MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL. Aportes para el debate curricular FORMACIÓN DOCENTE 2001

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1 FORMACIÓN DOCENTE 2001 Aportes para el debate curricular Trayecto de Formación Centrado en la Enseñanza en el Nivel Inicial Materia: MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL Adriana Castro Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires Secretaría de Educación Subsecretaría de Educación Dirección General de Educación Superior Dirección General de Planeamiento Dirección de Currícula

2 Índice Introducción Presentación de las problemáticas Los propósitos de esta instancia curricular Primer tema: Enseñar matemática en el jardín 1.1. Planteo del problema 1.2. Desarrollo histórico 1.3. Devolver la enseñanza al contexto social de la educación 1.4. La Didáctica de la matemática Una breve presentación Enseñar matemática: enfoque didáctico Qué puede aportar la didáctica de la matemática al Nivel Inicial? Qué puede aportarles a los futuros docentes del nivel? Segundo tema: Cómo enseñar matemática para favorecer aprendizajes significativos Planteo del problema Modelos didácticos Sobre la concepción de aprendizaje Sobre la selección de actividades. Criterios Sobre la selección de contenidos. Criterios Tercer tema: Cómo enseñar a enseñar matemática en el Nivel Inicial Planteo del problema Análisis didáctico de situaciones de enseñanza Algunas variables de análisis El lugar de los contenidos de enseñanza en la formación docente Objetivos referidos a números y sistema de numeración Objetivos referidos a espacio y geometría Objetivos referidos a medida Ejes de contenidos para la organización de la materia Apéndice de actividades Bibliografía consultada GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

3 MATERIA: MATEMÁTICA EN EL NIVEL INICIAL INTRODUCCIÓN El presente documento tiene como propósito general ofrecer orientaciones teóricas y algunos análisis recientes que contribuyan a la toma de decisiones de los profesores, ligadas con la enseñanza de la matemática en el Nivel Inicial desde la perspectiva de la formación de docentes. Para esto, se han seleccionado tres problemáticas básicas que se desarrollarán en este documento y, finalmente, se comentará una serie de trabajos bibliográficos que resulten de utilidad para el dictado de la materia. Esta será clasificada según esté destinada al profesor y/o al alumno. PRESENTACIÓN DE LAS PROBLEMÁTICAS 1. Enseñar matemática en el jardín desde una perspectiva histórica. Una historia con aciertos y desaciertos en la que ambos contribuyeron a la construcción de un enfoque didáctico. Resulta necesario ubicar el surgimiento de la enseñanza de matemática en el Nivel Inicial desde una perspectiva histórica ya que en la actualidad coexisten prácticas ligadas a los diferentes enfoques. Se pretenderá ofrecer al futuro docente elementos teóricos que le permitan decidir cómo enseñar y qué desechar o no de todos los aportes, según el análisis que él mismo pueda hacer; para esto, se intentará que los futuros docentes tomen contacto con investigaciones y reflexiones sobre las complejas relaciones entre la enseñanza de la matemática destinada a los más pequeños y las disciplinas tomadas como referentes para regular este proceso. Desde estos análisis, los alumnos se iniciarán en el estudio de los aportes de la Didáctica de la Matemática, disciplina que ha contribuido en el replanteo del problema con investigación en contextos reales del sistema didáctico. 2. Enseñar matemática en el Nivel Inicial. Modelos didácticos para la enseñanza de la matemática. Los niños del Nivel Inicial y sus aproximaciones espontáneas a los conocimientos de matemática. Reflexiones didácticas, aportes teóricos que permitirán avanzar hacia la construcción de un modelo de intervención pedagógica en el marco de un modelo interactivo. Se intentará ampliar o complejizar la problemática de la enseñanza partiendo de algunas cuestiones claves aproximaciones espontáneas de los niños pequeños a conocimientos ligados a la matemática escolar, el análisis del "error" dentro del proceso de enseñanza, el juego en el aprendizaje escolar de contenidos de matemática, las interacciones entre pares. En síntesis, en este punto se intentará poner en contacto al futuro docente con reflexiones e investigaciones tanto de didáctica como del campo de la psicología. De este modo, los profesores posibilitarán que sus alumnos adquieran herramientas de análisis tanto para la selección de propuestas de aprendizajes desde una perspectiva didáctica como para la construcción de estrategias de intervención, favoreciendo también el cuestionamiento de las concepciones aprendidas desde el rol de alumno. 3. Cómo enseñar a enseñar matemática en el Nivel Inicial. La relación entre los contenidos y los cono- Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 3

4 cimientos del futuro docente. Análisis de propuestas que enseñen a mirar la práctica desde la perspectiva de la didáctica de la matemática; elementos para el análisis didáctico de situaciones. Análisis de las posibilidades de articulación con otras áreas, las distintas maneras de organizar los grupos de niños y la actividad del docente en el marco del enfoque de la resolución de problemas. Desde la perspectiva de un enfoque didáctico que posibilite un "recambio" de modelos para la enseñanza, el profesor de la materia ocupa un lugar central. Un profesor que forma docentes que enseñarán matemática en los niveles primario, medio o superior puede plantear sus clases de manera semejante a como desea que enseñen los futuros docentes; sus alumnos resolverían problemas desafiantes analizando, en forma conjunta, los aspectos didácticos de la situación y de los referidos a los conceptos o nociones involucrados. En cambio, la relación que se establece entre la enseñanza de matemática en el jardín y las estrategias de formación es de naturaleza diferente de la planteada para los demás niveles: los conceptos ligados a los contenidos que deberán enseñar los futuros docentes no representan un obstáculo. El profesor deberá, entonces, realizar una intensa búsqueda de situaciones que posibiliten tanto la reflexión sobre los contenidos desde el punto de vista de la revisión de los conocimientos matemáticos de los alumnos como de la apropiación de conocimientos didácticos. Se sostendrá la posición según la cual el análisis y construcción de propuestas didácticas, el análisis de prácticas escolares referidas a la enseñanza de la matemática en el nivel son el objeto de estudio de esta materia. LOS PROPÓSITOS DE ESTA INSTANCIA CURRICULAR 1. Ofrecer un conjunto de conocimientos didácticos que permita a los futuros docentes repensar su propia formación como alumnos aprendiendo matemática y desde allí construir el rol docente. 2. Centralizar la problemática de la formación en la construcción del desempeño profesional, contextualizando la enseñanza de la matemática en las condiciones propias del Nivel Inicial. 3. Ofrecer investigaciones, experiencias y propuestas propias del Nivel Inicial o bien vinculadas con las edades de los alumnos de jardín, vigilando las condiciones de la extrapolación de trabajos realizados en otros niveles del sistema escolar. 4. Ofrecer los conocimientos necesarios que le permitan al futuro docente seleccionar y organizar contenidos, aprender criterios para diseñar y desarrollar actividades en las diferentes secciones de jardín, evaluar su propia práctica y los aprendizajes de sus alumnos. 5. Ofrecer los conocimientos necesarios que le permitan al futuro docente la construcción de un modelo de intervención. 6. Favorecer la reflexión permanente que permita someter a riguroso análisis las propias decisiones acerca de cómo actuar como docentes de niños que inician su aprendizaje en el área. 7. Integrar los conocimientos aprendidos en otras instancias y trayectos de su formación. 4 GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

5 PRIMER TEMA: ENSEÑAR MATEMÁTICA EN EL JARDÍN 1.1. Planteo del problema Hace relativamente poco tiempo que la enseñanza de la matemática se ha consolidado en el Nivel Inicial. Sin embargo, no son pocos los aportes teóricos que precedieron a esta consolidación. En efecto, tanto la psicología genética como los diferentes enfoques vinculados con la enseñanza de la matemática en la escuela han dejado su huella en este proceso. La formación docente no se ha mantenido ajena a la influencia de diferentes tendencias. Si bien es cierto que la enseñanza de la matemática no ha tenido un espacio curricular propio en el plan vigente (274/74) hasta este momento, también es cierto que en el marco de diferentes instancias curriculares se plantearon líneas de acción pedagógica en dirección a colaborar con el desarrollo del pensamiento lógico-matemático y con el aprendizaje de diversas nociones vinculadas con los números, el espacio y la geometría. En la actualidad, existe una gran diversidad de maneras de encarar los contenidos de matemática. Con la llegada de los contenidos básicos comunes salieron a la luz varios de los problemas históricos de la enseñanza de la matemática: cómo enseñar un concepto abstracto a niños pequeños?; qué tipos de materiales son útiles o necesarios para el aprendizaje de conocimientos del área?; qué lugar se le debe dar a los problemas?; se puede hablar de problemas en el Nivel Inicial?; etcétera. Una vez más diversos enfoques respondieron a estos y otros interrogantes, provocando la convivencia de posiciones didácticas y psicológicas en las salas del jardín. De este modo, se generaron las condiciones necesarias para plantear un cambio de enfoque, revisando algunas de las decisiones que dieron origen a las posturas fundantes de la enseñanza de la matemática en el Nivel Inicial Desarrollo histórico Las actividades matemáticas se vincularon históricamente con el aprendizaje de conceptos básicos o elementales de la aritmética y estuvieron regulados o prescriptos por los aportes realizados desde dos ámbitos externos a la educación. Estos aportes fueron fundamentalmente las investigaciones en psicología genética desarrolladas por Piaget desde 1920 hasta la década del 70 aproximadamente y la construcción teórica de la Matemática en los años 60 cuya principal influencia en la educación formal dio origen a la llamada "Matemática moderna". La contemporaneidad de los fenómenos ocurridos, el impacto hegemónico de estas ciencias y el avance en la reflexión epistemológica desde ambas perspectivas, sus interacciones teóricas, y las coincidencias conceptuales son algunas de las condiciones que posibilitaron el acercamiento mutuo de la psicología genética y la matemática de las estructuras, conformando una relación complementaria y funcional para la consolidación de una propuesta educativa acorde con los primeros aprendizajes en matemática. Desde el punto de vista de las aplicaciones de las investigaciones psicogenéticas en la reforma de la matemática moderna, se podría sintetizar que tomaban de Piaget sobre todo las investigaciones ligadas a la génesis del número y el espacio en el niño con la expectativa de influir desde el aula tal vez acelerando sobre el proceso de construcción lógica espontánea de los niños (Brun, 1979; Coll, 1983; Castorina, 1984; Lerner, 1996; Quaranta, 1998; entre otros). Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 5

6 Algunas ideas educativas que se fundaron a partir de estas posiciones fueron: El planteo según el cual los niños deberían construir la noción antes que abordar el concepto. Al considerar al número, por ejemplo, como la síntesis de la clasificación (clases construidas según semejanzas y diferencias) y de la seriación (relaciones de orden entre clases según la diferencia "uno más que" o "uno menos que"), estos conceptos pasaron a ser contenidos a enseñar en la escuela. El traslado de la entrevista clínica, usada en la investigación psicogenética, al ámbito escolar como metodología de enseñanza ya que permitía, de modo eficaz, indagar los conocimientos en los alumnos e intervenir a través de preguntas que potencialmente provocarían el aprendizaje en tanto lograran generar "confictos cognitivos". Desde el punto de vista del aporte de la matemática, la Teoría de Conjuntos hizo su incursión en la educación con el objeto de modernizar la enseñanza; se esperaba que esta teoría jerarquizara la matemática escolar al incluir las más recientes construcciones en la disciplina superando en calidad a los conocimientos de aritmética y geometría considerados obsoletos. Por otra parte, su aporte más importante se centraría según esta perspectiva en su potencial formativo al requerir un mayor nivel de abstracción que para adquirir los conocimientos de aritmética. Uno de los precursores de esta reforma con mayor influencia en el Nivel Inicial fue principalmente Z. Dienes. Al tomar la definición de número como clases de equivalencias (definición matemática) las actividades asociadas a esta definición consistirían en identificar la equivalencia entre conjuntos a través de las correspondencias término a término y nombrando con un numeral determinado los conjuntos que tuvieran la misma cantidad de elementos (por ejemplo: el numeral 8 representa a todas las clases de 8 elementos). Desde el punto de vista del análisis de la inserción de la enseñanza de conocimientos en el Nivel Inicial, según la perspectiva anterior, las actividades conocidas como "actividades prenuméricas" jugaron un rol esencial. Las tareas de clasificación de materiales diversos, seriación de algunos otros materiales con características específicas y, ya gráficamente, poner en correspondencia (traducido escolarmente como "unir con líneas") los elementos de dos conjuntos hegemonizaron el dominio de la construcción lógica del pensamiento infantil ya que se las vinculaban directamente con la preparación de las estructuras lógicas necesarias para la construcción de conceptos matemáticos. En este marco es importante destacar el aporte de los materiales y fundamentos de Z. Dienes (1970) con los que se esperaba contribuir al desarrollo de las estructuras del pensamiento lógico-matemático. Desde el punto de vista de esta historia de la enseñanza de la matemática, es necesario considerar que la renovación pedagógica ligada a la "matemática moderna" significó un retroceso con respecto a la presencia de contenidos en la institución escolar pero es justo señalar que dejó un aporte positivo en cuanto a su planteo de contemplar aspectos del desarrollo psicológico de los niños en la construcción de una propuesta de enseñanza y al vincular estas propuestas con la evolución de la ciencia, cuestión que la enseñanza clásica o tradicional no había considerado hasta ese momento. Las principales críticas a este movimiento de renovación surgieron no sólo del ámbito de la propia matemática 1 sino también desde la comunidad educativa en su conjunto, ya que este lenguaje resultaba inaccesible tanto para los niños como para los padres que intentaban acompañar a sus hijos en el aprendizaje escolar. También resultaba un lenguaje desconocido por los docentes desde la perspectiva de la rigurosidad científica y, en consecuencia, se desvirtuaba y banalizaba el conocimiento matemático que estaba en juego. 1 Ver síntesis en Brousseau, GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

7 Es preciso recordar algunos puntos importantes del enfoque tradicional para la enseñanza de la matemática ya que las sucesivas reformas y propuestas que aquí se mencionaron surgieron en respuestas a algunos de sus postulados. La enseñanza clásica o tradicional consideraba que el docente era el poseedor del conocimiento matemático y que los alumnos debían aprender este saber desconocido en pequeñas porciones y de a poco. Por ejemplo, los números se enseñaban de a uno y hasta que el número 1 no estuviera presentado, ejercitado, dibujado y pintado no se comenzaba con el número 2. El maestro los presentaba en forma escrita, con dibujos, mostrando la cantidad de objetos que el número representaba. El jardín de infantes preparaba fundamentalmente en las destrezas perceptivo-motrices, consideradas requisito para aprender tanto las letras como los números; es decir, el aprendizaje estaría en gran parte dedicado al reconocimiento y a la escritura de números. Las figuras geométricas se enseñaban del mismo modo, se mostraban primero, se enseñaban sus nombres y a reconocerlas a partir de estos nombres para luego plantear varios ejercicios con ellas. En síntesis, se partía de la concepción según la cual había que inicialmente dominar los conocimientos de manera perceptiva y "concreta" para usarlos posteriormente en situaciones de aplicación. Si bien este enfoque de enseñanza tuvo mayor desarrollo en los niveles primario y secundario, numerosas ediciones muestran este tipo de ejercicios también para jardín, tanto para el aprendizaje de los números como para el de las figuras. Los supuestos teóricos que subyacen a este esquema de enseñanza podrían describirse como: - El aprendizaje como acumulación de fragmentos de conocimientos. Se aprende de lo simple a lo complejo. Esta es una concepción acumulativa del aprendizaje: los pedacitos de conocimientos simples se irían sumando en la mente de los alumnos. Se suponía que la enseñanza fragmentada y graduada en orden de complejidad creciente a criterio de los adultos permitiría a los alumnos seguir una secuencia lógica que evitaría errores. - Desde los conceptos bien definidos hacia su aplicación. Primero se aprenden los conceptos, se definen las propiedades, se nombran las nociones y luego se aplican en problemas. Los problemas "tipo", sin ambigüedades ni falsas pistas, son instancias de ejercitación del concepto enseñado a modo de contextualización práctica. - Concepción empirista del conocimiento. "El conocimiento sería una copia de la realidad y sería mejor cuanto más fiel resulte la copia" (J. Delval, 2000). La principal corriente pedagógica que cuestionó fuertemente a la enseñanza tradicional o clásica fue la Escuela Nueva o Escuela Activa, analizando aquellos supuestos a la luz de los nuevos aportes de la ciencia, particularmente de la psicología y basándose en experiencias piloto. Algunas de las críticas vertidas en aquel contexto fueron: - La pasividad del alumno en cuanto a la adquisición de conocimientos acabados. - La centración del saber en el maestro como fuente inequívoca de conocimientos. - La enseñanza de conocimientos artificiales, fragmentados y lejanos a la realidad del niño. En el caso del Nivel Inicial, la Escuela Nueva tuvo un gran impacto renovador. Con este movimiento de ideas de los años 60 se incluyeron nuevos contenidos y ciertas ideas rectoras acerca de cómo se debe trabajar en el jardín. Se precisaron nuevas orientaciones en torno del rol del maestro y del alumno en el Nivel Inicial. Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 7

8 Los postulados de la Escuela Nueva proponían centrar la enseñanza en los intereses del niño, considerando como intereses los aspectos relativos a su vida cotidiana y a aquellas cuestiones que el alumno explicitaba; de esta manera, se buscaba potenciar la actividad y la autonomía de mismos. Se propuso valorar el juego como opuesto al trabajo sistemático y descontextualizado de la enseñanza tradicional. El docente debía potenciar la actividad del alumno entendida como la acción visible y observable de los niños. En este contexto, los materiales fueron los auxiliares para la enseñanza de conceptos ligados a la matemática. Se consideraba que para poder abstraer los conceptos matemáticos había que vivenciarlos primero; la manipulación de materiales concretos garantizarían el pasaje a la abstracción: del nivel concreto se pasaría al nivel gráfico. La actividad del docente consistiría en ofrecer materiales, indagar los intereses infantiles, coordinar actividades. El rol del maestro fue pensado como un auxiliar del desarrollo del niño ya que debía estimular en la escuela su maduración y la estructuración del pensamiento. Las principales críticas a la Escuela Nueva se centrarían en la escasa presencia de los conocimientos socialmente válidos (R. Frondizi, 1970): se sostuvo que a partir de estas posturas se resintió la relación con los conocimientos a enseñar y, consecuentemente, a aprender (R. Charnay, 1988). La sobrevaloración de las actividades del alumno entendidas como acciones observables y una interpretación vaga acerca de los intereses infantiles (abuso de generalización, sesgo consumista, J. Palacios, 1988; Frabboni y otros, 1980) y una desvalorización de la acción sistemática de enseñar entendida como imposición del adulto Devolver la enseñanza al contexto social de la educación Muchos fueron los autores que invitaron a la reflexión desde la especificidad de su campo de estudio. A modo de síntesis se tratará de explicitar algunas posturas: J. Brun (1979 y 1994); M. Fayol (1990): ambos autores cuestionan la transferencia de conceptos y métodos provenientes de la psicología genética al ámbito de la educación. El primero recontextualiza la enseñanza de la matemática dentro de un proyecto social y político y advierte sobre el vacío producido por la sustitución de los contenidos de matemática por las nociones del desarrollo operatorio. El segundo incluye la diversidad de situaciones que deberá enfrentar el sujeto para la construcción cognitiva del concepto de número. De este modo cuestiona los reduccionismos imperantes para el aprendizaje de dicho concepto tanto desde la perspectiva del aprendizaje operatorio de las nociones de clasificación, seriación, correspondencia como de las limitaciones impuestas por la conservación de la cantidad o por el uso restrictivo de la actividad de conteo. En síntesis, su aporte es el análisis de la complejidad en esta construcción. Ambos autores reconocen la influencia de las prácticas sociales dentro de las que estaría la educación sistemática para la construcción del concepto de número, rescatando la concepción piagetiana del aprendizaje por adaptación. Con relación a la transferencia de métodos para la indagación psicogenética a las prácticas de la enseñanza, nuevamente J. Brun (1994) cuestiona, al igual que A. Castorina (1984), la idea de un aprendizaje escolar basado casi con exclusividad en la provocación intencional de conflictos cognitivos, es decir, de desequilibrios, como modo privilegiado de intervenir sobre el sujeto que está apren- 8 GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

9 diendo. Así también cuestionan el uso de la entrevista clínica para provocar estos desequilibrios en la escuela. M. Quaranta (1998) retoma el análisis de las principales confusiones generadas a partir de las posiciones aplicacionistas de la psicología genética a la educación formal y lo extiende hacia la enseñanza de las nociones espaciales y de las primeras aproximaciones a la medida. Varios autores señalan aspectos más generales que surgieron como consecuencia del uso directo de las investigaciones en psicología genética tomadas como prescripciones de enseñanza. Sus aportes tienden a precisar y a discriminar los niveles epistemológico, psicológico y didáctico en función de contribuir al esclarecimiento de algunas confusiones generadas. En esta línea se podrían citar: F. Marro (1983); D. Lerner (1996); C. Coll (1983), entre otros. En la actualidad también han surgido críticas a los "análisis aplicacionistas" tanto de la psicología genética como de la teoría socio-histórica. Estas posturas señalan que en realidad se ha producido un deslizamiento desde una perspectiva "explicativa" hacia una prescriptiva: "...es del mayor interés considerar a la perspectiva aplicacionista no tanto como un ejemplo de relación inadecuada entre la psicología y la educación sino como uno de los lugares donde puede verificarse un fenómeno general, al que la literatura reciente ha referido de manera insistente: el uso normativo de los modelos psicológicos en el ámbito educativo. Este uso se documenta tanto a nivel de las políticas educativas como a nivel de los fundamentos científicos de la didáctica o de las prácticas puntuales desarrolladas en sala de clases, y afecta de manera particular a los modelos genéticos" (F. Terigi y R. Baquero, 1996). Los autores señalan que el producto de este deslizamiento es observable no sólo al nivel de los conocimientos y los métodos sino también en formas más sutiles de la vida de las instituciones. Desde la perspectiva de la utilización de conceptos de la psicología y epistemología genética como fundamentos para la construcción de la didáctica de la matemática en tanto disciplina científica, es importante que el profesor conozca algunos aportes de autores que siguen proporcionando los límites necesarios para la diferenciación de estas ciencias y para contribuir a sus interacciones. G. Vergnaud y G. Ricco. Desde la teoría operatoria de la inteligencia y utilizando los métodos para la investigación psicogenética, estos autores desarrollan la teoría de los Campos Conceptuales, en tanto "espacio de problemas" y su relación con la adquisición de estructuras aditivas y multiplicativas. Los autores comparan los diferentes espacios de problemas con los requerimientos cognitivos que le demandan al sujeto, describiendo la complejidad de estos aprendizajes que, tal como lo demuestran, se generan en el largo plazo y en ámbitos de la educación sistemática (Revista Argentina de Educación, año IV, nº6). Con respecto a los fundamentos científicos de la didáctica de la matemática M. Artigue (1990) analiza desde el punto de vista epistemológico dos conceptos fundamentales utilizados para la investigación en didáctica de la matemática: el de obstáculo epistemológico y la noción de concepción. Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 9

10 1.4. La Didáctica de la matemática Una breve presentación "El trabajo intelectual del alumno debe ser por momentos comparable a esta actividad científica. Saber matemática no es solamente aprender definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y aplicarlos, sabemos que hacer matemática implica ocuparse de problemas. (Aunque) no se hace matemática sólo cuando uno se ocupa de problemas,...es sólo parte del trabajo; encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrar sus soluciones. Una buena reproducción por el alumno de una actividad científica exigiría que actúe, formule, pruebe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que las cambie por otras, que reconozca las que se adaptan a su cultura, que recurra a las que son útiles, etcétera. Para hacer posible tal actividad, el profesor debe entonces imaginar y proponer a sus alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la solución óptima, y posible de ser descubierta, de los problemas planteados" (Brousseau, 1993). En este extracto están presentes algunos elementos fundamentales que esta teoría ha definido para la construcción de su campo de investigación: el tipo de actividad que se espera que realice el alumno, la actividad que el docente (profesor en la cita) debería desarrollar para generar tal actividad intelectual en los alumnos y el papel de los problemas con respecto a los aprendizajes esperados. El conjunto de instituciones destinadas a la enseñanza de la matemática y las relaciones que se dan entre ellas de modo implícito o explícito ha sido y sigue siendo el objeto de la investigación de la Didáctica de la matemática. Como disciplina científica, reconoce su autonomía con respecto a la Matemática, Pedagogía y Psicología y las toma como marcos de referencia, cuestión que ha requerido de no pocas aclaraciones y explicaciones teóricas particularmente en el terreno de la epistemología. Con relación a la Matemática, Brousseau hace explícita la idea de otorgarle a la comunidad de los matemáticos la vigilancia epistemológica de esta nueva disciplina científica y señala: "Los matemáticos son responsables, al menos en parte, del uso que se haga de su producción" (Brousseau, 1991). Resulta interesante ahondar en el surgimiento de la didáctica de la matemática como disciplina científica ya que es en su origen, en la ferviente búsqueda de identidad y de autonomía respecto de otras ciencias, donde se hacen más evidentes y explícitos los vínculos y las relaciones que se espera que se establezcan entre la matemática y la didáctica de la matemática: no depende de ella, está incluida en su campo. "El argumento más fuerte, desde mi punto de vista, concierne a la enseñanza obligatoria. La obligación de vigilancia epistemológica es más fuerte en ella y se dobla en una obligación moral imperiosa. No se trata sólo de enseñar los rudimentos de una técnica, ni siquiera de los fundamentos de una cultura científica. Las matemáticas en este nivel son el primer dominio y el más importante en que los niños aprenden los rudimentos de la verdad. Aprenden en él o deberían aprender en él no sólo los fundamentos de la actividad cognitiva, sino también las reglas sociales del debate y de la toma de decisiones pertinentes: cómo convencer respetando al interlocutor; cómo dejarse convencer contra su deseo o su interés; cómo renunciar a la autoridad, a la seducción, a la retórica, a la forma, para compartir lo que será una verdad común; de qué depende el uso que los otros hacen de sus conocimientos y de la manera en que tratan estos problemas de verdad... Soy de los que piensan que la educación 10 GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

11 matemática, y en particular la educación matemática de la que acabo de hablar, es necesaria para la cultura de una sociedad que quiere ser una democracia. La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional ni de la lógica ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz" (Brousseau, 1991). Es importante que el profesor conozca este campo de investigación ya que muchos conceptos y trabajos escritos provienen de él. En este sentido, la teoría contribuirá a la formación del formador y no necesariamente a la formación del docente. Enseñar matemática: enfoque didáctico La investigación didáctica ha desarrollado una gran producción no sólo en Francia como país de origen sino también en otros países de Europa y de América Latina. Dichas investigaciones han aportado abundantes análisis teóricos que permitieron organizar y analizar la enseñanza en el contexto escolar. El propio G. Brousseau ha intentado responder a la pregunta " Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la Didáctica de la Matemática?" (G. Brousseau, 1990 y 1991). Algunas respuestas se desarrollaron en los párrafos anteriores en lo que respecta a la relación con la comunidad científica y al compromiso social que la investigación tiene con la enseñanza y, por consiguiente, con la sociedad en su conjunto. Además, en los artículos anteriormente citados, Brousseau plantea cuestiones que completan el análisis de la relación entre la didáctica de la matemática en tanto disciplina científica y el sistema escolar. Algunas precisiones ofrecidas que resultan necesarias para el presente trabajo son: - Sobre el objeto de estudio: "Esta ciencia (la didáctica de la matemática) se interesa en lo que estos fenómenos (la producción y circulación de saberes) tienen de específico del conocimiento que se tiene en el punto de la mira, por la manera como conocimientos escasos se usan para la satisfacción de las necesidades de los hombres que viven en una sociedad y, en particular, por las operaciones especiales de la difusión de los conocimientos, las condiciones que esa difusión produce, tanto sobre esos conocimientos como sobre sus usuarios; por las instituciones y las actividades que tienen como objeto facilitar las operaciones". "...el saber nunca es exactamente el mismo para sus creadores, para sus usuarios, para los alumnos, etc. Cambia. El estudio y el control de esas modificaciones, que nosotros llamamos transposición didáctica, es el objeto principal de la teoría...". - Sobre cómo transformar los conocimientos para que sean aprendidos: "La idea fundamental consiste en postular que cada conocimiento o cada saber debe poder ser determinado por una situación. Una situación es el conjunto de relaciones que ligan a un agente o a varios. Estas relaciones deben ser tales que ese conocimiento debe ser necesario para la realización o su mantenimiento, por ejemplo, esas relaciones pueden ser un juego en el que la puesta en funcionamiento del conocimiento en cuestión es el único medio de asegurar al jugador una estrategia ganadora óptima". Brousseau ha profundizado en el estudio de las situaciones didácticas entendidas como "conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre un grupo de alumnos, un cierto medio (eventualmente, instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 11

12 finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución" (G. Brousseau, 1982). Las características de estas situaciones han sido muy difundidas 2 (en Parra, C. y Sáiz I.; 1994; Gálvez, G. y Charnay, R.) aunque en menor medida sus críticas (Margolinas, C.; 1993). - Sobre los aportes "técnicos" a los docentes en tanto mejoramiento de los resultados de la enseñanza. La Didáctica de la Matemática ha mejorado particularmente las condiciones de producción de conocimientos escolares al promover que aparezcan como modo de responder a un problema planteado, es decir, como herramienta de resolución. En este punto Brousseau plantea nuevos interrogantes para la didáctica definiendo así los límites de la investigación hasta el momento y advierte sobre los efectos de una enseñanza que desconoce las definiciones socioculturales que transforman el saber proveniente de la matemática: "El esfuerzo consentido para obtener saberes independientes de las situaciones en los que funcionan (descontextualización) se paga en pérdida de sentido y de operatividad en el momento de la enseñanza. El restablecimiento de situaciones (recontextualización) inteligibles se paga en deslizamientos de sentido (transposición didáctica). La retransformación en saberes del alumno o en saberes culturales vuelve a iniciar el proceso y agrava los riesgos de deriva. La didáctica es el medio de gestionar estas transformaciones y, en primer lugar, comprender sus leyes". Otro aporte significativo de la Didáctica de la Matemática para la formación de docentes dado que enriquecerá conceptualmente al formador es la descripción de las relaciones que se establecen en torno de los conocimientos escolares desde los diferentes roles ocupados en el sistema didáctico. Se ha complejizado, así, el análisis de las relaciones con el saber tanto en el ámbito de una clase de matemática como en la comunidad en general. Estos aportes provienen de la corriente antropológica de la Didáctica de la Matemática liderados por Yves Chevallard (en castellano: Y. Chevallard, 1991). La producción didáctica más fecunda, a la hora de dar algunas prescripciones para la práctica desde esta perspectiva, ha sido desarrollada en los Institutos de Investigaciones de Enseñanza de la Matemática (IREM). Estos institutos, en un primer momento, se ocuparon de completar la formación de los docentes en los contextos escolares, incidiendo de este modo ya no sólo en las prácticas de clase sino también en la currícula. Más tarde, la Didáctica de la Matemática como disciplina científica se empieza a fortalecer 3 y pone en cuestión la validez de dichas acciones de formación de docentes generando espacios de producción de conocimientos. Es importante tener en cuenta que la reproducción de estos trabajos en otras clases con diferentes condiciones de enseñanza y de aprendizaje, que las que dieron origen a sus propuestas de investigación, suelen producir resultados diversos o diferentes a los obtenidos originalmente; en efecto, se advierte una vez más sobre el cuidadoso análisis que requeriría el traslado de propuestas desde el ámbito de la investigación, en el que las condiciones de enseñanza y aprendizaje escolar han sido controladas y anticipadas hacia otros contextos diferentes. Una de las contribuciones más importantes ofrecida por la difusión de estos trabajos es el modelo de análisis de las condiciones de enseñanza en el marco de una clase regular. Sus conceptos teóricos permitieron anticipar, describir y explicar la complejidad de las relaciones que se dan en un salón de clase, el éxito o el fracaso de una propuesta en términos de enseñanza y no sólo de aprendizaje, 2 Para conocer el origen y fundamentos acerca de esta clasificación ver Brousseau, G., vol. 7, nº 2, 1986; trad (Córdoba), cap IV. 3 Algunos autores como Chevallard y el propio Brousseau cuestionan las propuestas llamadas de "innovación"; queriendo separarse de estas posiciones, anteponen a la producción de medios para actuar sobre la enseñanza la producción de conocimientos para controlar y producir esas acciones sobre la enseñanza (Gálvez, 1985). 12 GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

13 las interacciones de los alumnos, entre alumnos y docentes y entre éstos con el conocimiento, entre otras múltiples contribuciones. Por ejemplo, tomando los conceptos provenientes de la Teoría de Situaciones de Brousseau, G.; R. Charnay (1988) analiza los modelos de aprendizaje según se definan por contrato didáctico las relaciones entre los alumnos, el conocimiento y el docente en una clase de matemática. El valor didáctico de este artículo, a la luz de la formación docente, es la explicitación de las concepciones teóricas subyacentes en el modo de concebir las relaciones entre esos polos, lo que permite no sólo analizar la propia práctica como enseñantes, sino también aquello que la conformó, es decir, los modelos de enseñanza vividos como alumnos. Qué puede aportar la didáctica de la matemática al Nivel Inicial? Qué puede aportarles a los futuros docentes del nivel? Arriesgando algunas respuestas sintéticas, podría aportar: a) Un cuerpo teórico consistente basado en investigaciones didácticas con un alto valor explicativo de los fenómenos producidos a efectos de la enseñanza de conocimientos próximos a la matemática. b) Un modelo para el análisis didáctico de situaciones de enseñanza que permitan orientar la toma de decisiones del docente antes, durante y después de la práctica. c) El análisis de las relaciones didácticas y el establecimiento de condiciones para la producción de conocimiento compromete a los formadores de docentes del Nivel Inicial a la necesidad de consolidar un análisis permanente de la teoría para contextualizar estas relaciones y las condiciones para la enseñanza de matemática en el jardín. Para explicar lo relativo al primer punto, creo haber seleccionado algunas ideas de la teoría a modo de brevísima introducción. Sabiendo que esta presentación es limitada e insuficiente, que ha dejado algunos autores y sus teorías de lado (por ejemplo, a R. Douady), propongo al profesor ampliar esta síntesis con la bibliografía de referencia ir a las fuentes ya que hoy en día contamos con un gran número de trabajos traducidos y con la bibliografía que se comenta en el apéndice de este trabajo. El punto b) será desarrollado en los apartados 2 y 3 del presente trabajo. En el desarrollo del punto c) se espera que el profesor comprenda la necesidad de fomentar el análisis crítico del enfoque. Estos análisis tal vez contribuyan a prevenir las posibles distorsiones o efectos no deseados. A continuación se recorrerán algunas de las ideas principales del enfoque de la resolución de problemas que el profesor podrá encontrar en la bibliografía seleccionada para profundizar sobre el tema, para luego plantear algunos cuestionamientos derivados fundamentalmente de la puesta en marcha de un proyecto con estas características en el marco del Nivel Inicial. Sobre la concepción de aprendizaje. El aprendizaje es entendido como la adaptación del alumno a un problema planteado. Las acciones desplegadas por ellos exigirán un proceso de reorganización y equilibración; en tanto esto, la principal actividad del alumno es cognitiva aunque a veces coincida con una acción observable sobre los objetos. "Hay una gran diferencia entre adaptarse a un problema que plantea el medio, insoslayable, y adaptarse al deseo del docente" (Brousseau, G.; 1988). Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 13

14 En definitiva, el alumno deberá hacerse cargo de una parte importante de su aprendizaje por más pequeño que sea; esa parte es la resolución de un juego o desafío. Se espera que este pequeño alumno se involucre en la situación de juego o desafío y responda en los términos planteados. Las acciones de los alumnos son acciones con una finalidad para ellos (ERMEL, 1990). Cuestión 1: la persistencia de los modelos empiristas de aprendizaje en las salas de jardín (que tal vez los alumnos observarán en los trabajos de campo), la escasa experiencia de los futuros docentes en la resolución de problemas como medio de aprendizaje, entre otras condiciones, podrían conducir, a los alumnos del profesorado, a entender la actividad del niño en términos de acción concreta sobre los objetos a modo de "traducción" (Parra, C. y Sáiz. I.; 1992) de los conceptos abstractos. Así también, desde otra perspectiva de análisis, se observa que resulta muy costoso para los docentes del Nivel Inicial en ejercicio y se podría suponer que para los futuros docentes también lo será, visualizar la intención del alumno o el concepto de "acciones con finalidad" como parte del análisis didáctico en una situación de aprendizaje. Generalmente resulta más aprehensible reconocer el polo de la "intencionalidad pedagógica" para la selección de situaciones didácticas, que reconocer la necesidad de seleccionar situaciones que permitan a los niños dirigir su acción hacia un objetivo personal. Es necesario formar docentes que logren comprender las diferencias entre los objetivos que persigue el alumno para resolver un juego, un desafío o bien al participar en la resolución de un problema de la vida cotidiana, de los objetivos del docente; estos últimos se dirigen a las metas de enseñanza propuestas con anticipación. En cambio, los objetivos de los alumnos se dirigen a la concreción de una tarea dada, a dar una respuesta porque la situación lo exige. Cuestión 2: La participación activa de los niños en el Nivel Inicial es una variable que requiere de atención particular. Hacer, jugar, resolver en el jardín son fuentes necesarias de nuevos conocimientos, pero no suficientes. Es también importante generar las condiciones para la transformación de las decisiones que los niños tomaron durante la acción (por ejemplo: decidir una jugada, un movimiento) en objeto de reflexión grupal para que se puedan formular los conocimientos utilizados. Esta gestión es responsabilidad de los docentes; requiere de ellos una interpretación de las resoluciones de sus alumnos sobre la situación de clase para comprender en qué momento y de qué modo los niños podrán abordar esta transformación (de la acción a la reflexión). La dificultad de esta tarea para la que deberá formarse el docente está vinculada con la descontextualización de los conocimientos utilizados por los niños dentro de los márgenes impuestos por el trabajo en las salas de un jardín y por las características de aprendizaje de los niños. Así también, muchos maestros en ejercicio y se podría suponer que a los futuros docentes les ocurriría algo similar, no tienen claro qué descontextualizar porque les cuesta reconocer algunos conocimientos que se trabajan en el jardín como conocimientos en construcción por parte de los niños. 4 Hay poco desarrollo teórico en relación con este punto y también sería interesante indagar más sobre el tema. 4 Cuesta reconocer la complejidad que tienen algunos conocimientos a enseñar dado que o bien no tienen status de saberes matemáticos cuestión analizada por Brousseau (en Sáiz, I. y Parra, C.; 1994) y están ligados a un dominio restrictivamente práctico (como los espaciales, por ejemplo) o bien son saberes reconocidos como "aritmética escolar" pero resultan muy sencillos para los adultos (la numeración oral, la resolución práctica de problemas de medida, por ejemplo). 14 GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

15 Sobre los "problemas". "El saber se forma a partir de los problemas a resolver, de las situaciones a dominar. Las concepciones de los alumnos son moldeadas por las situaciones que han encontrado" (G. Vergnaud, en ERMEL, 1990). Cuestión: si bien es cierto que podemos encontrar buenos problemas que den lugar a un aprendizaje por adaptación en el marco del jardín, aún no es posible encontrar una variedad de problemas que den sentido a una gran franja de conocimientos que los docentes deberán enseñar en un futuro cercano. Por ejemplo, en el ámbito de la investigación se desarrollaron menos situaciones didácticas para aprender cuestiones relativas a espacio, geometría y medida que para los conocimientos numéricos. El tiempo escolar y el tiempo para aprender. De acuerdo con la teoría de los Campos Conceptuales de G. Vergnaud (op. cit.), por ejemplo, las estructuras aditivas y multiplicativas se construyen a lo largo de 10 años aproximadamente, aún bajo control e influencia de la educación sistemática. Lo mismo ha señalado con respecto al concepto de número. Este enfoque asume la enseñanza como un proceso a largo plazo y generalmente los conceptos a trabajar en cada año escolar implican la recuperación de los aprendizajes adquiridos en años anteriores. Entonces, no se trata de cuestionar la hipótesis ya irrefutable del aprendizaje a largo plazo sino de advertir al formador sobre algunos puntos aún no resueltos en la didáctica del Nivel Inicial: - Qué tipo de espacio ofrecer en el marco de una jornada en el jardín, para favorecer los aprendizajes de algunos conceptos clave que se continuarán en otros niveles del sistema escolar? Se podría considerar que hay conceptos más fundantes que otros para jerarquizarlos y otorgarles una mayor intencionalidad de trabajo? - Con respecto a este último punto, es verdad y si es así, habría que buscar evidencia que todos los conocimientos que deberán enseñarse en el jardín tienen la misma jerarquía en el proceso de aprendizaje del niño?, que en todos los conocimientos planteados para el área, el niño puede avanzar de la misma forma?; la abundancia de situaciones numéricas es sólo un desfase a corregir en el terreno de la formación? Se podría revertir la cuestión ofreciendo las mismas oportunidades para los problemas numéricos, espaciales, geométricos y de medida o bien hay algo del propio conocimiento y vinculado con el aprendizaje a largo plazo que obstaculiza la distribución igualitaria de los tiempos de aprendizaje? Algunas de estas preguntas han sido resueltas desde la práctica, por decisiones tomadas en diferentes ámbitos del sistema (capacitación, currícula, la propia institución educativa); no obstante esto, faltan datos para fundamentar estas ausencias o desequilibrios. SEGUNDO TEMA: CÓMO ENSEÑAR MATEMÁTICA PARA FAVORECER APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS Planteo del problema Un punto importante a trabajar en la formación de docentes es el problema de las representaciones de los alumnos-docentes con respecto a qué significa enseñar matemática. A partir de estas ideas el profesor avanzará en ofrecer modelos alternativos que pongan en cuestión las prácticas vivi- Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 15

16 das como alumnos, enriqueciendo la construcción del rol docente con el aporte de bibliografía y trabajos acordes con la temática planteada. El objetivo de incluir en la formación inicial este tipo de análisis es ofrecer herramientas teóricas que permitan orientar las decisiones del futuro docente analizando de manera permanente el papel que desempeñan el niño, el conocimiento y su propia intervención como docente, en una institución de Nivel Inicial. A través de este análisis se permitirá cuestionar tanto las posiciones "activistas" que sobrevalúan la actividad del niño entendida como acción visible, como las extremadamente directivistas que basan sus interveciones en preguntas "guías" y que en ocasiones encaminan las resoluciones de los niños hacia una única respuesta correcta. Este planteo deberá relacionarse con las diferentes instancias y trayectos de la formación, es decir, el profesor tomará en consideración algunos textos bibliográficos o bien algunas experiencias (observaciones, por ejemplo) estudiadas en materias como "Enseñanza I y II" y otras didácticas especiales como puede ser Prácticas del Lenguaje o Ciencias Naturales, algunos talleres y seminarios, etc. Así también se podrá vincular con el taller de las Prácticas Docentes. Modelos didácticos R. Charnay (1988) plantea tres modelos o esquemas de análisis provenientes de la manera de concebir las relaciones entre los tres polos de la tríada: conocimiento, alumnos y docente. Estos modelos son: el normativo, el incitativo y el aproximativo o apropiativo. En el modelo normativo estarían inscriptas las prácticas de enseñanza que se describieron en el punto 1 como "enfoque tradicional". Dichas prácticas se centraban en el saber en tanto producto social establecido que el docente transmitía y el alumno debía repetir y ejercitar. En el modelo incitativo se inscriben aquellas prácticas enmarcadas en la postura de la Escuela Nueva. Éstas se centraban principalmente en el alumno, su vida cotidiana, sus motivaciones y necesidades; el docente basaría sus lecciones en aquello que hubiera despertado el interés de los alumnos desprendiendo de esto los saberes sociales a comunicar. El tipo de intervenciones privilegiadas en este modelo son las preguntas que "incitan" al niño a aprender y permiten al docente acercarse al pensamiento infantil. El modelo aproximativo o apropiativo es el modelo ligado al aprendizaje por medio de la resolución de problemas en el que se acepta que el alumno se aproxima al saber socialmente transmitido construyendo, con sus propios medios, los distintos sentidos de este saber. Es decir, sostiene que el niño construye significados parciales, apostando a la idea de provisoriedad del conocimiento aprendido, lo que podría vincularse con el concepto de aprendizaje a largo plazo de Verganaud ya que la construcción no es definitiva, son estados de conocimiento. Este análisis no es muy novedoso si sólo se observan las relaciones entre los tres polos de la tríada definida. El aporte más interesante es la descripción del modo en que se definen los problemas en cada modelo y los fundamentos a favor de una elección. Al trabajar estas ideas, generalmente los futuros docentes reconocen su vinculación como alumnos con el modelo normativo y se apropian de la necesidad de un cambio de enfoque como docentes. Estas reflexiones permitirán a los futuros docentes: - Analizar los diferentes enfoques teóricos implícitos en diferentes propuestas. 16 GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

17 - Ofrecer elementos a favor de un cambio de perspectiva para el desempeño del rol de enseñante. - Construir y/o mejorar propuestas didácticas según los aportes de la didáctica de la matemática. A continuación se desarrollarán algunas ideas orientadoras que permitan la construcción del rol docente en el marco del modelo aproximativo o apropiativo. Sobre la concepción de aprendizaje En el artículo citado se sostiene: "Las producciones del alumno son una información sobre su estado de saber" (op. cit.). Será muy importante que los alumnos del profesorado se conecten tempranamente con estudios sobre producciones infantiles y aprendan a interpretarlas, a tenerlas en cuenta para la construcción de una propuesta didáctica. El profesor encontrará oportunidades para analizar con sus alumnos investigaciones psicogenéticas o estudios exploratorios de las ideas espontáneas de los niños frente a problemas planteados o actividades que permitan verlas; de este modo se intentará instalar la convicción según la cual los niños construyen un conjunto de ideas en interacción con su medio social; por lo tanto, en muchos casos, estas construcciones se producen antes de un contacto formalizado con los conocimientos. A continuación se comentarán a modo de ejemplo algunas investigaciones que los profesores podrán considerar: La investigación didáctica de D. Lerner y P. Sadovsky "El Sistema de numeración: Un problema didáctico" artículo compilado en Didáctica de la Matemática de Paidós por C. Parra e I. Sáiz: Esta investigación permite observar cómo los niños comienzan a construir muy tempranamente criterios para escribir y comparar números de más de una cifra. Esta construcción es producto de un largo proceso. Describiré sintéticamente los criterios hallados para escribir y comparar números grandes en niños de 5 y 6 años. Siguiendo con la investigación citada, los primeros descubrimientos de los niños son: - Aproximación a la idea del valor de los números según la cantidad de cifras con las que se escriba. Los niños comienzan a comprender que muchos números escritos representan a un número mayor que otro con menos cifras. Un corolario de este criterio es: si un número se escribe con cifras de menor valor absoluto (por ejemplo 1101) que otro número de menor cantidad de cifras pero de mayor valor absoluto (por ejemplo, 89), el primer número es mayor que el segundo. - Reconocimiento de la sucesión escrita. A igual cantidad de cifras, un número es mayor que otro si la primera cifra es mayor que la primera cifra del otro número (por ejemplo: 41 es mayor que 28; el 4 es mayor que el 2). - Escritura de números. También observaron que los niños para escribir se apoyan en la numeración oral produciendo escrituras no convencionales. Por ejemplo, para escribir 35 algunos niños lo harían así: "305" ya que la numeración hablada se rige por reglas semejantes a un sistema aditivo (30+5). Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 17

18 La investigación de Alvarado, M. y Ferreiro, E. El análisis de nombres de números de dos dígitos en niños de 4 y 5 años. Avance que fue publicado en la revista Lectura y vida (nº1 de marzo de 2000). Estas investigadoras analizan las "escrituras desviantes" o no convencionales de los niños como reveladoras de los procesos cognitivos a la vez que muestran cómo los niños se inician en la construcción de estos conocimientos mucho antes de la presentación formal de estos en contextos escolares. En este artículo se describen algunos recursos que los niños producen cuando se enfrentan a la necesidad de escribir números que no conocen, dictados por el entrevistador (entrevista clínica). Estos recursos son: - El uso de "números comodines" cuando necesitan guardar valor posicional o cuando desconocen cómo escribir una de las cifras (generalmente las decenas). Por ejemplo: para escribir "veinticinco" un niño dice "es de cinco" y escribe primero el "5", sabiendo que el número está incompleto. Finalmente escribe "05", utilizando el cero como comodín. - El uso de las escrituras llamadas "en espejo" o escrituras invertidas según análisis de las verbalizaciones de los niños pueden cumplir un rol semejante al del comodín. Por ejemplo: para 45 escriben primero 5 y luego el 4 pero rotando el 4 "porque suena como el cuatro pero no es lo mismo". (Rotaciones voluntarias de los números para dar cuenta de las diferencias sonoras.) - La escritura de los números de derecha a izquierda puede interpretarse que resuelven primero la parte conocida y luego agregan algo para lo desconocido. Por ejemplo: "91" para designar al "19". A partir de estas investigaciones, los futuros docentes observarán el proceso de aproximación de los niños a la escritura de números construyendo algunos de los aspectos clave para la comprensión de nuestro sistema de numeración y las reglas que lo rigen. Se espera que los alumnos comprendan las producciones de los niños para que puedan otorgar significación pedagógica a sus errores y reconozcan el esfuerzo asignado a esta construcción. Otros trabajos para enriquecer este punto: Referidas a números Aquí se podrá encontrar un análisis de la situación "Dados de colores" en Parra, C. y Sáiz, I.: Los niños, los maestros y los números, Doc. Curricular M.C.B.A. 1990, que se pueden observar las aproximaciones que realizan niños de 1º año referidas a la construcción de un registro para llevar el recuento de puntos. Este trabajo ha sido factible de llevar adelante con niños de 5 años, obteniendo resultados similares. Baroody, A.: El pensamiento matemático de los niños, Visor, En este trabajo se analizan los primeros conocimientos de los niños en relación con las actividades aritmética que llama "conocimientos informales". Inicialmente indaga estos conocimientos "intuitivos" de los niños para luego analizar cómo juegan estas ideas en los aprendizajes escolares o formalizados. Es particularmente interesante la explicación sobre la actividad de contar. En Selecciones bibliográficas sobre NÚMERO Y SISTEMA DE NUMERACIÓN del Programa de Transformación de la Formación Docente, Ministerio de Cultura y Educación, año GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula

19 "Conocer los números", en Aprendizajes numéricos y resolución de problemas, Curso preparatorio, París, Hatier, marzo de INRP. ERMEL. Este trabajo explica, desde una perspectiva histórica, la manera en que los hombres han construido un sistema de representación de cantidades a partir de la resolución de problemas prácticos, sistema que luego analizaron y conceptualizaron como matemáticos. Es interesante para la formación de los docentes porque permite reflexionar sobre el Sistema de Numeración en tanto construcción cultural. El profesor podrá establecer las relaciones entre el esfuerzo de la humanidad para desarrollar este producto a lo largo de tantos años y el que le demanda a los niños pequeños apropiarse de él. Sinclair, A. y Sinclair, H. "Las interpretaciones de los niños preescolares sobre números escritos", en Human Learning, vol.3, págs , Universidad de Ginebra. Estas autoras estudian las formas en que los niños entre 3, 4 y 5 años (llamados por ellas "preescolares") interpretan las escrituras numéricas provenientes del ambiente social. Observan que los niños adjudican diferentes funciones a los números según el contexto en el que se presenten, a la vez que construyen las reglas que rigen el sistema de numeración. El valor para la formación inicial de este artículo es doble: 1. Contribuye a tomar contacto con la complejidad del pensamiento infantil y a la toma de conciencia, por parte del futuro docente, de la necesidad de interpretar las producciones de sus alumnos con herramientas teóricas. 2. En forma indirecta, proporciona argumentos a favor de propiciar "ambientes alfabetizadores" favoreciendo que los niños tomen contacto con escrituras numéricas y sus significados. Terigi, F. "En torno a la psicogénesis del sistema de numeración: estado de la cuestión. Perspectivas y problemas", en Revista Argentina de educación, año X, nº17, Asociación de graduados en Ciencias de la Educación, En la línea de los artículos ya comentados, este artículo hace un aporte más a la problemática del aprendizaje del sistema de numeración a favor de la "desnaturalización" de este proceso (en efecto, hay cierta tendencia a creer que el sistema de numeración es un producto cultural cuyo aprendizaje se genera en forma "natural" lo que significa que los niños lo aprenden sin costo alguno). En principio la autora analiza al sistema de numeración en tanto objeto de conocimiento muy importante para la formación inicial para luego abordar el análisis de algunas investigaciones referidas a la construcción infantil de las leyes que rigen al sistema. Referidas a Espacio y Geometría: Gálvez, G. "La geometría, la psicogénesis de las nociones espaciales y la enseñanza de la geometría en la escuela elemental" en Parra, C. y Sáiz, I. (comps.) Didáctica de la matemática, Buenos Aires, Paidós, Este trabajo permite acercar a los futuros docentes una síntesis de la psicogénesis de las nociones espaciales basándose en las investigaciones de Piaget. Es una excelente síntesis de estos trabajos y permite avanzar en la reflexión sobre la enseñanza de la geometría en la escuela primaria. Melliat, C. "Realización de figuras planas y representaciones en Jardín de infantes" en Selecciones Aportes para el debate curricular! Matemática en el Nivel Inicial 19

20 bibliográficas sobre Número, Espacio y Medida, Ministerio de Cultura y Educación, Programa para la Transformación de la Formación Docente, En este trabajo se describen actividades de codificación y decodificación de formas geométricas para favorecer el aprendizaje de las propiedades geométricas de esas figuras y se analizan los procedimientos de los niños para la resolución de esas tareas. La riqueza de este artículo consiste precisamente en el análisis de las producciones infantiles. Sobre la selección de actividades. Criterios La segunda cuestión de importancia para la formación de docentes en el marco del modelo apropiativo o aproximativo es la de ofrecer criterios relevantes para la selección de actividades adecuadas al enfoque didáctico asumido. Siguiendo con R. Charnay (op. cit.): "Sólo hay aprendizaje cuando el alumno percibe un problema a resolver". En consecuencia, se intentará orientar a los futuros docentes para la selección de actividades de aprendizaje entendiéndolas como problemas, teniendo en cuenta que el futuro docente construirá o problematizará actividades; seleccionará juegos interesantes de un repertorio de juegos clásicos, adaptará nuevos juegos a las posibilidades de sus alumnos y de la institución, entre otras posibles tareas. Así también se espera que los alumnos logren analizar sus intervenciones en función de favorecer las más adecuadas para sostener el problema. Criterios para la selección. Los alumnos deberán construir a lo largo de su paso por la materia, una posición crítica para la selección de situaciones didácticas. Se espera que este posicionamiento de los alumnos contribuya tanto a la creación de estrategias didácticas como a la búsqueda autónoma de materiales adecuados. Además, se espera que los futuros docentes comprendan la complejidad de la toma de decisiones a priori de la puesta en marcha de un proyecto de trabajo con niños; según este modelo de enseñanza, la intervención del docente comienza antes de hacer efectivo dicho proyecto. La previsión de las condiciones de las actividades es central para mejorar las intervenciones durante y después de llevarlas a cabo. A continuación se plantearán algunas pautas que tengan relevancia para la enseñanza de la matemática en el jardín. Estas son reformulaciones de los criterios para la selección de problemas de R. Douady (citada en Parra, C. y Sáiz, I.; 1990). - Los problemas seleccionados tienen que tener sentido para los niños. Deberán responder a una pregunta, a un desafío. Un juego podría cumplir con este requisito. - El niño debe poder imaginar aquello que puede ser la respuesta al problema y arriesgar una estrategia de resolución. - Debe permitir usar conocimientos anteriores (Charnay, op.cit.) pero deberá ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno al nuevo conocimiento o al mejoramiento de un procedimiento utilizado. - El problema deberá permitir variedad de resoluciones posibles (criterio de diversidad). - "Finalmente, es deseable que la sanción (la validación) no venga del maestro, sino de la situación misma" (Charnay, op.cit.). Es decir, la situación incluirá algunos elementos para que los niños puedan controlar el resultado de las acciones realizadas para su resolución. 20 GCBA! Secretaría de Educación! Dirección de Currícula