2. MATRICES Y DETERMINANTES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "2. MATRICES Y DETERMINANTES"

Transcripción

1 Marices y Deermiaes 2. MTRICES Y DETERMINNTES SUMRIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRIC 1.- Marices. 2.- Operacioes co Marices. 3.- Equivalecia de Marices. Trasformacioes Elemeales de Marices. 4.- Cálculo de la Mariz Iversa. 5.- Deermiaes. 6.- Desarrollo de u Deermiae. 7.- Propiedades de los Deermiaes. 8.- Expresió de la Mariz Iversa. PROBLEMS RESUELTOS. BIBLIOGRFÍ 35

2 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. INTRODUCCIÓN E ese puo del emario surge u dilema para el profesor. Si se persigue ua rigurosidad maemáica habría que comezar ese segudo bloque defiiedo la esrucura de Espacio Vecorial, para a coiuació y como ejemplo, defiir las Marices, pasado poseriormee a las aplicacioes lieales, los sisemas de ecuacioes y fialmee como ejemplo de aplicació mulilieal, dar los deermiaes. Si embargo e u curso de Álgebra lieal dero de la formació de u Igeiero Técico, creemos que se debe ser más flexible e el orde de los emas aediedo fudamealmee al crierio de que al alumo lo que le ieresa es el maejo prácico que de oda esa herramiea puede realizar. Es por eso que, siedo fieles a la evolució del Álgebra, comezamos el ema iceivádolos mediae u ejemplo e el que halla que resolver u sisema de ecuacioes y a coiuació les expoemos oda la maemáica ecesaria que les faciliará dicha resolució: las marices y los deermiaes, para fialmee aacar co esa herramiea cualquier sisema de ecuacioes que se les presee. Ese orde os permie mosrarles los espacios vecoriales doados de ua gra caidad de elemeos maemáicos que os eviará eorizar e demasía y avazar co fluidez e los siguiees emas. 36

3 Marices y Deermiaes OBJETIVOS Realizar co solura las disias operacioes co marices. Comprobar que las marices cuadradas de orde iee ua esrucura de aillo. Coocer las posibles operacioes elemeales, e ideificarlas co el produco por la correspodiee mariz elemeal. Compreder su sigificado y calcular co precisió el rago de ua mariz. Maejar el méodo de Gauss para hallar ua mariz escaloada equivalee. Deermiar subcojuos oables de marices cuadradas como diagoales, marices de raza ula, riagulares de cada ipo, siméricas, aisiméricas, hermíicas, aihermíicas, ec. Calcular, si es posible, como produco de marices elemeales, la iversa de ua mariz cuadrada. Compreder el seido de las propiedades de los deermiaes, cuyo fi es calcularlos co mayor comodidad que siguiedo la defiició. Coocer y pracicar co solura el cálculo de u deermiae por los diferees méodos y elegir la esraegia más adecuada e cada caso. Calcular co solura el rago de ua mariz empleado deermiaes. 37

4 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Decidir si ua mariz iee iversa, o o, a ravés de su propio deermiae. Cuado exisa, calcular la iversa mediae deermiaes. 38

5 INTRODUCCION TEORIC Marices y Deermiaes 1. MTRICES Ua mariz de orde m es u cojuo de m elemeos pereeciees a u cuerpo K, ordeados e m filas y e columas. a a a a21 a22 a 2 a a 1 a 2 a dode i 1,... m, j 1,...,. Nosoros cosideraremos que K es el cuerpo o. Simbolizaremos ua mariz por ua lera mayúscula o por : a i 12,,..., m, j 12,,..., o de forma más secilla por a cual se ecuera el elemeo, el j la columa). (el subídice i os idica la fila e la 1.1. Tipos pariculares de Marices Si m 1 la mariz se llama mariz fila. Si 1 la mariz se llama mariz columa. Si m Si m la mariz se llama mariz recagular la mariz se llama mariz cuadrada y se dice de orde. NOTCIONES El cojuo de marices de orde m cuyos elemeos oma valores del cuerpo K se simboliza por M ( K) m. 39

6 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Si K, se simplifica la oació por M ( m, ) o M m. El cojuo de marices cuadradas de orde se simboliza por M ( K ). Si K, uiliza la oació M o M Defiició de Mariz Nula Mariz ula O es aquella e que odos sus elemeos so 0, es decir, a 0, i 12,,..., m, j 12,,...,. Cualquiera que sea el orde de las marices co las que se rabaje, siempre es posible defiir su mariz ula Defiició de Diagoal Pricipal Si es ua mariz cuadrada de orde la diagoal pricipal de es los elemeos de la forma a ii, i 12,, Defiició de Traza Traza de ua mariz cuadrada es la suma de los elemeos de la diagoal pricipal: Traza Tr a a a. ( ) ( ) OPERCIONES CON MTRICES 2.1. Igualdad Dos marices y B del mismo orde m so iguales si y sólo los elemeos siuados e las mismas posicioes e ambas marices coicide, es decir, si: a b, 40

7 i 12,,..., m, j 12,,.... Marices y Deermiaes 2.2. Suma de marices Dadas dos marices y B del mismo orde m se defie la mariz suma C + B, como la mariz de orde m que resula de sumar ere sí los elemeos que ocupa las mismas posicioes e ambas marices, es decir: c a+ b, i 12,,... m, j 12,,..., Produco de ua mariz por u úmero Dada ua mariz de orde m y dado u elemeo λ K, la mariz B λ (produco de la mariz por el elemeo del cuerpo λ ) es la mariz de orde m que resula de muliplicar odos los elemeos de por λ, eso es: b a λ, i 12,,..., m, j 12,,..., Produco de marices Dadas dos marices de orde m y B, de orde p, su mariz produco C B es ua mariz de orde m p al que: c a b a b + a b + + a b, i 12,,..., m, i j ik k j i1 1j i2 2 j i j k 1 j 12,,..., p. IMPORTNTE: Para que se pueda muliplicar dos marices, el úmero de columas de la primera debe ser igual al úmero de filas de la seguda. El produco de marices o es comuaivo. 41

8 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez, Trasposició de marices Dada ua mariz de orde m se defie su mariz raspuesa, que se simboliza por como la mariz que resula de iercambiar e sus filas por sus columas, eso es: ( a ), dode i 1,... m, j 1,..., y co a a. ji El orde de la mariz raspuesa es m. Las pricipales propiedades de la rasposició de marices so: ( ) + B + B ( ) B B Tipos de Marices Cuadradas Ua mariz, cuadrada de orde se dice que es: Diagoal, si a 0, si i j. Escalar, si es diagoal y aii a, i 12,,...,. Ideidad, si es escalar y a ii 1, i 12,,...,. Se deoa por I. Triagular superior, si a 0, i> j. Triagular iferior, si a 0, i< j. Regular o iverible, si exise su iversa (rabajado co el produco de marices). la mariz iversa se la deoa por 1 y verifica: 1 1 I. Sigular, si o iee iversa. Simérica, si. 42

9 isimérica, si Idempoee, si Ivoluiva, si 2 2 I. Marices y Deermiaes, (ambié se deomia hemisimérica).. Orogoal, si EQUIVLENCI DE MTRICES. TRNSFORMCIONES ELEMENTLES DE MTRICES Las rasformacioes elemeales de fila más imporaes so: La permuació de las filas i y j, que deoaremos por F. El produco de la fila i por ua cosae 0 k, deoada por ( ) Sumar a la fila i la j muliplicada por k, deoada por F( k ). F k. i álogamee las rasformacioes elemeales de columas so i ( ) C k, y C ( k ). C, 3.1. Mariz Elemeal Mariz elemeal es oda mariz que resula de aplicar ua rasformació elemeal a la mariz ideidad. de ipo fila y F i deoará ua mariz elemeal geeral C j deoará ua mariz elemeal geeral de ipo columa. Las disias marices elemeales so: 1.- F y C que resula de iercambiar e la mariz ideidad filas i y j, e el caso de F, o las columas i y j, e el caso de lo ao, I las C. Por 43

10 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez, si I se iee que al iercambiar las filas (o las columas) i y j resula: i j F 1 i 0 1 C j Fi ( k ) y Ci ( k ) que resula de muliplicar e la mariz ideidad I la fila i por el escalar k, e el caso de Fi ( k ), o la columa i por el escalar k, e el caso de Ci ( k ). 1 1 Fi( k) Ci( k) k i 1 1 i 44

11 Marices y Deermiaes 3.- F( k ) y C( k ) que resula de sumar e la mariz ideidad I a la fila i la j muliplicada por el escalar k, e el caso de F ( k ), o a la columa i la j muliplicada por el escalar k, e el caso de F 1 i 1 k ( k) j 1 1 C. C i 1 1 ( k) k 1 1 j NOT: La mariz que se obiee al realizar ua rasformació elemeal e la mariz de orde m por filas (columas) coicide co la mariz obeida al muliplicar por la izquerda (derecha) la mariz por la mariz elemeal correspodiee. E la mariz a i 12,,..., se puede obeer las siguiees rasformacioes, siedo i j 12,,..., m < j. 45

12 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. F a a a a 11 1i 1 j 1m j1 ji j j jm i1 ii i j im 1 i j m a a a a a a a a a a a a C a a a a 11 1 j 1i 1m i1 i j ii im j1 j j ji jm 1 j i m a a a a a a a a a a a a F( k) a a a a 11 1i 1 j 1m i1+ j1 ii + ji i j + j j im + jm aj1 aji aj j ajm a1 ai a j a m a ka a ka a ka a ka C a a + ka a a 11 1i 1 j 1 j 1m i1 ii + i j i j im j1 ji + j j j j jm 1 i + j j m a a ka a a a a ka a a a a ka a a 46

13 F i ( k) a a a a 11 1i 1 j 1m i1 ii i j im j1 ji j j jm 1 i j m ka ka ka ka a a a a a a a a Marices y Deermiaes C ( k) i a ka a a 11 1i 1 j 1m i1 ii i j im j1 ji j j jm 1 i j m a k a a a a ka a a a ka a a 3.2. Marices equivalees Dos las marices y B, se dice que so equivalees si ua se puede obeer de la ora a ravés de rasformacioes elemeales. Por ao, si y B F F FCC C r siedo F 1, F 2,, B M mso equivalees, se iee que: s F r marices elemeales que represea las rasformacioes aplicadas a las filas de y C 1, C 2,, C s las rasformacioes aplicadas a las columas de, para obeer la mariz B. Eoces si P Fr F2F1 y Q CC 1 2 Cs se iee y B so equivalees si y sólo si exise P y Q regulares ales que B Q se deomia marices de paso. PQ ; P y 47

14 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 4. CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS La mariz (cuadrada) iee iversa si y sólo si mediae rasformacioes elemeales sólo e sus filas o sólo e sus columas, se llega a la mariz ideidad. Si f E y c E so las operacioes elemeales que aplicadas, respecivamee, a las filas o a las columas de coduce a la ideidad, f c es decir: E ( ) F r F1 I y E ( ) C s C1 I, eoces se iee que: E () 1 f I (las operacioes elemeales se ha realizado e las filas e ), o E () 1 c I (las operacioes elemeales se ha realizado e las columas de ) 4.1. Marices Semejaes Dos marices y B cuadradas de orde so semejaes si exise ua mariz P regular al que B PP DETERMINNTES Si llamamos M ( K ) al aillo de odas las marices cuadradas sobre el cuerpo K, podemos defiir el deermiae como ua aplicació de M ( K ) e K : de : M ( K)----K ----de( ) 48

15 Si Marices y Deermiaes a eoces su deermiae se puede simbolizar de las siguiees maeras: de( ) de a1, a2,, a, mariz ) ( por a i se simboliza a la columa de lugar i de la a a a a a a a a a Esa aplicació iee que verificar las siguiees propiedades: de a1 a2 ai ai a de a1 a2 ai a,,, +,,,,,,, + + de a1 a2 ai a,,,,, de a1, a2,, λai,, a λde a1, a2,, ai,, a, (λ K) de a1 a2 u u a,,,,,, 0 de I 1. E esa defiició se puede susiuir las columas a i de por sus filas; más adelae se verá que de ambos modos se llega a u mismo resulado. Se llama deermiae de orde al deermiae de ua mariz de amaño Meor Complemeario Sea ua mariz cuadrada, M ( K). Llamamos meor complemeario del elemeo a al deermiae de la mariz que resula 49

16 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. de suprimir la fila i y la columa j de la mariz. Lo deoamos por α djuo de u Meor Complemeario El adjuo del meor complemeario α se deoa por y viee dado por: ( ) 1 i+ j α. 6. DESRROLLO DE UN DETERMINNTE El deermiae de ua mariz cuadrada de orde, a se puede obeer como suma de los producos de los elemeos de ua de sus filas (o de ua de sus columas) por sus correspodiees adjuos. 7. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES Sea M ( K), se cumple que: Si odos los elemeos de ua fila (o ua columa) de so 0 eoces 0. Si muliplicamos por k K odos los elemeos de ua fila (o ua columa) de, eoces el deermiae de queda muliplicado por k. Si se permua dos filas (o dos columas) de ere sí, eoces el deermiae de cambia de sigo. Si iee dos filas (o dos columas) iguales, eoces 0. Si iee ua fila (o ua columa) proporcioal a ora, eoces 0. 50

17 Marices y Deermiaes Si a ua de las filas ( o a ua de las columas ) de le sumamos ua combiació lieal de las resaes, el deermiae de la mariz o varía. B B,, B M Si es ua mariz iverible, eoces Meor de orde p Sea a ua mariz de orde m cualquiera, y elegidas las p filas i1, i 2,, ip de, (co p m y p ), se llama meor de orde p de, que deermia las p filas y las p columas elegidas, al deermiae de la submariz de de amaño p p, que forma los elemeos siuados e los cruces de las filas y columas elegidas; eso es, al deermiae: M a a a i1 j1 i1 jp a ip j1 ip jp 7.2. Rago de ua mariz Se dice que p es el rago de ua mariz M ( K), si iee algú meor de orde p o ulo y odos los meores de de orde mayor que p so ulos; o sea, p es el mayor de los órdees de los meores o ulos de. Se deoa por Rag( ) p. m 51

18 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 8. EXPRESIÓN DE L MTRIZ INVERS Sea a ua mariz cuadrada, de amaño. Se llama mariz adjua de, a la mariz a, co a ( 1 ) i+ j α de amaño. Se verifica que si es ua mariz regular, es decir si 0, eoces: 1 a11 a21 a1 a 12 a a 22 2 ( ) a1 a2 a 52

19 Marices y Deermiaes PROBLEMS RESUELTOS 1.- Sea las marices B, M4x3 y C M3 x 4 y la mariz D M co D regular (deermiae disio de 0). De las 4x4 siguiees operacioes hay ua que o es posible realizar, cuál es? a) ( ) DC( + B) SOLUCIÓN: 1 + B CD b) D 1 ( + B) C c) 3 BCD d) Las operacioes del aparado a) sí se puede realizar porque las marices y B iee la misma dimesió 4x 3, por lo ao + B M4x3, además el úmero de columas de esa mariz coicide co el de filas de C, por lo que ambié se puede realizar ( + B) C M4x4, por úlimo, como D es regular, podemos asegurar que exise D M 1 4x4, y de uevo, por coicidir las dimesioes, podemos efecuar el siguiee 1 produco:[ ( + B) C ] D. Las operacioes del aparado b) ambié se puede realizar. Como D es regular, podemos asegurar que exise D M 1 4x4, y ya hemos viso ambié que exise la mariz + B M4 3, como el úmero de columas de 1 D que es 4, coicide co el úmero de filas de produco 1 D B M4 3 x + B, podemos realizar el ( + ) x, de uevo el úmero de columas de esa ueva mariz, que es 3, coicide co el úmero de filas de C, por lo que podemos realizar el siguiee produco si igú problema D 1 ( + B) C. 53

20 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Las operacioes del aparado c) so perfecamee viables. La mariz B iee 3 columas y la mariz C 3 filas, por lo que podemos realizar BC M 4x4, por oro lado 3 D es ua mariz 4x 4, por lo que es posible realizar BCD 3 M. 4x4 La operació de ese aparado o es facible, pues la mariz D iee 4 columas que o coicide co el úmero de filas de la mariz C, que es 3, por lo ao, o es posible realizar DC. 2.- Sea las marices M4 3( ) ; B M4 3( ) ; C M3 4( ); D M4 4( ) x ; x x x Cual de las siguiees operacioes o se puede realizar? a) ( + B). C. D b) D. ( + B). C c) SOLUCIÓN: a) Falso, si se puede realizar... d) DC..( + B). 3 B CD ( 4x3 + 4x3 )(3x4)(4x4) ( 4x3)(3x4)(4x4) ( 4x4)(4x4) (4x4) b) Falso, si se puede realizar. (4x4)( 4x3 + 4x3 )(3x4) ( 4x4)(4x3)(3x4) ( 4x3)(3x4) (4x4) c) Falso, si se puede realizar. (4x3)(3x4)(4x4)(4x4)(4x4) ( 4x4)(4x4)(4x4)(4x4) ( 4x4) d) Verdadera. (4x4)(3x4)( 4x3 + 4x3 ), los ordees, (4x4) y (3x4) o so compaibles para la muliplicació. 3.- Dada ua mariz cualquiera, razoar la veracidad o falsedad de los siguiees euciados: 54

21 a) El produco. Marices y Deermiaes esá defiido cualquiera que sea el amaño de b) El produco ( ) esá defiido cualquiera que sea el amaño de. c) El produco ( ) esá defiido cualquiera que sea el amaño de. d) Para que el produco cuadrada. SOLUCIÓN: a) Verdadero. esé defiido es ecesario que sea Mxm Mmx, por lo ao sí es posible realizar M x. b) Verdadero. Mxm Mmx, por lo ao, podemos hacer M xm eoces podemos realizar ( ) M xm. c) Verdadero. Mxm Mmx, por lo ao, podemos hacer M ( ) M eoces podemos realizar mxm ( ) M xm. d) Falso. mxm M mxm y como Para que cuadrada. esé defiido o es ecesario que sea ua mariz 55

22 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez, Sea M2x3 (o es cuadrada) M 4 1 3x2 y Calcular el valor de los siguiees deermiaes: a) b) x y z 3 4 c) d) x y x+ y y z x+ y z x+ y x x+ y SOLUCIÓN: a) a ( des por 1 F ) b) 56

23 x y z 3 4 Marices y Deermiaes , al raarse de ua mariz riagular, su deermiae es el produco de los elemeos de la diagoal pricipal. c) d) a ( des. por 3 C ) x y x+ y 1 x y 1 1 y z x+ y 1 y z 1 ( x+ y) 1 z x+ y 1 z 1 ( hay doscolum iguales) 1 x x+ y 1 x 1 ( x+ y) Dada ua mariz cuadrada de orde 11 y λ, calcular el valor del deermiae: λ SOLUCIÓN: l muliplicar la mariz por λ lo que se esá haciedo es muliplicar cada uo de los elemeos de la mariz por λ. l calcular el deermiae de ua mariz, si oda ua fila (o ua columa) de la mariz esá muliplicada por el mismo úmero, ése se puede sacar fuera del deermiae (propiedad 2 de las umeradas como propiedades de los deermiaes). E uesro caso eemos las 11 filas de la mariz 57

24 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. muliplicadas por λ, por lo ao al calcular λ podemos sacar 11 veces el λ fuera de la mariz, co lo que os queda lo siguiee: λa λa λa λa λa λa λ λa λa λa a λa λa a λa λa a λa λa λ λ ( ) a a λa λa a a λa λa a a λa λa a a a a a a a a ( λ) ( λ). a a a Calcular los valores de x que hace cero el deermiae de la mariz 58

25 x a b c x x d e x x x f x x x x SOLUCIÓN: co abcde,,,,. Marices y Deermiaes F21( 1) F31( 1) F41( 1) 0 x a b c x a b c x x d e x a d b e c x x x f 0 x a x b f c x x x x 0 x a x b x c F32 ( 1) F42 ( 1) 0 x a b c x a d b e c F43 ( 1) x d f e 0 0 x d x e x a b c x a d b e c 0 0 x d f e x f xx ( a)( x d)( x f) 0 x 0 ox a o x d o x f 7.- Dada ua mariz diagoal se iee que es iverible: a) Siempre b) Nuca c) Si la raza es o ula. d) Si odos los elemeos de la diagoal pricipal so o ulos. SOLUCIÓN: a) Falsa. 59

26 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. Como coraejemplo, sea la siguiee mariz se raa de ua mariz diagoal, si embargo o es iverible porque 0. b) Falsa Como coraejemplo, sea la siguiee mariz ua mariz diagoal y es iverible, su iversa es ella misma se raa de c) Falsa Nos vale el mismo coraejemplo del aparado a). Sea su raza será la suma de los elemeos de la diagoal pricipal, por lo que Traza( ) , si embargo hemos viso que o es iverible. d) Verdadera. Sabemos que el deermiae de ua mariz diagoal es el produco de odos los elemeos de la diagoal pricipal, por lo que si iguo de ellos es ulo, el deermiae será disio de cero por lo que la mariz es iverible. 60

27 a a a. a a 0, a Marices y Deermiaes ya que aii 0 i Si M es idempoee 2 ( ) y además es orogoal 1 ( ), calcular cuál es el valor de su deermiae. SOLUCIÓN: Por ser 1 I, eemos que 1 I 1. Luego, eemos que: 1 ( ) 2 ( ) ( ) Sea M ( C) ua mariz cuadrada aisimérica de orde x impar y co eradas complejas, cuáo vale su deermiae? SOLUCIÓN: Coocemos dos propiedades de los deermiaes que se verifica para cualquier mariz M ( C) : x 1) 2) λ λ Ua mariz se dice que es aisimérica si ua ercera propiedad para uesra mariz:, lo cual os garaiza 3) y ademas es impar: 61

28 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 4) ( 1) 1 Uilizado odo eso eemos e uesra mariz: (3) (1) ( 1) (2) ( 1) (4) Si λ 1, λ R, 0 λ demosrar que λ λ. 0 λ 1 SOLUCIÓN: Lo comprobaremos por iducció sobre. Veamos que es ciero para λ 2λ λ 2λ ,, λ 0 λ supogamoslo ciero para 1 y veamos que que ocurre para. λ ( 1) λ λ 1 0 λ λ λ λ + ( 1) λ λ λ λ λ 0 λ 11.- Si M ( R) iee exacamee 1 filas (o columas) o x ulas, razoa la veracidad o falsedad de: a) Rag( ) 1; b) Rag( ) 1; c) De( ) 1; d) De( ) 0 SOLUCIÓN: a) Falsa. Si iee exacamee ( 1) filas o columas o ulas, eso o me idica que sea liealmee idepediees, podría suceder que las ( 1) 62

29 Marices y Deermiaes líeas que o so ulas sea odas iguales co lo que se edría que el rago de es como máximo 1, o que sólo dos sea liealmee idepediees, co lo que Rag( ) 2... Como ejemplo valga el siguiee: M x3, esa mariz iee exacamee columas o ulas, si embargo su rago o es 2, ya que Rag( ) Rag Rag O sea ambié la siguiee mariz: B M x4, esa mariz iee exacamee ( 1) columas o ulas, si embargo su rago o es 3, ya que Rag( B) Rag Rag b) Falso. Como coraejemplo os vale la mariz B del caso a). c) Falso. Como coraejemplo eemos las marices y B del caso a): 63

30 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. B 0 d) Verdadero. Si ua mariz iee ua de sus columas o ua de sus filas idéicamee ula, su deermiae vale Sea y B M ( R) co B.. De los res aparados siguiees demosrar el que sea verdadero y dar coraejemplos para los aparados falsos. a) 0 B 1. b) B 0 1 c) 0 1 SOLUCIÓN: a) Verdadera. B B.. B 0 B 1 b) Falsa. Como coraejemplo valdría el siguiee: y B e ese caso eemos que B. y además B 1 0, si embargo eemos que 2 1 c) Falsa. Como coraejemplo os vale el mismo que el del aparado b). 64

31 Marices y Deermiaes BIBLIOGRFI NZOL, M.; CRUNCHO, J.; PÉREZ-CNLES, G. (1981). Problemas de Álgebra (Tomos 1-7). Madrid. SSG. BURGOS, J. (1999). Álgebra Lieal y Geomería Caresiaa. Madrid. McGraw-Hill. CRBO, R.; DOMINGO, LL. (1987). Álgebra Maricial y Lieal. España. McGraw-Hill. DE L VILL,. (1994). Problemas de Álgebra. Madrid. Clagsa. ESPD BROS, E. (1984). Problemas resuelos de Álgebra. Barceloa. EUNIBR. FLQUER, J; OLIZOL, J; OLIZOL, J. (1996). Curso de Álgebra Lieal. Navarra EUNS. FRLEIGH, J.B.; BEUREGRD, R.. (1989). Álgebra Lieal. U.S.. ddiso-wesley Iberoamericaa. GRCÍ, J.; LÓPEZ, M. (1990). Álgebra Lieal y Geomería. lcoy. Marfil. GRNERO, F. (1994). Álgebra y Geomería alíica. Madrid. McGraw-Hill. GROSSMNN, S.I. (1996). Álgebra Lieal co aplicacioes. México. McGraw-Hill. GUERR, N.; LÓPEZ, B. (1999). Problemas resuelos ipo es de Álgebra Lieal (Co esquemas eóricos). Las Palmas de G.C. El Libro Técico. 65

32 Guerra, N.; López, B.; Quiaa, M.P.; Suárez,. 66

i 1,2,..., m (filas) j 1,2,..., n (columnas) t

i 1,2,..., m (filas) j 1,2,..., n (columnas) t MTRICES Y DETERMINNTES Cocepos básicos Deermiaes Mariz iversa CONCEPTOS BÁSICOS MTRIZ de m filas y columas: a11 a12 a1 a21 a22 a 2 am1 am2 am i1,2,..., m (filas) Se represea por a j 1,2,..., (columas)

Más detalles

DETERMINANTES II. Solución. 2. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el siguiente determinante: A = Solución

DETERMINANTES II. Solución. 2. Calcula, aplicando la regla de Sarrus, el siguiente determinante: A = Solución DETERMINNTES II 1 0 4-1 1. Halla los deermiaes de las siguiees marices: = B = 5-1 05 B 4 1 1 10-1 0. Calcula, aplicado la regla de Sarrus, el siguiee deermiae: = 0 0 1-6 -1 0 1 0 0 0 1 00 11 6 00 1 0 0

Más detalles

Sistemas. Matrices y Determinantes 1.- Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden:

Sistemas. Matrices y Determinantes 1.- Si A y B son matrices ortogonales del mismo orden: Sisemas. Marices y Deermiaes.- Si y B so marices orogoales del mismo orde: a) 2 b) B c) B 2.- Dadas dos marices iversibles y B NO se verifica e geeral que: a) ( ) ( ) b) ( B) B c) 3.- Dadas las marices

Más detalles

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL ELEMENTOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL Ezequiel Uriel DEFINICIONES Matriz Ua matriz de orde o dimesió p- o ua matriz ( p)- es ua ordeació rectagular de elemetos dispuestos e filas y p columas de la siguiete forma:

Más detalles

EJERCICIOS DE MATRICES

EJERCICIOS DE MATRICES EJERCICIOS DE MTRICES RNGO DE UN MTRIZ 4. Calcula el rago de la mariz 4 0 0 0 Obeer ua mariz escaloada por filas Se puede cambiar el orde de las filas de la mariz: F F4 0 0 0 0 0 0 F F 4F 4 F 4 F F 0 F

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS II TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS II TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003 MATEMÁTICAS II TEMA : MATRICES Y DETERMINANTES Juio, Ejercicio 3, Opció B Reserva 2, Ejercicio 3, Opció A Reserva 2, Ejercicio 3, Opció B Reserva 3, Ejercicio

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.2. MATRICES. OPERACIONES ELEMENTALES TEM VECTORES Y MTRICES MTRICES OPERCIONES ELEMENTLES VECTORES Y MTRICES MTRICES: OPERCIONES ELEMENTLES Cocepo de riz Eleeos Tipos de rices Su y difereci de rices Produco de u úero por u riz Trsposició

Más detalles

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Tema 5. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES José Maía Maíe Mediao Tema DGONLZCÓN DE MTRCES oducció Poecia de ua mai Sea Supogamos que se desea calcula : 7 7 8 8 Deemia ua egla paa o esula imediao Compobemos, aes de segui adelae, que MDM, siedo M

Más detalles

SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES

SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES .- Discuir, e fució del parámero a, el siguiee sisema de ecuacioes lieales x y z x y z -4 x-y ( a ) z -a-5 4x y ( a 6) z -a 8 Solució: La mariz de los coeficiees es de orde 4x y la mariz ampliada a 4 a

Más detalles

Solución. Al sistema lo definen dos matrices, A la matriz de coeficientes y A la matriz ampliada. A A A A

Solución. Al sistema lo definen dos matrices, A la matriz de coeficientes y A la matriz ampliada. A A A A . Resolver Solució. l sisema lo defie dos marices la mari de coeficiees la mari ampliada. rg ' rg ' ' Rago de (méodo de ramer) S..D. rg ' rg. Resolver Solució. l sisema lo defie dos marices la mari de

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS 7 Marices EJERCICIOS PROPUESTOS y. Ejercicios resuelos.. Dadas las marices A y B idica, si es posible. A 0 0 4 B 5 0 a) Los elemeos a 4 y b 4 b) La dimesió de cada ua de ellas c) La mariz raspuesa de cada

Más detalles

Transformaciones Lineales

Transformaciones Lineales Trasformacioes Lieales 1 Trasformacioes Lieales Las trasformacioes lieales iterviee e muchas situacioes e Matemáticas y so alguas de las fucioes más importates. E Geometría modela las simetrías de u objeto,

Más detalles

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN

TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1.- INTRODUCCIÓN TEMA 5: CAPITALIZACIÓN COMPUESTA 1- INTRODUCCIÓN Llamamos capializació compuesa a la ley fiaciera segú la cual los iereses producidos por u capial e cada periodo se agrega al capial para calcular los iereses

Más detalles

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES EXPONENCIALES 1 FUNCIONES EXPONENCIALES Las fucioes epoeciales iee muchas aplicacioes, e especial ellas describe el crecimieo de muchas caidades de la vida real. Defiició.-La fució co domiio odos los reales y defiida

Más detalles

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS

PRONÓSTICOS. Tema Nº 2 FACILITADOR LIC. ESP. MIGUEL OLIVEROS UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA PUBLICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ADMINISTRACIÓN DE LA PRODUCCIÓN Y LAS OPERACIONES

Más detalles

Matemáticas II Bachillerato de Ciencias y Tecnología 2º Curso MATRICES Definición. Notaciones Tipos de matrices...

Matemáticas II Bachillerato de Ciencias y Tecnología 2º Curso MATRICES Definición. Notaciones Tipos de matrices... Maemáicas II Bachillerao de Ciecias y Tecología 2º Curso Uidad MTRICES...- Defiició. Noacioes.... - 2 -.2.- Tipos de marices.... - 2 -.3.- Operacioes co marices.... - 3 -.3..- Igualdad de marices.... -

Más detalles

MATRICES 1. CONCEPTO DE MATRIZ

MATRICES 1. CONCEPTO DE MATRIZ MTRICES 1. CONCEPTO DE MTRIZ Ua mariz defiida sobre u cuero comuaivo K es ua ordeació recagular de elemeos a K e filas y columas, e la que cada elemeo a de la mariz esá siuado e la fila i y e la columa

Más detalles

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES.

2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.- ESPACIOS VECTORIALES. MATRICES. 2.1. -ESPACIOS VECTORIALES Sea u cojuto V, etre cuyos elemetos (a los que llamaremos vectores) hay defiidas dos operacioes: SUMA DE DOS ELEMENTOS DE V: Si u, v V, etoces

Más detalles

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta.

A = 1. Demuestra que P (1) es cierta. 2. Demuestra que si P (h) es cierta, entonces P (h + 1) es cierta. . POTENCIAS DE MATRICES CUADRADAS E este capítulo vamos a tratar de expoer distitas técicas para hallar las potecias aturales de matrices cuadradas. Esta cuestió es de gra importacia y tiee muchas aplicacioes

Más detalles

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO CAPÍTULO DOS SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Iroducció E ese capíulo se iroduce y discue varias propiedades básicas de los sisemas. Dos de ellas, la liealidad y la ivariabilidad e el iempo,

Más detalles

en. Intentemos definir algunas operaciones en

en. Intentemos definir algunas operaciones en OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos

Más detalles

Seminario de problemas. Curso Hoja 9

Seminario de problemas. Curso Hoja 9 Semiario de prolemas. Curso 05-6. Hoja 9 49. Alero, Berardo y Carla se ha coocido e ua red social. Ellos pregua a Carla cuádo es su cumpleaños; e lugar de respoderles direcamee, ella decide poerles u prolema.

Más detalles

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 2002

REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 2002 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No. 3, 22 MATRICES ESCALONADAS Y METODOS PRIMAL DUAL DE PUNTO INTERIOR Alibei Kakes Cruz, Deparameo de Maemáica Aplicada, Faculad de Maemáica y Compuació, Uiversidad

Más detalles

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales

Asignatura: Geometría I Grado en Matemáticas. Universidad de Granada Tema 2. Espacios vectoriales Asigatura: Geometría I Grado e Matemáticas. Uiversidad de Graada Tema 2. Espacios vectoriales Prof. Rafael López Camio Uiversidad de Graada 14 de diciembre de 2012 Ídice 1. Espacio vectorial 2 2. Subespacio

Más detalles

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton

Matemáticas I - 1 o BACHILLERATO Binomio de Newton Matemáticas I - o Bachillerato Matemáticas I - o BACHILLERATO El biomio de Newto es ua fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potecia de u biomio elevado a ua potecia cualquiera de expoete

Más detalles

CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS

CAPÍTULO 1: ESTIMACIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS Pare II: Esimació de la esrucura emporal de los ipos de ierés a ravés de subcojuos borrosos y esimació de los ipos de ierés fuuros APÍTULO : ESTIMAIÓN DE LOS INTERESES FUTUROS MEDIANTE NÚMEROS BORROSOS

Más detalles

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER

TRANSFORMADA z Y DE FOURIER Uiversidad de Medoa Dr Ig Jesús Rubé Aor Mooya Aálisis de Señales OBJEIVOS: RANSFORMADA Y DE FOURIER - Expoer los cocepos de fucioes discreas e cuao a la visió del proceso de raamieo de señales que pare

Más detalles

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor.

5. Aproximación de funciones: polinomios de Taylor y teorema de Taylor. GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO 00. Lecció. Fucioes y derivada. 5. Aproimació de fucioes: poliomios de Taylor y teorema de Taylor. Alguas veces podemos aproimar fucioes complicadas mediate otras

Más detalles

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general

Progresiones. Objetivos. Antes de empezar. 1.Sucesiones.. pág. 74 Definición. Regla de formación Término general 5 Progresioes Objetivos E esta quicea aprederás a: Recoocer ua sucesió de úmeros. Recoocer y distiguir las progresioes aritméticas y geométricas. Calcular él térmio geeral de ua progresió aritmética y

Más detalles

NORMA DE CARACTER GENERAL N

NORMA DE CARACTER GENERAL N NORMA DE CARACTER GENERAL N REF.: MODIFICA EL TÍTULO III DEL LIBRO IV, SOBRE VALORIZACIÓN DE LAS INVERSIONES DEL FONDO DE PENSIONES Y DEL ENCAJE, DEL COMPENDIO DE NORMAS DEL SISTEMA DE PENSIONES. Saiago,

Más detalles

Supertriangular Subtriangular Diagonal Unidad

Supertriangular Subtriangular Diagonal Unidad MT. EMPRESRILES TE RESOLVEMOS LS PRIMERS DUDS L eorí de mrices es l que v porr l form operiv de resolver u iumerle cidd de ejercicios de Álger. Por odo lo que supoe eso, os vmos proporcior los coocimieos

Más detalles

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios

Polinomios. Definición de polinomio y sus propiedades. Grado de un polinomio e igualdad de polinomios Poliomios Defiició de poliomio y sus propiedades U poliomio puede expresarse como ua suma de productos de fucioes de x por ua costate o como ua suma de térmios algebraicos; es decir U poliomio e x es ua

Más detalles

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma

ANÁLISIS DE FOURIER. m(el asterisco indica el conjugado complejo), se desea expandir una función arbitraria f (t) en una serie infinita de la forma CAPÍULO RES ANÁLISIS DE FOURIER IEMPO CONINUO Iroducció La represeació de la señal de erada a u sisema (eediedo como sisema u cojuo de elemeos o bloques fucioales coecados para alcazar u objeivo deseado)

Más detalles

UNIDAD 1: MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 1: MATRICES Y DETERMINANTES IES NERVIÓN. MTEMÁTICS PLICDS CIENCIS SOCILES II Uidad 1: MTRICES Y DETERMINNTES UNIDD 1: MTRICES Y DETERMINNTES 1. MTRICES 1.1. DEFINICIONES BÁSICS Matriz de orde : es ua serie de úeros reales distribuidos

Más detalles

3. Matrices y álgebra matricial

3. Matrices y álgebra matricial Marices y álgebra maricial Repasaremos algunos concepos básicos de la eoría maricial Nos cenraremos en aspecos relacionados con el álgebra lineal, la inversión y la diagonalización de marices Veremos algunas

Más detalles

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción

SEÑALES Y SISTEMAS CAPÍTULO UNO. 1.1 Introducción CAPÍTULO UNO SEÑALES Y SISTEMAS. Iroducció Los cocepos de señales y sisemas surge e ua gra variedad de campos y las ideas y écicas asociadas co esos cocepos juega u papel imporae e áreas a diversas de

Más detalles

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos

Tema 8B El análisis fundamental y la valoración de títulos PARTE III: Decisioes fiacieras y mercado de capiales Tema 8B El aálisis fudameal y la valoració de íulos 8B.1 Iroducció. 8B.2 El aálisis fudameal y la valoració de íulos. 8B.3 Modelos para la valoració

Más detalles

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa

TEMA 10. La autofinanciación o financiación interna de la empresa Iroducció a las Fiazas TEM La auofiaciació o fiaciació iera de la empresa La fiaciació iera y sus compoees La auofiaciació esá formada por los recursos fiacieros que afluye a la empresa desde ella misma

Más detalles

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II

Análisis de datos en los estudios epidemiológicos II Aálisis de datos e los estudios epidemiológicos II Itroducció E este capitulo cotiuamos el aálisis de los estudios epidemiológicos cetrádoos e las medidas de tedecia cetral, posició y dispersió, ídices

Más detalles

Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier

Series de Fourier. 1. Tratamiento Digital de Señal. Series de Fourier Series de Fourier. Traamieo Digial de Señal. Series de Fourier Series de Fourier. Preámbulo El aálisis de Fourier fue iroducido e 8 e la Théorie aalyiique de la chaleur para raar la solució de problemas

Más detalles

01 Ejercicios de Selectividad Matrices y Sistemas de Ecuaciones

01 Ejercicios de Selectividad Matrices y Sistemas de Ecuaciones 01 Ejercicios de Selecividad Marices y Sisemas de Ecuaciones Ejercicios propuesos en 009 1- [009-1-A-1] a) [1 5] En un comercio de bricolaje se venden lisones de madera de res longiudes: 090 m, 150 m y

Más detalles

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es,

Figura 1. Se dice que un subespacio vectorial F de E es A-invariante si los vectores u de F siguen estando en F al transformarse por A, esto es, VALORES Y VECORES PROPIOS Y LA REDUCCION DE CÓNICAS A) EL PROBLEMA PROPIO oda matriz cuadrada A de orde co elemetos (reales o complejos) es u operador lieal que actúa sobre el espacio vectorial E, dimesioal,

Más detalles

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª. 1. Sean a, b y n enteros positivos tales que a b y ab 1 n. Prueba que SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE LA OME 49ª Sea a, b y eteros positivos tales que a b y ab Prueba que a b 4 Idica justificadamete cuádo se alcaa la igualdad Supogamos que el resultado a demostrar fuera falso

Más detalles

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y

CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO. A lo largo de este capítulo se explican los conceptos básicos que se debieron tener y Capíulo 3 Marco eórico CAPÍTULO 3 MARCO TEÓRICO A lo largo de ese capíulo se explica los cocepos básicos que se debiero eer y cosiderar para la elaboració de la clasificació de maerias primas, los modelos

Más detalles

SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso 03-04

SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso SOLUCIONES DE SISTEMAS, MATRICES Y DETERMINANTES Curso 03-04 SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - SOLUCIONES DE SISTEMS, MTRICES Y DETERMINNTES Curso - - Comprobr que culquier mriz cudrd M se puede expresr de form úic como sum de dos mrices, u siméric

Más detalles

TEMA 5: INTERPOLACIÓN

TEMA 5: INTERPOLACIÓN 5..- ITRODUCCIÓ TEMA 5: ITERPOLACIÓ Supogamos que coocemos + putos (x,y, (x,y,..., (x,y, de la curva y = f(x, dode las abscisas x k se distribuye e u itervalo [a,b] de maera que a x x < < x b e y k = f(x

Más detalles

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices Estructura del tema. Conceptos básicos y ejemplos Operaciones básicas con matrices Método de Gauss Rango de una matriz Concepto de matriz regular y propiedades Determinante asociado a una

Más detalles

BLOQUE DE ÁLGEBRA TEMA 1: MATRICES

BLOQUE DE ÁLGEBRA TEMA 1: MATRICES Álgebr Liel Memáics º chillero LOQUE DE ÁLGER TEM : MTRICES U mriz es u cojuo de úmeros reles colocdos recgulrmee ecerrdos ere préesis o corchee o doble brr. Pr or u mriz se uiliz o: u ler myúscul, por

Más detalles

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz

Diseño y desarrollo de un Software para el análisis y procesamiento de señales de voz Diseño y desarrollo de u Sofware para el aálisis y procesamieo de señales de voz. Laforcada *, D. Miloe, C. Maríez,. Rufier Laboraorio de Ciberéica, Deparameo de Bioigeiería, Faculad de Igeiería, Uiversidad

Más detalles

Sucesiones numéricas.

Sucesiones numéricas. SUCESIONES 3º ESO Sucesioes uméricas. Ua sucesió es u cojuto ordeado de úmeros reales: a 1, a 2, a 3, a 4, Cada elemeto de la sucesió se deomia térmio, el subídice es el lugar que ocupa e la sucesió. El

Más detalles

Mercado de Capitales. Tema 6. Valoración n de bonos. Gestión n de carteras de renta fija

Mercado de Capitales. Tema 6. Valoración n de bonos. Gestión n de carteras de renta fija Mercado de Capiales Tema 6. Valoració de boos. Gesió de careras de rea fija Liceciaura e Admiisració y Direcció de Empresas Cuaro Curso Liceciaura e Derecho y Admiisració y Direcció de Empresas Sexo Curso

Más detalles

EL MÉTODO MATEMÁTICO PARA LAS SERIES VARIABLES CON GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE

EL MÉTODO MATEMÁTICO PARA LAS SERIES VARIABLES CON GRADIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE Mg. Marco oio Plaza Vidaurre EL MÉTODO MTEMÁTICO PR LS SERIES VRIBLES CON GRDIENTE GEOMÉTRICO CRECIENTE El resee documeo desarrolla e dealle el méodo de ecuacioes e diferecia fiia, y su alicació e la maemáica

Más detalles

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com

www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve Correo electrónico: josearturobarreto@yahoo.com Autor: José Arturo Barreto M.A. Págias web: www.abaco.com.ve www.abrakadabra.com.ve www.miprofe.com.ve El cocepto de límite Correo electróico: josearturobarreto@yahoo.com Zeó de Elea (90 A.C) plateó la

Más detalles

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS. Prof. J.L.Cotto

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS. Prof. J.L.Cotto UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO DEPARTAMENTO DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MAEC 2140: Méodos Cuaiaivos Prof. J.L.Coo DISCUSION Y EJEMPLOS SOBRE EL TEMA FUNCIONES EXPONENCIALS El valor del diero

Más detalles

3. Equivalencia y congruencia de matrices.

3. Equivalencia y congruencia de matrices. 3. Equivalencia y congruencia de matrices. 1 Transformaciones elementales. 1.1 Operaciones elementales de fila. Las operaciones elementales de fila son: 1. H ij : Permuta la fila i con la fila j. 2. H

Más detalles

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL

GUÍA DE ESTUDIO ÁLGEBRA LINEAL GUÍ DE ESUDIO ÁLGER LINEL ema 3. rasformacioes Lieales. QUÉ ES UN RNSFORMCIÓN? E térmios geerales, ua trasformació es ua fució que permite trasformar u vector que perteece a u espacio vectorial (domiio)

Más detalles

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato.

Tema 3. Polinomios y otras expresiones algebraicas (Estos conceptos están extraídos del libro Matemáticas 1 de Bachillerato. UH ctualizació de oocimietos de Matemáticas ara Tema Poliomios y otras eresioes algebraicas Estos cocetos está etraídos del libro Matemáticas de achillerato McGrawHill Poliomios: oeracioes co oliomios

Más detalles

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación)

1. Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Aputes: Matemáticas Fiacieras 1. Lecció 11 - Operacioes Fiacieras a largo plazo - Préstamos (Cotiuació) 1.1. Préstamo: Método de cuotas de amortizació costates E este caso se verifica A 1 = A 2 = = A =

Más detalles

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 5: MATRICES Y DETERMINANTES UNIDD 5: MTRICES Y DETERMINNTES ÍNDICE DE L UNIDD - INTRODUCCIÓN - MTRICES CONCEPTOS BÁSICOS TIPOS DE MTRICES 3- OPERCIONES CON MTRICES 4 4- TRNSFORMCIONES ELEMENTLES EN UN MTRIZ6 5- MTRIZ INVERS 7 6-

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2013 (Reserva 2 Modelo 1 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Juio de 03 (Reserva Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 03 MODELO (RESERVA ) OPCIÓN A EJERCICIO (A) ( 5 putos) U fabricate elabora

Más detalles

Qué es la Cinética Química?

Qué es la Cinética Química? Tema 4. La velocidad de Cambio Químico I. Velocidad de reacció.. Ecuació de velocidad y orde de reacció. 3. álisis de los daos ciéicos: ecuacioes iegradas de ciéicas secillas. 4. Ciéicas complejas.. Velocidad

Más detalles

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos. IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E CURSO 1999-2. - CONVOCATORIA: Juio MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo

Más detalles

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO PREPARATORIA AGRÍCOLA ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO MULTIVARIADO Y ECUACIONES DIFERENCIALES f : R R ( ) h p AUTOR Vícor Rafael Valdovios Chávez Ooño de AUTOR Vícor Rafael Valdovios

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A =

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-2 1 Sean las matrices A = IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Juio Modelo ) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1-1 x -x Sea las matrices A, X y e Y -1 3 0 - z (1 puto) Determie la matriz iversa de A. ( putos)

Más detalles

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.

CAPÍTULO 1 CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA... SSTEMAS LNEALES NAANTES. roducció. U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x ( Siema lieal

Más detalles

EL MÉTODO MATEMÁTICO PARA LAS SERIES VARIABLES CON GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE

EL MÉTODO MATEMÁTICO PARA LAS SERIES VARIABLES CON GRADIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE Mg. Marco oio Plaza Vidaurre EL MÉTODO MTEMÁTICO PR LS SERIES VRIBLES CON GRDIENTE GEOMÉTRICO DECRECIENTE El resee documeo desarrolla e dealle el méodo de ecuacioes e diferecia fiia, y su alicació a u

Más detalles

Regresión Lineal Simple

Regresión Lineal Simple REGRESIÓN LINEAL Regresió Lieal Simple Plaeamieo El comporamieo de ua magiud ecoómica puede ser explicada a ravés de ora F( Si se cosidera que la relació puede ser de ipo lieal, la formalizació vedría

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2002 (Modelo 3 Junio) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2002 (Modelo 3 Juio) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (3 putos) U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche,

Más detalles

Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar)

Resolución numérica de problemas de valor inicial (versión preliminar) (versió prelimiar) Cocepos iiciales.- Sea la ecuació diferecial de primer orde co las codició iicial x = f(,x) x( 0 ) = x 0 Para resolverla uméricamee será ecesario previamee comprobar si hay solució y

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2006 (Modelo 2 Septiembre) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 006 (Modelo Septiembre) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 5 putos) Represete gráficamete el recito defiido por el siguiete sistema de iecuacioes:

Más detalles

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS

Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariana de Venezuela Tinaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Por: Lic. Eleazar J. García. República Bolivariaa de Veezuela Tiaco.- Estado Cojedes. INTEGRALES INDEFINIDAS Usted está familiarizado co alguas operacioes iversas. La adició y la sustracció so operacioes

Más detalles

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra)

MATEMÁTICAS II. Departamento de Matemáticas I.E.S. A Xunqueira I (Pontevedra) MATEMÁTICAS II 1 José M. Ramos González Este libro es totalmente gratuito y solo vale la tinta y el papel en que se imprima. Es de libre divulgación y no está sometido a ningún copyright. Tan solo se

Más detalles

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación

Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación Aálisis de Señales y Sistemas Digitales FFT Cocepto Algoritmo Implemetació 2010 FFT Trasformada Rápida de Fourier Cocepto La trasformada rápida de fourier (FFT) es u algoritmo que permite él cálculo eficiete

Más detalles

85.- Sea B j (t) la función polinómica: n j. Demostrar que: iii) Solución: Consideremos la identidad: (t+x) n =

85.- Sea B j (t) la función polinómica: n j. Demostrar que: iii) Solución: Consideremos la identidad: (t+x) n = Hoa Problemas Aálisis II /9 85.- Sea la fució oliómica: N R Demosrar que: i ii iii iv Solució: Cosideremos la ideidad: R N. Derivado e ambos miembros reseco de mulilicado desués or se obiee: - Derivado

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes 2014 (Modelo 2 ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Graada Sobrates 014 (Modelo ) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELETIVIDAD ANDALUÍA MATEMÁTIAS SS SOBRANTES 014 MODELO OPIÓN A EJERIIO 1 (A) (1 75 putos) Represete gráficamete la regió

Más detalles

Procesado digital de imagen y sonido

Procesado digital de imagen y sonido ema a zabal zazu Uiversidad del País Vasco Deparameo de Arquiecura Tecología de Compuadores upv ehu Tema 3_ Sisemas Procesado digial de image soido Defiició Descripció: Erada Salida Diagramas de bloques

Más detalles

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3

= Adj(A ) = 0 1-2/8 3/8 0 1-2/8 3/8 1-2/8 3/8 8-2 3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 007 (Modelo 5) Solució Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO _A ( puto) U taller de carpitería ha vedido 5 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de

Más detalles

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

CAPÍTULO I CIRCUITOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA APÍTULO UTOS EN EL DOMNO DE LA FEUENA.. SSTEMAS LNEALES NAANTES roducció U iema lieal ivariae e repreea uualmee mediae u bloque e el que e muera ao la exciació como la repuea Exciació x () Siema lieal

Más detalles

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

SOLUCIONES Modelo 2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 2010-2011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 011 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SOLUCIONES Modelo PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DEL AÑO 010-011 ANDALUCÍA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II OPCIÓN

Más detalles

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS

José Morón SEÑALES Y SISTEMAS SEÑALES Y SISTEMAS José Moró SEÑALES Y SISTEMAS Uiversidad Rafael Urdaea Auoridades Recorales Dr. Jesús Esparza Bracho, Recor Ig. Maulio Rodríguez, Vicerrecor Académico Ig. Salvador Code, Secreario Lic.

Más detalles

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con:

TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA. En los problemas de Programación Lineal nos encontraremos con: TEMA 2.- MODELOS DE PROGRAMACION LINEAL. SOLUCION GRAFICA.- Itroducció E los problemas de Programació Lieal os ecotraremos co: - Fució Objetivo: es la meta que se quiere alcazar, y que será la fució a

Más detalles

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A

OPCIÓN A EJERCICIO 1_A IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2001 (Modelo 6) Germá-Jesús Rubio Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A 1 x -1 Se cosidera la matriz A = 1 1 1. x x 0 (1 5 putos) Calcule los valores de x para los que o existe

Más detalles

Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes:

Para las comparaciones hay que tener en cuenta dos aspectos importantes: Esadísica Descriiva: Números Ídices Faculad Ciecias Ecoómicas y Emresariales Dearameo de Ecoomía Alicada Profesor: Saiago de la Fuee Ferádez NÚMEROS ÍNDCES Los úmeros ídices so ua medida esadísica que

Más detalles

ESTADÍSTICA II SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO 1 (NOVALES 2.1)

ESTADÍSTICA II SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO 1 (NOVALES 2.1) ESTADÍSTICA II SOLUCIÓN-PRÁCTICA 7: SERIES DE TIEMPO EJERCICIO (NOVALES.) Cosideremos P P e g. Dado que dicha fució es coiua y que exise y so coiuas las derivadas de odos los órdees, podemos aplicar Taylor

Más detalles

UD: 3. ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA.

UD: 3. ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA. D: 3. ENEGÍA Y OENCA ELÉCCA. La energía es definida como la capacidad de realizar rabajo y relacionada con el calor (ransferencia de energía), se percibe fundamenalmene en forma de energía cinéica, asociada

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 2) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 0 (Modelo ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 0 (MODELO ) OPCIÓN A EJERCICIO _A ( 5 putos) Halle la matriz X que verifique la ecuació

Más detalles

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.

ÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente. ÁLGEBRA DE MATRICES Página 49 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes

Más detalles

Valor de Rescate. Elementos Actuariales para su Determinación Por: Pedro Aguilar Beltrán. Octubre de 2008

Valor de Rescate. Elementos Actuariales para su Determinación Por: Pedro Aguilar Beltrán. Octubre de 2008 alor de escae Elemeos Acuariales ara su Deermiació Por: Pedro Aguilar Belrá Ocubre de 28 El alor de rescae es u coceo que se refiere al moo que le oorgará la aseguradora al asegurado o beeficiario, e caso

Más detalles

Métodos Numéricos - cap. 7. Ecuaciones Diferenciales PVI 1/8

Métodos Numéricos - cap. 7. Ecuaciones Diferenciales PVI 1/8 Méodos Numéricos - cap. 7. Ecuacioes Difereciales PVI /8 Ecuacioes Difereciales Ordiarias (EDO Ua Ecuació Diferecial es aquella ecuació que coiee difereciales o derivadas de ua o más fucioes. Ua Ecuació

Más detalles

2. LEYES FINANCIERAS.

2. LEYES FINANCIERAS. TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS 1. INTRODUCCIÓN. Se va a aalizar los itercambios fiacieros cosiderado u ambiete de certidumbre. El itercambio fiaciero supoe que u agete etrega a otro u capital (o capitales),

Más detalles

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor

Tema 6. Sucesiones y Series. Teorema de Taylor Nota: Las siguietes líeas so u resume de las cuestioes que se ha tratado e clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido e la bibliografía recomedada e la Programació

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 2014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A IES Fco Ayala de Graada Juio de 014 (Colisioes Modelo 3) Solucioes Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS JUNIO 014 MODELO 3 (COLISIONES) OPCIÓN A EJERCICIO 1 (A) 1 a Sea las matrices

Más detalles

ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES.

ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. ALGEBRA VECTORIAL Y MATRICES. Cosideraremos como ua matriz cuadrada de orde. Determiate es el valor umérico úico asociado a toda matriz cuadrada. Propiedades de los determiates Las propiedades más importates

Más detalles

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5) IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las

Más detalles

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior.

Comenzaremos recordando algunas definiciones y propiedades estudiadas en el capítulo anterior. Capítulo 2 Matrices En el capítulo anterior hemos utilizado matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y hemos visto que, para n, m N, el conjunto de las matrices de n filas y m columnas

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS 4º ESO º Trimestre Autor: Vicete Adsuara Ucedo INDICE Tema : Vectores e el Plao.. Ejercicios Tema 9 Tema : Depedecia Lieal...7 Ejercicios Tema. 0 Tema 3: El Plao Afí...... Ejercicios

Más detalles

UNIDAD 7.- Matrices (tema 1 del libro) = MATRICES

UNIDAD 7.- Matrices (tema 1 del libro) = MATRICES UNIDD.- Marces (ema del lbro). MTRICES Ua mar se puede eeder como ua abla de úmeros ordeados e flas columas Defcó.- Se llama mar de dmesó m a u cojuo de úmeros reales dspuesos e m flas columas de la sguee

Más detalles

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010

FUNCIONES ACTUARIALES COMO VARIABLES ALEATORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Aranda Martínez Nadia Araceli Castillo García Abril 2010 FUNCIONES ACUARIALES COMO VARIABLES ALEAORIAS SOBRE UNA SOLA VIDA Por Oscar Arada Maríez Nadia Araceli Casillo García Abril E ese primer documeo se presea el ueo efoque del cálculo acuarial, e dode las

Más detalles

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Circuio y Siema Diámico (3º IIND) Tema 2 A TRANSFORMADA DE APACE Curo 23/24 Tema 2: a Traformada de aplace 2. Iroducció: de dóde veimo y a dóde vamo 2.2 Defiició de la raformada de aplace 2.3 Traformada

Más detalles