Manual de teoría: Trigonometría Matemática Bachillerato

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1 Manual de teoría: Trigonometría Matemática Bachillerato Realizado por José Pablo Flores Zúñiga Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página

2 Contenido: 4) Trigonometría 4. Trigonometría Básica 4. Funciones Trigonométricas 4.3 Trigonometría en el plano Cartesiano 4.4 Identidades Trigonométricas 4.5 Ecuaciones Trigonométricas Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página

3 4. Trigonometría Básica Trigonometría Es la hipotenusa son catetos CB CA Y AB Razones trigonométricas Razones inversas Razón Fórmula Inversa Fórmula sen θ catetoopuesto csc θ hipotenusa hipotenusa cateto opuesto cos θ catetoadyacente sec θ hipotenusa hipotenusa cateto adyacente tan θ catetoopuesto cot θ cateto adyacente cateto adyacente cateto opuesto Ejemplo: Calcular la medida de x según la figura 5 csc 65º x 5 x 3,59 cm csc 65º Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 3

4 4. Funciones trigonométricas Los valores de los ángulos son en π radianes Función Seno f ( x) senx Dominio: IR, Periodo π Rango: [ ] Interseca al eje y en ( 0,0) Gráfica: y x - - Función Coseno f ( x) cosx Dominio: IR, Periodo π Rango: [ ] Interseca al eje y en ( 0,) Gráfica: y x - - Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 4

5 Función Tangente f ( x) tanx π Dominio: IR + kπtalque Codominio IR Periodo π Interseca al eje x en x kπ k Z conk Z Gráfica: 0 y x Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 5

6 4.3 Trigonometría en el plano cartesiano Plano cartesiano Ángulos : Ángulo positivo: si la rotación es sentido contrario a las manecillas del reloj. Ángulo negativo: si la rotación va en sentido de las manecillas del reloj. Ángulo cuadrantal: si el lado final de un ángulo coincide con un semieje coordenado. Ángulo de referencia: es el ángulo positivo que forma con el semieje x. Ángulo Coterminal: es el ángulo que falta para completar una revolución Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 6

7 Valores positivos para las funciones trigonométricas: Existe una frase para aprendérselas es: todos sentimos tantas cositas. Es una dirección positiva y recordar además las inversas. Calculo de razones trigonométricas: π π π Para los valores de ángulos:, y o sea 45º, 60º y 30º se trabajan con triángulos especiales: Para ángulos superiores se trabaja con el ángulo de referencia y el valor va a dar positivo o negativo dependiendo la posición en el plano cartesiano. También hay valores para ángulos cuadrantales según la siguiente tabla. También se pueden calcular con una calculadora científica moderna y si el valor le da error matemático es porque es un valor infinito: Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 7

8 θ sen θ cos θ tan θ csc θ sec θ cot θ 0º º º º º 0 0 Ejemplos Calcular el valor sen 50 º + cos 35º El ángulo de referencia para 50º es 30º y el ángulo de referencia para 35º es 45º además al estar en el IV cuadrante el coseno es positivo. Es equivalente la expresión a: sen 30 º + cos 45º Utilizando los triángulos especiales: sen30º cos 45º sen30º + cos 45º + + Calcular el ángulo coterminal para un ángulo de 0º para completar la revolución falta 0º-360º -50º Cuanto es: ( sen 330º ) 3 El ángulo de referencia de 330º es 30º como esta en el IV cuadrante el valor de seno es negativo: Es equivalente a ( sen30º ) 3, sen 30 º Entonces: 3 8 Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 8

9 En el círculo trigonométrico el radio tiene el valor de una unidad Ejercicios Propuestos: Determinar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo θ si ( x, y) es un punto del lado final de dicho ángulo ) (,) ) ( 3,4) 3) ( 5, ) 4) ( 8, 6) 5, 6 5) ( ) Determinar el cuadrante en que termina el ángulo si: ) senθy cosθ son ambos negativos ) senθy cotθ son ambos positivos 3) tanθ y cscθ son ambas negativas Hallar la medida del ángulo de referencia para: 5 ) π 3 5 ) π 4 Encontrar el valor exacto para las funciones trigonométricas: ) sen 0º ) tan 35º 7 3) cot π 4 Resuelva las operaciones dando una respuesta exacta: ) sen 45 º + sec 0º csc 60º + cot 45º ) cot 70º + cos 90º tan80º cos80º + sen 60º + sec 30º 3) cos 360º ( sen 45º + cot 30º ) + sec60º Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 9

10 4.4 Identidades trigonométricas: Por cociente senθ tanθ cosθ cosθ cot θ senθ Pitagóricas sen θ + cos θ + tan θ sec θ + cot θ csc θ Ángulos negativos sen( θ ) senθ cos ( θ ) cosθ tan( θ ) tanθ csc( θ ) cscθ sec ( θ ) secθ cot θ cot ( ) θ Cofunciones sen ( 90 º θ ) cosθ cos ( 90º θ ) senθ tan ( 90º θ ) cotθ cot ( 90º θ ) tanθ csc ( 90º θ ) secθ sec 90º θ csc ( ) θ recíprocas csc θ senθ sec θ cosθ cot θ tanθ Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 0

11 Para realizar este tipo de ejercicios no existe ningún método que permita llegar a la respuesta buscada, solamente se pueden hacer transformaciones mediante las identidades y sólo se logra satisfactoriamente con abundante práctica de esta. Ejemplos: comprobar que sec x csc x sec x + csc Entonces resolvamos sec x + csc x sec x + csc + cos x sen x sen x + cos x cos x sen x Recuerde que heterogéneas cos x sen x cos x sen x sec x csc x Comprobar que tan θ cotθ cotθ cosθ senθ senθ tanθ cosθ x x Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página

12 Demostrar que cos β ( tan β + cot β ) csc β cos β ( tan β + cot β ) cos β tan β + cos β cot β senβ cos β cos β + cos β cos β senβ cos β senβ + senβ sen β + cos senβ csc β senβ β + sen sen cos Demostrar que: ( α )( α ) α ( + senα )( senα ) Por fórmula notable : sen α sen cos α α cscϑ Demostrar que cot ϑ secϑ cscϑ secϑ sen ϑ cosϑ cosϑ cotϑ senϑ Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página

13 cosz Demostrar que tan z + secz + senz cosz tanz + Resolvemos la suma heterogénea + senz tanz( + senz) + cosz + senz tanz + tanzsenz + cosz + senz senz senz + senz + cosz cosz cosz + senz senz + sen z + cos cosz + senz senz + cosz + senz cos z secz Demostrar que sen ( 90 º ) sec sen ( 90º α ) secα cosα secα cosα cosα z α α Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 3

14 Ejercicios Propuestos Demostrar las siguientes identidades ) ( sec x + tanx)( senx) cosx tanx cotx ) tanx secx cscx cosx 3) tan x + sec x 4) + csc x + cosx cosx 5) ( + cosv)( cosv) sen v 6) csc η sen η cotη cosη sec ρ 7) sen ρ sec ρ tan ω 8) cos ω + tan ω senα + senα 9) ( ) tanα secα 0) cosx + senx senx cosx Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 4

15 4.5 Ecuaciones Trigonométricas Consejos para resolver ecuaciones trigonométricas Repasar resolución de ecuaciones vistas en álgebra Utilizar identidades trigonométricas para convertir la ecuación en términos de una sola función trigonométrica preferiblemente seno o coseno. Factorizar si es posible. Resolver la ecuación Al encontrar la solución inmediata se determina la posibilidad de encontrar más soluciones. Ejemplos: I) x cos x 0 0,π sen x ( sen x) 0 Se utilizó una identidad sen x + sen x 0 Aplicación de álgebra sen x sen x senx ± x ±45º Trabajando sen x es positivo y es positivo en el I y II cuadrante El ángulo de referencia de 45º es 45º Y colocamos el ángulo de referencia en el segundo cuadrante dando un ángulo de 35º. De manera análoga trabajamos con sen x es negativo. La solución se da la medida de ángulos en π radianes por lo que hay que convertir las soluciones: sen en el intervalo [ ] Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 5

16 3 5 7 S π, π, π, π º φ + cosφ II) resolver: sen ( ) 3 en el intervalo [ 0,π ] sen ( 90 º φ ) + cosφ 3 cos φ + cosφ 3 Aplicando identidades cosφ 3 cos φ 3 φ 30º El coseno es positivo. En el plano cartesiano es positivo en I y IV cuadrante por lo que falta la solución del IV cuadrante El ángulo de referencia de 30º es 30º Ahora colocamos el ángulo de referencia en el IV cuadrante y el ángulo formado es de 330º Damos la solución en π radianes: III) Resolver cot + cotα cot α 0 α 70º S π, π α en el intervalo [ 0,π ] El ángulo de referencia de 70º es 90º 90º también es solución. Ahora damos la solución en π radianes: 3 S π, π Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 6

17 sen en el IV) Resolver la ecuación: θ 5cos( 90º θ ) intervalo [ 0,π ] sen θ 5cos( 90º θ ) sen θ 5senθ + 6 0Utilizamos la identidad de cofunción Y note que es una ecuación cuadrática para visualizarla decimos que sea x senθ y sustituimos en la ecuación: x 5x x 3 x Ya encontrado el valor de x regresamos a la ecuación trigonométrica: sen θ 3 Y sen θ Puesto que el seno tiene un valor máximo de, las dos ecuaciones no tienen solución: S Ø V) Resolver la ecuación: sen α senα cosα 0 en el intervalo [ 0,π ] sen α senα cosα 0 senα ( cosα ) 0Factorizando por factor común Salen dos ecuaciones: sen α 0 y cosα 0 Si sen α 0 α 0º El ángulo de referencia es 0º y el seno es positivo en el segundo y primer cuadrante por lo que 80º es solución. Si cosα 0 cosα cosα α 60º El ángulo de referencia de 60º es 60º y el coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante por lo que el ángulo que tiene uno de referencia en el cuarto cuadrante es 300º π 5π por lo que la solución es radianes: S 0,, π, 3 3 Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 7

18 Ejercicios Propuestos: Resolver las siguientes ecuaciones en el intervalo [ 0,π ] ) 4cos x 3 0 tana ) cota 3) sen α 0 4) sen α + 0 5) cos β + 0 6) ( tanx )( 4sen x 3) 0 7) sen λ csc λ 8) 3 + sen θ 0 9) sen a + sena 6 0 0) cos β + cos β 0 ) cos ε 3 + 3senε ) 4 cotθ 3 csc θ 3) 5sen β cos β 4) 3 sec α 4 tan α Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 8

19 Anexos Teorema de Pitágoras Sea un triángulo rectángulo en el cual c es la medida de la hipotenusa, a y b las medidas de los catetos: c a + b Triángulos Especiales Triángulos especiales para uso de trigonometría Ley de Senos y Cosenos Ley de Senos Ley de Cosenos a b c a b + c bc cosa sena senb senc Trigonometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 9

20 Tigronometría: José Pablo Flores Zúñiga Página 0