Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales Imparciales

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1 Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales Imparciales Carlos Gámez Taller de Resolución de Problemas Escuela de Matemática Universidad de El Salvador Estudio de Casos

2 Esquema Introducción Juegos de Agarrar El Juego de Nim Juegos en Grafos Suma de Juegos

3 Outline Introducción Juegos de Agarrar El Juego de Nim Juegos en Grafos Suma de Juegos

4 Introducción Con facilidad podemos nombrar juegos de entretenimiento También existen una área vasta de juegos en economía y política Competencia entre firmas, conflicto entre la dirección y trabajadores, pasar una ley, etc. son ejemplos de casos que residen en el área de teoría del juego Existen juegos en el área de biología y psicología

5 Caracterizaciones y notación Los juegos son caracterizados por un número de jugadores que interactúan, posiblemente amenazando a otros y formando coaliciones, toman acciones bajo ciertas condiciones y finalmente reciben beneficio o premio o castigo o pérdidas monetarias. Denotaremos por n al número total de jugadores y sea N = {1, 2,..., n} el conjunto de los jugadores.

6 Estudiamos en su mayoría juegos donde n = 2. Nota de interés: Cuando tratamos el caso en que n = 1 entonces el sub-área es llamada Teoría de Decisión. Solitario y rompecabezas son ejemplos de esto. En algunos casos podemos suponer un número infinito de jugadores.

7 Outline Introducción Juegos de Agarrar El Juego de Nim Juegos en Grafos Suma de Juegos

8 Juegos Combinatorios Los juegos combinatorios son juegos donde n = 2, se posee información perfecta y no hay acciones aleatorias con ganar-perder como únicos resultados. Tal juego esta determinado por un conjunto de posiciones hasta que una posición terminal es alcanzada. Juegos imparciales son aquellos en los cuales el conjunto de movimientos desde cualquier posición es igual para ambos jugadores, de otra forma son juegos no imparciales. Son ajedrez y damas juegos imparciales?

9 Juegos de Agarrar Aquí hay reglas para un juego imparcial combinatorio simple de remover fichas. 1. Existen dos jugadores, I y II 2. Hay 21 fichas en la mitad de la mesa. 3. Las únicas movidas consisten en remover uno, dos o tres fichas del montón. 4. Jugadores se alternan con jugador I empezando. 5. El jugador que remueve la última ficha gana (si no puedes mover pierdes). El método para solucionar este problema se llama inducción inversa. Puedes recordarlo?

10 Que es un Juego Combinatorio? 1. Existen dos jugadores. 2. Hay un conjunto de posibles posiciones en el juego. 3. Las reglas del juego especifican cuales son las movidas legales. Dependiendo de esto el juego puede ser imparcial o no imparcial. 4. Los jugadores se alternan. 5. El juego termina cuando un jugador no puede hacer un movimiento. Reglas normales: El último jugador en mover gana. Reglas misère: El último jugador en mover pierde. 6. El juego termina en un número finito de movimientos no importando como se juegue. 7. No se permiten movimientos al azar ni simultáneos ni escondidos, no empates.

11 Posición P, Posición S Regresando al juego de agarrar, vemos que 0, 4, 8, 12, 16,... son posiciones ganadoras para el jugador Previo (el que acaba de jugar) y que 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11,... son ganadoras para el Siguiente jugados a mover. Las posiciones P en este caso son entonces aquellos enteros divisibles por 4. En juegos imparciales combinatorios, podemos hallar cales posiones no P y cuales son posiciones S a través de inducción utilizando el proceso de etiquetar descrito en la siguiente diapositiva.

12 Algoritmo para hallar posiciones P y S 1. Etiquetar cada posición terminal como posición P. 2. Etiquetar cada posición que puede alcanzadar una posición P en un movimiento como S. 3. Hallar aquellas posiciones que están a un movimiento de una posición S y etiquetarlas como posición P. 4. Si no hay mas posiones que etiquetar parar, de otra forma regresar al paso 2. Esta claro que la estrategia de moverse en posiciones P gana. De una posición P tu oponente solo se puede mover a una posición S (1). De allí te puedes mover a una posición P (2). Eventualmente el juego termina en la posición terminal y ganas (1).

13 Propiedades características Posiciones P y s son definidas recursivamente por las siguientes 3 afirmaciones: 1. Todas las posiones terminales son posiones P. 2. De cada posición S, existe al menos una se mueve a posición P. 3. De cada posición P, todo movimiento cae en posición S.

14 Juegos de Substracción Este tipo de juegos combinatorios tiene el Juego de Agarrar como caso especial. Sea S un conjunto de enteros positivos. El juego con conjunto de substracción S procede así: De un montón de fichas (n fichas) dos jugadores juegan alternadamente. Un movimiento consiste en remover s fichas del montón donde s S. El último que mueva gana.

15 Caso especial Analizemos el caso con conjunto de substracción S = {1, 3, 4} al tratar de encontrar todos sus posiciones P. Existe una sola posición terminal, 0. De allí, 1, 3, 4 son posiciones S. Pero 2 debe ser una posición P ya que el único movimiento legal es a 1, que es posición S. Entonces 5 y 6 deben ser posiciones S ya que pueden ser movidos a 2. Ahora 7 es una posición P ya que solo puede moverse a 6, 4 o 3, los cuales son posiciones S. Similarmente vemos que 8, 10, 11 son posiciones S, 9 es una posición P, 12 y 13 son posiciones S y 14 es una posición P. Esto se extiende por inducción. Por lo que P = {0, 2, 7, 9, 14, 16,...} que son el conjunto de enteros no negativos con residuo 0 o 2 modulo 7. S = P c.

16 x posición P S P S S S S P S P S S S S P... El patrón PSPSSSS de longitud 7 se repite infinitamente. Quién gana si hay 100 fichas, el primer jugado o el segundo jugador.

17 Juego de agarrar (versión misère) Considera la versión misère del juego de agarrar donde el último jugador en mover pierde. El objetivo es forzar a tu oponente en tomar la última ficha. Analiza este juego. Cuales son las posiciones P?

18 Outline Introducción Juegos de Agarrar El Juego de Nim Juegos en Grafos Suma de Juegos

19 El Juego de Nim El juego más famoso de juegos de agarrar es el juego de Nim. Existen 3 montones de fichas conteniendo x 1, x 2 y x 3 fichas respectivamente. Dos jugadores toman turnos agarrando fichas. Cada movimiento consiste en seleccionar un montón y remover fichas. Se pueden remover tantas fichas solamente del montón seleccionado como se desee. El ganador es el jugador que remueve la última ficha.

20 Analisis Preliminar Existe sólo una posición terminal: (0, 0, 0) lo cual es una posición P. La solución de Nim con un montón es trivial: cualquier posición de la forma (0, 0, x) es una posición S (x > 0). Posiciones con dos montones de fichas iguales son posiciones P. Porque? Si hay fichas en los tres montones la situación es más complicada. Describiremos la solución utilizando el concepto de la Suma Nim.

21 Suma Nim La suma nim de dos enteros no negativos es su suma "sin llevar" módulo 2. Denotemos por x = (x m x m 1... x 1 x 0 ) 2, x en base 2. La suma nim de dos enteros se encuentra expresado los enteros en base dos y sumando en módulo 2 los componentes individuales correspondientes.

22 Definición Definición La suma nim de (x m... x 0 ) 2 y (y m... y 0 ) 2 es (z m... z 0 ) 2, y lo escribimos como (x m... x 0 ) 2 (y m... y 0 ) 2 = (z m... z 0 ) 2, donde z k = x k + y k (mod 2), eso es, z k = 1 si x k + y k = 1 y z k de otra forma.

23 Ejemplos = Esto dice que = 37. Es más fácil ver la suma nim de esta forma: 22 = = suma nim = = 37

24 Propiedades La suma nim es asociativa (x (y z) = (x y) z) y conmutativa (x y = y x) ya que la suma en módulo 2 los es. Por lo que podemos escribir x y z sin ambigüedad. Además 0 es la identidad para la suma (0 x = x). Cada número es su propio negativo (x x = 0). Por lo que si x y = x z implica y = z. Falta responder la pregunta: Qué tiene que ver la suma nim con el juego Nim?

25 Teorema Teorema de Bouton Una posición (x 1, x 2, x 3 ) en Nim es una posición P si y solo si la suma nim de los componentes es cero, x 1 x 2 x 3 = 0.

26 Ejemplo y Nim con más montones Como ejemplo (4, 12, 8) es una posición P ya que: 4 = = = suma nim = = 0 Nim con un número mayor de montones. Como lo demostraremos a continuación, el teorema de Bouton se extiende no solo para el caso de tener 3 montones sino para cualquier n predefinido.

27 Demostración del Teorema de Bouton Sea P el conjunto de posiciones Nim con suma nim cero y sea S el complemento de ese conjunto. Verificaremos las condiciones definidas. 1. Todo posición terminal esta en P. Por que es esto cierto? 2. De cada posición en S, existe un movimiento a la posición P. Aquí esta como construimos ese movimiento. De la suma nim en columna, vemos a la columna más a la izquierda con un número impar de 1 s. Cambiamos cualquiera de los números que tienen un 1 en esa columna a un número tal que hayan un número par de 1 s en cada columna. Esto lo hace el número menor puesto que cambiamos un 1 que estaba en la posición más significativa en cero. Por lo que esto hace un movimiento legal en P.

28 3. Cada movimiento de una posición P va a una posición S. Si (x 1, x 2,...) esta en P y x 1 es cambiado a x 1 < x 1 entonces no podemos tener x 1 x 2 = 0 = x 1 x 2, porque? Por lo que x 1 x 2 0 implicando que (x 1, x 2,...) esta en S. Estas tres propiedades muestran que P es un conjunto de posiciones P.

29 Outline Introducción Juegos de Agarrar El Juego de Nim Juegos en Grafos Suma de Juegos

30 Juegos de Grafos Ahora damos una descripción equivalente de los juegos combinatorios utilizando grafos dirigidos. Esto es hecho identificando posiciones en el juego con vértices en los grafos y movimientos con bordes de el grafo. De allí definiremos una función conocida como la función Sprague-Grundy que contiene más información que saber sólo la posiciones P y S.

31 Definición de un grafo dirigido Definición Un grafo dirigido, G, es un par (X, F ) donde X es un conjunto no vacío de vértices (posiciones) y F es una función que da para cada x X un subconjunto de x, F (x) X. Para cada x X. F (x) representa la posición al cual el jugador puede mover de x (llamado los seguidores de x). Si F (x) es vació, x es llamado una posición terminal.

32 Un juego ganar-perder de 2 personas podría ser jugado en tal grafo G = (X, F ) estipulando una posición inicial x 0 X y utilizando las siguientes reglas: 1. Jugador I mueve primero, empezando en x Jugadores alternan movimientos. 3. En posición x, el jugador que mueva solo puede escoger una posición y F (x). 4. El jugador que esta en la posición terminal en su turno, y por lo tanto no puede mover, pierde. Para evitar complicaciones, nos restringimos a grafos que son progresivamente acotados (tal que cualquier camino sea menor o igual a un n Z). Asumimos que X es finito, no cíclico.

33 Ejemplo El juego de substracción con conjunto de substracción S = {1, 2, 3} y n fichas, puede ser representado como un juego de grafos. Que sería X en este caso? A que sería igual F (0)? A qué sería igual F (k)?

34 La Función Sprague-Grundy Definición La función Sprague-Grundy del grafo (X, F ) es una función g, definida en X y tomando valores enteros no negativos tal que g(x) = mín {n 0 : n g(y) para y F (x)}. (1) En otras palabras g(x) es el menor entero no negativo no encontrado en los valores Sprague-Grundy de los seguidores de x. Si definimos el mínimo excluyente, o mex, de un conjunto no negativo de enteros como el menor de los enteros que no esta en el conjunto, entonces podríamos escribir simplemente g(x) = mex {g(y) : y F (x)}. (2)

35 Ejemplo Hallar los valores Sprague-Grundy del siguiente juego de grafos:

36 La función g(x) es definida recursivamente. g(x) es definido en términos de g(y)para todos los seguidores y de x. La recursión empieza propiamente. Si x es una posición terminal, a que es igual g(x)? A que es igual g(x) si el seguidor de x es una posición terminal?

37 Uso Posiciones x para las cuales g(x) = 0 son posiciones P mientras que las demás son posiciones S. El procedimiento ganador es terminar despues de cada movimiento en un vértice con valor Sprague-Grundy cero. Esto es fácil al ver las condiciones: 1. Si x es una posición terminal, g(x) = A la posición x para el cual g(x) = 0, todo seguidor y de x es tal que g(y) A la posición x para el cual g(x) 0, existe al menos un seguidor y tal que g(y) = 0. La función Sprague-Grundy contiene más información que solo las posiciones P y S. Pero ese tema no se abordara en esta charla.

38 Otro ejemplo Utilizando la siguiente figura ilustramos una vez más la forma en como hallar los valores SG.

39 SG aplicado al juego de substracción Cuál es la función Sprague-Grundy del juego de substracción con conjunto substracción S = {1, 2, 3}?

40 Al Menos la Mitad Considere el juego de un montón con la regla que se tienen que remover al menos la mitad de las fichas. La única posición terminal es cero. Podemos calcular la función Sprague-Grundy inductivamente como: x g(x) Vemos que g(x) puede ser expresado como el exponente de la menor potencia de de 2 mayor que x: g(x) = mín { k : 2 k > x }.

41 La Función SG en grafos más generales Veremos que pasa en grafos que no son progresivamente acotados. Supongamos que la hipótesis de grafos progresivamente acotadas es debilitado a requerir solo que el grafo sea progresivamente finito. Un grafo que es progresivamente finito si cualquier camino tiene una longitud finita. Un ejemplo de un grafo que es progresivamente finito pero no progresivamente acotado es considerar un juego como en el grafo mostrado a continuación donde el primer movimiento es escoger un número de fichas de un montón y después seguir las reglas del juego de Nim.

42 Del camino inicial cada camino tiene una longitud finita. Pero el grafo no es acotado puesto que no hay limite superior de la longitud del camino de la posición original. La teoría de Sprague-Grundy puede ser extendida a grafos progresivamente finitos pero inducción transfinita tiene que ser utilizado. El valor SG de la posición original sería el menor numero ordinal mayor que todos los eneteros, usualmente denotado por ω.

43 Valores SG para grafos cíclicos Nuevos problemas surgen si se permite utilizar grafos cíclicos. La función SG que satisfaga las condiciones pueden no existir. Aquí hay un ejemplo de un caso en el que ningún jugador pierde jugando racionalmente, porque?. En este caso la función Sprague-Grundy no existe.

44 Outline Introducción Juegos de Agarrar El Juego de Nim Juegos en Grafos Suma de Juegos

45 Suma de Juegos Combinatorios Dado varios juegos combinatorios, se puede formar un nuevo juego. Dadas posiciones iniciales en cada uno de los juegos, los jugadores alternan movimientos. Un movimiento para un jugador consiste en seleccionar cualquiera de los juegos y hacer un movimiento legal sólo allí. El juego continúa hasta que todos los juegos alcanzan una posición terminal. El jugador que movió de último es el ganador. Este nuevo juego es llamado suma de juegos (disjuntos).

46 Suma de n juego de grafos Definición Suponer que tenemos n grafos progresivamente acotados, G 1 = (X 1, F 1 ),..., G n = (X n, F n ). Los podemos combinar en un nuevo grafo, G = (X, F ), llamada la suma de G 1, G 2,..., G n denotado por G = G G n como sigue. El conjunto X de vértices es el producto Cartesiano X = X 1... X n. Este es el conjunto de los vértices (x 1, x 2,..., x n ) tal que x i X i para todo i. Para los vértices x = (x 1,..., x n ) X, el conunto de los seguidores de x es definido como F (x) = F (x 1,..., x n ) =F 1 (x 1 ) {x 2 }... {x n } {x 1 } F 2 (x 2 )... {x n }... {x 1 } {x 2 }... F n (x n ).

47 Por lo tanto una movida de x = (x 1,..., x n ) consiste en mover exactamente uno de los x i a uno de sus seguidores (un punto en F i (x i )). El juego de grafos jugado e G es llamado suma de los juegos de grafos G 1,..., G n. Si cada grafo G i es progresivamente acotado, entonces la suma G es progresivamente acotado también. El máximo número de movidas del vértice x = (x 1,..., x n ) es la suma del máximo número de movimientos en cada uno de los grafos. El juego de Nim de 3 montones puede ser considerado como la suma de 3 juegos de Nim, cada uno con un montón.

48 El siguiente teorema nos da un método para obtener la función Sprague-Grundy de la suma de juego de grafos cuando la suma de la funciones Sprague-Grundy de cada uno de los juegos es conocida. Revisaremos la noción de la suma nim. Esto puede considerarse una dramática generalización del teorema de Bouton.

49 Teorema Sprague-Grundy Teorema Si g i es la función Sprague-Grundy de G i, i = 1,..., n, entonces G = G G n tiene función Sprague-Grundy g 1 (x 1,..., x n ) = g(x 1 )... g n (x n ).

50 Demostración Sea x = (x 1,..., x n ) un punto arbitrario de X. Sea b = g 1... g n (x n ). Debemos mostrar dos cosas para la función g(x 1,..., x n ) : 1. Para cualquier entero no negativo a < b, existe un seguidor de (x 1,..., x n ) que tiene valor g igual a a. 2. No seguidor de (x 1,..., x n ) tiene valor g igual a b. De allí, el valor SG de x, siendo el menor valor SG no asumido por sus seguidores, debe ser b.

51 Demostración de (1) Para mostrar (1), sea d = a b, y k sea el número de dígitos en la expansión binaria de d, tal que 2 k 1 d < 2 k y d tiene un 1 es la posición k (desde la derecha). Ya que a < b, b tiene un 1 en la posición k y a tiene 0 allí. Ya que b = g 1 (x 1 )... g n (x n ), existe al menos un x i tal que la expansión binaria de g i (x i ) es 1 en la posición k. Suponga por simplicidad que i = 1. Entonces d g 1 (x 1 ) < g 1 (x 1 ) por lo que hay un movimiento de x 1 a algún x 1 con g 1 (x 1 ) = d g 1(x 1 ). Entonces el movimiento de (x 1,..., x n ) a (x 1,..., x n) es una movida legal en G y g 1 (x 1) g 2 (x 2 )... g n (x n ) = d g 1... g n (x n ) = d b = a

52 Demostración de (2) Finalmente, para mostrar (2), suponemos lo contrario, que (x 1,..., x n ) tiene un seguidor con el mismo valor g, y suponemos sin pérdida de generalidad que envuelve un movimiento en el primer juego. Lo que significa que suponemos que (x 1, x 2,..., x n ) es un seguidor de (x 1, x 2,..., x n ) y que g 1 (x 1 )... g n(x n ) = g 1 (x 1 )... g n (x n ). Por la ley de cancelación g 1 (x 1 ) = g(x 1). Pero esto es una contradicción puesto que no podemos tener a un seguidor con el mismo valor SG.

53 Observación Una observación interesante es que el teorema implica que cada juego imparcial progresivamente acotado cuando se consideran individualmente el comportamiento de uno de los componente del juegos, observamos que el comportamiento es como si fuera alguna variación del juego Nim.

54 Suma de Juegos de Substracción Denotemos por G(m) el juego de substracción de un montón con conunto de substracción S m = {1, 2,..., m}, en la cual se pueden remover de 1 a m fichas del montón. Por lo tanto g m (x) x (mod m + 1) y 0 g m (x) m. Considere la suma de tres juegos de substracción. En el primero, m = 3 y la pila tiene 9 fichas. En el segundo, m = 5 y la pila tiene 10 fichas. Y en tercero, m = 7 y la pila tiene 14 fichas. De esta forma tenemos el juego G(3) + G(5) + G(7) y la posición inicial es (9, 10, 14). El valor de la posición inicial es g(9, 10, 14) = g 3 (9) g 5 (10) g 7 (14) = = 3. Una movida óptima es cambiar la posición en el juego G(7) a tener un valor Sprague-Grundy de 5. Esto solo puede ser hecho removiendo una ficha de la pila de 14, dejando 13.

55 Par si no Todo - Todo si Impar Considere el juego con una pila con la regla que tu puedes remover: 1. Un número par de fichas si no es todo el montón. 2. Todo el montón dado que haya un numero impar de fichas. Hay dos posiciones terminales, cuales?

56 Calculamos inductivamente, x g(x) y vemos que g(2k) = k 1 y g(2k 1) = k para k 1. Supongamos que este juego consiste de 3 pilas de tamaños 10, 13 y 20. Los valores SG son g(10) = 4, g(13) = 7 y g(20) = 9. Ya que = 10 no es cero, este es una posición S. Una movida ganadora sería cambiar el valor SG de 9 a 3. Para esto removemos 12 fichas de la pila de 20 dejando 8, ya que g(8) = 3.

57 Una suma de tres juegos diferentes Suponga que usted esta jugando el juego de agarrar de 3 pilas. Para la primer pila hay 18 fichas, las reglas son las del juego previo: Par si no todo - Todo si impar. Para la segunda pila de 17 fichas, la regla de Al-Menos-la-Mitad aplica. Para la tercera pila de 7 fichas, la regla de Nim aplica.

58 Solución Primero, encontramos el valor SG de las tres pilas que son 8, 5 y 7 respectivamente. Esto tiene una suma Nim de 10 y por lo tanto es una posición S. Puede cambiarse a una posición P al cambiar el valor SG de la primera pila a 2. De lo trabajado anteriormente, esto ocurre para pilas de 3 y 6 fichas. No podemos movernos de 18 a 3 pero podemos movernos de 18 a 6. Así, una óptima solución es sustraer 12 fichas de la pila de 18 fichas dejando 6 fichas.

59 Preguntas?

60 Gracias.

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