TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍA

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1 TOPOGRAFÍA PARA INGENIERÍA Marzo 2008 Waldo Valencia Cuevas Académico 1

2 Capítulo 1 Conceptos y generalidades Definición de topografía. Tradicionalmente se ha definido a la topografía como una ciencia aplicada, encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y la representación en un plano de una porción de la superficie terrestre. En un sentido mas general, se puede definir como la disciplina que abarca todos los métodos, para reunir información de partes físicas de la Tierra y sus alrededores, usando para ello los métodos clásicos de medición en terreno, la topografía aérea (Anexo A) y la topografía por satélite (Anexo B) Representación de un punto en topografía. Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de los sistemas cartesianos tri y bidimensionales respectivamente. En 3D o sistema cartesiano tridimensional. X P : Proyección Este de P. Y P : Proyección Norte de P. Z P : Cota o altitud de P. Z (Cota o Altitud ) Z P P(X;Y;Z X P X (Este) Y P Y(Norte) P'(X;Y) Figura 1: Sistema cartesiano tridimensional. P(X;Y;Z): coordenadas tridimensionales del punto P, expresadas en metros. P'(X;Y) : coordenadas bidimensionales del punto P, expresadas en metros. Ejemplo: P(X;Y;Z) = P(5000; 5000; 500) Este trío de puntos nos indica que las coordenadas respectivas del punto P son: X P = 5000 m (coordenada este de P). Y P = 5000 m (coordenada norte de P). Z P = 500 m (cota o altitud de P). Waldo Valencia Cuevas Académico 2

3 La diferencia entre cota y altitud, radica en que la primera está referida a un plano de referencia cualquiera, mientras que la altitud lo está al nivel medio del mar. En 2D o sistema cartesiano bidimensional. Y(Norte) Y P : Proyección Norte de P. X P : Proyección Este de P. Y P P(X,Y) X P X(Este) Figura 2: Sistema cartesiano bidimensional Operaciones topográficas. En los métodos topográficos corrientes de medición en terreno, no se considera la verdadera forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a la realidad, entre las prescindencias esta se considera plana, la dirección de la plomada entre dos puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas, hechas estas consideraciones, cabe destacar que se distinguirían tres operaciones topográficas importantes, el levantamiento, el replanteo y el control Levantamiento topográfico. Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de puntos en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones incluye: Selección del método de levantamiento (poligonación, radiación, triangulación, intersección inversa, perfiles, contorno, etc.) Elección del instrumental a utilizar (estación total con jalón y prisma, teodolito con mira, teodolito con cinta, teodolito-distanciómetro con jalón y prisma, nivel de ingeniero con mira, etc.) Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo (red geodésica nacional, red geodésica de nivelación nacional, red G.P.S., red local, etc.) Realizaciones de mediciones en terreno (distancia horizontal, vertical, direcciones de líneas, ángulos) en forma directa o indirectamente. Registro de datos en forma manual (tiende a desaparecer), o automatizada (tendencia actual). Waldo Valencia Cuevas Académico 3

4 Cálculo y procesamiento de datos por procedimientos manuales (tiende a desaparecer), o automatizada ( a través de software topográfico). Elaboración de planos por medios manuales (tiende a desaparecer) y automatizados ( a través de software topográfico y plotter) Replanteo. Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano topográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos, que hay que materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste en volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente definidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo planimétrico (consistente en ubicar en el terreno en 2D la posición de un punto, al medir la distancia horizontal y el ángulo horizontal horario entre la estación de ubicación del instrumento, la estación de calaje y el punto a replantear) y un replanteo altimétrico ( consistente además en ubicar en el terreno la diferencia de nivel sobre o bajo la cota de terreno, para completar la posición en 3D del punto a materializar). Esta operación de replanteo general incluye la colocación de hitos, monolitos, marcas, crucetas, etc. para delinear, delimitar y guiar trabajos de ingeniería Control. Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el terreno la materialización de las obras de ingeniería, en el caso de una obra vial no solo se fiscaliza las dimensiones y componentes de la loza o carpeta de asfalto, con sus respectivos testigos y especificaciones técnicas, sino también los radios de curvatura, desarrollos, las posiciones de los principios y fin de curvas, el peralte, el bombeo, y demás elementos geométricos de las curvas verticales y horizontales. Por otro lado en la propiedad minera, el inspector debe chequear la posición o amarre del hito de mensura a la red geodésica nacional, o a la red G.P.S, las correctas dimensiones de los hitos, y el método topográfico o geodésico utilizado. En general es según la actividad desarrollada y el organismo estatal con facultades de georreferenciación, lo que el inspector debe realizar Relación de la topografía con otras disciplinas y ciencias. La topografía (clásica de medición en terreno, aérea y satelital) se relaciona con diversas ciencias tales como, las ciencias exactas, las ciencias naturales, las ciencias de la tierra y un sin número de disciplinas, esta relación tiene que ver desde los fundamentos matemáticos, ópticos, teóricos, de proyecciones cartográficas, hasta con los elementos y soluciones químicas que se requieren para rebelar las imágenes fotográficas de los levantamientos aerofotogramétricos, como también la tecnología aplicada en la topografía clásica, en los sistemas de posicionamiento global por satélite y la que se usa en las imágenes satelitales. Waldo Valencia Cuevas Académico 4

5 En este texto abordaremos la estrecha relación de la topografía con la geodesia y la cartografía Definición de geodesia. La geodesia es la ciencia que trata de las investigaciones de la forma y dimensiones de la superficie terrestre, incluyendo su campo gravitacional exterior y el posicionamiento de puntos sobre la superficie de la Tierra. Ondulación geoidal Geoide Elipsoide Figura 3: El geoide y un elipsoide geocéntrico. La superficie de la Tierra, tal como la conocemos, dista mucho de ser uniforme, sin embargo los océanos son bastante mas uniforme (aún cuando imágenes satelitales indican que también en el mar se observan valles y montañas), pero la superficie o topografía de las masas de tierra muestran grandes variaciones verticales entre montañas y valles, lo cual hace imposible expresar la forma sobre un área de gran tamaño, mediante un modelo razonablemente simple; esto se puede simplificar al remover la masa continental sobre el nivel medio del mar, resultando una superficie con algo de realidad física, que se denomina geoide, figura que no posee una expresión matemática, pero que corresponde a una superficie equipotencial del campo de gravedad de la Tierra que mejor se aproxima al nivel medio del mar (nmm). Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, la topografía terrestre no existiría, y el geoide tendría la forma de un elipsoide achatado, centrado sobre el centro de masa de la Tierra; sin embargo donde exista una deficiencia de masa, el geoide se undirá por debajo del elipsoide promedio, y al revés donde exista un exceso de masa, el geoide se levantará por sobre el elipsoide medio, a esta desviación se le conoce como ondulación o altura geoidal que alcanza en algunas zonas mas o menos 100 m. Estas variaciones han sido determinadas utilizando datos de satélites ópticos y dópler, mediciones gravimétricas, redes geodésicas, poligonales de alta precisión, mediciones astronómicas y adoptando previamente un elipsoide con parámetros establecidos. Waldo Valencia Cuevas Académico 5

6 Para realizar cálculos de posición, distancia, direcciones, etc. sobre la superficie terrestre, es necesario tener algún marco de referencia matemático, en nuestro caso el elipsoide achatado es el mejor modelo matemático, dado que es una figura geométrica relativamente simple y que se ajusta al geoide. Las naciones o grupos de naciones han escogido diferentes elipsoides de referencia, los cuales calzan en forma adecuada con un área particular del geoide, y al punto donde la altura geoidal es mínima o cero, es decir, donde coincide el elipsoide de referencia con el geoide se le denomina datum, y para su identificación, se le agrega el nombre del lugar geográfico y el país donde se origina. La expresión del elipsoide como modelo matemático de la Tierra es: x / a + y / b + z / c = 1 si z = 0 x / a + y / b = 1, correspondiendo a la ecuación de la elipse, donde a representa el semieje mayor o ecuatorial y b el semieje menor o polar. Los parámetros utilizados para definir un elipsoide de revolución son ( a, b ) o ( a, f ) y e, donde f = ( a b) / a achatamiento y e = excentricidad. 1 a 2 ( b / ) = 2 f f Representación de un punto en geodesia. Un punto en geodesia se representa en el sistema de coordenadas geográficas, cuyos orígenes son el paralelo del Ecuador y el meridiano de Greenwich, que permiten fijar la posición de un punto sobre el elipsoide, por medio de la latitud (ϕ) y longitud (λ). 2 Polo Norte Hemisferio Norte λ Meridiano Greenwich ϕ P(ϕ,λ) Ecuador Hemisferio Sur Meridiano del punto P Polo Sur Paralelo del punto P Figura 4: Coordenadas geográficas de un punto P. Waldo Valencia Cuevas Académico 6

7 La latitud ϕ de un punto, es el ángulo que se genera entre la normal al elipsoide a través del punto y el plano ecuatorial, toma el valor cero grado sexagesimal en el Ecuador y aumenta hacia los polos hasta un valor máximo de 90 grados sexagesimales en el Polo Norte y 90 grados sexagesimales en el Polo sur. La longitud λ de un punto, es el ángulo que se forma entre la elipse meridiana que pasa a través de Greenwich y la elipse meridiana que contiene al punto; se mide a lo largo del Ecuador desde el meridiano de Greenwich 180 grados sexagesimales en dirección Este y 180 grados en dirección Oeste. Normal al elipsoide Superficie terrestre Normal al geoide (Dirección de plomada) Superficie del mar geoide Elipsoide Desviación de la vertical Figura 5: Las tres superficies, Topografía superficie terrestre, Geoide y Elipsoide Definición de cartografía. La cartografía es la disciplina que estudia la representación de la superficie terrestre en cartas o mapas topográficos, a través de proyecciones cartográficas Proyección cartográfica U.T.M. (Universal Transversal de Mercator) Figura 6: Elipsoide girando en su eje polar en un cilindro secante da origen a 60 Husos. Waldo Valencia Cuevas Académico 7

8 Acuerdos cartográficos internacionales que se iniciaron a partir de la conferencia en Bélgica 1951 por la I.U.G.G. (International Union of Geodesy and Geophysics, Unión Internacional de Geodesia y Geofísica), recomendaron el uso de la proyección Universal Transversal de Mercator, por ser esta una proyección conforme, donde las deformaciones se hacen mínimas. Esta proyección puede ser visualizada como la Tierra encerrada en un cilindro secante, cuyo eje forma un ángulo de 90 grados sexagesimales con el eje polar de la tierra. El cilindro tiene generalmente un radio menor que el de la Tierra, de tal manera que las líneas de contacto entre la superficie cilíndrica y la superficie elipsoidal serán líneas paralelas a los meridianos. Girando el elipsoide dentro del cilindro, la secancia podría hacerse frente a cualquier meridiano central y los puntos situados a 3 grados sexagesimales de el, se pueden considerar casi libres de distorsión, donde los paralelos y meridianos terrestres quedarán representados en una superficie plana, por líneas rectas y paralelas que se cortan en ángulo recto; todo esto gracias a que la superficie del cilindro puede extenderse como un plano, lo que da origen al sistema de cuadriculado U.T.M. Si se gira el cilindro en torno al eje polar terrestre se forman 60 zonas de 6 grados sexagesimales de longitud cada una, cada zona se denomina Huso y están numerados desde el 1 al 60, partiendo del meridiano 180º y siguiendo la dirección Este. Nuestro país está comprendido en los Husos 18 y 19, cuyos meridianos centrales son 75º y 69º de longitud Weste respectivamente. Por otro la extensión en latitud de cada zona es de 84º y 80º hacia el Norte y Sur del Ecuador correspondientemente. Figura 7: Tres zonas o Husos de 6 de longitud cada una, con sus respectivos meridianos centrales. Waldo Valencia Cuevas Académico 8

9 La proyección UTM toma como origen de las ordenadas al Ecuador, para el Hemisferio Norte se le asigna el valor 0 m, ascendiendo en la dirección del Polo Norte, al Hemisferio Sur se le asignan m, descendiendo en la dirección del polo Sur, el origen de las abscisas es el Meridiano Central de cada Huso, asignando a cada uno de ellos un valor de m. Las ordenadas se conocen como coordenadas Norte UTM y las abscisas como coordenadas Este UTM. El valor de las abscisas en la proyección UTM (E UTM ) aumentan en la dirección Este del Meridiano Central y disminuyen en la dirección Weste. Por otro lado si se trazaran paralelas al Paralelo del Ecuador en la dirección Sur, y paralelas a ambos lados del Meridiano Central, se generaría el sistema de cuadriculado UTM, consistente en una red de líneas perpendiculares entre si, que forman una serie de sectores cuadrados del mismo tamaño, con datos marginales que dan valor a cada una de las líneas que los forman Cartografía nacional y sistemas de datum utilizados. En nuestro país trabajamos con tres sistemas de datum, dos locales y uno global: Datum Provisorio Sudamericano La Canoa, Venezuela 1956 (PSAD-56). Elipsoide: elipsoide internacional de a : ,000 m semieje ecuatorial b : ,946 m semieje ecuatorial f : ( a b ) / a = 1 1 achatamiento 296, e : ( a b ) / a = 0, primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse '2 e : Obs. 1 : PSAD ( a b ) / b = 0, segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse La cartografía nacional escala 1: y 1: está referida al Obs. 2 : La Constitución de la Propiedad Minera nacional al norte de la latitud Sur 43º30 está referida al PSAD-56. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide PSAD-56 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico). Waldo Valencia Cuevas Académico 9

10 Datum Sudamericano Chua, Brasil 1969 (SAD-69). Elipsoide: elipsoide sudamericano de referencia a : ,000 m semieje ecuatorial b : ,720 m semieje ecuatorial f : (a- b) / a = 1 1 achatamiento 298, ,25 e 2 : (a 2 b 2 ) /a 2 = 0, primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse e 2 : (a 2 b 2 )/b 2 = 0, segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse Obs. 1: La cartografía Nacional escala 1:25.000, 1: , 1: y la ortofotografía 1: y 1: está referida al SAD-69. Obs. 2: La Constitución de la Propiedad Minera nacional al sur de la latitud Sur 43º30 está referida al SAD-69. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide SAD-69 no coincide con el centro de masa de la tierra (es no geocéntrico). Sistema Geodésico Mundial Misuri, EE.UU (WGS-84). Elipsoide: Elipsoide mundial de referencia de a : ,0000 m semieje ecuatorial b : ,3142 m semieje ecuatorial f : (a- b) / a = 1 achatamiento 298, e 2 : (a 2 b 2 ) /a 2 = 0, primera excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse e 2 : (a 2 b 2 )/b 2 = 0, segunda excentricidad cuadrada del meridiano de la elipse Waldo Valencia Cuevas Académico 10

11 C 2,0 : -484,16685 x 10-6 Coeficiente normalizado de armónico zonal de segundo grado de potencial de gravitación. W : x Rad/S Velocidad angular de la tierra. GM : x 10 8 m 3 /S 2 Constante de gravitación de la tierra (masa de la atmósfera de la tierra incluida). Obs. 1: El Instituto Geográfico Militar (IGM) ha comenzado a partir de 1996, la edición conjunta en PSAD-56 y WGS-84 de la cartografía nacional 1:50.000, existiendo en las cartas parámetros para convertir coordenadas desde PSAD-56 a WGS-84 y viceversa. Ejemplo : para la carta de Santiago E-58 escala 1: N UTM PSAD-56 = N UTM WGS m. E UTM PSAD-56 = E UTM WGS m. Obs. 2: Los GPS tipo navegadores, profesionales y geodésicos vienen configurados en el sistema WGS-84, en el caso de los navegadores cuando se le agotan las baterías y se está trabajando en algún sistema geodésico local (PSAD- 56 o SAD-69), debe revisarse el datum de configuración del equipo, dado que, cuando pasan varias horas del reemplazo de las baterías, automáticamente vuelve la configuración al datum WGS-84. Obs. 3: El centro geométrico del elipsoide WGS-84 coincide con el centro de masa de la tierra (es geocéntrico) Tipos de levantamientos. Existen diversas variantes de levantamientos, tanto es así que un especialista en una disciplina topográfica a lo largo de su trayectoria, puede tener escaso contacto con las otras áreas de desarrollo de la topografía. Los levantamientos actualmente se utilizan para confeccionar cartas topográficas de la superficie terrestre, de los fondos marinos, deslindes de propiedades públicas, privadas, mineras, agrícolas, para la navegación aérea, terrestre y marítima, para conocer el relieve del suelo y el comportamiento del subsuelo, también se usan en los estudios catastrales, peritajes judiciales y proyectos de ingeniería. Además se emplean en la evaluación de datos sobre el tamaño, forma, gravedad y campo magnético terrestre, y aún se ha logrado confeccionar planos de la Luna y de los Planetas. Waldo Valencia Cuevas Académico 11

12 Dado que la topografía es demasiado importante para muchas ramas de la ingeniería, en este texto trataremos los levantamientos que tienen mayor aplicabilidad en ella. Levantamiento geodésico o de control: son levantamientos de grandes extensiones de terrenos, de alta precisión u orden geodésico, generalmente abarcan la totalidad o gran parte de los territorios de los países, consideran la verdadera forma y dimensiones de la Tierra, conforman redes longitudinales y transversales de puntos con coordenadas horizontales y verticales, que sirven como marco de referencia para otros levantamientos de menor rango geodésico. Comúnmente los ejecutan organismos del Estado, en nuestro país el IGM (Instituto Geográfico Militar), el SHOA (Servicio Hidrográfico y Oceánico de la Armada). Levantamientos topográficos: determinan la posición y características de los accidentes naturales y artificiales, incluyendo las elevaciones de los puntos que permitan la representación en un plano. No consideran la verdadera forma de la Tierra, ésta se considera plana, la dirección de la plomada entre puntos sería paralela en la obtención de los rumbos y azimutes de las líneas que se forman, los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente pequeñas. Levantamientos aerofotogramétricos: forman parte de la topografía aérea (ver Anexo A), utiliza la percepción remota a través de una cámara fotográfica ubicada en la parte posterior de un avión para tomar los datos de terreno (fotogramas), siguiendo rigurosamente la planificación del vuelo y a partir de las fotografías aéreas obtenidas, se hace uso de la fotogrametría, de los procesos de restitución, fotointerpretación, clasificación de terreno, proceso cartográficos y de los vértices de apoyo terrestre para obtener las cartas, mapas o planos topográficos. Estos levantamientos se usan para terrenos de difícil acceso, pueden abarcar grandes extensiones del territorio y se pueden lograr gran precisión en ellos. La cartografía nacional del territorio continental, insular y Antártico se ha obtenido usando esta metodología. El SAF (Servicio Aerofotogramétrico) de la Fuerza Aérea de Chile, el IGM (Instituto Geográfico Militar) son los principales organismos del estado que realizan este tipo de levantamientos en nuestro país. Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades (agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.), las construcciones que contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor o tasación, los derechos de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado pueda recaudar los impuestos respectivos. Waldo Valencia Cuevas Académico 12

13 Levantamientos hidrográficos: corresponden a los levantamientos relacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos, embalses, y otros cuerpos de agua, así como con la configuración e irregularidades de sus profundidades (batimetría), utilizando instrumental topográfico clásico en la determinación planimétrica y sofisticados instrumentos electrónicos para determinar sus profundidades. Las finalidades pueden ir desde la delimitación de sus playas para uso público, pasando por la navegación, estudio de sedimentos y el dragado de sus fondos. El organismo oficial, técnico y permanente del estado en nuestro país facultado para dirimir diferendos en los trabajos en las costas, lagos y ríos es el SHOA. Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridos antes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería, un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue la configuración del terreno, mas la incipiente concepción mental de algún proyecto de ingeniería, son las materias primas mas elementales y suficientes para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto. Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el terreno (operación de replanteo), y alguna institución de fiscalización tendrá la facultad para verificar si lo materializado efectivamente corresponde a lo proyectado (control topográfico), de ahí la importancia que tiene la topografía para los estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de sus potencialidades ingenieriles. Levantamientos satelitales: corresponden a los levantamientos obtenidos con tecnología satelital (ver Anexo B), por una parte se puede utilizar la percepción remota a través de un sensor electro-óptico ubicado en la parte posterior de una plataforma satelital, que captan las diversas bandas electromagnéticas correspondiente a luz solar reflejada por los cuerpos terrestres, que luego es clasificada en formatos digitales, que permiten obtener productos computacionales llamadas imágenes satelitales, que con apoyos de redes de puntos coordenados, permiten obtener productos cartográficos de amplio uso civil y militar. Por otro lado, el uso de posicionadores satelitales (GPS, GPS + GLONASS, y en el futuro GALILEO) en conexión con sus respectivas constelaciones de satélites artificiales, permiten obtener la posición tridimensional de puntos en la superficie terrestre, y por ende de los planos topográficos que requiere la ingeniería, así como también el monitoreo y posicionamiento de móviles terrestres, marinos y aéreos, con el apoyo de otras tecnología electrónicas. Waldo Valencia Cuevas Académico 13

14 1.4. Teoría de errores. Todas las mediciones realizadas con fines topográficos o geodésicos están afectadas por errores de diferentes clases, es imposible determinar la verdadera magnitud de una serie de mediciones que podrían representar distancias, ángulos, superficies, cubicación de movimiento de tierra y coordenadas. En la práctica solo es posible obtener los valores más probables de dichas mediciones acompañados por una cierta incerteza, es decir: l ± dl l n = li / n valor mas probable de la serie de mediciones i= 1 dl = n i= 1 2 ( li l ) /( n( n 1)) = E2Ml incerteza o error medio de la media o desviación estándar del valor mas probable de la serie de mediciones Clasificación de los errores. Errores accidentales o aleatorios (se compensan). Errores sistemáticos (se corrigen). Errores personales o faltas (se eliminan) Errores accidentales o aleatorios, pueden ser provocados por la imperfección de nuestros sentidos (dislexia, miopía, estrabismo, etc.) por la irregularidad de la atmósfera y del terreno a medir, actúan de un modo completamente irregular sobre los resultados de las mediciones y se presentan con signo positivo (+) y negativo (-), ejemplos de esto último, serían los cambios de temperatura por sobre y bajo de la de inicio de un trabajo de medición con una cinta de acero, o con un teodolito de círculos metálicos, también sucede lo mismo cuando se están midiendo ángulos con un teodolito y el viento que incide sobre la señal de puntería, cambia constantemente en un sentido y en otro contrario; algunas veces movimientos sísmicos imperceptibles para nuestros sentidos, desnivelan los equipos topográficos, afectando aleatoreamente las mediciones, por ello es que el tratamiento de la serie de mediciones se hace a través de las leyes de las estadísticas y probabilidades, utilizando en algunos casos los Test de distribución Normal (para n 30) o la T- Student (para n < 30) Errores sistemáticos, pueden ser originados por mala calibración instrumental, por la acción unilateral de la atmósfera sobre la línea de puntería, por mediciones no conformes, tales como la mala alineación de las miras o de las cintas durante la medición de distancias. En igualdad de condiciones son siempre constantes en magnitud y con el mismo signo, obedecen siempre a una ley matemática o física. Ejemplos de estos errores serían, cuando falla el control de calidad y se pasan equipos de medición angular electrónica con círculos en graduación sexagesimal y centesimal, originándose errores instrumentales constantes. Cuando se utiliza un Waldo Valencia Cuevas Académico 14

15 teodolito o un taquímetro mecánico desconocido para un operador, es recomendable realizar previamente mediciones angulares por reiteración (mediciones en directo y directo-tránsito), para descubrir posibles errores instrumentales tanto en el origen del limbo horizontal como en el círculo o limbo vertical (error de índice), para posteriormente realizar las correcciones pertinentes. Si se conocen antecedentes de fabricación de una cinta de acero tales como, la temperatura, tensión de calibración, y dichos datos durante la medición, también es posible corregir las mediciones por corrección por temperatura, por tensión incorrecta y por pandeo o flecha Errores personales o faltas, son producto de la inhabilidad, descuido o cansancio del operador de un instrumento, pueden generarse por la mala anotación de las mediciones, se descubren repitiendo las observaciones Cuantificación de los errores accidentales o aleatorios Método matemático Principales parámetros estadísticos. Sea l una serie de mediciones de distancias, ángulos, superficies, volúmenes o de posición topográfica, entonces: l n = li / n valor más probable de la serie de mediciones i= 1 El = n i= 1 2 / ( li l ) n desviación estándar de la serie de mediciones E2l = n i= 1 mediciones 2 ( li l ) /( n 1) = σ error medio cuadrático de la serie de n E2Ml = ( li l ) /( n( n 1) ) error medio de la media o i= 1 2 desviación estándar del valor más probable de la serie de mediciones E2Ml = E2l / n error medio de la media en función del error medio cuadrático y del número de observaciones realizadas. Cuando se conoce MSE (Root Mean square error) para medir distancias electrónicas con Estaciones Totales o Distanciómetros, que es una característica propia del instrumental topográfico utilizado, entonces se debe usar: Waldo Valencia Cuevas Académico 15

16 E2M l = M.S.El / distancia n Error medio de la media para instrumental electrónico de Ejemplo. Si el error medio cuadrático (M.S.E) para una Estación Total es M.S.E = ï (3 mm + 3ppm) y se ha medido 5 veces una distancia electrónica inclinada resultando un valor mas probable de 4.589,325 m. Determine la incerteza con que se midió dicha distancia. Solución: l = 4.589,325 m n = 5 M.S.El = ï (0, /10 6 l ) m = ï (0, / ,325) m M.S.El =4.589,325 = ï 0, m E2Ml = M.S.El / 5 = ï 0, m 0,0075 m Error relativo o exactitud relativa Error relativo al medir una base topográfica, geodésica o GPS. E.R. = E2l /l = 1/ (l /E2 l ) = 1/ Denominador cuantifica la precisión con que se ha medido una base topográfica con cinta o con taquímetro y mira E.R. = M.S.El /l = 1 / ( l / M.S.El ) = 1/ Denominador cuantifica la precisión con que se ha medido una base geodésica con estación total o distanciómetro E.R. = M.S.E L / L = 1 / ( L/ M.S.E L ) = 1/ Denominador cuantifica la precisión con que se ha medido un vector GPS ( ver ejercicio en página 66 y grados de precisión en página 64 del texto Topografía en Minería Cielo Abierto) Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al medir sus bases se dan las siguientes referencias. i) 1/1.000 E.R l Bases en Trabajos de Laboratorio de Topografía 1/500 ii) 1/ E.R l Bases en Trabajos Topográficos corrientes 1/1.000 iii) E.R l Bases en Trabajos Geodésicos 1 / Waldo Valencia Cuevas Académico 16

17 Error relativo al medir un polígono topográfico, geodésico o GPS. n k n k DH = 1/( DH /ε ) = 1/Denominador cuantifica la precisión E.R. Polígono = ε/ k = 1 i, j K = 1 con que se ha medido un polígono taquimétrico o electrónico i, j ε = (ε N 2 + ε E 2 ) (1/2) error de cierre lineal o error de posición al medir un polígono taquimétrico o electrónico ε N : error de cierre lineal o de posición en la proyección Norte ε E : error de cierre lineal o de posición en la proyección Este n k = 1 k DH : lados o distancias horizontales más probables del polígono o perímetro i, j del polígono Y(Norte) B Y A Y A ε N A A ε C X A ε E X A D X (Este) Figura 8: Error de cierre lineal en un polígono cerrado de 4 lados. n E.R. Polígono GPS = 1/ ( i=1 Di 3D / d 3D ) cuantifica la precisión con que se ha medido un polígono GPS (ver páginas 65,66, del texto Topografía en Minería Cielo Abierto de los autores). Observación: a manera de relacionar trabajos según precisiones alcanzadas, al medir polígonos taquimétricos y electrónicos se dan las siguientes referencias. Waldo Valencia Cuevas Académico 17

18 i) 1/1.000 E.R. P/ Polígonos en Trabajos de Laboratorio de Topografía 1/500 ii) 1/ E.R. P/ Polígonos en Trabajos Topográficos corrientes 1/1.000 iii) E.R. P/Polígonos Trabajos Geodésicos 1 / Método diferencial A partir de la ley general de propagación de errores accidentales o aleatorios, es posible cuantificar la incerteza (df) al calcular indirectamente por medio de una función F conocida, que a la vez contiene variables con errores. Sea F una función que depende de n variables ( F= f(a, b, c,..., n) ), entonces la incerteza df, puede calcularse de acuerdo a la ley de propagación de errores aleatoreos por: df = [ (δf/δa) 2 (da) 2 + (δf/δb) 2 (db) (δf/δn) 2 (dn) 2 ] (1/2) donde : (δf/δa), (δf/δb),...(δf/δn) representan las derivadas parciales de la función F con respecto a sus variables a, b, c,..., n. (da), (db),...,(dn) representan las incertezas al medir las variables a, b, c,...,n,es decir: E2M a = da E2M b = db E2M c = dc E2M n = dn Ejemplo: las funciones para calcular la DH A-B por medio de una estación total o con distanciómetro son: DH A-B = Di A-B Cos α A-B = Di A-B Sin Z A-B = Di A-B Sin N A-B Si escogemos la primera expresión : ddh A-B = [ (δdh A-B /δ Di A-B ) 2 (d Di A-B ) 2 + (δdh A-B /δα A-B ) 2 (dα ) 2 ] (1/2) Errores de 50, 90, 95 y 99.7 %, de los datos de la gráfica de relación entre el error y el porcentaje del área bajo la curva de distribución normal, puede determinarse la probabilidad de un error de cualquier porcentaje de probabilidad, donde la ecuación general es: E P = C P σ, donde C P : factor numérico tomado desde la curva. Waldo Valencia Cuevas Académico 18

19 E 50 = ± σ Error del 50%, fija los límites dentro de los cuales han de permanecer las mediciones un 50% de las veces. E 90 = ± σ Error del 90%. E 95 = ± σ Error del 95 %, llamado también error dos sigma (2σ ). E 99.7 = ± σ Error del 99.7 % o error tres sigma (3σ ). Figura 9: Relación entre el error y el porcentaje de área bajo la curva de distribución normal Unidades de medición Unidades angulares. Los círculos horizontales y verticales en los teodolitos, taquímetros, estaciones totales, o los limbos horizontales en los niveles de ingeniero y brújulas, vienen generalmente graduados en los sistemas angulares sexagesimales y centesimales, sin embargo la últimas pueden también venir graduadas en el sistema de milésimas. 1. Sistema sexagesimal (MODE DEG). 1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360 grados sexagesimales. 1 = 60 (minutos sexagesimales) 1 = 60 (segundos sexagesimales) Waldo Valencia Cuevas Académico 19

20 Observación 1: Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o restarse por separado, los grados, los minutos y segundos. Observación 2: Es importante que los usuarios de calculadoras aprendan a usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición de ángulos, en este caso Mode DEG, así como también conocer el proceso de conversión de mediciones angulares expresadas en formato de fracciones de grados sexagesimales, a formatos de (grados, minutos, segundos) sexagesimales. Ejemplo: Sistema centesimal (MODE GRA). 1 Círculo horizontal o vertical = 400 g 1 g = 100 c (minutos centesimales) 1 c = 100 cc (segundos centesimales) Observación 1: Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que el común de las operaciones usadas en el sistema decimal. Ejemplo: 215 g 30 c 40 cc = 215,3040 g (grados centesimales) 215,3040 g + 28,7227 g 244,0267 g 3. Sistema en radianes (MODE RAD) En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas hasta aquí tratados. 2 π radianes = 360 (Sistema sexagesimal). 2 π radianes = 400 g (Sistema centesimal). 4. Sistema en milésimas. En este sistema de graduación han sido fabricadas algunas brújulas geológicas e instrumentales de artillería. 1 Círculo horizontal = (milésimas) 1/4 Círculo horizontal = (milésimas) 1/64 Círculo horizontal = (milésimas) 5. Relación entre sistemas sexagesimal y centesimal. Waldo Valencia Cuevas Académico 20

21 X = 0,9 X g X g = 1/0,9 x 6. Relación entre sistemas en radianes, sistema sexagesimal y centesimal. x (radianes) = π/180 x x (radianes) = π/200 g x g 7. Relación entre sistemas en milésimas, sexagesimal y centesimal. x - (milésimas) = 1/0,05625 x x = 0,05625 x - (milésimas) x - (milésimas) = 16 x g x g = 1/16 x (milésimas) Unidades de longitud. Los múltiplos y divisores del metro aumentan o disminuyen de diez en diez según la siguiente tabla: micro mili centi deci metro deca hecto kilo mega μ m mm cm dm m da hm km Mm Abreviatura Unidades de superficie. Los múltiplos y divisores del metro cuadrado aumentan y disminuyen de cien en cien, según la siguiente tabla: mili 2 centi 2 dici 2 metro 2 área hectárea bilom 2 mm 2 cm 2 dcm 2 m 2 a ha Abreviatura 1 acres (ac) = 4.046,873 m 2 1 hectárea = 2,47104 acres Unidades de volumen. Los múltiplos y divisores del metro cúbico aumentan o disminuyen de mil en mil, según la tabla: mili 3 centi 3 deci 3 m Kilo 3 Waldo Valencia Cuevas Académico 21

22 Observación: en las cubicaciones de movimiento de tierra se sugiere trabajar solo a la décima del metro cúbico, dado que los modelos utilizados para cubicar solo son aproximaciones a la realidad. Ejemplo: Volumen Terraplén = 702,3 m 3 Volumen Corte = 975,9 m Escalas Escala numérica. Es la relación entre una distancia medida en el plano y la correspondiente distancia medida en el terreno, ambas expresadas en una misma unidad de longitud. E = Dibujo/Terreno = 1/Denominador Ejemplo: Cuál sería la escala numérica de un plano si 10 cm de dibujo representan 200 m de terreno? E = 10 cm/200 m = (10 cm 1m/100 cm)/200 m = 1/ Escala gráfica. Es una barra graduada sobre el plano, subdividida en distancias que corresponden a determinado número de unidades en terreno. 0,8 cm Figura 10: Escala gráfica. A que escala numérica se encuentra la escala gráfica? E = Dibujo/Terreno = 0,8 cm/1 km = 1/ Waldo Valencia Cuevas Académico 22

23 Capítulo 2 Medición de ángulos Medición de ángulos horizontales. Los ángulos horizontales proporcionan la posición horizontal de un punto, respecto a una alineación o a una base topográfica, pueden medirse en el sentido horario (+) (HR) o antihorario (-) (HL), son medidos en un plano horizontal entre dos planos verticales. HR = Horizontal Right HL = Horizontal Left P.V = Plano Vertical P.H = Plano Horizontal Figura 11: Medición de ángulos horizontales en el Plano Horizontal P.H. A : Estación topográfica o vértice de instalación del teodolito. B : Vértice de calaje u orientación cero cero grados ( 0,00 g ). C : Vértice de medición angular horizontal y/o vertical. θ : Angulo horizontal (+) medido en el círculo horizontal del teodolito. α : Angulo horizontal (-) medido en el círculo horizontal del teodolito. La medición de ángulos horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito, con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados. Waldo Valencia Cuevas Académico 23

24 Medición de ángulos horizontales en directo. El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado izquierdo del anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular Medición de ángulos horizontales en directo-tránsito. El círculo vertical del teodolito debe encontrarse al lado derecho del anteojo topográfico si se está observando de frente el lente ocular. En general la condición que debe cumplir la medición de un ángulo Horizontal en Tránsito y ángulo Horizontal en Directo debe ser la siguiente: Teoría: Angulo Horizontal T Angulo Horizontal D 2 R Práctica: Angulo Horizontal T Angulo Horizontal D 2 R + ε R = 1 Recto (100 g grados centesimales o 90 grados sexagesimales). ε : Error de cierre angular obtenido en el origen. Si el ε ε Admisible Ajuste de Angulo Horizontal D ε Admisible ± 0,01 g si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto centesimal ε Admisible ± 0,0017 g si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo centesimal Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular. Est. Pto. Obs. Ang. Horiz. (+) Ang. Horiz. Ajustado A B D 0,00 g C D 74,81 g 74,81 g C T 274,80 g B T 199,99 g Toma de datos de terreno. A : Punto Estación o de instalación instrumental. B D : Punto Observado o de Orientación en Directo. B T : Punto Observado o de Orientación en Tránsito. C D : Punto de Medición angular en Directo. C T : Punto de Medición angular en Tránsito. Cálculo de registro y ajuste angular. i) Origen: (0,00 g + 199,99 g 200 g )/2= -0,005 g = 399,995 g Waldo Valencia Cuevas Académico 24

25 ii) Angulo Horiz. = (74,81 g +274,80 g 200 g )/2 = 74,805 g iii) Angulo Horiz. AJUSTADO = Angulo Horiz. + 0,005 g = 74,81 g Angulo Horiz. : Representa el ángulo horizontal promedio Medición de ángulos verticales. Los ángulos verticales proporcionan la posición vertical de un punto respecto: 1. Zenit (Z) 2. Nadir (N) 3. Horizonte (α) Figura 12: Las tres referencias de la medición de ángulos verticales. Zenit (cenit) (Z): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estación total con la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto zenit. Horizonte (α): es el punto celeste que se genera al prolongar una línea perpendicular al eje vertical del teodolito o estación total en la dirección de la línea aparente que separa la tierra de la esfera celeste, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto horizonte. Waldo Valencia Cuevas Académico 25

26 Nadir (N): es el punto celeste que se genera al prolongar el eje vertical del teodolito o estación total atravesando diametralmente a la tierra e intersectando a la semiesfera celeste aparente, el cero del círculo vertical del instrumento topográfico coincidiría con el punto nadir. La medición de ángulos verticales al igual que los horizontales puede realizarse en dos posiciones del anteojo topográfico, una en directo y la otra en directo-tránsito (dando vuelta de campana el anteojo topográfico), con lo cual es posible detectar eventuales errores en el calaje, en el instrumento, los generados por la irregularidad de la atmósfera o por los movimientos terrestres durante las mediciones. Dichos errores cuando están dentro de las tolerancias admisibles pueden ser corregidos, compensados o simplemente rechazados. Las recomendaciones para medir ángulos verticales en directo y en directotránsito, son las mismas dadas en los ángulos horizontales referente al círculo vertical, en lo concerniente a las condiciones angulares que deben cumplir los ángulos verticales en ambas posiciones del anteojo serían: Teoría : Z D + Z T = 4 R N D + N T = 4 R α D + α T = 2 R (Para ángulos de elevación) α D + α T = 6 R (Para ángulos en depresión) Práctica: Z D + Z T = 4 R + ε N D + N T = 4 R + ε α D + α T = 2 R + ε (Para ángulos de elevación) α D + α T = 6 R + ε (Para ángulos en depresión) ε : Error angular obtenido o error de índice obtenido, puede producirse por desajuste del instrumento, por turbulencias atmosférica, imprecisión en el visado o calaje. Si el ε ε Admisible Ajuste de Angulo Vertical D (ε i = ± ε /2 ) ε i : Factor de ajuste o compensación. ε i > 0 si ε < 0 ε i < 0 si ε > 0 ε Admisible ± 0,03 g si el instrumento tiene una precisión de 1 minuto centesimal y se trata de trabajos topográficos corrientes ε Admisible 0,0050 g si el instrumento tiene una precisión de 1 segundo centesimal y el trabajo es de 3 er orden geodésico Waldo Valencia Cuevas Académico 26

27 Toma de datos de terreno, cálculo de registro y ajuste angular. Estac. Pto. Obs. Ang. Vert. (N) Ang. Vert. Ajustado A B D 89,14 g 89,13 g B T 310,88 g Toma de datos de terreno. A : Punto Estación o de instalación instrumental. B D : Punto Observado en Directo. B T : Punto Observado en Tránsito. Cálculo de registro y ajuste angular. i) N D + N T = 400 g + ε 400,02 g 400 g = ε ε = 0,02 g ε i = - 0,02 g /2 = - 0,01 g N D AJUSTADO = N D + ε i = 89,13 g Waldo Valencia Cuevas Académico 27

28 Capítulo 3 Medición de distancia Procedimiento taquimétrico. Este método utiliza el anteojo topográfico del teodolito o taquímetro y la lectura en una mira graduada, para determinar distancias horizontales, inclinadas y verticales. Figura 13: Medición de distancia con teodolito y mira. I : Punto Estación o de instalación instrumental. II : Punto Observado o de ubicación de mira verticalmente nivelada. Li II : Lectura de hilo inferior en la mira en el Punto II. Ls II : Lectura de hilo superior en la mira en el punto II. hm II : Lectura de hilo medio en la mira en el punto II, hm II = (Ls II + Li II )/2. G : Generador, G= Ls II - Li II. hi I : Altura instrumental en el punto estación o de instalación I. Z : Angulo vertical de referencia zenital. N : Angulo vertical de referencia nadiral. α : Angulo vertical de referencia al horizonte. DH I-II : Distancia horizontal desde estación I a punto observado II. Di I-II : Distancia inclinada desde estación I a punto observado II. DN I-II : Diferencia de nivel entre estación I y el punto II. K : Constante estadimétrica (K= 100 m). Waldo Valencia Cuevas Académico 28

29 Las siguientes expresiones según la referencia del ángulo vertical con que los teodolitos sean fabricados, nos permiten determinar los parámetros necesarios para obtener la coordenada conocida como cota de un punto observado. DH I-II = KG Cos α 2 = KG Sin Z 2 = KG Sin N 2 Di I-II = KG Cos α = KG Sin Z = KG Sin N H I-II = DH I-II tg α = DH I-II / tg Z = - DH I-II / tg N DN I-II = hi I + H I-II - hm II T I-II = H I-II - hm II Cota II = Cota I + DN I-II para registro por diferencias de nivel entre estaciones Cota II = Cota I + hi I +H I-II hm II Cota II = Cota INSTRUMENTAL I + T I-II para registro por cota instrumental Toma de datos de terreno y cálculo de cota por diferencia de nivel. Estac. hi Pto. Angulo Obs. Horiz.(+) Vert.(Z) Estadía Ls Li hm D.H. D.N. Cota I 1,32 500,25 II 0,00 g 100,32 g 3,240 1,000 2, ,99-1,93 498, ,39 g 98,25 g 3,080 1,000 2, ,84 4,99 505, ,84 g 102,78 g 2,272 1,000 1, ,96-5,86 494, ,20 g 99,24 g 2,950 1,000 1, ,97 1,67 501,92 Los datos mas ennegrecidos son los antecedentes tomados en terreno o que se han asignados, el cálculo manual del registro debiera iniciarse en el siguiente orden: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora, dado que los ángulos vienen referidos al sistema centesimal. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), diferencias de nivel (D.N.) y Cotas. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro serían: DH= 100 * (Ls Li) * Sin Z 2 : DN= DH/Tan Z hm: Cota= DN Observación: En Basic Sin Z 2 = Sin Z * Sin Z Waldo Valencia Cuevas Académico 29

30 Toma de datos de terreno y cálculo de cota por cota instrumental. Est. hi Pto Obs Horiz.(+) Angulo Vert.(Z) Estadía Ls Li hm D.H. T INST. Cota PTO. I 1,32 501, ,25 II 0,00 g 100,32 g 3,240 1,000 2, ,99-3,25 498, ,39 g 98,25 g 3,080 1,000 2, ,84 3,67 505, ,84 g 102,78 g 2,272 1,000 1, ,96-7,18 494, ,20 g 99,24 g 2,950 1,000 1, ,97 0,35 501,92 El registro de datos es el mismo que en el caso anterior y el cálculo manual también es muy similar, salvo las expresiones propias de este registro: i) Seleccionar el MODE Gra en calculadora. ii) Identificar las expresiones en función del ángulo vertical zenital para calcular las distancia horizontales (D.H.), el valor de T, la cota instrumental ( = ) y las cotas de los puntos. iii) Si se cuenta con calculadora de programación Basic, las expresiones para completar el registro de datos serían: DH= 100 * (Ls Li) * Sin Z^2 : T= DH/Tan Z hm: Cota= T Observación: En Basic Sin Z^2 = Sin Z * Sin Z Condiciones y requisitos operacionales del teodolito. El teodolito o taquímetro es uno de los instrumentos topográficos mas completos y de gran utilidad en la ingeniería. Su adecuado uso, cuidado y manejo, permiten disponer de una valiosa herramienta para medir ángulos horizontales y verticales, obtener distancias horizontales, inclinadas y verticales, todos parámetros fundamentales para representar la superficie terrestre. Los elementos geométricos del teodolito deben cumplir las siguientes condiciones y requisitos de operación: 1. E.V.R. L.F. (P.S.) se cumple con instalación del equipo. 2. E.H. (A.T.) E.C. (A. T.) se logra con calibración del equipo 3. E.H. (A. T.) E.V.R. se logra con calibración del equipo E.V.R.: Eje Vertical de Rotación del instrumento. L.F. (P.S.) : Línea de Fe (Plato Superior). Waldo Valencia Cuevas Académico 30

31 E.H. (A.T.) : Eje Horizontal (Anteojo Topográfico) E.C. (A.T.) : Eje Colimación (Anteojo Topográfico). Figura 14: Teodolito en corte Elementos mecánicos del teodolito. Movimiento general (plato inferior). 1. Base nivelante. 2. Plato inferior. 3. Sistema de tornillos de fijación y tangencial. 4. Eje vertical del movimiento general (E.V.). 6. Círculo o limbo horizontal. 8. Plomada óptica. Movimiento de alidada (plato superior). 5. Sistema de tornillos de fijación y tangencial. 7. Eje vertical de movimiento de alidada. 9. Plato superior o alidada. 10. Eje horizontal del anteojo topográfico (E.H.) 11. Círculo o limbo vertical. 12. Sistema de tornillos del anteojo topográfico. 13. Ampolleta tubular del plato superior. 14. Anteojo topográfico Operaciones de terreno con el teodolito. El buen uso y manejo del teodolito en la ingeniería requiere tener presente tres operaciones básicas, por un lado está la correcta instalación sobre una estaca, clavo, o estación; el calar cero-cero, y el orientar el teodolito, estas dos últimas en algunos equipos pueden fusionarse en una sola operación. Waldo Valencia Cuevas Académico 31

32 1. Instalar el teodolito: es la operación que consiste en el hacer coincidir el Eje Vertical del instrumento con la cabeza de la estaca, a través de la plomada (óptica, mecánica, o vástago), accionando los tornillos nivelantes, nivelando el nivel circular con las patas de trípode, y finalmente nivelando la burbuja tubular con los tornillos nivelantes. 2. Calar cero-cero: una vez instalado se hace coincidir el cero del limbo o círculo horizontal con el cero del plato superior e inferior. 3. Orientar el teodolito: consiste en dirigir la visual cero-cero hacia un punto de coordenadas o dirección conocida. Figura 15: Teodolito en sistema modular para la instrucción. Para la instrucción de sus estudiantes de ingeniería algunas universidades europeas utilizan los teodolitos en el sistema modular, lo cual les permite didácticamente observar el funcionamiento de los círculos horizontal y vertical descubiertos, así como también el suministro de accesorios modulares les permite convertir el teodolito en un nivel de ingeniero, o en una alidada (alidada: todo elemento óptico o mecánico que sirve para trazar visuales). Waldo Valencia Cuevas Académico 32