Teoría de las decisiones y de los juegos Grupo 51 Ejercicios - Tema 3 Juegos dinámicos con información completa (0, 2) 2 D (3, 0) 1 B I

Transcripción

1 Teoría de las decisiones y de los juegos rupo 5 Ejercicios - Tema 3 Juegos dinámicos con información completa. Considere el siguiente juego en su forma extensiva. I (0, ) D (3, 0) I (, ) D (, 3) Figure : Juego, ejercicio (a) Especificar el conjunto de estrategias puras de cada jugador. (b) Calcular los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos, los pagos y la trayectoria.. ara hacer la paz, hay que prepararse para la guerra. Considere el siguiente juego en el cual los países y deben decidir simultaneamente si adquirir armas () o no (N). En una segunda etapa del juego el país observa si ha adquirido armas o no y debe decidir si hacer la paz () o la guerra (). N N N (-4,-4) (0, 0) (3,-3) (-, 0) (-3, 3) (0, -) (-, -) (, ) Figure : Juego, ejercicio (a) Cuántas estrategias puras tiene cada jugador? (b) Hallar los equilibrios perfectos en subjuegos (en estrategias puras), los pagos y la trayectoria.

2 3. Considere el juego con dos empresas, F E y F M. La empresa F E amenaza con entrar a un mercado dominado por una empresa monopolista, F M. F E deberá elegir ente entrar (e) o no entrar (ne). F M observa si entra F E. Si F E entra, entonces F M puede responder con un ataque / una campaña en contra (a) de la entrante o cooperar y repartirse el mercado (c). Suponemos que los beneficios asociados a las estrategias de las empresas son los siguientes: Si F E no entra (ne), los beneficios serán (π E, π M ) = (0, ). Si F E entra (e), y F M realiza el ataque (a), ( 3, ). Si F E entra (e), y F M coopera (c), (, ). (a) Escribir el juego en su forma extensiva. (b) Escribir el juego en su forma normal. (c) Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos (en estrategias puras). (d) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras. (e) Hay alguna amenaza no creíble en alguno de los equilibrios de Nash del apartado anterior? (f) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias mixtas. 4. Considere el juego en su forma extensiva. (, ) Y (4, 3) X b a (, ) (3, 4) Figure 3: Juego, ejercicio 4 (a) Especificar los espacios de estrategias puras de cada jugador. Hallar los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos. (b) Representar el juego en su forma normal. (c) Hallar los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas (para la matriz de pagos del apartado anterior). (d) Es el conjunto de equilibrios obtenidos en el apartado (a) un subconjunto del conjunto de equilibrios de Nash?

3 5. (Difícil.) Supongamos que un padre y un hijo participan en el siguiente juego, analizado originalmente por ecker (974). rimero el hijo escoge una acción,, que resulta en un ingreso para él, I H (), y en un ingreso para el padre, I (). (ensemos en I H () como el ingreso del hijo, neto de cualquier coste de la acción.) En segundo lugar el padre observa los ingresos I H e I y escoge una herencia,, que dejar al hijo. La ganancia del hijo es U (I H + ) y la del padre es V (I ) + ku (I H + ), donde k > 0 refleja el altruismo del padre. Supongamos que la acción es un número no negativo 0, que las funciones I H e I son estrictamente cóncavas y tienen un máximo en H > 0 y > 0, respectivamente, que la herencia puede ser positiva o negativa y que las funciones de utilidad U y V son crecientes y estrictamente cóncavas. Demuéstrese el teorema del niño mimado : En el equilibrio por inducción hacia atrás, el hijo escoge la acción que maximiza el ingreso agregado de la familia I H () + I (), a pesar de que sólo la ganancia del padre es de alguna forma altruista. 6. Tres oligopolistas operan en un mercado con una demanda inversa dada por (Q) = max{0, a Q}, donde Q = q + q + q 3 y q j es la cantidad producida por la empresa j.cada empresa tiene un coste marginal constante, c < a, sin costes fijos. Las empresas escogen sus cantidades de la siguiente manera: () la empresa escoge q 0; () las empresas y 3 observan q y escogen simultáneamente q y q 3 respectivamente. (a) Representar el juego en su forma extensiva. (b) Cuál es el equilibrio perfecto en subjuegos? Cuál es el resultado del equilibrio perfecto en subjuegos? 7. (Muy difícil.) Considera el ejercicio de competencia oligopolística con diferenciación de producto (localización). Dos empresas producen un bien homogéneo. Supongamos que el coste marginal de cada empresa es igual a cero. Las empresas maximizan sus beneficios (=ingresos) π i = p i d i (s, s ; p, p ). Donde d i (.) es la demanda de la empresa i. Supongamos que los consumidores están uniformemente distribuidos a lo largo del intervalo [0, ]. El juego es el siguiente: En una primera etapa las empresas eligen simúltaneamente una localización (s, s ), donde s i es la localización dentro del intervalo [0, ] de la empresa, sin perdida de generalidad suponemos que s s. En una segunda etapa, ambas empresas observan (s, s ) y compiten en precios. La utilidad de un consumidor h (localizado en el punto h) cuando le compra a la empresa i es igual a u h = 0 p i 3 (h s i ). Dado que los consumidores sólo eligen a quien comprarle, es fácil comprobar que d (s, s ; p, p ) = p p + s +s 6(s s ) y d (s, s ; p, p ) = p p 6(s s ) s +s. (a) Hallar el equilibrio perfecto en subjuegos. (b) Calcular los beneficios de cada empresa en equilibrio. Interpretar el resultado. 3

4 8. Sea el juego en forma normal = {S = {, M, }, S = {I, C, D}, u, u } cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos: \ I C D (3, ) (0, 0) (0, ) M (, ) (5, 5) (, 0) (0, ) (3, 5) (3, 0) (a) Calcular los equilibrios de Nash del juego de una sola tirada (en estrategias puras y mixtas). (b) Supongamos a partir de ahora que el juego se repite dos veces con un factor de descuento 0 < δ <. uede ser (M, C) parte de un equilibrio perfecto en subjuegos? ara qué valores de δ? (c) uede ser (, D) parte de un equilibrio perfecto en subjuegos? Y en general, puede ser una estrategia estrictamente dominada del juego de etapa parte de un equilibrio perfecto en subjuegos? (d) Supongamos a partir de ahora que el juego se repite un número ilimitado de veces con un factor de descuento 0 < δ <. uede ser (M, C) parte de un equilibrio perfecto en subjuegos? ara qué valores de δ? 9. Sea el juego en forma normal = {S = {, }, S = {C, D}, u, u } cuyos pagos están resumidos en la matriz de pagos: \ L R (4, ) (3, ) (, 4) (6, 3) Considere el juego repetido infinitamente. Hallar un equilibrio de Nash y un factor de descuento δ que llevan a unas ganancias medias de (6, 3). 0. Considere el modelo de negociacion de Stahl-Rubinstein con 3 etapas. El jugador tiene un factor de descuento δ, y el jugador tiene un factor de descuento δ con δ, δ (0, ). Si no llegan a un acuerdo entonces reciben en la etapa 3 los pagos (s, s) donde 0 < s < es una constante (exógena). (a) Supongamos que el jugador propone primero. Representar el juego en su forma extensiva. (b) Supongamos que el jugador propone primero. Calcular el equilibrio perfecto en subjuegos. Comparar los pagos de equilibrio de ambos jugadores si δ < δ. (c) Supongamos que δ = 0.8, δ = 0.6 y s = 0.5. l jugador le conviene ser el primero en proponer? O prefiere ser el segundo en proponer? 4

5 . Consideramos el juego dinámico que consiste en jugar en la primera etapa el juego: \ I D (, ) (5, 0) (0, 5) (4, 4) y, después de observar el resultado de esta etapa, jugar el juego \ I D (3, 3) (, 4) (4, ) (, ) Suponemos que no hay descuento (es decir que el pago final es la suma de los pagos de las dos etapas). (i) Razonar cuidadosamente cómo son los equilibrios perfectos en subjuegos. (ii) Cuáles son las decisiones y pagos resultantes? (iii) Qué pasaría en caso de que el jugador tuviese un factor de descuento δ y el jugador tuviese un factor de descuento δ, donde 0 < δ, δ <.. Consideramos el juego dinámico que consiste en jugar un número infinito de períodos el dilema del prisionero (col=colaborar): \ no col col no col (, ) (5, 0) col (0, 5) (4, 4) Suponemos que ambos jugadores tienen un factor de descuento δ = δ =. Consideremos la siguiente estrategia: En t = colaboro. En t > colaboro si y sólo si el otro jugador ha colaborado en t. (i) Cuáles son los pagos resultantes si ambos jugadores siguen esta estrategia? (ii) Es un equilibrio de Nash? 3. Sea el siguiente juego en dos etapas. Hay dos empresas que pueden producir un mismo bien a costes marginales iguales a c. En la primera etapa, cada empresa decide entrar en el mercado (en cuyo caso debe pagar un coste irrecuperable F > 0, o no entrar (que no tiene coste). En la segunda etapa, si sólo una empresa ha entrado se comporta como un monopolista. Si ambas han entrado compiten a la Cournot. Si Q es la cantidad total producida, entonces el precio es (Q) = max{a Q, 0}. (i) Representar el juego en forma extensiva. (ii) Calcular los equilibrios perfectos en subjuegos. 5

6 a b b C C c c c c (4, 4, 0) (4, 0, 4) ( 0,, 4) ( 4, 4, 0) a b (, 0, ) a 3 b ( 0, 5, 5) C c c (,, ) ( 3, 0, 0) 4. Considera el juego en forma extensiva y de información perfecta con tres jugadores representado en la figura donde los vectores de pagos representan los pagos de, y C respectivamente. (a) Si el juego es de información perfecta y todos los jugadores pueden observar las acciones previas de los demás, determina el perfil estratégico, la trayectoria y los pagos de todos los equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras. (b) Supón ahora que el jugador es el único que no puede observar las acciones de los demás jugadores. En este caso (i) Representa el nuevo juego en forma extensiva. (ii) Existen equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras? En caso afirmativo, determina el perfil estratégico, la trayectoria y los pagos. (c) Supón ahora que las acciones de son observables por y C, pero C no puede observar las acciones de. En este caso: (i) Representa el nuevo juego en forma extensiva. (ii) Existen equilibrios de Nash perfectos en subjuegos en estrategias puras? En caso afirmativo, determina el perfil estratégico, la trayectoria y los pagos. 6