PRÁCTICA N 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "PRÁCTICA N 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN"

Transcripción

1 PRÁCTICA N 2 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Ejercicio 1. Diseñar una planilla EXCEL que tome como dato de entrada un número entero y devuelva la representación en base 2. Testearla con los números 23, 245, 673, Mejorarla de tal manera que permita ingresar la base de numeración en forma manual. Ejercicio 2. Usar la planilla del ejercicio anterior para representar en base 7 los números 43, 154, Ejercicio 3. La intención de este ejercicio es hallar la representación en base 2 del número ( ) 4. Para ello proponemos lo siguiente. (a) Hallar la representación decimal del número y luego obtener la representación en base 2. Convencerse de que este es el camino evidente. Prestar atención a la cantidad de operaciones necesarias para dar con el resultado. (b) Reemplazar cada dígito por los dos dígitos de su desarrollo binario (así, el dígito 1 debe ser reemplazado por los dígitos 01). Verificar que el número obtenido coincide con el hallado en (a). Verificar, asimismo, que la cantidad de operaciones es significativamente menor. (c) Explicar el motivo por el cual la técnica empleada en el punto (b) es válida. Para ello sugerimos escribir la sumatoria que permite reconstruir el número y usar que 2 2 = 4. El ejercicio anterior sugiere una técnica para obtener el cambio de base cuando la base dada es una potencia de la base requerida. Más aún, aplicando el mecanismo en reversa podemos pasar de una base a otra que sea una potencia de la primera. Ejercicio 4. Hallar los siguientes desarrollos Del número ( ) 8 en base 2. Del número (7845) 9 en base 3. Del número ( ) 8 en base 16. Ciertamente, si queremos cambiar de base pero las bases no están relacionadas a través de una potencia el método desarrollado en los ejercicios anteriores deja de funcionar. No obstante, tal método es un caso particular de otro que desarrollamos en el ejercicio siguiente. Ejercicio 5. Hallar la representación decimal del número (245243) 7. Implementar en una planilla EXCEL el algoritmo ingenuo asociado con el pasaje por la expresión polinomial. Prestar atención a la cantidad de operaciones necesarias. Verificar la siguiente igualdad. ( ( ) 7 + 5) 7 + 2) 7 + 4) = (2.1) Usar la expresión (2.1) para diseñar un algoritmo e implementarlo en una planilla EXCEL la expresión decimal del número (245243) 7. Usar la expresión (2.1) para hallar la representación en base 3 del número (245243) 7. 1

2 Observación 2.1 En los ejercicios anteriores no se trata tanto de obtener el resultado (la representación en otra base) como de analizar la complejidad es decir, la cantidad de operaciones del mecanismo involucrado en el cálculo. Ejercicio 6. Cuántos dígitos tiene la representación en base 3 del número ? Ejercicio 7. Cuántos dígitos tiene la representación en base 7 del número ? Ejercicio 8. Cuántos dígitos tiene la representación en base 13 del número ? Observación 2.2 En los dos últimos ejercicios el número es el mismo, sin embargo sus representaciones son bien diferentes. Con estos ejercicios y con esta observación queremos ilustrar la diferencia que existe entre un «objeto» y su «representación». Ejercicio 9. Diseñar una planilla EXCEL que tome como dato de entrada una fracción p/q, y devuelva el desarrollo decimal de p/q en base 10, testearla con los números 2 3, 3 25, 5 12 y 1 7. Ensayar las siguientes variantes: Utilizando la función RESIDUO. Utilizando únicamente las operaciones elementales: suma y producto. Ejercicio 10. Mejorar la planilla del ejercicio anterior para ingresar manualmente la base de numeración. Ejercicio 11. Para las siguientes fracciones 1 5, 3 7, 23 64, , , Usando las planillas diseñadas en los ejercicios anteriores hallar su desarrollo decimal en base 10. Indicar para cada una de las fracciones cómo es el desarrollo decimal. Dar condiciones sobre la fracción que permitan decidir si el desarrollo decimal en base 10 es finito, periódico puro, o periódico mixto. Ejercicio 12. Rehacer el ejercicio anterior pero tomando B = 2 como base de numeración Primalidad Ejercicio 13. Verificar que si d es un divisor común de m y n, entonces: d divide a m n; d divide a m + n y d divide a r; donde r es el resto en la división entre m y n. Concluir que dos números consecutivos son coprimos. El ejercicio anterior sugiere un método para calcular el máximo común divisor entre dos números que se conoce como algoritmo de Euclides, cuya descripción esquemática, esto es, sin atender a la sintaxis del software empleado, es como sigue: Datos de entrada a, b N. 2

3 Hallar r = r(a, b), el resto en la división entera de a por b. Tomar el par (b, r) como nuevos datos de entrada (esto deja preparado el proceso de retroalimentación, conocido como «bucle».) Repetir el paso anterior Antes de pasar a la implementación EXCEL hagamos una observación técnica. Observación 2.3 En todo bucle, debe darse un criterio de parada para que la máquina no quede circulando «ad-infinitum». Cabe señalar que en la lógica aristotélica ( aún vigente!) no se aceptan argumentos de longitud infinita. Ejercicio 14. Usar la función RESIDUO para implementar el algoritmo de Euclides en una planilla EXCEL. Testearla con los valores a = 154 y b = 60. Repetir el bucle hasta que se observe algo. Probar con otros valores de a y b y verificar que las repeticiones terminan siempre con un mensaje de error. Leer el mensaje de error, explicar por qué aparece y ubicar el resultado buscado: esto es, ubicar entre todos los valores calculados el máximo común divisor d = d(a, b). Para lo cual conviene probar con números cuya descomposición en primos sea conocida. Ejercicio 15. Mejorar el algoritmo anterior para evitar el mensaje de error. Por ejemplo, rediseñar la rutina para que una vez alcanzado el máximo común divisor sea éste el valor repetido. Testearlo con los números elegidos en el ejercicio anterior y contar la cantidad de pasos necesarios para conseguir el resultado. Ejercicio 16. Sabemos que el máximo común divisor depende sólo de los números y no de sus posiciones relativas. Tomar los números a = 60 y b = 154 y verificar que el resultado obtenido es el mismo. Explicar, a partir del algoritmo, por qué esto ocurrirá siempre. Ejercicio 17. Testear el algoritmo mejorado del Ejercicio 15 con los números a = 55 y b = 34. Contar la cantidad de pasos necesarios para que el algoritmo termine y compararlo con el ejemplo anterior. Observación 2.4 Los números elegidos en el ejercicio anterior no son arbitrarios, se trata del noveno y octavo números de Fibonacci. Para recordar de qué se trata proponemos. Ejercicio 18. Los números de Fibonacci se definen a partir de la fórmula F N+2 = F N+1 + F N con F 0 = 1 y F 1 = 1. Diseñar una planilla EXCEL que produzca los números de Fibonacci y obtener los 20 primeros: F 0,, F 19. Ejercicio 19. En el Ejercicio 17 comparar la cantidad de pasos con el orden que ocupa el mayor de los números. Arriesgar la cantidad de pasos que son necesarios para obtener el máximo común divisor entre F 18 yf 17. Testear el algoritmo con esos datos para verificar la conjetura. Ejercicio 20. Usar los resultados parciales del Ejercicio 14 para obtener dos números m, n Z que verifiquen la identidad (154 60) = m n 60. Para eso proponemos implementar en una planilla EXCEL el algoritmo siguiente, expresado esquemáticamente: 3

4 Obtener, en cada etapa, la expresión a q b = r b (a), donde q y r son el cociente y el resto de la división respectiva. Partir de la última expresión anterior al mensaje de error y reemplazar regresivamente por aquello que corresponda hasta obtener la identidad buscada. Ejercicio 21. Primos de Fermat. Los números P k = 2 (2k) + 1 se llaman números de Fermat. Cuando resultan primos se los llama primos de Fermat. Utilizar el sexto caso de factoreo para verificar que el número 2 n + 1 puede factorizarse cuando el exponente n es divisible por algún primo impar. Concluir que 2 n + 1 es primo sólo si n = 2 k. Verificar que F k es primo para k = 0,, 4. Consideremos el sexto número de Fermat P 6. Hallar la cantidad de dígitos que tiene su desarrollo decimal en base 10 e investigar si se trata de un número primo. Observación 2.5 Puede probarse que los números P n y P m son coprimos cuando n y m son distintos. Dado que todo número mayor que 1 admite un primo que lo divide, la co-primalidad de P n y P m ofrece una demostración de la existencia de infinitos primos El Factorial de un número. 1º parte. El factorial de un número natural se define como el producto de todos los números naturales que hay entre 1 y el número, así 4! = La intención de esta sección es presentar algunos experimentos que pongan de manifiesto el tamaño de estos números, pero vinculado con la cantidad de ceros en los que termina su desarrollo decimal. El problema concreto de hallar la longitud del factorial, y de hallar alguna expresión asintótica (la fórmula de Stirling), lo dejamos para el capítulo siguiente. Ejercicio 22. Usar la función FACT y verificar que FACT(21) no es múltiplo de 3. Concluir que el número impreso en pantalla no coincide con el valor exacto. De hecho, comparar con el valor de FACT(20), observar que FACT(21) termina en un cero más, y explicar el motivo por el cual esto no puede pasar. (Lo que nos ofrece una nueva pista de que FACT(21) no coincide con el valor exacto. Ejercicio 23. Buscar el primer número N para el cual FACT(N) produce desborde por exceso. Por supuesto, ahora surge la pregunta cómo conseguimos N! para valores grandes de N? Antes de ocuparnos de este problema veamos algunos problemas asociados. Comenzaremos por hallar la cantidad de dígitos en los que termina el desarrollo decimal de N! Ejercicio 24. Utilizar la función FACT para calcular el factorial de todos los números entre 1 y 60. Contar a mano la cantidad de ceros en los que termina el número impreso en pantalla. Contar la cantidad de dígitos que tienen los números obtenidos. Prestar atención al patrón visual de ceros finales de los resultados y relacionar con el Ejercicio 22. Ciertamente, sabemos que el ejercicio anterior propone un algoritmo que tiene dos dificultades serias: para valores grandes, la máquina desborda, pero aún para valores pequeños (como el 21) la cantidad final de ceros del resultado no coincide, necesariamente, con el valor correcto. Así las cosas, cómo podremos contar la cantidad exacta de ceros en los que termina el 4

5 desarrollo decimal de N!? La respuesta la construiremos a partir de la siguiente observación: 6! = 720 termina en 1 cero porque 10 1 es la mayor potencia de 10 que divide a 6! en forma exacta. Esto significa que si queremos saber en cuántos ceros termina el desarrollo decimal de N! tenemos que saber cuál es la potencia de 10 que aparece en la factorización en primos de N! Pero, sabiendo que 10 = 2 5 y que este número es el producto N! = N (N 1) 2, bastará con saber cuántas veces aparecen el 2 y el 5 como factores de los números situados entre 2 y N. Con esto ponemos de manifiesto que, en general, uno arranca con un problema concreto (calcular la cantidad de ceros en los que termina el desarrollo decimal de N!), y dispone de un recurso informático (EXCEL en este caso), el problema entonces se convierte en diseñar un algoritmo que consiga el objetivo empleando el recurso disponible. Así, para hallar un tal algoritmo tendremos, entre otras cosas, que: resolver a mano algunos casos sencillos, conocer cuáles son las limitaciones del recurso informático, apelar a las propiedades numéricas pertinentes, etc. Ejercicio 25. Tomar algunos casos concretos, digamos N = 26 y N = 72, y analizar el problema de contar cuál es la potencia con la que aparecen el 2 y el 5 en la factorización en primos de los respectivos factoriales. Una vez resuelto ese problema, verificar que el 2 siempre aparece más veces que el 5 y concluir que basta con saber cuál es la potencia del 5. Ejercicio 26. Diseñar una planilla EXCEL que tome como datos de entrada un número cualquiera y devuelva la potencia de 5 en el desarrollo en factores primos del factorial. Probarla con los números 21 (comparar con el resultado del Ejercicio 22), 26 (comparar con el resultado manual del ejercicio anterior), 37, 45, 53, 60. Probarlo con los números 2345 y Ejercicio 27. Aprovechar los resultados obtenidos en el ejercicio anterior para explicar el patrón de ceros observado en el Ejercicio 24. Ejercicio 28. Usando el algoritmo diseñado en el Ejercicio 26 resolver las siguientes cuestiones. Hallar el primer número cuyo factorial termina en exactamente 3 ceros. Hallar todos los números cuyos factoriales terminan exactamente en 6 ceros. Existe algún número cuyo factorial termine exactamente en 5 ceros? Hallar un número cuyo factorial termine como mínimo en 72 ceros. Hallar el menor de todos ellos existe alguno que termine exactamente en 72 ceros? Usar las ideas de los ejercicios anteriores para resolver el siguiente problema general. Ejercicio 29. Dados un número N y un número primo p hallar la potencia máxima de p que divide a N!, esto es, hallar la potencia a la que aparece p en la factorización en primos de N! Resolver el problema con p = 2 y los valores de N utilizados en los ejercicios anteriores. Verificar que la potencia obtenida para p = 2 es mayor que la correspondiente a p = 5. 5

Congruencias de Grado Superior

Congruencias de Grado Superior Congruencias de Grado Superior Capítulo 3 3.1 Introdución En el capítulo anterior vimos cómo resolver congruencias del tipo ax b mod m donde a, b y m son enteros m > 1, y (a, b) = 1. En este capítulo discutiremos

Más detalles

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones

Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática en ANEP Proyecto: Análisis, Reflexión y Producción. Fracciones Fracciones. Las fracciones y los números Racionales Las fracciones se utilizan cotidianamente en contextos relacionados con la medida, el reparto o como forma de relacionar dos cantidades. Tenemos entonces

Más detalles

CÁLCULO ALGEBRAICO. Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo

CÁLCULO ALGEBRAICO. Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo CÁLCULO ALGEBRAICO Dra. Patricia Kisbye Dr. David Merlo INTRODUCCIÓN Estas notas han sido elaboradas con el fin de ofrecer al ingresante a las carreras de la FaMAF herramientas elementales del cálculo

Más detalles

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal.

FRACCIONES. Una fracción tiene dos términos, numerador y denominador, separados por una raya horizontal. FRACCIONES Las fracciones representan números (son números, mucho más exactos que los enteros o los decimales), Representa una o varias partes de la unidad. Una fracción tiene dos términos, numerador y

Más detalles

CAPÍTULO I MATEMÁTICAS

CAPÍTULO I MATEMÁTICAS CAPÍTULO I MATEMÁTICAS 1. CONJUNTOS En el lenguaje común, conjunto es, hasta cierto punto, sinónimo de colección, clase o grupo. Sin embargo, en el desarrollo de este estudio, veremos que la noción matemática

Más detalles

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo:

La suma se realiza miembro a miembro. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Ejemplo: Tema 4. Polinomios 1. Definición Un polinomio es una expresión hecha con constantes, variables y exponentes, que están combinados. Los exponentes sólo pueden ser 0, 1, 2, 3,... etc. No puede tener un número

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas 0 Polinomios y fracciones algebraicas En esta Unidad aprenderás a: d Trabajar con epresiones polinómicas. d Factorizar polinomios. d Operar con fracciones algebraicas. d Descomponer una fracción algebraica

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética

Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Apuntes de Matemática Discreta 11. Teorema Fundamental de la Aritmética Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 11 Teorema Fundamental

Más detalles

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo

Polinomios: Definición: Se llama polinomio en x de grado n a una expresión del tipo Polinomios: Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n Donde n N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales

Más detalles

Los Números y sus Propiedades Básicas. Efraín Soto Apolinar.

Los Números y sus Propiedades Básicas. Efraín Soto Apolinar. Los Números y sus Propiedades Básicas Efraín Soto Apolinar. Términos de uso Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada en sistema de almacenamiento alguno, transmitida en forma

Más detalles

Sistemas de numeración

Sistemas de numeración Sistemas de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan

Más detalles

MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O.

MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O. MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE 1º E.S.O. Calcular el valor de posición de cualquier cifra en cualquier número natural. Aplicar las propiedades fundamentales de la suma, resta, multiplicación y división

Más detalles

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es

Matemáticas. 1 o ESO. David J. Tarifa García. info@esobachilleratouniversidad.com.es Matemáticas 1 o ESO David J. Tarifa García info@esobachilleratouniversidad.com.es 1 Matemáticas - 1 o ESO 2 Índice 1 Tema 1. Los números naturales 6 1.1 Suma de números naturales................................

Más detalles

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3

Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite

Más detalles

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2

Nombre del polinomio. uno monomio 17 x 5 dos binomio 2x 3 6x tres trinomio x 4 x 2 + 2 SISTEMA DE ACCESO COMÚN A LAS CARRERAS DE INGENIERÍA DE LA UNaM III. UNIDAD : FUNCIONES POLINÓMICAS III..1 POLINOMIOS La expresión 5x + 7 x + 4x 1 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de

Más detalles

ÍNDICE. 1 Conjuntos y lógica... 1. Prologo,... ix

ÍNDICE. 1 Conjuntos y lógica... 1. Prologo,... ix ÍNDICE Prologo,... ix 1 Conjuntos y lógica... 1 1-1 Conjuntos... 1 1-2 Notación... 1 1-3 Conjuntos iguales... 2 1-4 Conjunto vacío... 2 1-5 Subconjuntos... 2 1-1 Ejercicios... 3 1-6 Conjuntos equivalentes...

Más detalles

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo

Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo POLINOMIOS 1.1. DEFINICIONES Definición 1.1.1. Sea K un cuerpo. Un polinomio en x, con coeficientes en K es toda expresión del tipo p(x) = a i x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n + ; a i, x K; n N

Más detalles

Números. Números para contar y medir. La suma y la resta. La multiplicación y la división. Estimación. Números naturales.

Números. Números para contar y medir. La suma y la resta. La multiplicación y la división. Estimación. Números naturales. Números 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Números para contar y medir La suma y la resta La multiplicación y la división Estimación Números naturales Fracciones Operaciones con fracciones Decimales Razones, proporciones

Más detalles

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou

Análisis de una variable real I. Tijani Pakhrou Análisis de una variable real I Tijani Pakhrou Índice general 1. Introducción axiomática de los números 1 1.1. Números naturales............................ 1 1.1.1. Axiomas de Peano........................

Más detalles

1Calculadora USO DE LA CALCULADORA

1Calculadora USO DE LA CALCULADORA USO DE LA CALCULADORA Pág. 1 Se ofrece aquí un material didáctico preparado para ser empleado directamente por los alumnos y las alumnas, que comprende explicaciones y actividades dirigidas al aprendizaje

Más detalles

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS SUMA REPASO NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES (N) 1. Características: Axiomas de Giuseppe Peano (*): El 1 es un número natural. Si n es un número natural, entonces el sucesor (el siguiente

Más detalles

Límites y Continuidad de funciones

Límites y Continuidad de funciones CAPITULO Límites y Continuidad de funciones Licda. Elsie Hernández Saborío Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

Más detalles

Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe. matics.webs.comprofesoresdematemá

Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe. matics.webs.comprofesoresdematemá Profesoresdematemáticaswww.institu teofmathematics.webs.comprofesores dematemáticaswww.instituteofmathe Matemáticas IV matics.webs.comprofesoresdematemá ENP ticaswww.instituteofmathematics.web s.comprofesoresdematematicaswww.i

Más detalles

Divisibilidad y números primos

Divisibilidad y números primos Divisibilidad y números primos Divisibilidad En muchos problemas es necesario saber si el reparto de varios elementos en diferentes grupos se puede hacer equitativamente, es decir, si el número de elementos

Más detalles

Polinomios y Fracciones Algebraicas

Polinomios y Fracciones Algebraicas Tema 4 Polinomios y Fracciones Algebraicas En general, a lo largo de este tema trabajaremos con el conjunto de los números reales y, en casos concretos nos referiremos al conjunto de los números complejos.

Más detalles

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte

Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte Ámbito Científico-Tecnológico Módulo III Bloque 2 Unidad 1 Quien parte y reparte, se lleva la mejor parte En esta unidad vamos a estudiar los números racionales, esto es, los que se pueden expresar en

Más detalles

Notaciones y Pre-requisitos

Notaciones y Pre-requisitos Notaciones y Pre-requisitos Símbolo Significado N Conjunto de los números naturales. Z Conjunto de los números enteros. Q Conjunto de los números enteros. R Conjunto de los números enteros. C Conjunto

Más detalles

El anillo de polinomios sobre un cuerpo

El anillo de polinomios sobre un cuerpo Capítulo 2 El anillo de polinomios sobre un cuerpo En este capítulo pretendemos hacer un estudio sobre polinomios paralelo al que hicimos en el capítulo anterior sobre los números enteros. Para esto, es

Más detalles

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas.

El número de arriba de la fracción, el numerador, nos dice cuántas de las partes iguales están coloreadas. Qué es una fracción? Una fracción es un número que indica parte de un entero o parte de un grupo. El siguiente círculo está dividido en partes iguales de las cuales partes están coloreadas. El número de

Más detalles

Propiedades de los límites

Propiedades de los límites SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante

Más detalles

Unidad 1. Las fracciones.

Unidad 1. Las fracciones. Unidad 1. Las fracciones. Ubicación Curricular en España: 4º, 5º y 6º Primaria, 1º, 2º y 3º ESO. Objetos de aprendizaje. 1.1. Concepto de fracción. Identificar los términos de una fracción. Escribir y

Más detalles

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA VENEZUELA CURSO PROPEDÉUTICO TALLER DE MATEMÁTICA CARACAS, MARZO DE 2013 ESTUDIO DEL SISTEMA DECIMAL CONTENIDO Base del sistema decimal Nomenclatura Ordenes Subordenes

Más detalles

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 -

Matemática SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO. - Septiembre de 2010 - SECRETARÍA ACADÉMICA AREA INGRESO - Septiembre de 00 - SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA INGRESO UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Zeballos 000 Rosario - Argentina www.frro.utn.edu.ar e-mail: ingreso@frro.utn.edu.ar

Más detalles

Tema 2 Límites de Funciones

Tema 2 Límites de Funciones Tema 2 Límites de Funciones 2.1.- Definición de Límite Idea de límite de una función en un punto: Sea la función. Si x tiende a 2, a qué valor se aproxima? Construyendo - + una tabla de valores próximos

Más detalles

Descomposición factorial de polinomios

Descomposición factorial de polinomios Descomposición factorial de polinomios Contenidos del tema Introducción Sacar factor común Productos notables Fórmula de la ecuación de segundo grado Método de Ruffini y Teorema del Resto Combinación de

Más detalles

Curso Cero Grado en Ingeniería Informática

Curso Cero Grado en Ingeniería Informática ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Curso Cero Grado en Ingeniería Informática Primera Parte Conjuntos y funciones. Combinatoria. Teoría de números. Juan Diego ÁLVAREZ ROMÁN Manuel

Más detalles

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos

Biblioteca Virtual Ejercicios Resueltos EJERCICIO 13 13 V a l o r n u m é r i c o Valor numérico de expresiones compuestas P r o c e d i m i e n t o 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Hallar

Más detalles

NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES

NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES NÚMEROS RACIONALES Y DECIMALES Unidad didáctica. Números racionales y decimales CONTENIDOS Fracciones Fracciones equivalentes Amplificar fracciones Simplificar fracciones Representación en la recta numérica.

Más detalles

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS

3FUNCIONES LOGARÍTMICAS 3FUNCIONES LOGARÍTMICAS Problema 1 Si un cierto día, la temperatura es de 28, y hay mucha humedad, es frecuente escuchar que la sensación térmica es de, por ejemplo, 32. La sensación térmica depende de

Más detalles

Lección 4: Suma y resta de números racionales

Lección 4: Suma y resta de números racionales GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección : Suma y resta de números racionales En esta lección recordaremos cómo sumar y restar números racionales. Como los racionales pueden estar representados como fracción o decimal,

Más detalles

Fundamentos de Informática - Ms. Excel (3) 2011

Fundamentos de Informática - Ms. Excel (3) 2011 Tabla de contenidos Resolución de sistemas de ecuaciones usando Ms. Excel... Introducción... Ecuación de una incógnita... 3 Método gráfico... 3 Herramienta Buscar objetivo... 4 Herramienta Solver... 8

Más detalles

1.3 Números racionales

1.3 Números racionales 1.3 1.3.1 El concepto de número racional Figura 1.2: Un reparto no equitativo: 12 5 =?. Figura 1.3: Un quinto de la unidad. Con los números naturales y enteros es imposible resolver cuestiones tan simples

Más detalles

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN

4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN 4º ESO MATEMÁTICAS Opción A 1ª EVALUACIÓN Bloque 2. POLINOMIOS. (En el libro Tema 3, página 47) 1. Definiciones. 2. Valor numérico de una expresión algebraica. 3. Operaciones con polinomios: 3.1. Suma,

Más detalles

Polinomios y fracciones algebraicas

Polinomios y fracciones algebraicas UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas U n polinomio es una expresión algebraica en la que las letras y los números están sometidos a las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Los polinomios,

Más detalles

Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m

Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m Apuntes de Matemática Discreta 13. Clases de Restos Módulo m Francisco José González Gutiérrez Cádiz, Octubre de 2004 Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas ii Lección 13 Clases de restos módulo

Más detalles

Calcular con fracciones para todos

Calcular con fracciones para todos Calcular con fracciones para todos 1 Calcular con fracciones para todos M. Riat riat@pobox.com Versión 1.0 Burriana, 2014 Calcular con fracciones para todos 2 ÍNDICE DE CAPÍTULOS Índice de capítulos...

Más detalles

Saint Louis School Educación Matemática NB2. Miss Rocío Morales Vásquez

Saint Louis School Educación Matemática NB2. Miss Rocío Morales Vásquez Saint Louis School Educación Matemática NB2 Miss Rocío Morales Vásquez Objetivo s de aprendizajes Resolver adiciones y sustracciones de fracciones con igual denominador (denominadores 100, 12, 10, 8, 6,

Más detalles

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS REGLA DE RUFFINI. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en una división de polinomios el divisor es de la forma (x - a) se puede aplicar la regla de Ruffini para obtener el cociente y el resto de la división.

Más detalles

Factorización de polinomios

Factorización de polinomios Factorización de polinomios Polinomios Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma: px a 0 a 1 x a x a n1 x n1 a n x n donde a 0, a 1, a,, a n1, a n son unos números, llamados coeficientes

Más detalles

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R.

ALGEBRA LINEAL. Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. ALGEBRA LINEAL Héctor Jairo Martínez R. Ana María Sanabria R. SEGUNDO SEMESTRE 8 Índice general. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.. Introducción................................................ Conceptos

Más detalles

= x + x + x + 1 por definición de exponente 2

= x + x + x + 1 por definición de exponente 2 Equivalencia de expresiones algebraicas En este documento exploramos un concepto simple, en apariencia, enseñado en escuelas de nivel secundaria: la equivalencia de dos expresiones algebraicas Empecemos

Más detalles

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria

Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Iniciación a las Matemáticas para la ingenieria Los números naturales 8 Qué es un número natural? 11 Cuáles son las operaciones básicas entre números naturales? 11 Qué son y para qué sirven los paréntesis?

Más detalles

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-)

Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) CÁLCULO MATEMÁTICO BÁSICO LOS NUMEROS ENTEROS Son números enteros los números naturales y pueden ser de dos tipos: positivos (+) y negativos (-) Si un número aparece entre barras /5/, significa que su

Más detalles

La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx

La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx La nueva criba de Eratóstenes Efraín Soto Apolinar 1 F.I.M.E. U.A.N.L. San Nicolás, N.L. México. efrain@yalma.fime.uanl.mx Resumen Se dan algunas definiciones básicas relacionadas con la divisibilidad

Más detalles

2. Aritmética modular Ejercicios resueltos

2. Aritmética modular Ejercicios resueltos 2. Aritmética modular Ejercicios resueltos Ejercicio 2.1 Probar, mediante congruencias, que 3 2n+5 + 2 4n+1 es divisible por 7 cualquiera que sea el entero n 1. Trabajando módulo 7 se tiene que 3 2n+5

Más detalles

Polinomios y Ecuaciones

Polinomios y Ecuaciones Ejercicios de Cálculo 0 Prof. María D. Ferrer G. Polinomios y Ecuaciones.. Polinomios: Un polinomio o función polinómica es una epresión de la forma: n n n P a a a a a a = n + n + n + + + + 0 () Los números

Más detalles

Divisibilidad... 1. Breve esquema teórico... 1. Contenido... 1. Introducción... 2. División entera y exacta... 3. Múltiplos y divisores...

Divisibilidad... 1. Breve esquema teórico... 1. Contenido... 1. Introducción... 2. División entera y exacta... 3. Múltiplos y divisores... DIVISIBILIDAD BREVE ESQUEMA TEÓRICO CONTENIDO Divisibilidad... 1 Breve esquema teórico... 1 Contenido... 1 Introducción... 2 División entera y exacta... 3 Múltiplos y divisores... 3 Criterios de divisibilidad...

Más detalles

NÚMEROS REALES MÓDULO I

NÚMEROS REALES MÓDULO I MÓDULO I NÚMEROS REALES NUEVE planetas principales constituyen el sistema solar. Si los ordenamos de acuerdo a su distancia al Sol Mercurio es el que está más cerca (58 millones de Km ) Plutón el más lejano

Más detalles

Módulo Nº 3: Números decimales. MATEMÁTICA Guía didáctica. 5 o

Módulo Nº 3: Números decimales. MATEMÁTICA Guía didáctica. 5 o Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía didáctica 5 o Módulo Nº 3: Números decimales MATEMÁTICA Guía didáctica NIVEL DE EDUCACIÓN BÁSICA División de Educación General Ministerio de Educación República

Más detalles

Los números racionales

Los números racionales Los números racionales Los números racionales Los números fraccionarios o fracciones permiten representar aquellas situaciones en las que se obtiene o se debe una parte de un objeto. Todas las fracciones

Más detalles

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5.

30 = 2 3 5 = ( 2) 3 ( 5) = 2 ( 3) ( 5) = ( 2) ( 3) 5. 11 1.3. Factorización Como ya hemos mencionado, la teoría de ideales surgió en relación con ciertos problemas de factorización en anillos. A título meramente ilustrativo, nótese que por ejemplo hallar

Más detalles

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES

UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES UNIDAD 1. NÚMEROS NATURALES Y OPERACIONES 1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.. LECTURA, ESCRITURA, DESCOMPOSICIÓN Y ORDENACIÓN DE NÚMEROS NATURALES. 3. SUMA DE NÚMEROS NATURALES. PROPIEDADES. 4. RESTA DE

Más detalles

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Matemáticas B 4º E.S.O. Tema : Polinomios y fracciones algebraicas. 1 TEMA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS.1 COCIENTE DE POLINOMIOS 4º.1.1 COCIENTE DE MONOMIOS 4º El cociente de un monomio entre otro

Más detalles

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Sistema de numeración decimal: 5 10 2 2 10 1 8 10 0 =528 8 10 3 2 10 2 4 10 1 5 10 0 9 10 1 7 10 2 =8245,97

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. Sistema de numeración decimal: 5 10 2 2 10 1 8 10 0 =528 8 10 3 2 10 2 4 10 1 5 10 0 9 10 1 7 10 2 =8245,97 SISTEMAS DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. La norma principal en un sistema de numeración posicional es que un mismo símbolo

Más detalles

2. Números enteros, fracciones y decimales

2. Números enteros, fracciones y decimales Matemáticas de NIVEL I Números enteros, fracciones y decimales - 1 2. Números enteros, fracciones y decimales 1. Números enteros En la vida cotidiana surgen situaciones numéricas que no se pueden expresar

Más detalles

Repasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional

Repasando lo aprendido...con una propuesta autoinstruccional Repasando lo aprendido......con una propuesta autoinstruccional Te propongo un rápido repaso en matemática básica, que te será de suma utilidad para fijar los conocimientos dados. Sólo te brindo una guía

Más detalles

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS

NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS NÚMEROS NATURALES Y NÚMEROS ENTEROS Los números naturales surgen como respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño) y de

Más detalles

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1

Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones 1 Fundamentos de Investigación de Operaciones Investigación de Operaciones de agosto de 200. Estandarización Cuando se plantea un modelo de LP pueden existir igualdades y desigualdades. De la misma forma

Más detalles

secundaria Solucionario desarrollado

secundaria Solucionario desarrollado secundaria FUNDAMENTAL Solucionario desarrollado Presentación Estimado maestro: En la búsqueda de facilitar la labor docente, Ediciones Castillo pone a su alcance el presente Solucionario desarrollado

Más detalles

A modo de Presentación

A modo de Presentación Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior Primera Parte Funciones Eulerianas Ing. Ramón Abascal Prof esor Titular de Análisi s de Señales y Sist emas y Teoría de los Circuit os I I en la UTN, Facultad

Más detalles

Matemática 8.º (Versión revisada y actualizada con enfoque de competencias) rené guillermo figueroa escalón David Morán Mendoza ESE ediciones

Matemática 8.º (Versión revisada y actualizada con enfoque de competencias) rené guillermo figueroa escalón David Morán Mendoza ESE ediciones Matemática 8.º (Versión revisada y actualizada con enfoque de competencias) rené guillermo figueroa escalón David Morán Mendoza 1 ESE ediciones 372.704 5 F475m Figueroa Escalón, René Guillermo Matemática

Más detalles

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES. Curso de Formación en Matemáticas UNIVERSIDAD NACIONAL DE VILLA MERCEDES Curso de Formación en Matemáticas - 06 - Autor: Lic. Esp. Fernando Javier Quiroga Villegas OBJETIVOS DEL CURSO Objetivo General: Afianzar los conocimientos adquiridos

Más detalles

Tema 2. Recursividad. Fundamentos de Programación II. Luís Rodríguez Baena (luis.rodriguez@upsam.net)

Tema 2. Recursividad. Fundamentos de Programación II. Luís Rodríguez Baena (luis.rodriguez@upsam.net) Fundamentos de Programación II Tema 2. Recursividad Luís Rodríguez Baena (luis.rodriguez@upsam.net) Universidad Pontificia de Salamanca (campus Madrid) Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura Naturaleza

Más detalles

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS PARA EMPEZAR Un cuadrado tiene 5 centímetros de lado. Escribe la epresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta centímetros. A ( 5) Señala cuáles de las siguientes

Más detalles

Anterior Sistemas binarios: Aritmética binaria Siguiente ARITMÉTICA BINARIA. Operaciones elementales con números binarios

Anterior Sistemas binarios: Aritmética binaria Siguiente ARITMÉTICA BINARIA. Operaciones elementales con números binarios 1 de 10 27/09/11 09:57 Anterior Sistemas binarios: Aritmética binaria Siguiente ARITMÉTICA BINARIA Operaciones elementales con números binarios Suma de números binarios Resta de números binarios Complemento

Más detalles

Límites y Continuidad

Límites y Continuidad Universidad de Sonora División de Ciencias Eactas y Naturales Departamento de Matemáticas. Límites y Continuidad Problemas Resueltos Dr. José Luis Díaz Gómez Versión. Abril de 005 Dr. José Luis Díaz Gómez.

Más detalles

Matemáticas Grado 4 Curso escolar completo (ejemplo)

Matemáticas Grado 4 Curso escolar completo (ejemplo) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Múltiplos y factores Multiplicación y división de números mayores Creación de Fracciones para suma y resta Aplicación de Valor de Posición Equivalencia y Comparación de

Más detalles

Congruencias... 1. Breve esquema teórico... 1. Contenido... 1. Introducción... 2. Números congruentes... 2. Definición... 2. Propiedades...

Congruencias... 1. Breve esquema teórico... 1. Contenido... 1. Introducción... 2. Números congruentes... 2. Definición... 2. Propiedades... CONGRUENCIAS BREVE ESQUEMA TEÓRICO Versión verano 2015 CONTENIDO Congruencias... 1 Breve esquema teórico... 1 Contenido... 1 Introducción... 2 Números congruentes... 2 Definición... 2 Propiedades... 3

Más detalles

Pontificia Universidad Católica del Ecuador

Pontificia Universidad Católica del Ecuador 1. DATOS INFORMATIVOS: MATERIA O MÓDULO: Algebra CÓDIGO: 10168 CARRERA: NIVEL: Civil Preparatorio P1 No. CRÉDITOS: 4 CRÉDITOS TEORÍA: 4 CRÉDITOS PRÁCTICA: SEMESTRE / AÑO ACADÉMICO: Segundo 2010-2011 PROFESOR:

Más detalles

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1.

9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS... 192 9.3.1. ÍNDICE 9. MATRICES 189 9.1. DEFINICIÓN Y NOTACIONES....................... 189 9.2. OPERACIONES CON MATRICES..................... 190 9.3. MATRICES CUADRADAS.......................... 192 9.3.1. Matrices

Más detalles

Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco.

Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. 2010 Tema 04:Fracciones. Primero de Educación Secundaria Obligatoria. I.e.s Fuentesaúco. Manuel González de León. mgdl 01/01/2010 . INDICE: 01. APARICIÓN DE LAS FRACCIONES. 02. CONCEPTO DE FRACCIÓN. 03.

Más detalles

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor

Tema 5. Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor. 5.1 Polinomio de Taylor Tema 5 Aproximación funcional local: Polinomio de Taylor Teoría Los polinomios son las funciones reales más fáciles de evaluar; por esta razón, cuando una función resulta difícil de evaluar con exactitud,

Más detalles

LAS FRACCIONES. Si queremos calcular la fracción de un número dividimos el número por el denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador.

LAS FRACCIONES. Si queremos calcular la fracción de un número dividimos el número por el denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. LAS FRACCIONES LAS FRACCIONES Y SUS TÉRMINOS Los términos de una fracción se llaman numerador y denominador. El denominador indica el número de partes iguales en que se divide la unidad. El numerador indica

Más detalles

SITEMA BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL: OPERACIONES

SITEMA BINARIO, OCTAL Y HEXADECIMAL: OPERACIONES Unidad Aritmética Lógica La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones

Más detalles

Materia: Informática. Nota de Clases Sistemas de Numeración

Materia: Informática. Nota de Clases Sistemas de Numeración Nota de Clases Sistemas de Numeración Conversión Entre Sistemas de Numeración 1. EL SISTEMA DE NUMERACIÓN 1.1. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN Un sistema de numeración es un conjunto finito de símbolos

Más detalles

Operaciones con Fracciones Aritméticas

Operaciones con Fracciones Aritméticas Aritméticas Carlos A. Rivera-Morales Álgebra Tabla de Contenido Contenido : Contenido Discutiremos: el mínimo común múltiplo de dos o más números enteros : Contenido Discutiremos: el mínimo común múltiplo

Más detalles

Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales Imparciales

Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales Imparciales Teoría del Juego - Juegos Combinatoriales Imparciales Carlos Gámez Taller de Resolución de Problemas Escuela de Matemática Universidad de El Salvador Estudio de Casos Esquema Introducción Juegos de Agarrar

Más detalles

Matemática para el ingreso

Matemática para el ingreso Universidad Nacional del Litoral Secretaría Académica Dirección de Articulación, Ingreso y Permanencia Año 0 Matemática para el ingreso ISBN en trámite Unidad. Polinomios y epresiones algebraicas Elena

Más detalles

Tema 2: Fracciones y proporciones

Tema 2: Fracciones y proporciones Tema 2: Fracciones y proporciones Fracciones Números racionales Números decimales Razones y proporciones Porcentajes 1 2 Las fracciones: un objeto, varias interpretaciones (1) Parte de un todo (2) Un reparto

Más detalles

Polinomios y Raíces. Teresa Krick

Polinomios y Raíces. Teresa Krick Polinomios y Raíces Teresa Krick Departamento de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. -148- Buenos Aires. ARGENTINA. e-mail : krick@dm.uba.ar Contents 1 Introducción

Más detalles

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería Departamento de Ingeniería Informática

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería Departamento de Ingeniería Informática Escuela Politécnica Superior de Ingeniería Departamento de Ingeniería Informática Fundamentos de la informática 2. Algoritmos, diagramas de flujo y pseudocódigo Contenido Algoritmos Diagramas de flujo

Más detalles

Polinomios. Antes de empezar

Polinomios. Antes de empezar Antes de empezar Utilidad de los polinomios Los polinomios no solo están en la base de la informática, en economía los cálculos de intereses y duración de las hipotecas se realizan con expresiones polinómicas,

Más detalles

Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes.

Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes. FRACCIONES 1. LAS FRACCIONES. 1.1. CONCEPTO. Una fracción es una expresión que nos indica que, de un total dividido en partes iguales, escogemos sólo algunas de esas partes. Una fracción también es una

Más detalles

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar

Polinomios. Objetivos. Antes de empezar 2 Polinomios Objetivos En esta quincena aprenderás a: Manejar las expresiones algebraicas y calcular su valor numérico. Reconocer los polinomios y su grado. Sumar, restar y multiplicar polinomios. Sacar

Más detalles

F o r m a n d o P e r s o n a s Í n t e g r a s TEMARIOS PRUEBAS SEMESTRALES 2014 PRIMER SEMESTRE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA NIVEL FECHA TEMARIO

F o r m a n d o P e r s o n a s Í n t e g r a s TEMARIOS PRUEBAS SEMESTRALES 2014 PRIMER SEMESTRE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA NIVEL FECHA TEMARIO Saint Gaspar College Misio nero s de la Precio sa Sangre F o r m a n d o P e r s o n a s Í n t e g r a s TEMARIOS PRUEBAS SEMESTRALES 2014 PRIMER SEMESTRE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA NIVEL FECHA TEMARIO

Más detalles

EJERCICIOS PROPUESTOS. c) 5 2 d) 5 2 3

EJERCICIOS PROPUESTOS. c) 5 2 d) 5 2 3 Potencias y raíces EJERCICIOS PROPUESTOS. Escribe como potencias positivas las negativas, y viceversa. a) 8 b) 6 a) b) 6 c) 8 c) d) d). Expresa estas potencias como potencias únicas y calcula las operaciones.

Más detalles

Capítulo 3 Interés compuesto

Capítulo 3 Interés compuesto Capítulo 3 Interés compuesto Introducción Cuando un banco o cualquier otra institución financiera aumentan el número de periodos en el año en los que pagan intereses, el capital aumenta más rápidamente

Más detalles

Pontificia Universidad Católica del Ecuador

Pontificia Universidad Católica del Ecuador 1. DATOS INFORMATIVOS: MATERIA O MÒDULO: ÀLGEBRA CARRERA: INGENIERÌA CIVIL NIVEL: PREPARATORIO CRÈDITOS TEORÌA: 4 CRÈDITOS PRÀCTICA PROFESOR: GUILLERMO GONZALEZ VALLEJO SEMESTRE Primer /AÑO ACADÈMICO:

Más detalles

Aritmética del computador. Departamento de Arquitectura de Computadores

Aritmética del computador. Departamento de Arquitectura de Computadores Aritmética del computador Departamento de Arquitectura de Computadores Contenido La unidad aritmético lógica (ALU) Representación posicional. Sistemas numéricos Representación de números enteros Aritmética

Más detalles

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios Capítulo 6 Valores propios y vectores propios En este capítulo investigaremos qué propiedades son intrínsecas a una matriz, o su aplicación lineal asociada. Como veremos, el hecho de que existen muchas

Más detalles