TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA (COLAS)

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1 TEORÍA DE ÍEAS DE ESERA COAS Cojuto de modelos matemáticos ue describe sistemas específicos de líeas de espera o colas, usados e la toma de decisioes al ecotrar el estado estable o estacioario del sistema y determiar u ivel de servicio apropiado. Defiicioes íea de espera o cola. Efecto resultate e u sistema de servicio; como por ejemplo, e ua caja registradora e u supermercado, e u peaje, e u puerto, etc., cuado la demada del servicio supera la capacidad de prestar dicho servicio. Estado estable. El sistema alcaza u ivel ormal de operació. ivel de servicio. úmero apropiado de servidores ue miimiza el costo de operació del sistema. roceso básico as uidades persoas, autos, productos, máuias, de ua població llega al sistema reuiriedo u servicio, se ue a la cola, so atedidas por u servidor de acuerdo a ua regla determiada de ateció. uego de ser atedida, sale del sistema y se regresa a la població. Elemetos de u sistema de líeas de espera a teoría de líeas de espera tiee ue ver co dos procesos pricipales: etrada y salida. roceso de etrada Es el isumo del sistema costituido por:

2 Teoría de líeas de espera 2 a població de uidades poteciales ue reuiere el servicio. Ejemplos: Todas las persoas ue paga e ua caja de u supermercado. as máuias de u taller ue falla. a població puede ser Fiita si el úmero potecial de uidades es peueño geeralmete meos de 3. Ejemplos: El úmero de máuias de u taller metalmecáico. El úmero de trabajos atedidos por ua secretaria. Ifiita si el úmero potecial de uidades ue reuiere el servicio es muy grade por lo geeral 3 o más. Ejemplos: Todas las persoas de ua ciudad ue reuiere u servicio Todos los autos de ua ciudad ue reuiere aprovisioar de gasolia. El patró de llegadas as uidades ue llega al sistema e busca de u servicio se caracteriza por la forma e ue estas llega, ue puede ser: Idividual E lotes Tasa de llegada. Es el úmero de uidades ue llega por uidad de tiempo, ya sea e itervalos regulares o e itervalos aleatorios lo ue implica ua distribució de probabilidad. Tiempo etre llegadas. Tiempo ue trascurre etre llegadas sucesivas. roceso de salida o de servicio Determiado geeralmete por la forma de ateció de las uidades, y por el tiempo ue se reuiere para cocluir el servicio o por el úmero de uidades atedidas por uidad de tiempo. Tasa de servicio. úmero de uidades atedidas por uidad de tiempo. a tasa se servicio puede ser: Costate Variable Distribució de probabilidad del tiempo de servicio. Tiempo de servicio. Tiempo ue trascurre etre servicios sucesivos. a disciplia de la cola Es el orde de ateció a las uidades. Etre los métodos para determiar el orde e ue se atiede las uidades, está: FIFO First i first out rimero e llegar primero e salir. IFO ast i first out Último e llegar primero e salir. SIRO / SEOA Selecció e orde aleatoria. O Orde prioritario Ejemplo: Caja rápida para 5 o meos artículos

3 Teoría de líeas de espera 3 Capacidad del sistema de servicio úmero máximo permisible de uidades e el sistema de servicio e u istate t. Icluye las uidades ue espera y las uidades ue está siedo atedidas. a capacidad de u sistema de líeas de espera puede ser: imitada. E este caso cuado el sistema está lleo las uidades ue llega debe retirarse Se geera u rechazo por parte del sistema. Ilimitada. Sistemas de servicio e los ue siempre habrá espacio para las uidades ue llega. Ejemplos de sistemas de colas Situació legadas Cola Mecaismo de servicio Aeropuerto Aeropuerto Compañía telefóica avado de carros a corte Carga de camioes Fábrica Fotocopiadora Hospital Baco eaje Avioes asajeros úmeros marcados Autos Casos Camioes Subesamble Copias acietes Clietes Vehículos Avioes e carreteo Sala de espera lamadas Autos sucios Casos atrasados Camioes e espera Ivetarios e proceso Trabajos ersoas efermas Clietes e la fila o filas Autos e fila ista Avió Comutador Mecaismo de lavado Juez Muelle de carga uesto de trabajo Copiadoras Hospital Cajero o cajeros uto de pago Como se observa, es posible recoocer diferecias e las estructuras de los sistemas de líeas de espera, idepedietes uas de otras. or ejemplo, los bacos puede teer más de u cajero, cada uo co ua fila separada. os aeropuertos tiee más de ua pista de aterrizaje, las fábricas geeralmete tiee ua serie de estacioes de trabajo, o solo ua. De lo aterior, vemos ue se permite ue varíe el úmero de filas y el úmero de servidores. Tipos de sistemas de líeas de espera A. Sistemas de ua sola fase. Sistemas e los cuales la uidad reuiere úicamete de u servicio. Sistemas de ua líea de espera co u solo servidor Sistemas de ua líea de espera co varios servidores Supuesto: Todos los servidores presta el mismo servicio y co igual eficiecia.

4 Teoría de líeas de espera 4 B. Sistemas multifásicos. Sistemas de líeas de espera co varias estacioes o servidores e serie. a uidad reuiere por lo meos dos servicios e serie. E estos sistemas las estacioes de servicio puede teer diferete eficiecia. El aálisis matemático es más complejo. Modelos de líeas de espera otació de edall ee 95. Básicamete los sistemas de colas de ua sola estació de servicio se represeta usado las siguietes características: A / B / C / d / e / f atró de llegadas atró de servicio úmero de servidores e paralelo Tamaño de la població Capacidad del sistema Disciplia de la líea de espera Modelos de líeas de espera para població ifiita Modelo M / M / Características: oblació es ifiita Siempre estará llegado uidades al sistema El patró de llegadas por uidad de tiempo se describe por ua distribució oisso co parámetro. Tasa promedio de llegadas úmero promedio de uidades ue llega al sistema por uidad de tiempo.

5 Teoría de líeas de espera 5 El patró de servicio se describe por ua distribució expoecial co parámetro β. β Tiempo promedio de servicio por uidad β /. Tasa promedio de servicio úmero promedio de uidades ue se atiede por uidad de tiempo. a tasa promedio de llegada es meor ue la tasa promedio de servicio ara asegurar ue exista estado estable o estacioario <. Hay u caal o estació de servicio. Disciplia de la cola es primero e etrar primero e salir. o hay abadoo i rechazo del sistema Régime permaete o codició de estado estable. a probabilidad de ue e cada istate t haya uidades e el sistema, es idepediete del tiempo de operació del mismo, o, la probabilidad de ue llegue ua uidad al sistema es igual e todos los itervalos de tiempo de la misma logitud. Medidas de desempeño de los sistemas de líeas de espera Evalúa como es el fucioamieto, e promedio, de u sistema de servicio. Medidas de desempeño de los sistemas M/M/ úmero promedio de uidades e el sistema: úmero promedio de uidades e la cola: Tiempo promedio de ua uidad e el sistema: Tiempo promedio de espera de ua uidad e la cola: 2 W W Factor de utilizació o probabilidad de ue el sistema esté ocupado. úmero esperado de uidades ue está siedo atedidas e cualuier mometo o fracció de tiempo ue el sistema está ocupado. robabilidad de ue el sistema esté vacío: robabilidad de ue haya uidades e el sistema e cualuier mometo t: robabilidad de ue el úmero de uidades e el sistema exceda a : ρ w ρ w 3 - ;, 2, >,...,

6 Teoría de líeas de espera 6 Ejemplo: A cierto sistema de servicio las uidades llega a ua tasa de 2 uidades por hora segú u proceso oisso y so atedidas expoecialmete co u tiempo promedio de,3334 horas por uidad. a Evaluar las características de operació del sistema. b ué efecto tiee cambiar la tasa de servicio?

7 Teoría de líeas de espera 7 Modelo M / M / Características: as del modelo M/M/ excepto ue el úmero de servidores es mayor ue. >. Si > hay cogestió e el sistema de servicio. ara descogestioarlo, se reuiere de varios servidores e paralelo < para ue exista estado estable > / Medidas de desempeño úmero promedio de uidades e el sistema: úmero promedio de uidades e la cola: 2 Tiempo promedio de ua uidad e el sistema: W W Tiempo promedio de espera de ua uidad e la cola: W robabilidad de ue el sistema esté ocupado. úmero esperado de uidades ue está siedo atedidas e cualuier mometo o fracció de tiempo ue el sistema está ocupado. robabilidad de ue el sistema esté vacío:

8 Teoría de líeas de espera 8 robabilidad de ue haya uidades e el sistema e cualuier istate t: < si si Utilizació: U Ejemplo: A u cetro de copiado llega e promedio 6 trabajos por hora y la tasa de servicio es de 36 trabajos por hora. as llegadas y los servicios sigue procesos de oisso. Aalice las características de operació de este sistema.

9 Teoría de líeas de espera 9 Modelo co tiempos de servicio co distribució geeral M / G / Supuestos: So los mimos del modelo M/M/, excepto ue los tiempos de servicio sigue ua distribució de probabilidad geeral co media y desviació estádar σ. Medidas de desempeño úmero promedio de uidades e el sistema: úmero promedio de uidades e la cola: Tiempo promedio de ua uidad e el sistema: Tiempo promedio de espera de ua uidad e la cola: σ 2 W W W 2 2 Ejemplo: E u autobaco los tiempos de servicio de los cajeros tiee distribució ormal co media,25 horas y ua desviació estádar,8333 horas. a tasa de llegadas es oisso co u promedio de 4 autos por hora. Aalizar las características de operació de este sistema de servicio.

10 Teoría de líeas de espera Modelo co tiempo de servicio costate M / D / Supuestos: Este modelo tiee los mismos supuestos del modelo M/M/, excepto ue se supoe ue el tiempo de servicio es costate o determiístico. or lo geeral el servicio lo presta ua máuia. Medidas de desempeño úmero promedio de uidades e el sistema: úmero promedio de uidades e la cola: Tiempo promedio de ua uidad e el sistema: Tiempo promedio de espera de ua uidad e la cola: Utilizació: W 2 W 2 U Ejemplo: U lavadero automático de autos tiee ua líea de remolue de maera ue los autos se mueve a través de la istalació de lavado como ua líea de esamble. Supógase ue se acepta u auto cada 5 miutos y ue la tasa promedio de llegadas es de 9 autos por hora segú oisso. Aalice las características de operació de este sistema de lavado.

11 Teoría de líeas de espera Modelo co capacidad limitada : M / M / / Supuestos: Este modelo sigue los mismos supuestos del modelo M/M/, excepto ue la capacidad del sistema es limitada a u máximo de uidades e cualuier istate t. Medidas de desempeño úmero promedio de uidades e el sistema: úmero promedio de uidades e la cola: 2 Tiempo promedio de ua uidad e el sistema: W W Tiempo promedio de espera de ua uidad e la cola: A W Tasa de llegadas aceptadas: A Tasa de llegadas rechazadas: A R robabilidad de ue haya uidades e el sistema e cualuier istate t: Ejemplo: E ua autopista hay ua estació de gasolia. os autos llega a taueo siguiedo u proceso oisso co ua tasa promedio de por hora. El tiempo ecesario para tauear es expoecial co ua media de 3 miutos. E la estació cabe u máximo de 4 autos y las leyes de trásito local prohíbe ue los autos espere e la vía. Ecotrar: a El úmero promedio de autos ue se ecuetra simultáeamete e la estació de gasolia. b El tiempo promedio de espera de cada auto. c El igreso promedio ue se pierde cuado la estació está completamete llea, si la compra promedio por auto es $ 7..

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13 Teoría de líeas de espera 3 Modelos de líeas de espera para població fiita de tamaño Modelos de servicios de máuias Cuado la població ue geera las llegadas es fiita < 3, la tasa promedio de llegadas cambia depediedo del úmero de uidades ue se ecuetra e la líea de espera; es decir, la tasa promedio de llegadas se defie e térmios de la frecuecia co la ue cada uidad llega o solicita servicio. Modelo M / M / Supuestos: El patró de llegadas: Markov. Tasa de llegadas: igual para todas las uidades. El patró de servicios: Markov. U solo servidor. Ua sola fase: Cada uidad reuiere u solo servicio. Disciplia de la fila: rimero e etrar primero e salir. as medidas de desempeño para este sistema de líeas de espera so: Factor de utilizació: robabilidad de ue el sistema esté vacío: úmero promedio de uidades e el sistema: úmero promedio de uidades e la cola: Tiempo promedio de ua uidad e el sistema: Tiempo promedio de espera de ua uidad e la fila: W W robabilidad de ue haya uidades e el sistema e cualuier istate t: robabilidad de ue haya ue esperar o de ue el sistema esté ocupado: W

14 Teoría de líeas de espera 4 Ejemplo: U cotratista desarrolla 4 proyectos. Ua falla e las obras ocurre e promedio cada 2 días e cada sitio. Toma 2 días e promedio solucioar la falla. os tiempos etre llegadas y etre servicios se distribuye expoecialmete. Aalice las características de operació.

15 Teoría de líeas de espera 5 Modelo M / M / Supuestos: os mismos del M/M/, excepto ue el úmero de servidores es mayor ue, > y, además <. tamaño de la població. ara este sistema de colas, las medidas de desempeño so: Factor de utilizació: robabilidad de ue el sistema esté vacío: úmero promedio de uidades e el sistema: úmero promedio de uidades e la fila: Tiempo promedio de ua uidad e el sistema: W Tiempo promedio de espera de ua uidad e la fila: W robabilidad de ue haya uidades e el sistema e cualuier istate t: < si si Ejemplo: U cotratista desarrolla 4 proyectos. Ua falla e las obras ocurre e promedio cada día e cada sitio. Toma 2 días e promedio solucioar ua falla. os tiempos etre llegadas y etre servicios se distribuye expoecialmete. Aalice las características de operació del sistema.

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17 Teoría de líeas de espera 7 Aálisis ecoómico de las líeas de espera as medidas de desempeño so usadas para determiar los costos míimos del sistema de líeas de espera. ara ello, se reuiere estimar costos tales Costo por uidad de tiempo de trabajo por servidor. Costo de espera de la uidad por uidad de tiempo e la fila o e el sistema. ué catidad de servidores para la ateció de las uidades debe ser usadas co el fi de miimizar el costo total de operació de u sistema de líeas de espera? El costo total esperado de operació de u sistema de servicio dado por: Costo total esperado, CT Costo total del servicio Costo total del tiempo de espera Costo total de servicio. Es el costo operativo del sistema ue depede por lo geeral del úmero de servidores y del costo de operació por tiempo y servidor. Costo total de servicio, CS Costo por uidad de tiempo y servidor úmero de servidores Costo total del servicio, CS Cs Costo total de espera. Costo por uidad de tiempo ue depede del tiempo de espera de ua uidad e el sistema y del úmero promedio de uidades e el sistema. Costo total de espera, CE Costo de espera por tiempo y uidad úmero promedio de uidades e el sistema Costo total de espera, CE Ce a relació etre estos dos costos y el ivel de icremeto del servicio se ilustra gráficamete, así: De la figura vemos ue el costo total esperado es míimo al ivel de servicio óptimo desigado como *. or lo tato e los modelos de líeas de espera el objetivo real es determiar el ivel específico de servicio ue miimice el costo total de operació del sistema.

18 Teoría de líeas de espera 8 Ejemplo: U supermercado tiee varias cajas de pago idéticas, cada ua de las cuales puede servir u promedio de 6 clietes por hora. E promedio llega 24 clietes por hora. El supermercado tiee capacidad ilimitada. Si el costo promedio de espera es de $2/ hora - cliete, y el costo de operació de ua caja es $5/hora, determie el úmero óptimo de cajas para el supermercado.

19 Teoría de líeas de espera 9 Ejemplo: ara el siguiete sistema de líeas de espera hallar el úmero óptimo de servidores. Tasa promedio de llegadas 225 uidades por hora. Tiempo promedio de servicio.25 horas por uidad. Costo de servicio por uidad y por hora $6. Costo de espera $8 por uidad y hora

20 Teoría de líeas de espera 2 Ejemplo: A u cetro de copiado llega e promedio 6 trabajos por hora y la tasa de servicio es de 25 trabajos por hora. as llegadas y los servicios sigue procesos de oisso. Si el costo de espera es $ por hora y por trabajo, y el costo de servicio es $ por hora y por fotocopiadora, cuál debe ser el úmero óptimo ue miimice el costo total de espera?

21 Teoría de líeas de espera 2 roblemas. E u supermercado se está evaluado u sistema de badas para las cajas registradoras el cual reduciría el tiempo el tiempo de servicio de 6 a 5 miutos por cliete. Este tiempo es expoecial egativo. a admiistració ha establecido ue el tiempo promedio etre llegadas es tambié expoecial e igual a miutos por cliete. Tambié se sabe ue el tiempo de espera de u cliete cuesta $./hora. Si la bada aumeta e $3./hora los costos de operació, deberá istalarse? 2. Ua plata de producció puede maejar u promedio de 25 uidades/hora, auue los tiempos varía debido a la codició del material ue llega. a tasa de llegada y la tasa de servicio puede aproximarse mediate ua distribució de oisso. Cuátas uidades por hora se debe asigar para hacer ue el tiempo medio del sistema o sea mayor ue 4 miutos? 3. U aeropuerto puede ateder 3 avioes e 2 miutos ya sea ue despegue o ue aterrice. Si esta tasa tiee ua distribució de oisso, cuál es el tiempo medio etre llegadas de aterrizaje o despegue para asegurar ue el tiempo promedio de espera sea 5 miutos o meos. Supoer ua distribució expoecial del tiempo etre llegadas. 4. Ua agecia ue aluila autos recibe u promedio de 5 solicitudes/día. uede cubrir 2 de tales solicitudes/día. Si embargo, si so retados meos de tres autos la compañía pierde diero así: si sólo se reta dos, la pérdida llega a $22./día; si sólo se reta uo, la pérdida llega a $26./día; si o se reta iguo, la pérdida es de $29. diarios. as pérdidas so, por supuesto compesadas por las gaacias de retar 3 o más autos. Cosiderado sólo las pérdidas, cuál es el valor esperado de las pérdidas por día? Supoga llegadas y servicios oisso. 5. os pacietes llega a u cosultorio e u tiempo promedio de 2 miutos segú ua distribució de oisso y so atedidos por el médico e u tiempo expoecial promedio de 5 miutos. Si el médico desea ue o más del 2% de los pacietes permaezca de pie, cuátas sillas deberá colocar? 6. Ua refiería distribuye sus productos mediate camioes ue se descarga e el termial de carga. Se carga camioes de la compañía y camioes de distribuidores idepedietes. as compañías idepedietes se ueja de ue alguas veces debe esperar e la líea y perder diero por mateer esperado al coductor y al camió. Ellos ha solicitado a la refiería dispoer de u segudo termial de carga o descotar u precio euivalete al tiempo de espera. Se tiee los siguietes datos: tasa promedio de llegada para todos los camioes 2/hora; tasa promedio de servicio 3/hora. El 3% de todos los camioes so idepedietes. Supoiedo ue estas tasas so aleatorias distribuidas segú oisso, determiar: a a fracció de tiempo ue u camió tiee ue esperar. b El tiempo estimado ue los camioes idepedietes espera por día. c Si el costo estimado de espera de u camió idepediete se estima e $.5/hora, cuál es el costo por día? 7. Se debe cotratar u mecáico para reparar máuias ue falla a ua tasa promedio de 4 por semaa. as fallas ocurre aleatoriamete e forma de oisso co el tiempo. El tiempo o productivo de ua máuia se estima tiee u costo de $5. pos semaa. Se tiee dos alterativas de selecció: U mecáico leto co u costo de $3. por semaa y ue repara las máuias ue falla a ua tasa de 5 por semaa, y u mecáico rápido co u costo de $45. por semaa y ue repara las máuias a ua tasa de 7 por semaa. Supoiedo ue se cumple las codicioes características de u sistema M/M/ població ifiita, cuál de los dos mecáicos debe ser cotratado? 8. Ua empresa de teléfoos está plaeado la istalació de casillas telefóicas e u uevo aeropuerto. Se ha establecido la estrategia de ue ua persoa o tega ue esperar más del 5% de las veces ue itete usar u teléfoo. Se estima ue la demada de uso tiee ua distribució de oisso co u promedio de 3 por hora. a llamada telefóica promedio tiee ua distribució expoecial co u tiempo medio de 5 miutos. Cuátas casillas telefóicas se debe istalar? 9. El proceso de descarga de voluetas se realiza por medio de ua pala. El tiempo etre llegadas es 5 miutos y se distribuye expoecial. a tasa de descarga es de 2 voluetas por hora. El costo de la pala y el operario es de $7 por hora. El costo de tiempo ocioso de ua volueta y su coductor es de $. por hora. Cuátas palas debe usarse?

22 Teoría de líeas de espera 22. U mecáico atiede 4 máuias. ara cada máuia, el tiempo medio etre reuerimietos de servicio es horas y se supoe ue tiee ua distribució expoecial. El tiempo de reparació tiede a seguir la misma distribució y tiee u tiempo medio de 2 horas. Cuado ua máuia ueda e reparació, el tiempo perdido tiee u valor de $2. por hora. El costo por día del mecáico es de $5.. a Cuál es el úmero esperado de máuias e operació fucioado? b Cuál es el costo esperado del tiempo perdido por día? c Sería deseable teer dos mecáicos para ue cada uo atediera sólo dos máuias?. Ua compañía ha decidido utilizar subestacioes localizadas e la regió de mercadeo para ateder sus camioes de reparto. El vicepresidete de mercadeo desea ue los reuerimietos de servicio y mateimieto o iterfiera el servicio de etrega. uesto ue los camioes opera 24 horas, puede llegar a solicitar servicio e cualuier mometo pero geeralmete lo reuiere cada 8 horas. os procedimietos de mateimieto reuiere ua estació co capacidad para ateder camioes durate u período de 8 horas. El tiempo etre llegadas se aproxima a ua distribució expoecial, y la tasa de servicio tiee ua distribució de oisso. El vicepresidete ha solicitado ue sólo la mitad de los camioes ue llega esté obligados a esperar servicio. or cuátos camioes debe respoder cada estació? 2. U supermercado tiee varias cajas de pago idéticas, cada ua de las cuales puede servir u promedio de 8 clietes por hora. E promedio llega 3 clietes por hora. El supermercado tiee capacidad ilimitada. Si el costo promedio de espera es de $5/ hora- cliete, y el costo de operació es de $5/hora-caja, determie el úmero óptimo de cajas para el supermercado. 3. E ua carretera hay ua estació de gasolia. os autos llega a taueo siguiedo u proceso oisso co ua tasa promedio de 2 por hora. El tiempo ecesario para tauear es expoecial co ua media de 3 miutos. E la estació cabe u máximo de 4 autos y las leyes de trásito local prohíbe ue los autos espere e la vía. Ecotrar: a El úmero promedio de autos ue se ecuetra simultáeamete e la estació de gasolia. b El tiempo promedio de espera de cada auto. c El igreso promedio ue se pierde cuado la estació está completamete llea, si la compra promedio por auto es de $ 8.? 4. Si ua escalera eléctrica e u gra almacé puede aceptar 3 persoas/miuto, cuál es la tasa de llegadas máxima ue se permite para mateer el tiempo medio de espera por debajo de segudos? 5. Ua pastelería tiee dos trabajadores, cada uo de ellos es capaz de ateder 3 clietes por hora, co los tiempos reales de servicio distribuidos expoecialmete. os clietes llega a la pastelería de acuerdo a u proceso oissoiao, co ua tasa media de 4 por hora. Determíese: a a fracció del tiempo ue u cierto trabajador está ocioso. R:.33 b a probabilidad de ue haya más de dos clietes esperado servicio e u mometo dado. R: Ua empresa tiee actualmete ua máuia co ua capacidad de producció de piezas por hora co distribució oisso. El costo de fucioamieto de esta máuia es de $.5 por hora. a empresa está iteresada e sustituirla por ua máuia completamete automática co ua capacidad de producció de piezas por hora cuyo costo de fucioamieto se estima e $2. la hora. El costo de teer la materia prima e ivetario es de $6 por hora-pieza. Si la etrada de materia prima es de 9 piezas por hora segú oisso y se cosidera ua disciplia de la líea de espera fifo, calcular: a El costo promedio por hora co la máuia actual. b El costo promedio por hora co la máuia automática. c El costo uitario de mateer el ivetario para ue sea idiferete el seleccioar cualuiera de las dos máuias. 7. El baco acioal W.B. opera ua vetailla para automovilistas ue permite a los clietes realizar sus trasaccioes bacarias si bajar de su automóvil. E las mañaas de los días etre semaa, las llegadas a estas vetaillas ocurre al azar, co ua tasa promedio de llegadas oisso de 24 clietes/hora. os tiempos de servicio so expoeciales co u promedio de 36 clietes por hora. a Cuál es el úmero promedio o esperado de clietes ue llega e u lapso de 5 miutos? b Se espera teer problemas de demoras si llega más de tres clietes durate cualuier período de 5 miutos. c Cuál es la probabilidad de ue se presete problemas de demora?

23 Teoría de líeas de espera U estudio de la operació de caales múltiples de u expedio de alimetos e u estadio muestra ue el tiempo promedio etre la llegada de u cliete al mostrador del local y su salida co u pedido ya surtido es de miutos. Durate u juego, los clietes llega a ua tasa promedio de 4 por miuto segú oisso. a operació del expedio de alimetos reuiere de u promedio de 2 miutos por cada pedido de u cliete. Este tiempo es expoecial. a. Cuál es la tasa promedio de servicio por caal, e térmios de clietes por miuto? b. Cuál es el tiempo promedio de espera e la líea ates de hacer el pedido? 9. lega u promedio de 5 automovilistas por hora, co tiempos expoeciales etre llegadas, ue desea ue se les atieda e la vetailla de servicio e el auto de u restaurate. Si hay ua cola de más de 4 autos, icluyedo el de la vetailla, el auto ue llegue se va. Si e promedio toma dos miutos e ateder a u automovilista: a Ud. acaba de formarse e la cola. E promedio, cuáto tiempo pasará para ue reciba su pedido? b Cuál es el igreso promedio por hora e esta vetailla de servicio e el auto, si cada automovilista cosume e promedio $ 8.? 2. Ua empresa trasporta e camioes ue ormalmete espera u promedio de 45 miutos e cada viaje ates de descargar. a empresa está cosiderado establecer u cetro de recolecció diferete co u costo extra de $4 por viaje y camió. El uevo cetro puede operar a ua tasa de 3 camioes por hora co ua desviació estádar de. horas. as llegadas al uevo cetro so oisso co ua tasa promedio de 24 camioes por hora. Si el tiempo de espera de u camió se valora e $2. por hora, cuáto ahorro resultará? 2. U taller puede ateder u promedio de autos por hora. Si embargo, llega u promedio de 8 autos por hora. Dado ue solo existe espacio para dos autos, cuál es el igreso ue se pierde si cada auto represeta u igreso medio de $2.? 22. os autobuses llega a ciertas istalacioes de servicio de acuerdo a u proceso oissoiao, co ua tasa media de por día. as istalacioes puede dar servicio a uo por uo, el tiempo de servicio se distribuye expoecialmete alrededor de ua media de /2 por día. A la compañía de autobuses le cuesta $2. diarios operar las istalacioes de servicio y $5 por cada día ue u autobús permaece e las istalacioes. Comprado euipo más modero, la compañía de autobuses puede dismiuir el tiempo medio de servicio a /5 por día, pero esto aumetaría los costos diarios de operació de las istalacioes de servicio a $2.45. Resulta coveiete desde el puto de vista ecoómico hacer este cambio? 23. Tres mecáicos atiede doce máuias. a tasa de etrada de máuias a reparació es de ua por día y ellos atiede a ua tasa de.9 máuias por día. as etradas como los servicios tiee distribució oisso. a Cuál es la probabilidad de ue los tres mecáicos esté ociosos? b Cuál es la probabilidad de ue haya tres máuias esperado servicio? c Cuál es el tiempo promedio ue espera ua máuia por el servicio? d Si el costo improductivo de ua máuia es de $./día y el costo de la mao de obra es de $4./día, cuál es el costo esperado por día?

24 Teoría de líeas de espera 24 Medidas de desempeño para ÍEAS DE ESERA OBACIÓ IFIITA M/M/ M/M/ M/G/ M/M// Servidores: Fase: Tasa de llegadas: Tasa de servicios: Capacidad: Úica oisso oisso Ilimitada > Úica oisso oisso Ilimitada Úica oisso Geeral Ilimitada Úica oisso oisso imitada, U Utilizació robabilidad sistema vacío w úmero promedio e el sistema úmero promedio e la fila 2 2 σ W Tiempo promedio e el sistema W W W W Tiempo promedio de espera e la fila A robabilidad de uidades e el sistema,...,,, < si si, 2, 3,, W robabilidad de esperar o de ue el sistema este ocupado > robabilidad de más de uidades e el sistema A Tasa de llegadas aceptadas A R Tasa de llegadas rechazadas A R ota: as ecuacioes para el sistema M/D/ se obtiee haciedo σ e las ecuacioes del modelo M/G/. úmero máximo de llegadas ue puede teer el sistema e u mometo dado, tato esperado como siedo atedidas. σ Desviació estádar de la distribució del tiempo de servicio.

25 Teoría de líeas de espera 25 Medidas de desempeño para ÍEAS DE ESERA OBACIÓ FIITA M/M/ M/M/ Servidores: Fase: Tasa de llegadas: Tasa de servicios: Capacidad: Úica oisso oisso Ilimitada > Úica oisso oisso Ilimitada U Utilizació robabilidad sistema vacío úmero promedio e el sistema úmero promedio e la fila W Tiempo promedio e el sistema W Tiempo promedio de espera e la fila robabilidad de uidades e el sistema < si si w robabilidad de esperar o de ue el sistema este ocupado Tasa promedio de llegadas Tasa promedio de servicio Tamaño de la població úmero de uidades e el sistema e cualuier mometo úmero de servidores o estacioes de servicio

26 Teoría de líeas de espera 26 Valores de para los modelos de líeas de espera M / M / oblació ifiita úmero de servidores, / ,,2,3,4,5,6,7,8,9,,,2,3,4,5,6,7,8,9 2, 2, 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3, 2, 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4, 4, 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5,,9,8,7,6,5,4,3,2,,948,882,739,6667,6,5385,485,4286,3793,3333,293,25,22,765,429,,8,526,256,948,887,747,67,66,5479,4952,4472,435,3636,3273,294,2638,236,25,872,657,46,278,,957,85,683,562,449,345,249,6,77,948,887,748,673,665,5487,4965,449,462,3673,332,32,272,2449,22,993,796,66,453,34,69,46,933,83,737,65,573,52,437,377,323,273,227,86,48,3,8,5,25,948,887,748,673,665,5488,4966,4493,465,3678,3328,3,2723,2463,2228,24,82,646,487,343,23,94,987,889,8,72,648,58,52,466,47,372,33,293,259,228,2,74,5,3,,93,77,63,5,38,27,7,8,948,887,748,673,665,5488,4966,4493,466,3679,3329,32,2725,2466,223,28,826,652,494,35,222,5,999,93,86,737,666,6,543,49,44,398,358,322,29,26,233,29,87,67,49,32,7,4,9,8,7,6,53,45,948,887,748,673,665,5488,4966,4493,466,3679,3329,32,2725,2466,223,29,827,653,495,353,224,7,2,96,82,742,67,66,548,496,448,45,366,33,298,269,243,29,98,78,6,44,3,7,5,94,84,75,67,6

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