- Función Polinómica f es toda función de dominio el conjunto de los números reales, tal que la imagen de cada número real x es:

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1 POLINOMIOS Defcó: Fucó Polóc - Fucó Polóc f es tod fucó de doo el cojuto de los úeros reles, tl que l ge de cd úero rel es: f = , dode,,,,, so ueros reles y es turl Defcó: Poloo - Poloo de vrble rel, es tod epresó de l for: P , dode,,,,, so ueros reles y es turl - OBSERVACIONES: - Se puede decr que el poloo P() es el edo pr clculr el úero f(),,,,, se deo coefcetes del poloo - - el subídce de dc que es el coefcete de ( es u turl que vrí etre y ) - Ejeplo: P( ) = es u poloo ordedo segu l vrble, cuyos coefcetes so: =, = 6, =, = 8, 4 = 5 = =, Defcó: Llreos VALOR NUMÉRICO de u poloo P() co respecto u úero rel α l úero que so obtee luego de efectur opercoes e P() cudo se susttuye l vrble por α (otreos P(α)) - Ejeplo: 4 P = + 6 +, clculeos P y P 4 () () () () P() 4 P = = = = P = = = = 8 Defcó: Ríz de P() P( α) α es rz de P = - E el ejeplo teror observos que P() =, por lo tto = es ríz de P() Defcó: Grdo de u poloo El grdo de P , es el yor turl tl que Notcó:, gr P =, se deo coefcete prcpl - Ejeplo: 4 P( ) = + 6 +, gr P( ) = 4, y el coef prcpl es 4 = Q( ) Q = 5 gr = T = 6+ grt = Defcó: Poloo Nulo es el Poloo Nulo, θ = - No este el grdo del poloo ulo - El poloo ulo dte fts ríces

2 Defcó: Poloos Idétcos es detco Q =, P = y Q = b + b + + b + b+ b P b - Es decr, dos poloos so détcos s, tee gul grdo, y deás los coefcetes de los téros del so grdo se gules - Observcó: - S dos poloos so détcos, sus vlores uércos so gules pr culquer rel OPERACIONES CON POLINOMIOS - Defcó: SUMA DE POLINOMIOS: = ( ) y Q( ) es S( ) = ( + b) sedo = { } Se P = y Q = b + b + + b + b+ b, L su de P, = - S() por su for es u poloo cuyos coefcetes so los reles ( b ) + Esto sgfc que cd coefcete del poloo S() se obtee sudo los coefcetes de los téros seejtes, es decr, los téros de gul grdo - Defcó: Poloos opuestos Se P = , el poloo opuesto de P() es Q = Notcó: el poloo opuesto de P() lo otreos P() - Defcó: Dferec de Poloos: Ddos los poloos P() y Q(), D( ) = P( ) Q( ) D( ) + Q( ) = P( ) Al poloo D() lo llos dferec etre P() y Q() y es l sustrccó etre poloos - Defcó: PRODUCTO DE POLINOMIOS: Ddos los poloos A( ) = y b = + p j= producto A()B() es P( ) = c, dode los coefcetes c = j bj - Algus cosecuecs: = j= ) L ultplcco de poloos es u uco poloo B = + b + + b + b+ b, el gr A = ) gr A( ) B ( ) = + gr B = θ = θ = ) P y P P

3 Defcó: DIVISIÓN ENTERA - Defcó: Dvsó Eter Ddos los poloos A( ) y D( ) o ulo, el cocete Q ( ) y el resto R ( ) de l dvso A( ) por D( ) verfc: º ) A( ) = D( ) Q( ) + R( ) º) gr R( ) < gr D ( ) o R( ) = θ ( ) Los poloos A ( ) y D( ) se deo dvdedo y dvsor, respectvete A() D() A( ) = D( ) Q( ) + R( ) - Not: Adtreos el esque de dvsó: - Observcoes: ) El cocete y el resto de u dvsó so úcos ) E el cso e que R( ) θ ( ) = decos: - D() dvde A() - A() es dvsble por D() - A() es últplo de D() - L dvsó A() por D() es ect ) gr A( ) gr D( ) gr Q( ) = gr A( ) gr D( ) Dvsó por ( - α) - Se u poloo P() dvddo por ( - α) Es decr gr ( α ) Por defco gr R < S R o es el poloo ulo, el grdo del resto es cero Este es el otvo por el cul sbolzreos R co r, r rel - El grdo del poloo cocete es l dferec etre los grdos de los poloos dvdedo y dvsor Lldo l grdo del poloo dvdedo teeos que gr Q( ) = - El coefcete prcpl de Q() es gul l coefcete prcpl de A() pues surge de dvdr este últo por, y que, e est dvsó, es el coefcete prcpl del dvsor Esquetzdo: A() R() D() Q() A() = ( - α)q() + r Esque de Ruff R() P() R() Q() - Muchs veces pr resolver deterdos probles es útl u lgorto coocdo coo Esque de Ruff 4 Hllreos el cocete y resto de dvdr A( ) -α Q() = por B() = - SUMAR MULTIPLICAR Polo Ruff (765-8)- Mteátco Itlo

4 ( ) El cocete es Q = y el resto es R = 58 - Cóo usr el esque de Ruff cudo el dvsor es +, y? 4 Trteos de trsforr este proble, e uo y vsto A( ) = ( + ) Q( ) + r A( ) = + Q ( ) + r Co lo cul relzos u uev dvsó: C A por +, obteedo u cocete C() y resto r Por lo tto: ) Coo Q() = C(), pr hllr los coefcetes de Q(), bst co dvdr cd uo de los c por Q( ) = C( ) ) El resto de est uev dvsó, es el resto de dvdr A() por + A() + r C() - Hlleos el cocete y resto de dvdr A = + 5+ por B() = Por lo tto: Q = 6+ 5 Q = + 5 y r = LEY DEL RESTO El resto de dvdr u poloo A() por -α es el úero A(α) ( α ) ( α ) Por H, A = Q + r Clculeos A : A( α) = ( α α) Q( α) + r = Q( α) + r = + r = r A( α) = r = - Observcó: TEOREMA DE DESCARTES L codcó ecesr y sufcete pr que P() se dvsble por - α es que, α se ríz de P() ( α) α P es dvsble por es rz de P ( α) ( α) ( α) = α P es dvsble por El resto de dvdr P por es P es rz de P Nots: A() r + / C() def de Ley del Resto Def de poloo Rz dvsble - El dto S() es dvsble por -α os dc que el resto de l dvsó es cero - Est propedd relco l dvsó co ls ríces de u poloo TEOREMA o α es rz de P α es rz de D α es rz de Q Es decr, s P() es dvsble por D(): - ls ríces de P() so ríces del dvsor o del cocete - ls ríces del dvsor y del cocete so ríces de P()

5 TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL 5 Todo poloo de grdo,, co ríces reles y dstts dos dos, puede epresrse coo el producto de boos de l for ríz ultplcdo por u poloo de grdo - Pr copreder ejor l deostrcó, hreos l s pr u poloo de tercer grdo, teedo e cuet que l s es álog pr u poloo de grdo P Se α, β, γ rces de P( ) dstts dos dos De : ) P α = Q / P = α Q = + + +, Q y Q = P = T Descrtes / ( α )( β)( γ) P( β) = P( β) = ( β α) Q ( β) Q( β) = Q( ) = ( β) Q( ) ) β rz de P T Descrtes P( ) = ( α)( β) Q ( ) P( γ) = P( γ) = ( γ α)( γ β) Q ( γ) Q ( γ ) = Susttuyedo e (): ) γ rz de P Susttuyedo e (): T Descrtes Q ( ) = ( γ ) Q ( ) P( ) = ( α)( β)( γ) Q ( ) ( α)( β)( γ) Coo gr P = gr + gr Q, deducos que gr Q = Q = h, h = ( α)( β)( γ) Îd depoloos Por lo tto: = h = h P ( ) = ( α)( β)( γ) Observcoes: ) S > y α rces dstts etre s, ( α )( α )( α ) P = Q gr Q = Descoposco fctorl de P ) U poloo de grdo o tee ás de ríces reles dferetes - Noteos que ls propeddes terores, ecluye l posbldd de que lgus ríces se gules Pr coteplr est posbldd, defos orde de ultplcdd de u ríz (ríz últple) - Defcó: Se P() o ulo El turl es el orde de ultplcdd de l ríz α e P() Q( ) P( ) ( α) Q( ) y Q( α) P( ) = ( α) ( α) ( α ) Q( ) * ( α ),, y des gr P( ) = gr Q ( ) Por lo tto, s P o es el poloo ulo, y dte rces ultples dstts, l descoposco fctorl de P ser l epreso: Q TEOREMA De Idetdd de Poloos / = Se dos poloos A() y B() S los vlores uércos A(α) y B(α) so gules pr culquer rel α, se tee que A() es détco B()

6 RAÍCES DE UN POLINOMIO 6 - Ríces prtculres de u poloo - es ríz de u poloo s y sólo s el téro depedete es cero - es ríz de u poloo sí y sólo s l su de los coefcetes es cero - - es ríz de u poloo sí y sólo s l su de los coefcetes de los téros de grdo pr es gul l su de los coefcetes de los téros de grdo pr - Ríces coues: - Defcó: Cobcó lel de poloos: Se P() y Q() poloos, y b úeros reles culesquer Al poloo L() = P() + bq() le llos cobcó lel de P() y Q() Observcoes: α es rz de P ( ) es rz de Q ( ) ) α α es rz de L( ) L = P + bq Es decr, s α es rz de dos poloos, α es rz de culquer cobco lel etre ellos ) P() D() R() Q() α es ríz de R() α es ríz de P() α es ríz de D() RELACIONES ENTRE COEFICIENTES Y RAÍCES - POLINOMIO DE PRIMER GRADO: Se P = +, y α rz de P ( α) α P( ) Por D F P = = d de = = α α poloos = + - POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO: Se P = + +,, α y β rces de P ( α + β) = α + β = Por D F P ( ) = ( )( ) = ( + ) + poloos P( ) = + + αβ = α β = - POLINOMIO DE TERCER GRADO: α β d de α β αβ = α β γ Se P,,, y rces de P Utlzdo u rzoeto logo teeos: α+ β+ γ= αβ + αγ + βγ = αβγ =

7 Csos que se reduce ecucoes de segudo grdo 7 - Poloos Cclotócos * So de l for: P = + b + c,, Ejeplo: S = : P ( ) = + b+ c 4 S = : P ( ) = + b + c ( poloo bcudrdo) 6 S = : P ( ) = + b + c ( poloo bcubco) Pr hllr ls posbles rces reles de culquer poloo cclotoco, () debeos resolver l ecuco: + b + c =, que podeos escrbr s: + b + c =, S susttuos: = z z + bz+ c = Aplcos u cbo de vrble; est trsforco es vetjos pues llevos l ecuco () que o sbos resolver, l ecuco () de resoluco coocd - Poloos Sétrcos U poloo es sétrco s y sólo s los coefcetes de los téros equdsttes de los etreos, so gules: Por ejeplo, u poloo setrco de: 5 4 grdo 5 es: A( ) = + b + c + c + b + 4 grdo 4 es: B = + b + c + b + (!) E todo poloo sétrco se cuple que: - No dte l ríz - - es ríz, s el grdo es pr - S dte ríz α, tbé l ríz /α - S es de grdo pr, l dvdrlo por (+), obteeos u poloo sétrco - Ríces de poloos sétrcos de 4º grdo 4 Pr hllr ls posbles reles de u poloo setrco de 4º grdo: S = + b + c + b +, resolveos 4 l ecuco: + b + c + b + = () Trsforeos () e u ecuco que os pert sber cul es el cbo de vrble coveete b b Coo () o dte rz, teeos que: + b+ c+ +, por lo tto, b c = = + + b + + c = () S e est ult epreso, efec tuos el cbo de vrble: + = z, os qued z = +, etoces relzdo l susttuyedo e () obteeos: ( z ) + bz+ c =, que ordedo segu z: z + bz+ c = ( ) Est ecuco dte, lo suo, dos rces reles dstts: z y z Etoces, "deshcedo" el cbo de vrble efectudo: + = z + = z z+ = ( 4) y+ = z + = z z + = ( 5 ) Cd u de ls ecucoes (4) y (5) dte, lo suo dos ríces reles dstts, que so ls ríces de l ecucó () Por lo tto: 4 Cbo de Vrble + b + c + b + = z + bz + c = - Poloos Hesétrcos: + = z U poloo es hesétrco s y solo s, los coefcetes de los téros equdsttes de los etreos so opuestos Observcoes: ) No dte l ríz ) es ríz, s el grdo es pr ) S dte l ríz α, tbé dte l ríz /α 4) S el grdo es pr, l dvdrlo por (-) obteeos u poloo sétrco

8 Reprtdo Prctco 4 Mteátc 5º H POLINOMIOS 8 4 ) Se P 4 9 5, clculr: = + y Q = + P, () P(, ) P(, ) P, P(,4, ) Q(, ) Q, Q(, ) Q( ) ( ) = + + = = + ( ) + ( ) = + + = ) ) Ddo P 8, hllr sbedo que P 6 b) Ddo Q 4 9, hllr sbedo que Q = c) Ddo H b 6, hllr y b sbedo que H - y que el vlor uerco de H pr = es -8 = + + b ) Ddo P ) Dscutr segu y b el grdo de P b) Deterr u posble ybpr que = se rz de P ) Se F = + b + c = ( ) = ) Deterr, byc sbedo que F, F y es rz de F ) es rz de F ( )? ) Clculr F F v) Represetr grfcete F e dcr su sgo () ( ) 4 4) Ddos: A = + +, B =, C = + y D = + + ( ) Clculr: ) A + B + C ) A C + D ) A B C D v) A : D 5) E cd cso hllr el vlor de sbedo que: = + ble por ( - ) ) B( ) = ( + ) 4 + es dvsble por ( +) = = ( ) + ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) + ( ) = ( ) + ( + ) + ( ) ) A 5 es dvs ) J 4 es dvsble por - v) C es u poloo de prer grdo v) Z dte rz - v)l 6) Aplcdo el esque de Ruff, hllr cocete y resto de: to el vlor 4 pr =- ) 7 5 : b) 8 4 : c) 5 8 : 5 5 ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) 7) Ddo P( ) = + + 5, deterr pr que P( ) dvddo por ( + ) teg resto 8) Ddo P( ) = + 4 +, deterr pr que P( ) se dvsble por ( - ) 9) Ddo P( ) = + + b, deterr y b pr que P( ) dvddo por ( - ) teg resto 54 y dvddo por ( + ) teg resto - ) Ddo P( ) = b, deterr y b pr que P( ) teg rz - y que dvddo por ( + ) teg resto gul l tero depedete de P( ) 4 ) Ddo P( ) = + b +, deterr y b pr que P( ) dvddo por ( - ) de resto y pr que el cocete de es dvso dvddo etre ( - ) teg resto ) Se sbe qe P( ) es dvsble por ( - ) y que P( ) dvddo por ( + ) d resto -5 Clculr el resto de dvdr P( ) por ( -)( + ) ) P( ) dvddo por ( + ) d resto 4, P( ) dvddo por ( + ) d resto y P( ) dvddo por ( - ) d resto - Clculr el resto de dvdr P( ) por ( + )( + )( ) 4 4) Hllr,,, b y c tl que: = + b + c = + + b b 5) Ddo P = b Hllr y b pr que P se dvsble por + + 6) Ddo P 9 4 Hllr y pr que P 7) Hllr,, p y q sbedo que: 5 7+ = + + p + q se u cudrdo perfecto de coef prcpl postvo 8) Hllr A de tercer grdo s se sbe que A - = A y des A - A = 6 + 7

9 9) Hllr tods ls rces de P = 6 5+ =, sbedo que u rz es gul l su de ls otrs dos ) Resolver 8+ 9 = s se sbe que dos de ls rces so opuests ) Hllr tods ls rces de P = 5 =, sbedo que el producto de dos de sus rces es - ) Resolver =, sbedo que u rz es gul l producto de ls otrs dos ) Ddo P( ) = Resolver P( ) = s ls rces est e progreso rtetc 4) Resuelve y hll e: =, s el producto de dos de sus rces es - 5) Ddo P( ) = ) Hllr pr que u de ls rces se el doble de l otr, co, y pr ese vlor de, resuelve P( ) = 6) Resuelve: = s α + β = 5 7) Resuelve: + 97 = s αβ = 8) Hllr tods ls rces de A( ) y B( ) sbedo que tee rces coues ) A( ) = y B( ) = b) A( ) = y B( ) = ) Ddo P( ) = + ( ) + ( ) + ( ) 9 6 ) Clculr ls rces depedetes del pretro b) Clculr pr que l su de ls rces se ) Ddo P = Hllr l rz depedete del pretro (RIP) ) Ddo P = Ivestgr l estec de RIP ) P = Ivestgr l estec de RIP ) Resolver: = ; sbedo que tee u rz depedete 4 = + ( + ) ( + ) 9 de, sedo u rel coocdo 4) Resolver: =, sbedo que dte dos RIP 5) Ddo P 5 ) Ivestgr l estec de RIP ) Deterr pr que P() se dvsble por ( + ) ) Pr el vlor hlldo e b), resuelve P()= 6) Ddo P()= ( ) + ( 5) ( 5 7) + ) Ivestgr l estec de RIP b) Hllr pr que ls tres rces de P( ) se reles 7) Ddo P()= ( + 4) + ( + ) 4 ) Ivestgr l estec de RIP b) Resuelve P()= c) Hllr pr que l su de ls rces vlg 4 8) Se M() u poloo de curto grdo cuyo gráfco es el sguete: -4-5 ) Deterr M() ) Resolver: M() > - 9) H() es u poloo de tercer grdo tl que su bosquejo gráfco es el sguete: α ) Deterr H() ) Resuelve: H() = y H() ) El resto de dvdr H() por + es? Justfc

10 Reprtdo Prctco 5 Mteátc 5º H POLINOMIOS- Ecucoes e ecucoes ) Resuelve ls sguetes ecucoes: ) 5 b) c) d) ( 4 + 5)( 7) e) ( 9) f ) ( ) g) h) ) j) ( + 4) ) l) ) Resuelve ls sguetes ecucoes: 4 ) + 6 = 4 b) = 4 c) = 4 d) = 4 e) = 4 f ) = 5 4 g) = 4 h) + = ) Resuelve ls sguetes ecucoes: ( + )( + ) ( ) 6 ) b) c) ( 4) ( 5 ) ( ) ( ) 4 4 ( + )( ) + + d) + e) f ) ( ) + 4) ) Se u fucó Polóc f() de tercer grdo y su bosquejo gráfco es el sguete: ) Deterr f() ) Resuelve f() ) Respode V o F Justfc - ) f() dvddo por + d resto b) f() es dvsble por ) ) Deterr f() de tercer grdo sbedo que f() dvddo etre + d resto 5 y su gráfco es el sguete: 9 - α f b) Resolver e : ( ) c) Respode V o F Justfc ) f() es dvsble por - ) El resto de dvdr f() por es ) L ge de - es gul f() 6) ) Deterr u poloo A() de tercer grdo cuyo bosquejo gráfco se djut 5 b) Resuelve: 7) ) Hllr P() de tercer grdo cuyo bosquejo gráfco se djut A c) Respode V o F Justfc ) El resto de dvdr A() por (-) es 5 ) A() es dvsble por - ) A() es dvsble por ( ) 5 b) Idc el sgo de P() P( ) c) Resuelve: + d) Resuelve: P() = - - -

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