INTRODUCCION AL ANALISIS VECTORIAL

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1 JOSÉ MILCIDEZ DÍZ, REL CSTILLO, ERNNDO VEG PONTIICI UNIVERSIDD JVERIN, DEPRTMENTO DE ÍSIC INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Intoducción Pate Pate 3 Pate 4 (Pate ) Donde encuente el símbolo..! conduce a una animación ejemplo. " le lleva a una solución detallada. El nálisis Vectoial es excelente heamienta matemática con la cual se expesan en foma más conveniente y se compenden mejo muchos conceptos de la ísica, en paticula los conceptos de la teoía electomagnética..- Cantidades escalaes y cantidades vectoiales. En la ísica y la Ingenieía tatamos con cantidades físicas que pueden se medidas. La medición nos dice cuantas veces una cantidad dada (unidad) está contenida en la cantidad medida. Las cantidades físicas más simples son aquellas que quedan completamente especificadas po un simple númeo y la unidad conocida; estas cantidades se conocen como cantidades escalaes. El volumen, la densidad, la masa, el tiempo, la tempeatua, la distancia, el potencial eléctico son ejemplos de cantidades escalaes. Las cantidades escalaes obedecen opeaciones aitméticas; ejemplos: 7 kg + 8kg = 5kg, 8 m 6m = m ; sí el voltaje de es 5 voltios y el voltaje de es 7 voltios, la difeencia de voltaje ente y seá de 8 voltios. Oto gupo impotante de cantidades físicas son aquellas que además de magnitud tienen diección y se conocen como cantidades vectoiales. El desplazamiento es un ejemplo de estas cantidades; cuando decimos salió de su casa y caminó kilómetos, necesitamos tene en cuenta la diección si deseamos conoce su posición final; la velocidad, la fueza, la intensidad de campo eléctico son otos ejemplos de cantidades vectoiales..- Notación y Definiciones. Una cantidad vectoial (ó simplemente un vecto) suele epesentase po una leta con una flecha aiba de ella: v, podían epesenta una fueza y una velocidad. l dibuja un vecto siempe se taza una flecha, la longitud de la línea epesenta su magnitud y su diección es la del vecto; en la figua se muestan tes vectoes, los y son paalelos, el vecto C es antipaalelo. C ig.. Vectoes paalelos y antipaalelos.

2 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Se dice que dos vectoes son iguales sí ellos tienen igual magnitud y la misma diección, los vectoes y de la figua anteio, además de se paalelos son iguales. Un vecto C tiene la magnitud de C peo su diección es opuesta a la del vecto C, los dos son antipaalelos. Se dice que un vecto a es nulo sí su magnitud es ceo a =. ( ) Los vectoes, 5 son paalelos al vecto y, en geneal, sí m es un escala positivo la cantidad m es un vecto cuya magnitud es m y tiene la diección del vecto. En la figua se muestan dos vectoes paalelos, un vecto cuya magnitud es y oto vecto  cuya magnitud es la unidad. La elación ente estos vectoes la podemos expesa como ˆ = ó también que = ˆ. El vecto  ecibe el nombe de vecto unitaio y simplemente epesenta la diección del vecto. ^ ig.. Vecto unitaio. Sí y son dos vectoes no paalelos, y m y n son dos escalaes cualesquiea, la expesión m + n es una función lineal de y. Similamente, si los vectoes,, C no son todos paalelos a un mismo plano, la expesión l + m + nc es una función lineal de,, C. Ejemplo Ilustativo -. La siguiente figua se muesta un cubo y los desplazamientos de una abeja al cambia de posiciones,, 3 y. Sí el lado del cubo es m, cuánto vale cada uno de los desplazamientos? Cuál es el desplazamiento total? a c b 3 La magnitud de a es y su diección es de a ; la magnitud de b es y su diección es de a 3; la magnitud de c es y su diección es de 3 a. El desplazamiento total es ceo poque volvió a la posición inicial.

3 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL 3.- Suma y esta de vectoes. La adición de vectoes es una suma geomética que satisface la ley conmutativa y la ley asociativa. En la figua 3 se pesenta un paalelogamo donde se muesta la ley conmutativa + = + y + + C = + + C. un polígono donde se ilusta la ley asociativa ( ) ( ) = + ( + ) + C = R = + ( + C) ig. 3. Suma de vectoes. R C Paa la suma de dos o más vectoes, gáficamente, se oganizan de tal foma que el comienzo de un vecto coincida con el final del anteio y así sucesivamente a tavés de la línea poligonal que se va fomando!. El vecto que epesenta la suma de los vectoes consideados va desde el inicio del pime vecto hasta el final del último vecto; este vecto suma es igual al negativo del vecto que ciea la línea poligonal fomada po los vectoes que se van a suma!. En la siguiente figua se ilusta la epesentación gáfica de la suma S = + + C + D.! S D C Cuando los vectoes que vamos a suma foman un polígono (línea poligonal ceada) decimos que la suma es ceo. Paa esta un vecto de oto se inviete su diección y se suma. sí, la difeencia de dos vectoes,, está definida po la elación = + (3-) ( ) su epesentación gáfica se muesta en la figua 4.! 3

4 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL - - ig. 4. Resta de vectoes. Ejemplo Ilustativo 3.. Desplazamiento y Tayectoia ó Camino Recoido. Pedo salió de su casa y antes de i al tabajo pasó po el banco. En este ejemplo se quiee hace claidad sobe los conceptos de tayectoia y desplazamiento. En la figua se ilusta con línea gis guesa la tayectoia seguida po Pedo; ente la Casa y el anco siguió el camino l y ente el anco y el Tabajo la tayectoia l, la tayectoia total ó camino ecoido po Pedo seá l = l +. l anco d Tabajo d l l d = d + d Casa l desplazase de la casa al banco, Pedo cambió de posición y este desplazamiento en la figua se epesenta po d ; el cambio de posición del banco al tabajo en la figua se epesenta po d. El desplazamiento total ealizado po Pedo en i de la casa al tabajo es una cantidad vectoial, epesentado en la figua po d T = d + d. 4

5 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Ejemplo Ilustativo 3-. La figua de la izquieda muesta dos fuezas ( = N, = N, 6 ) cuya suma se equiee conoce. = 6 Solución. En la figua de la deecha se ha desplazado la fueza y completado el tiángulo con la esultante = + ; en este tiángulo podemos aplica la ley de los cosenos paa obtene: = + cos y como = π entonces cos( π ) = cos y la fueza puede se expesada como ( ) + ( ) + ( )( ) cos6 73. N = + + cos = En el mismo tiángulo, ahoa podemos aplica la ley de los senos paa establece la diección de la esultante con especto a la fueza. sen senα 73. = senα = sen α = 3 Ejemplo Ilustativo 3.3. Los vectoes y salen del punto O y son los lados de un tiángulo. Se quiee sabe el desplazamiento desde el vétice O hasta el punto medio del tece lado. Solución. Consideemos que el tece lado del tiángulo es el vecto ( hay ota posibilidad?) y el desplazamiento desde O hasta el punto medio del tece lado seá: D = + ( ) = ( + ) También, podemos deci que D = ( ) = ( + ) " 5

6 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Ejemplo Ilustativo 3.4. Un avión viaja en la diección Este con una velocidad de 48 km/h y enta a una egión donde el viento sopla en la diección de 3 o Note del Este con una velocidad de 6 km/h. Halla la nueva magnitud y diección de la velocidad de la nave. Solución. Sea v N a tiea y v NT velocidades: la velocidad del avión con especto al aie; v T la velocidad del aie con especto la velocidad de la nave con especto a tiea. La figua muesta el diagama de N vt vnt La nueva velocidad de la nave seá v el teoema de los cosenos 3 o O E vn S NT = v + v ; su magnitud la podemos detemina aplicando N T v = vn + vt + vnvt cos3 = ( 48) + ( 6) + ( 48)( 6)(.866) = 63.7 km La diección la hallamos aplicando el teoema de los senos: = ; de donde encontamos que = 7.37 o sen5 sen " 4.- Poducto Escala y Poducto Vectoial de dos vectoes. El poducto escala o poducto punto de dos vectoes, y, se define como un escala igual al poducto de las magnitudes de los dos vectoes po el coseno del ángulo que foman ente sí los dos vectoes. Su notación es = cos (4-) De esta definición obsevamos que sí el ángulo ente los dos vectoes es 9, el poducto escala = y esta es la condición de pependiculaidad de los dos vectoes. El poducto escala es conmutativo: =. y también distibutivo: ( + C) = + C 6

7 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Ejemplo Ilustativo 4-. El tabajo ealizado po una fueza es el ejemplo más sencillo de un poducto escala de dos vectoes. Cuando una fueza constante, aplicada a un objeto, desplaza al objeto una distancia S, se dice que la fueza ealizó un tabajo definido como el poducto del desplazamiento po la componente de la fueza en la diección del desplazamiento: Tabajo W ( S ) = S cos = s s Sí la fueza no es constante duante el desplazamiento S se debe toma un desplazamiento infinitesimal y luego suma las contibuciones infinitesimales : W = dw = ds Cuál es el tabajo ealizado a) cuando una fueza de newtons, que foma un ángulo de 6 con especto al desplazamiento, mueve un cuepo 5 metos y b) cuando el desplazamiento es de 6 metos en la diección x, la magnitud de la fueza es = ( x) = 4x (newtons) y foma un ángulo con la diección del desplazamiento de 6. Solución. a) El tabajo ealizado po la fueza seá = ( cos )( S ) = 5 julios x W ( newton x meto = julio); ( )( ) = b) El tabajo ealizado po la fueza seá W = dw = 4x.5 dx 36 julios. Ejemplo Ilustativo 4-. La figua muesta un tiángulo de lados ente los lados y es. Se quiee demosta el teoema de los cosenos. α x= 6 x=, y C =. El ángulo α C = - β 8 - β Solución. De acuedo con la figua, el lado escala como: C C = ( ) ( ) = + C =, podemos escibi el siguiente poducto plicando las definiciones del poducto escala y teniendo en cuenta que el poducto punto es conmutativo, entonces: C = + cos 7

8 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Ejemplo Ilustativo 4.3. La potencia se puede defini como la tasa con especto al tiempo a la cual una fueza ealiza tabajo sobe un objeto; como el tabajo ealizado sobe un cuepo contibuye al incemento de enegía del cuepo, también se puede afima que la potencia es la tasa con especto al tiempo de tansfeencia de enegía: P = dw dt ds ds = = = v dt dt La unidad de potencia es el vatio ( vatio = julio/segundo). Consideemos un elevado que tiene una masa de 8 kg y tanspota una caga máxima de 6 kg. Una fueza de ficción constante de newtons etada el movimiento del elevado. Cuál debe se la mínima potencia suministada po el moto que levanta el elevado con una velocidad constante de 4 m/s? Solución. Sea T la tensión suministada po el moto paa levanta el elevado, f la fueza de ficción y Mg el peso total. De acuedo con la segunda Ley de Newton, la fueza neta que actúa sobe el elevado (T f Mg ) es igual a la masa po la aceleación, peo la aceleación es ceo poque la velocidad es constante, po tanto:t f Mg =, y T = f + Mg = N + ( 4 kg)( 9.8 m/s ) = 57 N Como la tensión y la velocidad son paalelas, la potencia suministada po el moto seá: P = T v = Tv = ( 57 N)( 4 m/s) = 688 W = 6.88 kw El poducto vectoial ó poducto cuz de dos vectoes, y, es un vecto pependicula al plano fomado po los dos vectoes y cuya magnitud es igual al poducto de sus magnitudes multiplicado po el seno del ángulo que foman ente sí los dos vectoes y cuyo sentido se detemina po la egla de la mano deecha (sí el con el índice indicamos la diección del pime vecto y con el dedo del coazón la diección del segundo vecto, el pulga nos daá la diección del poducto vectoial). Sí llamamos C al poducto vectoial de los vectoes y, la notación del poducto cuz es C = (4-). La figua 5 ilusta el poducto vectoial de los dos vectoes C = x ig. 5. Poducto vectoial de dos vectoes. 8

9 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL donde la magnitud del vecto C es C = sen (4-3) Geométicamente, el poducto cuz epesenta el áea del paalelogamo fomado po los dos s vectoes. El poducto cuz es distibutivo, esto es ( + D) = + D. demás, se debe obseva que el poducto cuz no es conmutativo, esto es,. La egla de la mano deecha nos indica claamente que =. Ejemplo Ilustativo 4-4. Una aplicación impotante en física del poducto vectoial de dos vectoes es el Toque ó Momento de una ueza que mide la efectividad de la fueza paa causa o altea el movimiento de otación de un cuepo; la magnitud y diección de la fueza son impotantes, peo también lo es el punto de aplicación. El toque con especto a un eje de otación se define como el poducto de la fueza po la distancia pependicula ente su línea de aplicación y el eje de otación (conocida también como bazo de momento o bazo de palanca). La figua muesta una fueza aplicada al cuepo en el punto P, un eje de otación pependicula al plano en el punto O y el vecto de posición del punto P con especto a O. La fueza tiende a causa otación antihoaia y la magnitud de su toque es τ = ( sen )( ), lo cual puede escibise en foma vectoial como τ =. P O sen En la figua, al considea las componentes pependicula ( sen ) y paalela ( cos ) a, obsevamos que la magnitud del toque de la fueza, coesponde al toque de la componente pependicula: τ = ( sen ) ( ) poque el toque de la componente paalela es nulo debido a que su bazo de momento es ceo. La unidad del toque en el sistema intenacional es newton-meto. 9

10 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Ejemplo Ilustativo 4-5. Como ejemplo numéico, consideemos que al extemo libe de la baa de longitud metos, mostada en la figua se aplican dos fuezas (magnitud N) y (magnitud 5 N). Se quiee halla el momento de cada una de estas fuezas y el momento total con especto al punto de empotamiento de la baa. 3 o l = m Solución. El momento ejecido po la fueza es τ = l = ( N)( m) = N m en sentido hoaio. El momento de la fueza es τ ( sen = )( m) 59.8 N m en sentido anti-hoaio; así: El momento total esultante es τ = τ τ = 59.8 N m en el sentido anti-hoaio. Ejemplo Ilustativo 4.6. Consideemos nuevamente la figua del ejemplo 4- y demostemos el teoema de los senos. α α C = β β Solución. Tomando ahoa el poducto vectoial C C, tenemos que: = C C = C = C C ó C = C ( ) esultado que también puede escibise como C senα = C sen 8 β = C sen ( ) β de donde tenemos que =, similamente, senα senβ esultados obtenemos: C = = senα senβ sen C = y combinando estos dos senα sen

11 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL 5.- Poducto de tes vectoes. Tes vectoes pu eden se multiplicados en tes maneas difeentes. En pime luga consideemos el odenamiento ( C). Esto no es ota cosa que el poducto de un escala ( C ) po el vecto. Un segundo odenamiento es el conocido como tiple poducto escala: C (5-) El poducto vectoial C, necesaiamente debe fomase antes de toma el poducto escala paa que el esultado sea un escala. Los vectoes del tiple poducto escala pueden se objeto de pemutaciones; sí el númeo de pemutaciones es impa el poducto cambia solamente de signo y sí el númeo total de pemutaciones es pa el valo del poducto queda igual: ( C) = ( C ) = C ( ) = C( ) = ( C ) = ( C) (5-) El tiple poducto escala tiene una intepetación geomética simple: epesenta el volumen del paalelepípedo con vectoes, y C fomando lados adyacentes, como se indica en la figua. x C α h C Como C epesenta el áea del paalelogamo fomado po los vectoes y, y h = cosα es la altua del paalelepípedo, entonces volumen del paalelepípedo con vectoes, y C fomando lados adyacentes es ( C) = C cosα (5-3) Cuando los vectoes, y C son coplanaes, el volumen es ceo poque α = π /. Po ota pate, sí los vectoes, y C son vectoes de posición, entonces, los puntos de posición que ellos epesentan están en un mismo plano. El tece odenamiento coesponde al tiple poducto vectoial ( C) en el cual el paéntesis indica que este poducto debe se el pimeo en toma poque el esultado depende del oden que se tome; este poducto no sigue la ley asociativa y ( C) es difeente a ( ) C. Una identidad C = C C. impotante (cuya demostación se deja como ejecicio) es ( ) ( ) ( )

12 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL 6.- Maco de efeencia, sistema catesiano de efeencia. Un evento físico como el movimiento de un cao o la vaiación de tempeatua de un cuepo tiene luga en alguna egión del espacio y ocue en algún momento paticula del tiempo. Un maco de efeencia es un conjunto de objetos inmóviles que siven de efeentes paa localiza un sitio pedeteminado. Ejemplo: siga deecho hasta la Iglesia, cuce luego a la izquieda, avance hasta el Teato y m adelante encontaá el talle; la Iglesia y el Teato constituyen el maco de efeencia en este ejemplo. La vivencia nos dice que vivimos en un espacio de tes dimensiones; en cualquie pate que nos situemos siempe podemos habla de tes diecciones otogonales ente sí: fente atás, izquieda deecha y aiba abajo. La selección de un maco de efeencia es el pime paso en la descipción del espacio abstacto; los objetos fijos definidos en el maco de efeencia como son el Teato y la Iglesia en nuesto ejemplo dan las posiciones de efeencia. Rene Descates a comienzos del siglo XVII popuso el sistema catesiano de coodenadas; constituido po tes ejes pependiculaes ente sí, escalados y extendidos sin límite paa foma así un ed ó gilla que llenaa todo el espacio y en donde la posición de cualquie punto po los tes valoes de las coodenadas. La posición del punto P está definida po los valoes ( x, y,, z ), como se ilusta en la figua 6a z z P(x, y, z ) z x y ^i ^k γ α β ^ j x z y x y y x ig. 6. Sistema catesiano de coodenadas. El sistema de coodenadas escogido es el llamado sistema de mano deecha ó matemáticamente positivo que esulta cuando oientamos el pulga de la mano deecha en la diección de z-positivo y los demás dedos están a 9 gados en otación que tiende a lleva el eje-x positivo a coincidi con el eje-y positivo. El modelo catesiano expesa la unifomidad del espacio; el espacio descito en este modelo no contiene centos o diecciones pivilegiadas. En la ísica clásica (ísica Newtoniana) el espacio es unifome y no es afectado po objetos en movimiento. En cuanto al tiempo, Newton lo definió como absoluto; el tiempo tanscue igualmente paa todos los obsevadoes, independiente de sus macos de efeencia. quí no tataemos el concepto de tiempo, solo anotaemos que es posible adiciona un eloj sinconizado a cada posición espacial tal que si un evento ocue este puede se descito po las tes coodenadas espaciales que nos dián donde ocuió y un cuato valo coespondiente a

13 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL cuando este tuvo luga. Los eventos ocuen en lugaes y tiempos específicos que son aspectos impotantes en física. Como se ilustó en la figua 6a, un punto P en el espacio, en coodenadas catesianas puede epesentase po (x, y, z) y el vecto que va desde el oigen al punto P se denomina vecto de posición del punto P: P = xiˆ + yj ˆ + zkˆ Ejemplo Ilustativo 6-. Las coodenadas de los puntos y son, espectivamente, (,-,) y (-,,). Halla sus vectoes de posición y la magnitud de la suma de esos dos vectoes. Solución. Los vectoes de posición son = iˆ ˆj + kˆ ; = iˆ + ˆj + kˆ. El vecto suma es + = kˆ, po tanto, su magnitud es. Ejemplo Ilustativo 6-. Considee que la aista del cubo de la figua 6b es la unidad. Halla el vecto de posición del punto y el ángulo que ese vecto foma con el eje-x. Solución. Como las coodenadas de son (,,), el vecto de posición es magnitud es = 3 y cos α = ; po tanto α = cos = iˆ + ˆj + kˆ ; su Ejemplo Ilustativo 6.3. Los vétices, y C del paalelepípedo mostado en la figua del numeal 5 (pág. ) coesponden a los puntos (-,,3), (,6,) y C(-4,,). Halla (a) Los vectoes de posición de esos puntos; (b) el áea de la base del paalelepípedo; y (c) el volumen del paalelepípedo. Solución. a)- Los vectoes de posición son = iˆ + ˆj + 3kˆ ; = 4iˆ ; C = 6 ĵ b)- El áea de la base está dada po el poducto vectoial C = 4kˆ C c)- El volumen del paalelepípedo lo da el tiple poducto escala ( ) = Vecto Poyección. En la siguiente figua se muesta un vecto que foma un ángulo con una diección abitaia especificada po el vecto unitaio e ˆ. Se define como vecto poyección de en la diección e ˆ al vecto cuya magnitud es la componente escala de en dicha diección, ê = cos, y que está oientado en la diección de e ˆ. oy e = ˆ ˆ sí, escibimos P ˆ ( e) e = ( cos )e ^e Poy ^e ig. 7. Vecto poyección. ˆ 3

14 INTRODUCCION L NLISIS VECTORIL Ejemplo Ilustativo 7.. Dados los vectoes vectoiales de paalela y pependicula al vecto. = 8 iˆ 3 ˆj + kˆ y Solución. Llamemos a la componente de paalela a y pependicula a. = ( ) = ( i j + k) = i j 3ˆ i ˆj 3ˆ i ˆj P oy ˆ ˆ ˆ 8ˆ 3 ˆ ˆ + + ˆ = 6.3ˆ +. ( 8ˆ i 3 ˆj + kˆ ) ( 6.3ˆ i +.ˆj ) =.7ˆ i 5.ˆj kˆ = = + = 3 iˆ + ˆj. Halla las componentes a la componente de Ejemplo Ilustativo 7.. Los vétices de un tiángulo son los puntos (,,) ; (,, ); C(,,3). Halla (a) los vectoes de posición de los vétices; y (b) el peímeto del tiángulo. Solución. a) Los vectoes de posición de los vétices son = iˆ ˆj ; = iˆ + kˆ ; C = ˆj + 3kˆ b) Llamemos D al vecto que va desde el punto hasta el punto : D = = ˆj + kˆ ; E al vecto que va desde el punto hasta el punto C: E = C = ˆ i ˆj + kˆ, y al vecto que va desde el punto C al punto : = C = iˆ 3kˆ. El peímeto del tiángulo seá: D + E + =