DINÁMICA DE LAS PARTÍCULAS II: TRABAJO Y ENERGÍA (Año 2013)

Transcripción

1 DINÁMIC DE LS PRTÍCULS II: TRBJO Y ENERGÍ (ño 013) H. O. Di Rocco Facultad de Ciencias Exactas, UNCPB May, 013 bstract En esta clase continuamos introduciendo los principios de la Dinámica, la unidad fundamental de esta asignatura, con los conceptos de trabajo, energía y el principio de conservación de la energía mecánica, válido para sistemas conservativos. También se introduce el teorema generalizado para aquellas ocasiones en que aparecen fuerzas disipativas. NOT 1: estas notas NO reemplazan un libro de texto. Deben leerse adecuadamente los ejemplos resueltos en los libros de vuestra elección; para esta unidad resultan útiles aquellos indicados en las Referencias. NOT : Repasar la sección. de la clase de Cinemática, titulada Cuando tenemos a (x) : 1 INTRODUCCIÓN Hasta ahora hemos encontrado las siguientes magnitudes físicas: Z F; p; M = r F; L = r p; I = Fdt y sus relaciones F = dp dt ; M =dl dt ; I = p así como hemos dado varios ejemplos de su utilización. En principio pareciera que utilizando las leyes de Newton podemos resolver todos los problemas de la Dinámica. Sin embargo, la evolución de la Mecánica, con Euler, Lagrange y otros fue indicando, con el transcurso del tiempo, que la introducción de nuevas magnitudes derivadas podía facilitar la resolución de los antedichos problemas y permitió la generalización de dichos conceptos (momento o impulso, energía, etc.) a problemas de índole no mecánica. Por ejemplo, el concepto de energía, tiene importancia en todas las ramas de la Física (hablamos de energía asociada a las ondas sonoras, a las ondas electromagnéticas, a las ondas en los medios continuos, etc.), también el impulso puede asignarse a las ondas electromagnéticas, y así siguiendo. 1

2 De nición de trabajo El elemento de trabajo es una magnitud escalar que se de ne como el producto escalar (valga la redundancia) dw = F dr (= F vdt) siendo dr el desplazamiento elemental del punto de aplicación de la fuerza. El trabajo total, cuando la fuerza F actúa sobre la masa m entre los puntos y B se calcula como la integral de línea, que indicamos simbólicamente como! W = Z B F dr Z rb r F dr (3D); en 1D: W = Z B F (x) dx En forma totalmente equivalente, como lo que importa es la componente F T de F proyectada en la dirección de dr; F dr =F ds cos = F T ds; así que W = Z B F T ds: : Las unidades del trabajo son OJO: este dibujo está mal... [W ] = kg m s Nt m = Joule (J). Es claro que, al de nirse W como un producto escalar, hay muchas oportunidades en que la fuerza no trabaja o al menos alguna componente de la fuerza no trabaja. Por ejemplo, i) un cuerpo que se mueve en un plano horizontal con MCU; la fuerza es normal mientras que dr es tangencial, ii) un cuerpo que se desliza con MRU sobre una mesa horizontal: la fuerza peso y la normal no trabajan, sí lo hace la fuerza de roce.

3 .1 Potencia Se de ne en la forma P = dw dt = d dt (F dr) = d (F vdt) ; dt por lo que y las unidades son P = F v [P ] = kg m s 3 J s 1 Vatio (W ) en honor de James Watt, quien estableció experimentalmente la relación entre calor y trabajo. Es costumbre todavía, al hablar de la potencia de los motores, mencionar la magnitud caballo de fuerza o hp (horse power). Es una unidad anterior al establecimiento de las unidades MKS o cgs y la relación se de ne ahora así 1 hp 746 W ; por ejemplo, una plancha eléctrica, que disipa 500 W; consume en una hora, 5 10 W 3600 s = 1: J: Ejemplo: Es posible que la potencia de un Fórmula 1 sea similar a la potencia de un tractor. Sin embargo, ni el tractor es capaz de ir rápido ni el Fórmula 1 puede tirar de un arado. En el caso de una locomotora, por poner un ejemplo más grá co, la fuerza de arrastre está dada por la fuerza de roce F r entre las ruedas y los rieles (cosa que veremos al tratar del movimiento de los cuerpos rígidos) por lo cual se necesita un cuerpo con mucha masa para que F r sea grande. Esta es una condición necesaria y los motores se diseñan, entonces, adecuadamente. 3 Relación entre el trabajo y la nueva magnitud denominada energía cinética; teorema del trabajo y la energía cinética Escribamos, para una masa puntual m por lo cual dw = F dr = dp dt dr =dr dt Z W = mv dv: mdv =mv dv; Cuando una magnitud es vectorial, por ejemplo v, (aquí el símbolo v vale tanto para la velocidad como para un vector en general), el cuadrado del módulo v vale v = v v y vdv= v dv: Entonces mv mv dv =mvdv d 3

4 y W = Z B F dr = Z B Z vb mv mv dv = d = m v v B v : La expresión mv = de ne la magnitud denominada energía cinética, que se designa indistintamente mediante E c ; E K ; K:::(según el autor); por lo que el resultado anterior puede ponerse W = E c (B) E c () = E c ; válido en general, independientemente de cómo es F así como de la trayectoria r (t) : El resultado anterior se conoce como teorema del trabajo y la energía cinética. Puede considerarse que el trabajo es un método que permite transferir energía a un sistema (por ahora una partícula) aplicando una fuerza al punto material y produciendo un desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza. Qué nos dice el resultado anterior? En principio es una igualdad entre dos magnitudes de nidas casi de prepo. Para ir viendo la utilidad de estos conceptos, volvamos una vez más al sistema unidimensional masa-resorte. La fuerza sobre la masa vale, como sabemos, F = kx; por lo que, por un lado W = Z x por otra parte, siempre vale que x 0 ( kx) dx = k x 0 x ; W = E c = mv =! m v v0 por lo que, si v 0 = 0, podemos averiguar la velocidad v (x) como r k v (x) = m (x 0 x ); sin necesidad de resolver explícitamente las ecuaciones de movimiento. PREGUNT: cuál es el signi cado del doble signo en la solución anterior? Hemos encontrado al menos un ejemplo donde el uso de los conceptos de trabajo y de energía cinética nos permiten obtener resultados útiles. Más aún, si v 0 no fuese nula, m v v0 k = x 0 x y entonces m v + k x = m v 0 + k x 0 lo que indica que la suma de la energía cinética más la cantidad kx = se mantiene constante (una ley de conservación). 4

5 Veamos otro ejemplo. Queremos elevar una masa m desde el suelo (posición ) hasta una cierta altura h (posición B) con velocidad uniforme. En general, para una fuerza constante W = Z B F dr = F Z B dr = F (r B r ) ; así que, para la fuerza gravitatoria F = mg^ j; W = mg (y B y ) = mg y mg y B ; Sin embargo, por las condiciones en las que se levantó el objeto (a v cte), E c = 0. En principio, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas, el peso y la fuerza de nuestra mano, por lo tanto F neta = 0 y W = 0; no hay contradicción con E c = 0. Sin embargo, podemos cambiar nuestra pregunta en la forma Qué ha sucedido con el trabajo efectuado en contra del campo gavitatorio? De alguna manera ya sabemos por Cinemática que si dejamos el cuerpo a una cierta altura h, llega al suelo con velocidad v = p gh: Volveremos a ello en el 4. 4 Fuerzas conservativas; energía potencial Los dos ejemplos anteriores son prototípicos porque provienen de fuerzas que llamaremos conservativas. ntes de de nir este concepto, vamos a recordar que en Cinemática tratamos el caso cuando la aceleración viene dada en la forma a = a (x) ; en 1D o, más generalmente, a = a (x; y; z) : El resultado general se pone en la forma Z 1 v v0 x = a (x) dx x 0 por lo que, a manera de ejemplos, i) si a = g; entonces v + gh = v0 + gh 0 (caso del tiro vertical y caída libre) y ii) si a (x) = (k=m) x; entonces v +kx = (m) = v0 +kx 0= (m) (caso del oscilador armónico). En ambos casos, nos dicen que hay cantidades que, evaluadas en x 0 (o en h 0 ) y en cualquier otro punto genérico x (o en h) se conservan. Entonces, en vista de los ejemplos anteriores, decimos que una fuerza es conservativa cuando puede de nirse una función de la posición, denominada energía potencial E p (r) ; tal que, en forma diferencial: entonces, F dr = de p ; Z B Z B F dr = de p = E p () E p (B) = E p ; 5

6 independiente del camino recorrido. Podemos decir que el trabajo se almacena como energía potencial, y esta energía potencial puede convertirse nuevamente en trabajo 1. Por ejemplo, un bloque de masa m puede llevarse desde la parte inferior hasta la superior de un plano inclinado mediante una fuerza paralela al plano, subiéndolo con velocidad constante, o podemos subirlo verticalmente sin emplear la ventaja del plano inclinado. En ambos casos el trabajo vale W = mgh: Lo que sucede con el caso de la masa m que se levanta con v = cte y por lo tanto E c = 0; es que el trabajo se ha convertido en energía potencial. Todo esto implica que, para fuerzas conservativas (y solamente para fuerzas conservativas) vale la igualdad E c (B) E c () = E p () E p (B) E p () + E c () = E p (B) + E c (B) ; denominada principio de conservación de la energía mecánica. Como se verá en cursos más avanzados, una manera equivalente de saber cuándo una fuerza es conservativa es observar que si la masa realiza una trayectoria cerrada Z I F dr F dr =E p () E p () = 0; la integral curvilínea es nula. IMPORTNTE: es equivalente decir que una fuerza es conservativa cuando: i) el trabajo realizado es independiente del camino recorrido o, ii) en una trayectoria cerrada la integral curvilínea es nula. 4.1 La arbitrariedad del cero de energía potencial Es importante destacar que el "cero" de energía potencial se puede elegir arbitrariamente sin que cambie el valor de W = E p : El ejemplo más obvio es el de considerar una masa m ubicada sobre una mesa, a una altura h sobre el nivel del piso. Su energía potencial vale cero respecto de la mesa mientras que vale mgh respecto del suelo. 4. Dónde reside la energía potencial? La energía potencial NO puede asignarse a un solo objeto sino que es una propiedad del sistema de cuerpos que interactúan. Recordamos que, aunque estamos hablando de la Dinámica de una partícula, empezamos nuestro estudio de la Dinámica hablando de un sistema de dos cuerpos. La energía potencial no puede asignarse a ninguno de los cuerpos separadamente sino que es una propiedad conjunta del sistema. Notación: al igual que en el caso de la energía cinética, no hay una única notación para la energía potencial; se la suele denotar mediante E p ; U; V:::: 1 De ahí el nombre potencial: signi ca que potencialmente puede producir trabajo. Por ejemplo, una masa levantada hasta el tope en un plano inclinado podría "trabarse" y quedar allí. Esa energía almacenada produce trabajo cuando el mecanismo se destraba. 6

7 5 Cómo conocer F cuando E p es un dato? Por lo visto anteriormente, si conocemos F (r) ; entonces V = R F dr: hora queremos resolver el caso recíproco. Escribiendo F = F x i + F y j + F z k y dr =dxi + dyj + dzk; en la relación F dr = de p ; el primer miembro puede escribirse F dr =F x dx + F y dy + F z dz; por otra parte, si E p es una función E p (x; y; z) su diferencial vale, como se explicará en nálisis II de p dx dy dz; que tiene la forma de un producto de p i j k (dxi + dyj + dzk) ; igualando adecuadamente F x dx + F y dy + F z dx dy dz resulta F x ; etc.; entonces, se de ne la operación gradiente de una función escalar de manera tal F i j k grad E p = re p ; es un ejemplo de cómo obtener un vector dado un escalar. Más adelante se verá cómo obtener un escalar dado un vector (esta operación se llama divergencia) y cómo obtener un vector dado otro vector (esta operación se denomina rotor). Los conceptos de divergencia y de rotor son fundamentales para el estudio de los uidos y de los campos electromagnéticos. Es importante saber desde ya que la relación F = grad E p es válido en todos los sistemas de coordenadas, lo que di ere es, en cada sistema, la forma de calcular el gradiente. Una relación de suma importancia es la que hay entre la variación de una función y el gradiente: df = rf dr; en nuestro caso: de p = re p dr como puede verse más arriba. Evidentemente, en 1D, de p = (@E p =@x) idxi = (@E p =@x) dx: Si, de la anterior, quisiésemos calcular re p ; esto resulta re p = de p dn bn 7

8 SIGNIFICDO DEL GRDIENTE: El gradiente de una función f es un vector que en cada punto es ortogonal a la super cie f = cte pasante por el punto y con su versor bn indicando la dirección de la máxima variación de f: El nálisis Vectorial, estudiado en los distintos sistemas de coordenadas, es uno de los temas más importantes de la asignatura nálisis Matemático II. 6 Cuando no alcanza con la conservación de la energía para resolver problemas En este clásico ejemplo mostramos cómo usar combinadamente las leyes de Newton como la de conservación de la energía mecánica. Consideremos una bola que resbala sin rodar ( esto signi ca que no hay rozamiento..!) por un rulo de radio R desde una cierta altura h (punto D) por encima del punto más bajo del rulo (punto ). Pese a cierta arti cialidad del enunciado (no se considera el rozamiento), este problema es de importante valor didáctico. Queremos averiguar desde qué altura debe dejarse en libertad para que en el punto más alto del rulo (C) el rulo no ejerza fuerza sobre la bola. Variaciones de este problema guran en casi todos los textos de Física I. En el punto D la energía mecánica es puramente potencial: E D = mgh mientras que en ; si el origen de potencial está en un plano al que pertenece ; es puramente cinética: E = mv = por lo cual v = gh: 8

9 En cualquier otro punto genérico del rulo E(R) # = mv = 1 mv (R)+mgh(R)! v (R) = v gh (R) (o v = v (R)+gh (R) ); en el punto más alto, C; donde h = R; q v C = v 4gR: Si queremos que la fuerza normal N C sea nula, la única fuerza que queda es el peso mg; y en ese punto y con esa condición con lo cual mg = mv C R! v C = gr v = v C + 4gR = 5gR por un lado; como, por otro, v = gh resulta que h = 5 R: Esta es la altura a la que hay que dejar en libertad el cuerpo para que complete el rulo; si se lo lanza desde una altura menor, se desprenderá antes de llegar a C; para alturas mayores a :5 R; el cuerpo sufrirá una reacción del rulo sobre él; por ejemplo, en C, si N C 6= 0; mg + N C = mv C R Por qué no nos alcanza con los conceptos de energía? Porque la incógnita es una fuerza, y por lo tanto debemos hacer uso también de las leyes de Newton. 7 Curvas de energía potencial; tipos de equilibrio Podemos aprender cualitativamente muchas características de un movimiento unidimensional, analizando las curvas de energía potencial, estabilidad del movimiento, etc. En principio, supongamos una montaña rusa donde podamos pensar que su forma pueda expresarse mediante una función y = f (x) ; tal como la que se observa a continuación (la forma en cómo se construyó esta curva no es importante, ya que es cualitativa): o un alambre cuya forma es y = f (x) ; por el cual pasa una cuenta de collar... 9

10 f B D C Entonces E p (x) = mgy (x) y podemos averiguar primeramente en cuáles puntos el cuerpo estará en equilibrio (F = 0); esto ocurrirá cuando de p (x) =dx = 0; o sea en ; B; C; D: En y C el equilibrio es estable (mínimos relativos o locales) ya que un pequeño apartamiento de los puntos hace que el cuerpo tienda a volver al equilibrio; en B y D; por otra parte, el equilibrio es inestable, por las razones recíprocas a las indicadas. El tercer tipo de equilibrio, denominado indiferente ocurre, por ejemplo, en una porción horizontal de la montaña rusa. Estas consideraciones acerca de la forma de la curva y de los tipos de equilibrio pueden aplicarse a otras formas funcionales de E p (x) : Por ejemplo, para el oscilador armónico, donde E p (x) = kx =; el equilibrio es estable y el movimiento posible, oscilatorio. demás, si la energía total del oscilador es (p.e.: 8 [UE]), signi ca que el movimiento está acotado entre 4 [UL]. Nota: con UE y UL indicamos las correspondientes unidades de energía y longitud, respectivamente. x 10

11 y La energía potencial para el oscilador armónico. Como ejemplo de aplicación, se considera que la interacción entre dos átomos para formar una molécula diatómica, puede modelarse mediante una expresión 6 del tipo V (x) = E p0 r0 r ( r0 r )1 ; siendo r 0 la posición de equilibrio. x y x 1 La energía potencial para una molécula diatómica. 11

12 En todos los casos, dado el valor de la energía total y teniendo en cuenta que E c (x) = E E p (x) # 0; los puntos donde E E p (x) = 0 nos dan los puntos de retroceso y las posiciones permitidas de la partícula. 8 Movimiento rectilíneo bajo fuerzas conservativas Sea la energía mecánica dada por E = K (x) + V (x) ; entonces, dada V (x) es posible en principio encontrar x (t) ; analíticamente o tal vez numéricamente, si las integrales resultantes no pueden resolverse en forma cerrada. Escribiendo resulta E = m dx dt r dx (E = dt + V (x) V (x)) m o, lo que es lo mismo p mdx p = dt (E V (x)) por lo que, integrando Z x x0 dx p (=m) (E V (x)) = Z t 0 dt = t; si se puede resolver la integral tendríamos, entonces, x (t) : Para ver cómo funciona esto supongamos un movimiento en el que V (x) = cte; en este caso, como F =0; esperaríamos un M.R.U. Efectivamente, E V = K = mv = = cte. Entonces Z x x0 dx p (=m) K = t; 1 p (=m) K (x x 0 ) = t y como p (=m) K = p (=m) (mv =) = v resulta, en de nitiva x = x 0 +vt; como era de esperar. 9 Relación entre F y E p en coordenadas polares Las coordenadas polares son las más adecuadas para tratar los problemas de fuerzas centrales (movimiento planetario, movimiento de los electrones ligados a los núcleos). En estas coordenadas escribimos F =F r^r + F^; 1

13 mientras que el desplazamiento se descompone como por lo cual dr =dr^r + r d^ ; F r dr + F r d = de p : En coordenadas polares resulta además, como se verá en nálisis II que re p ^r + 1 p de p = re p dr + p r dr d e igualando F r ; F = p : Significado físico: estas expresiones nos sirven para ver que si E p = E p (r) ; p =@ = 0; F = 0 y la fuerza es puramente central: F =F r^r; como ocurre para el movimiento planetario alrededor del sol o del electrón alrededor de un protón en el átomo H. 10 Movimiento bajo fuerzas centrales conservativas Si el movimiento es central, éste ocurre en un plano (debido a la conservación de L; como hemos visto anteriormente); entonces, V = V (r) y E = mv =+V (r) : demás, sabemos que v = v r + v = dr d + r dt dt y que, siendo L = jlj = mrv = mr d=dt : d dt con todo esto, = L mr ; = 0 + Z t 0 d = L dt m r 4 ; L mr dt v = dr + L dt m r : r d = L dt m r ; 13

14 La energía total es, entonces, E = m dr + L dt mr + V (r) ; comparando con la expresión para el movimiento unidimensional, E = m (dx=dt) =+ V (x) ; podemos llamar energía potencial efectiva a la combinación y escribir de donde V ef (r) = E = m L mr + V (r) dr + V ef (r) ; dt r dr dt = m [E V ef (r)] y podemos obtener, al menos formalmente, una expresión idéntica a la vista anteriormente: Z x x0 dx p (=m) (E V (x)) = t! Z r r0 dr p (=m) [E Vef (r)] = t lo que nos da r (t) : Si queremos la ecuación de la trayectoria, es decir no r (t) sino r () ; podemos aplicar la regla de la cadena y pensar las cosas de esta manera: dr=dt = (dr=d) (d=dt) y, por lo tanto dr d = dr=dt d=dt = q m [E L mr V ef (r)] entonces, pasando de miembro e integrando r = mr L m [E V ef (r)]; Z r r0 dr q (m=l) r m [E = V ef (r)] Z 0 d = 0 : Esta solución, puramente formal, nos da la ecuación de la trayectoria en coordenadas polares. De cualquier manera, puede resolverse adecuadamente mediante métodos numéricos. Veamos cualitativamente el caso con V (r) = C=r : 14

15 NOT: En algunos libros se denomina potencial centrífugo al término V C = L m r ; ya que derivando, resulta la "fuerza centrífuga": "F C " = L m r 3 : 11 Fuerzas no conservativas; teorema generalizado del trabajo-energía Microscópicamente, es decir, a nivel molecular, todas las fuerzas son conservativas. Sin embargo, por razones termodinámicas que se verán oportunamente, desde el punto de vista macroscópico, las fuerzas externas que actúan sobre un sistema (por ahora, más que de sistemas, nos estamos ocupando de puntos materiales) pueden ser catalogadas como conservativas y no conservativas (distintos tipos de rozamiento): F = X F i = F C + F NC ; i 15

16 siempre vale que el trabajo para ir desde hasta B está dado por la variación K : W = K = (K B K ) : Por otra lado, el trabajo realizado por F C viene dado por (V que el trabajo realizado por F NC será designado por W 0: W = (V V B ) + W 0 : Entonces, igualando ambas expresiones para W que podemos escribir así (K B K ) = (V V B ) + W 0 (K + V ) B (K + V ) = W 0 : V B ) mientras Podemos llamar energía mecánica E mec a la combinación (K + V ) ; con lo que escribimos E mec (B) E mec () E mec = W 0 (de mec = F NC dr); (1) en forma diferencial, la anterior puede escribirse de mec = dw 0 : () Este valor de E mec es simplemente la suma (K + V ) y no tiene sentido decir que es la energía del sistema; E mec es simplemente un símbolo para indicar la combinación (K + V ) ; que hemos llamado energía mecánica. Por otro lado, W 0 mide la transferencia (o disipación) de energía que aparece, por ejemplo, en forma de calor. lgunos autores llaman al resultado, el teorema generalizado del trabajo-energía: el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica del sistema. Derivando la ec., obtenemos la potencia disipada de mec dt = F NC v: EJEMPLO. Un cuerpo cae desde una altura y 0 dentro de un medio viscoso, donde F NC = kv: En lo sucesivo podemos tratar con las respectivas magnitudes escalares: F NC F 0 = kv: Queremos calcular la tasa a la que se disipa (K + V ) ; o sea d (K + V ) =dt:partiendo de E = W 0 ; escribimos en forma diferencial d (K + V ) = dw 0 = F 0 dx: Entonces d 0 dx (K + V ) = F dt dt = kv : Hemos visto anteriormente que la velocidad satisface, en general v = mg + (v 0 mg=) exp m t ; 16

17 cuando la velocidad inicial es cero v = mg lim v = mg t!1 mg exp m t = mg h 1 exp i m t Entonces d dt (K + V ) = El segundo miembro tiende a mg h k 1 exp m t i : d dt (K + V )! k mg = m g ; un valor que no depende del tiempo. Es decir, d (K + V ) = cte dt por lo que estamos en un problema estacionario. La energía potencial gravitatoria perdida por el cuerpo se ha transformado en movimiento molecular en el uido: para largos tiempos se ha establecido el balance mg + F 0 = 0: 1 Revisión [3] Una vez estudiado este capítulo el estudiante debe poseer los siguientes conocimientos: 1. Conocer las de niciones de trabajo, energía cinética, energía potencial, potencia.. Saber distinguir entre fuerzas conservativas y no conservativas y conocer el criterio que se sigue para determinar si una fuerza es conservativa. 3. Saber calcular la función energía potencial a partir de la ley F(r): 4. Utilizar la ley de conservación de la energía mecánica para la resolución de problemas. 5. Saber utilizar el teorema del trabajo-energía cinética en la resolución de problemas. 6. Saber reconocer cuándo no alcanza con el teorema de conservación para la resolución de problemas. 7. Reconocer en qué condiciones una fuerza no realiza trabajo. 13 Preguntas [] 1. Dos resortes y B tienen constantes tales que k > k B ; en qué resorte se hace más trabajo si a) se estiran la misma distancia, b) se estiran aplicándoles la misma fuerza. 17

18 . IMPORTNTE: dos niños que van en un tren juegan a tirar y a recibir la pelota, depende la energía cinética de la pelota de la velocidad del tren? Estudiar cuidadosamente el problema 7.19 del Resnick-Halliday. 3. Qué ocurre con la energía potencial que pierde un ascensor al bajar desde la parte más alta de un edi cio hasta deternerse al nivel de la calle? 4. Dé ejemplos físicos de equilibrio inestable, estable, indiferente. 5. INTERESNTE: Explicar, usando las ideas de trabajo y energía, la forma cómo un muchacho logra producir oscilaciones de grandes amplitudes en una hamaca, a partir de una posición de equilibrio. 6. Se deja caer una pelota y se observa que rebota a una altura mayor a la altura original. Qué conclusión puede deducir de esta observación? References [1] lonso-finn [] Resnick-Halliday [3] Tipler 18