haga un dibujo que muestre la forma aproximada de la trayectoria de un planeta cualquiera alrededor del sol. Cómo se denomina esta curva? (R elipse) b) Está situado en el centro de la orbita? (R no, en el foco) 2.- La figura de este ejercicio representa la trayectoria de Mercurio alrededor del sol. Sabiendo que la velocidad de este planeta es máxima al pasar por E. Cuál de los puntos, B, C o D representa mejor la posición que el Sol ocupa? (R D) Mercurio A B C D E 3.- Suponga que la elipse mostrada en la figura de este ejercicio representa la trayectoria de Júpiter alrededor del sol. Todas las áreas sombreadas son iguales entre sí. a) Si Júpiter tarda 1 año en recorrer el arco AB Cuál será el tiempo que tarda en recorrer cada uno de los arcos, CD, EF, y GH?. (R 1 año) b) Sean 1, 2, 3 y 4 las velocidades de Júpiter en cada una de las posiciones mostradas en la figura. Coloque estas velocidades en orden decrecientes de sus valores. (R 1 > 4 = 2 > 3 ) A H 4 G 3 1 E F B C 2 D 4.- Responda las siguientes preguntas: a) Imagine que alguien le dice que se descubrió un pequeño planeta con un periodo T = 8 años y cuya distancia al sol es R = 4 ua. Si esto fuera verdad, confirmarían tales datos la tercera ley de Kepler? (R sí) b) Podría existir un planeta a una distancia R = 10 ua del sol, y con un periodo T = 10 años? porqué? (R No, K = 0.1 año 2 ) 5

6 ua Responda las siguientes preguntas: a) Obtenga una expresión para la fuerza centrípeta que actúa sobre un cuerpo de masa m, girando en una órbita circular de radio R con un periodo T, en función de m, R y T. (R F c = 4π 2 mr ) T 2 b) Empleando su respuesta a la pregunta anterior y recordando que la fuerza centrípeta que actúa en un planeta la proporciona la atracción gravitacional del sol, demuestre que para un planeta cualquiera se tiene T 2 4π 2 = GM R 3 c) La relación que se obtuvo en b, le permite concluir que T 2 tiene el mismo valor R 3 para todos los planetas, según se afirma en la tercera ley de Kepler?. (R Sí depende de la masa del sol y los otros valores son constantes) d) La expresión T 2 4π 2, es válida para el movimiento de la luna alrededor de R 3 = GM la Tierra? Y para un satélite artificial de nuestro planeta?. Explique. (R No, porque hay que colocar el valor de la masa de la Tierra) 6.- El periodo de la Tierra en torno al sol es 1 año y el de Júpiter es casi 12 años. La distancia Tierra-sol = 1 ua. Cuál es la distancia Júpiter-sol en Km? (1 ua = 1.5x10 8 Km)( R 7.86 x 10 8 Km) 7.- Calcular la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna considerando que la masa de nuestro planeta es igual a 5.98 x Kg, la masa de la Luna es igual a 7.34 x Kg y la distancia promedio entre sus centros (radio de la órbita Lunar) es igual a 3.84 x 10 8 m. A partir del resultado anterior determinar la aceleración que adquiere la Luna. (R 1.98x N, m ) 8.- Calcular la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y una persona de 100 Kg que se encuentra sobre su superficie. (R N) 9.- La fuerza de atracción del sol sobre la Tierra vale, aproximadamente 4x10 22 N. Diga cual es el valor de esta fuerza suponiendo que: a) La masa de la Tierra fuera 3 veces mayor. (R 12x10 22 N) b) La masa del sol fuese dos veces menor. (x10 22 N) c) La distancia entre la Tierra y el sol fuese 2 veces mayor. (R 1x10 22 N) 6

7 10.- Imagine que la masa del Sol se volviese repentinamente 4 veces más grande. Para que la fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra no sufriese alteraciones, la distancia entre la tierra y el Sol tendrá que volverse: (R c) a) 4 veces mayor d) 2 veces mayor b) 4 veces menor e) 8 veces mayor c) 2 veces mayor 11.- Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 Km de la superficie terrestre si la masa de la Tierra es 5.98x10 24 Kg y su radio es 6370 Km. ( R 8.14 m ) 12.- Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 Km de la superficie terrestre si la masa de la Tierra es 5.98x10 24 Kg. (R 3.98 m ) 13.- Los astronautas que descendieron en al superficie lunar comprobaron experimentalmente que la aceleración de gravedad en nuestro satélite, vale casi 1.6m. Usando la expresión g = GM, calcule el valor de g en la Luna y compruebe si su respuesta concuerda con el resultado que obtuvieron los astronautas. Considere: m Luna = 7.4x10 22 Kg, R Luna = 1.7x10 6 m. (R 1.7m ) 14.- La expresión g = GM indica que la aceleración de la gravedad terrestre en un punto dado es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de tal punto al centro de la Tierra. Complete con la anterior información la tabla de este ejercicio, determinando los valores de g para cada una de las alturas h que se indican (R representa el radio de la Tierra ) (R, 5R, 10R, 2.5, 0.4, 0.1) h r = R + h g m ( ) 0 R 10 R * * 4R * * 9R * * 15.- La fuerza de atracción de la tierra sobre un satélite en órbita circular, proporciona la fuerza centrípeta que debe actuar sobre el satélite. Entonces la atracción de la Tierra. a) Hace variar la dirección de la velocidad del satélite? (R Sí, porque se mueve con M.R.U.) b) Hace cambiar la magnitud de la velocidad? (No, porque la magnitud es constante) 7

8 16.- A qué distancia de la superficie terrestre gira un satélite con órbita circular si su masa es de 1000 Kg y el campo actúa sobre él con una fuerza de 8000 N? (R Km) 17.- Un satélite se mueve en una órbita circular a 280 Km de la tierra, Cuál es su periodo de revolución? Con qué velocidad gira? (R 89.4 min, m ) s 18.- Considere dos satélites A y B, cuyas masas son tales que m A > m B. Estos satélites están en una misma órbita circular alrededor de la Tierra. a) La velocidad de A, es mayor, menor o igual que B? (R A = B M.C.U) b) El periodo de A, es mayor, menor o igual que B? (R es igual) (figura en página Nº8) 19.- Observe el satélite C, que también se muestra en al figura. a) La velocidad de C, es mayor, menor o igual que B? (R B > C) b) El periodo de C, es mayor, menor o igual que B? (R T C > T B) A C Tierra B 20.- Calcular la fuerza gravitatoria resultante sobre la Luna durante un eclipse total de sol, desprecie las fuerzas gravitacionales producidas por estos planetas. (M S = 1.98x10 30 Kg, M T = 5.98x10 24 Kg, M L = 7.31x10 22 Kg, = 3.84x10 8 m, R 1 = 1.48x10 11 Kg) (.44x10 20 N hacia el Sol) 21.- Calcular la aceleración de gravedad terrestre, en el polo norte y el ecuador considerando que el radio ecuatorial terrestre es igual a 6.38x10 6 m y su radio polar 6.36x10 6 m. (R g Polo > g Ecuador ) 22.- Determinar el valor de la aceleración de gravedad en la superficie del planeta Marte y compararlo con el valor de nuestro planeta. (m M = 6.4x10 23 Kg, R M = 3.32x10 6 m) (.53) 8

9 23.- Calcular la aceleración de gravedad en al superficie lunar si al masa de la Luna es 1 de la masa de la Tierra y su radio es 1738 Km. (R 1.62 m 81 ) 24.- A cierta altura sobre la Tierra se encuentra un satélite de 500 Kg sobre el cual el campo gravitatorio terrestre actúa con una fuerza de 4000 N. Cuál es la intensidad del campo gravitatorio? (R 8 m ) 9

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