CAPACIDAD DE LAS HOJAS DE CÁLCULO EN EL ANÁLISIS Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS Y SISTEMAS

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1 CAPACIDAD DE LAS OJAS DE CÁLCULO EN EL ANÁLISIS Y OPIMIZACIÓN DE PROCESOS Y SISEMAS A. Rvas y. Gómez-Acebo Departamento de Ingenería Mecánca-Área de Ingenería érmca y de Fludos ECNUN - Escuela Superor de Ingeneros de San Sebastán. Unversdad de Navarra Paseo de Manuel Lardzábal, San Sebastán eléfono: , Fax: e-mal: RESUMEN 1. Introduccón El presente trabao muestra la capacdad de defncón de modelos, análss y optmzacón que poseen la mayoría de las actuales hoas de cálculo y que se puede aplcar en dferentes problemas de Ingenería érmca y de Fludos. Concretamente la hoa de cálculo Mcrosoft Excel, empleada unto con el solver que trae ncorporado, puede aplcarse al análss y optmzacón de sstemas y procesos de medana compledad cuyos modelos matemátcos venen expresados medante sstemas de ecuacones no lneales. Como eemplo de aplcacón se presentan varos casos de análss y optmzacón de la operacón de cclos de potenca con vapor de agua y del análss y dmensonamento de nstalacones de transporte de fludos. Una vez planteados los modelos matemátcos de estos eemplos en Mcrosoft Excel se han resuelto utlzando el solver. En el caso de los cclos de vapor, las propedades termodnámcas del vapor de agua se han calculado medante el Add-In PX (hermodynamc Propertes for Excel). En un segundo planteamento, tambén con la ayuda del solver, se han obtendo la operacón y el dseño óptmos de acuerdo a unos crteros de máxmo rendmento en el caso de los cclos de vapor o de mínmo coste en el de las nstalacones. KEYWORDS: Análss y Optmzacón de Procesos y Sstemas, Modelacón Matemátca oas de Cálculo, Cclos ermodnámcos, Redes de transporte de Fludos. En cas todas las dscplnas de la Ingenería exsten numerosos problemas que matemátcamente se expresan medante un sstema de ecuacones algebracas no lneales y en ocasones no analítcas. Además muchos de estos problemas hacen referenca no sólo al análss de determnados sstemas o procesos sno tambén al dseño óptmo de éstos. En los problemas de dseño óptmo entran habtualmente en uego un número elevado de parámetros de dseño, restrccones y compleas nterrelacones con las varables del problema, lo que mposblta su resolucón con métodos de prueba y error. Para dar solucón a este tpo de problemas es necesaro recurrr a la aplcacón de técncas numércas que resuelvan los modelos matemátcos que los representan. Estas técncas numércas son mplementadas por el propo ngenero utlzando lenguaes de programacón (.e.: Fortran, Vsual Basc o C/C++) o pueden utlzarse dentro de entornos de cálculo ya sean de propósto general (.e.: Matlab o Maple) o específcos para cada problema. Actualmente y debdo al aumento de la potenca de los recursos computaconales a los que un ngenero puede acceder, las hoas de cálculo están surgendo como una plataforma de cómputo alternatva a las ya menconadas. Las aplcacones de hoa de cálculo normalmente están al alcance de cualquer ngenero que dsponga de un computador personal, son de fácl maneo y con ellas es posble realzar compleos cálculos ya que mplementan funcones matemátcas avanzadas o 241

2 específcas del problema (Add-Ins). Esta potenca de cálculo se ve aumentada por el hecho de que la mayoría de las aplcacones de hoa de cálculo ncorporan un solver, es decr, un módulo adconal que permte resolver compleos sstemas de ecuacones no lneales y problemas de Programacón Matemátca (Optmzacón). En concreto Mcrosoft Excel, que ha sdo la hoa de cálculo utlzada para este trabao, ncorpora un solver desarrollado por la empresa Frontlne System (Frontlne System Inc., 1999) en el que se ha mplementado, entre otros, el potente método GRG2 de resolucón de problemas de Programacón Matemátca Restrngda No Lneal (Lasdon et al., 1978). La utlzacón de hoas de cálculo tambén tene sus nconvenentes ya que la velocdad de cálculo dsmnuye y aumenta la dfcultad de defnr el modelo matemátco al crecer el tamaño del problema que se está resolvendo. Pero en el caso de problemas de tamaño modesto representa una alternatva rápda y potente a otras plataformas de cálculo y una buena base de pruebas para acometer la resolucón de problemas de mayor tamaño. En el presente trabao se presentan dos eemplos de utlzacón de Mcrosoft Excel unto con su solver y el Add-In PX (hermodynamc Propertes for Excel) aplcados a la resolucón del análss y dseño óptmo de cclos de vapor y de redes de transporte de fludos. 2. Aplcacón al análss y optmzacón de cclos termodnámcos 2.1 Fundamentos Un cclo termodnámco se puede concebr como un conunto de dspostvos o equpos nterconectados entre sí a través de una sere de nodos o nudos. El fludo entra y sale de un dspostvo provenente y con dreccón a otros dspostvos del cclo. Los dspostvos del cclo nteraccona úncamente con su entorno ntercambando energía en forma de calor o de trabao. El análss de un cclo conduce a la determnacón de las propedades termodnámcas del fludo en cada uno de los nodos, los caudales máscos que entran y salen de un dspostvo desde o haca un nodo, la potenca en forma de calor o trabao ntercambado con el entorno. A partr de los valores enumerados es posble calcular algunos parámetros característcos del cclo como por eemplo el rendmento. Por smplcdad se van a consderar en el análss las sguentes hpótess: El cclo se encuentra en régmen estaconaro. Se han desprecado las varacones de energía mecánca que pueda sufrr el fludo. Los dspostvos se van a agrupar en equpos de trabao y de calor. En los prmeros se va a suponer que la energía ntercambada con el entorno en forma de calor es nula, en cambo, en los segundos se supondrá nula la energía ntercambada con el entorno en forma de trabao. En las conexones entre elementos y en los nodos se supondrá que el fludo no sufre proceso alguno. Con esta hpótess se desprecan las caídas de presón y transmsón de calor que el fludo pudera sufrr en los conductos del cclo. Las propedades termodnámcas en un nodo no son ndependentes, en el caso de que el fludo sea una sustanca pura sólo dos de ellas lo son (t ) y el resto (θ ) se relacona con las anterores medante las relacones de estado (F ) que se suponen conocdas. θ = F ( t ) Ec. 1 Entre las propedades termodnámcas ndependentes en todos los nodos del cclo, t, exste un grupo de ellas, t D, cuyo valor se encuentra fado por las condcones de 242

3 funconamento y el del resto, t C, se obtene medante las ecuacones que rgen el comportamento del cclo que son: La ecuacón de contnudad en cada dspostvo: m & I m& k k I = 0 Ec. 2 sendo m& I y m& k I los caudales máscos que van del dspostvo I al nodo y del nodo k al dspostvo I. A partr de las ecuacones de contnudad planteadas es posble expresar los caudales máscos del cclo en funcón de un número de ellos de los cuales uno es fado por las condcones de funconamento y habtualmente se le asgna un valor undad y el resto, m, son caudales a determnar. La ecuacón del balance de energía en cada uno de los dspostvos m & h m& h = Q& W& I k I k I I Ec. 3 k sendo h la entalpía por undad de masa en el nodo al que se encuentra conectado el dspostvo I. El valor de una entalpía puede ben ser una propedad termodnámca ndependente, pero su valor se obtene de la resolucón del modelo matemátco, una propedad termodnámca ndependente cuyo valor está fado por las condcones de funconamento o una propedad termodnámca dependente h =h (t ). Q & I y W & I son respectvamente la potenca en forma de calor y en forma de trabao ntercambadas por el dspostvo I con el entorno. El valor de estos térmnos puede ser conocdo a pror o obtenerse a partr de la smulacón del modelo matemátco. En las ecuacones anterores se han consderado como postvos aquellos caudales máscos y potencas en forma de trabao salentes del sstema y las potencas calorífcas entrantes en el sstema. Las ecuacones anterores se pueden escrbr de forma compacta como: [ θ( t) m, w] 0 M, = Ec. 4 sendo w y m respectvamente los caudales y las potencas ncógntas del cclo. Las ecuacones de proceso. Estas ecuacones relaconan las propedades termodnámcas entre dos nodos del cclo. [ ( t ), θ ( t )] = 0 θ Ec. 5 sendo respectvamente θ y θ las propedades termodnámcas en los nodos y. Las ecuacones anterores se pueden escrbr de forma compacta como: ( ) t = Ec. 6 C t D P,h P, Fgura 1. Dspostvo Bomba Como eemplo de la forma de estas últmas ecuacones puede consderarse una bomba a la que se asgna un rendmento η B. Las propedades termodnámcas en sus nodos extremos 243

4 son la presón y la temperatura en la entrada y la presón y la entalpía en la salda. La relacón entre las propedades termodnámcas es la sguente: h 1 + η S h S P ( ), s P h 14243, s = h B Ec Análss y optmzacón de cclos termodnámcos utlzando Mcrosoft Excel 3.1 Problema de análss del cclo termodnámco Una vez establecdas las condcones de funconamento del cclo al especfcar el valor de algunas de las propedades termodnámcas en certos nodos, t D, las efcencas y rendmentos de los dspostvos, el problema de análss de un cclo consste en obtener el resto de ncógntas como son las restantes propedades termodnámcas ndependentes, t C, los caudales máscos, m, y las potencas calorífcas y en forma de trabao ntercambadas por el cclo, w. Las propedades termodnámcas ncógntas t C se pueden resolver a partr de la Ec. 6. Para ello es necesaro dsponer de las relacones de estado que permtrán obtener valores de las propedades termodnámcas dependentes en funcón de las ndependentes en el caso que sea necesaro utlzarlas en la Ec. 6. Exsten varas aplcacones comercales desarrolladas en forma de Add-In de Mcrosoft Excel que permten la determnacón de las propedades termodnámcas de los fludos de nterés técnco, en este trabao se ha optado por una aplcacón dsponble en Internet llamada PX (hermodynamc Propertes for Excel ) (Goodwn, 1998). Una vez obtendas todas las propedades termodnámcas, con la Ec. 4 es posble obtener los caudales máscos y las potencas ncógnta. odas las relacones que forman modelo matemátco del cclo se ha escrto en Mcrosoft Excel y las ncógntas se han resuelto según el esquema descrto con la ayuda de PX y el solver que trae ncorporado esta hoa de cálculo. 3.2 Problema de optmzacón del cclo termodnámco La optmzacón de un cclo mplca la determnacón de valor de δ, es decr algunas de las propedades termodnámcas y otros parámetros, que establecen las condcones de funconamento del cclo para obtener un comportamento óptmo de este últmo según un crtero establecdo de antemano por el dseñador. En este trabao se ha asumdo que aquel cclo con un comportamento óptmo es el que posee un rendmento energétco máxmo η[δ,θ(t),m,w]. Es posble adoptar otros crteros como el rendmento exergétco máxmo o el coste económco mínmo, pero es necesara mayor cantdad de nformacón. De entre todos los dseños no sólo se tomará aquel que maxmce el rendmento energétco sno que la solucón adoptada debe cumplr una sere de restrccones mpuestas por el dseñador. Estas restrccones se podrán expresar como unas relacones matemátcas de la forma: R[ δ, θ( t), m, w] 0 Ec. 8 Matemátcamente la optmzacón del cclo termodnámco se expresará como: mn{ η ( δ, θ( t), m, w) / M( δ, θ( t), m, w) = 0, R[ δ, θ( t), m, w] 0} δ, m, Ec. 9 w satsfacéndose además la Ec

5 W & UR Q & CAL α β γ 1-α-β-γ Q & CON α α α+β α+β α+β+γ Fgura 2. Dagrama de fluo del cclo de Rankne regeneratvo eemplo 4. Eemplo de análss de un cclo termodnámco Se plantea como eemplo la resolucón de un cclo de potenca que utlza agua como fludo de trabao. El cclo estudado se presenta en la Fgura 2. Se trata de un cclo de Rankne regeneratvo con tres calentadores cerrados. Las condcones de funconamento son: La caldera produce un vapor a 12 MPa y 450 ºC. Las extraccones de la turbna se realzan a las presones de 5, 0.8 y 0.2 MPa. La presón en el condensador es de 10 kpa. La turbna y la bomba son adabátcas con una efcenca soentrópca y un rendmento respectvamente del 85%. Los líqudos condensados en el condensador y en los regeneradores cerrados son líqudos saturados. En los calentadores cerrados la dferenca termnal de temperaturas ( ) es de 5 ºC. Un resumen de estas condcones de funconamento unto con las varables termodnámcas ndependentes en los nodos y las relacones que permten resolverlas en funcón de aquellas fadas por las condcones de funconamento se presenta en la sguente tabla: 245

6 abla 1 Propedades termodnámcas del cclo Nodo t 1 t D t C t 2 t D t C 1 P kpa ºC 2s P S 2 = P 2 s S 2 = s 1 2 P kpa h 2 =h 1 ε S (h 1 h 2s ) 3s P S 3 = P 3 s S 3 = s 1 3 P kpa h 3 = h 1 ε S (h 1 h 3s ) 4s P S 4 = P 4 s S 4 = s 1 4 P kpa h 4 = h 1 ε S (h 1 h 4s ) 5s P S 5 = P 5 s S 5 = s 1 5 P 5 10 kpa h 5 = h 1 ε S (h 1 h 5s ) 6 P 6 = P 5 x 6 0 7s P S 7 = P 7 s S 7 = s 6 7 P 7 = P 1 h 7 = h 6 + (h 7s h 6 )/η B 8 P 8 = P 7 8 = 15 9 P 9 = P 8 9 = P 10 = P 9 10 = P 11 = P 2 x P 12 = P 3 h 12 = h P 13 = P 3 x P 14 = P 4 h 14 = h P 15 = P 5 x P 16 = P 6 h 16 = h 15 Las propedades termodnámcas ndependentes fadas por las condcones de funconamento son: t = D { P1 1 P2 P3 P4 P5 x6 x11 x13 x15} Ec. 10 Las propedades termodnámcas ndependentes ncógntas son: t C = { P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 P13 P14 P15 P16 h2 h3 h4 h5 h h12 h14 h16} Ec. 11 de la ecuacón Ec. 6 es posble obtener t C. Los caudales ncógnta son las fraccones que se extraen de la turbna: m = { α β γ} Ec. 12 y las potencas ncógntas: w = { Q & CAL Q& CON W& UR} Ec. 13 Una vez se conocen todas las propedades termodnámcas se obtene m y w a partr de la Ec. 4. Los resultados obtendos son α=0.2277, β=0.0582, γ=0.1224, Q & = kj/kg, Q & CON = kj/kg y W & UR = kj/kg. El rendmento del cclo es del 36.6%. 5. Eemplo de optmzacón de un cclo termodnámco Se ha optmzado el msmo cclo del apartado anteror (Fgura 2) para obtener el rendmento energétco máxmo. Como parámetros de optmzacón se han consderado la presón y la temperatura del agua a la salda de la caldera (P 1 y 1 ), las presones a las que se extraen las sangrías de las turbnas (P 2, P 3 y P 4 ), la presón de salda de la turbna (P 5 ) y la dferenca de temperatura termnal en los calentadores ( ), por lo tanto: δ = { P1 1 P2 P3 P4 P5 } Ec. 14 Ahora sólo quedan mponer el valor de las sguentes propedades termodnámcas: t x x x Ec. 15 { } D = x15 CAL 246

7 Como restrccones de dseño se adoptará que: La caldera produce un vapor de agua a una presón y temperaturas que como máxmo pueden alcanzar 16 MPa y 550 ºC respectvamente. (P 1 16 MPa y ºC). La temperatura de salda del agua en el condensador es, como mínmo, de 35 ºC. ( 6 (P 6,x 6 ) 35 ºC). En los calentadores cerrados la dferenca termnal de temperaturas es de 5ºC. ( 5 ºC). Los resultados de la optmzacón se muestran en la sguente tabla abla 2 Resultados de la optmzacón del cclo η % P kpa ºC P kpa δ P kpa P kpa P kpa 5 ºC α m β γ Q & CAL kj/kg w Q & CON kj/kg W & UR kj/kg Como era prevsble, los valores de la presón y la temperatura en la caldera y en el condensador han adoptado los valores extremos permtdos. Del msmo modo se puede analzar fáclmente el efecto en el rendmento óptmo de cada una de las condcones de funconamento tales como subenframentos de líqudos en la condensacón, efcenca soentrópca de turbnas y bombas, etc. ambén es posble analzar y optmzar cualquer otro tpo de cclo termodnámco, sempre que se dsponga de la ecuacón de estado del fludo de trabao. 247

8 6. Aplcacón al análss y dmensonamento óptmo de redes de transporte de fludos Una red de transporte de fludos es un conunto de elementos nterconectados (tuberías, válvulas, depóstos y otros elementos auxlares) que tene por msón transportar una cantdad de fludo en unas determnadas condcones desde los puntos de almacenamento y/o produccón hasta aquellos donde va a ser utlzado. El funconamento de una red está determnado por sus condcones de funconamento, en las que se ncluyen las condcones de contorno y el estado de los elementos que componen la red. Las prmeras habtualmente hacen referenca a las alturas de los depóstos de almacenamento y la demanda, y las segundas a las velocdades de gro de las bombas y el grado de apertura de las válvulas. En funcón de la varacón con respecto del tempo de las condcones de funconamento, la red presentará un comportamento estaconaro, que no varía con el tempo, o transtoro en el que el comportamento de la red rá varando con el tempo. En sentdo estrcto una red es sempre un sstema dnámco y su comportamento nunca es completamente estaconaro, no obstante, en certas ocasones las condcones de funconamento varían tan lentamente o a tan largo plazo que es posble consderar que son constantes y analzar el comportamento de la red en estado estaconaro. Por el contraro en otras ocasones las varacones de las condcones de funconamento son tan rápdas y tan mportantes que es necesaro abandonar el análss de la red como un sstema con comportamento estaconaro y sendo mprescndble analzar su comportamento dnámco. En el presente trabao se va a consderar el comportamento estaconaro de la red y que el fluo del fludo que tene lugar en ésta es ncompresble. Bao estas hpótess de partda y a efecto de modelacón matemátca, la red se consderará como un conunto de nudos conectados entre sí medante líneas. Se entende por una línea a un conunto de elementos que unen dos nodos por el que pasa el msmo caudal de fludo. Las varables hdráulcas que representan el comportamento de la red son las alturas pezométrcas (suma de la altura de presón y la cota) en los nodos (), los caudales volumétrcos nyectados o extraídos de la red a través de los nodos (Q) y los caudales volumétrcos que crculan por las líneas (q). El modelo matemátco que proporcona las menconadas varables hdráulcas está compuesto por un sstema de ecuacones algebracas no lneales que relaconan las varables hdráulcas y las característcas de los elementos de la red, tales como coefcentes de pérddas o energías proporconadas o retradas al fludo, y las menconadas condcones de funconamento dadas por las condcones de contorno y los estados de los dstntos elementos de la red. 6.1 Fundamentos Matemátcos Ecuacones Fundamentales Las ecuacones que forman el modelo matemátco de la red se obtenen a partr de la aplcacón de la ecuacón de la energía (Bernoull) entre los nodos de una red y la de contnudad en cada nodo (Jeppson, 1982): = h ( q ) ( q ) Ec. 16 Líneas de la red sendo y las alturas pezométrcas de los nodos extremos de la línea, h las pérddas de energía que sufre el fludo al atravesar la línea, la energía proporconada ( >0) o sustraída al fludo ( <0) a atravesar la la línea y q el caudal volumétrco que atravesa la 248

9 línea. Por eemplo en el caso de una línea compuesta por una únca tubería la ecuacón Ec. 16 quedaría de la forma: = R q q Ec. 17 qk ql + Q = 0 k l Nudos de la red Ec. 18 k y l conectados al nudo sendo q k el caudal de la línea k que sale del nodo, q l el caudal de la línea l que entra en el nodo y Q el caudal nyectado (Q <0) ó extrado de la red (Q >0) a través del nodo. El modelo matemátco se completa al añadr las condcones de funconamento que, como ya se ha menconado, venen determnadas por las condcones de contorno y el estado de los elementos. Las condcones de contorno se mponen en los nodos, pudéndose establecer una condcón de contorno de altura conocda (representaría la exstenca de un depósto conectado a ese nodo) quedando como ncógnta en el nodo el caudal externo Q, o por el contraro se podría mponer una condcón de contorno de caudal (representaría una certa demanda en el nodo) y en este caso quedaría como ncógnta, la altura pezométrca en el nudo. Las condcones de funconamento tambén están determnadas por el estado de algunos elementos tales como las válvulas, las bombas o las turbnas que exstan en la red. El estado de un elemento nfluye en su comportamento hdráulco modfcando la ecuacón característca de la línea en la que se encuentra el elemento y por tanto el comportamento de la red. Por eemplo suponendo que la línea de una red está formada por una tubería y una válvula, el grado de apertura de la válvula, ζ, determna su coefcente de pérddas K Q y la ecuacón característca de la línea sería: 2 = R q q + [ K Q ( ξ) ] q V Ec. 19 Líneas de la red pos de Problemas Una vez presentado el modelo matemátco de una red en estado estaconaro es posble consderar dos problemas dferentes: El Problema de Análss y el de Dmensonamento. En el Problema de Análss se trata de resolver las varables hdráulcas de la red para unas condcones de funconamento dadas y en el de Dmensonamento se buscan los valores de certos parámetros de dseño (suelen ser los dámetros de las tuberías y las alturas de las bombas) de manera que, para unas condcones de funconamento dadas, la red presente un certo comportamento en cuanto a sus varables hdráulcas. El modelo matemátco de una red vene dado por un sstema de ecuacones algebracas no lneales de la forma: M (, q, Q, δ) = 0 Ec. 20 donde M es un vector de ecuacones algebracas no lneales,, q y Q son los vectores de las ncógntas hdráulcas de la red, δ el vector de parámetros de dseño. En el Problema de Análss δ vene dado y la solucón se obtene de la resolucón del modelo matemátco: M (, q, Q) = 0 Ec. 21 En el Problema de Dmensonamento las varables hdráulcas deben satsfacer el modelo matemátco (Ec. 20) y además el comportamento hdráulco buscado y las 249

10 restrccones que deban cumplr los parámetros de dseño se pueden expresar matemátcamente como: R(, q, Q, δ) 0 Ec. 22 Con las ecuacones Ec. 21 y Ec. 22 la solucón del Problema de Dmensonamento no queda determnada por lo que es necesaro añadr un crtero que sea satsfecho por una solucón de entre todas las que satsfacen las ctadas ecuacones. 7. Análss y Dmensonamento Óptmo de redes utlzando Mcrosoft Excel Utlzando el solver de Mcrosoft Excel es posble resolver para cualquer red mallada tanto el Problema de Análss como el de Dmensonamento (el únco límte vendría mpuesto por el número de varables que es capaz de manear el solver). Para ello habrá que expresar matemátcamente ambos como problemas de Programacón Matemátca (Optmzacón) medante sus varables, funcón obetvo o de coste y restrccones. 7.1 Problema de Análss Resolver el Problema de Análss de una red consste en obtener los valores de las ncógntas hdráulcas, q y Q que satsfacen la Ec. 21. Este msmo problema se podría expresar como hallar, q y Q que mnmzan la funcón obetvo η defnda como: η (, q,q) = M M Ec. 23 η representa el módulo del resduo de las ecuacones del modelo matemátco. De entre las solucones que mnmzan la funcón obetvo sólo hay una que además es la solucón de la Ec. 21 por lo que dcha ecuacón debe añadrse como restrccón al problema, que se escrbrá matemátcamente de la sguente manera: mn{ η (,q,q) = M M / M(,q,Q) = 0} Ec. 24,q,Q La Ec. 24 se lee como: hállese, q y Q que mnmcen η restrngdo a M,q,Q =. ( ) Problema de Dmensonamento Óptmo Como se ha menconado anterormente, para determnar la solucón del Problema de Dmensonamento Óptmo de una red es necesaro ntroducr un crtero de dseño que permta obtener de entre todas las solucones que satsfacen la Ec. 21 y Ec. 22 aquella que es óptma. Dcho crtero de dseño puede ser que la solucón buscada sea óptma desde el punto de vsta económco y su coste total, suma de los costes de construccón y operacón, C sea mínmo. Matemátcamente esto se expresa como: mn { C (, q, Q, δ) / M(, q, Q, δ) = 0; R(, q, Q, δ) 0},q,Q, Ec. 25 δ 250

11 8. Eemplo de Problema de Análss de una red 123 (m) [12] (1) (6) [2] (2) Q 6 Q 7 (9) (16) Q 1 [6] [7] [1] (5) (8) (7) [5] [8] (13) [10] (4) (14) (3) [3] [4] [11] Q 4 [9] (11) (15) Q 10 (12) Q (m) (10) [13] Fgura 3. Eemplo de Problema de Análss Como eemplo se va a resolver el Problema de Análss de la red de la Fgura 3. La red está compuesta por 13 nodos y 16 tuberías y por ella crcula agua. Los datos de las tuberías y de las demandas se encuentran en la abla 3. odas las tuberías se han consderado de acero con una rugosdad de 0.3 mm. abla 3 Datos de la red. Problema de Análss Línea Dámetro (mm) Longtud (m) Nudo Demanda (l/s) En este caso el vector de varables ncógntas son: 251

12 q = = { } { q12 2 q23 q34 q45 q56 q62 q58 q87 q76 q13 9 q9 11 q11 10 q10 8 q89 q1 10 q71 } Q = { Q 12 Q 13 } Ec. 26 Al estar la red consttuda úncamente por tuberías la ecuacón de todas las líneas es smlar a la Ec. 17 sendo: 8 f L R D g = 2 5 Ec. 27 π sendo f el factor de frccón de Darcy y L y D la longtud y el dámetro de la tubería respectvamente. El factor de frccón de Darcy se ha calculado medante la expresón de PSAK (Prabhata and Jan 1976). Este problema de análss se escrbó en la hoa de cálculo Mcrosoft Excel y se resolvó con el solver. Cas nstantáneamente se obtenen los resultados que se presentan en la sguente tabla: abla 4 Resultados Problema de Análss Línea Caudal (m 3 /s) Nudo Altura (m.c.a)

13 9. Eemplo de Problema de Dmensonamento Óptmo de una red Se ha selecconado como eemplo de un Problema de Dmensonamento Óptmo la red con bombeo de la sguente fgura: 0 (m) a (1) 40 (l/s) 30 (l/s) [1] [2] (2) [3] (3) [4] 20 (l/s) (4) (5) (6) [5] [6] [7] (7) (8) 50 (l/s) 20 (l/s) 30 (l/s) Fgura 4. Eemplo de Problema de Dmensonamento La red está compuesta por 7 nudos y 8 líneas y funcona durante 6000 horas al año. La bomba posee un rendmento del 75% y el coste del kw h es de Los restantes datos de la red se presentan en la sguente tabla: abla 5 Datos de la red. Problema de Dmensonamento Óptmo Línea Dámetro (mm) Longtud (m) Rugosdad (mm) Nudo Cota (m) Demanda (l/s) 1? ? 2? ? ? ? ? ? ? Las tuberías son de acero comercal de rugosdad 0.3 mm y el coste del metro lneal de este tpo de tubería se puede relaconar con el dámetro medante la sguente expresón: a cl ( D) = A D Ec. 28 sendo c L el coste en /m y D el dámetro de la tubería expresado en metros. Los coefcentes A y a tenen unos valores en este eemplo de 1800 y 1.5 respectvamente. Las varables hdráulcas del problema son: = q = { } { q12 q23 q34 q25 q36 q47 q56 q67} Q = { } Q 1 Ec. 29 Las ecuacones característcas de todas las líneas son smlares a la Ec. 17 excepto la línea que une los nodos 1 y 2 cuya ecuacón se expresa como: 1 2 = R12 q12 q12 B Ec. 30 sendo B la altura manométrca proporconada por la bomba que exste en dcha línea. Las varables de dseño son la menconada altura manométrca de la bomba y los dámetros de las tuberías: 253

14 D = δ = { D } B { D D D D D D D } D67 Ec. 31 En el comportamento hdráulco deseado en la red, la presón en los nodos de consumo no puede ser nferor n superor a unos determnados valores que en este caso serán 30 y 45 m.c.a. Esta condcón se expresa matemátcamente como: max p p p 45 m.c.a. = = 30 m.c.a. Ec. 32 γ γ γ sendo γ el peso específco del agua y p la presón en el nudo de consumo. ambén se puede escrbr como: max mn Ec. 33 La funcón obetvo es el coste global de la red suma de sus costes de construccón y explotacón. C = CC + CE Ec. 34 En los costes de construccón se suele consderar prncpalmente el coste asocado a las tuberías al ser estos los de mayor mportanca en el total. Así los costes de construccón se expresarán matemátcamente como: a CC ( D ) = α A D L Ec. 35 sendo C C el coste de construccón expresados en /año y α=0.1 el coefcente de amortzacón que se obtene a partr del nterés e y del tempo de vda de la nstalacón medante la fórmula: e ( 1 + e) α = Ec. 36 ( 1 + e) 1 Los costes de explotacón están asocados al consumo energétco del bombeo. La energía eléctrca consumda por la bomba durante un año es: B q12 γ E B= nh Ec. 37 η B sendo B, η B y n h la altura manométrca, el rendmento y el número de horas de funconamento de la bomba respectvamente. El coste de la energía eléctrca será: B q12 γ CE ( B, q ) = PE EB = PE nh Ec. 38 η B sendo P E el preco de la energía eléctrca. Como restrccón al problema se lmtará el valor de los dámetros a los valores máxmos y mínmos de la sere comercal utlzada. Matemátcamente esto se expresa como: mn max D D D Ec. 39 El Problema de Dmensonamento Óptmo de la red se expresará como: max mn mn max mn { C ( δ, q) / M(, q, Q, δ) = 0; ; D D D } Ec. 40,q,Q,δ Este problema con sus varables, funcón obetvo y restrccones se ha escrto en Mcrosoft Excel y se ha resuelto con la ayuda del solver que ncorpora esta hoa de cálculo. Los resultados se presentan en la sguente tabla: mn 254

15 abla 6 Resultados Problema de Dmensonamento Óptmo Línea Dámetro (mm) Caudal (m 3 /s) Nudo Altura (m.c.a) Presón (m.c.a) La altura óptma de bombeo es m.c.a. y el coste total de la nstalacón ha sdo de 3,037, A la vsta de los resultados puede comprobarse que el dmensonamento óptmo basado en un crtero económco proporcona una red ramfcada, asgnando el valor mínmo del dámetro a determnadas líneas que son redundantes. 10. Conclusones En el presente trabao se ha utlzado la hoa de cálculo Mcrosoft Excel en la defncón, análss y optmzacón de sstemas y procesos cuyo comportamento vene descrto por un modelo matemátco expresado como un sstema de ecuacones algebracas no lneales. Se han presentado dos eemplos de aplcacón en el campo de la Ingenería érmca y de Fludos como son; el análss y optmzacón de cclos termodnámcos y el análss y dmensonamento óptmo de sstemas de transporte de fludos. En estos eemplos los problemas analzados se han formulado matemátcamente y se han defndo en Mcrosoft Excel. En la resolucón se ha utlzado el solver que la hoa de cálculo que trae ncorporado y el Add-In PX. Los resultados han sdo muy satsfactoros en cuanto al tamaño de los modelos matemátcos empleados y a la rapdez de los resultados obtendos. El tempo de cálculo nunca ha superado el mnuto utlzando un ordenador personal con un procesador Intel Pentum a 1.7 Gz. La metodología presentada en este trabao puede ser tambén aplcada en la resolucón de otros problemas pertenecentes a dferentes aplcacones y/o áreas de la Ingenería cuya formulacón matemátca sea smlar a la descrta y amplarse a problemas cuyos modelos matemátcos sean sstemas de ecuacones dferencales. Referencas Frontlne System Inc. (1999). A tutoral on spreadsheet optmzaton. Goodwn D. G. (1998), PX: hermodynamc Propertes for Excel, Jeppson, Roland W. (1976). Analyss of Flow n Ppe Networks, 1ª Edton, págna 6. Ann Arbor Scence, Collngwood. Lasdon, L.S., Warren, A.D., Jan A. and Rather, M. (1978). Desgn and estng of a Generalzed Reduced Code for NonLnear Programmng. AC ransactons on Mathematcal Software, 4(1), Swamee, Prabhata K. and Jan, Akalank K. (1976). Explct Equatons For Ppe-Flow Problems. ASCE Journal of ydraulc Dvson, 102(5),

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