DECISIONES DE CONSUMO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE

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1 DECISIONES DE CONSUMO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE APLICACIÓN: MODELO DEL SEGURO Y DE CARTERA Contacto: Mª Covadonga De la Iglesia Villasol Departamento de Fundamentos del Análisis Económico I Universidad Complutense de Madrid

2 DECISIONES DE COSUMO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE - INTRODUCCIÓN - CONSUMOS CONTINGENTES - PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD - CURVAS DE INDIFERENCIA - CASOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD - EJEMPLO DE DECISIÓN DE CONSUMOS CONTINGENTES - MODELO DEL SEGURO - MODELO DE CARTERA

3 DECISIONES DE COSUMO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE. INTRODUCCION En situaciones de certidumbre no se distingue entre decisiones y consecuencias o resultados, En situaciones de incertidumbre una decisión determina un conjunto de posibles resultados, dependiendo de los estados del mundo o naturaleza, asociado a una distribución de probabilidad de que acontezca. Llamamos: N { } { } A = a = a,a,...a i i = 1 M 1 { } { } S = s = s,s,...s j j = 1 1 { ω } { ω, ω,..., ω } Ω= = k Q k = 1 1 N M Q conjunto de N posibles decisiones conjunto de M posibles estados del mundo conjunto de Q=N*M posibles consecuencias o resultados

4 DECISIONES DE COSUMO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE. INTRODUCCION Este conjunto de resultados, si no están valorados monetariamente, se utiliza una variable aleatoria que asigne un numero real a cada posible resultado: X: Ω R Q { } { ω ω ω } X = x = x ( Ω= ),x ( Ω= ),...,x ( Ω= ) k K =! 1 1 Q Q EJEMPLOS: Tirar un dado Ω= { 13,,, 45,, 6} Tirar una moneda Ω= { cara,cruz} Asociamos una variable aleatoria al experimento: { ω 1 ω 0} X = x( = cara) =,x ( = cruz) = 1 1

5 DECISIONES DE COSUMO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE. INTRODUCCION Se define estados del mundo o la naturaleza a una especificación completa de todas las características externas al agente que afectan al resultado de sus elecciones. Lógicamente el agente desconoce el estado del mundo que acontecerá, pero asigna un probabilidad de que acontezca a cada estado del mundo: M j = 1 p(s ) = 1 j Por tanto, cada decisión (a i ) define una distribución de probabilidad de consecuencias (w k ) dada la distribución de los estados del mundo (s j ). Es decir, si por ejemplo el experimento tiene tres posibles decisiones, y hay dos estos del mundo (con probabilidades ), tendremos: p(s 1) = p ;p(s ) = 1 p

6 DECISIONES DE COSUMO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE. INTRODUCCION a 1 Obtengo ω 1, si sucede s 1, lo que ocurre con probabilidad p(s 1) = p Obtengo ω, si sucede p(s ) = p 1 s, lo que ocurre con probabilidad a Obtengo ω 3, si sucede s 1, lo que ocurre con probabilidad p(s 1) = p Obtengo ω 4, si sucede p(s ) = p 1 s, lo que ocurre con probabilidad a Obtengo ω 5, si sucede s 1, lo que ocurre con probabilidad 3 p(s ) = p 1 Obtengo ω 6, si sucede s, lo que ocurre con probabilidad p(s ) = p 1

7 CONSUMOS CONTINGENTES El problema del consumidor es tomar una decisión antes de saber qué estado del mundo ocurrirá, y teniendo en cuenta solo una probabilidad SUBJETIVA asignada a cada estado del mundo. Así, cada decisión lleva asociada UNA LOTERÍA que ofrece resultados distintos con distintas probabilidades, según los distintos estados del mundo. Genéricamente, a lotería ω ω ω ω i i i 1 i ij im 1 M (,,..,,... ; p(s ),p(s ),...,p(s )) donde w ij es el resultado o la renta que obtiene el individuo si toma la decisión ai y se produce el estado del mundo j. Y particularizando para el caso de tres posibles decisiones, y dos estos del mundo tendremos:

8 CONSUMOS CONTINGENTES a1 L(a 1 1ω1, ω;p(s 1),p(s )) a L (a ω3, ω3;p(s 1),p(s )) a1 L 3(a 3 ω5, ω6;p(s 1),p(s )) Al conjunto de estas loterías, distribución de resultados y probabilidades de los distintos estados del mundo para cada decisión, se le denomina PLAN DE CONSUMOS CONTINGENTES. Esquemáticamente sería:

9 CONSUMOS CONTINGENTES a 1 s 1 a a 3 s ω1 ω ω3 ω4 ω5 ω 6 Para el consumidor, no es suficiente tener preferencias sobre los resultados, sino que deben definirse sobre las loterías o consumos contingentes.

10 CONSUMOS CONTINGENTES EJEMPLO: Un consumidor tiene programado hacer un viaje en Semana Santa. No sabe si sacar los billetes de avión por adelantado, a un precio de 50 o esperar a sacarlos en la oferta del último momento, a un precio de 115. Habrá plazas libres el último día, es decir, la compañía aérea sacará ofertas de último momento, o no? a Decisiones a 1 Sacar billete con antelación y pagar 50 Sacar el billete el último día y pagar 115 s Estados del mundos s 1 Hay plazas libres el último día No hay plazas libres el último día

11 CONSUMOS CONTINGENTES PLAN DE CONSUMOS CONTINGENTES ESTADOS DEL MUNDO DECISIONES a 1 : compra con antelación s 1, hay plazas libres el último día Probabilidad p w 11 = Hacemos el viaje (hemos tirado 135 ) s, no hay plazas libres el último día Probabilidad (1-p) w 1 = Hacemos el viaje (satisfacción por haber sacado los billetes con antelación) a : compra el último día w 1 = Hacemos el viaje (alegría por habernos ahorrado 135 ) w = No hacemos el viaje (gran decepción)

12 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD El agente cuando elige entre distintas opciones, en un entorno de incertidumbre, lo hace sobre loterías, y según sus preferencias puede mostrarse adverso, neutral o amante del riesgo, dependiendo de que su valoración sobre una renta segura (valor seguro) sea mayor, igual o menor que una renta o valor incierto, pero de igual valor esperado. I.- Para definir si un individuo es neutral, adverso o amante del riesgo, se compara la utilidad de un valor esperado con la utilidad esperada de una lotería. Así: i) La función de utilidad esperada que se utiliza, UE(Li), es del tipo Von Neumann y Morgenstern, y genéricamente es: UE(L ) = p U( ω ) i j ij j donde el subíndice i indica la lotería (1, ó 3...) y el subíndice j indica el estado del mundo.

13 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD Nótese que la utilidad esperada es una media ponderada de la utilidad de la riqueza en cada uno de los estados del mundo, donde las ponderaciones son las probabilidades asignadas a dichos estados. ii) La utilidad del valor esperado de una lotería es: U(E(L = i)) U pjωij j II- Alternativamente para definir si un individuo es neutral, adverso o amante del riesgo se analiza como se comporta un individuo ante el riesgo, a partir de la segunda derivada de la función de utilidad. Así, un individuo es adverso, neutral o amante del riesgo, respectivamente, si: U(w) < 0, = 0, > 0 w

14 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD Se define un individuo como: AVERSO AL RIESGO si obtiene más utilidad esperada con una riqueza cierta o segura, que con una incierta pero de igual valor esperado, es decir,, o lo que es lo mismo, si U(E(L )) > UE(L ) i Esta condición se cumple si la función de utilidad es cóncava, para lo cual: Uw ( ) < 0 w i U pw > j ij pu(w j ij ) j j

15 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD Gráficamente: U(w) U(w ) U(E(L)) UE(L) U(w 1 ) U(w) UEL ( ( )) > UEL ( ) Averso U <0 w 1 E(L) w w

16 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD Gráficamente, cualquier combinación lineal de las riquezas w 1 y w pertenece al segmento que une dichas riquezas, como por ejemplo el valor E(L), que mide el valor esperado, y representa la abscisa en el origen de dicho punto: E(L) = αw + ( 1 α )w α = p 1 ( 01, ) 1 siendo p 1 la probabilidad del estado del mundo s 1. La ordenada en el origen de la combinación lineal de las riquezas w 1 y w viene dada por la utilidad esperada: UE(L) = αu(w 1) + ( 1 α )U(w ) α = p 1 ( 01, ) En el gráfico anterior se comprueba que si la función de utilidad es cóncava, la utilidad de la combinación lineal de las riquezas w 1 y w, U(E(L)) es mayor que la combinación lineal de las utilidades de dichas riquezas, UE(L).

17 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD NEUTRAL AL RIESGO si obtiene igual si obtiene igual utilidad esperada con una riqueza cierta o segura, que con una incierta pero de igual valor esperado, es decir, o lo que es lo mismo, si U(E(L )) = UE(L ) i Esta condición se cumple si la función de utilidad es lineal: i U pw = j ij pu(w j ij ) j j U(w) = 0 w

18 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD Gráficamente: U(w) U(w ) U(w) Neutral U =0 UE(L)= U(E(L)) U(w 1 ) w 1 E(L) w w Si la función de utilidad es lineal, la utilidad de la combinación lineal de las riquezas w 1 y w, U(E(L)) es igual que la combinación lineal de las utilidades de dichas riquezas, UE(L).

19 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD AMANTE DEL RIESGO si obtiene menos utilidad esperada con una riqueza cierta o segura, que con una incierta pero de igual valor esperado, es decir, U(E(L)) i < UE(L) i, o lo que es lo mismo, si: U pw < j ij pu(w j ij ) j j Esta condición se cumple si la función de utilidad es convexa: U(w) w > 0.

20 PREFERENCIAS Y FUNCIONES DE UTILIDAD Gráficamente: U(w) U(w) U(w ) Amante U >0 UE(L) U(E(L)) U(w 1 ) w 1 E(L) w w Si la función de utilidad es convexa, la utilidad de la combinación lineal de las riquezas w 1 y w, U(E(L)) es menor que la combinación lineal de las utilidades de dichas riquezas, UE(L).

21 CURVAS DE INDIFERENCIA A partir de la función de utilidad esperada, U(E(Li)), si damos un valor concreto a la utilidad, K, tenemos la expresión de una curva de indiferencia: UE(L ) K p U(w ) = = i j ij j y particularizando para dos estados del mundo, con probabilidades p y 1-p: UE( L ) = K = pu(w ) + ( 1 p)u(w ) i i1 i Para hallar la pendiente de la curva de indiferencia, diferenciamos la expresión de la curva: du(w i ) du(w = 0 = 1 i ) due(l ) p dw + ( 1 p) dw dw dw i i1 i i1 i 0 = pu (w )dw + ( 1 p )U (w )dw i i1 i i

22 CURVAS DE INDIFERENCIA Reordenando términos, la pendiente de la curva de indiferencia, o Relación Marginal de Sustitución entre la renta en los estados del mundo y 1(RMS,1 ) es: dw pu (w i 1 = dw ( 1 p)u (w i1 UE( L ) i La pendiente de la curva de indiferencia es el cociente de las utilidades marginales, con el signo menos, ponderadas por las probabilidades de los estados correspondientes estados del mundo. Para analizar si la curva es estrictamente convexa, lineal o cóncava se estudia, por ejemplo: drms dw i1 1, ) )

23 CURVAS DE INDIFERENCIA Si la curva de indiferencia es estrictamente convexa: drms dw i1 1, < 0 el individuo sería ADVERSO AL RIESGO. Si la curva de indiferencia es lineal: drms dw i1 1, = 0 el individuo sería NEUTRAL AL RIESGO. Si la curva de indiferencia es estrictamente cóncava: drms dw i1 1, > 0 el individuo sería AMANTE DEL RIESGO U(w) < 0 w U(w) = 0 w U(w) > 0 w

24 CURVAS DE INDIFERENCIA Gráficamente: w i w i w i Adverso U <0 Neutal U =0 Amante U >0 wi 1 w i1 w i1

25 EJEMPLOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD Si du(w) dw RMS Uw ( ) = ln( w) UEL ( ) = pln w + (1 p)lnw 1 = < 0 w 1, pwi = ( 1 p)w i1 i i1 i Individuo Adverso al riesgo drms dw i 1, pw p w pw = 1 ( 1 p)w ( 1 p) w ( 1 p) w = < las curvas de indiferencia son estrictamente convexas respecto al origen.

26 EJEMPLOS DE FUNCIONES DE UTILIDAD Si Uw ( ) = w UEL ( ) = p w + (1 p)w du(w) 0 dw RMS 1, = p drms1, = = 0 ( 1 p) dw i i1 i Individuo Neutral al riesgo Si UW ( ) = w UEL ( ) = pw + (1 pw ) du(w) = > 0 dw RMS 1, i1 las curvas de indiferencia son lineales. i i1 i Individuo Amante del riesgo pw drms i1 1, p = = > 0 ( 1 p)w dw ( 1 p)w i i1 i1 las curvas de indiferencia son estrictamente cóncavas respecto al origen.

27 APLICACION FUNCIONES DE UTILIDAD EJEMPLO: Un individuo tiene una renta de 100, y puede participar en un juego en el que puede elegir entre sobres: en un sobre tiene una ganancia de 50, y con el otro tiene una pérdida (debe pagar) 50. Qué elige el consumidor? El juego planteado recoge un sencillo problema de elección de un individuo, donde los estados del mundo son ganar o perder 50, con la misma probabilidad de 0,5. La lotería correspondiente es: Lotería L (150, 50;0,5, 0,5) Si el individuo es averso y la función de utilidad del consumidor es: U(w ) = ln(w ) Individuo contrario a correr riesgos. Prefiere la utilidad de su riqueza cierta o segura a participar en 4605, > 4461, U(E(L)) > UE(L) el juego. UE(L) = 0, 5 ln , 5 ln 50 = 4, 461 U(EL)) = ln 100 = 4, 605

28 APLICACION FUNCIONES DE UTILIDAD Si el individuo es neutral y la función de utilidad del consumidor es: U(w) = w UE(L) = 0, 5ii , 5ii50 = 00 U(EL)) = i100 = = 00 U(E(L)) = UE(L) 1500 > U(E(L)) < UE(L) Se muestra indiferente entre participar en el juego o no. Si el individuo es amante y la función de utilidad del consumidor es: U(w ) = w Prefiere correr riesgos UE(L) = 0, 5i , 5i50 = 1500 y participar el juego con una riqueza U(EL)) = 100 = aleatoria o incierta a una riqueza segura

29 EJEMPLO DE DECISIÓN CONSUMOS CONTINGENTES EJEMPLO DE DECISIÓN CONSUMOS CONTINGENTES: Un individuo dispone de una renta de 4000 y compra una moto de trial por Su asesor le recomienda que asegure dicha moto, dado que según un informe policial la probabilidad de robo de motos ha aumentado alarmantemente hasta el 5%. Las preferencias de un individuo sobre la riqueza, w, vienen representadas por la función de utilidad: U(w) = ln(w ) Existen dos compañías especializadas en seguros de motos de trial: La compañía Segur ofrece seguros con primas del 15%, pero sólo asegura el 75% del precio de la moto. La compañía Ligur, que está llevando a cabo una campaña de captación de clientes, ofrece seguros completos a una prima del 5%.

30 EJEMPLO DE DECISIÓN CONSUMOS CONTINGENTES 1) Analizamos el plan de consumos contingentes del consumidor. ) Determinamos si el individuo asegurará la moto, y en este caso, con qué compañía lo hará. SOLUCIÓN 1. Analizamos EL PLAN DE CONSUMOS CONTINGENTES: Las decisiones, Ai, del consumidor son: no asegurar (A 1 ) o sí asegurar, y en este caso: asegurar con la compañía Segur ( A ) o asegurar con la compañía Ligur ( A 3 ). Los estados del mundo, sj, son: que le roben la moto ( s 1 ) o no se le roben (s ), que ocurren con probabilidades p=0,5 y 1-p=0,75 respectivamente.

31 EJEMPLO DE DECISIÓN CONSUMOS CONTINGENTES Si el seguro lo hace con la compañía Segur, a una prima del 15%: paga un recibo de 337,5, pues sólo asegura la moto en 50, correspondiente al 75% del precio de la moto (75% de 3000). Si le roban la moto (3000 ), la compañía le repone sólo 50, precio en el que estaría asegurada la moto. Si el seguro lo hace con la compañía Ligur, a una prima del 5%: paga un recibo de 750, pues asegura el total del precio de la moto. Si le roban la moto, la compañía le repone el precio total, Como es lógico, si el consumidor no asegura la moto: no tendrá que pagar ninguna prima a ninguna compañía, ysi le roban se queda sin la moto.

32 EJEMPLO DE DECISIÓN CONSUMOS CONTINGENTES Así, el plan de consumos contingentes del consumidor es: DECISIONES ESTADOS DEL MUNDO s 1, le roban Probabilidad p=0,5 s, no le roban Probabilidad (1-p)=0,75 A 1 : No asegura w 11 = =1000 w 1 =4000 A : Asegura con la Compañía Segur (Prima=15% de50) A 3 : Asegura con la Compañía Ligur (Prima= 5% de 3000) w 1 = ,5= 91,5 w 31 = = 350 w = ,5= 336,5 w 3 = = 350

33 EJEMPLO DE DECISIÓN CONSUMOS CONTINGENTES Por tanto, las loterías entre las que decide el individuo son: Lotería 1: L 1 : 1000; 4000; 0, 5; 0, 75 Lotería : L : 91,5; 336,5; 0,5;0,75 Lotería 3: L 3 : 350; 350; 0,5;0,75 El consumidor racional elige aquella lotería que le proporcione una mayor utilidad esperada. Si la función que representa sus preferencias sobre riqueza es U(w) =ln w, la función de utilidad esperada es: i j ij i1 i j UE(L ) = p ln(w ) = 05, ln(w ) + 075, ln(w ) Particularizando para las loterías del plan de consumos contingentes del ejercicio:

34 EJEMPLO DE DECISIÓN CONSUMOS CONTINGENTES UE(L 1) = 0, 5ln( 1000) + 0, 75ln( 4000) = 7, 947 UE(L ) = 05, ln( 915, ) + 075, ln( 3365, ) = 8084, UE(L 3 ) = 0, 5ln( 350) + 0, 75ln( 350) = 8, 086 Si ordenamos las distintas loterías por la utilidad esperada que proporcionan al individuo: UE(L ) > UE(L ) > UE(L ) , > 8084, > 7947, Este individuo debe asegurar la moto, pues obtiene mayor utilidad esperada que si no lo hace, independientemente de la compañía con la que contrate el seguro. Pero entre compañías, el seguro completo de la compañía Ligur le proporciona la mayor utilidad esperada.

35 MODELO DEL SEGURO RESTRICCION PRESUPUESTARIA Cuando el consumidor tiene la posibilidad de elegir una póliza de seguro abierto, puede elegir en cuanto quiere asegurar el objeto, de forma que la utilidad esperada sea máxima. Si los estados del mundo son que le roben o que ocurra el percance (s 1) o no (s ), que ocurren con probabilidades respectivas p 1 y p, Los posibles resultados, en términos de la riqueza del individuo serán, respectivamente w 1 y w, dependiendo de que le roben (ocurra el percance) o no. Siendo w la renta o riqueza inicial del individuo, podemos denominar R al precio (o valor) del objeto susceptible de ser asegurado, K al valor en el que se asegura dicho objeto, y β a la prima que cobra la compañía de seguros.

36 MODELO DEL SEGURO Cuando el consumidor contrata una póliza de seguros y paga por ella βk en cualquier estado del mundo, si le roban (o se produce el percance) la compañía le repone el valor en el que el objeto robado estaba asegurado. Así, el resultado que obtiene el consumidor con la decisión de asegurar el objeto en una cuantía K en los distintos estados del mundo es: w1 = w R + K βk w = w βk Combinando estas dos ecuaciones: β(w w + R) 1 w = w ó 1 β Expresiones que recogen el conjunto de las combinaciones de resultados (w 1,w ), para cada valor posible de K: w = w βr βw 1 β 1 RESTRICCION PRESUPUESTARIA

37 MODELO DEL SEGURO Como restricciones racionales tenemos: que la riqueza inicial del individuo nunca será inferior al valor del objeto a asegurar, que nunca podremos asegurar dicho objeto en un valor superior al precio del mismo, que la prima será positiva, es decir, que todo seguro supone un gasto para el individuo que lo contrata: 0 R 0 K β > 0 w R

38 MODELO DEL SEGURO Como K está acotado, analizamos los distintos resultados (w 1,w ) en los valores extremos de K: el seguro garantiza al Si K=R, w1 = w βk = w consumidor la misma renta en todos los estados del mundo. Es un seguro total. Si K=0, w1 = w R ; w = w el consumidor no asegura el objeto. La pendiente de la recta presupuestaria de la decisión de seguro óptimo es: dw dw 1 β = < 1 β 0, al ser β > 0

39 MODELO DEL SEGURO Para representar gráficamente la recta presupuestaria en el espacio positivo de (w 1,w ) utilizamos como referencia gráfica la línea de 45º, donde w 1 =w. w w No seguro K=0 w 1 =w w- β Seguro total K=R w-r w- β w 1

40 MODELO DEL SEGURO SEGURO OPTIMO El consumidor resuelve el siguiente problema de maximización condicionada, donde la función de utilidad esperada es del tipo Von Neumann y Morgenstern: MaxUE = p U(w ) = pu(w ) + ( 1 p)u(w ) w,w 1 sa : w = j = 1 j w βr βw 1 β j 1 1, siendo 0 R w, 0 K R, β > 0 Siempre que las preferencias del consumidor sobre la riqueza cierta sean estrictamente convexas, las condiciones de primer orden son:

41 MODELO DEL SEGURO Condiciones óptimas: dw dw β pu (w ) 1 = = dw dw 1 β ( 1 p)u (w RB UE w βr βw1 w = 1 β 1 1 ) La primera ecuación es la condición de tangencia entre la curva de indiferencia y la recta presupuestaria, y la segunda dicha recta. Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos los valores óptimos de w 1, w y K, que determina el seguro óptimo: * * * w (w,r,p, β ) ; w (w,r,p, β) ; K (w,r,p, β) 1

42 MODELO DEL SEGURO Gráficamente: w w w * K=0 w 1 =w w- β K=R w-r w 1 * w- β w 1

43 MODELO DEL SEGURO RELACION ENTRE β, p, Y EL EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR I.- El consumidor es AVERSO AL RIESGO. pu (w ) 1 Si β = p U (w β = 1 β ( 1 p) ) U (w ) = U (w ) 1 w w K=0 w1 = w Seguro total: K*=R w 1 =w w *=w- β K*=R w-r w 1 * =w- β w 1

44 MODELO DEL SEGURO Si β < p Reordenando: β pu (w ) 1 = 1 β ( 1 p)u (w p( 1 β ) U (w = ( 1 p) β U (w 1 > 1 como es averso, U < 0, por tanto: w < w w K=0 ) ) w 1 =w ) 1 U (w ) > U (w 1) w U(w) Sobreseguro: si no es posible, hará un seguro total : K*=R U es la pendiente w *=w- β K*=R w w 1 w w-r w 1 * = w- β w 1

45 MODELO DEL SEGURO Si β > p Reordenando: como es averso, U < 0 β pu (w ) 1 = 1 β ( 1 p)u (w p( 1 β ) U (w = ( 1 p) β U (w 1 ) ), por tanto: < 1 w ) > U (w ) < U (w 1) w 1 Seguro parcial: 0 K* < R w w K=0 Seg uro parcial w 1 =w w * w - β K=R w-r w 1 * w- β w 1

46 MODELO DEL SEGURO Qué implicación tiene la relación entre β y p para la compañía de seguros? Por cada póliza contratada, los beneficios esperados de la compañía son: e B = βk pk Valor esperado a pagar por la prima si acontece el percance Ingresos por la prima que subscribe Por tanto, si: p p e = β B = e > β B < 0 0 p e < β B > 0

47 MODELO DEL SEGURO II.- El consumidor es NEUTRAL AL RIESGO. Si las preferencias del consumidor sobre las loterías son lineales, se verifica que: UE(L ) = U(E(L )) = pu(w ) + ( 1 p)u(w ) El óptimo se obtiene al resolver: j = 1 w βr βw β i MaxUE = p U(w ) = pu(w ) + ( 1 p)u(w ) w,w 1 sa : w siendo = j 1 j 1 i 1 0 R w, 0 K R, β > 0 1 p Como RMSw, w =, es un valor constante, la condiciones de 1 1 p primer orden no son condición necesarias, y el óptimo se obtiene comparando la pendiente de la recta presupuestaria y de la curva de indiferencia:

48 MODELO DEL SEGURO si dw dw dw β p > > dw 1 β p 1 1 (1 ) RB UE No asegura el objeto p < β = K* 0 si dw dw dw β p < < dw 1 β p 1 1 (1 ) RB UE p > β K* = R Seguro Total si dw dw dw β p = = dw 1 β p 1 1 (1 ) RB UE p = β K (0, R) Seguro Parcial: el óptimo es cualquier combinación factible de la recta presupuestaria.

49 MODELO DEL SEGURO Gráficamente: w X=0 K* ( 0,R) w w K=R w 1 w 1 w 1 No asegura Seguro total Seguro parcial

50 MODELO DEL SEGURO Un individuo dispone de una renta de 4000 y compra una moto de trial por Sus preferencias sobre la riqueza, w, vienen representadas por la función de utilidad, U(w ) = ln(w ) Partimos de los resultados del ejercicio anterior en el que el individuo tiene contratada una póliza anual de seguro completo para la moto, con la compañia Ligur, y paga por ella una prima del 5%, cuando la probabilidad de robo de motos según la dirección general de seguridad es el 5%. Supongamos que el próximo mes caduca la actual póliza y, antes de firmar la renovación con la compañía actual, quiere estudiar la oferta que le ha presentado la compañía Tosegur: un seguro abierto con una prima del 0%. Con los datos del ejercicio, w=4000, R=3000 y β= 0,, las expresiones que definen la recta presupuestaria son:

51 MODELO DEL SEGURO w = K( 1 0, ) w 1 = , K Reordenando estas expresiones, tenemos: w , (w ) , w = = 08, 08, 1 1 Las restricciones adicionales son: 0 R K 3000 β > 0 Si K=R=3000 tenemos un seguro total: Si K=0 no se asegura, siendo w = , K = w. 1 w = = 1000 y w = La pendiente de la recta dw 0, 1 presupuestaria es: = = 05, dw 08, 11

52 MODELO DEL SEGURO Gráficamente: w 4000 No seguro K=0 w 1 =w 3400 Seguro total K= ,K 3400 w 1

53 MODELO DEL SEGURO Con los datos del ejercicio, dado que la función de utilidad que recoge las preferencias sobre la riqueza cierta es U(w ) = Ln(w ), el consumidor resuelve: MaxUE = p (w ) = 05, ln(w ) + 075, ln(w ) w,w 1 sa : w = j = 1 j ln , w 08, ij 1 1 Como las preferencias del consumidor son estrictamente convexas, las condiciones de primer orden son: 05, w 05, = w = 075, w 075, w , w1 w = 08, 1

54 MODELO DEL SEGURO Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: w 1 =450, w =3187,5, y sustituyendo en la expresión de la recta presupuestaria hallamos K: w w + R K = = = 406, 5 1 β 0, 8 Como K=406,5 el resultado obtenido no cumple la restricción: 0 K R El consumidor querría sobreasegurarse, pero esto no es factible, por lo que elegirá la combinación factible (w 1,w ) que más utilidad le proporcione, es decir el seguro total: K=3000 w = w = La utilidad esperada que alcanza con esta elección es: UE = 0, 5 ln( 3400) + ( 0, 75) ln( 3400) = ln 3400 = 8, 1315

55 MODELO DEL SEGURO Gráficamente: w 4000 Seguro total K=3000 w 1 =w , No factible Sobreseguro K>R w 1

56 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA RESTRICCION PRESUPUESTARIA Cuando un individuo puede invertir en una cartera mixta de activos, compuesta por distintos activos financieros, elegirá aquella composición que proporcione la máxima utilidad esperada. Consideramos la decisión de un individuo entre dos tipos de activos financieros, los activos fijos (depósitos a plazo, letras del tesoro, etc) y los activos variables (acciones, fondos de inversión, dividendos, etc). Denominamos r al tipo de interés o rendimiento que percibirá el consumidor por el capital invertido en el activo fijo, y e 1, e respectivamente al que percibirá el consumidor por su activo variable si la Bolsa tiene una etapa alcista (estado s 1 ) o se hunde (estado s ). En general se cumplirá que la rentabilidad de un activo variable es mayor que la del activo fijo en el estado favorable, y menor en el desfavorable, es decir, e1 > r > e

57 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA Si el consumidor invierte en activos variables una parte, X, de su riqueza, W, el resultado que obtiene el consumidor en los distintos estados del mundo es: w 1 = (W X)( 1+ r) + X( 1+ e 1) w = (W X)( 1+ r) + X( 1+ e ), donde w 1, w indica, respectivamente, la riqueza o renta del individuo en el estado del mundo 1 (la Bolsa tiene una etapa alcista) o (la Bolsa tiene se hunde). En cada estado del mundo, el primer término (segundo) recoge el capital y los intereses de la inversión en el activo fijo (variable).

58 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA Reordenando: w1 = W( 1+ r) + X(e1 r) w = W( 1+ r) + X(e r) Combinando estas dos ecuaciones: w e r e r w e1 r e1 r = W( 1+ r) Expresiones que recogen el conjunto de resultados (w1,w), dado un valor de X RESTRICCION PRESUPUESTARIA Las restricciones racionales imponen que la inversión en el activo variable (o fijo) nunca será superior a la riqueza inicial del individuo 0 X W

59 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA Como el valor de X está acotado, los distintos resultados (w 1, w ) en los valores extremos de X son: invierte toda su Si X=W w1 = W( 1+ e 1); w = W( 1+ e ) riqueza en el activo variable siendo w 1 >w Si X=0 w = W( 1+ r) = w 1 invierte toda su riqueza en el activo fijo, y garantiza la misma riqueza independientemente de la evolución de la Bolsa. La pendiente de la recta presupuestaria de la cartera óptima es: dw dw 1 e e 1 r r = < 0, al ser e 1 <r.

60 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA Gráficamente: w W(1+r) Invierte todo en Activo Fijo X=0 45º Invierte todo en Activo Variable X=W W(1+e ) W(1+r) W(1+e 1 ) w

61 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA OPTIMO DEL CONSUMIDOR Para hallar la cartera óptima el consumidor resuelve el siguiente problema de maximización condicionada: MaxUE(L) = pu(w 1) + ( 1 p)u(w ) w 1,w e r e r sa : w = W ( 1+ r ) 1 + w 1 e1 r e1 r siendo 0 X W Si el consumidor AVERSO AL RIESGO, sus preferencias son estrictamente convexas, las condiciones de primer orden son: dw dw e r pumg1 = = dw dw e1 r ( 1 p)umg RB UE e r e r w = + + W( 1 r ) 1 w1 e1 r e1 r 1 1

62 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA, donde la primera de las ecuaciones es la condición de tangencia entre la curva de indiferencia del consumidor y la recta presupuestaria, y la segunda ecuación es dicha recta. Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene w 1, w y X, que determinan la cartera óptima del consumidor * * * w (W,e,e,r,p); w (W,e,e,r,p); 1 X (W,e,e,r,p) Si el consumidor es NEUTRAL AL RIESGO, sus preferencias son lineales, RMS w,w 1 1 p = p y el óptimo se obtiene comparando la pendiente de la recta presupuestaria y de la curva de indiferencia.

63 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA Caben distintas situaciones: si dw dw e r > = > p X dw dw e r ( p) RB UE 0 invierte todo en activo fijo. dw dw e r < = < p si X W dw dw e r ( p) RB UE dw dw e r = = p si X ( 0,X ) dw dw e r ( p) RB UE invierte todo en activo variable el óptimo es cualquier combinación factible de la recta presupuestaria: cartera mixta.

64 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA Gráficamente: w w w X ( 0,W) X=0 X=W Invierte todo en Activo Fijo w 1 w 1 Invierte todo en Cartera w 1 Activo Variable mixta

65 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA EJEMPLO DE CONSUMOS CONTINGENTES Dos compañeros de trabajo (Antonio y Marcos) han ganado el gordo de la lotería de Navidad, un premio de cada uno. Las circunstancias personales y las preferencias de estos individuos sobre la renta o riqueza, w, son bien distintas: así, las preferencias de Antonio y Marcos vienen representadas respectivamente por las funciones de utilidad U A (w)=w 1/, U M (w)=0,w. Los informes económicos estiman que la probabilidad de que la economía tenga una evolución creciente es del 35%, y para invertir su premio consultan a un asesor fiscal que les recomienda hacerlo en los siguientes activos financieros: Activo variable, con una rentabilidad del 18% si la Bolsa mantiene una etapa alcista, o una pérdida del 4% si la Bolsa entra en una fase de recesión (se hunde). Activo fijo, con una rentabilidad del % independientemente de la evolución de la Bolsa.

66 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA I- Si las entidades financieras no admiten establecer una cartera de activos mixta, analizamos el plan de consumos contingentes, indicando si los individuos invertirán o no, y en su caso en qué activo invertirán. II- Si suponemos que Antonio y Marcos pueden invertir en una cartera de activos mixta: 1- Analizamos y representamos la recta presupuestaria de los individuos. - Determinamos cuál será la cartera de activos óptima para cada uno de los individuos. SOLUCIÓN Los estados del mundo son: que la Bolsa (Economía) tenga una etapa alcista ( estado s 1 ) o que se hunda (estado s ), que ocurren con probabilidades respectivas p 1 y p. La riqueza del individuo en los distintos estados del mundo serán respectivamente w 1 o w, dependiendo de que la Bolsa tenga o no una etapa alcista.

67 MODELO DE DETERMINACIÓN DE CARTERA Como ambos individuos tienen la misma renta y se enfrentan a las mismas decisiones, sus planes de consumo contingentes serán también iguales: Si el consumidor no invierte en ningún activo, no obtiene ni rentabilidad ni pérdidas. Si invierte el premio, la rentabilidad que obtenga dependerá del activo financiero en que invierta: Con el activo fijo asegura una rentabilidad del %, de forma que independientemente del estado de la naturaleza obtiene ( 1+ 0, 0) Con el activo variable, si la Bolsa tiene una etapa alcista obtendrá ( 1+ 0, 18) y si la Bolsa se encuentra en una etapa recesión: ( 1 0, 04)

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