TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

2 .- FUNCIONES. L ide de función es uno de los conceptos más básicos en mtemátics. Un función epres l ide de un cntidd que depende de otr o viene determind por otr. Por ejemplo:. El áre de un cudrdo depende de l longitud de su ldo; si conocemos l longitud c del ldo de un cudrdo, su áre es: A = c. b. El volumen de un esfer depende de su rdio r: V = 4 3 π r3. c. El crecimiento medio de cierts especies de plnts depende de l edd de l plnt. d. L respuest de un nervio depende de l mgnitud de los estímulos plicdos. Vmos dr un definición forml de un función. Definición: Un función rel de vrible rel es un plicción definid en un subconjunto de vlores reles, D R, que sign cd elemento de D un único vlor en R. L denotremos: f: D R f() Notemos que D R (vrible o rgumento) f() R. Denotemos por f un función dd. El conjunto D (normlmente es el máimo subconjunto de R pr el que f() está bien definid, i. e., f() R) se denomin el dominio de l función f se denot por D f. Generlmente nos encontrremos con funciones que se epresn estbleciendo el vlor de l función por medio de un fórmul lgebric en términos de l vrible independiente. Por ejemplo: f() = , 3 g(t) = t 3 +, etc. t En l morí de lo csos l función se puede representr por su gráfic. L gráfic de un función se obtiene dibujndo todos los puntos (,) donde pertenece l dominio de f e = f(), trtndo e como coordends crtesins. Culquier curv dd (o conjunto de puntos) en el plno es l gráfic de lgun función, suponiendo que culquier líne verticl cort l gráfic en, como máimo, un

3 punto. Por ejemplo, ls gráfics en l Figur. representn tods funciones. (Notr que en l Figur.c el dominio de l función es el conjunto de enteros {,,3,4,5} por ello l gráfic consiste nd más en 5 puntos) () (b) (c) Figur. Por otr prte, ls gráfics en l Figur. no representn funciones. L rzón es que h línes verticles que cortn ls gráfics en más de un punto. Así, correspondiendo l vlor = o en l primer gráfic h dos vlores e pr. En este cso, el vlor de no determin un único vlor de. () (b) Figur. En generl, cundo buscmos el dominio de un función hemos de tener ls siguientes condiciones en cuent: culquier epresión bjo de el signo de l ríz cudrd, o dentro del logritmo, no puede ser negtiv, el denomindor de culquier frcción no puede ser cero. En los ejemplos nteriores ls funciones que precen estbn definids medinte un únic epresión lgebric pr todos los vlores de l vrible independiente lo lrgo del dominio de l función. A veces necesitmos usr funciones que están definids por más de un epresión. Ejemplo: 3

4 Se l distnci en Km. lo lrgo de ciert rut de migrción de pájros. A lo lrgo de l rut h fuentes de limentos l principio ( = 0), en = 400 l finl, en = 000. L función f() es l distnci del punto l fuente de limento más próim. Dibujr f(). Cul es l mor distnci de culquier punto de l rut un fuente de limento? A lo lrgo de l rut, vrí de L distnci del punto l fuente de limento en = 0 es, su distnci l fuente de limento en = 000 es igul (000 - ). L distnci l fuente de limento en = 400 es igul L función f() es igul l más pequeñ de ests tres distncis. Ls gráfics de ests tres funciones se muestrn en l Figur.3. L gráfic de f() prece como un líne más grues en l figur. Podemos ver que f() viene dd por f() = si = = = = Figur.3 El vlor máimo de f() ocurre en = 700, pr el que f() = 300. Por tnto, l distnci máim un fuente de limentción es 300 Km. Operciones con funciones: Dds dos funciones f g con dominios D f D g respectivmente, definimos ls siguientes funciones: Sum: (f + g)() = f() + g() D f+g = D f D g. Rest: (f - g)() = f() - g() D f-g = D f D g. Producto: (f. g)() = f(). g() D f. g = D f D g. Cociente: f f() g () = g() D f/g = [ D f D g ] - { : g() = 0 } Composición: (f o g)() = f[ g() ] D fog = { : D g g() D f } 4

5 Definición. Se = f() un función definid en un intervlo ],b[ se 0 ],b[, se dice que f() es contínu en el punto 0 si lim f()=f(0). 0.- INCREMENTOS Y RAZONES DE CAMBIO Se un vrible de l cul considermos dos vlores,. A l cntidd = - l denominremos incremento de. Dd = f(), tenemos que si = f( ) e = f( ), el incremento de es = - = f( ) - f( ). A l cntidd tmbién se le llm cmbio o vrición en el vlor de l función. Como = +, tenemos que = f( ) - f( ) = f( + ) - f( ) luego = f( + ) - f() () > 0 (b) < 0. Figur.. Ejemplo: El tmño de un poblción de insectos en el instnte t (medido en dís) es 3000 f(t) = Determinr el cmbio de l poblción pr t = t = 3, i. e., + t l diferenci de poblción entre los dís 5. = f( + 3 ) - f() = f(5) - f() = = = L poblción h umentdo en 500 insectos en 3 dís =

6 L rzón de cmbio o rzón de crecimiento de un función f() en un intervlo [, + ] viene definid por: = f ( + ) f ( ) Notemos que es necesrio que [, + ] D f f(+ ) (medi de cmbio de respecto de ) Q f() P + Figur 4. Notemos que = pendiente de l rect que une P Q. (Figur 4.). Ejemplo: Se introduce un poblción de bcteris en un medio nutriente. Supongmos que el peso de l poblción cmbi según l fórmul: 00t P(t) = 50 + mg. + t donde t está medido en hors. Determinr l rzón de crecimiento en un periodo de cinco hors, comenzndo en t = hors. t = t = 5. Por tnto, P = P( t + t ) - P(t) = P(+5) - P() = P(7) - P() = = mg. P Así, t = 5 mg/h. 3.- DERIVADAS Si un person vijndo en un utomóvil choc con un pred, no es su velocidd medi desde l slid hst el punto donde choc con l pred l que determin si sobrevivirá l ccidente, sino l velocidd en el instnte de l colisión 6

7 Qué queremos decir con velocidd de un objeto en un instnte de tiempo (o velocidd instntáne como se conoce usulmente)?. L velocidd se define como l distnci recorrid en un cierto intervlo de tiempo dividid por l longitud del tiempo. Pero si nos referimos l velocidd en un instnte prticulr de tiempo, deberímos de considerr un intervlo de tiempo de durción cero. No obstnte, durnte ese intervlo, l distnci recorrid serí cero, pr l velocidd, distnci dividid por tiempo, obtendrímos 0 0, un cntidd que no quiere decir nd. Pr definir l velocidd instntáne de un objeto en movimiento en un cierto tiempo t, hcemos: durnte culquier intervlo de tiempo desde t hst t + t, se recorre un s incremento de distnci s. L velocidd medi es. Si el incremento t se tom t más más pequeño, el correspondiente intervlo de tiempo es mu corto. En s consecuenci es rzonble suponer que l velocidd medi en ese intervlo tn t corto estrá mu próim l velocidd instntáne en el tiempo t. Además, cunto más corto se el intervlo, mejor se proimrá l velocidd medi l velocidd instntáne. Ejemplo: El tmño (peso) de un poblción de bcteris en un tiempo t (en minutos) viene ddo por: w(t) = t 3 mg Encontrr l rzón de crecimiento instntáneo de w en t = min. Crecimiento de w entre t = t = + t : w = w( + t ) - w() = (+ t) 3-3 = [ 8 + t + 6( t) + ( t) 3 ]- 6 = ( t) 3 + ( t) + 4 t L rzón de crecimiento en el tiempo t prtir de t = es: w t = ( t) + t + 4 Por tnto, el crecimiento instntáneo en t = : w lim = 4 t 0 t Así, l poblción los minutos, crece con un velocidd de 4 mg/min. Definición: Dd = f(), l derivd de l función f en el punto es l rzón de crecimiento instntáneo en. Es decir: '= f ' () = d d = lim = 0 lim 0 f ( + ) f ( ) Si este límite no eiste, se dice que l función f no es derivble en el punto. 7

8 Interpretción geométric: L derivd de un función en un punto se puede interpretr como l pendiente de l rect tngente l gráfic de l función en dicho punto. pendiente de l tngente = m tg = lim = d d. 0 Ejemplo: Encontrr l pendiente de l tngente f() = en el punto (,4). lim 0 = f ( + ) f ( ) ( + ) lim = lim 0 0 = + + ( ) lim = 0 Por tnto, f ' () = f ' () = 4 = m tg. L rect tngente es: - = m ( - ) luego - 4 = 4 ( - ), luego = 4-4. = Propieddes: ) Sen f() g() dos funciones derivbles en. Entonces: d ( cf ).- Si c es un constnte, = c df d d. d ( f ± g).- = df d d ± dg d. d ( f g) 3.- = f dg d d + g df d. df dg g f d f 4.- = d d d g g b) Si = f(u) es un función de u u = g() es un función de, entonces: d d = d du du d Derivds de funciones elementles:.- Función constnte f() = c: f ' () = 0.- Función potenci f() = p, p R: f ' () = p p- 3.- Función logrítmic f() = log (), > 0 : f ' () = ln 8

9 Si g() = ln f(), con f() > 0: g ' () = f '( ) f ( ) 4.- Función eponencil f() = >0: f ' () = ln Si g() = e : 5.- Funciones trigonométrics: Si f() = sen f ' () = cos. g ' () = e Si f() = cos f ' () = - sen. Si f() = tg f ' () = cos Si f()=rcsen f ' () = ( < ) Si f() = rccos f ' () = -. ( < ) Si f() = rctg f ' () = Derivd logrítmic: Se = [ f() ] g() donde f() g() son continus f() > 0. Entonces: ln = g() ln f() luego ' = g ' () ln f() + g() f '( ) f ( ), luego ' = [ f() ] g() f '( ) g '( ) ln f ( ) + g( ) f ( ) Ejemplos:.- = ( > 0) ln = ln ' = ln + ' = ( ln + ).- = ( sen ) cos con 0 < < π. ln = cos ln (sen ) ' ' = ( sen ) cos sen ln(sen) + cos sen = (- sen ) ln (sen ) + cos cos sen 9

10 4.- DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Si = f(t) es un función del tiempo t, entonces como hemos visto, l derivd d dt = f ' (t) represent l rzón en l cul cmbi. Por ejemplo, si s = f(t) es l distnci recorrid por un objeto en movimiento, entonces ds dt = f ' (t) d l rzón del cmbio de l distnci o, en otrs plbrs, l velocidd instntáne del objeto. Denotemos est velocidd por v. Entonces v es tmbién un función de t, puede ser derivd pr obtener dv dt. Est cntidd represent l rzón en l cul l velocidd cmbi, es decir, l celerción del objeto en movimiento. Pr clculr l celerción, hemos de derivr s después derivr el resultdo un vez más. Tenemos: Acelerción = dv dt = d ds dt dt Acelerción se llm l segund derivd de s respecto t usulmente se denot por f"() o, tmbién por d s dt. Vmos eminr ls derivds de orden superior en generl. Se = f() un función dd de con derivd d d = f ' (). Técnicmente, ést se denomin l primer derivd de respecto. Si f ' () es un función derivble de, su derivd se denomin segund derivd de respecto. Si l segund derivd es un función derivble de, su derivd es l tercer derivd de respecto de, etc. Ls derivds de orden superior de respecto de se denotn por: d d, d d, d3 d 3,..., dn d n, o ', ", "',..., (n), o f ' (), f"(), f"'(),..., f (n) (). De l definición de derivds de orden superior, tenemos que. d d = d d d d, d 3 d 3 = d d d d, etc. Ejemplos: Encontrr ls derivds primer, segund tercer de:.- =. ' = ln, " = (ln ), = (ln ) 3.- = sen. ' = cos, " = - sen, "' = - cos 0

11 5- PRIMITIVAS. Hemos visto que si s(t) es l distnci recorrid en el tiempo t por un objeto en movimiento, entonces l velocidd instntáne es v(t) = s'(t), l derivd de s(t). Pr clculr v, simplemente derivmos s(t). No obstnte, puede ocurrir que conociérmos l función velocidd v(t) quisiérmos clculr l distnci s recorrid. En tl situción, conocemos l derivd s'(t) necesitmos encontrr l función s(t), l operción invers l derivción. Definición: El proceso de encontrr l función cundo se d su derivd se denomin integrción, l función se denomin l integrl o primitiv de l derivd dd. Si f() es l derivd de F(), esto es df d = f(), entonces F() es un primitiv de f(). Escribimos esto en l form: f ( ) d = F(), L función f() que h de integrrse se denomin integrndo. Pr clculr f ( ) d, hemos de pensr en un función F() cu derivd es f(). Por ejemplo, pr clculr que d d =, concluimos que d, buscremos un función cu derivd se. Ddo d =. No obstnte, hemos de observr que est respuest no es l únic que l función (C + ), pr culquier constnte C, es un primitiv de. Escribimos d = + C. L constnte C, que puede tomr culquier vlor rbitrrio, se denomin constnte de integrción. En generl podemos decir que si F'() = f(), entonces el conjunto de tods ls primitivs de f() viene ddo por f ( ) d = F() + C, donde C es un constnte rbitrri. Y que l constnte es rbitrri, l integrl sí obtenid es conocid como integrl indefinid. De l definición de integrl, tenemos que d d [ f ) d] ( = f(), es decir, el proceso de integrción diferencición se neutrlizn mutumente. Tbl de integrles inmedits:

12 +. p d = + p + C ( p - ).. p d = ln + C. 3. e d = e + C. 4. sen d = - cos + C. 5. cos d = sen + C. 6. sec d = tg + C. 7. cosec d = - cotg + C. 8. sec tg d = sec + C. 9. cosec cotg d = - cosec + C. 0. d = rc sen + C.. + d = rc tg + C. L fórmul requiere lgún comentrio: d d Pr > 0, como =, tenemos que ln = ln = d d d d Pr < 0, como = -, tenemos que ln = ln (- ) = d d ( ) (-) = Propieddes:. f() d = f() d, donde es un constnte.. [ f() + g() ] d = f() d + g() d. 3. Si F() G() son primitivs de l mism función f() en un intervlo [,b], entonces, pr lgun constnte c, F = G + c en ese intervlo. Ejemplos:.- L rzón de crecimiento instntáneo (o velocidd de crecimiento) de un coloni de 0 ( t + ) moscs de l frut en el instnte t (t ) es igul. Cundo t =, h 0 t moscs en l coloni. Clculr el número de moscs pr un vlor culquier de t (t > ).

13 Se p(t) el tmño de l coloni en el instnte t. Sbemos que p'(t) = Como p(t) es l primitiv de p'(t), tenemos que 0 ( t + ) p(t) = dt = 0 ( + dt t t ) = 0 [ t + ln t + C ], 0 ( t + ) t donde C es l constnte de integrción. Sbemos tmbién que cundo t =, p() = 0. Por tnto, hciendo t =, obtenemos: p() = 0 = 0 [ + ln + C ] = 0 ( + C ). Por tnto, + C =, ó C =. Consecuentemente podemos sustituir este vlor de C dentro de l epresión de p(t), obteniendo que: p(t) = 0 [ t + ln t + ]...- Durnte ls hors de luz del dí l velocidd de migrción de l oc viene dd por v = 0 t (mills por hor), donde t es el tiempo medido en hors empezndo con t = 0 3 l lb. Cuánts mills h recorrido l oc hst el instnte t?. Hst dónde llegrá l oc volndo en hors? Se s(t) l distnci recorrid entre el lb ( t = 0 ) el instnte t. Entonces, s(0) = 0. Tmbién, l derivd s'(t) es igul l velocidd, sí que s'(t) = 0 t. 3 Integrndo, encontrmos s(t): s(t) = 0 t dt = 0t t + C. Pr determinr el vlor de C, hcemos t = 0, que sbemos que s(0) = 0. Encontrmos que: s(0) = 0 = (0) + C, de lo que deducimos que C = 0. Por tnto, t s(t) = 0t, 6 que nos d l distnci recorrid hst el instnte t. Pr encontrr l distnci vold en hors, hcemos t =. Obtenemos s() = 0-6 () = 40-4 = 6. 3

14 5.. - MÉTODO DE SUSTITUCIÓN. No tods ls integrles pueden resolverse directmente usndo ls integrles inmedits nteriores. A menudo l integrl dd puede reducirse un integrl inmedit conocid medinte un cmbio de vrible de integrción. Tl método se denomin método de sustitución corresponde l regl de l cden en derivbilidd. Teorem: Si F'() = f(), entonces f[g()] g'() d = F[g()] + C pr culquier función diferencible g() que no se un función constnte. Ejemplos:.- ( + 3-7) 5 ( + 3) d. Observemos que l derivd de ( + 3-7) es igul ( + 3) d, que prece en l integrl. Por tnto, tenemos que: ( + 3-7) 5 ( + 3) d = u = + 3 7, du = ( + 3) d = u5 du = = 6 u 6 + C = 6 ( + 3-7) 6 + C..- ln d. ln d.= ln u = ln d = du = d = u du = 3.- ( + ) d. = ln u + C = ln ln + C. Observemos que l derivd de ( + + 7) es igul ( + ) d, pero en l integrl nd más prece ( + ) d. Por tnto, multiplicndo dividiendo el integrndo por, tenemos que: ( + ) d = ( + ) d = 4

15 = u = + + 7,du = ( + ) d = u/ du = ( + ) u ( + ) + C = = 3 u3/ + C = 3 ( + + 7) 3/ + C. 4.- e (3 + tg ) sec d. e (3 + tg ) sec d = u = 3 + tg, du = sec d = eu du = = eu du = eu + C = e(3 + tg ) + C INTEGRACIÓN POR PARTES. El método de integrción por prtes puede usrse menudo pr evlur un integrl cuo integrndo consist en un producto de dos funciones. Es nálogo l fórmul de l derivd del producto es, de hecho, obtenid de ell. Sbemos que: d [ u() v() ] = u'() v() + u() v'(), ó d d u() v'() = [ u() v() ] - u'() v(). d Integrndo los dos ldos respecto, obtenemos: u() v'() d = u() v() - u'() v() d. Si hcemos u() = f() v'() = g(). Entonces podemos escribir v() = G(), donde G() denot l integrl de g(), tenemos que: f() g() d = f() G() - f ' () G() d Est fórmul epres l integrl del producto f() g() en términos de l integrl del producto f'() G(). Es útil porque en muchos csos l integrl de f ' () G() es más fácil de evlur que l integrl del producto originl f() g(). Ejemplo: Clculr sen d. 5

16 Elegimos f() = g() = sen, sí que l integrl dd es igul f() g() d. Entonces f '() = G() = - cos + C, donde C es l constnte de integrción. Sustituendo estos vlores en l fórmul de integrción por prtes obtenemos que: f() g() d = f() G() - f '() G() d, sen d = ( - cos + C ) - () ( - cos + C ) d = = - cos + C + ( cos - C ) d = = - cos + C + sen - C + C = - cos + sen + C, donde C es de nuevo, un constnte de integrción. Not: Hemos de observr que l primer constnte de integrción C en el ejemplo nterior, que prece l integrr g() pr obtener G(), se cncel de l respuest finl. Este es siempre el cso cundo integrmos por prtes. Por tnto, en l práctic, nunc nos molestremos en incluir un constnte de integrción en G(), sino que simplemente tomremos como G() culquier primitiv de g(). Los siguientes comentrios pueden servir de orientción pr decidir l elección de f g:. Si el integrndo es el producto de un potenci enter positiv de (,, 3, etc.) un función eponencil o trigonométric, veces es útil tomr f() como es potenci de. b. Si el integrndo contiene un fctor que se, o bien un función logrítmic, o bien l invers de un trigonométric, es menudo útil escoger est función como f(). Si el integrndo consiste nd más de un función logrítmic o l invers de un trigonométric podemos tomr g() =. Ejemplos:. Clculr ln + d. Escogemos f() = ln + g() =. Entonces f '() =, G() = +. Sustituendo en l fórmul de integrción por prtes, obtenemos ln + d = ln d = 6

17 = ln d. + = ln ln + + C =. Clculr rc sen d. = ( - ) ln C. En este cso podemos epresr el integrndo como un producto escribiendo f() = rcsen g() =. Entonces: f '() = Integrndo por prtes, obtenemos, G() =. rc sen d = rc sen - d. Pr evlur l integrl de l derech, hcemos el cmbio u = -, sí que du = - d. Entonces: d = / u du = - u - / du= - u / + C = = C. Por tnto, rc sen d = rc sen C. 3. Clculr sen d. Utilizndo integrción por prtes con f() = g() = sen, obtenemos: sen d = - cos + cos d. Integrmos por prtes de nuevo, est vez con f() = g() = cos : cos d = sen - sen d = sen + cos. Por tnto, sen d = - cos + ( sen + cos ) + C. 7

18 6. - INTEGRAL DEFINIDA. El cálculo de ls áres de rectángulos triángulos es mu simple: el áre de un rectángulo se obtiene multiplicndo su bse por su ltur el áre de un triángulo es l mitd de l bse por l ltur. El áre de culquier figur pln que está encerrd por segmentos rectilineos puede tmbién clculrse fácilmente subdividiendo l figur en triángulos rectángulos. El áre se obtiene como sum de ls áres de los triángulos rectángulos en que hemos dividido l figur. Cundo l figur no está encerrd por lines rects, entonces el áre puede clculrse medinte sucesivs proimciones. Los mtemáticos griegos fueron los primeros en usr este método pr clculr el áre del círculo. Primero proimemos el áre del círculo inscribiendo un rectángulo, luego mejormos l proimción inscribiendo un octágono, un polígono de 6 ldos, etc. Obvimente, cd polígono nuevo con más ldos proporcion un mejor proimción l áre del círculo que el nterior. Ls áres de los polígonos inscritos son siempre menores que el áre del círculo, pero cundo el número de ldos ument, el áre se proim l del círculo. = f() A Figur. b Hemos de usr un técnic similr pr definir clculr el áre A, l cul está encerrd por un ldo por l gráfic de un ciert función = f() por otro por ls rects verticles =, = b, el eje (Figur.). Pr simplificr, hemos de sumir que f() 0 pr b. Se n > un entero positivo, dividimos el intervlo b en n subintervlos igules, cd uno de longitud h = b - n. Los puntos de división son,,..., n- con b = n. Entonces, = + h, = + h, 3 = + 3h,..., etc. En generl, el k-ésimo punto de división es k = + kh, el último es n = + nh = + ( b - ) = b. 8

19 En el k-ésimo subintervlo, k- k, construimos un rectángulo de ltur igul l vlor de f() en el etremo de l derech, es decir, f( k ). El áre de este rectángulo es igul f( k ) h. Un rectángulo similr se construe en cd uno de los n intervlos, tommos l sum de ls áres de los n rectángulos como un proimción l áre verdder A bjo l curv. Por tnto, denotndo l sum de ls áres de los rectángulos medinte A n, tenemos n A n = k= n f( k ) h = k= f( + kh) h. En generl, cundo n crece, l sum A n de ls áres del rectángulo se proim l áre A verdder cd vez más. De hecho, tomndo n suficientemente grnde, podemos hcer A n tn próimo A como quermos; por tnto, podemos escribir el áre A como el límite de A n cundo n ( o h 0), es decir, A = lim n n k= f ( ) k h, ó A = lim n n k= f ( + kh) h donde h = b - n. Ejemplo: ) Aproimr el áre bjo l curv = entre = 0 = 4 dividiendo el áre en 4, 5 6 rectángulos. b) Clculr el áre verdder. Solución: ) Tenemos = 0, b = 4, f() = n = 4 (Figur.). Por tnto, 6 = Figur. 9

20 Así, h = b - 4 = =, k = + kh = k pr k =,, 3 4. Además f( k ) = k = k. 4 A 4 = f( k ) h = ( ) = 30 k= Notemos que el áre verdder es menor que este vlor. Si n = 5, h = 4 5, k = 4 5 k, f( k) = 6 5 k 5 A 5 = k= f( k ) h = ( ) = = 8.6 Si n = 6, h = 4 6, k = 4 6 k, f( k) = 6 36 k 6 A 6 = k= f( k ) h = ( ) = 78 7 = b) h = 4 n, k = 4 n k, f( k) = 6 n k n A n = k= n f( k ) h = 6 4 n k n = 64 n n 3 k= k= k = = 64 n ( n + ) ( n + ) n 3 6 = 3 ( n + 3n + ) 3 n Así, A = lim A n = 64 3 n =.333. Definición: se f() un función continu definid en el intervlo cerrdo b. Entonces l integrl definid de f() entre = = b, denotd por f ( ) d, se define como b f ( ) d = lim n n k= f ( + kh) h b 0

21 donde h = b - n integrción.. Los números reles b se conocen como los límites de De l nterior definición, si f() 0 en b, l integrl definid represent el áre encerrd por l curv = f(), el eje, ls rects =, = b. El siguiente teorem estblece un relción mu simple entre l integrl definid de un función f() l primitiv de ést: b f ( ) d Teorem: (Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl). Si f() es un función continu de en b, F() es culquier primitiv de f(), entonces b b [ F( ) ] = F( b) F( ) f ( ) d = En l evlución de integrles definids eliminmos l constnte de integrción de l primitiv de f() que ést se cncel en l respuest finl. Se F() + C culquier primitiv de f(), donde C es un constnte de integrción. Entonces, por el teorem nterior, b b [ F( ) + C] = F( b) + C F( ) C = F( b) F( ) f ( ) d = C h desprecido de l respuest., Ejemplo: Evlur el áre encerrd por l curv =, el eje, ls línes = 0 = 4. Clrmente l función f() = es no negtiv pr todo, en prticulr, si 0 = = 4. Por tnto, el áre requerid viene dd por: d = = uniddes cudrds b Ejemplo: Clculr 4 d. Como 4 d = 5 5 tenemos

22 b 5 4 d = 5 b = b = 5 ( b5-5 ) Propiedd: Cundo clculemos integrles definids donde encontrmos l primitiv por el método de sustitución, es importnte notr que los límites de integrción tmbién cmbin cundo cmbi l vrible de integrción. Es decir: b ß f() d = f(g())g () d α =g(), α=g -(), ß=g-(b). Ejemplo: Clculr e d. Se I = e d. Pr encontrr l primitiv de e hemos de hcer uso del método de sustitución. Escribimos l integrl nterior como I = e d. Y que d, l diferencil de, prece en l integrl, hcemos = u, sí d = du. Cundo =, u = =, cundo =, u = = 4. En consecuenci: I = 4 e u du. Notemos que en términos de l nuev vrible u los límites de integrción son 4. Entonces: I = [ eu ] 4 = ( e4 - e ) = e ( e3 - ). Propieddes: (i) f() d = 0. b (ii) f() d = - f() d. b b c b (iii) f() d = f() d + f() d, donde c es culquier otro número. c (iv) Si f(t) es continu en t, entonces

23 d d f(t) dt d = d ( F()-F() ) = f(). Ejemplos:.- d d t cos t dt. Por el teorem nterior tenemos que d d t cos t dt = cos. No h hecho flt evlur primero l integrl entonces derivr..- d d 3 t sen 7 t dt 3 En este cso es importnte notr que l integrl definid t sen 7 t dt tiene un vlor constnte no es un función de. Por tnto, d d 3.- d d (3 rc sen ) d. 0 3 t sen 7 t dt = 0. De l definición de primitiv, si F'() = f(), integrndo mbos términos: f() d = F'() d = F() + C. Por tnto, sí d d (3 rc sen ) d = ( 3 rc sen ) + C, 0 d 3 rc sen 0 = π d (3 rc sen ) d = [ ] 3

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