Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( x) = f( x) dx = Integral definida

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1 Concepto de integral definida: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA INTEGRAL DEFINIDA Sea una función continua definida en [a, b]. Supongamos que dividimos este intervalo en n subintervalos : [a, ], [, ], [, ]..., [ n, n ], [ n,b], podríamos calcular la suma de todas las áreas de los rectángulos superiores e inferiores y obtendríamos : S sup (f) = M ( )+ M ( )+ M ( )+... M n ( n n ) siendo M, M, etc. los máimos de f en cada uno de los intervalos. S inf (f) = m ( )+ m ( )+ m ( )+... m n ( n n ) siendo m, m, etc. los mínimos de f en cada uno de los intervalos. Lógicamente S inf < Área de f() < S sup Cuando n tiende a infinito es decir, cuando aumenta el número de subintervalos entonces: Lim Sinf = Lim Ssup = Área de f( ) = f( ) d = Integral definida n n Si la función está por debajo del eje la amplitud de los intervalos sigue siendo positiva, pero las M i y las m i son negativas, por lo que la suma dará una cantidad negativa y por tanto el área será negativa. En este caso se debe tomar el valor absoluto. b a 445

2 Propiedades de la integral definida: (interpretación geométrica muy sencilla) b c b ª f() d= f() d+ f() d a a c a ª fd () = a b ª f() d= f() d a a b Teorema fundamental del cálculo integral: (relación entre integral definida e indefinida) Definimos la siguiente función: s () = f() d y por lo tanto a +Δ s ( +Δ ) = f( d ) a ΔS = S(+Δ) S()= +Δ () a f d () a f d +Δ = f() d= fc () Δ Δ S = fc () Δ Δ s lim = lim fc ( ) Δ Δ Δ S'()=f() pues c tiende a cuando incremento de tiende a cero. Por lo tanto S() es una primitiva de f(). Regla de Barrow: Sea S() y F() dos primitivas de f() que se diferencian lógicamente en una constante. s () = f() d= F () + k a Si =a entonces S(a) = = F(a) +k, luego F(a) = k por lo tanto: 446

3 s () = f() d= F () + k= F () Fa () a INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Si calculamos toda el área encerrada en el intervalo [a, b]: f() d= Fb () Fa () Nota: Si f es continua en, y F es cualquier antiderivada de f, entonces b a ( ] b a f ( d ) = F( ) = Fb ( ) Fa ( ) b a Cálculos de áreas: Aplicaciones de la integral definida a) Área entre una curva y = f ( ) y el eje X Si para calcular el área entre una curva y = f ( ), el eje X, nos limitamos a obtener el b a valor de la integral f ( ) d, donde las límites de integración son los cortes que tiene la curva con el eje, nos eponemos a equivocarnos, pues la integral compensa áreas positivas y negativas y su valor no coincide con lo que usualmente llamamos área. Si una curva cruza el eje tendrá una parte positiva y otra negativa. Si queremos calcular el área total debemos de calcular los puntos de corte con el eje X, y calcular el área de la parte de arriba y la de abajo. El área total será la suma de todas las áreas en valor absoluto. 447

4 Es conveniente seguir estos pasos:. Resuelve la ecuación ( ) = INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA f para averiguar los puntos de la curva con el eje X.. Selecciona las raíces que estén entre ay b y ordénalas de menor a mayor. Por ejemplo: a< < < < b. Se calcula el valor absoluto de la integral definida en cada tramo que queda a un mismo lado del X y se suman los resultados, es decir: b ( ) ( ) ( ) ( ) S = f d + f d + f d + f d a b) Área entre una curva y= f ( ), el eje X y limitada por dos abscisas. Para calcular el área entre una curva y = f ( ), el eje X y dos abscisas, ay b, se obtiene b a el valor de la integral f ( ) d,, donde los límites de integración están representados por las abscisas dadas. Que a su vez limitan el área buscada. Nota: Se debe tomar en cuenta las observaciones anteriores para los cálculos de áreas. c) Área de una región entre dos curvas f ( ), g( ) Si f y g son continuas en [a, b] y g() f() para todo en [a, b] entonces el área de la b A= [ f g( )] d región encerrada por las gráficas de f y g es ( ) a 448

5 Donde los limites de integración son los valores de las abscisas en los puntos de corte entre las curvas dadas. Los pasos a seguir son los siguientes: ) Se calculan los puntos de corte de ambas curvas resolviendo la ecuación f () = g () ) Ordenamos las abscisas de los puntos de corte de menor a mayor. Por ejemplo: < < ) Se grafican las funciones (se recomienda que utilice los criterios de las derivadas) Nota: Para el intervalo formado por[, ] se cumple que f ( ) g( ) para toda, entonces al área de la región limitada arriba por ƒ () y abajo por g ( ), es ( ) [ f g( )] d Para el intervalo formado por[, ] se cumple que f ( ) g( ) área de la región limitada arriba por g () y abajo por f(), es ( ) [ g f( )] d para toda, entonces al ) Se calcula el valor absoluto de la integral definida de la función diferente en cada uno de los tramos obtenidos y se suma los resultados. Para este caso: ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) A = f g d + g f d d) Área de una región entre dos curvas f ( ), g( ) y limitada por rectas verticales Si f y g son continuas en [a, b] y g() f() para todo en [a, b] entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales = a y = b es: b b b ( ) ( ) [ ( ) ( )] a a a A = f d g d = f g d 449

6 b ( ) A = [ f g( )] d a INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Definición Si ƒ y g son funciones continuas y si ƒ ( ) g ( ) para toda de [a, b], entonces al área de la región limitadaa arriba por ƒ ( ), abajo por g ( ), a la izquierda por la recta = a y a la derecha por la recta = b es: b ( ) A = [ f g( )] d a RESUMEN DE CASOS PARA CÁLCULO DE ÁREAS. ) Sea y= f( ) > en todo el intervalo correspondiente al recinto que encierra el área a determinar. Nos interesa el área determinada entre la curva mencionada, el eje de abscisas y las rectas verticales = ay = b Cuando el valor de una función continua es positivoo en el intervalo [ ab, ] (o sea que la gráfica de f se encuentra por encima del eje ), el área que está acotada por f, el eje, b = a y= bse determina resolviendo A = f ( ) d a a) Determine el área determinada entre f ( ) = 6+ ; = ; = 5 y, el eje de abscisas. la curva, las rectas dadas, a) Se analiza la función según criterios de las derivadas. Nota: utilizaré software matemáticos para facilitar los cálculos, los procedimientos de los análisis están publicados en la PARTE II de la unidad I. 45

7 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Nota: la epresión # es la derivada y la #5 Intervalos F() F () + Resumen Decrece Mínimo Crece b) se grafican las funciones y las rectas dadas. c) Se calcula el área correspondiente resolviendo la integral 5 A = ( 6+ ) d = + 5 = 8 u b) Determine el área determinada entre la curva, las rectas dadas f ( ) = 6 ; = ; = 5 y el eje de abscisas. a) puntos de corte de una curva con el ejee X: 45

8 Los puntos de corte son:,; 6, b) Se analiza la función según criterios de las derivadas. Nota: la epresión #5 es la derivada y la #7.. Intervalos F() F () Resumen, + Crece 9 Máimo, decrece c) se grafican las funciones y las rectas dadas. d) Se calcula el área correspondiente resolviendo la integral A= (6 ) d= = u 45

9 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ) Cuando el valor de una función continua f es negativo en el intervalo [ ab, ] (o sea que la gráfica de f se encuentra por debajo del eje ), el área que está acotada por f, el eje, b = a y= bse determina resolviendo A = f ( )d. a c) Determine el área encerrada f ( ) = 6 ; = ; = 5 y el eje. entre la curva, las rectas dadas a) puntos de corte de una curva con el ejee X: Los puntos de corte son: b) Se analiza la función según criterios de las derivadas. Nota: la epresión #6 es la derivada y la #8 Intervalos F() F () + Resumen Decrece Mínimo Crece 45

10 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA c) se grafican las funciones y las rectas dadas. d) Se calcula el área correspondiente resolviendo la integral 5 A = ( 6 ) d = 5 = 4 u ) El área a calcular está comprendida entre la gráfica de ( ) ( f y g ), ambas de ordenada positivas en el intervalo de etremos a y b determinados por la intersección de las curvas. Para visualizar el cálculo, se hace las gráficas de cada una de las funciones que delimitan la región de la cual queremos calcular el área: 454

11 ( ) b A = [ f ] d a INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA b ( ) A = [ g ] d a ( ) ( ) b b b A= A A = [ f ] d [ g( )] d A= [ f g( )] d a a a Nota: Conocidos los puntos de intersección entre las dos curvas el área de la región que las curvas delimitan es la diferencia entre la función que actúa como "techo" o "función superior" de la región y la función que hace de "piso" o "función inferior" del área buscada. Si a y b son las abscisas de los puntos de intersección de las curvas resulta el área total: b A = [ función( arriba) función( abajo)] d a d) Determine el área encerrada entre las curvas f ( ) = 6+ ; g( ) = 6 a) puntos de intercepción entre las curvas. Se iguala las funciones. f g ( ) = ( ) 6 + = 6 = ; = 5 Estos representan los límites de integración. b) Se analizan cada una de las curvas, según criterios de las derivadas. Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece 455

12 Intervalos g() g () Resumen, + Crece 9 Mínimo, Decrece c) se grafican las funciones. d) Se calcula el área correspondiente resolviendo la integral. 5 5 [ ( ) ( )] (6 ) ( 6 ) A= g f d + d 5 64 A= ) d A 6 T. FC.. A + = + = 5 4) El área a calcular está comprendida entre f ( ) y g( ) en intervalos de etremos determinados por la intersección de las curvas. Se determina los puntos de intersección de las dos funciones f y g. Esos puntos son a, b, c y nos determinan una subdivisión del intervalo total en dos subintervalos [ ab, ] y[ bc,]. 456

13 Si obtenemos la integral definida sobre todo el intervalo de la diferencia de las funciones f y g resulta: ( ) ( ) ( ) c b c I = [ f g( )] d= [ f g( )] d+ [ f g( )] d, a a b b I es una integral definida, pero no representa un área pues si, ( ) c b ( ) [ f g( )] d<, obtendremos el área si hacemos: ( ) ( ) ( ) c b c A = [ f gd ( )] = [ f gd ( )] [ f gd ( )] a a b ( ) ( ) ( ) c b c A = [ f g( )] d = [ f g( )] d + [ g f ( )] d a a b a [ f g( )] d>, y e) Determine el área encerrada entre las curva f ( ) = + ; g( ) = +. a) puntos de intercepción entre las curvas. Se iguala las funciones. f = g + = + = = = puntos de cortes : p (, ); p (,); p (,) ( ) ( ) ; ; = 9 8 Los valores de la variable, representan los límites de integración. b) Se analizan cada una de las curvas, según criterios de las derivadas. 457

14 Intervalos F() F () F () Resumen,. + Crece, cóncava hacia abajo.. Máimo.,. Decrece, cóncava hacia abajo..74 Punto de infleión.,. Decrece, cóncava hacia arriba..6 Mínimo., + Crece, cóncava hacia arriba 458

15 Intervalos F() F () F () Resumen,. + Decrece, cóncava hacia arriba..48 Mínimo.,. + + Crece, cóncava hacia arriba..74 Punto de infleión., + Crece, cóncava hacia abajo Máimo, Decrece, cóncava hacia abajo c) se grafican las funciones. d) Se calcula el área correspondiente resolviendo la integral. 5 A = [ f( ) g( )] d A = [( ) ( )] d A = + + = = 96 A = [( ) f( )] d A = [( + ) ( + )] d A = A T 7 = unidades cuadradas. 96 5) Para calcular el área de la región limitada por las gráficas de f ( y) g( y ) y las rectas horizontales y= c y = y d se resuelve la integral = [ ( ) ( )] d c A f y g y dy 459

16 teniendo en cuenta que f ( y) g( y ), son continuas en [, cd ] y que además f ( y) g( y ); (esto quiere decir que se debe restar la función que está a la derecha menos la función que esta a la izquierda), para todo y del intervalo de trabajo. f) Determine el área limitada por las curvas: y y = ; = 4 Cortes entre las curvas : y y = ; = 4 ( 4) = + 6= = 8 = P(8, 4); P(, ) Análisis de la función: y = y=± Dom [, ) Intervalos y y Y Resumen Mínimo, + Crece, cóncava hacia abajo 46

17 Intervalos y y Y Resumen Mínimo, + Decrece, cóncava hacia arriba Se puede determinar el área de dos maneras, integrando con respecto a y o integrando con respecto a : Área con respecto a y : 4 y A= ( 4) 8 y+ dy A= u Área con respecto a : 8 A = + ( ) ( + 4) d = 8 d A u 46

18 A continuación se resolverá una gama de ejercicios de diferentes modelos, algunos procedimientos serán obviados, los cuales pueden consultar en los archivos ya publicados, además se utilizarán software para realizar las gráficas de las respectivas funciones. ) Calcula el área del recinto limitado por la curva y =, el eje, OX y = y = a) puntos de corte de una curva con el eje X: = = = ; =. b) Se analiza la función según criterio de las derivadas. Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece c) se gráfica las funciones y las recta dada: d) Se calcula el área correspondiente. 46

19 A= ( ) d + ( ) d + ( ) d = A= A= + + = + + = u ) Calcular el área de la figura limitada por la parábola y= 4 y el eje de las abscisas. Intersecciones con el eje de las abscisas: 4 = ( ) 4 = = ; = 4, 4 4, Intervalos F() F () Resumen, + Crece 4 Máimo, Decrece 46

20 4 4 4 INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ( 4 ) 4( ) ( ) A= d A= d d A= 4 A= 4 A= ) Determine el área encerrada entre las curva f ( ) = + ; y la recta y=. Cortes : + = ( + ) = = ; = ; =. Intervalos F() F () F () Resumen,. + Crece, cóncava hacia abajo.. Máimo.,. Decrece, cóncava hacia abajo..74 Punto de infleión.,. + Decrece, cóncava hacia arriba..6 Mínimo., + + Crece, cóncava hacia arriba 464

21 8 A = [( + )] d A = A = [( ) f( )] d A = [( + ) ( + )] d A = A T 7 = unidades cuadradas. 96 4) Calcular el área de la figura limitada por la parábola f()=4 y la recta g()=. cortes entre las curvas f g P(,); P(,) ( ) = ( ) 4 = = = ; =. Cortes de f() con el eje de abscisas: 4, = 4 4, Intervalos F() F () Resumen, + Crece 4 Máimo, Decrece 465

22 4 =., o también: A = 4 5) Hallar el área de la figura limitada por las curvas f() = ( )( ) y el eje o. Cortes con el eje de las abscisas: ( )( ) y= = = ; = ; = Análisis de la función f(): 466

23 Intervalos F() F () F () Resumen,. + Crece, cóncava hacia abajo..85 Máimo., Decrece, cóncava hacia abajo Punto de infleión,. + Decrece, cóncava hacia arriba..85 Mínimo., + + Crece, cóncava hacia arriba ( ( )( ) ) ( ( )( ) ) ( ) ( ) A = d d A = + d + d 4 4 A= + + A= + A= ) Calcula el área limitada por la curvas f () = y g () =. Cortes entre las curvas: ( ) = = = = ; = ; = Análisis de la función f(): 467

24 Intervalos F() F () F () Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo Punto de infleión, + + Crece, cóncava hacia arriba 4 4 A= ( d ) + ( d ) = A= + = + = + = u ) Calcula el área comprendida entre las parábolas f () = ; g () = y la recta Z () = a) Cortes entre las parábolas: f () = ; g () = f () = g () = = b) Cortes entre la recta con las parábolas: f () = ; z () = f () = z () ( ) = = = g () = ; z () = g()=z() ( 4) = = = 4 Análisis de las funciones f(), g(): 468

25 Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece 4 4 A= d+ d A= A= A= A= + A=

26 8) Calcular el área delimitada por las funciones f () = ; g () = Cortes entre las curvas: = = = = ( ) = = P(,); P(, ) Análisis de las funciones: Intervalos F() F () Resumen, + Crece Máimo, Decrece 9 A= ( ) ( ) d A= u 47

27 9) Calcular el área de la superficie que encierran las curvas f() = 6 y g() =. Cortes de f() con el eje : 6, = 6 6, Cortes de g() con el eje :, =, Cortes entre las curvas: 6 6 = => 8 = => ; Puntos (,) y (4,8) 4 Análisis de las funciones: Intervalos g() g () Resumen, + Crece 9 Mínimo, Decrece Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece 47

28 A = 6 = 8 = = ) Determine el área que queda definida entre las curvas f () = 6 ; g () = + 6 Cortes entre las curvas: f g () = () 6 = + 6 = = 5 P(, 6); P(5, 6) Análisis de funciones: Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece 47

29 Intervalos F() F () Resumen, + Crece Mínimo, Decrece INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA A= [ g() f() ] d A= ( 6 ) ( 6 ) d A u + = ) Calcular el área comprendida entre la figura comprendida entre la curva de Agnesi f () = y la parábola g() = + Cortes entre las curvas: 4 f()=g() = = ( + ) + = ( + )( ) = + = =± ( ) Análisis de las funciones: 47

30 Intervalos F() F () F () Resumen,. + + Crece, cóncava hacia arriba. Punto de infleión., + Crece, cóncava hacia abajo Máimo,. Decrece, cóncava hacia abajo. Punto de infleión., + Decrece, cóncava hacia arriba Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece 474

31 [ () ()] ( ( )) 6 + A= f g d d d A= ArcTg A= ( ArcTg( ) ArcTg( )) + A= A 6 6 = 4 4 ) Calcular el área de la figura limitada por las curvas y= Ln y el eje y la recta = e Cortes de la curva con el eje de las abscisas: ( ) y= Ln = = e = ; P(,) Corte entre la función y la recta = e ln( e) = P( e,) Análisis de la curva: Domf ():, ( ) ( ) Intervalos F () F () Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo 475

32 e INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA ( ( )) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A = Ln d Integración por partes A = Ln A = eln e e Ln A = e e A= u e ) Calcular el área de la Figura limitada por las curvas f() = e, g() = e y la recta = Cortes entre de las curvas: f () = g () e = e e = Lne ( ) = Ln() = = e Análisis de las funciones: Para estas funciones no es necesario aplicar los criterios de las derivadas, se grafican directamente: [ ] ( ) ( ) ( ) A= f() g() d e e d A= e e A= ( e+ e ) u 4) Hallar el área limitada por las curvas: y = 8; y= Cortes entre las curvas : 4 y y = 8; = ( ) = 8 8 = ( 8) = = = Análisis de la P(,); P(,4) función: y = 8 y=± 8 Dom [, ) 476

33 Intervalos y y Y Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo Intervalos y y Y Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece 477

34 ( ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA A = 8 d = 8d d = 8 d 8 = 8 = = = = u 5) Calcular el área encerrada por las parábolas f(), g( ) = = Cortes entre lascurvas : ( ) F g 4 4 ( ) = ( ) = = = = = = Análisis de las funciones: Eplicadas anteriormente. ( ) ( ) A= d = = = = u 6) Área encerrada por f() = +, el eje OX y la recta = Cortes entre la curva y el eje o : F( ) = + + = = = Corte entre la curva y la recta : F() = + P(, ) 478

35 Análisis de la función: INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Nota: el posible punto de infleión no pertenece al dominio de la función. Intervalos F() F () F () Resumen,. + Decrece, cóncava hacia arriba. Mínimo., + + Crece, cóncava hacia arriba A= + d+ + d 479

36 ( ) = + : + = = = 5 4 t t ( + ) + ( + ) + 4 = ( ) = = = ( + ) + ( + ) = + = = 5 5 A d Cambio t d tdt A t t dt A t t dt A u A d u A T = u 5 6) Área encerrada por la recta y la parábola dada: y ; = y = Cortes entre la curva y el eje o : ( ) ( )( ) P (,) y P (, ) + = + = + = = = Análisis de la función: Consultar procedimiento en los casos anteriores. Por lo tanto se grafica directamente. Determinamos el área tomando en cuenta el eje y. ( ) y y y + 9 A= y + y dy= = u 48

37 8) Encuentre el área de la región limitada por las curvas 4 y4 y y. Cortes entre las curvas: y= y= + = = = = = ; 4 5, Ec. bicuadrática: 5 y,. Análisis de las curvas: Intervalos F() F () F () Resumen, + Decrece, cóncava hacia arriba Mínimo, + + Crece, cóncava hacia arriba Intervalos F() F () Resumen, + Crece Máimo, Decrece 48

38 A= ( 4 4 ) ( + ) d= ( 5 4 ) d= 5 = = ) Encuentre el área limitada por el eje y las curvas, y ( ) Cortes entre la curva y = + con el eje y, Corte entre la curva y la recta : ( ) ( ) = + = 4 5+ = ; = 4 = ; P, ; P(4, ) Curva : y = con el origen(, ) 4 Cortes entre la parábola y la recta : 4 = + 4 = ( + )( ) = útil para el cálculo = P( ) Análisis de las curvas: :, 6, : ;,. 48

39 Intervalos F() F () F () Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo Intervalos F() F () Resumen, Decrece Máimo, + Crece A= ( ) d ( ) d A = A= =.5 u 48

40 ) Hallar el área de la región comprendida entre la parábola y la recta. a) Área Cálculada utilizando el diferencial: dy Los puntos de cortes de ambas curvas son : ( ) = = y + y=± ±, Análisis de las curvas: Ver ejercicios anteriores. y 8 ( ) ( ) A= y dy= y dy= y = = u b) Área Cálculada utilizando el diferencial: d En este caso los límites de integración son : = y = 8 A= ( ) ( ) d = = = u ) Calcular el área de la región comprendida entre las parábolas y. Cortes de ambas curvas : y + = y y = y=± P, y P, Análisis de las curvas: Ver ejercicios anteriores. ( ) ( ) 484

41 a) Área Cálculada utilizando el diferencial: dy y 8 ( ) ( ) ( ) A= y dy= y dy= y dy= 4 y = 4 = u b) Área Cálculada utilizando el diferencial: d ( ) ( ) A= d+ = + = + = d A A u ) Calcular el área de la región limitada por las gráficas de e. Cortes de ambas curvas : ( ) ( ) ( ) = y=± + P +, y P +, Análisis de las curvas: Ver ejercicios anteriores. a) Área Cálculada utilizando el diferencial: dy 485

42 ( ) y A= ydy A= = 4 u INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA + + ( ) b ) Área Cálculada utilizando el diferencial : d A = ( ) d = 4 u + si < 6 ) Sea la función f () =. Determine el valor de a sabiendo que f( d ) = y para a si > dicho valor grafique la función A = f ( ) d = ( + ) d + a d A = f ( ) d = 6 + a 6 + a = a = 6 a = ( ) La función es f + si = si > y su gráfica resulta: 4) Área limitada por el máimo. f( ) = e, el eje OX, la abscisa en el punto = y la abscisa en La ordenada en el punto = es y = 486

43 Intervalos F() F () F () Resumen,. Decrece, cóncava hacia abajo.. Punto de infleión.,. + Decrece, cóncava hacia arriba., Mínimo., + + Crece, cóncava hacia arriba Punto de infleión,. + Crece, cóncava hacia abajo.. Máimo.,. Decrece, cóncava hacia abajo.. Punto de infleión., + Decrece, cóncava hacia arriba La gráfica de la función es: e A= e d= u e 4) Halle el área de la región acotada por el gráfico de la ecuación y = 4 4 La función es simétrica respecto al eje y al eje y, por lo tanto se puede descomponer en dos funciones: f ( ) = 4 y g( ) = 4 donde el área total es de 4A 487

44 Cortes de las curvas con el eje 4 4 = =± ; = INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Los valores obtenidos son los puntos críticos. Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece Máimo, Decrece 488

45 Los valores obtenidos son los puntos críticos. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Intervalos F() F () Resumen, Crece Máimo, Decrece Mínimo, Crece ( ) A= 4 = 4 4 f d A d Cambio de variable: u = 4 du = d. 4 4 A = 4 4 d A = u du A = u = u 6) Hallar el área limitada por las parábolas y = p; = py Cortes entre las curvas: 4 y y y 4 y = p = ; si: = py = py = py y 8p y= p p 4p y y 8p = y= y= p ( ) [ ] Si y = = ; Si Y = p = p,p Las curvas a graficar son:y= p : y = p 489

46 p Area: A= p d p p p p p A= p ( ) d ( ) d A p p = p 4p p 8p 8p 4p 4p A= p A= A= u p 7) Deducir la formula para el área de un círculo de radio R. La ecuación implica de una circunferencia de radio R centrada en el origen es + y = R Despejado y obtenemos: y = R y = ± R Que conduce las ecuaciones: y = + R e y = R Correspondiente a la semicircunferencia superior e inferior, respectivamente. La superficie del círculo será el cuádruplo del área sombreada, es decir: 49

47 R 4 : 4 cos S = R d como = Rsent S= R R sen t R tdt S= 4 R cos trcostdt= 4R cos tdt= 4R + cost dt S= 4R t + sent = 4R + sen = 4R S= R ) Calcular el área de las dos partes en que la parábola y = divide al círculo + y = 8 Cortes: ( )( ) si y = + y = sust + = + = + = : ; = = 4 Pcorte(, ); Pcorte(,) Gráfica: ( ) ( ) ( ) ( ) A = d + 8 d A = d + 8 d ( ) A= + 8 d 6 I = I = u 49

48 ( ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA I = 8 d Por sust. trig. = Sen( u) d = Cos( u) du Cambio de limites de integración: Si = u= ;Si = u= 4 ( ) ( ) u Sen I = 8 8 Sen ( u) Cosu ( ) du I = 6 Cos ( u) du I = Sen Sen( ) I = 6 + I = ( ) u A= + ( ) A= + ( u ); como: Ac = r = El área de complemento de la círculo es: A = 8 A = 6 u ( ) 4 9) Determine el área comprendida entre la curva + y = a y los ejes de coordenadas. + y = a; donde: a> y = a ( ) a y= a y = y = ( vc..) a = = avc (..) ( a) + a a y = y = y = a sust.( v. c.) en f ( ) f ( a) = < mínimo. sust.(..) v c en f( ) f() a = pm ín( a,) Como f ( ) siempre es mayor que cero:( a ) la función es concava hacia arriba Gráfica 49

49 ( ) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA a a A = a d aplicar teoremas : A = u o 6 ) Determine el área total encerrada por las curvas f () = + ; g () = +. Intervalos F() F () F () Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo. Máimo, Decrece, cóncava hacia abajo, Punto de infleión, + Decrece, cóncava hacia arriba Mínimo, + + Crece, cóncava hacia arriba 49

50 Intervalos F() F () Resumen, + Crece Máimo, Decrece Cortes entre las curvas : + = + = ; = ; = 7 A= ( f() g() ) d+ ( g() f() ) d A u = ) Determine el área de las regiones encerradas por las siguientes curvas f g z () = 6; () = ; () = 4 Cortes entre las curvas : () () 6 ; 4 (,); (4, 8) f= g = = = p p ( ) ( ) 6 5 ; (, 5); (,4) f= z = = = p p ( ) ( ) 5 5; ( 5, 5); (,) g = z = = = p p 494

51 Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece Intervalos F() F () Resumen, + Crece Máimo, Decrece 495

52 75 A = ( g() z() ) d ( color rojo) A = (( ) (5 ) ) d u 5 = A = ( f() z() ) d ( color azul claro) A = (( 6) (5 ) ) d u = 6 4 A = ( g() f() ) d ( color amarillo) A = (( ) ( 6) ) d u = 6 ( () ()) 4 A = g z d 9 ( color verde) A = (( ) (5 ) ) d = u 6 5 A5 = ( z() f() ) d ( color naranja) A5 = ((5 ) ( 6) ) d u = A6 = ( g() f() ) d ( color violeta) A6 = (( ) ( 6) ) d u = A7 = ( z() g() ) d ( color verdeoscuro) A7 = ((5 ) ( )) d u = ( ) ( ) A = z() f() d ( color marrón) A = (5 ) ( 6) d = 9u A t = 56 u ) Calcule mediante integración sencilla el área de la región acotada por las funciones f() = ; g() = 6 Cortes entre lascurvas: = = = =± p p p 6 ( 4) ; (, 4); (,); (,4) f () = f () = f () = =± (..) vc f () = 6 sust.(..) vc en f () f ( ) < máimo.; f ( ) > mínimo. 496

53 4 4 mín INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA sust.(..) v c en f( ) f( ) = p (, ) f( ) = p (, ) 4 4 má f ( ) = = ( ppi...) Intervalos F() F () Resumen, Cóncava hacia abajo Punto de infleión, + Cóncava hacia arriba Cortes de la curva con los ejes : = y= ; p(,) y= = = =± p p ( ) ; (,); (,) g () = 6 f () = 6 f () = =± (..) vc f () = 6 sust.(..) v c en f () f ( ) > mínimo.; f ( ) < máimo sust. ( v. c.) en f( ) f( ) = 4 pm ín(, 4 ) f( ) = 4 pm á(,4 ) f ( ) = = ( ppi...) Intervalos F() F () Resumen, + Cóncava hacia arriba Punto de infleión, Cóncava hacia abajo Cortes de la curva con los ejes : = y= ; p(,) y= = = =± p p (6 ) ; 6 ( 6,); ( 6,) 497

54 A= ( f( ) g( )) d+ ( g( ) f( )) d A= 8u + 8u A= 6u ) Calcular el área de la superficie comprendida entre la circunferencia + y = 6 y la parábola = ( y ) Cortes entre las curvas: si : = y sust. en + y = 6 y + y = 6 y + y 8 = ( ) ( ) ( + )( ) = = = y 4 y y 4 y p(,); p(,) para: + y = 6 Utilizando:( h) + ( y k) = r C(,); r = 4 para: = ( y ) y= + y = = ( vc..) 6 Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece ( ) A = 6 d + d ( ) I = 6 d Sust.trig. = 4 Senu ( ) d= 4 Cosu ( ) du cambio de límites de int. Si = u= ; Si = u= 498

55 ( ) ( ) ( ) ( ) I = 6 6 Sen ( u) 4 Cos( u) du I = Sen ( u) Cos( u) du I = Cos u du ( ) Sen( ) u Sen 6 I = + I = + I = 4 u I = + d I = + I = + I = A= 4 A= u 9 Como:A = 6 El área del complemento de la circunferencia es: c A= 6 + A= + 4) Calcular el área de la región sobre la parábola por el eje, y las rectas f() = + 8; g() = + 8 Cortes entre las curvas: = 4y y dentro del triángulo formado si y f p p 4 4 si y g p p 4 4 si : g( ) = + 8; f( ) = = + 8 = = ; p(,8) : = ; ( ) = + 8 = = = 8; = 4; ( 4,4); (8,6) : = ; ( ) = + 8 = = = 8; = 4; (4,4); ( 8,6) Para : y = y = = ( v. c.) 4 Intervalos F() F () Resumen, Decrece Mínimo, + Crece 499

56 4 A= ( 8) d ( 8) d A u = 4 y 5) Hallar el área limitada por la hipérbola = y la recta = a a b y = ( hipérbola con centro en el origen) a b Inter sec ción con el eje :( a,); ( a,)( representan las coordenadas delvértice) a b a b a b a a los valores reales para y son: a; a y y a y b b = = = y= a y= a b b cortesentrela hipérbola y la recta si a y a a y a y b a a Puntos: P( a, b ); P ( a, b ) : = =± ( ) =± =± ( ) a a b b Por simetría de la función A= a d A= a d a a a a 5

57 Por sust. trig. = asec() u d = atg() u Sec() u du Cambio de límites de integración: Si = a u= ; Si = a u= b A= a Sec () u a atg() u Sec() u du A= ba Sec () u tg() u Sec() u du a ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) = ( ( ) ( )) A= ba Tg u Sec u du A= ba Sec u Sec u du A ba Sec u Sec u du Ver archivo de I. por partes : A = ab ln( ) + u 6) Hallar el área menor de los sectores que la recta = determina en la circunferencia + y = 5 Cortes entre las curvas: si sust en y y y p p : =. + = 5 9+ = 5 =± 4 (, 4); (,4) para: + y = 5 Utilizando:( h) + ( y k) = r C(,); r = 5 5 ( ) A = 5 d Sust.trig. = 5Senθ d = 5 Cos( θ) dθ cambio de límites de int. Si = θ =,64; Si = 5 θ = ( ) ( ),64,64 ( θ ),64 ( ) A= 5 5 Sen ( θ) 5 Cos( θ) dθ A= 5 Cos θ dθ θ Sen A= 5 + A=,8 u 4 5

58 7) Hallar el área limitada por el astroide + y = a. Cortes con el eje y= = a =± a Cortes con el eje y = y = a y=± a Como: y = a y = a y =± a a A = 4 a d Sust. trig. = asen ( θ) d = asen ( θ) Cos ( θ) dθ Cambio de límites: Si = θ = ;Si = a θ = A a a Sen asen Cos d ( ) ( ) ( ) = 4 θ θ θ θ ( ( )) ( ) ( ) A= a Sen θ Sen θ Cos θ dθ ( ) ( ) ( ) A= a Cos ( θ) Sen θ Cos θ dθ 4 u Sen( 4u) Sen ( u) a ( ( θ) ( θ) ) A= a Sen Cos du A= a + A= u

59 8) Determinar el área de la región encerrada por la parábola y = y a la derecha de la recta g ( ) = + 6 Cortes entre las curvas: f()=g() 4 = = = ; = 6; p(,); p(6, ) Cortes entre las curvas: f()= 4 = (4 ) = = ; = 4; p(,); p(4,) Cortes entre las curvas: g()= + 6= = ; p(,) f () 4 = la recta Para f y v c : ( ) = 4 = ( ) = (..) Intervalos F() F () Resumen, + Crece Mínimo, Decrece A= 4 4 (f() g())d + f() d A= ((4 ) ( 6))d + (4 )d = + 5 9) Calcular el área encerrada por la hipérbola y = 4 y las rectas y = ; = ; = Cortes entre la curva y las rectas: y = 4 si = p(,4); 4 si = p(, ) Para: y = A. V. = ; y = ( No eiste etremo relativo); y = Intervalos F() F () Resumen, Cóncava hacia abajo, + Cóncava hacia arriba 5

60 4 A= d A= 4 d A= 4( Ln( ) ) A= 4( Ln( ) Ln( ) ) A= 4Ln( ) u 4) Determine el área de la región debajo de g(), y encima de z() y f(), donde f() = g () = 6; z () = Cortes entre las curvas : ( ) ( ) ; ; ; (,8); (,); (,) z = f = = = = p p p () () 6 ; 6; (6, 6); (,) z = g = = = p p ( ) ( ) 6 ; ; (,.65); (,); (,.4) f= g = = =± p p p Análisis de las funciones: Intervalos F() F () Resumen, + Crece Máimo, Decrece 54

61 Sustituir los valores críticos en la segunda derivada: p mím (.78, 8); p (., 4.) má Intervalos F() F () Resumen,. Crece, cóncava hacia abajo.. Punto de infleión., + Crece, cóncava hacia arriba 55

62 Intervalos F() F () F () Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo Punto de infleión, + + Crece, cóncava hacia arriba A= (() g f()) d + (() z g()) d A= (( 6 ) ( )) d + ( ( 6 ) ( )) d = (( 6 ) ( )) = 4 I d I u = (( 6 ) ( )) = 9. =, I d I u A u 4) Calcular el área dentro de la curva Cortes de la curva con los ejes : ( ) y + = 5 4 y= =± 5; p( 5,); p(5,) = y=± 4; p(, 4); p(,4) = = = = y y y y y=± 4 y=± ( 5 ) Análisis de la función: y = ( 5 ) Domf [ 5,5 ] y = = ( v. c) ( 75) y = P. P. I. ± 5 no están dentro del dom 4 5 (5 ) 56

63 Intervalos F() F () F () Resumen, + Crece, cóncava hacia abajo Máimo relativo, Decrece, cóncava hacia abajo Análisis de la función: 4 6 y= ( 5 ) Domf[ 5,5 ] y = = ( vc. ) (75 ) y = P. P. I. ± 5 no están dentro del dom 4 5 (5 ) Intervalos F() F () F () Resumen, + Decrece, cóncava hacia arriba Mínimo relativo, + + Crece, cóncava hacia arriba 6 5 A= ( 5 ).. 5 ( ) 5 ( ) 5 Sust trig = Senθ d= Cosθ dθ Cambio de lim: Si = θ = ; Si = 5 θ = 6 A = ( 5 5 Sen ( θ) ) 5 Cos( θ) dθ A = 8 ( Sen ( θ) ) Cos( θ) dθ 5 ( θ ) ( θ) θ ( 4 θ ) A = 8 Cos ( ) Cos d A = 8 Cos ( ) dθ A= 5u 57

64 4) Hallar el área entre la curva f() = y las rectas = ; = ; y =. Cortes entre la curva y lasrectas: f() = si = p(,); si = p(, ) 4 Análisisde la función: 6 f () = Domf (): [ ] AV.. = f () = ; f () = 4 Intervalos F() F () F () Resumen, + + Crece, cóncava hacia arriba A.V., + Decrece, cóncava hacia arriba A = d A = A = + u A = 44) Determine el área de la región encerrada por la curva f () = sen () y las rectas = ; = ; y = f() = sen ();, f '( ) = cos( ) si f '( ) = cos( ) = =,( n=±, ±, ± 5...) n Para : n=± =± ( vc..); Para: n=± =± ( v. c. ) 58

65 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, + (crece) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Máimo Absoluto, (decrece) A= sen() d A= u 45) Determine el área de la región encerrada por la curva f () = cos() y las rectas = ; = ; y = f() = cos();, f '( ) = sen( ) si f '( ) = sen ( ) = = n,( n =, ±, ±,...) Para : n= = ;( vc..); Para : n=± =± ( vc..) INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, (decrece) Mínimo Absoluto, + (crece) Máimo Absoluto, (decrece) Mínimo Absoluto, + (crece) 59

66 A= cos() d A= u 46) Determine el área de la región encerrada por la curva f() = s en() y las rectas = ; = ; y = Cortes entre la curva f () y las rectas : f () = sen(); si = p(, ); si = p(, + ) 4 Análisis de la función : f ( ) = sen( );(, ) f '( ) = cos( ) si f '( ) = cos( ) = cos( ) = = arccos( ) 5 = (..); vc = (..) vc INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, (decrece) Mínimo Absoluto, + (crece) Máimo Absoluto, (decrece) 5

67 5 + 6 A= sen() d A u = 6 47) Determine el área de la región encerrada por la curva f() = + cos() y las rectas = ; = ; y = Corte entre f () y las rectas : f() = + cos(); si = p(, ); si = p(, ) 4 4 Análisis de la función : f() = + cos();(,) f '( ) = sen( ) si f '( ) = sen( ) = sen( ) = = arc sen( ) 5 = (..); vc = (..) vc 6 6 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, + (crece) Máimo Absoluto, (decrece) Mínimo Absoluto, + (crece) 4 A= cos( ) d A u + = 5

68 48) Determinar el área de la región encerrada por la curva f() = + s en() y las rectas = ; = ; y = Cortes entre la curva f ( ) y las rectas : f( ) = + sen( ); si= p(, ); si= p(,) Análisis de la función : f ( ) = + sen( );(, ) f '( ) = + cos( ) si f '( ) = + cos( ) = = ( vc..); =± ( vc..) INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, + Crece + 8 A= [ + sen() ] d A= u 8 49) Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las funciones, f() = e s ene ( ) y las rectas = ; = ; y = A = e + sen( e ) d = sen( ) sen( e ) =,48u 5

69 5) Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las funciones, f() = s en () + sen() y las rectas = ; = ; y = Cortes entre f () y las rectas : f() = sen+ sen (); si= p(,); si= p(,) Análisis de la función : f ( ) = sen + sen( );(, ) f '() = sen()cos() + cos() f '() = cos() [ sen() + ] si f '( ) = cos( ) [ sen( ) + ] = cos( ) = = (..); vc = (..) vc 7 7 sen ( ) + = sen ( ) = = ( vc..); = + = INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) + 4 A = sen () sen() d sen () d [ sen() ] d A u + + = 5

70 5) Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las funciones, 7 f() = s en() + cos() y las rectas = ; = ; y = 4 Cortes entre la curva y las rectas : 7 7 f( ) = sen ( ) + cos( ); si= p(,); si= p(,) 4 4 Análisis de la función : f ( ) = sen( ) + cos( );(, ) f '( ) = cos( ) sen( ) si f '( ) = cos( ) sen( ) = = (.); vc = + = (..) vc INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) [ ] [ ] () cos() () cos() 4 A= sen + d sen + d A= + u 5) Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las funciones, f() = cos() y las rectas = ; = ; y = Cortes entre la curva f ( ) y las rectas : f ( ) = cos( ); si = p(,) si = p(,) Análisis de la función : f ( ) = cos( );(, ) f '( ) = 6 sen( ) f '( ) = 8 sen( )cos( ) si f '( ) = 8 sen( ) cos( ) = = ; = ( v. c.); = ± ( v..); c = ± se toma los valores queesten en (, ) = ; = ; = 54

71 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, (decrece) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Mínimo Relativo, + (crece) Máimo relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) [ ] [ ] [ ] 4 4 A = cos( ) d cos( ) d cos( ) d A ( ) u A 6u + = + + = 4 4 5) Determinar el área de la región acotada por las gráficas de las funciones, f() = cos() cos() y las rectas = ; = ; y = Cortes entrela curva y las rectas : f = si = p si = p Análisis de la función : f ( ) = cos ( ) cos( );(, ) ( ) cos ( ) cos( ); (,); (,) [ ] [ ] f '( ) = cos( ) sen( ) + sen( ) f '( ) = sen( ) cos( ) + si f'( ) = sen ( ) cos( ) + = sen ( ) = = ( vc..); =± ( vc..) 5 cos( ) + = cos( ) = = ( vc..); =± 5 según(, ) = ( vc..); = ( vc..); = ( vc. ) 55

72 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, (decrece) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Mínimo Relativo, + (crece) Máimo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) + 4 A= cos() cos() d A cos() d [ cos() ] d A u = + = ) Calcular el área de la región comprendida entre la curva, f() = sen()( cos()) y las rectas = ; = ; y = Cortes entre la curva y las rectas : f( ) = sen( ) [ + cos( ) ]; si = p(,); si = p(,) Análisis de la función : f ( ) = sen( ) [ + cos( ) ];(, ) f '( ) = cos( )(+ cos( )) sen( ) sen( ) f '( ) = cos( ) + cos ( ) sen ( ) f '( ) = cos ( ) + cos( ) si f '( ) = cos ( ) + cos( ) = 5 =± (..); vc =± (..); vc = (..); vc = 5 según(, ) = ( v. c.); = ( v. c.); = ( v. c) 56

73 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, + (crece) INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Máimo Relativo, (decrece) Etremo Relativo, (decrece) Mínimo Relativo, + (crece) A= [ sen()( cos()) ] d A= u 56) Encuentre el área entre la curva f() = sen() + cos() y el eje en [,]. Corte de la curva con el eje : sen cos = si = p(, ) si = p(, ) A = sen cos d A = = u du A u 57

74 57) Hallar el área comprendida entre la curva f() = tg() el eje o y la recta Cortes de la curva con las rectas : f () = Tg ( ) si= p(,); si= p(, ) Análisis de la curva : f( ) = Tg( ) =± AV.. f ( ) = = v. c. cos( ) sen( ) f ( ) = = ( PPI...) cos ( ) INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) F (X) RESUMEN, + + Crece, Cóncava hacia arriba A.V., + Crece, Cóncava hacia abajo Etremo Relativo, + + Crece, Cóncava hacia arriba A.V., + Crece, Cóncava hacia abajo = A= ( Tg ( )) d A= ( LnCos ( ( ))) A= LnCos + LnCos ( ( ) ) A= Ln( ) u 58

75 58) Hallar el área encerrada por las funciones f() = sen(); g() = cos(), y el eje OX en el primer cuadrante Cortes entrelas curvas: f( ) = g( ) sen( ) = cos( ) = 4 4 A = sen() d + cos() d A u = 4 59) Determine el área bajo la curva f() = sen()cos(), y el eje de las abscisas en el intervalo. [, ] Corte con la recta y = sen( )cos( ) = =± ; = ; =± ; = Análisis de la curva: f( ) = sen( )cos( ); [, ] f ( ) = cos ( ) =± ; =± 4 INTERVALO ƒ ( X ) ƒ ( X ) RESUMEN, + Crece Máimo Decrece Mínimo + Crece Máimo, Decrece Mínimo, + Crece 59

76 A = sen cos d + cos = + = sen d A A u 6) Determine el área común a los círculos de radio unidad con centro en el origen y en (,). Ec. general ( h) + ( y k) = r Para c r y : (,) = ( ) + ( ) = ; Para c r y y y : (,) = ( ) + ( ) = + + = + = Cortes entre ellos : = = ( ) A = 4 d Sust.trig. = Senθ d = Cos ( θ) dθ cambio de límites de int. Si = θ= ;Si = θ= 6 θ Sen( θ ) 4 ( ) ( ) ( ) A= 4 Sen ( θ) Cos( θ) dθ A= 4 Cos θ dθ A= 4 + A= u

77 6) Determinar el área encerrada por las rectas y = ; y = + ; y = + 8 Cortes entre las rectas : y = y = + p(, ); y = y = + p(, ) y = y + = + p(, ) A= ( ) ( + + ( ) ( + = d 5 8 d A u 5 6). Determinar el área A comprendida por alguna de las siguientes rectas = 5ó = 5 f = +, g = + y las curvas ( ) ( ) Cortes entre las curvas : f ( ) y g ( ) : ( ) ( ) ( ) f = g + = + + = + = = ; = 67 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) A= g f d+ f g d A= + dt+ + + dt = u 5

78 6) Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones. f ( ) = ; g( ) = + Cortes entre las curvas : ( ), + = = + + = = =± p,, (, ),, p p t A = d + = d A u ) Determinar el área encerrada por la parábola y las rectas tangentes a ella que pasan por el punto p (, 4). La pendiente m de las rectas tan gentes es : t ( ) ( ) ( ), (, 4 ), ( ) m = f = con la abscisa del punto de tan gencia Q, f t + 4 Q (, ) = mt = = = =± ( ) seaplica la fórmula de la pendiente entre dos puntos en este caso P y Q f ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( )( ) Las ecuaciones de la recta tan gente R f f ` son: R = + = + 4 R = + = + 4 t 5

79 ( ( )) ( ) ( ) A = d d= u 65) Determinar el área encerrada entre la gráfica de la función 9, la recta tangente a en y el eje X. ( ) = ( ) + ( )( ) La ecuación de la recta tg a la función en un punto : R f f t 8 f ( ) = 9 f ( ) = f () = ; además f () = 9 = la ecuación de la recta tg es : Rt ( ) = + ( ) = A = = d 9 9 d A 7 u 9 5

80 66) Determinar el área encerrada por las parábolas, 8 y la recta que une sus vértices. El vértice de la Parábola : para f ( ) = + v(,) ( ) para g( ) = ( completar cuadrados) v(4,6) Con los vértices calculamos la recta : y = + ; El otro punto de corteentre g( ) y la recta + 8 = + 7+ = = 4, = P(, 5) Cortes entre las parábolas : + = + 8 p, 4 ( ) A 9 = ( + + ) d + + ( + 8 ) d = u DÁMASO ROJAS. SEPTIEMBRE 8 54

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