2. CINEMATICA EL MOVIMIENTO Y SU DESCRIPCIÓN

Transcripción

1 19. CINEMATICA La descipción matemática del movimiento constituye el objeto de una pate de la física denominada cinemática. Tal descipción se apoya en la definición de una seie de magnitudes que son caacteísticas de cada movimiento o de cada tipo de movimientos. Los movimientos más sencillos son los ectilíneos y dento de éstos los unifomes. Los movimientos ciculaes son los más simples de los de tayectoia cuva. Unos y otos han sido estudiados desde la antigüedad ayudando al hombe a fojase una imagen o epesentación del mundo físico. GALILEO GALILEI ( ) La obsevación y el estudio de los movimientos ha ataído la atención del hombe desde tiempos emotos. Así, es pecisamente en la antigua Gecia en donde tiene su oigen la sentencia «Ignoa el movimiento es ignoa la natualeza», que efleja la impotancia capital que se le otogaba al tema. Siguiendo esta tadición, científicos y filósofos medievales obsevaon los movimientos de los cuepos y especulaon sobe sus caacteísticas. Los popios atilleos manejaon de una foma páctica el tio de poyectiles de modo que supieon inclina convenientemente el cañón paa consegui el máximo alcance de la bala. Sin embago, el estudio popiamente científico del movimiento se inicia con Galileo Galilei. A él se debe una buena pate de los conceptos que apaecen ecogidos en este capítulo. EL MOIMIENTO SU DESCRIPCIÓN Se dice que un cuepo se mueve cuando cambia su posición especto de la de otos supuestos fijos, o que se toman como efeencia. El movimiento es, po tanto, cambio de posición con el tiempo. El caácte elativo del movimiento De acuedo con la anteio definición, paa estudia un movimiento es peciso fija peviamente la posición del obsevado que contempla dicho movimiento. En física habla de un obsevado equivale a situalo fijo con especto al objeto o conjunto de objetos que definen el sistema de efeencia. Es posible que un mismo cuepo esté en eposo paa un obsevado -o visto desde un sistema de efeencia deteminado- y en movimiento paa oto. Así, un pasajeo sentado en el inteio de un avión que despega estaá en eposo especto del popio avión y en movimiento especto de la pista de ateizaje. Una bola que ueda po el suelo de un vagón de un ten en macha, descibiá movimientos de caacteísticas difeentes según sea obsevado desde el andén o desde uno de los asientos de su inteio. El estado de eposo o de movimiento de un cuepo no es, po tanto, absoluto o independiente de la situación del obsevado, sino elativo, es deci, depende del sistema de efeencia desde el que se obseve. El concepto de cinemática Es posible estudia el movimiento de dos maneas: a) descibiéndolo, a pati de cietas magnitudes físicas, a sabe: posición, velocidad y aceleación (cinemática); b) analizando las causas que oiginan dicho movimiento (dinámica).

2 En el pime caso se estudia cómo se mueve un cuepo, mientas que en el segundo se considea el poqué se mueve. Po lo tanto, la cinemática es la pate de la física que estudia cómo se mueven los cuepos sin petende explica las causas que oiginan dichos movimientos. Definiciones en el maco de la cinemática. a. ecto de posición: Es un vecto, en geneal tidimensional, el cual define la posición de una patícula o cuepo. En coodenadas catesianas ectangulaes, sus componentes, y Z pueden se estudiadas po sepaado. Genealmente se designa po el vecto que va desde el oigen del sistema de coodenadas hasta el luga donde se encuenta la patícula. Z Z Tayectoia Teniendo en cuenta la definición anteio, se dice que una patícula se mueve especto a un sistema de coodenadas, cuando su vecto de posición cambia a medida que tanscue el tiempo. En el sistema intenacional (SI), el vecto de posición se expesa en [m]. b. Tayectoia: Paa simplifica el estudio del movimiento, epesentaemos a los cuepos móviles po puntos geométicos, olvidándonos, po el momento, de su foma y tamaño. Se llama tayectoia a la línea que descibe el punto que epesenta al cuepo en movimiento, confome va ocupando posiciones sucesivas a lo lago del tiempo. La estela que deja en el cielo un avión a eacción o los aíles de una línea de feocail son epesentaciones apoximadas de esa línea imaginaia que se denomina tayectoia. Según sea la foma de su tayectoia los movimientos se clasifican en ectilíneos y cuvilíneos. Un coche que ecoa una calle ecta descibe un movimiento ectilíneo, mientas que cuando tome una cuva o dé una vuelta a una plaza cicula, descibiá un movimiento cuvilíneo. c. ecto desplazamiento: Si una patícula se mueve desde un punto a oto, el vecto desplazamiento o desplazamiento de la patícula, epesentado po, se define como el vecto que va desde la posición inicial a la final, es deci:

3 1 Z = 1 1 Note que en geneal el desplazamiento no coincide con la tayectoia que sigue la patícula. En que caso(s) coincide?. En el sistema Intenacional, el desplazamiento se expesa en [m]. LA ELOCIDAD La descipción de un movimiento supone el conoce algo más que su tayectoia. Una caacteística que añade una infomación impotante sobe el movimiento es la velocidad. d. elocidad media: Suponga que en cieto instante t 1, una patícula se encuenta en su posición definida po el vecto de posición 1 y luego en el instante t, con su posición definida po. El intevalo de tiempo que ha tanscuido es t = t t 1 y el desplazamiento que ha efectuado la patícula es = 1. Se denomina velocidad media po < > y queda definida po: < > =. t En el sistema Intenacional, la velocidad se expesa en m. Sin embago, esulta muy fecuente s en la vida diaia la utilización de una unidad páctica de velocidad, el kilómeto/hoa [km/h], que no coesponde al SI. La elación ente ambas es la que sigue: o invesamente km 1km 1m 1 = = = h 1h 36s m km = 3,6 s h 1. Po oto lado, es habitual escucha, de vez en cuando, que la velocidad media caacteística de ciculación en automóvil es, po ejemplo, de 5 [km/h]. Ello no significa que los automóviles se desplacen po las calles siempe a esa velocidad. Tomando como efeencia un tayecto de 1 [km], el auto puede alcanza los 6 o incluso los 7 [km/h], peo en el tayecto completo ha de fena y paa a causa de las etenciones, de modo que paa cubi los 1 [km] del ecoido 1 3,6 m s

4 establecido emplea media hoa. La velocidad del coche ha cambiado con el tiempo, peo, en pomedio, y a efectos de apidez el movimiento equivale a oto que se hubiea efectuado a una velocidad constante de [km/h]. e. elocidad instantánea: En geneal, la velocidad con la que se mueve un coche, un avión o una motocicleta, po ejemplo, vaía de un instante a oto. Ello queda eflejado en el movimiento de la aguja de sus espectivos velocímetos. El valo que toma la velocidad en un instante dado ecibe el nombe de velocidad instantánea. Aun cuando la noción de instante, al igual que la noción de punto, constituye una abstacción, es posible apoximase bastante a ella consideándola como un intevalo de tiempo muy pequeño. Así, la lectua del velocímeto se poduce en centésimas de segundos y ese tiempo puede se tomado en el movimiento de un coche como un instante, ya que duante él la velocidad pácticamente no cambia de magnitud. Si se analiza el movimiento de la patícula en el intevalo de tiempo t y se divide ese intevalo en sub-intevalos, po ejemplo, las velocidades medias en esos sub-intevalos no tiene necesaiamente que coincidi con la velocidad media del intevalo completo. Esto significa que si bien la velocidad media es epesentativa del movimiento de la patícula en el intevalo de tiempo consideado como un todo, no da cuenta del movimiento de la patícula instante a instante. Si el intevalo de tiempo consideado es elativamente gande, usa la velocidad media paa descibi el movimiento de la patícula instante a instante nos puede lleva a comete eoes gandes. Sin embago si los intevalos de tiempo son elativamente pequeños, la velocidad media descibe de mejo foma el movimiento de la patícula en cada instante duante ese pequeño intevalo. Po lo tanto, se define la velocidad instantánea de la patícula como la velocidad media de la patícula en un tiempo muy pequeño, denominado infinitesimal, o sea en el límite cuando t tiende a ceo. = lim < > = lim t t. t En lenguaje difeencial: d =. dt Obsevaciones: i. Note que a medida que el intevalo de tiempo t se hace cada vez mas pequeño, el vecto se apoxima a la tayectoia, que en el caso infinitesimal, el vecto velocidad instantánea queda tangente a la tayectoia ii. La palaba apidez, en física, se usa paa epesenta la magnitud del vecto velocidad!. f. Aceleación media: Considee que en los instantes t 1 y t, las velocidades instantáneas de la patícula son 1 y. Es deci, en el intevalo de tiempo t, la patícula sufe una vaiación de =.Po lo tanto, la aceleación media o vaiación tempoal media de la velocidad 1 velocidad es dada po

5 3 a = t. En el sistema Intenacional la aceleación se expesa en m s s,es deci, m s.po oto lado, una de las caacteísticas que definen la potencia de un automóvil es su capacidad paa gana velocidad. Po tal motivo, los fabicantes suelen infoma de ello al compado, indicando qué tiempo (en segundos) tada el modelo en cuestión en alcanza los 1 [km/h] patiendo del eposo. Ese tiempo, que no es popiamente una aceleación, está diectamente elacionado con ella, puesto que cuanto mayo sea la apidez con la que el coche gana velocidad, meno seá el tiempo que emplea en pasa de a 1 [km/h]. Un modelo que emplee 5,4 [s] en consegui los 1 [km/h] habá desaollado una aceleación que puede calculase del siguiente modo: 1km h 5,4s 1 1 m 3,6 s = 5,4s m = 5,1. s Lo que significa que ha aumentado su velocidad en 5,1 [m/s] en cada segundo. g. Aceleación instantánea: A pati del mismo citeio usado paa defini el concepto de velocidad instantánea, se define la aceleación instantánea como: a = lim a t = lim t t. TIPOS DE MOIMIENTOS a. Movimiento ectilíneo unifome (M.R.U.): El movimiento ectilíneo (po ejemplo en la diección del eje ) y unifome fue definido, po pimea vez, po Galileo en los siguientes téminos: «Po movimiento igual o unifome entiendo aquél en el que los espacios ecoidos po un móvil en tiempos iguales, tómense como se tomen, esultan iguales ente sí», o dicho de oto modo, es un movimiento de velocidad constante. Puesto que la patícula ecoe distancias iguales en tiempos iguales; =< > = = CONSTANTE. t Como t = t t1 y = 1 ;

6 4 = t t 1 1, es deci Po comodidad, edefiniendo las vaiables: donde ( t ) = 1 + t1 =., t = t epesenta la posición inicial de la patícula paa = 1 = y escogiendo, t : t, 1 = + t =. (.1) La ecuación (.1) nos dice que la posición aumenta linealmente con el tiempo. Cabe considea que tanto la posición inicial, la posición final y la velocidad pueden tene sentidos ± î. Gáficos: Paa el caso paticula de un móvil moviéndose con apidez en el sentido positivo del eje, tal que en t = pasa po la posición = hacia la deecha del eje: Posición: = + t Rapidez: = + constante Aceleación: a = a t t t t Note que en el gáfico de apidez v/s tiempo al áea bajo la ecta da la cantidad t =, es deci, la distancia o desplazamiento ecoido po el móvil. Po oto lado, la pendiente en el gáfico posición v/s tiempo es m= t = t, es deci: =.

7 5 Si el móvil en t= hubiea pasado po = i gáficos asociados seían: ˆ, moviéndose en el sentido î, los Posición: = t Rapidez: = constante Aceleación: a = a t t t t elocidad elativa: Suponga que tenemos dos sistemas de efeencia; uno es el sistema A (el cual podía se la tiea) y oto B en movimiento elativo especto a A (el cual podía se un avión). La patícula P se mueve de acuedo a su tayectoia y esta es obsevada desde los sistemas A y B. Los vectoes posición elativos quedan definidos de la siguiente manea. (Patícula P) B P / B B / A P / A A B / A P / A P / B = ecto de posición de B elativo a A, = ecto de posición de la patícula elativo a A, = ecto posición de la patícula P elativo a B. Note que del diagama de vectoes se cumple: = +, es deci: la posición de la P / A P / B B / A patícula especto a tiea es igual a la suma vectoial de los vectoes de posición de la patícula

8 6 especto al sistema en movimiento y elativo de los sistemas A y B. De esta manea si tales vectoes cambian en el tiempo, encontamos paa las velocidades: - Ejemplo: = + P / A P / B B / A Un hombe que guía a tavés de una tomenta a 8 [km/h] obseva que las gotas de lluvia dejan tazas en las ventanas lateales haciendo un ángulo de 8 con la vetical. Cuándo él detiene su auto, obseva que la lluvia está cayendo ealmente en foma vetical. Calcula la velocidad elativa de la lluvia con especto al auto: - cuando está detenido, - cuándo se desplaza a 8 [km/h]., Solución: El diagama de vectoes velocidad queda epesentado en la figua. Aplicando la expesión anteio, en la cual la patícula P es la lluvia, el sistema A la tiea y el sistema B, el automóvil, encontamos que = +.. lluvia / tiea lluvia / auto auto / tiea lluvia / auto 8 lluvia / tiea auto / tiea note que, 8 km lluvia / tiea = 1 o tg = 14, ( 8 ) h y 8 km lluvia / auto = o sen = 81, ( 8 ) h. b. Movimiento ectilíneo unifomemente aceleado (M.R.U.A.): Este es un tipo de movimiento En una diección (po ejemplo eje ) y con aceleación constante. Un cuepo que se mueva con aceleación constante iá ganando velocidad con el tiempo de un modo unifome, es deci, al mismo itmo. Eso significa que lo que aumenta su velocidad en un intevalo dado de tiempo es igual a lo que aumenta en oto intevalo posteio, siempe y cuando las amplitudes o duaciones de ambos intevalos sean iguales. En otos téminos, el móvil gana velocidad en cantidades iguales si los tiempos son iguales y la velocidad esulta, en tales casos, diectamente popocional al tiempo. El movimiento ectilíneo unifomemente aceleado es un tipo de movimiento fecuente en la natualeza. Una bola que ueda po un plano inclinado o una pieda que cae en el vacío desde lo alto de un edificio son cuepos que se mueven ganando velocidad con el tiempo de un modo apoximadamente unifome, es deci, con una aceleación constante. Galileo, que oientó pate de su oba científica al estudio de esta clase de movimientos, al peguntase po la popoción en la que aumentaba con el tiempo la velocidad de un cuepo al cae libemente, sugiió, a modo de hipótesis, lo siguiente: «Po qué no he de supone que tales

9 7 incementos (de velocidad) se efectúan según el modo más simple y más obvio paa todos?... Ningún aditamento, ningún incemento hallaemos más simple que aquél que se sobeañade siempe del mismo modo.» Este es el significado del movimiento unifomemente aceleado, el cual «en tiempos iguales, tómense como se tomen, adquiee iguales incementos de velocidad». Es deci, aceleación media coincide con la instantánea. Po lo tanto: a = a =. t = y = t Como t, donde es la velocidad inicial en el instante = t : = + at. (.) La ecuación (.) nos dice que la velocidad aumenta linealmente con el tiempo. Paa a = aiˆ, la gáfica espectiva de (.) es a = iˆ y t at t t Note que la pendiente en el gáfico v/s t es m =, es deci la aceleación de la patícula o t cuepo. Además paa este mismo gáfico, como el áea bajo la cuva da el desplazamiento ; esta seá: áea total = áea del ectángulo ( t ) + áea del tiángulo ( at t ), es deci: 1 = t + at, o bien: 1 s t = + t + a, (.3) La gáfica espectiva de (.3) que coesponde a una paábola, paa = iˆ es:

10 8 t Po oto lado, de ecuación (.), ealizando el poducto punto ( ) = esulta: = + a, (.4) lo cual nos da la apidez en téminos del desplazamiento =. Note que paa el caso en que la aceleación es paalela al desplazamiento (movimiento aceleado), la expesión (.4) se educe a: = + ad y cuando la aceleación con el desplazamiento foman 18 (movimiento desaceleado o etadado), (.4) seá: v D ad =. c. Caída libe: El caso más impotante de movimiento unifomemente aceleado es el de caída libe bajo la acción de la gavedad. En ausencia de un medio esistente como el aie, es deci en el vacío, el movimiento de caída es de aceleación constante, siendo dicha aceleación la misma paa todos los cuepos, independientemente de cuales sean su foma y su peso. La pesencia de aie fena ese movimiento de caída y la aceleación pasa a depende entonces de la foma del cuepo. No obstante, paa cuepos apoximadamente esféicos, la influencia del medio sobe el movimiento puede despeciase y tatase, en una pimea apoximación, como si fuea de caída libe. La aceleación en los movimientos de caída libe, conocida como aceleación de la gavedad, se epesenta po la leta g ( a = gˆj ) y toma un valo apoximado de 9,8 [m/s ]. La ley de que los cuepos caen en el vacío con una aceleación que es la misma paa todos ellos e independiente de sus pesos espectivos fue establecida po Galileo Galilei y compobada mediante un expeimento espectacula. Desde lo alto de la toe inclinada de la ciudad italiana de Pisa, y en pesencia de pofesoes y alumnos de su Univesidad, Galileo soltó a la vez dos balas de cañón, una de ellas diez veces más pesada que la ota. Con este expeimento Galileo planteaba una pegunta diectamente a la natualeza y ella se encagó de esponde que, dento del eo expeimental, ambos cuepos, a pesa de las difeencias ente sus pesos, caen a la vez, es deci, ecoen el mismo espacio en el mismo tiempo. Ejemplo:

11 9 - Desde un globo que asciende a una velocidad de 1 [m/s] se deja cae una pieda que llega al suelo en 16 [s]. a. A qué altua estaba el globo cuándo se soltó la pieda?. b. Cuál es la altua máxima alcanzada?. c. Con qué velocidad llega la pieda al suelo?. Solución: Supóngase como sistema de efeencia, una ecta vetical hacia aiba (eje ) con oigen en el suelo y el instante t= cuando se suelta la pieda: h g m ˆ = + 1 j s t = t = 16[] s - Puesto que el globo sube unifomemente con una apidez de 1 [m/s], paa el globo: = 1 [m/s], g=-1[m/s ] y t=16 [s] cuando la coodenada es igual a ceo (pieda llega al suelo). Usando la ecuación (.3): = + t+ = at ; = +1t ,8 16 = 194,4 [m]. 9,8 t. Reemplazando t= 16 [s] paa = y despejando : - La altua máxima que alcanza la pieda puede se obtenida usando la ecuación (.4), donde se cumple que en la altua máxima la final es ceo, es deci: = a D; = 1-9,8 D, despejando el desplazamiento D paa =: D= 1 /( 9,8) = 5,1 [m]. De esta foma la altua máxima seá h= + D = 11 [m]. - La velocidad con que llega la pelota al suelo es encontada usando la ecuación (.): = + at; = 1 9,8t. Reemplazando t=16 [s], encontamos que = -146,8 [m/s], donde el signo negativo indica que la velocidad apunta hacia abajo, es deci: = 146,8[ m s]( j). ˆ d. Movimiento en dimensiones: Un ejemplo en la cual se combinan dos movimientos (una caída libe y un movimiento ectilíneo unifome), es el caso del movimiento en dos dimensiones o lanzamiento de poyectiles.

12 3 g CAIDA LIBRE M.R.U θ El diagama epesenta el. caso paticula de un poyectil dispaado con velocidad inicial, la cual foma un ángulo θ con la hoizontal. Puesto que la velocidad inicial se descompone en una componente hoizontal = cosθ y ota vetical = senθ ; el movimiento de las coodenadas es dado po: Eje (M.R.U.): = t + cos( ) t + = (.5) θ Eje (Caída libe): 1 o = + g t 1 = sen( θ ) t g t. (.6) Po oto lado, despejando t de (.5) y eemplazando en (.6), encontamos: θ g = tg( ). (.7) cos ( θ ) a que, θ y g son constantes, esta ecuación tiene la foma: una paábola. Po consiguiente la tayectoia del poyectil es paabólica. = b c, la ecuación de elocidades: Eje. Como en tal eje no hay aceleación: Eje. = = cos( ) = constante θ, (.8) = g t = sen( θ ) g. (.9) t Cálculos:

13 31 - Altua Máxima (H): Significa la altua máxima alcanzada po el poyectil. Esta puede se deteminada usando la ecuación (.4). = paa D= H (altua máxima). Po lo tanto: = gh, y H sen ( θ ) g =. (.1) De (.1) note que la altua H seá máxima cuándo el sen ( θ ) sea máximo es deci paa θ = 9 o. - Alcance hoizontal máximo (R) : Es la distancia hoizontal máxima que puede cubi el poyectil. Esta distancia se designa con la leta R. Usando la ecuación de la tayectoia, note que = R paa =, es deci cuando el poyectil llega al suelo. Reemplazando estos valoes en (.7), luego de odena y agupa esulta: R θ sen( g ) =. (.11) El alcance hoizontal R seá máximo cuando sen( θ ) sea máximo, es deci, igual a uno. Po lo o tanto R es máximo paa θ = Tiempo de vuelo ( t v ): tiempo que el poyectil pemanece en el aie. Usando el esultado (.11) y eemplazándolo en (.5) obtenemos: t sen( θ ) g =. (.1) Cabe ecoda que estas últimas 3 ecuaciones son paticulaes paa el ejemplo mencionado en el diagama. Ejemplo : Un esquiado abandona la platafoma hoizontalmente, como se muesta en la figua. A qué distancia a lo lago de la pendiente de 3 tocaá el suelo?. La apidez de salida del esquiado es de 4 [m/s].

14 3 Solución: El punto donde el esquiado toca la pendiente, es la intesección de la paábola = (tg( θ )) g ( cos( θ )) con la ecta 3 ) = tg( o sea hoizontalmente, la pimea ecuación queda =. Como 3 o θ =, ya que el esquiado sale g = po lo tanto o = y numéicamente: 3g peo = d cos(3 o ) 4 = = 188,5[ m] 3 9,8 o, po lo tanto d = sec( 3 ) = 17,69[ m] EJERCICIOS 1. Un bote cuza desde A hasta B manteniendo un ángulo de 5º. El ío tiene un ancho d= 5 [m] y la coiente tiene una apidez R de 3 [km/h]. Si la apidez del bote especto al agua es de 8 [km/h], calcule el tiempo que emplea el bote en i desde A a B.. B R d = 5[ m] o 5 A

15 33. En las olimpiadas, un atleta en la pueba de los 1 [m] planos ganó la medalla de plata con un tiempo de 1 [s]. El atleta usó la siguiente estategia: acelea unifomemente los dos pimeos segundos y luego mantene una apidez constante hasta el final. Detemine: a. apidez media de su caea, b. apidez con que cuza la meta, c. constuya los gáficos x(t), (t) y a(t). 3. La velocidad de un bote de caea en agua es de 55 [km/h]. El piloto desea diigise a un punto situado a 8 [km] SºE. La coiente es muy fuete a [km/h] en la diección S7ºO. a. Calcula en qué diección debe se diigido el bote de modo que se desplace diectamente hacia el punto deseado. b. Detemine el tiempo equeido paa el viaje. 4. Un ten sale de la ciudad A a las 1 del día yendo hacia la ciudad B, situada a 4 [km] de distancia, con apidez constante de 1 [km/h]. Oto ten sale de B a las : p.m. y mantiene una apidez constante de 7 [km/h]. Detemine la hoa en que se encuentan los tenes y la distancia medida a pati de la ciudad A si: a. el segundo ten se diige hacia A b. el segundo ten se aleja de A. 5. Un ascenso de un edificio está bajando con aceleación constante de 1,1 [m/s ] de magnitud. En el instante que la apidez del ascenso es de,5 [m/s] cae un tonillo del techo del ascenso, que está a 3,5 [m] de su piso. Calcula el tiempo que el tonillo tada en llega al piso y la distancia, especto a un obsevado en el edificio, ecoida po el tonillo duante ese tiempo. 6. Un automóvil viaja a [m/s] cuando obseva que la luz de un semáfoo a 3 [m] adelante se pone en ojo. Sabe que el semáfoo está pogamado paa esta en ojo duante [s]. Qué debe hace paa el semáfoo a [m/s] en el momento exacto en que se pone la luz vede ota vez?. Tácese la cuva v/s t, seleccionando la solución paa la cual se tengan los valoes más pequeños posibles de desaceleación y aceleación, y detemine: a. la desaceleación y aceleación, b. la velocidad mínima alcanzada. JUSTIFIQUE.

16 34 7. Dos cuepos inician una caída libe, patiendo del eposo y desde la misma altua, con un intevalo de tiempo de 1 [s]. Cuánto tiempo después de que comienza a cae el pime cuepo estaán estos sepaados po una distancia de 1 [m]. 8. Dos pesonas se encuentan sepaadas en los extemos de un cao de lago L= 3 [m], que se encuenta en eposo. En el instante en que la pesona A lanza veticalmente una pelota con una velocidad de 4 [m/s], el cao pate con cieta aceleación constante. Cuál debe se la aceleación del cao paa que la pelota sea ecibida po la pesona B?. 9. Un paacaidista cae desde un helicópteo detenido a 1 [m] de altua. A los 6 [s] de cae, abe el paacaídas y continua bajando con velocidad constante igual a la que alcanza a los 6 [s]. Dos segundos después de abi el paacaídas, desde el helicópteo se dispaa veticalmente un poyectil. Cuál debe se la velocidad inicial del poyectil paa que pase fente al paacaídas, cuando se encuenta a 1 [m] de altua?. 1. Una llave de agua deja cae gotas a azón de 6 po segundo. El suelo está [m] más abajo. Cuándo una gota llega al suelo, a qué distancia del suelo está la siguiente gota?. 11. Un tabajado está pintando una viga de un puente que está 3 [m] sobe una línea féea. Un vagón, con su techo a 3 [m] sobe la línea, avanza con una aceleación de [m/s ]. En cieto instante cae una gota de pintua, la que llega al techo del vagón cuándo la apidez de este es de [m/s]. Una segunda gota cae,3 [s] después de la pimea. Calcule la distancia ente estas gotas sobe el techo del vagón.

17 35 1. Dos móviles A y B que se mueven sobe la misma línea ecta se encuentan inicialmente en las posiciones A = e B = 1[ m] espectivamente. La elación ente sus velocidades y el tiempo está descita en el gáfico adjunto: m s 5 1 móvila móvilb 4 5 t [] s Con la infomación dada, detemine cuándo y donde se encuentan los móviles. m 13. Un cohete que pate del eposo, asciende con una aceleación de 4 duante 8 [s]. En ese s momento agota su combustible y sigue en caída libe. En este mismo instante se lanza desde el suelo un poyectil con una apidez inicial de m s 48. Después de cuánto tiempo de habe patido el cohete y a que altua especto del suelo se encuentan el poyectil y el cohete?. 14. La posición de una patícula está deteminada po su vecto de posición descito po: + () t = (3t 3)ˆ i ( t + 1) ˆj 4t kˆ [ m]. a. en que instante el vecto posición es a la aceleación?. b. qué ángulo foma la velocidad con el eje en t=1 [s]?. 15. En el punto P mostado en la figua se lanza una pieda veticalmente hacia aiba, con una apidez inicial de [m/s]. Si el cao C pate del eposo en el instante en que la pieda se encuenta a su máxima altua, cuál debe se la aceleación del cao paa que la pieda haga impacto en su inteio?.

18 Desde el bode de un pecipicio de [m] de altua se lanza un poyectil con velocidad inicial de 1 [m/s] fomando un ángulo de 6º con especto a la hoizontal. En el mismo instante desde una distancia hoizontal de 5 [m] de la base del pecipicio se dispaa una bala veticalmente hacia aiba. Detemine la velocidad con que debe se dispaada la bala de modo que sea inteceptada po el poyectil. o 6 g [ m] 5 [ m] 17. Se dispaa una pelota con apidez de 1 [m/s] y fomando un ángulo de 6º con la hoizontal como se indica. Si cada escalón mide 4 [cm] hoizontal po [cm] vetical y la escalea es muy laga, en cuál escalón caeá la pelota?. g 3º º 1º 17. Un jugado de fútbol patea una pelota, impimiéndole una velocidad de 15 [m/s] fomando un ángulo de 3º con la hoizontal. Un defensa que se encuenta delante del jugado coe con apidez constante de 1 [m/s] al encuento de la pelota paa cabeceala. Qué sepaación deben tene ambos jugadoes en el instante del chute paa que el defensa loge cabecea sin salta?. Considee que la altua del defensa es 1,8 [m]. Intepete sus esultados.

19 Un avión vuela a 3 [m] de altua y dispaa hoizontalmente un poyectil, el cae en un punto situado a 3 [m] hacia el Oeste y [m] hacia el Note, medidos hoizontalmente desde el punto de dispao. Si en el momento del dispao, el avión volaba hacia el Note con velocidad especto de tiea de 15 [m/s], detemine la velocidad del poyectil especto al avión. N g O E S m 19. Un avión en picada tiene velocidad especto de tiea A T = i ˆ / ˆ 1 j s. En el instante en que el avión se encuenta a una altua H, dispaa un poyectil con una velocidad especto del avión P / A m = 15iˆ s constante especto de tiea de. Simultáneamente un helicópteo sube veticalmente con velocidad h m = ˆj s se encuenta a una altua h, detemine h y H.. Si el poyectil impacta al helicópteo cuando este

20 38. Un individuo iega un invenadeo de 1,8 [m] de altua con una manguea que lanza agua a 1 [m/s] po su boquilla que está a as de suelo. Detemine la máxima distancia hoizontal que puede ega el individuo, si no debe moja el techo. g 1,8 [m]