8.- Considere un duopolio de Bertrand que produce un bien homogéneo. La función de

Transcripción

1 8.- Consdere un duoolo de Bertrand que rodue un ben hoogéneo. La funón de deanda es x = A b y las eresas tenen el so oste argnal onstante, > 0 no hay ostes fos. Caratere el equlbro de Bertrand-Nash desrba el uego en fora noral, la deanda resdual de ada eresa, defna la noón de equlbro, uestre que la soluón rouesta es efetvaente un equlbro de Nash y que es úno, obtenga la roduón de la ndustra en equlbro y el benefo de ada eresa. Contexto El odelo de Bertrand se araterza or los sguentes eleentos: Consderaos una ndustra en la que hay eresas. Las eresas venden un roduto hoogéneo. 3 Coetena en reos. 4 Eleón sultánea. 5 Coste argnal onstante y oún ara las dos eresas: = = > 0. Deanda resdual Las eresas venden un roduto hoogéneo y oten en reos. Luego desde el unto de vsta de los onsudores lo úno relevante es la relaón que exsta entre los reos de las dos eresas; así los onsudores orarán el ben a la eresa que venda ás barato. Es der, s una eresa establee un reo nferor al de la otra, la rera se quedaría on todo el erado y la segunda no vendería nada. S abas estableen el so reo entones los onsudores estarían ndferentes entre orar a una eresa o orar a la otra. Para slfar hareos el suuesto de que en aso de gualdad de reos ada eresa vendería a la tad del erado. La deanda resdual de la eresa,, =,,, sería:

2 x < x, = x = 0 > x, x x x Reresentaón del uego en fora noral. Noón de equlbro El uego en fora noral es: =,. Jugadores 0. Coo estratega ara el ugador nos valdría ualquer reo no negatvo ualquer núero real no negatvo. De anera equvalente odeos reresentar las estrategas del ugador oo [0,, =,. 3 Los benefos orresondentes a la obnaón de estrategas, son:, = x,, =,,, =,,, = x, x Donde la deanda resdual de la eresa,, =,,, es: x < x, = x =. 0 > En el uego de duoolo de Bertrand dreos que * *, es un equlbro de Bertrand-Nash s: =. * * *,, 0,,,,

3 v Paradoa de Bertrand. Caraterzaón del equlbro y undad Vaos a deostrar que el úno equlbro de Nash del uego de Bertrand es: = = * * Este resultado se onoe oo la aradoa de Bertrand: Bastan dos eresas otendo en reos ara que se alane un resultado oettvo. Deostraón Deostrareos que la obnaón de estrategas = = : * * a Es equlbro de Nash. b Es el úno equlbro de Nash. a El benefo de ada eresa en la obnaón de estrategas, es:, = x = 0, =,. S la eresa se desvía unlateralente fando un reo > su benefo sería nulo ya que no vendería a nade. S baa el reo < vendería a todo el erado ero obtendría benefos negatvos. Por tanto,,, 0,, =,, b Vaos a deostrar que nnguna otra obnaón de estrategas uede ser equlbro de Nash. En el gráfo adunto aareen los dferentes tos de obnaones de estrategas que se ueden dar. Segureos el sguente roedento ara orobar s una obnaón de estrategas es equlbro o no: alulaos el benefo que obtene ada ugador en esa obnaón de estrategas y nos reguntaos s alguno de los ugadores tene nentvos a desvarse de anera unlateral. Para desartar una obnaón de estrategas oo equlbro de Nash basta on orobar que al enos un ugador uede eorar desvándose unlateralente. 3

4 > < = Preos guales: = a = > EN? NO. En una obnaón de estrategas oo ésta la ganana de ada eresa sería:, = x, = x. Cualquer eresa tendría nentvos a desvarse unlateralente. Por eelo, odeos elegr = ε donde ε es una antdad arbtrara ostva y lo sufenteente equeña: x x,,, x, x. De heho exstrían últles nfntas desvaones tales que la eresa eora on = = > = = una desvaón unlateral. b = < EN? NO. En una obnaón de estrategas oo ésta la ganana de ada eresa sería:, = x, = x < 0. < 0 Cualquer eresa tendría nentvos a desvarse unlateralente. Por eelo, ualquer > : = x = > = x = x 0,,,,. = 0 4

5 Preos dferentes: > > EN? NO. En una obnaón de estrategas oo ésta la ganana de la eresa sería nula, = x, = 0 y la de la eresa sería, = x, = x > 0. Para la eresa ualquer desvaón unlateral tal que < eleva benefos: x,,,, 0 0. = x = > = x = = s < Aunque heos deostrado ya que la obnaón de estrategas,, on > > no uede ser equlbro odeos orobar que en uhos asos la eresa tabén tendría nentvos a desvarse unlateralente. Por eelo, s > > ualquer desvaón unlateral > > eleva los benefos de la eresa. Para los asos > > > y > > > es tabén nedato enontrar desvaones que elevan el benefo de la eresa. La úna stuaón en la que la eresa no tendría nentvos a desvarse sería aquélla en la que > = >. d Otros asos: > EN? NO. > EN? NO. Bastaría on arguentar que no son equlbro dentfando la eresa que tene nentvos a desvarse. Cuáles serían el reo y la roduón de onoolo en este erado? Qué obnaón de estrategas reresentaría el auerdo de olusón? Muestre que el auerdo de olusón no se uede sostener oo equlbro. 5

6 El reo y la roduón de onoolo los obtendríaos dretaente del índe de Lerner habría que ustfar óo se obtene ya que el aso de deanda de elastdad onstante falta los álulos. El Índe de Lerner ara un onoolsta es: =. b Por tanto, el reo y la roduón de onoolo son sere que b > ara que se ulan las C..O: y b = = b b b b b b x = A = A. b El auerdo de olusón no es equlbro a orto lazo La obnaón de estrategas que reresenta el auerdo de olusón sétro es,. La ganana que obtendría ada eresa sería: =, = x = Ya vos óo una obnaón de estrategas del to = > no era equlbro de Nash. Cualquer eresa tendría nentvos a desvarse unlateralente. Por e., odeos elegr ε = donde ε es una antdad arbtrara ostva lo sufenteente equeña. Hay nfndad de desvaones tales que la eresa eora. Coare la roduón agregada del equlbro de Bertrand on la roduón efente. Calule la érdda rreuerable de efena. Seguos el enfoque del onsudor reresentatvo y suondreos que la urva de deanda del erado x se genera axzando la utldad de un onsudor reresentatvo que tene una Funón de Utldad Cuas-lneal: 6

7 u x y u u u + 0 = 0;. > 0;. < 0 donde el ben x es el ben rodudo en el erado duoolísto que nos nteresa entras que el ben y reoge todo lo deás renta que le queda al onsudor ara adqurr otros benes desués de gastar la antdad óta en el ben x. La rera arte de la funón de utldad la nterretaos oo la Dsosón Máxa a Pagar, R x : lo áxo que estaría dsuesto a agar el onsudor or x undades del ben. Pagará lo áxo s usto queda ndferente entre onsur x undades agando R x y no onsur el ben, dedando su dotaón de renta,, al onsuo del resto de los benes. Es der: U x, R x = U 0,. [S se dera el aso de que U x, R x > U 0, entones el onsudor estaría dsuesto a agar una antdad ayor que R x y s U x, R x < U 0, entones R x sería ayor que su dsosón áxa a agar.] Con utldad uas-lneal: u x + R x = u0 + R x = u x Por tanto, u x es la Dsosón áxa a agar y u x la Dsosón argnal a agar. Con utldad uaslneal la deanda es ndeendente de la renta y la funón nversa de deanda onde on la dsosón argnal a agar, x u x =. L x, y, λ ax u x + y x, y ax u x + y + λ y x x, y, λ s. a y + x = = u x Funón nversa de deanda [ ] Utlzar W x = u x C x oo funón de benestar soal requere ustfaón. Planteaos el roblea de obtener la asgnaón que axza la utldad del onsudor reresentatvo, on una restrón de reursos: nterretaos 7

8 el oste de roduón del ben x oo la antdad del ben y a la que habría que renunar ara tener el ben x. Susttuyendo y en la funón obetvo: ax u x + y x, y onstante s. a y = C x ax u x + C x ax u x C x x Luego el roblea de axzar el benestar soal onsste en: ax W x ax u x C x x 0 x 0 W 0 = u 0 C 0 > 0 x W x u x C x W x e = = 0 = 0 W x u x C x = < 0 Por tanto, en el nvel de roduón que axza el benestar soal o nvel de roduón efente se ule e e W x = 0 u x =. En el equlbro de Bertrand = = y la antdad total roduda es: * * * * * x = x + x = x + x = x La roduón efente es tal que e u x = y oo x e e u x = deduos que la roduón orresondente al equlbro de Bertrand es efente: x * e = x. Bastan dos eresas otendo en reos ara que se obtengan los resultados efentes. Por tanto, la érdda rreuerable de efena es nula. 8