FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS
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- Consuelo Rey Maestre
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1 FUNCIONES ELEMENTALES BÁSICAS Función Potencial Una función potencial es una función de la forma:, fijo) en donde el eponente n es un número real fijo. El dominio, las características la forma de la gráfica de una función potencial dependen mucho de cuál sea el eponente. A continuación se presentan los casos más relevantes: Función potencial con eponente entero positivo Si n par n impar
2 Funciones elementales básicas Función potencial con eponente entero negativo Si n par n impar Función potencial con eponente fraccionario positivo Raíces de orden par: Si p q q es par Raíces de orden impar: Si p q q es impar p Se supone que la fracción es una fracción irreducible, es decir,. q Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Aquí damos las más usadas. Nota: Un error común al trabajar con raíces de cuadradas, en general con cualquier raíz de orden par, es pensar que la notación engloba tanto a la raíz cuadrada positiva como a la
3 Funciones elementales básicas raíz cuadrada negativa del número, es decir, muchas veces se piensa que cual es falso. Escribir es eactamente lo mismo que escribir, es decir,., lo Función potencial con eponente fraccionario negativo Raíces de orden par: Si p q q es par Raíces de orden impar: Si p q q es impar p Se supone que la fracción es una fracción irreducible, es decir,. q Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Sólo mostramos las más usuales. Propiedades de eponentes radicales Si, entonces: Insistimos en que estas propiedades son ciertas siempre cuando e. En este
4 4 Funciones elementales básicas caso, no ha ningún problema al aplicarlas. Sin embargo, muchas de ellas se pueden emplear cuando alguno de los valores es negativo es aquí, sobre todo en la propiedades relacionadas con los radicales, cuando surgen los problemas ha que tener mucha precaución a la hora de usarlas. Veamos algún ejemplo: Ejemplo : Si n es impar la propiedad se puede aplicar cualquier valor de de. Es decir, si n es impar Por ejemplo,. Sin embargo, cuando la raíz es de orden par, el escribir la raíz de un producto como el producto de las raíces puede acarrear serios problemas si ambos factores no son positivos. Si tomamos e, se cumple que? Todo lo comentado aquí también es válido para la propiedad.. Ejemplo : Otra propiedad con la que ha que tener mucho cuidado al aplicarla sobre valores negativos es. De nuevo, si n es impar (el valor de m es indiferente) la propiedad tiene carácter general para cualquier valor real de. El problema vuelve a surgir cuando el valor de n es par. Siempre que aparece la epresión solemos simplificarla empleando la propiedad anterior ( ) concluimos que, sea cuál sea el valor de. Si es positivo, la propiedad está correctamente aplicada. Pensemos un poco: Tiene sentido la epresión cuando es un número negativo? Si sustituimos, por ejemplo, por (7) la epresión quedaría como, epresión que no tiene sentido porque un número positivo, (recordemos que hemos convenido que ), nunca puede ser igual a un número negativo. No ha que confundir lo aquí eplicado con el hecho de que las soluciones de la ecuación sean.
5 Funciones elementales básicas 5 Para no tener problemas, conviene acostumbrarse desde el principio a usar la propiedad correcta que dice: Las funciones potenciales aparecen con frecuencia en biología. Muchas veces, al estudiar dos variables conjuntamente se deduce que una de ellas es proporcional a una potencia de la otra, es decir, si e representan dichas variables: o, alternativamente: donde k es una constante de proporcionalidad. En particular, la alometría trata de cuantificar relaciones entre distintas medidas de un organismo, fundamentalmente con la masa de éste, basándose en ecuaciones del tipo anterior. Por ejemplo, para mamíferos uterinos se han desarrollado modelos que permiten relacionar variables como la tasa de consumo de oígeno TCO (en mililitros por minuto), la frecuencia respiratoria FR (en ciclos por minuto) el peso de los pulmones P pulm (en gramos) con la masa M (en kilogramos) del animal. En la siguiente tabla se muestran dichas ecuaciones : Variable dependiente Variable independiente Ecuación Tasa de consumo de oígeno Peso de los pulmones Frecuencia respiratoria Masa Masa Masa Refleiona: Qué significado tiene el hecho de que el eponente de la función potencial sea maor que, igual a, comprendido entre 0 ó menor que 0? Éstas muchas más ecuaciones alométricas se pueden encontrar en la página
6 6 Funciones elementales básicas Función Eponencial Para cualquier constante función:, se define la función eponencial de base b como la La función eponencial por ecelencia es aquella que tiene como base al número e de Euler o constante de Neper ( ), es decir,. A dicha función la denominaremos función eponencial natural o simplemente función eponencial. Cuando el eponente de la función eponencial es complicado suele ser cómodo emplear la notación. Por ejemplo, en vez de escribir se puede escribir, con maor claridad,. Nótese que en una función eponencial la base b es fija es el eponente quien es variable. El dominio de cualquier función eponencial es, salvo para, que es una función constante, la forma de su gráfica depende de que el valor de b sea maor o menor que. A continuación se muestran ambas posibilidades: Función eponencial Función estrictamente decreciente Función estrictamente creciente
7 Funciones elementales básicas 7 En la siguiente figura se observa que, si la base eponencial es más rápido al aumentar el valor de b., el crecimiento de la función 6 4 e Funciones eponenciales para distintos valores de b ( ) La función eponencial permite modelar matemáticamente diferentes comportamientos poblacionales, magnitudes físicas, fenómenos medioambientales,... Veamos un ejemplo: Ejemplo: Algunas bacterias se reproducen mu rápidamente. Supongamos una población inicial de 00 bacterias que se duplica cada hora. Sea el número de bacterias en la población en la hora t. Puesto que la población se duplica cada hora, es fácil ver que: Cada hora que pasa la población se duplica Siguiendo la misma pauta, podemos calcular el número de individuos en la población transcurrido cualquier número de horas. El número de bacterias en función del tiempo admite como modelo la función: (bacterias en la hora t) Ahora podemos calcular el número de bacterias en la población transcurrido cualquier periodo de tiempo: media hora, tres cuartos de hora, o en el instante, horas:
8 8 Funciones elementales básicas Hemos obtenido una función que permite calcular el número de bacterias en la población en cualquier instante. Advertencia: No debe confundirse la función eponencial con la función potencial. Función potencial : base variable, eponente fijo. Función eponencial : base fija, eponente variable. Aunque las reglas de los eponentes se apliquen a ambas son funciones con propiedades diferentes. Un error bastante frecuente es derivar una función eponencial como si de una función potencial se tratara. Función Correcto Derivada Incorrecto Potencial Eponencial En el siguiente gráfico se compara la gráfica de una función potencial con una eponencial. Para valores de lo suficientemente grandes las funciones eponenciales (con ) crecen mucho más rápidamente que las potenciales (con ). b n En el intervalo, las funciones eponenciales ( ) crecen mucho más rápidamente que las funciones potenciales ( )
9 Funciones elementales básicas 9 Función Logarítmica Sea,. Para cualquier valor positivo se define el logaritmo en base b de como el eponente al que debe elevarse b para obtener el número. Al logaritmo en base b de lo denotaremos como log b. Por lo tanto: función: Por ejemplo: Se denomina función logarítmica de base b a la función que a cada valor positivo de le hace corresponder el valor de, es decir tal que: Por lo tanto,. Refleiona: Por qué el dominio de un logaritmo ha de ser calcular logaritmos con base negativa?? Por qué no se pueden Al igual que con la función eponencial, el logaritmo más empleado es el de base e. A éste se le denomina logaritmo natural o neperiano se le denota usualmente por ln (), es decir Cuando la base del logaritmo es 0, hablamos de logaritmos decimales nos referiremos a ellos como. Eiste algo de confusión en cuanto a la notación empleada para los logaritmos. En algunos manuales la notación (sin especificar la base) se reserva para los logaritmos neperianos aunque lo habitual es reservar esta notación para los logaritmos decimales.
10 0 Funciones elementales básicas Basándonos en la definición es fácil ver que: Y para logaritmos neperianos: Por lo tanto, las funciones eponencial logarítmica de base b son funciones inversas por lo que sus gráficas son simétricas respecto de la recta : b log b b b Gráficas de las funciones eponencial logarítmica de base b con b Refleiona: Si, cómo son los valores de si? Y si? Cómo será la gráfica de una función logarítmica de base b con? Propiedades de los logaritmos Si,, e r es cualquier número real:
11 Funciones elementales básicas Refleiona: Son ciertas las propiedades anteriores para cualquier par de números reales e? Originariamente los logaritmos se empleaban para trabajar con grandes números teniendo la ventaja de transformar productos cocientes en sumas restas, respectivamente. Actualmente los logaritmos se usan en ingeniería en ciencias para manejar cantidades cuos valores varían en un rango ecesivamente grande. Los logaritmos intervienen en la definición de ph. El ph indica la concentración de iones hidronio [H O + ] presentes en un medio material (mezclas, disoluciones, etc.). Esta concentración es mu variable, pudiendo tomar valores comprendidos entre M, aproimadamente, cuando nos referimos a disoluciones en agua. Así, en vez de trabajar directamente con la concentración de iones hidronio es más cómodo usar su logaritmo decimal. Entonces, el ph se define como: En la siguiente tabla se muestran los valores de la concentración el correspondiente valor del ph: 0, 0 0,0 0 0,00 0 0, , , , , , , , , , , Concentración de iones hidronio su correspondiente ph. Veamos algunos ejemplos de trabajo con logaritmos: Ejemplo : Sabiendo que calcular, sin usar la calculadora,,. Solución:
12 Funciones elementales básicas Ejemplo : Resuelve la ecuación Solución: Conclusión: La única solución de la ecuación es neperiano no está definido ni en ni en. a que el logaritmo Ejemplo : Resolver la ecuación Solución: Puesto que hemos obtenido una ecuación que sólo depende de podemos hacer el cambio de variable la ecuación anterior se transforma en la ecuación de º grado:
13 Funciones elementales básicas Las soluciones de esta ecuación de segundo grado son e. Como no nos interesa el valor de sino el valor de la incógnita hemos de deshacer el cambio de variable: Si Si (no ha solución) Conclusión: La única solución de la ecuación es. Cambio de base: Aunque revisando tetos matemáticos anteriores a 950 se pueden encontrar tablas de logaritmos en base, en la actualidad sólo se trabaja, fundamentalmente, con logaritmos decimales neperianos. De todas formas, para encontrar el valor numérico de un logaritmo en base distinta a 0 o distinta al número e se puede recurrir a las fórmulas: Errores mu graves frecuentes: (Corrígelo tú mismo). Funciones Trigonométricas La palabra trigonometría deriva de los vocablos griegos trigonon (triángulo) metria (medición). En este apartado presentamos un breve repaso de las funciones trigonométricas sus representaciones gráficas.
14 4 Funciones elementales básicas Definiciones: Un radián es la medida del ángulo central de una circunferencia que determina un arco de longitud igual al radio de la misma. Un grado (º) es el ángulo formado por radianes (rd). 60 de una rotación completa. Por tanto Para hacer la conversión de grados a radianes basta aplicar una regla de tres o la relación anterior para deducir que: ~ Análogamente para convertir radianes a grados se utiliza la fórmula: ~ Si es un ángulo medido en radianes son las coordenadas de un punto sobre la circunferencia de centro el origen radio, las funciones trigonométricas se definen como: Construcción de las funciones trigonométricas 0,75 0,50 (, ) 0,5 - -0,75-0,50-0,5 0 0,5 0,50 0,75-0,5-0,50-0,75 - sen csc sen cos sec cos tan cot tan
15 Funciones elementales básicas 5 Algunas fórmulas importantes a) Se dice que un ángulo es complementario del ángulo si radianes. Es fácil deducir entonces que si son ángulos complementarios se cumple que sen( ) cos( ) cos( ) sen( ) tan( ) cot( ) b) Identidad fundamental sen cos Se deduce por tanto que sen cos cos sen El signo quedará completamente determinado una vez se conozca el cuadrante en el que se sitúa el ángulo. A partir de la anterior fórmula es fácil ver que también se cumple que: tan sec c) Identidades para la suma la resta sen( ) sen cos cos sen cos( ) cos cos sen sen tan tan tan( ) tan tan Es fácil deducir entonces las relaciones trigonométricas del ángulo doble el ángulo mitad: sen( ) sen cos cos( ) cos sen tan tan( ) tan sen( /) cos( /) tan( /) cos cos cos cos
16 6 Funciones elementales básicas d) Algunos valores importantes sen cos tan No definida No definida 0 0 Ejercicio : Dado un ángulo deduce las razones trigonométricas de los ángulos,,. Representación gráfica de las funciones trigonométricas 0,5 0,5,5p p,5p p 0,5p 0 0,5p p,5p p,5p,5p p,5p p 0,5p 0 0,5p p,5p p,5p,5p p,5p p 0,5p 0 0,5p p,5p p,5p 0,5 0,5 sen cos tan
17 Funciones elementales básicas 7,5 p p,5 p p 0,5 p 0,5 p p,5 p p,5p -,5p p,5p p 0,5 p 0,5p p,5p p,5 p,5p p,5p p 0,5p 0,5p p,5p p,5p csc sec cot En todas las gráficas el ángulo está dado en radianes. Funciones elementales A las funciones eponenciales logarítmicas junto con las trigonométricas sus inversas se les denomina funciones trascendentes. Estas funciones junto con las potenciales se conocen como funciones elementales básicas. Las funciones elementales básicas se pueden combinar usando las operaciones aritméticas de suma (), resta (), multiplicación ( ) división ( ) la composición de funciones. A las funciones obtenidas de tal manera las denominaremos funciones elementales. El nombre de elemental no implica sencillez. Las funciones elementales pueden tener un aspecto tan complicado como: f 5 cos( 8) ( ) arctg e ln(sen ( 8)) Sin embargo, ha funciones que no son elementales son tan sencillas como: g ( ) si 0 si 0 La función anterior no es elemental al intervenir en su definición una operación lógica (el "si" condicional). Estas operaciones no están permitidas en la definición de funciones
18 8 Funciones elementales básicas elementales. Transformaciones de funciones Muchas veces la gráfica de una función se puede obtener mediante transformaciones sencillas de funciones conocidas. Por ejemplo, es fácil dibujar la gráfica de la función g ( ) ( ) o de h ( ) ( 5) si conocemos la gráfica de f ( ). Gráficas de f ( ), de g ( ) ( ) de h ( ) ( 5) Las tres gráficas tienen eactamente la misma forma. Las gráficas de g ( ) ( ) de h( ) ( 5) se obtienen mediante traslación horizontal de la gráfica de f ( ) Las transformaciones más sencillas son: Traslaciones Refleiones Contracciones epansiones
19 Funciones elementales básicas 9 TRASLACIONES VERTICALES Si Si La gráfica de se obtiene desplazando la La gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de a unidades hacia arriba. gráfica de a unidades hacia abajo. TRASLACIONES HORIZONTALES Si Si La gráfica de se obtiene desplazando la La gráfica de se obtiene desplazando la gráfica de a unidades hacia la derecha. gráfica de a unidades hacia la izquierda. En definitiva, si esquema: quedan resumidas en el siguiente Traslaciones de
20 0 Funciones elementales básicas Ejercicio : Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las siguientes funciones: (a) (b) (c) (d) Ejercicio : Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las funciones: (a) (b) (c) (d) REFLEXIONES Refleión respecto al eje OX Refleión respecto al eje OY La gráfica de se obtiene reflejando la gráfica de respecto al eje de abscisas OX. La gráfica de se obtiene reflejando la gráfica de respecto al eje de ordenadas OY. Ejercicio 4: Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las funciones: (a) (b)
21 Funciones elementales básicas Ejercicio 5: Partiendo de la gráfica de la función dibuja la gráfica de las funciones: (a) (b) EXPANSIONES Y CONTRACCIONES VERTICALES Epansión vertical Contracción vertical EXPANSIONES Y CONTRACCIONES HORIZONTALES Epansión horizontal Contracción horizontal
22 Funciones elementales básicas Ejercicio 6: Partiendo de la gráfica de la función obtén la ecuación dibuja la gráfica de las funciones: (a) (c) (b) (d) Ejercicio 7: Supón que la gráfica de la función es conocida. Describe cómo obtendrías la gráfica de cada una de las siguientes funciones partiendo de la gráfica de f. (a) (c) (e) (g) (i) (k) (m) (o) (b) (d) (f) (h) (j) (l) (n) (p) Ejercicio 8: Eplica cómo puedes obtener la gráfica de : (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)
23 Funciones elementales básicas (h) Ejercicio 9: Esboza cada una de las siguientes gráficas partiendo de la gráfica de una función conocida: (a) (c) (e) (g) (i) (k) (b) (d) (f) (h) (j) (l) Cualquier parábola es una transformación de la función Ejercicio 0: Reescribe la ecuación de las siguientes parábolas en la forma: utiliza dicha escritura para dibujar su gráfica partiendo de la gráfica de la función. (a) (c) (b) (d) Indicación: La ecuación de cualquier parábola (vertical), reescribir en la forma:, se puede Para ello, basta con igualar los dos términos de la derecha, identificar coeficientes resolver el sistema obtenido. Por ejemplo, consideremos la parábola de ecuación deseamos escribir esta parábola como ambas ecuaciones. Así:. Si tendremos que igualar
24 4 Funciones elementales básicas Desarrollando el término de la derecha Identifiquemos coeficientes: Grado [] Grado [] Grado [0] Grado []: Si. Por comodidad 4 elegimos. Grado[]: Grado[0]:. Puesto que se tiene que, es decir, Luego, la ecuación ha quedado reescrita como podemos utilizar esta reescritura para dibujar la gráfica de la parábola. a partir de transformaciones sobre la gráfica de la función Bibliografía AITKEN, MICHAEL R. F.: Mathematics for biological scientists / Mike Aitken, Bill Broadhurst, Steve Hladk New York : Garland Science, cop ANTON, HOWARD: Cálculo: trascendentes tempranas / Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis. Méico: Limusa Wile, cop. 009 (ª. ed). 4 También se puede elegir para α el valor negativo, siempre que se sea coherente en el resto de los cálculos.
25 Funciones elementales básicas 5 CRAUDER, BRUCE: Functions and change: a modeling approach to college algebra / Bruce Crauder, Benn Evans, Alan Noell. Belmont: Brooks Cole, cop. 00. FERNÁNDEZ, M.J.; MULAS, R.; RAMOS, M.T.: Para empezar a entendernos LARSON, RON: Precálculo / Ron Larson, Robert Hostetler. Barcelona: Reverté, 008. NEUHAUSER, CLAUDIA: Matemáticas para ciencias / Claudia Neuhauser; traducción, Ana Torres Suárez. Madrid [etc.] : Pearson, 004 (ª ed.) RIVERA FIGUEROA, ANTONIO: Cálculo sus fundamentos para ingeniería ciencias / Antonio Rivera Figueroa. Méico DF: Grupo Editorial Patria, 007 STEWART, JAMES: Precálculo: matemáticas para el cálculo / James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson. Méico: Thomson, 007 (5ª ed.)
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