1. HABILIDAD MATEMÁTICA

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1 HABILIDAD MATEMÁTICA SUCESIONES, SERIES Y PATRONES. HABILIDAD MATEMÁTICA Una serie es un conjunto de números, literales o dibujos ordenados de tal manera que cualquiera de ellos puede ser definido por su antecesor o por el que le sigue, mediante una regla. A los elementos de una serie se les llaman términos. A continuación se presentan algunos ejemplos de series:, 5, 0, 5, 0, En esta serie se puede establecer que al aumentar o disminuir 5 enteros se puede definir el término que sigue al 0 o el que antecede al 5. Con esto se puede escribir la serie completa de la siguiente manera: 0, 5, 0, 5, 0, 5 En las series es muy importante definir la regla mediante la cual se pueden encontrar sus elementos. Así, en el ejemplo anterior se puede establecer la siguiente fórmula: Si a es el primer término con que se inicia la serie, n es el número de términos, d la cantidad que se suma, resta o que modifica a la serie y A el término que se busca. Se puede establecer que: [a + (n ) d ] = A Con esta relación se puede definir cualquier término de la serie. Por ejemplo, si se desea calcular el término 7. a = 5, n = 7, d = 5, A =? Sustituyendo se tendrá: [5 + (7 ) 5 ] = 5

2 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS Con el resultado anterior se puede asegurar que el término 7 de la serie es 5. Otro ejemplo de una serie de números es el siguiente:,, 6,,,,,,,... En esta serie de números, se puede observar que al primer término () se le sumó, con lo que se obtuvo el segundo término (); a este segundo término se le sumó, con lo que se obtuvo el tercer término (6). Con esta reflexión se puede determinar una regla en la que si n es el lugar que ocupa el término que se busca, m el número anterior y p el término de la serie que se desconoce. Entonces se puede establecer que: ( n ) p m + = Observe que con esta relación se puede obtener el término que ocupa el sexto lugar (el primero que falta) en la serie, haciendo lo siguiente: Como m = y n = 6, se tiene que: El primer número faltante es el 8. ( 6 ) 8 + = Para obtener el octavo término de la serie se puede hacer lo siguiente: Dado que se conoce el noveno término de la serie (p), se puede despejar la m, elemento que representa el término buscado. Despejando m de la relación obtenida se tiene: m = p (n )

3 HABILIDAD MATEMÁTICA Sustituyendo: El octavo término de la serie es el. m = (- ) = También existen series de figuras en las cuales se puede definir mediante análisis cuál es la que falta, la que sigue o la que va antes. Observe el siguiente ejemplo: Analizando estas tres figuras que representan una serie, se observa que en la primera hay círculos, en la segunda se elimina un círculo del extremo inferior derecho y en la tercera se elimina el círculo del extremo superior izquierdo. Al analizar las respuestas propuestas la única que puede continuar la serie es la marcada con R. Ninguna de las otras tres puede ser correcta, debido a que los círculos que tienen la R y la R ya habían sido eliminados y en la R no existe en la serie ese círculo. R R R R

4 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS EJERCICIOS Señale en las siguientes series el término que falta... [77, 7, 7,, 65] R. 66 R. 68 R. 70 R. 6.. [,, 6,, ] R. 6 R. R. 0 R... [,,,,,, ] R. R. 0 R... [, 5,, 0,, 5, ] R. R. 0 R. R [7,, 8, 56,, ] R. R. 57 R. 60 R [,5,7,8,,,, ] R. 5 R. 7 R. R. R. 5

5 HABILIDAD MATEMÁTICA.7. [, 5, 7,,, 7, ] R. R. 8 R. R [,,,, 7, 7] R. 5 R. 6 R. R. 7.. [, 8, 6,,, 8] R. 6 R. 68 R. R [,,, ] 8 8 R. 6 R. R. R... [ 07, 5, 5,, ] R. R. R. R. 7.. [6., 7.,.5,.8, ] R..5 R. 8. R. 7. R.. 5

6 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS.. [,, 7, 8, ] R. R. 8 R. R. 5.. [8,7.5,6.,6., ] R. 6 R. 5. R. 6. R [5, 50, 70, 5, ] R. 5 R. 5 R. 0 R [, 5,, 5,, ] R. 5 R. R. 8 R..7. [,,,,,, ] R. 5 R. R. R [.5,,.5,,.5,, ] R. R..5 R..5 R. 0.. [5,5,0,0,65, ] R. 5 R. 5 R. 70 R [,,8,60,,5, ] R. 5 R. 76 R. 50 R

7 HABILIDAD MATEMÁTICA.. [7,,,7,,] R. 0 R. 8 R. R... [,7,0,,,0,7, ] R. R. R. 5 R... Qué dibujo completa la serie de las siguientes figuras? 0 5 R R.. Cuál es el número que falta en la base del triángulo? R. 8 R. 7 R. 5 R..5. Qué reloj completa la serie? R R R R R R 7

8 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS.6. Qué figura completa la serie?.8. Qué valor tienen a y b en la siguiente figura? b R R - R. a =, b = - a R. a = -, b = - R R.7. Qué figura completa la serie? R. a = -, b = R. a =, b =.. Qué número va en el espacio en blanco? R R 8 R R R. 8 R. 0 R. 0 R.

9 HABILIDAD MATEMÁTICA.0. Qué fórmula permite conocer el número de triángulos, en cada nivel de la figura? R. (n x ) = i R. (n + ) + = i R. (n - ) = i R. (n ) = i i = Nº de triángulos en el nivel Niveles 5 n Recuerde que en una serie, cualquiera de sus términos puede ser definido por su antecesor o por el que le sigue y que siempre se puede establecer una fórmula o regla para calcular sus términos.

10 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS PROBLEMAS ARITMÉTICOS Son problemas en los que en el enunciado se proporcionan todos los datos necesarios, para que por medio de reflexión, lógica y la realización de algunas operaciones aritméticas, se obtenga su solución. Ejemplo resuelto Francisco adquiere cajas con refrescos cada una, para una fiesta. Como son muchos refrescos, el tendero le hace un descuento del %. Si Francisco pagó 5 pesos: a) Cuánto le hicieron de descuento? b) Cuál es la diferencia del costo de un refresco con y sin descuento? En este problema se tienen todos los datos para resolverlo, sólo se debe seguir una secuencia lógica y aplicar algunas operaciones aritméticas para obtener sus resultados. Es importante tener en consideración que la mayoría de los problemas se pueden resolver de muchas maneras. Todas son buenas siempre y cuando se obtenga la solución adecuada. Observe usted como se resolvió este problema. Francisco sabe que los 5 pesos que pagó con descuento representan un porcentaje de lo que debería pagar sin descuento (00%), menos lo que le descontaron (%). Haciendo la operación se tiene que: 00% - % = 88% Con lo anterior puede plantear por razones y proporciones lo siguiente: si 5 pesos equivalen el 88%, a cuánto equivaldrá el 00%? 5 pesos 88%? pesos 00% 0

11 HABILIDAD MATEMÁTICA Al resolver esta relación se obtiene el monto de los refrescos sin descuento. A esta cantidad se le debe restar lo que pagó Francisco, para conocer cuánto se obtuvo de descuento. Solución de la relación: 00% x 5 pesos? pesos = = 78.0 pesos 88% Con lo anterior se sabe que sin descuento Francisco debería haber pagado 78.0 pesos. El descuento se obtendrá al restar a esta cantidad lo que pagó pesos 58 pesos = 7.0 pesos El descuento obtenido fue de 7.0 pesos. Para conocer la diferencia que existe entre el costo de un refresco sin descuento y con descuento, es necesario conocer el valor de los refrescos con y sin descuento. Esto se obtiene al dividir lo que se pagó por los refrescos con y sin descuento, entre el número de refrescos. Primero, se obtiene el número de refrescos adquiridos, lo que se logra al multiplicar el número de cajas por los refrescos que tiene cada una. refrescos cajas x caja = 88 refrescos Costo de los refrescos con descuento: 5 88 = 5.8 pesos Como no se manejan unidades de centavo en nuestra moneda, se puede decir que cada refresco con descuento cuesta $5.0.

12 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS Costo de los refrescos sin descuento: = 6.00 Cada refresco sin descuento habría costado $6.00. La diferencia entre ambos precios es: = 0.70 pesos EJERCICIOS.. Tres docenas de rosas cuestan 78 pesos. Cuánto costarán cinco docenas? R. 85 pesos R. 0 pesos R. 0 pesos R. 8 pesos.. Anastasio compró un terreno de 50 m en pesos. Si al año lo vendió cobrando 650 pesos por cada metro cuadrado, cuánto ganó o perdió en la venta? R. perdió pesos R. ganó pesos R. ganó 500 pesos R. perdió 500 pesos

13 HABILIDAD MATEMÁTICA.. Si Rosa sólo tiene 5 pesos y el kilo de carne cuesta $50.00, cuánto le deben surtir por esa cantidad? R. 775 g R. 750 g R. 650 g R. 700 g.. María recibió cajas de guayabas. Si una caja llena pesa 5 kilos y una vacía pesa de kilo, cuántos kilos de guayabas podrá vender María? R kg R. 7.5 kg R kg R kg.5. Porfirio gana 50 pesos a la semana; si gasta por lo regular $ cada semana, en cuánto tiempo ahorrará 600 pesos? R. semanas R. 0 semanas R..7 meses R. semanas.6. Cuál será la superficie de un cubo de cm de lado? R. 76 cm R. 6 cm R. 76 cm R. 856 cm.7. Un corredor recorre km en de hora. Cuánto recorrerá en 5 minutos? R. 5 km R. km R. km R. 8 km

14 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS.8. Para pintar 8 m de pared, una persona tardó horas. Cuánto tardarán tres personas en pintar 5 m? R. 5.5 horas R. 6.5 horas R. 5.5 horas R. 7 horas.. Armando gana 80 pesos al mes; si el primer mes ahorra 5 partes de su sueldo, el segundo ahorra 8, el tercero la mitad y el cuarto pesos, cuánto pudo ahorrar Armando en total? R pesos R. 5 pesos R. 5 pesos R. 07 pesos.0. Cuántos limones podrá comprar con 8 pesos, si en el mercado los dan a por.50? R. 5 limones R. 6 limones R. limones R. 6 limones.. Mary ahorró pesos, con lo que pagó: $ de su renta, $0.00 de dos vestidos y $ de su tanda. Qué parte le queda de sus ahorros? R. 5 partes R. 5 partes R. parte R. partes

15 HABILIDAD MATEMÁTICA PROBLEMAS DE RAZONAMIENTO A. El juego de los enteros En ellos se debe aplicar la reflexión, la lógica y diversos conocimientos para saber cómo encontrar la solución. En algunas ocasiones el análisis del problema nos muestra que éste puede tener muchas soluciones, una o ninguna. Se puede partir de casos simples, por ejemplo: encontrar cuatro números enteros consecutivos que sumen 5. Este problema se puede plantear con una sola incógnita: el número menor de los cuatro que sabemos que son consecutivos. Si llamamos a este número n tendremos: n + ( n + ) + ( n + ) + ( n + ) = 5 eliminando los paréntesis y ejecutando las operaciones se tiene: n + n + + n + + n + = n + 6 = 5 5 y, de aquí, n = 5 6 = 55, que no es divisible entre. Es decir, no existen números enteros consecutivos cuya suma sea 5. Pero así hemos encontrado una regla general para cuatro enteros consecutivos, cuya suma sea un entero dado. Ésta se podría escribir así: A 6 n =, donde cualquier número entero A puede ser la suma de enteros consecutivos si al restarle 6 unidades es divisible exactamente entre. Por ejemplo, el número 8, al restarle 6 quedan, que al dividirlo entre nos da. Así que: = 8. 5

16 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS Otro ejemplo: si el número A fuera 006, al restarle 6, nos daría 000, que al dividir entre resulta 50, y por tanto: = 006 Este problema también habría podido ser resuelto tomando como n a cualquiera de los cuatro números consecutivos. Tomemos el segundo, la ecuación se escribiría así: A ( n ) + n + ( n + ) + ( n + ) = A ; y entonces, n = donde n es ahora el segundo número de los cuatro consecutivos. Si A = 8, n = y = 8, tal como antes resultó. Si tomáramos como dígito al número más grande de los cuatro, n, tendríamos: A + 6 ( n ) + ( n ) + ( n ) + n = A ; y; n =. En otras palabras, para que un entero sea igual a la suma de cuatro números consecutivos, al restarle o sumarle 6 unidades, el resultado debe ser divisible entre. Si no, el problema no tiene solución. Por extensión, podemos pensar en números enteros que sean igual a la suma de 5 o más números consecutivos y obtendríamos reglas semejantes. Para 5 consecutivos el resultado debe ser divisible entre 5. Veamos: n + ( n + ) + ( n + ) + ( n + ) + ( n + ) = A. En este caso n es el número A 0 menor de los 5 consecutivos y resulta: n =. 5 Este problema puede generalizarse aún más. Con estos ejemplos nos hemos percatado que para que un número entero, o natural se pueda descomponer en la suma de x números enteros consecutivos, tienen que darse varias condiciones. La más importante es que al restar la suma del número de dígitos menos uno, al número del cual queremos partir, su resultado debe ser divisible entre el número de enteros de los que queremos obtener la suma. 6

17 HABILIDAD MATEMÁTICA Así, en los ejemplos anteriores, para descomponer un número en la suma de enteros, y obtener el primer dígito, n, se debe restar 6, que es lo que da la suma de + +. Para 5 enteros, = 0. Para, habría que restar, que es lo que da la suma de +. Así, por ejemplo, 6 = + +, porque 6 = es divisible entre. La fórmula general podría escribirse así: A = n t ( n ) ( n )... ( n i ) Donde A es el número que queremos descomponer, n es el primer entero de la serie de sumandos e i es el número de términos y también el número de enteros sucesivos que queremos sumar para obtener A; t es el número de términos menos. La fórmula para 5 enteros consecutivos nos dice también que cualquier número terminado en 5 o en 0, puede ser descompuesto como la suma de 5 números consecutivos, porque le restamos 0 unidades que también es divisible entre 5. Así, si el número es 0, el primer número sería 0 0 n = = y los 5 enteros cuya suma es 0 serían: (-) Con esto se muestra que la fórmula general es aplicable a todos los números naturales, tanto positivos como negativos. B. Dos maneras de hacerlo km Si un automóvil corre a una velocidad de 70 hora, cuánto tiempo tardará en recorrer 5 km? 7

18 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS Una forma para encontrar la solución es recordar que la velocidad media d está dada por v =, en donde d es la distancia recorrida y t el tiempo t utilizado. Con ello si se conoce la velocidad (v) y la distancia que va a recorrer (d), se puede despejar el tiempo buscado. t = d v Sustituyendo la velocidad a la que se mueve el automóvil y la distancia que va a recorrer, se tiene: 5 =.5 70 Esto indica que se utilizarán.5 horas para recorrer 5 km a la velocidad que se mueve el automóvil. También se podría haber razonado de la siguiente manera: Si considera que el automóvil recorre 70 km en una hora, se puede establecer una relación que nos indique cuánto tiempo usará el automóvil para recorrer 5 km. Esta relación es: De donde se puede despejar? h: 70 h 5? h 5 km h =.5 h 70km Obteniéndose la misma solución que con el procedimiento anterior. 8

19 HABILIDAD MATEMÁTICA C. No nos importan las edades Porfirio es el hermano mayor de la familia, éste le lleva 6 años a Luis y Ramiro es años menor que Porfirio. Cuántos años hay de diferencia entre Luis y Ramiro? Este problema se puede resolver de varias maneras. Debido a que no se piden las edades sino la diferencia en años entre Luis y Ramiro, una forma fácil para encontrar la respuesta es la de imaginar la edad de Porfirio y a partir de ello calcular las edades de los otros dos hermanos. Suponga que Porfirio tiene 6 años y como éste le lleva 6 años a Luis, entonces Luis tendría 0 años (también imaginarios) y si Ramiro es años menor que Porfirio, Ramiro tendrá años. En esta suposición de edades se ve que la diferencia entre Luis y Ramiro es de años. Como la diferencia de edades obtenidas sería la misma con cualquier edad que tuvieran los tres hermanos, la respuesta es la adecuada. Lo anterior se comprueba al plantear las siguientes ecuaciones: L = P () R = P () Si se resta la ec. () de la ec. () se tendrá la diferencia entre las edades de Luis y Ramiro. R L = Como se puede observar, no importa cuáles son las edades sino cuál es la diferencia.

20 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS EJERCICIOS.. Una cisterna para agua se descarga a 0 litros por minuto. Cuántos litros caben en la cisterna si ésta tarda en vaciarse 0 minutos? R litros R litros R. 5.8 m R. 5.6 m.. Si una llanta de bicicleta tiene de radio 5 cm, cuánto se recorrerá con la bicicleta si sus llantas dan 5 vueltas? * Tome π como. R. 5 m R. 8. m R. 8. m.. Cuál es la longitud de uno de los lados de un cubo que tiene de volumen 78 cm? R. cm R. cm R. 0.5 m R. 0. m.5. Cuántos años han pasado desde que murió Alejandro el Magno en el año a. de n. e. *, hasta el año 000 de n. e. **? *antes de nuestra era. **de nuestra era. R. 677 años R. 677 años R. años R. 867 años R cm 0

21 HABILIDAD MATEMÁTICA.6. La suma de las edades de los dos hijos de Rosa da años y su producto menos es 80. Cuál es la edad de los hijos de Rosa? R. y 8 años R. y 0 años R. 7 y años R. y 6 años.7. Si una docena de cuadernos cuestan 56 pesos y se pueden vender 5 en 0 pesos, cuántos cuadernos se deben vender para ganar 68 pesos? R. 56 cuadernos R. 6 cuadernos R. 6 cuadernos R. 68 cuadernos.8. Un automóvil recorre en 5 horas partes de su recorrido. Cuánto tardará en recorrer 5 de su recorrido? R. 6 horas R. 6.7 horas R. 5 horas 5 R horas.. Cuántas veces cabe el número en el 5% de 0? R. 0 veces R. 5 veces R. 7 veces R. 5 veces

22 PROPEDÉUTICO DE MATEMÁTICAS.50. Si el volumen de un cono es de 56.0 cm y el radio de su base es de cm, cuál será su altura? R. 8 cm R. 8. cm R. 5 cm R..6 cm.5. Rosa, para despachar rápido en su tienda, tiene bolsas de azúcar de,, y kilos. Si una.5. Lourdes es un año menor que Paty, ésta es un año menor que Antonia, quien a su vez es un año menor que Gaby. Si la suma de sus edades es 6 años, cuántos años tiene Paty? R. 7 R. 5 R. 6 R. 8 clienta le pide 7 kg, con cuántas bolsas le puede despachar? R. 5 de kg, de y de R. de kg, de y de R. de kg, de y de R. 5 de kg, de y de Al analizar un problema se puede encontrar que este tendrá varias formas de resolverse o que no tiene solución.

23 ARITMÉTICA. ARITMÉTICA ALGUNOS NÚMEROS Los números naturales son aquellos con los que contamos o podemos expresar cualquier cantidad, sin importar qué tan grande sea. Estos son 0,,,,, 5, 6,... n. Algunas de sus características son las siguientes: Su primer número es el cero. Un número natural siempre tendrá uno que le siga, por lo que nunca terminan. Entre dos números naturales no puede haber otro número natural. Cualquier cantidad puede ser expresada por números naturales; por ejemplo, el número 5 07 es un número natural y está integrado por los dígitos,,, 5, 0, y 7; su sucesor es el 5 08 y su antecesor es el Con lo anterior no sólo se expresaron tres cantidades, sino que también se puede saber cuál es mayor o menor debido a su relación de orden. Cada dígito en estos números tiene dos valores: el absoluto y el relativo. El primero corresponde a su valor como número natural, por ejemplo el tres en el 5 06 representa tres unidades. El valor relativo del número tres en la misma cantidad es el que adquiere por su posición en la cifra. En este caso es de 00 mil, porque se encuentra en el lugar de las centenas de millar. Para expresar cantidades existen varios sistemas de numeración como el romano, el binario, el sexagesimal, el decimal. El romano se utiliza en algunas publicaciones o fechas; el binario es el que usan las computadoras y está integrado por ceros y unos; el sexagesimal es el que se usa para contar los segundos, que después de 60 se vuelven minutos y éstos a su vez después de 60 se vuelven horas. El sistema decimal es el que utilizamos

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