Taller de Nivelación Académica de Matemáticas Ciclo escolar: Septiembre Diciembre 2015

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1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CENTRO IZAMAL, YUCATÁN, MÉXICO DIRECCIÒN DE CARRERAS TURISMO, ÁREA HOTELERÍA Y GASTRONOMÍA Taller de Nivelación Académica de Matemáticas Ciclo escolar: Septiembre Diciembre 2015 Objetivo: los alumnos de nuevo ingreso de las carreras de TSU en Gastronomía y Turismo, área hotelería, resolverán actividades con la finalidad de reforzar sus conocimientos previos. ACTIVIDADES POR SESIÓN 31 Agosto-4 de Septiembre SESIÓN FECHA TEMAS 1 31 de Agosto Operaciones básicas o Suma y resta o Multiplicación y división Problemas con operaciones básicas 2 1 Septiembre Fracciones o Números racionales Operaciones con fracciones o Suma y resta o Multiplicación y división 3 2 Septiembre Problemas con fracciones Razones y proporciones Porcentajes 4 3 Septiembre Problemas con razones, proporciones y porcentajes 5 4 Septiembre Repaso Elaboró: M. en C. Elizabeth del S. Marín Arceo Mtra. Silvia del C. Santos Várguez Revisó: M. en C. Marcela Isabel Barrera Cervera Autorizó: Ing. Reina Mercedes Quintal Recio

2 SESIÓN 1 OPERACIONES BÁSICAS Y PROBLEMAS CON OPERACIONES BÁSICAS Objetivo: que los estudiantes resuelvan ejercicios que involucran operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) y resuelvan problemas. I. OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS DONDE NO HAY SIGNOS DE AGRUPACIÓN Ejemplos: Estas operaciones se realizan en el orden en que se hallan 1. Efectuar Entonces: = 9; 9 3 = 6; = = 8 2. Efectuar = 5; = 9; 9 1 = 8; = 17; 17 7 = 10 Entonces: = 10 II. OPERACIONES DE SUMAS Y RESTAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN Ejemplos: Primero se efectúan las operaciones encerradas dentro de los paréntesis, hasta convertirlas en un solo número y luego efectuar las operaciones que queden indicadas, como en los casos anteriores. Cuando hay un signo de agrupación dentro de otro, debe efectuarse primero la operación encerrada en el más interior. 1. Efectuar (7 2) + (5 + 4) (3 2) 7 2 = 5, = 9, 3 2 = 1 Entonces: (7 2) + (5 + 4) (3 2) = = Efectuar 350 ( ) (6 + 3) + ( ) 350 ( ) (6 + 3) + ( ) = = 346 2

3 3. Efectuar 30 + [84 (7 2)] 30 + [84 (7 2)] = 30 + [84 5] = = Efectuar 800 [45 + {(8 4) + (7 2)}] Efectuamos primero 8 4 = 4 y 7 2 = 5 Tendremos: 800 [45 + {(8 4) + (7 2)}] = 800 [45 + {4 + 5}] = 800 [45 + 9] = = 746 III. RESTA DE UN NÚMERO Y UNA RESTA INDICADA Ejemplo: Para restar un número de una suma indicada, se restan del número, uno a uno, todos los sumandos de la suma. 1. Sea la operación 25 ( ) 25 ( ) = = 16 IV. RESTA DE UN NÚMERO Y UNA DIFERENCIA INDICADA Ejemplo: Para restar de un número una diferencia indicada, se cambian los signos de los números a restar y se realiza la operación indicada. 1. Efectúa 50 (8 5) 50 (8 5) = = 47 V. MULTIPLICACIÓN La multiplicación es una operación de composición que tiene por objeto, dados dos números, hallar un número llamado producto. El producto de dos números se indica con el signo 4 3, con un punto entre los factores 4 3 o con los números o expresiones entre paréntesis sin estar separados por algún signo (4)(3). Consideremos 2 casos: a) Si el multiplicador es cero, el producto es cero. 5 0 = 0 b) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al multiplicando. (4)(1) = 4 3

4 Ejemplos: = (12)(5) = = 3000 VI. DIVISIÓN Ejemplos: La división es la operación inversa a la multiplicación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente) = 2, porque 2 4 = = 3, porque 3 5 = 15 VII. PROBLEMAS CON OPERACIONES BÁSICAS Para resolver problemas con operaciones básicas, es necesario identificar qué operación se pondrá en juego para darle solución al problema. Ejemplo: 1. A un niño le regalan dinero; su padre le da $120, su madre $70, su abuela $55. Si se compra un chocolate que le cuesta $37, cuánto le queda? Primero se identifica que hay que realizar sumas y restas. Primeramente sumamos lo que recibió el niño de cada una de las personas $120 + $70 + $55 = $245 Y después, a esa cantidad le restamos lo que gastó $245 $37 = $208 Ejercicios de operaciones básicas

5 ( ) ( ) 7. (9 4) + ( ) 8. (14 + 5) ( ) + ( ) ( ) 8 ( ) 10. (8 1) (16 9) (11 6) (9 4) [25 (3 + 2)] [(5 1) (4 3)] [6 + {4 (3 1)}] {6 + [(14 6) (7 2) + (4 1)]} 15. (8 3) (5 4) 16. ( ) (3 2) 17. (8 3) (5 4) 18. (11 2) (7 5) 19. (9 3) (8 2) 20. (6 + 5) (7 + 3) (78)(54) 24. (58)(100) (239)(9) (907)(82) Ejercicios de problemas de operaciones básicas 1. Juan tiene $85 y se ha comprado un chocolate que le costó $35 y unos caramelos que le costaron $25. Cuánto dinero le sobrará? 2. Compró un bote de mermelada de $52 y una lata de sardinas de $36. Cuánto gastó? 3. Compró un bote de mermelada de $52 y una lata de sardinas de $36. Si pagó con un billete de 100, cuánto le devolvieron? 5

6 4. Tenía $95. Compré un balón de $68 y un chocolate de $24. Cuántos pesos me sobraron? 5. Germán tiene 12 monedas y Luis tiene 17. Cuántos tienen entre los dos? 6. Germán tiene 12 monedas y Luis tiene 17. Cuántas monedas tiene Luis más que Germán? 7. En un cine hay 54 hombres, 74 mujeres y 12 niños. Cuántas butacas se han ocupado si el cine tiene 300 butacas? 8. En un cine hay 54 hombres, 74 mujeres y 12 niños. Cuántas butacas se han quedado libres si el cine tiene 300 butacas? 9. En el cuartel hay 426 soldados. Han llegado 318 soldados más y se han ido 26. Cuántos hay ahora? 10. A una niña por su cumpleaños le regalan dinero, su padre le da $100, su madre $50, su abuela $65. Si se compra un chocolate que le cuesta $65, cuánto le queda? 11. En un vaso ponemos 0.12 litros de agua; en otro vaso 0.18 y en otro Cuánto hay entre los tres? 12. El padre de Juan entregó dólares a sus cinco hijos y se los repartieron de forma equitativa, Cuánto le tocó a cada uno? 13. José Luis tenía $12.00 y gastó $3.25 en un bolígrafo. Cuánto le queda? 14. Pedro tenía que recorrer 7.25 kilómetros y por la mañana hizo 3.3 km. Cuánto le falta? 15. El tío de Andrés quiere repartir $1452 de manera equitativa entre sus tres sobrinos. Cuánto dará a cada uno? 16. Un cuaderno vale $ Cuánto costarán 6 cuadernos? 17. En una botella hay 1.45 litros y en otra 0.85 litros. Cuánto hay entre las dos? 18. Una caja contiene 120 manzanas. Si el peso medio de una manzana es de 75 g. Cuántos kg pesarán todas las manzanas? 19. Una familia gasta $200 al día. Cuánto gastará en una semana? 20. Cuánto pagaré por dos pantalones y una camiseta si cada pantalón cuesta $300 y la camiseta $110? 21. Un viajero da $10 para pagar el camión y le devuelven $2.40. Cuánto ha pagado por su asiento? 22. Un hombre compra un traje por $850, da al comerciante dos billetes de $500. Qué suma le devolverá el comerciante? 23. La longitud de un río es de 940 km y la de otro de 928 km. Cuántos km tiene más el primero que el segundo? 24. Un padre tenía 29 años al nacer su hijo. Cuál será la edad del hijo cuando el padre cumpla 68 años? 25. Un vaso vacío pesa 1789 gr; lleno, 9395 gr. Cuánto pesa el contenido? 26. Los árabes invadieron España en el año 711 y fueron expulsados de ella en Cuánto tiempo permanecieron en la península? 27. Una persona gana $ diario y gasta $81.00 a diario Cuánto será su dinero al cabo de 6 días? 28. Si una persona gana $2050 al mes, Cuánto ganará al año? 29. Un contratista ocupa a 28 obreros de los que 9 ganan $120 de jornal, 12 reciben $100 y los demás $85. Qué suma necesita para pagarles 12 días de trabajo? 6

7 30. Un comerciante recibe cuatro pedidos de 495 botellas cada uno; habiendo efectuado dos envíos de 876 botellas cada uno, cuántas botellas le quedan aún? SESIÓN 2 FRACCIONES Y OPERACIONES CON FRACCIONES Objetivo: que los estudiantes repasen los tipos de fracciones y las operaciones básicas con estas, a través de la resolución de ejercicios. I. NÚMEROS RACIONALES O FRACCIONES Fracción propia: es cuando el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo 7 8 Fracción impropia: es cuando el numerador es mayor que el denominador. Por ejemplo 7 4 Fracción mixta: es una fracción impropia que se representa con un número entero seguido de una fracción propia. Por ejemplo Las fracciones impropias pueden convertirse en fracciones mixtas y viceversas, al igual que toda fracción se puede convertir a expresión decimal y viceversa. Fracciones equivalentes: son fracciones que representan a un mismo valor real. Ejemplo: II. OPERACIONES CON FRACCIONES Sumas y restas. Ejemplos: Si el denominador es igual se suman (restan) los numeradores y se simplifica la fracción obtenida o se pasa a fracción mixta si se puede Si los denominadores son diferentes, se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se transforman en fracciones equivalentes cuyo denominador es el mínimo común múltiplo. 7

8 Multiplicación El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores División El cociente de la división de fracciones se obtiene con el producto cruzado o transformando la división en un producto al cambiar por el recíproco al divisor Ejercicios de fracciones y de operaciones con fracciones: 1. Convierte las siguientes fracciones impropias a mixtas a) 20 3 b) c) 4 d) e) 5 2. Convierte las fracciones mixtas a impropias a) b) c) d) e) Simplifica las fracciones a su mínima expresión a)

9 b) c) d) e) (2 2 3 ) (2 3 2 )

10 SESIÓN 3 FRACCIONES, RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES Objetivo: que los estudiantes resuelvan problemas a través de la aplicación de operaciones con fracciones, asimismo y se abordarán las razones, proporciones y porcentajes. I. PROBLEMAS CON FRACCIONES Para resolver problemas usando fracciones, primero se debe comprender lo que se quiere encontrar y a partir de ahí habrá que identificar las operaciones a usar. Ejemplo: 1. Un hombre camina 4 1 kms el lunes, 8 2 kms el martes, 10 kms el miércoles y 5 kms el jueves Cuánto ha recorrido en los 4 días? R: Primero convertimos las fracciones mixtas a impropias: = 9 2, = 26 3, 10 = 10 1 Para calcular lo que ha recorrido, sumamos todas las distancias, por tanto, tenemos: = = = Ejercicios con fracciones 1. Pedro ha estudiado3 2 3 hrs, Enrique hrs, Juan 6 hrs. Cuánto han estudiado juntos? R: Un campesino siembra 2500 kg de papa, kg de trigo, kg de arroz. Cuántos 9 kg ha sembrado en total? R: Tres varillas tienen las siguientes longitudes, la primera 8 2 pies de largo, la segunda pies, la tercera 14 1 pies. Cuál es la longitud de las tres? R: El lunes ahorré $2 3, el martes $5 5, el miércoles $7 1, el jueves $1 1. Cuánto tengo? R: Una calle tiene 50 2 m de longitud, otra tiene 45 5 m. Cuántos metros tienen las dos 3 8 juntas y cuanto falta a cada una de ellas para tener 80 m de largo? R: 96 7, 29 1, Tengo $ 3 6, cuánto necesito para tener $ R: Un hombre gana mensualmente $200, gasta $ 50 2 en alimentación de su familia, $60 9 en alquiler, y 18 3 en otros gastos. Cuánto puede ahorrar mensualmente? 8 10

11 8. Tenía $50, pagué $16 2 que debía, gasté $5 3 y después recibí $42 1. Cuánto tengo ahora? R: Compré 3 sombreros de a $2 3 cada uno, 6 camisas de a $3 3, di un billete de $ Cuánto me darán de cambio? II. RAZONES Y PROPORCIONES Ejemplo: Razón: es la comparación de dos cantidades, se puede representar como el cociente entre dos cantidades, el de b antecedente. a b o a: b y se lee a es a b. El valor de a se llama consecuente y Proporciones: es la igualdad entre dos razones, se puede representar como la igualdad de dos fracciones, a c o o y se lee a es a b, como c es a d. b d El valor de a y d se llaman extremos y el de b y c medios. a : b c : d a : b :: c : d Proporciones directa: Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número. Si una cantidad aumenta, la otra también aumenta y si una cantidad disminuye, la otra disminuye. a b c x x = bc a 1. Por cuatro libretas se pagaron $130, cuánto se pagaría por 13 libretas? Ejemplo: 4 libretas $ libretas x x = 13(130) = $ Proporciones inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por ese mismo número. Si una cantidad aumenta, la otra disminuye y si una cantidad disminuye, la otra aumenta. a b c x x = bc a 11

12 2. Si tres personas pueden pintar una casa en 12 días, cuántas personas son necesarias para pintarla en 4 días? 3 personas 12 días x 4 días x = (3)(12) = 9 personas 4 Porcentaje: representa la parte que corresponde de un total de 100 partes, se utiliza el símbolo %. Los porcentajes se pueden pasar a forma de fracción al dividir el número entre 100 y para pasar de fracción a porcentaje, se multiplica la fracción por 100. Ejemplo: 3. Martha compró una blusa que tenía un 15% de descuento, cuánto pagó si la blusa tenia precio de $119.90? Primero se calcula el 15% de $ $119.90(. 15) = $17.98 Después, al precio original le restamos el descuento $ $17.98 = $

13 SESIÓN 4 PROBLEMAS CON RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES Objetivo: que el estudiante resuelva problemas donde aplique razones, proporciones y porcentajes. Ejercicios de problemas de proporciones, razones y porcentajes 1. Si 4 libros cuestan $20. Cuánto costarán 3 docenas de libros? R: Una torre de 25.05m, da una sombra de 33.40m. Cuál será a la misma hora, la sombra de una persona cuya estatura es de 1.80m? R: 2.40m 3. Si media docena de una mercancía cuesta $ Cuánto costará 5 docenas de la misma? R: $ Los 2 de capacidad de un estanque son 500 litros. Cuál será la capacidad de los 3 del mismo 5 8 estaque? R: litros. 5. Si tres personas pueden pintar una casa en 12 días, cuántas personas son necesarias para pintarla en 4 días? 6. Dos individuos arriendan una finca, el primero ocupa 5 de la finca y paga 6000 bolívares de 11 alquiler al año. Cuánto paga de alquiler anual el segundo? R: 7200 bolívares. 7. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra, si hubiera trabajado una hora menos al día. En cuántos días hubiera terminado la obra? R: 16 días 8. 9 hombres pueden hacer una obra en 5 días. Cuántos hombres más harían falta para terminar la obra en un día? y cuántos hombres menos para terminar la obra en 15 días? R: 36 hombres más y 6 hombres menos. 9. A la velocidad de 30 km/h un automóvil emplea 8 1 hrs para ir de una ciudad a otra. 4 Cuánto tiempo menos se hubiera tardado si la velocidad hubiera sido el triple? R: 5 1 hrs Una pieza de tela tiene 32.32m de largo por 75 cm de ancho. Cuál será la longitud de otra pieza de la misma superficie cuyo ancho es 80 cm? R: 30.30m 11. Ganando $3.15 por cada metro de tela. Cuántos metros se han vendido si la ganancia es $945? 12. Una guarnición de 1300 hombres, tiene víveres para 4 meses, si se quiere que los víveres duren 10 días más. Cuántos hombres hay que rebajar de la guarnición? R: 100 hombres. 13. Un obrero tarda 12 3 días en hacer 7 de la obra. Cuánto tiempo necesitará para terminar 5 12 la obra? 14. Si un auto recorre 240km en 3horas, cuántos kilómetros puede recorrer en 5 horas sin variar la velocidad? 15. Si un auto tarda 4 hrs en recorrer cierta distancia a una velocidad de 72km/hr. Cuánto tiempo tardará si utiliza una velocidad de 108km/hr para recorrer la misma distancia? 16. Juan tiene que pagar 90 bolívares, si le rebajan el 5% de su deuda, cuánto tiene que pagar todavía? R: 85.5 bolívares 17. Un metro de tela cuesta 15 bolívares. A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% de su costo? R: 18 bolívares. 18. La realización de una construcción con 28 obreros se termina en 82 días, con cuántos obreros se podría terminar la obra en 40 días? 13

14 19. Por la venta de un libro de 5 dólares el ejemplar, el librero cobra el 30% de comisión. Cuánto recibe el autor por cada libro? R : 3.50 dólares 20. Un agente tiene el 12% de comisión en las ventas que haga, si vende 14 docenas de pañuelos a $6 cada una. Cuál es su comisión? R: $ Al vender una casa ganando el % del precio de compra, la utilidad obtenida ha sido 5600 bolívares. Cuánto costó la casa? R: 100,000 bolívares. 22. Un agente recibe $364 de comisión por la venta de 4 automóviles, si su comisión es del 7%. Cuál era el precio de cada automóvil? R: $

15 SESIÓN 5 REPASO Objetivo: que los estudiantes apliquen, en los problemas presentados, lo abordado en el taller. 1. Al salir al recreo, Sebastián tenía 12 canicas, jugando ganó 7 y luego perdió 5. Cuántas bolas tiene al finalizar? 2. Hallar un número que tiene 278 unidades más que Encontrar un número que tiene 356 unidades menos que Hallar un número que sumado con 919 de Cuál es el número que tiene 176 unidades más que la diferencia entre 3764 y 2993? 6. Se tiene que transportar Kg. de caña de azúcar al ingenio la panela desde los campos de cultivos en caminos que pueden cargar hasta 25 toneladas. cuántos camiones se necesitan? 7. Se han repartido cuadernos a los niños de una escuela rural que 85 alumnos. Si cada uno recibió 6 cuadernos y sobraron 17 cuántos cuadernos habían para repartir? 8. Dos trenes salen de una misma estación y en sentido contrario uno sale a 60 kilómetros por hora y el otro a 40 kilómetros por hora. A qué distancia se encontrarán al cabo de 3 horas? 9. Una calle que mide 400 metros de larga cuántos metros se debe de añadir para que mida 1 kilómetro de larga? 10. Una cuarta parte del día la emplea un niño en estudiar, la sexta parte en hacer ejercicio, la novena en divertirse. Qué parte del día le queda libre?. R: A $ 7 el kg de una mercancía. Cuánto valen 8 kg. 12 kg? R: 7, Un reloj se adelanta 3 de minuto cada hora. Cuánto se adelantará en 5 hrs, en medio 7 día, en una semana? R: 2 1, 5 1, 1hr. 12 min Tengo $86, si compro 3 libros de $1 1 y seis objetos de 7 cada uno. Cuánto me queda? 8 8 R: Para hacer un metro de una obra un obrero utiliza 6 hrs. Cuánto empleará para hacer 14 2 m, m? R: 88 hrs., 108 hrs De una finca de 50 hectáreas se vende el 16% y se renta el 14%. Cuántas hectáreas quedan? 16. Tenía 30 lápices, di el 30% a mi hermano Enrique, el 20% a mi primo Orlando, y el 10% a mi amigo Héctor. Cuántos lápices di a cada uno y cuántos me quedaron? R: 9E, 6O, 3H, Comprando un traje que me costó 105 bolívares, gasté el 25% de mi dinero. Cuánto tenía? R: 420 bolívares. 18. Se compra una propiedad pagando el 56% del precio de contado, si se pagaron $4816. Cuál es el valor de la propiedad? R: $ Un niño tiene 57 bolas azules que representan el % del total de sus bolas. Cuántas bolas tiene? R: 700 bolas. 20. La comisión de un agente es del 15% de las ventas que haga, si su comisión en cierta operación ha sido de 69 bolívares. Cuál fue el importe de la venta? R: 460 bolívares. 15

16 REFERENCIAS Baldor, A Aritmética. Teórico práctica. Publicaciones Cultural. México Problemas de operaciones básicas. Recuperado el 23 de agosto de 2015 de 16

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