GEOMETRÍA VECTORIAL. u r

Transcripción

1 Teoría y ejercicios Luis Zegarra gramon GEOMETRÍ VETORIL En diversos cursos de la formación de un ingeniero, son imporanes los vecores y su represenación desde el puno de visa geomérico y algeraico, los concepos que ellos involucran dejan una visión clara del fénomeno que se quiere esudiar, es por eso que en ésa formación ásica son fundamenales y no se pueden omiir. Los vecores represenarán canidades que ienen magniud, dirección y senido. Es cosumre represenar un vecor por un segmeno recilineo que iene un puno inicial Ey un puno final F, en ese úlimo puno va una puna de flecha la que indica el senido del vecor, a la longiud de dicho segmeno se suele definir como la norma o magniud del vecor y se denoará por EF ß así enonces u r?ef Noe que? 0 para odo vecor? En forma más precisa diremos que la dirección de un vecor da la pendiene o inclinación de la reca poradora y el senido de un vecor indica en qué forma acúa a lo largo de dicha reca. Igualdad Se define la igualdad +, si y solo si +, y amién la igualdad en la dirección y senido. Suma La suma de vecores se define mediane la ley del paralelogramo como se indica en la figura. O a r r r a + r

2 Propiedades: 1) +,, + Ñ + Ð, -Ñ Ð+,Ñ - 3) +!+ 4) + Ð +Ñ! onde el vecor! se o neuro de la suma, su magniud es 0 y se represena por un puno y el vecor + es 9:?/=>9 de +, que es un vecor paralelo, de la misma longiud pero de senido conrario. La diferencia + Ð,Ñ +, se puede definir como la suma de dos vecores es decir O a r r a r r Ponderación ado el vecor + y el número real 5ß se define el vecor 5+ como el vecor con la misma dirección de + pero de longiud ll5+llþ Si 5 es un número posiivo, el senido de 5+ es el mismo que el de +à y si 5 es un número negaivo, 5+ es de senido conrario al de +Þ l real 5 se acosumra a llamar /=-+6+<Þ k > 1 k a r a r 0 < k < 1 k a r k a r 1 < k < 0 Propiedades: 1) 5Ð:+Ñ Ð5:Ñ+ 2) 5Ð+,Ñ5+ 5, 3) Ð5 :Ñ+ 5+ :+ 4) 5+!Í 5! +! 5Ñ +ll, Í5 al que +5,ß5Á!ß+ y,á!

3 Ejemplo 1 emosrar que las diagonales de un paralelogramo se dimidian r E a r emosración. e la figura se iene EI IH EH Í 5Ð+,Ñ :Ð, +Ñ, de donde Ð5 :Ñ+ Ð5 : Ñ,! como + y, son dos vecores no paralelos enonces 5 :! y 5 :!à de donde se oiene 5: por ano, las diagonales se isecan muuamene. Los vecores aendiendo a las aplicaciones físicas se pueden clasificar en: 1. Vecores lires. 2. Vecores deslizanes. 3. Vecores fijos. Un vecor lire no iene posición fija en un sisema (plano o espacio). Tal canidad se puede represenar por un número infinio de vecores que ienen la misma magniud, dirección y senido. Un vecor deslizane iene una y sólo una reca en el sisema a lo largo de la cuál acúa. Puede represenarse por cualquier vecor que enga la misma magniud, dirección y senido, conenido en esa reca. Un vecor fijo iene un puno de aplicación y solo uno y por ano su represenación es única. on respeco a los vecores fijos es cosumre implanar un puno O, que comunmene se suele llamar origen, con respeco del cuál se fijan odos los vecores inmersos en un sisema, ese sisema se llama sisema de referencia, más adelane $ implanaremos los referenciales y. En un sisema cualquiera sea O el origen y el vecor que lo represena es el vecor

4 !Þ Un vecor cualquiera fijo en ese sisema y con respeco al origen O, lo fijaremos mediane el :9=3-398, es decir SE +Þ U u r a r O r r R Relación fundamenal. Noemos que con la susenación de la diferencia de vecores se iene la relación fundamenal EFSF SE, + r r a r O a r ivisión de un segmeno. Vecor de posición de un puno Tß que divide a un segmeno EF en una razón dada -. Sean E y F dos punos dados sore una reca + y, sus vecores de posición con +Á,. Un puno Tdivide al segmeno EF en la razón - si y solo si ET T F Í : + Ð, :Ñ Í : + -, - - -

5 P r p r a r O hora si - 7 Ê : 8+ 7, ßde donde se infiere que T divide al razo EF en la razón. 8 Si 78 o ien - ßse oiene el vecor de posición del puno medio del segmeno Variación de +, EFß que es : Þ -, en forma esquemáica se puede expresar Ð -!Ñ Ð! - _Ñ Ð _ - Ñ l E Si -!ß - _ß - ß el puno T esá en Eß en Fß o en un puno al infinio de esa reca. onsecuencias: 1) Tres punos disinos Eß F y G son colineales si y solo si exisen res escalares :ß;ß< disinos de cero, ales que :+ ;, <-! con : ; <! 2) uaro punos Eß Fß G y H ales que no haya res de ellos colineales, son coplanares si y solo si exisen cuaro escalares :ß ;ß <ß > disinos de cero ales que l F :+ ;, <- >.! ependencia lineal y ases con : ; < >! 1. Se dice que el vecor? es cominación lineal de los vecores + ß+ ßÞÞÞß+ si y solo si exisen escalares 3 ales que? + + ÞÞÞ Se dice que los vecores + ß+ ßÞÞÞß+ son linealmene independienes si y solo si 8

6 + + ÞÞÞ +! 8 8 Í ÞÞÞ 8! en caso conrario se dirán linealmene dependienes. 3. Se dice que los vecores + ß+ ßÞÞÞß+ 8 forman una ase si y solo si, son son linealmene independienes y ienen la capacidad de generar odos los del sisema. onsecuencias: 1) En el plano dos vecores + y, no nulos y no colineales son linealmene independienes y generan odos los vecores de dicho plano, enonces Ö+ß, es una ase. 2) En el espacio res vecores +ß,ß - no nulos y no coplanares son linealmene independienes y generan odos los vecores de dicho espacio, enonces Ö+ß,ß- es una ase. Ejemplo 2 emosrar vecorialmene EF ll GH Í SE EG SF FH r O a r emosración. ÊÑ Sea Ö+ß, una ase, enonces si EF ll GH Ê EF 7GHß 7 Á!ß por ora pare SG +ß SH,ß GH SH SG, +ß así EF, + 7Ð, +Ñ Í Ð 7Ñ+ Ð7 Ñ,!ß Ö+ß, es una ase 7! 7! de donde 7 como sí, ÉÑ SG SH SG SE SH SF EG FH SE SF SE SF Í SE SF Í SE SF Í EG FH

7 SE SF EG FH SE EG SF FH SG SH EG FH Í SE SF Í SE SF Í SE SF 5 de donde SG 5 + SH 5,ß por ora pare EF, + GHSH SG 5, 5+5Ð, +Ñ5EF por ano EF ll GH. Ejemplo 3. emosrar que la reca que une el puno de inersección de los lados de un rapecio con el puno de inersección de sus diagonales, dimidia las ases. P M Q N emosración. HGllEF Í HG -EF Í-. -Ð, +Ñ Í , a , Í ese es un vecor de posición del puno de inerscción , de las diagonales EG y HF es decir ; a ,. -+ analogamene de a se iene que : a - - e a y a se iene Ð -Ñ; - -+ Ð -Ñ:. - +ß sumando miemro a miemro Ð -Ñ; Ð -Ñ: -. de donde Ð -Ñ; Ð -Ñ: -. ese es el vecor de posición de un puno Ð -Ñ Ð -Ñ -. enre TU y GH que no es oro que el puno Q y como 7 ß es puno medio de GHÞ

8 +, Ð -Ñ; Ð -Ñ: nalogamene se oiene 8 - Igualdades que nos indican que Q y R son colineales con T y U y además que dimidian a GH y EF respecivamene. Ejercicios Resuelos Þ emuesre que en odo paralelógramo, el segmeno que une un vérice con el puno medio del lado opueso, riseca una diagonal y es risecado por ella. M Solución. Q puno medio de EF Ê7 Ð+,ÑÍ,7 + a Por ser un paralelógramo EH FG Í. +-, por a Í Í de donde $ $ se iene que ET y QT ß como se preendía. TG TH 2. Sea H el puno medio de la ransversal de gravedad EI del riángulo EFGÞ La reca FH cora a EG en el puno JÞ eermine vecorialmene la razón en que J divide EGÞ Solución. 1 F λ E 1 Sea el origen el verice Eß Ö,ß - ase, luego se iene:

9 . /, - y / Ê., - -, amién 0 a % - omo JßH y F son colineales, enonces: 0!. Ð! Ñ,ß! sí: 0!. Ð! Ñ,!, - Ð Ñ, $ Ð Ñ, - %! %! %! a omo Ö,ß - es una ase de a y a se deduce que: $ % % - Ð!! y! Ñ Ê - Luego J divide a EG en la razón À Þ 3. Si EFGes un riángulo cualquiera PßQßR los punos medios de sus lados, EFß FG y GE respecivamene, demosrar que EPQR es un paralelógramo. emosración. N M L Sea O un origen cualquiera, por demosrar que EP RQ y ER PQ como Pß Qß R son los punos medios de los lados EFß FG y GE enonces e inmediao +,, ß 7 ß 8 EP +,, +, RQ

10 analogamene para ER PQ. 4. Se da en un riángulo EFGß la ransversal de gravedad EH. Por F se raza una reca FIJ que pasa por el puno medio I de EH aj sore EGÞ emosrar que: $EJ EGÞ F E emosración. Se iene que., - +. y / de donde oenemos., - y. / + enonces Ð/ +Ñ, - 4 de aquí 4/,+ -Í /, esa igualdad implica que $ $ EJ JG Í EJ EJ EJ JG EG Í $EJ EG ompare esa forma de solución con la solución dada en el prolema emosrar que si en un riángulo EFGß las ransversales GHßEI y FJ son concurrenes en Tß se iene: HE IF JG HF IG JE

11 F P E emosración. Sean: HE IF JG :ß ;ß < HF IG JE enonces : HE : HF Ê +. :Ð,.Ñ Í. + :, : analogamene oenemos: /, ;- - <+ y 0 ; < hora, como los punos Eß Fß G y T son coplanares exisen escalares no odos nulos ales que:! +, - 1 :!ß con! 1! e esas expresiones se oiene:! +, - 1:.ß pues H EF GT! 1 -,! + 1: /ß pues I FG ET! 1 -! +, 1: 0ß pues J EG FT! 1 sí,! +, + + :,!, Ê :! :!! -,, -, ;- Ê ; ;!! -! <+! Ê <! < Finalmene:

12 HE IF JG HF IG JE : ; <!! 6. En el paralelógramo de la figura, si T divide al razo EF en la razón -, - demuesre que la reca HT divide a la diagonal EG en la razón - λ P 1 Solución. T EF + -, Í : Í Ð Ñ: +, - a omo T es un paralelógramo enonces, EHFG Í. +-, a e aß , eliminamos -, ocupando a resula: Ð -Ñ: Í Ð -Ñ: -. Ð -Ñ+ -- de aquí Ð -Ñ: -. Ð -Ñ+ -- Ê HT divide a la diagonal EG en la razón emuesre que los segmenos que unen los punos medios de los lados sucesivos de un cuadriláero EFGH deerminan un paralelógramo cuyo cenro es % Š +, -. emosración. P Q N M Por demosrar que: QURT UT QR Hip.: 7 Ð+,Ñß 8 Ð, -Ñß : Ð-.Ñ y ; Ð+.Ñ

13 QU; 7 Ð+.Ñ Ð+,Ñ Ð.,Ñ a RT : 8 Ð-.Ñ Ð, -Ñ Ð.,Ñ a e a y a se iene QU RT, analogamene para UT QR En un paralelógramo el cenro se oiene, en la inersección de sus diagonales que es el puno medio de QT y URß así: < Ð: 7Ñ Ò Ð-.Ñ Ð+,ÑÓ +, -. % Š o ien < Ð; 8Ñ Ò Ð+.Ñ Ð, -ÑÓ +, -. % Š 8. En un riángulo EFGß se razan las ransversales de gravedad EQ y FRß por R una paralela a FG y por G una paralela a FRÞ Esas dos recas se coran en T y sea H el puno medio de TRÞ emosrar que GH es paralela a QRÞ emosración. P N M Sea G el origen, { +ß,, + ase; enonces 7 ß 8 Por ora pare À T RllFG y T GllFR luego FGT R es un paralelógramo, enonces GT GF GR Í : +, 8 Í :, hora: + + GH. 8 : ț +, a QR +, 8 7 a Finalmene por a y a GH QR Ê GHllQRÞ 9. Sea EFG un riángulo y T un puno variale de FGÞ Si T U es la resulane de ET ß TF y TGß demosrar que EFUG es un paralelógramo y por ano U es fijo.

14 Q P Solución. Por hipóesis se iene, TU ET TF TG a considerando el puno E como el origen, de a se sigue que ; ::, : - :, - : Ê;, - de aquí se deduce EU EF EG lo que descrie a un paralelógramo de vérices Eß Fß U y Gß donde U es fijo ya que no depende del puno T variale. 10. T y U dividen a los lados GE y GF de un riángulo EFG en las razones y respecivamene. Si TU -EFß demosrar que: -Þ 1 x P x q r y Q 1 y r Solución. Sea E el origen, enonces: por hipóesis: EF,ß EG -ß ET :ß EU ; ET ET Ê ÊET Ð ÑEG TG TG ET Ð Ñ FU FU Ê ÊFUÐ ÑFG UG UG FU Ð Ñ Por una pare se iene, ;: TU: -EF: -,ß pero :Ð Ñ- por ano ; Ð Ñ- -, a

15 amién ;, FU, Ð ÑFG, Ð Ñ Ð-,Ñ ;, Ð Ñ- a pero Ö,ß - forman una ase, por ano de a y a se iene - por ano - Þ emosrar que en odo riángulo, las ransversales de gravedad se risecan muuamene. G H F E emosración. Sean Iy J punos medios de EF y FG respecivamene, L IG EJ considerando al puno F como el origen, se iene 2 FE EL FE EJ + Ð0 +Ñß pero Ð - -Ñ+ - a amién, 2FG GL- GI- Ð/ -Ñß pero / + 2- Ð + -ÑÐ Ñ- + a como Ö+ß - son linealmene independienes, enonces de a y a se oienen - Ð - ÑÊ - $ por ano, L riseca a EJ y GIß ya que: EL EJ EL Í GL GI GL Í $ EJ $ $ GI $ Þ Las diagonales EG y FH de un cuadriláero EFGH se inersecan en un puno

16 w w Tß que divide a EG en la razón 7 À 8 y a FH en la razón 7 À 8ÞHallar la razón en la cual el puno de inersección Uß divide a los lados EH y FGÞ Q m n' P n m' Solución. onsiderando al puno U como el origen, enonces À + -.,. -ß por deerminar - y.. Noe que Tß se puede expresar de dos maneras: w , 7. w w w : Í : 8 7 8w 7w 8 7 8w 7w pero como Ö-ß. son linealmene independienes, se iene w w 8-7 Ð8 7Ñ7 Í w 7w Ð8w 7Ñ8 w 7 8 w. Ð8 w 7 w Ñ7 Í w 7w Ð8 7Ñ8w sí, w w w UE - Ð8 7Ñ7 y UF. Ð8 7 Ñ7 UH Ð8w 7wÑ8 UG Ð8 7Ñ8w 13. os fuerzas acúan en el vérice de un cuadriláero EFGHß represenadas por EF y EHà y oras dos en Gß represenadas por GF y GHÞ emosrar que su resulane esá represenada por 4TUß donde T y U son los punos medios de EG y FHÞ P Q

17 emosración. Por demosrar que EF EH GF GH%TU Sea E el origen, enonces: EF,ß EH.ß GH. -ß GF, - Por lo ano EF EH GF GH,., -. - Ð,.Ñ - - por ora pare ß T puno medio de EG Ê : Í - :,. U puno medio de FH Ê ; Í,. ; luego EF EH GF GH%; %:%Ð; :Ñ%TUÞ 14. emosrar que si dos fuerzas concurrenes son represenadas por 8SE y 7SFß su resulane esá dada por Ð7 8Ñ ST ß donde T es el puno de inersección de EF con dicha resulane. R P O emosración. Siendo S el origen, se define : de dos maneras, que son: : SE ET SE -EF + -Ð, +Ñ Ð -Ñ+ - ț y :. SV. Ð8SE 7SFÑ , ado que + y, son dos vecores linealmene independienes, se iene: 7 Ð. 8 - y. 7-ÑÊ - y luego, :Ð 7 Ñ+ 7, 8+ 7, de donde se oiene 8+ 7, Ð7 8Ñ :

18 15. Por un puno M cualquiera del inerior de un rángulo EFG se razan TUllEFß VWllFG y X Y llge ÐT ß W en EGà X ß U en FGà Y V en EFÑÞ emosrar que TU VW XY EF FG GE T P S U I R Q emosración. Sea M el origen, enonces : -+ Ð -Ñ-à ; -, Ð -Ñ- de donde TU ; : Ð, +Ñ EF TU - - Í - a EF analogamene? + Ð Ñ,à > - Ð Ñ, YX >? Ð- +Ñ EG XY Í GE a por ora pare < ;,Í<, ;Ð -Ñ, Ð -Ñ- = >-Í=- >Ð Ñ- Ð Ñ, de aquí VW < = Ð - Ñ- Ð - Ñ, Ð - ÑÐ-,Ñ VW Ð ÑFG VW - Í - a$ FG finalmene de aß a y a$ se sigue TU VW XY - - EF FG GE 16. En un plano se dan los riángulos EFG y PQRß si TßUßV son los punos medios de los razos EPß FQ y GR demosrar que los cenros de gravedad de los riángulos EFGß PQR y T UV son colineales.

19 M Q N L R P emosración. Sean KßKßK los cenros de gravedad de los riángulos EFGßPQRy $ TUV respecivamene, enonces: +, : ; < 1 ß 1 ß 1$ $ $ $ e donde oenemos: $1 +, -à $ y $1$ : ; < a + 6, 7-8 hora por hipóesis: : ß ; y < Remplazando en a resula $1 Ð+, Ñ $ Í '1 $1 $ 1 Í '1 $1 $ 1! y ' $ $! $ $ enonces KßKßK $ son colineales. 17. ados los riángulos EFG y PQR ales que las recas que unen los vérices homólogos se coran en un puno W. emuesre que los punos de inersección de los lados homólogos de esos riángulos, son colineales. Q P M R N emosración. S L WßEßP colineales Í =! + Ð! Ñ6 a

20 WßGßR colineales Í = - Ð Ñ8 a WßFßQ colineales Í =, Ð Ñ7 a$ -! + Ð! Ñ6 Ð Ñ8 e a y a se deduce < a%! Ð! Ñ Ð Ñ, - Ð Ñ8 Ð Ñ7 e a y a$ se deduce ; a& Ð Ñ Ð Ñ! +, Ð Ñ7 Ð! Ñ6 e a y a$ se deduce : a'! Ð Ñ Ð! Ñ e a%ß a& y a' respecivamene se oienen: -! + Ð! Ñ<à, - Ð Ñ;à! +, Ð! Ñ: sumando miemro a miemro, se oiene Ð! Ñ< Ð Ñ; Ð! Ñ:! relación que nos indica la colinealidad de los punos Vß U y T pués Ð! Ñ Ð Ñ Ð! Ñ! 18. emosrar que las isecrices de un riángulo EFG de lados +ß, y - concurren al puno MÐincenroÑ 3 ++,, -- +, - γ α 2 α 2 x a θ 180 θ y β c m E n r x I F c s a y emosración. Sea EH isecriz, por eorema del seno en riángulos EHG y EHFß se ienen!! =/8 =/8 ) =/8 =/8Ð)! ) Ñ =/8 ), Ð Ñ Ê, - - -

21 analogamene: enonces enemos: 7 + <, 8 - = ,, / y , de esas expresiones esalecemos Ð, -Ñ.,, --Í ++ Ð, -Ñ.++,, --., -, -,, --,, - -,, - ++ Ð, -Ñ. ++,, -- +, - +, - en forma similar oenemos - y amién,, Ð+ -Ñ/ ++,, Ð+,Ñ0 ++,, -- +, - +, - +, - +, - por ano concluímos ++ Ð, -Ñ.,, Ð+ -Ñ/ -- Ð+,Ñ0 ++,, , - +, - +, - +, Sea H el puno de conaco de la circunferencia inscria a un riángulo EFGß con el lado EFÞ emosrar que el puno medio Q de EFß el incenro M y el puno medio R de GH son colineales. M I N a c emosración. Sea el origen un puno S arirario, enonces se iene: +, 7 à 3 Ð++,, --Ñß W Ð+, -Ñ W amién EH W + Ê EH W + Ê EH W + EF W + Ð, +Ñ EF - - -

22 de aquí. W W, +ß - - luego 8 Ð. -Ñ - + W + W +, Vamos a demosrar que QM y QR son ponderados uno del oro, es decir QM3 7Ð + = Ñ+ Ð, = Ñ, - - W W W QR 8 7 W ÒÐ + = Ñ+ Ð, = Ñ, - -Ó - W W W Por ano QR W QM Ê QßMßR son colineales ado un riángulo SEFß se riseca el lado EFß oeniéndose los punos R y QÞ Por F se raza una paralela a SEß que es corada en \ e ]ß por las recas SQ y SRß respecivamene (Eligiendo S como origen) a) eerminar los vecores de posición \ e ] en érminos de los de E y FÞ ) eerminar en que razón divide \ a F]ß Q a S\ y R al razo S]Þ O M N X Y Solución., + +, a) Por hipóesis se iene: 8 à 7 $ $ ahora: S] SR - 8 Í - - -, + a $ $ S\ SQ 7 Í +, a $ $ Por ora pare: S]! SE SF Í! +, a$ S\ SE SF Í +, a% e a y a$ à Ð - -! Ñ + Ð Ñ,!ß y como Ö+ß, son L.I. $ $

23 - - Ð!!!Ñ Ê! - $ $ $ e a y a% à Ð Ñ+ Ð Ñ,! $ Ê $ $ sí enonces resulan:, + +, ) e +,Í, +ÍF\ SEÊ F\ SE amién $ + Í \] $ SE Ê \] $ ß por ano F\ SE \] $ hora S\ SQ Í SQ Q\ SQ Í Q\ Ð ÑSQ Ê SQ Q\ Finalmene S] SR Í SR R] SR SR - - Ê R] - Ejercicios propuesos 1. Los vecores + y, forman lados consecuivos de un hexágono regular, el exremo de + coincide con el origen de,þ En érminos de + y,ß hallar los vecores que forman los oros cuaro lados. 2. emosrar que en odo riángulo, el razo que une los punos medios de dos lados es paralelo al ercero e igual a su miad. 3. En un riángulo EFGß los punos Pß Q y R son los punos medios de los lados. Una reca cualquiera por G cora a QR en T y a PQ en UÞ emosrar que ET es paralela a FUÞ 4. emosrar que el aricenro de un riángulo, es amién el aricenro del riángulo cuyos vérices son punos que dividen a los lados de aquel en una misma razón. 5. emuesre que en odo riángulo, las aluras concurren en un puno. 6. Si +ß, son los vecores de posición de Eß Fà deerminar G de modo que EG $EF y deerminar H de modo que FH FEÞ 7. Si Eß Fß G son punos fijos y T un puno variale de modo que la fuerza resulane de TE y TF pasa por Gß hallar el lugar geomérico de TÞ

24 8. emosrar que si Hß Iß J son los punos medios de los lados de un riángulo EFGß enonces cualquiera sea el origen Sß se verifica +, -. / 0 9. Se diujan vecores desde el cenro de un penágono regular a sus vérices. emosrar que su suma es cero. 10. emosrar que las diagonales de un paralelepípedo de lados +ß,, - se isecan muuamene. 11. ado un riángulo EFG, se oman los punos H y I en los lados FG y GE, respecivamene. emosrar que los segmenos EH y FI no pueden dimidiarse muuamene. 12. emosrar que si en un paralelógramo EFGHß T es un puno del lado EFß U un puno en el lado GH y además EU y HT se coran en Pß UF y GT se coran en Q y EG y FH se coran en R, enonces los punos PßQ y R son colineales. 13. En un riángulo EFG, las rasversales de gravedad EE w ß FF w y GG w se coran en KÞ Se oma el puno medio H de KE y el puno medio I de KFÞ emosrar que HIE w F w es un paralelógramo. 14. ado un cuadriláero EFGHß se raza por F una paralela FJ al lado GHÐJ sore EGÑ y por G una paralela GK al lado EFÐK sore FHÑÞ emosrar que JK es paralela a EHÞ 15. emosrar que las aluras de un riángulo EFG de ángulos!,, concurren a un punoðorocenro) cuyo vecor de posición es >1! + >1, >1 - >1! >1 >1 16. emosrar que las simerales de un riángulo EFG de ángulos!,, concurren a un puno(circuncenro) cuyo vecor de posición es =/8! + =/8, =/8 - =/8! =/8 =/8 7 Þ a) Si S es el circuncenro y L el orocenro de un riángulo EFGß demosrar que: SE SF SG SL y que: LE LF LG LSÞ ) emosrar que si EH es diámero de la circunferencia circunscria al riángulo EFG ß enonces: EL LF LG EH 18. Por los vérices Eß F y G de un riángulo EFG se razan recas que coran a los lados opuesos en TßU y V respecivamene. Si ETßFUßGV son concurrenes, enonces

25 FT GU EV TG UE VF 19. En un cuadriláero EFGHß el puno Uß en que las diagonales EG y FH se % inersecan, divide a esos segmenos en las razones $ y $ respecivamene. En que razón divide el puno Tß en el que se inersecan los lados EF y GHß a esos segmenos. 20. ado un ángulo \S] ß se oma J sore S] y se raza por J una paralela a S\ß que cora en I a una reca que pasa por SÞ Sea F el puno medio de IJÞ Por F se raza una reca que cora en EßGy Hß respecivamene, a S\ßSIy S] Þ emosrar que: EG EH GF HF