Tema 1. Conceptos Básicos de la Teoría de Circuitos

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1 Tema. Conceptos Báscos de la Teoría de Crcutos. Introduccón. Sstema de undades.3 Carga y corrente.4 Tensón.5 Potenca y energía.6 Ley de Ohm.7 Fuentes ndependentes.8 Leyes de Krchhoff.9 Dsores de tensón y de corrente.0 Fuentes dependentes José A. Pereda, Dpto. Ing. de Comuncacones, Unersdad de Cantabra.

2 Bblografía Básca para este Tema: [] C. K. Alexander, M. N. O. Sadku, Fundamentos de crcutos eléctrcos, 3ª ed., McGraw-Hll, 006. []. C. Dorf, J. A. Soboda, Introducton to electrc crcuts, 7th ed., John Wley & Sons, 006. Sadku Temas y Dorf Temas, y 3

3 . Introduccón - Un crcuto eléctrco es una nterconexón de elementos eléctrcos - El crcuto de la fgura está formado por: * Batería: sumnstra energía eléctrca * Bombllas: transforman la energía eléctrca en luz y calor * Cables: conectan los elementos entre sí - Para estudar un crcuto real es necesaro aproxmarlo por un modelo matemátco más sencllo. V S 3

4 . Introduccón - La Teoría de Crcutos es un caso partcular (aproxmacón) de la Teoría Electromagnétca - La aproxmacón se basa en suponer que el tamaño físco del crcuto es mucho menor que la longtud de onda de las señales presentes en él - En realdad, supondremos que los crcutos no tenen dmensón físca Crcutos de Parámetros Concentrados - En general, el comportamento de un crcuto ene descrto por un conjunto de ecs. dferencales Esto permte establecer analogías entre el comportamento de los crcutos y de otros sstemas físcos 4

5 . Sstema de undades - Defncón de magntud físca: La Ofcna Internaconal de Pesas y Meddas defne la magntud físca como un atrbuto de un fenómeno, cuerpo o sustanca que puede ser dstngudo cualtatamente y determnado cuanttatamente - Magntudes escalares: Se determnan completamente con un solo alor escalar Ej.: masa, temperatura, carga eléctrca, etc. - Magntudes ectorales: Se determnan completamente con alores: Módulo y Dreccón Ej.: Fuerza, elocdad, campo eléctrco, etc. 5

6 . Sstema de undades - Undades fundamentales del Sstema Internaconal (SI) 6

7 . Sstema de undades - Prefjos del Sstema Internaconal (SI): 7

8 .3 Carga y corrente Concepto de carga eléctrca: Propedad ntrínseca de las partículas subatómcas. Protón: carga +e. Electrón: carga -e e undad fundamental de la carga eléctrca Consttucón de la matera: átomo = núcleo + corteza Z: número atómco -ez + ez = 0 El átomo es neutro!! carga corteza: Z(-e) carga núcleo: Z(+e) El unerso es neutro!! 8

9 .3 Carga y corrente Cuantzacón de la carga: Cualquer carga Q es múltplo entero de e Q = ±Ne Conseracón de la carga: En cualquer proceso físco o químco la carga total se consera Undades de la carga: El culombo (C) Es una undad derada: culombo amperosegundo C As e = C 9

10 .3 Carga y corrente Conductores: Son materales en los cuales parte de los electrones son capaces de moerse lbremente Ej.: metales Aslantes: Son materales en los cuales todos los electrones están lgados a los átomos y no pueden moerse lbremente Ej.: madera, plástco, dro, etc. 0

11 .3 Carga y corrente - Proceso físco de la conduccón eléctrca en metales: a) Campo eléctrco aplcado nulo: b) Campo eléctrco aplcado NO nulo: E 0 E 0 q q 0 Vel. nstantánea: 0 6 m/s t 0 pe Desplazamento medo: Velocdad meda: t 0 0 p Moldad de los portadores Velocdad meda, de arrastre o de dera

12 .3 Carga y corrente - Defncón de ntensdad de corrente eléctrca: La ntensdad de corrente eléctrca, o smplemente corrente eléctrca, se defne como la cantdad de carga eléctrca que atraesa una superfce por undad de tempo q S dq dt S

13 .3 Carga y corrente - Dreccón de la corrente: por coneno, se consdera que la dreccón de es la correspondente al flujo de cargas postas (los electrones se mueen en dreccón opuesta a la dreccón de la corrente) - Undades de la corrente: El ampero (A) - En el SI la corrente es una magntud fundamental, mentras que la carga no lo es, ya que dera de la corrente y del tempo. 3

14 .3 Carga y corrente * Correntes olúmcas: - Los electrones ajan por todo el olumen del conductor * Correntes flformes: - Son correntes que ajan por líneas geométrcas - Es una dealzacón que se usa en la teoría de crcutos. 4

15 * Carga total transferda en un nteralo de tempo:.3 Carga y corrente Q f t t dt * En general la corrente es funcón del tempo t ) ( - Corrente de contnua o corrente drecta (dc): no aría con el tempo. Se denota medante el símbolo I - Corrente de alterna (ac): aría snusodalmente con el tempo 5 t q t q d d d d d d d f f f t t t t t t t Q t q

16 -Ejemplo :Calcular la carga total que entra por un termnal entre los nstantes t = s y t = s s la corrente que pasa es = (3t -t) A. Solucón: C d 3 d 3 t t t t t t Q f t t t q t q d d d d d d d f f f t t t t t t t Q t q - Defncón de corrente: - Integrando: -Luego: 6

17 .4 Tensón - Defncón de tensón entre dos puntos A y B: - Para moer un electrón es necesaro aportar energía (realzar trabajo - Esta energía la dan las fuentes o generadores del crcuto AB La tensón (o dferenca de potencal) entre dos puntos A y B de un crcuto es la energía necesara para moer una carga de alor undad desde A hasta B - Matemátcamente: AB dw dq - Undades de la tensón: El olto (V) olto julo culombo V J C 7

18 .4 Tensón - Tensón entre los termnales de un elemento: A AB - Los sgnos + y ndcan la polardad de la tensón -El puntoa está a un potencal AB oltos mayor que el punto B B - Se dce que hay una caída de tensón de AB oltos de A hasta B - Las sguentes fguras son equalentes AB - AB A B A B A - BA B AB BA 8

19 .4 Tensón - En general la tensón es funcón del tempo ( t) -Tensón de contnua:no aría con el tempo. Se denota medante el símbolo V - Tensón de alterna: aría snusodalmente con el tempo V 9

20 .5 Potenca y energía - Defncón de potenca: - Los cálculos de potenca y energía son mportantes en el análss de crcutos La potenca p es la cantdad de energía (absorbda o sumnstrada) por undad de tempo - Matemátcamente: p dw dt 0

21 .5 Potenca y energía - Potenca (absorbda o sumnstrada) por un elemento de crcuto: p dw dt dw dq dq dt p La potenca absorbda o sumnstrada por un elemento es el producto de la tensón entre los extremos del elemento por la corrente que pasa a traés de él - Undades de la potenca: El ato (W) - De la expresón anteror se deduce: W V A

22 .5 Potenca y energía - Cómo se sabe s un elemento absorbe o sumnstra energía? - Coneno paso de sgnos: Cuando la corrente entra por el termnal posto: - El elemento dspa potenca s p = + > 0 - El elemento sumnstra potenca s p = + < 0 - Qué hago s la corrente entra por el termnal negato? Cuando la corrente entra por el termnal negato: - El elemento dspa potenca s p = - > 0 - El elemento sumnstra potenca s p = - < 0

23 - Ejemplo : Supongamos que exste una caída de oltaje de 5 V entre los termnales y de un elemento de un crcuto, y que una corrente de 5 A entra por el termnal. Especfcar los alores de e para las referencas de polardad de la sguente fgura. Calcular la potenca para cada uno de los casos y establecer s el elemento del crcuto está absorbendo o entregando potenca. 3

24 Solucón: a) = 5 V, = -5 A Se cumple el coneno paso de sgnos, la potenca ene dada por p = = 5 (-5) = -75 W. El elemento sumnstra potenca. b) = 5 V, = 5 A No se cumple el coneno paso de sgnos, la potenca ene dada por p = - = -5 5 = -75 W. El elemento sumnstra potenca. c) = -5 V, = -5 A No se cumple el coneno paso de sgnos, la potenca ene dada por p = - = -(-5) (-5) = -75 W. El elemento sumnstra potenca. d) V = -5 V, = 5 A Se cumple el coneno paso de sgnos, la potenca ene dada por p = = (-5) 5 = -75 W. El elemento sumnstra potenca. 4

25 .5 Potenca y energía - Ley de conseracón de la energía para un crcuto eléctrco: La suma algebraca de la potenca en un crcuto eléctrco debe ser cero, en cualquer nstante de tempo - Matemátcamente: n p n 0 p absorbda p sumnstrada 0 p absorbda 0 p sumnstra da 0 5

26 .5 Potenca y energía - Cálculo de energía absorbda o sumnstrada en un nteralo de tempo: p dw dt dw pdt t - Integrando: t dw t t p dt w t t dt - Undades de la energía (SI): El julo (J) julo atosegundo J W s - En la da cotdana (recbo de la luz) es usual emplear como undad de energía el ato-hora (Wh) Wh W 3600s 3600 J 6

27 .6 Ley de Ohm - Elementos actos y pasos: Un elemento es paso s sempre (en cualquer nstante de tempo) absorbe energía del resto del crcuto -Ejemplos: resstencas, condensadores y bobnas w t dt 0 t Un elemento es acto s es capaz de sumnstrar energía al resto del crcuto en algún nstante de tempo -Ejemplos: baterías y generadores 7

28 .6 Ley de Ohm - Característca - de un elemento: La característca - de un elemento es la relacón entre la corrente que lo atraesa y la tensón entre sus termnales - Característca -.: - Cada tpo de elemento tene una propa - En general, es una relacón no lneal - Se expresa en forma de ecuacón o de gráfca - Determna el comportamento de un elemento dentro de un crcuto 8

29 .6 Ley de Ohm - Defncón de resstdad: La resstdad ρ de un materal es la capacdad para oponerse al desplazamento de carga a traés de él - Los buenos aslantes tenen resstdades altas, mentras que los buenos conductores las tenen bajas - El nerso de la resstdad se denomna conductdad σ / 9

30 .6 Ley de Ohm - Tabla de resstdades Materal esstdad (Ohm m) Plata Cobre Alumno Oro Carbón Germano Slco Papel 0 +0 Mca Vdro 0 + Teflón Buenos conductores Semconductores Aslantes 30

31 .6 Ley de Ohm - Ley de Ohm y defncón de resstenca: En 87 el físco alemán Georg S. Ohm determnó expermentalmente que la tensón entre los termnales de un cuerpo ressto es proporconal a la corrente que lo atraesa - Matemátcamente: - La constante de proporconaldad se denomna resstenca y ale: S - Undades de la resstenca: El ohmo (Ω) S V A 3

32 .6 Ley de Ohm - Ley de Ohm y defncón de resstenca: - esstenca como elemento de crcuto S 3

33 .6 Ley de Ohm - Ley de Ohm y defncón de resstenca: - La ecuacón = es un modelo (lneal). - En realdad, para tensones altas la relacón - deja de ser lneal 33

34 34

35 .6 Ley de Ohm - Ley de Ohm y defncón de resstenca: - El nerso de la resstenca se denomna conductanca G G / - Undades de la conductanca: Semen (S), tambén se usa mho -Casos límte: G 0 0 G 0 0 Corto-crcuto Crcuto-aberto 35

36 .6 Ley de Ohm - Potenca en una resstenca: p p 0 - Alternatamente p - La resstenca es un elemento paso, sempre absorbe (dspa) energía - En una resstenca la energía eléctrca se transforma en calor 36

37 - Ejemplo 3: Se dspone de una peza de Ncromo (aleacón 80% nquel y 0% cromo), de resstdad ρ = 03 x 0-6 Ω cm, con forma de paralelepípedo. El área de las bases es S = cm y la longtud l = 5 cm. Sabendo que la caída de potencal entre las bases es V = 0 V, calcular la potenca y la energía dspada en Δt = h. Solucón: p V S 030 ) 5 6 ( I S V I p V W w pt ( ) (6060) J 37

38 .7 Fuentes ndependentes - Las fuentes son elementos actos que, generalmente, sumnstran energía al crcuto al que están conectadas - Hay dos tpos de fuentes: ndependentes y dependentes - Las fuentes ndependentes pueden ser de tensón y de corrente Fuente de tensón deal: es un elemento que proporcona, entre sus termnales, una tensón prefjada. La corrente que lo atraesa depende del resto del crcuto -Símbolos: s fuente de tensón arable con el tempo V 0 fuente de tensón de contnua 38

39 .7 Fuentes ndependentes Fuente de corrente deal: es un elemento que proporcona una corrente prefjada. La tensón entre sus termnales depende del resto del crcuto -Símbolo: s - Las fuentes tambén pueden absorber energía!! 39

40 - Ejemplo 4: Dos fuentes deales, una de tensón y otra de corrente, se conectan drectamente como se muestra en la fgura. Calcular la potenca en cada fuente, ndcando s es sumnstrada o absorbda. Dorf-7ª P.5-3 IS 3 A V S V 40

41 Solucón: Is 3 A V s V - Fuente de corrente: La corrente entra por el termnal negato NO se cumple el coneno paso de sgnos p V s I s 3 36 W 0 (sumnstrada) - Fuente de tensón: La corrente entra por el termnal posto p V s I s SI se cumple el coneno paso de sgnos 3 36 W 0 (absorbda) 4

42 .8 Leyes de Krchhoff - Defncón de Nudo y de Malla: -Nudo:punto de conexón entre dos o más elementos de crcuto - Malla: cualquer trayectora cerrada de un crcuto -Ej: Identfcar todos los nudos y mallas del crcuto de la fgura 5 V 0 4

43 Solucón: -Nudo:punto de conexón entre dos o más elementos de crcuto -Hay 4 nudos: -Nudo : A A 5 B -Nudo : B -Nudo 3: C -Nudo 4: D V 0 D C - Malla: cualquer trayectora cerrada de un crcuto - Hay 3 mallas: - Malla : ABCDA - Malla : ABCA - Malla 3: ACDA 43

44 .8 Leyes de Krchhoff - Las leyes de Krchhoff fueron ntroducdas en 847 por el físco alemán Gusta. Krchhoff - Ley de Krchhoff de las correntes (KCL): - Expresa el prncpo de conseracón de la carga La suma algebraca de las correntes que entran (o salen) de un nudo es cero - Matemátcamente: N n n 0 donde N es el número de correntes que entran/salen del nudo e n es la n-ésma corrente 44

45 .8 Leyes de Krchhoff - Ley de Krchhoff de las correntes (KCL): -Ej: Aplcar la KCL al nudo de la fgura Solucón: Tambén podemos escrbr: Enuncado alternato de la KCL: La suma de las correntes que entran en un nudo es gual a la suma de las correntes que salen de él 45

46 - Ejemplo 5: Aplcar la ley de Krchhoff de las correntes a los crcutos de la fgura 46

47 .8 Leyes de Krchhoff - Ley de Krchhoff de las correntes (KCL): - La KCL puede generalzarse aplcándose a superfces cerradas (en D curas cerradas) Estas curas se denomnan SUPENUDOS - En un crcuto de N nudos, sólo N- ecuacones de nudos son ndependentes 47

48 .8 Leyes de Krchhoff - Ley de Krchhoff de las tensones (KVL): - Expresa el prncpo de conseracón de la energía La suma algebraca de las tensones a lo largo de una trayectora cerrada es cero - Matemátcamente: M m m 0 donde M es el número de tensones a lo largo de la malla y m es la m-ésma tensón 48

49 .8 Leyes de Krchhoff - Ley de Krchhoff de las tensones (KVL): -Ej: Aplcar la KVL al crcuto de la fgura Solucón: Tambén podemos escrbr: Enuncado alternato de la KVL: En un lazo, la suma de subdas de tensón es gual a la suma de caídas 49

50 - Ejemplo 6: Aplcar la ley de Krchhoff de las tensones a los crcutos de la fgura 50

51 .8 Leyes de Krchhoff - Análss de crcutos: - El objeto general del análss de crcutos es determnar las tensones y correntes asocadas a cada elemento de un crcuto - Para ello es necesaro resoler un conjunto de ecuacones smultáneas que se obtenen aplcando de forma combnada las leyes de Krchhoff y las relacones - de los elementos del crcuto - Las relacones - gobernan el comportamento de cada elemento con ndependenca de en qué crcuto esté conectado - Las leyes de Krchhoff son condcones mpuestas a las conexones, ndependentes de los elementos concretos presentes en el crcuto 5

52 - Ejemplo 7: Calcular las tensones y las correntes para cada elemento del crcuto de la fgura. V 0 =0 V, = 000 Ohm y = 3000 Ohm. V 0 5

53 Solucón: - Asgnamos tensón y corrente a cada elemento: 3 elementos => 6 ncógntas S V 0 S - Ecs. para los elementos (elacones -): S V 0 - Ecs. para las conexones (Ecs. de Krchhoff): -Nudo A: S -Nudo B: - Malla: 0 S S V 0 A S B C 53

54 S V 0 S S 0 S V 0 A S C B - Susttuyendo en la últma: V -de donde V V V ma - En el tema eremos métodos más sencllos y sstemátcos de resoler crcutos!! 54

55 .9 Dsores de tensón y de corrente - Conexones sere y paralelo: - Conexón en sere: Dos elementos están conectados en sere cuando comparten un nudo común al que no hay conectado nngún otro elemento. En consecuenca, por dos elementos conectados en sere pasa la msma corrente. -Gráfcamente: - Esta dea se puede extender al caso de más de dos elementos: 55

56 .9 Dsores de tensón y de corrente - Conexones sere y paralelo: - Conexón en paralelo: Dos elementos están conectados en paralelo cuando están conectados entre el msmo par de nudos. En consecuenca, dos elementos conectados en paralelo tenen la msma tensón entre sus termnales -Gráfcamente: - Para más de dos elementos: 56

57 - Ejemplo 8: En los sguentes crcutos, dentfcar qué elementos están conectados en sere y cuales en paralelo 57

58 Solucón: - Crcuto (a): - y están conectados en sere - 4 y 5 están conectados en sere - Crcuto (b): - y 3 están conectados en paralelo - 4 y 5 están conectados en paralelo (a) (b) - Crcuto (c): -, y 3 están conectados en paralelo (c) - Crcuto (d): - y 4 están conectados en paralelo (d) 58

59 .9 Dsores de tensón y de corrente - Defncón de crcutos equalentes: Dos crcutos son equalentes cuando tenen las msmas característcas - para un par de termnales determnado A Crcuto A Crcuto B B A B A A B B - En este tema aplcaremos esta defncón para smplfcar crcutos con múltples resstencas en sere o en paralelo 59

60 .9 Dsores de tensón y de corrente - Asocacón de resstencas en sere: -KVL: A -Ley de Ohm: B A eq - Susttuyendo en KVL: - El crcuto de partda es equalente al crcuto: -con: - ya que: eq B N - Para N resstencas en sere: eq eq N n n 60

61 .9 Dsores de tensón y de corrente - Asocacón de resstencas en paralelo: A -KCL: -Ley de Ohm: - Susttuyendo en KCL: B - El crcuto de partda es equalente al crcuto: A B eq -con: - ya que: eq - Para N resstencas en paralelo: eq eq eq n N N n 6

62 - Ejemplo 9: Calcular la resstenca equalente del crcuto de la fgura. = 5, =, 3 =, 4 = 3, 5 = 6, 6 = 4 y 7 = 8 (todas en ohmos) 6 A 3 eq B 6

63 Solucón: - Asocamos 3 Ohm y 6 Ohm: 4 A eq B - Asocamos Ohm y 5 Ohm: A - Asocamos Ohm y Ohm: 5 eq 4 8 B 63

64 A - Asocamos 6 Ohm y 4 Ohm: eq B -Fnalmente: 4 A eq eq 8 B A eq 4.4 B 64

65 .9 Dsores de tensón y de corrente - Dsor de tensón: - La caída de tensón en cada resstenca ale: eq eq A B eq En un dsor de tensón la tensón de la fuente se dde entre sus resstencas de forma proporconal a la resstenca de cada una - Matemátcamente: n n eq 65

66 -Ejemplo 0:Determnar el alor de la resstenca en el crcuto de la fgura para que la caída de tensón en dcha resstenca sea ¼ de la tensón S sumnstrada por la fuente cuando = 9 Ohm. Calcular la corrente cuando S = V. D&S-7ª Ex s 66

67 Solucón: 4 S 9? - Según la fórmula del dsor de tensón: 4 S S S de donde Cálculo de la corrente: eq S S eq - Según la ley de Ohm: S eq A 67

68 .9 Dsores de tensón y de corrente - Dsor de corrente: eq - La corrente en cada resstenca ale: En un dsor de corrente la corrente total se dde entre sus resstencas de forma nersamente proporconal a la resstenca de cada una eq n n - Matemátcamente: A B eq eq eq 68

69 - Ejemplo : Hallar las correntes I e I que se ndcan en el crcuto de la fgura. 5 I I 5 A

70 Solucón: - Para calcular I reducmos el crcuto a dos resstencas paralelo: I 5 5 A 0 I 0 5 eq Aplcando las fórmulas del dsor de corrente: I S I 5 A 0 I x eq I I x eq IS 0 eq I S I A.5 A 70

71 - Para calcular I olemos al crcuto sn reducr I S I x I 5 I 5 A Aplcamos, nueamente, las fórmulas del dsor de corrente: 0 0 I I x (5 5) 30.5 A 7

72 .0 Fuentes dependentes Una fuente dependente (o controlada) deal es una fuente cuyo alor es proporconal a la tensón o corrente exstentes en otra parte del crcuto - Hay 4 tpos de fuentes dependentes: - Fuente de tensón controlada por tensón c bc - Fuente de tensón controlada por corrente c rc 7

73 .0 Fuentes dependentes - Fuente de corrente controlada por tensón c gc - Fuente de corrente controlada por corrente c d c 73

74 -Ejemplo: Calcular las tensones x y 0 que se ndcan en el crcuto de la fgura. A&S-3ª P.6 0 x 35 V 5 x 0 espuesta: 0 V, -5 V 74

75 Solucón: - Supondremos que la malla esta recorrda por una corrente : - Aplcamos la KVL: - Aplcamos la ley de Ohm: x 35 V 35 0 x x 0 x 0; Susttumos la ley de Ohm en la KVL: A x (KVL) 35 - Fnalmente, susttumos la corrente en la ley de Ohm: x, 0? (ley de Ohm) x 0 0 V; V 75

76 - Ejercco: Calcular 0 e 0 en el crcuto de la fgura. A&S-3ª PdeP.7 6 A espuesta: 8 V, 4 A 76

77 Solucón: - Supondremos que por la resstenca de 8 ohm crcula una corrente : 6 A Nudo 0 A , 0? - Aplcamos la KCL al nudo A: - Aplcamos la ley de Ohm: - Susttumos la ley de Ohm en la KCL: ; 8 - Fnalmente, susttumos 0 en la ley de Ohm: (KCL) (ley de Ohm) A 8 V 77

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