TEORIA DE JUEGOS (Síntesis de conceptos introductorias de J.Pérez, J.L. Jimeno y E. Cerdá, Teoría de Juegos, Madrid, Pearson, 2004, )

Transcripción

1 TEORIA DE JUEGOS (Síntesis de conceptos introductorias de J.Pérez, J.L. Jimeno y E. Cerdá, Teoría de Juegos, Madrid, Pearson, 2004, ) Hablando en términos generales e intuitivos, podríamos decir que la Teoría de Juegos estudia si u iones de conflicto coo er ' ' a las ue denominamos ue os, en as que mteractúan individuos racionales analizado los compo amientos y resultados que son de esperar, bien mediante decisiones individuales (caso e los juegos no cooperativos, bien me iante acuer os entre los participantes (caso de los juegos cooperativos). En el lenguaje ordinario, la palabra juego hace referencia a divertimento y también a actividad en que los participantes, sometidos a reglas que hay que cumplir, intentan ganar, pero pueden perder. Son muy conocidos los llamados juegos de mesa como el póker y el ajedrez, los juegos deportivos como el fútbol o tenis, o más recientemente, los juegos de computador. Suelen tener varios jugadores, pero a veces basta con uno (por ejemplo, el solitario y muchos juegos de computador). En estos juegos, cada jugador intenta conseguir el mejor resultado posible (maximizar su utilidad), pero teniendo en cuenta que el resultado del juego no depende sólo de sus acciones, sino también de las acciones de los otros jugadores. Es esta característica de los juegos -tomar las decisiones que más convengan para ganar, teniendo que cumplir las reglas del juego, y sabiendo que los demás jugadores también influyen en los resultados con sus decisiones- la que más valor tiene para su estudio sistemático, ya que muchas situaciones de interés para la economía y para otras ciencias (como biología, sociología o ciencia política), y que nada tienen que ver con los juegos arriba mencionados, comparten con ellos esa característica. La teoría de juegos se ocupa del análisis riguroso y sistemático de esas situaciones. Así pues, la teoría de juegos podría llamarse teoría de la decisión interactiva, que es diferente de la teoría de la decisión individual. Aunque la teoría de juegos no se interesa especialmente por los juegos corrientes, sí los usa como ejemplos aclaratorios y toma de ellos gran parte de su terminología. El campo de estudio de la teoría de juegos es muy general. No es preciso que haya entretenimiento, pero sí interacción. Aunque las aplicaciones mejor estudiadas de la teoría de juegos suponen que los jugadores son agentes (personas, empresas, gobiernos, etc.) racionales (su capacidad de razonamiento y de cálculo para identificar las acciones y estrategias que les conducen a resultados más deseables, es infinita), en otros casos los jugadores no necesitan ser personas ni grupos de personas (pueden incluso ser programas de computador o minúsculos seres vivos), y tampoco necesitan ser racionales. En economía se estudian a menudo situaciones de decisión individual, en las que el agente intenta maximizar su utilidad, sin importar lo que hagan otros. Por ejemplo: a) Elección de cantidades de cada bien a comprar por parte de un consumidor. Se suponen dados los precios de los bienes, así como la renta del consumidor. b) Elección de cantidades de un bien a producir por parte de una empresa precioaceptante. Se suponen dados los precios del bien y de los factores de producción y conocida la función de producción. c) Elección del precio de un bien por un monopolista. Se suponen dados los precios de los factores de producción y la curva de demanda de dicho bien y conocida la función de producción. Sin embargo, hay muchas otras situaciones en que la utilidad del resultado final no depende sólo de la acción del agente, sino también de las acciones de otros agentes. Ejemplos: 1

2 a ) Elección por la empresa A de la cantidad a producir de un bien o del precio de dicho bien, si también lo produce la empresa B, y ninguna más (duopolio). Los resultados finales para la empresa A dependen no sólo de sus propias decisiones, sino también de las decisiones de la empresa B. b ) Elección por una empresa de automóviles de un nivel de gasto en publicidad. Las consecuencias finales de dicho gasto dependen del gasto realizado en publicidad por las empresas competidoras. c ) Elección por un coleccionista de su puja (cantidad de dinero que ofrece) en la subasta de un cuadro. Los resultados (consigue o no que le adjudiquen el cuadro subastado) dependen también de la puja de los otros participantes. Incluso ocurre a menudo que el planteamiento según el cual no importa lo que hagan otros agentes, es una simplificación de la realidad. Por ejemplo, la utilidad final de la decisión del monopolista de producir q unidades, depende también de los precios de los bienes sustitutivos, y esos precios son el resultado de acciones de otros agentes. Tipos de juegos Cabe distinguir dos tipos básicos de juegos, o dicho de otro modo, dos enfoques básicos en el análisis dé un juego, coo estivos y no cooperativos. En el en oq coo per o se analizan las posibilidades de que o lodos los jugadores lleguen a un acuerdo sobre qué decisiones va a tomar cada uno, mientras que en el enfoque no cooperativo se analiza qué decisiones tomaría cada jugador en ausencia de acuerdo previo. Entre los juegos no cooperativos cabe hacer dos distinciones básicas, juegos estáticos o dinámicos, y juegos con o sin información completa.. En los juegos estáticos los jugadores toman sus decisiones simultáneamente (o dicho de manera más precisa, cada jugador decide sin saber qué han decidido los otros), mientras que en los dinámicos puede darse el caso de que un jugador conozca ya las decisiones de otro antes de decidir. En los juegos con información completa, todos los jugadores conocen las consecuencias, para sí mismos y para los demás, del conjunto de decisiones tomadas, mientras que en los juegos con información incompleta, algún jugador desconoce alguna de esas consecuencias. Terminología básica Aunque posteriormente se presentará y se explicará con más detalle cada uno de lbs términos, a continuación damos una primera definición de la terminología básica que se utiliza habitualmente en Teoría de Juegos. Jugadores Son los participantes en el juego que toman decisiones con el fin de maximizar su utili. dad. Son dos o más. Acciones de cada jugador Son las decisiones que puede tomar cada jugador en cada momento en que le toque jugar. El conjunto de acciones de un jugador en cada momento del juego puede ser finito o infinito. Resultados del juego Son los distintos modos en que puede concluir un juego. Cada resultado lleva aparejadas unas consecuencias para cada jugador. Pagos Cada jugador recibe un pago al acabar el juego, que depende de cuál haya sido el resultado del juego. El significado de dicho pago es la utilidad que cada jugador atribuye a dicho resultado, es decir, la valoración que para el jugador tienen las consecuencias de alcanzar un determinado resultado en el juego. Estrategias. Perfiles de estrategias 2

3 Una estrategia de un jugador es un plan completo de acciones con las que éste podría proponerse participar en dicho juego. Un perfil de estrategias es un conjunto de estrategias, una por cada jugador. Forma estratégica y forma extensiva Son formas de describir un juego. Ambas especifican los jugadores, las acciones y los pagos. La forma estratégica (o forma normal) organiza la descripción en forma rectangular, centrando su énfasis en las estrategias de los jugadores (como si éstos fueran capaces de tomar todas sus decisiones de una vez), mientras que la forma extensiva lo hace en forma de árbol, resaltando la secuencia del juego, es decir, la manera en que se desarrollan o podrían desarrollarse las acciones de los jugadores para alcanzar los posibles resultados del juego. En el Apartado 1.4 se presenta más detalladamente la forma extensiva y en el Apartado 1.5 la forma estratégica. A continuación se presentan dos juegos muy sencillos que ilustran los términos introducidos. Ejemplo 2.1 El dilema del prisionero es, probablemente, el juego más simple y famoso, y se basa en el siguiente relato ilustrativo: Dos delincuentes habituales son apresados cuando acaban de cometer un delito grave. No hay prueba clara contra ellos, pero sí indicios fuertes de dicho delito y además hay pruebas de un delito menor. Son interrogados simultáneamente en habita ciones separadas. Ambos saben que si los dos se callan serán absueltos del delito principal por falta de pruebas, pero condenados por el delito menor (1 año de cárcel), que si ambos confiesan, serán condenados por el principal pero se les rebajará un poco la pena por confesar (4 años), y finalmente, que si sólo uno confiesa, él se librará de penas y al otro «se le caerá el pelo» (S años). La representación en forma estratégica es la siguiente: Dilema del prisionero PRESO 1-1, -1-5, 0 0, -5-4, -4 Teniendo en cuenta el significado de los pagos, y en particular que son interpretables como utilidades de Von Neumann-Morgenstern y representables mediante una escala cardinal-intervalo, podemos aplicar a la escala de pagos de cada jugador una transformación afín positiva. Por ejemplo, sumemos 5 unidades a todos los pagos del juego. Dilema del prisionero (escala estándar PRESO 1 4, 4 0, 5 5, 0 1, 1 Para este juego, los conjuntos de jugadores y de estrategias, y las funciones de pagos son: J = {l, 2}, SI = S2 = {, } u1(, ) = 4 u2(, ) = 4 u1(, ) = 0 u2(, ) = 5 ul(, ) = 5 u2(, ) = 0 ul(, ) = 1 u2(, ) = SOLUCIONES DE UN JUEGO MEDIANTE ARGUMENTOS DE EQUILIBRIO. EL EQUILIBRIO DE NASH 3

4 Este es quizá el más importante concepto de solución. Según él, lo razonable es esperar que los jugadores jueguen un perfil de estrategias que constituya un equilibrio de Nash, tal como se define a continuación. Se pretende que este nuevo concepto de solución sea un refinamiento, constituido por modos razonables de jugar, de los conceptos de solución basados en la eliminación iterativa de estrategias dominadas. Hasta ahora hemos hecho un análisis relativo a la dominación, es decir, hemos intentado eliminar del análisis aquellas estrategias que pensamos que no deberían ser jugadas nunca por jugadores racionales. Dicho de otro modo, nos hemos limitado a resolver la cuestión sobre qué estrategias no debería jugar un individuo racional y hemos considerado que era razonable suponer que un jugador racional nunca utilizará estrategias que le produzcan unas ganancias inferiores ante cualquier creencia que pueda tener sobre el comportamiento de los rivales (ante cualquier elección que pudieran hacer los rivales), es decir, nunca jugará estrategias estrictamente dominadas. Además hemos «exprimido» un poco más este concepto para indicar que si añadimos el supuesto de conocimiento común de la racionalidad de todos los jugadores, un jugador racional no debería esperar que sus rivales jueguen estrategias estrictamente dominadas, es decir, no debería suponer en sus rivales un comportamiento en el que éstos juegan estrategias dominadas, ni debería esperar que los otros esperen que alguien juegue estrategias dominadas... y así sucesivamente. Este tipo de análisis no nos ha permitido alcanzar un resultado claro en la mayoría de las situaciones, sino que como norma general ha simplificado en alguna medida los elementos a analizar. Lo que se propone a continuación es un enfoque completamente diferente al de la dominación de estrategias, una línea de análisis en la cual la cuestión clave es: qué propiedades debería tener un perfil de estrategias para constituirse en solución de un juego?, qué propiedades debe tener un perfil de estrategias para que podamos pensar que es una buena predicción del comportamiento de jugadores racionales? Procedemos por tanto, a realizar un análisis de equilibrio. Dicho análisis nos proporciona el concepto de equilibrio de Nash como condición necesaria (y en algunos casos también suficiente) j para que un perfil de estrategias sea la solución del juego, es decir, una predicción válida sobre el comportamiento de jugadores racionales. El Equilibrio de Nash (EN) en estrategias puras Definición 2.7 En el juego G = (S,,..., S ; u,,..., u }, decimos que el perfil de estrategias puras (s*, s2,..., s*,..., sn*) es un Equilibrio de Nash (EN) si para cada jugador i, U,(s*,..., si* l, s *, si* l,..., Sn*) i ui(s*,..., si*,, si, si* l,..., sn*) para todo si de Si. Es decir, para cada jugador i, s* es una solución del problema maxui(s,..., s*,, si, si*,,..., s,*) donde si es la variable de decisión y pertenece a Si. 0 dicho de otro modo, para cada jugador i, s * es una respuesta óptima a s *_ i. De esta definición se deduce que un Equilibrio de Nash (EN) es un perfil de estrategias del que ningún jugador desearía desviarse unilateralmente, es decir, ninguno se arrepiente de la decisión tomada, dadas las estrategias decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrate s del resto de jugadores. Esto no significa que en un EN cada jugador esté alcanzando el mejor resultado posible, sino el mejor resultado condicionado por el hecho de que los demás jugadores jueguen las estrategias indicadas para ellos en dicho perfil. Puede haber múltiples equilibrios de Nash en un juego y, por analogía con la notación SEIS utilizada para referirnos al conjunto de perfiles constituidos por estrategias que sobreviven al proceso EIE, llamaremos SEN al conjunto de perfiles que son equilibrios de Nash. Cálculo de los EN len estrategias puras) en los juegos anteriores Ejemplo 2.20 Para el dilema del prisionero, y siguiendo la definición, vamos a intentar encontrar el equilibrio de Nash. Ello nos obliga a enumerar todos los perfiles de estrategias posibles y ver si fijada una estrategia del perfil para un jugador, la otra estrategia maximiza los pagos del otro jugador. Dilema del prisionero (escala estándar 4

5 PRESO 1 4, 4 0, 5 5, 0 1, 1 El dilema del prisionero presenta cuatro perfiles como posibles soluciones EN del juego: (, ), (, ), (, ) y (, ). Comencemos analizando el perfil (, ) y supongamos que es un EN. Si J 1 prevé que J2 jugará, le interesará a J 1 seguir pensando en jugar? La respuesta es no. Dada o fijada la estrategia de J2, el jugador Jl preferirá desviarse de la estrategia indicada para él en el perfil propuesto como solución puesto que con la estrategia obtiene un pago superior u, (, ) = 5 > 4 = ul(, ). Este argumento también es aplicable al jugador J2 (por la simetría del juego). Supongamos que se propone como solución EN el perfil (, ). En este caso, si el jugador J2 supusiera que J1 iba a jugar, a él le convendría jugar la estrategia pues con ello maximiza su utilidad en este caso particular (u2(, ) = 1 > 0 = u2(, )). Por tanto, el perfil (, ) tampoco es un EN. El caso (, ) es análogo al anterior intercambiando la posición de los jugadores. Finalmente, nos queda el caso (, ). Este sí que es un perfil de equilibrio, un equilibrio de Nash, ya que ninguno de los jugadores tiene incentivo para desviarse de un modo unilateral de la estrategia que se propone. Si alguno de los jugadores decidiera seguir la estrategia en solitario, perdería utilidad en relación al perfil (, ), puesto que u1(, ) = 0 < 1 = ul(, ) y u2(, ) = 0 < 1 = u2(, ). En el cuadro siguiente se utilizan flechas para señalar, en cada caso, el sentido de la desviación deseada por cada jugador desde cada perfil de estrategias. El único EN es el perfil (, ), que es el único perfil desde el cual no sale ninguna flecha. Dilema del Prisionero (desviaciones deseadas) J 1 J 2 4, 4 0, 5 5, 0 1, 1 Hay otra manera sencilla y eficaz de visualizar, en la propia representación bimatricial o trimatricial de un juego, la búsqueda y obtención de los EN. Consiste en comparar, para cualquier combinación de estrategias de sus contrincantes, los pagos que un jugador obtendría si jugara cada una de sus estrategias, y subrayar el pago (o pagos) máximo alcanzable, que corresponden a la estrategia (o las estrategias) de respuesta óptima a dicha combinación. Un perfil de estrategias es EN si y sólo si el vector de pagos correspondiente tiene todos sus pagos subrayados. En el cuadro siguiente se ejemplifica el procedimiento: Dilema del Prisionero (pagos subrayados) Dilema del prisionero (escala estándar PRESO 1 4, 4 0, 5 5, 0 1, 1 Supuesto que el Preso 2 juegue, se comparan los pagos 4 y 5 del Preso 1, y se subraya el máximo que es 5, indicando que la respuesta óptima es. Supuesto que el Preso 2 juegue 5

6 , se comparan los pagos 0 y 1 del Preso 1, y se subraya el máximo que es 1, indicando que la respuesta óptima es también. Procediendo de manera análoga con los pagos del Preso 2, se llega a la conclusión de que el único EN es el perfil (, ), único perfil en cuyo vector de pagos están todos los pagos subrayados: Es decir, S EN = «, )}. 6