TEORÍA DE REDES. CAPITULO II - Formulación y Solución de Modelos de Redes Lineales

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA Facultad d Cca Exacta Fíca y Natual Dpatato Elctóca EORÍA DE REDES CAPIULO II - Foulacó y Solucó d Modlo d Rd Lal INRODUCCIÓN.... LE DE KIRCHHOFF DE CORRIENES DE RAMA (PRIMERA LE)..... ECUACIONES NODALES DE EQUILIBRO DE UNA RED. MÉODO DE LOS NUDOS..... EJEMPLO..... EOREMA DE NORON..... EJEMPLO LE DE KIRCHHOFF DE ENSIONES DE BUCLE (SEUNDA LE) ECUACIONES CIRCUIALES DE EQUILIBRIO DE UNA RED. MÉODO DE MALLAS..... EJEMPLO..... EOREMA DE HEVENIN..... EJEMPLO.... RELACIONES ENRE LAS MARICES A B:.... RESUMEN DEL PROCEDIMIENO DE FORMULACIÓN PRINCIPIO DE DUALIDAD REDES NO RECÍPROCAS ACIVAS APLICACIÓN DEL MÉODO OPERACIONAL DE LAPLACE. CIRCUIOS OPERACIONALES EQUIVALENES.... SOLUCIÓN ENERAL POR RANSFORMACIÓN INVERSA. ESADOS RANSIORIO ESACIONARIO..... FORMA ENERAL DE LA SOLUCIÓN. POLINOMIO CARACERÍSICO DE LA RED RESPUESA EMPORAL: RANSIORIA ESACIONARIA EJEMPLO..... EJEMPLO.... FORMULACIÓN AUOMÁICA POR MÉODOS OPOLÓICO-MARICIALES... Walt Mobg Pohbda u poduccó cotto dl auto

2 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II Itoduccó E t Capítulo tataá lo odlo atátco paa la obtcó d la cuaco d qulbo d d lal d paáto coctado aat l tpo y la olucó d dcha cuaco. E p luga ptaá la do ly d Kchhoff ya coada. S b ba a lla pud plata dcha cuaco d aa tuta lo cao á pl, tabé d ba paa u tatato á guoo baado la dcpcó d la topología d la d dat ua podoa foulacó atcal qu poblta u obtcó autoátca dat u pogaa d coputadoa. La tuctua d ua d quda dfda po l gáfco d la d, l qu plfca dbujado u gafo topológco qu quatza la coxó t u odo a taé d u aa. Cada aa db clu oblgatoat ua pdaca o u a ua adtaca, puddo tabé t ua fut d tó y/o ua fut d cot dpdt y/o quzá ua fut cotolada. Fg.. N N N N N N N N N ± - N (a) N (b) N (c). Ly d Kchhoff d cot d aa (Pa ly). La Fg.. (a) uta l qua d ua d paa cottuída po aa y udo. Pat, la aa ua d a y lo udo d (N) a. Adá, aga tdo cocoal abtao (o b dctado po la xpca cuato al go d lo ultado a obt) a la cot d aa. E ba a dcho qua cotuy l gafo otado d Fg.. (b), qu po dca la tuctua d la d y uta la cot d aa y u tdo agado. E ba a dcho gafo cotuy la atz d cdca A d fla y colua (a(,j),.., j..) bajo la gut gla ) a(,j) la cot d la aa al dl udo j (dd); ) a(.j)- la cot d la aa ta al udo j (haca-); ) a(,j) paa todo lo tat udo qu o ptc a la aa. Po jplo, la aa al dl udo y ta al udo, d odo qu a(,) y a(,)-. Rptdo t pocdto paa la aa, obt la abla Matz A Nodo Nodo Nodo Nodo Raa - Raa - Raa - Raa - Raa - Raa -

3 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II Ly d cot d aa (Pa ly d Kchhoff): la ua algbaca d la cot d aa cada udo ula. La cot d aa alt dl udo coda pota, y la tat, gata paa ta ua. Eta ly xpa atátcat po l poducto d la taputa d la atz d cdca po l cto d cot d aa [q..]. El ultado [q..] paa cada udo pud Ud. fcalo la Fg...(b): A [.] Paa uto jplo : A o d udo: S pud fca qu cualqu fla d la atz A cobacó lal d la tat fla. Ello dca qu xt foacó dudat. El ago d A o (úo d odo) o -. Eto gfca qu ólo xt - odo dpdt. Podo toa toc u odo coo odo d fca, al qu l aga l oltaj ulo. E uto jplo á l odo N. Dfo aí la to d udo [(k), k -] coo lo oltaj d lo tat - udo co pcto al udo d fca. oda d t toc - to d udo dpdt. Adá, al lg l odo ( uto cao l ) coo odo d fca, la la colua d la atz A, qudado la a dfda coo ua atz d aa y - udo, d ago -. E uto jplo, A dfda cot : A [.] Al la A la colua dl odo d fca, la cuacó [.] qu xpa la Ly d Kchhoff d cot, quda ahoa ducda a - fla. E cocuca, la la cuata cuacó dl ultado [c..] qu xpa l qulbo d cot d aa l odo N, l qu dudat. Rlacó t la to d udo y la to d aa: E la Fg... (c) ha dcado la to d aa, qu dca co flcha d tdo oputo al d la cot d aa d Fg... (b), coo o l Cap. I. La flcha d cada tó d aa Fg. (c) aputa al odo d poladad cocoal pota d la copodt aa, qu l odo dd dod al la cot d aa. Ao, ha dcado la t to d udo (,,) fda al udo N lgdo coo fca. Llaado al cto d to d aa y al cto d to d udo, la lacó t la to d aa y la to d udo dada po la [q..]. La [q..] u aplcacó al cao patcula d uto jplo. Lo ultado pud fca obado la Fg... (c). [.]

4 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II A Paa uto jplo : A La [q..] ua foa d la ly d Kchhoff d la to o Sguda Ly d Kchhoff, po la foa á útl ptaá á adlat. [.] [.]. Ecuaco odal d qulbo d ua d. Método d lo udo. La cuaco [.] y [.], cojutat co ua dfcó gal d ua aa tpo qu á a cotuacó, o l fudato paa la dduccó d la - cuaco odal d qulbo d ua d y d u olucó paa cualqu tpo d d lal d paáto coctado aat l tpo. Lo dato paa foula dcha cuaco o la tuctua d la d, pota po la atz d cdca A, la adtaca N A d aa (j), j., y la fut dpdt y cotolada d tó y/o d cot d la aa qu la poa. La cógta o la - to d udo (k), k -. Ua z obtda éta po olucó d dcha I Σ j V j, j cuaco, pud obt la to d aa po la [c..] y tabé la cot d aa, coo á a J cotuacó. La aa tpo: la Fg.. pta la dfcó y oclatua d ua aa tpo géca t do udo N A y N B, la qu o caa paa la dduccó guoa dl étodo d lo udo, dod : adtaca d la aa I J V - E : fut dpdt d tó d la aa - - I : fut dpdt d cot d la aa E J : cot qu ataa la adtaca V J / : dfca d tó ob la adtaca N B Fg.. : cot d la aa : fut cotolada d cot la aa, cotolada po la to d la tat aa. j : taadtaca ulatal d la aa j cotolat haca la aa cotolada. V j : dfca d tó ob la adtaca jj la aa cotolat j. : tó d la aa, t lo udo N A y N B Aplcado la pa ly d Kchhoff y la ly d Oh obt la gut laco.

5 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II J J J V J' ' I E j V j ; V j V j ; ( j ) j Kuo d aa [.] La ato laco pud galza paa, do l úo d aa. Elado lo ubídc y la uatoa, ( x ) paa a la atz d adtaca d aa (popa la dagoal pcpal y taadtaca fua d dagoal), y la dá aabl paa a cto d lto. V J J I V E plazado étado la pa E I I E [.7] La últa cuacó a cotuacó pultplcada po A y lugo pla la laco [.] y [.] atot obtda. Aí obt A A A ; ( I E) A A ( A A) A ( I E) [.8] Eta últa cuacó xpa la - cuaco odal d qulbo d la d. Solucó d la cuaco odal d qulbo: La últa cuacó la cuacó ctoal-atcal d qulbo d la d, obtda po l étodo d lo udo. El cto d la - to d udo qu o la cógta, obt pultplcado abo bo po la a d la atz caactítca A A qu cuadada y d od -. Ua z obtdo dcho cto, la laco ato pt la obtcó tato dl cto d to d aa coo dl cto d cot d la aa. Eto ( A A) A ( I E) A - ( I - E).. Ejplo [.9] A cotuacó luta l poco d obtcó d la cuaco d qulbo dat la cotuacó dl daollo dl jplo ptado. Po plcdad y paa ua poto lutacó dl étodo tuto d foulacó d la cuaco odal, plaza la adtaca dl qua ccutal d la Fg.. (a) po ctágulo dcado la adtaca géca d aa (Fg..). E ± Fg..

6 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II La d o po fut cotolada; po lo tato, la atz d adtaca d aa á ua atz dagoal d x : dag ( [,,,,,] ) apoco po fut d cot, toc I [,,,,, ], cto colua ulo. Sólo la aa po ua fut dpdt d tó E. Etoc l cto E d fut d tó d aa á E [E,,,,, ] La atz d cdca A qu df la tuctua d la d y l tdo agado a la cot d aa tá dada po [c..]. La uttucó d lo ato dato la tca cuacó d [.8] ulta la xpó E [.] Eta xpó t la foa gal N J N [.] dod N, atz cuadada d od -, la atz d adtaca odal. Oba qu ua atz étca (dado qu la d paa o blatal). Lo téo d u dagoal pcpal doa autoadtaca odal, ya qu coo pud oba la fg.. cada ua d lla la ua d la adtaca qu tá coctada al pcto odo. Lo téo fua d dagoal doa taadtaca odal, ya qu coo pud oba Fg.., cada ua d lla l gato d la adtaca qu cocta l odo d la colua j co l odo d la fla. El cto J N l cto d fut dpdt d cot odal qualt, l cual toda la fut dpdt d tó d la d ha do cotda a fut d cot qualt, cada ua d lla coctada t do odo. Falt, l cto d to d udo cógto a dpja. La foa gal d la [.] paa - odo dpdt la gut J J J [.] La fut dpdt d cot J la ua algbaca d la cot d toda la fut d dpdt d cot d aa qu cocu al udo. Paa d paa blatal la atz N étca, y toc (,j) (j,). La taadtaca odal t cao doa adtaca utua odal... oa d Noto La coó d la fut d tó xtt aa d la d a fut d cot qualt uy pl. S luta la Fg.. ba a la aa d la Fg... dat la laco gut N N ± E J E Fg.. N N

7 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 7 E E [.] El gáfco d la zquda uta la fut d tó d aa co la pdaca d aa. S cupl la pa d la c. [.]. Dpjado lla la cot d aa obt la guda cuacó. Ella o dc qu la cot d aa qu al d N y ta a N la dfca t ua fut d cot J E y la cot / qu paa po. Ello uta l gáfco d la dcha. D ta aa cot ua aa coputa d ua fut d tó co ua pdaca, ua fut d cot J qu la cot d cotoccuto d la aa, paallo co la pdaca. Ét l llaado oa d Noto. La coó d fut d tó fut d cot caa paa la foulacó cocptual d la cuaco odal. El algoto xplcado atot lo hac autoátcat. Rplazado Fg.. la aa po l lado dcho d fg., pobl cb tutat la cuaco d qulbo [.] plt po aplcacó d la ly d Kchhoff d cot cada uo d lo t odo, cluydo po uputo la cot qu ta o al d cada odo poducda po fut d cot ogal y d tó cotda... Ejplo E l daollo d t jplo foulaá po u cuaco d qulbo po aplcacó cocptual dl étodo d lo udo, y lugo aplcaá cácat u algoto guoo. Fg.. ± E - µ -µ. ± E µ. _ (a) (b) _ µ. µ. _ E µ. µ.. (c) (d) La Fg.. (a) uta l ccuto d ua d acta. El lto acto u aplfcado opacoal (A.O.) dal, cuya tada (go -) o da cot (pdaca d tada fta) y cuya tó d alda o afctada po la pdaca coctada a u xto (pdaca d alda dl A.O. ula). Coo lo dca a fgua, l A.O. po u facto d aplfcacó d tó ( -µ / ), d odo qu la tó d alda á la d tada aplfcada l facto µ po co l go oputo. El ccuto copod a u flto acto co tuctua d Rauch. Dada la tuctua, lo alo d u pdaca o adtaca, l alo d µ y la tó d xctacó d tada E, l pobla cot halla la to d udo y po d la tó d alda.

8 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 8 E la Fg.. (b) ha plazado l qua dl A.O. po la copodt fut cotolada d tó. S ha aggado tabé ua adtaca fctca co l f d dd la aa do cado aí l udo cuya tó d udo cógta. Dcha adtaca pud potot hac td a co (u pdaca a fto). Coo la fut dal d tó cotolada µ a la alda o foa popat ua aa, ya qu po dfcó ua aa db po ua pdaca o ula y fta, la Fg.. (c) ha toducdo dcha fut tato la aa coo la aa, ládo aí la aa fala. Falt, la Fg.. (d) uta l ccuto ultat d cot la t aa co fut d tó u pcta aa co fut d cot paallo qualt, dat l oa d Noto. S ha aggado tabé flcha qu dca l tdo d la cot, d odo tal qu la qu ataa adtaca alga dl pcto udo, ta qu coa l tdo ogal d la fut d cot. La flcha haca la dcha ob uaá paa aplca la ly d Kchhoff al udo y la oputa al udo. La aplcacó d la ly d cot d Kchhoff cada udo ahoa uy pl, t cuta qu cada cot dcada po u pcta flcha ob u adtaca gual a la dfca d tó d udo a u bo ultplcada po la adtaca copodt. D ta aa cbo la do cuaco d qulbo: l lado zqudo d cada cuacó cotdá la ua d la cot qu al dl pcto udo y l lado dcho la ua d la qu ta al o udo. El ultado ( ) ( ) µ ( ) ( ) µ E [.] Su xpó foa atcal-ctoal : µ E ( µ ) [.] la oluco d t ta po la xpo d la to d udo. La tó d alda -µ. Al o ultado db llga aplca l algoto topológco-atcal. E la Fg.. (d) la do fut cotolada ya ta cotda a fut d cot cotolada po la to dl udo coo lo qu l algoto (éa c. [.]). La aa cotolat la (colua d la atz ) y la cotolada o la y (fla d ). Audo l tdo d cot d aa dcado Fg.., la atz d cdca A, la atz d adtaca d aa y l cto d fut dpdt d tó d aa E, o: A µ µ E E [.] El cto d fut dpdt d cot ulo. La fcacó d qu l ultado la c. [.] dja coo jcco paa l aluo.

9 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 9. Ly d Kchhoff d to d bucl (Sguda ly). Paa la dduccó d ta ly y dl copodt étodo d la alla o bucl plaá l jplo d la fg... S qu po algua dfco adcoal ob la topología d la d. Ábol d u gafo: u ubgafo dl o cuya aa cocta todo u odo y qu o foa bucl cado. Cuda dl ábol: o la tat aa dl gafo. E la Fg.. pt l gafo d Fg.. (b). E dcho gafo ha dbujado co lía lla la aa d u ábol pobl, y co lía tupda la pcta cuda d ábol. El úo d ábol pobl d u gafo tá dado po la xpó dt A A [.7] a ( ) N Fg.. N N N Paa uto jplo, a dft ábol. El úo d aa d cualqu ábol dl gafo gual a -. El úo d cuda d u abol cualqua d u gafo gual al uo total d aa o l úo d aa dl ábol: ; [.8] abol cuda E uto jplo, y, d odo qu l úo d cuda. El úo d aa d u ábol l úo d to d udo dpdt. El úo d cuda d u ábol l úo d cot d aa dpdt. La cot d la cuda doa cot d alla. Cada ua d ta cot d alla ccula aldad po u bucl cado o alla, a taé d la aa d u ábol. Dcha cot d alla ua o ta foado la cot d la aa dl ábol, po cocd co la cot d la cuda. La lccó d u dtado ábol, y po lo tato d la cuda ultat, dta cuál cot d aa dpdt lg. S db tata d lg u ábol cuya cuda a xto al gafo, d odo qu la ualzacó d la cot d alla a dt. Eto o p pobl. Sí l jplo d la fg.., dod, o la cot d alla dfda paa l ábol lgdo. Matz d bucl: ua z dfdo lo bucl o alla dl gafo, cb la atz d bucl B, qu lacoa la cot d aa co la cot d alla gú la gut gla: ) b(,j) la aa tá l bucl j, y cocd u tdo; ) b(.j)- la aa tá l bucl j, y u tdo o oputo; ) b(,j) la aa o tá l bucl j. Po jplo, la aa tá l bucl y t l o tdo, y tá l bucl, y t l tdo oputo, d odo qu b(,) y b(,) -. Rptdo t pocdto paa la aa, obt la abla : Matz B Bucl Bucl Bucl Raa Raa - Raa Raa - Raa - Raa

10 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II Eta atz lacoa la cot d aa co la cot d alla. La fóula gal [.9] Paa uto jplo, cupl toc qu [.] Ly d to d bucl (Sguda ly d Kchhoff): xpada foa atcal ctoal po [.] Eta xpó dc qu todo bucl cado o alla, la ua algbaca d la to d aa ula. Paa l jplo qu o ocupa to [.] Eta laco pud fca obado la Fg...(c).. Ecuaco ccutal d qulbo d ua d. Método d la alla. La cuaco [.9] y [.], cojutat co ua dfcó gal d ua aa tpo qu á a cotuacó, o l fudato paa la dduccó d la - cuaco ccutal d qulbo d ua d po l étodo d la alla y d u olucó paa cualqu tpo d d lal d paáto coctado aat l tpo. Lo dato paa foula dcha cuaco o la tuctua d la d, pota po la atz d bucl B, la pdaca d aa (j), j., y la fut dpdt y cotolada d tó y/o d cot d la aa qu la poa. La cógta o la - cot d alla (k), k -. Ua z obtda éta po olucó d dcha cuaco, pud obt la cot d aa po la [c..9] y tabé la to d aa, coo á a cotuacó. B B B

11 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II La aa tpo: la Fg.. pta la dfcó y oclatua d ua aa tpo géca t do udo N A y N B, la qu o caa paa la dduccó guoa dl étodo d la alla, dod N A I : pdaca d la aa I : fut dpdt d cot d la aa E : fut dpdt d tó d la aa J : cot qu ataa la pdaca V' J : dfca d tó ob la pdaca : cot d la aa ' : fut cotolada d tó la aa, cotolada po la cot d la tat aa j. j : tapdaca ulatal d la aa j cotolat haca la aa cotolada. J j : cot qu paa po la pdaca jj d la aa cotolat j. : tó d la aa, t lo udo N A y N B D la Fg..7 pud dduc la gut laco. V I ṟ J N B - - Σ j J j, j V' - E Fg..7 - V ' ' V J V I E V ' ' J j J j j ; J j ; ( j ) j Kuo d aa [.] La ato laco pud galza paa, do l úo d aa. Elado lo ubídc y la uatoa, ( x ) paa a la atz d pdaca d aa (popa la dagoal pcpal y tapdaca fua d dagoal), y la dá aabl paa a cto d lto. J V J I V E plazado éta do la pa I E ( E I) [.] La últa cuacó a cotuacó pultplcada po B [.] atot obtda. Aí obt B B B ; ( E I) B B ( B B) B ( E I) y lugo pla la laco [.9] y [.]

12 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II Eta últa cuacó xpa la - cuaco d qulbo ccutal o d alla d la d. Solucó d la cuaco d alla: La últa cuacó la cuacó ctoal-atcal d qulbo d la d, obtda po l étodo d la alla. El cto d la - cot d alla qu o la cógta, obt pultplcado abo bo po la a d la atz caactítca B B qu cuadada y d od -. Ua z obtdo dcho cto, la laco ato pt la obtcó tato dl cto d to d aa coo dl cto d cot d la aa. Eto B - ( B B) B ( E I) ( E - I) [.].. Ejplo A cotuacó luta l poco d obtcó d la cuaco d qulbo d alla dat la d dl jplo qu tao tatado. La Fg.. pt Fg..8 toducdo la cot d alla ultat dl ábol lgdo y cabado la oclatua d po la d. La d o po fut cotolada; po lo tato, la atz d pdaca d aa á ua atz dagoal d x : dag ( [,,,,,] ) apoco po fut d cot, toc I [,,,,, ], cto colua ulo. Sólo la aa po ua fut dpdt d tó E. Etoc l cto E d fut d tó d aa á E [E,,,,, ] E ± La atz d bucl B qu df la tuctua d la d y la cot d alla tá dada po la tabla ato.[c..]. Fg..8 La uttucó d lo ato dato la ulta cuacó [.] ulta : E [.7] Eta xpó t la foa gal E [.8] M dod M, atz cuadada d od -, la atz d pdaca d alla. Oba qu ua atz étca (dado qu la d paa o blatal). Lo téo d u dagoal pcpal doa autopdaca d alla, ya qu coo pud oba la fg..8 cada ua d lla la ua d la pdaca qu ptc a la alla o bucl pcto. Lo téo fua d dagoal doa tapdaca d alla, ya qu coo pud oba Fg.., cada ua d lla l gato d la pdaca d la aa qu coú t la alla d la colua j y la alla d la fla d la [.7]. El cto E M l cto d fut dpdt d tó d alla qualt, l cual toda la fut dpdt d cot d la d ha do cotda a fut d tó qualt, cada ua d lla ua aa. Falt, l cto cógta d cot d alla a dpja. M

13 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II La foa gal d la [.7] paa - alla dpdt la gut E E E [.9] dod E la ua algbaca d lo oltaj d toda la fut dpdt d tó coda po la cot d la alla. Paa d paa blatal la atz M étca, y toc M (,j) M (j,). La tapdaca d alla t cao doa pdaca utua d alla... oa d h l o dl toa d Noto. La coó d la fut d cot xtt aa d la d a fut d tó qualt uy pl. S luta dat la Fg..9 y la N laco d c. [.] qu pto N J / E J [.] J Fg..9 N ± E J N El gáfco d la zquda uta la fut d cot d aa J paallo co la pdaca d aa. S cupl la pa d la c. [.]. Dpjado lla la tó d aa obt la guda cuacó. Ella o dc qu la tó d aa t N y N la dfca t ua fut d tó qualt E J y la caída d tó. Ello uta l gáfco d la dcha. D ta aa cot ua aa coputa d ua fut d cot J paallo co ua pdaca, ua fut d tó E qu la tó d ccuto abto d la aa ( ); dcha fut d tó E tá co la pdaca d la aa. Ét l llaado oa d h. La coó d fut d cot fut d tó caa paa la foulacó cocptual d la cuaco d alla. El algoto xplcado atot lo hac autoátcat. La d d Fg..8 o qu dcha coó ya qu o po fut d cot. La t cuaco d qulbo [.7] pud platada cocptualt dat la aplcacó d la ly d Kchhoff d oltaj d bucl cada ua d la t alla... Ejplo E l daollo d t jplo foulaá po u cuaco d qulbo po aplcacó cocptual dl étodo d la alla, y lugo aplcaá cácat u algoto guoo. E la páctca dcho pobla o plataía po l étodo d alla, ya qu l úo d alla uy 7 upo al úo d udo, po plataá po u alo ddáctco. La E Fg.. (a) l qualt d la ± _ µ. Fg.. (b) co la duplcacó (c) d _ µ. la fut cotolada a f d la la fala aa. Adá, ha aggado ua aa fctca adcoal 7 a lo f d pod cotu u Fg..

14 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II ábol popo co toda u cuda xto, la qu dfá la cot d alla. Ua z obtdo l ultado, pud hac td a co dcha pdaca. Po ota pat, coa la aa fctca, la qu caa paa l algoto, coo á á adlat. La foulacó haá po cocptualt. El ábol dl copodt gafo d la fg.. copd la aa, y, y la cuda o la aa, 7, y. Elgda aí la cot d alla, la foulacó cocptual d la cuato cuaco d qulbo d alla dcto y ulta l gut: [.] A cotuacó cao xpa la tó d udo (qu la tó d la aa ) fucó d la cot d alla cógta. Dl qua d la fgua obt: [.] Rplazado t ultado l gudo bo d [.] y taladado co l go oputo lo téo d cada fla a la pcta colua dl p bo obt falt [.] La olucó d t ta po la xpo d la cot d alla. La tó d alda - µ - µ ( ). Al o ultado [.] db llga aplca l algoto topológco-atcal. A pat d la Fg.. pud obt la atz d bucl B. E la a fgua la do fut dpdt tá xpada coo fut d tó cotolada po tó. Paa toducla la atz, db xpada coo cotolada po la cot d la aa cotolat, qu tal coo lo xpa la cuacó [.].. La aa cotolat la (colua d la atz ) y la cotolada o la y (fla d ). Copaado l tdo d la aa tpo d Fg..7 co l tdo d la fut cotolada d Fg.., qu l oputo, lo téo µ dbá toducdo la coada poco d la atz co go gato. Po lo tato, la atz B, la atz d pdaca d aa y l cto d fut dpdt d tó d aa E, o la gut: [.] 7 E µ µ µ ( ) 7 E µ µ µ µ µ µ 7 E E B µ µ

15 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II El cto d fut dpdt d cot ulo. La fcacó d qu l ultado d plaza ta atc la tca c. [.] la c. [.] dja coo jcco paa l aluo.. Rlaco t la atc A y B: Paa luta la laco qu xt t la atc A y B, toao l jplo d Fg... E la Fg.. ho cabado la uacó d la aa paa hac cocd lo po t úo co la aa dl ábol lgdo. Fg.. (c) (a) ± (b) Co t cabo d oclatua d la aa la atc A y B ulta [.] La lccó d la uacó d la aa pt dd cada ua d la atc A y B do ubatc odada: A a, B a qu copod co la aa dl ábol y A c, B c, la qu copod co u cuda. E dc: [.] B A B c B a B B c B a A c A a A A c A a

16 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II D ta cuato ubatc, ólo A a y B c o p cuadada tbl. La atc A y B t la popdad d otogoaldad, dc, cupl p qu A B (atz ula), aí coo u taputa B A. A pat d ta popdad obt lo ultado gut: A [ ] a B A B a B c B a A a B c A c A c B B A a c A a c U A a B A A y B a A A a c a B A B B B c c a c c U [.7] E cocuca, lg la uacó y l tdo d la cuda, d odo tal qu u cot d aa y d alla cocda tdo y uacó colata, ulta B C U (atz utaa) y pud obt la atz B a pat d la atz A. Aálogat, coocda B y A a pud obt A. Ua z obtda la oluco po l étodo d lo udo, a pat d la ubatz B c y d la cot c la cuda, pobl obt tabé la cot d alla. Slat, obtda la oluco po l étodo d la alla, a pat d la ubatz A a y d la to a la aa dl ábol, pud obt tabé la to d udo. La fóula o: B - c c A a a [.8]. Ru dl Pocdto d Foulacó a cotuacó uaza l pocdto paa la foulacó d la cuaco d qulbo odal y d alla d ua d. S pat dl qua ccutal d la d d aa y odo. Pao ) Cotuya l copodt gafo topológco otado d la d. Elja u odo d fca. Pao ) Dfa u ábol dl gafo fucó dl odo d fca lgdo d odo qu l ayo úo pobl d u cuda a xto. Su - aa df lo - odo dpdt y u pcta to d udo co pcto al odo d fca. La - aa qu cottuy u cuda df la - alla dpdt y u pcta cot d alla co tdo y alo cocdt co lo d la cot d la cuda. Pao ) Nu colatat la aa y lo odo. Ag l úo al odo d fca lgdo. Ag u tdo a cada aa d la d. É á l tdo d la copodt cot d aa. El xto poto d la copodt tó d aa á l odo d alda d a cot, y l xto gato, l odo d llgada d la a. a) Método d lo udo: Pao a) Ecba la atz d cdca A(aa,odo) qu dcb l odo d patda () y l odo d llgada (-) d cada aa. El la colua dl odo d fca. Pao a) Ecba la atz d adtaca d aa. E u dagoal pcpal aot la adtaca popa d cada aa. Po cada fut d cot la aa cotolada po la caída d tó V(j) la adtaca d la aa j, aot u taadtaca (,j) fua d la dagoal. Cud d aga a dcha taadtaca l go cocto gú lo dca la aa tpo d fg... Lo tat lto d á ulo. Pao a) Ecba lo cto I y E, d fut d cot y d tó dpdt d la aa. ga cudado d aga lo tdo cocto a dcha fut ba a cocó d la aa tpo d fg... Pao 7a) Obtga la cuaco d qulbo d to d udo po la fóula

17 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 7 ( A A) A ( I E) [.9] Pao 8a) Rula la cuacó ato paa l cto d to d udo y obtga lo cto d to d aa, cot d aa y cot d alla po la gut fóula ( A A) A ( I E) A - B - c ( I - E) c [.] b) Método d la alla: Pao b) Ecba la atz d bucl B(aa,alla) qu dcb paa cada colua (alla) cuál aa ataa la cot d alla: l o tdo d la cot d aa () o tdo cotao (-). Pao b) Ecba la atz d pdaca d aa. E u dagoal pcpal aot la pdaca popa d cada aa. Po cada fut d tó la aa cotolada po la cot J(j) qu ataa la pdaca d la aa j, aot u tapdaca (,j) fua d la dagoal. Cud d aga a dcha tapdaca l go cocto gú lo dca la aa tpo d fg..7. Lo tat lto d á ulo. Pao b) Ecba lo cto I y E, d fut d cot y d tó dpdt d la aa. ga cudado d aga lo tdo cocto a dcha fut ba a cocó d la aa tpo d fg..7. Pao 7b) Obtga la cuaco d qulbo d cot d alla po la fóula ( B B) B ( E I) [.] Pao 8b) Rula la cuacó ato paa l cto d cot d alla y obtga lo cto d cot d aa, to d aa y to d udo po la gut fóula B A ( B B) B ( E I) - - a ( E - I) a [.]

18 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 8 7. Pcpo d dualdad Obado la ltud t aba foulaco, la d udo y la d alla, ug la da d plata pobl obt ua d a pat d ua d tal qu la cuaco d alla (udo) d la d a aáloga a la cuaco d udo (alla) d la d, co xcpcó d la bología. E tal cao, la d la dual d la d at. Ét l llaado pcpo d dualdad. La xtca d ua d dual d la plca qu la atz B d la d db gual a la atz A d la d, y tabé A B. Paa llo, aba atc db t l o úo d colua. E dc, l úo - d to dpdt d udo d ua d db gual al úo d cot d alla - d u d dual. D t odo la to d udo d ua d cot la cot d alla d u d dual at. Lo o ucd co lo tat paáto y aabl, cot u dual. Po jplo, la d d Fg. (a) y. (b) o utuat dual. El jplo d la fgua., pta l pocdto paa halla la d dual d ua d dada. Dcho pocdto cot aca u puto uado dto d cada alla d la d y u puto fua d la d. Dcho puto to d la d aca coo odo la d, y al puto xto d la d l copodá l odo d fca d la d. A cotuacó ataa todo lo lto d la d (fut pdaca) co lía putada dd cada uo d lo puto aí acado hata oto puto, ya a l xto u oto to copod. Dcha lía putada ñala lo lto d la d qu db dbuja t lo pcto odo d la d, po cotédolo uo a uo u lto dual: fut d cot po fut d tó, pdaca po adtaca (tca po coductaca, ductaca po capacto) y cípocat. Al fctua dcha coó, la fut d tó y d cot db codada coo aa paada. Fg.. C C C Ig R L R Eg ± L L Rd Rd La Fg.. uta l pocdto. Dada la d ha cotudo u d dual, la d. Aba d o utuat dual, d odo qu po l o pocdto d la d pud obt la d. La c. [.] pta la foulacó d la cuaco odal d la d y la [.] la d la cuaco d alla d la d. S oba la aboluta ltud t aba cuaco. El lcto pud fca qu la atz B d la d détca a la atz A d la d, aga a la aa lo tdo apopado d cot.

19 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 9 Ecuaco odal d la d: C C R I g C C C C L C C R Ecuaco d alla d la d : L L Eg L L L L C L L [.] [.] E la tabla u lo dft lto d ua d y u pcto lto dual. La dualdad utua, dc, la tabla l abo tdo, tato d zquda a dcha coo d dcha a zquda. abla : Elto d ua d y u pcto lto dual Elto Dual dl lto Matz B Ecuaco d alla Cot d alla Ipdaca Fut dpdt d tó Rtca Iductaca Capacto Fut d tó cotolada po cot Coxó Cotoccuto Dual dl lto Elto Matz A Ecuaco odal ó d udo Adtaca Fut dpdt d cot Coductaca Capacto Iductaca Fut d cot cotolada po tó Coxó paallo Ccuto abto

20 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 8. Rd o cípoca y acta Cuado la d po fut cotolada, db xpa la a fucó d u taadtaca j paa l étodo d lo udo, o b d u tapdaca j paa l étodo d la alla, tal coo ptó jplo ato. Po xt cao qu do aa cotola o fluy utuat, co lo qu la xpó cocta d dcha fut a f d qu lo téo copodt a ucludo la atz o la atz, qu la alzacó d alguo pao algbaco po. Uo d to cao cuado la d cluy u tafoado dal. E la Fg.. (a) uta l qua d u tafoado dal, l qu cottuy ua d d do puta o cuadpolo. Lo puto ob lo bo upo dca qu la poladad d la tó cudaa Vb la a qu la d la tó paa Va. La lacó d tafoacó. La gut xpo df la laco d tadaalda d dcho cuadpolo: V a V ; b I b I a [.] I a : I b I a I b V a V b V a -Ib Va ± V b ' ' (a) Fg.. (b) La Fg.. (b) cluy dcha laco coo pcta fut cotolada po la ota aa. E la fg.. uta la do aa co la otacó tablcda paa la aa tpo ta atot. Paa l étodo d lo udo, aba fut cotolada db cot a fut d cot cotolada po la to V y V pctat. Paa l étodo d la alla, a fut d tó cotolada po la cot J y J, pctat. D dcha fgua obt la laco [.]. J J V -J V ± V Fg.. J V J V ' V ; V J ' J [.] Paa la atz, cao xpa J y J fucó d V y V. Paa la atz, V y V fucó d J y J. Ralzada la opaco algbaca copodt l ultado

21 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II J J V V V V J J étodo udo étodo alla [.7] [.8] S oba qu la coó d la cuaco paa xpa la taadtaca y la tapdaca d aa afcta tabé lto d la dagoal pcpal la atc y. La pcta aa tafoada uta la Fg.. (a) y (b). J Fg.. J V -V -V V (a) J J V J ± ± J (b) V 9. Aplcacó dl étodo opacoal d Laplac. Ccuto opacoal qualt. Véa Capítulo I, ta.

22 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II. Solucó gal po tafoacó a. Etado tatoo y tacoao... Foa gal d la olucó. Poloo caactítco d la d. La cuaco [.9] y [.] po la xpó gal d la to d udo coo olucó d la cuaco odal d qulbo. Aálogat, la cuaco [.] y [.8] po la xpó gal d la cot d alla coo olucó d la cuaco ccutal d qulbo. S pt a cotuacó ( A A) ( I E) ( B B) ( E I) J E adj dt adj dt ( ) J ( ) ( ) ( ) E [ z ] J ( étodo udo) [ y ] E ( étodo alla) [.9] [.] E ta cuaco, toda la atc y cto o fuco d la aabl d Laplac. La a d la atz d adtaca odal, qu doao [z ], doa atz d pdaca d tafca odal. La a d la atz d pdaca ccutal, qu doao [y ], doa atz d adtaca d tafca ccutal. El gfcado d dcha atc á xplcado l Capítulo póxo. Lo dtat dt() y dt() o coct d poloo. Ua popdad potat qu po ua d dada la d qu lo uado d abo dtat o poloo détco y dl o od o gado. Dcho poloo coú D c () doa poloo caactítco d la d y u od q gual al úo d lto dpdt d alacato d gía (ductaca y capacto) qu po la d. La aíc d dcho poloo o lo alo popo λ k (k...q) d dcha atc. Dcho alo popo dta lo odo d puta tatoa l tpo d la d. S cupl toc qu D [.] Lo cto olucó, ya a () qu xpa la k...(-) to d udo, o b () qu xpa la k...(-) cot d alla, o fuco tafoada d Laplac la aabl. Cada uo d lo lto d abo cto pud ducdo falt a u coct d poloo cuya foa gal k () () k c () uado( dt( )) uado( dt( )) q F c () q N D c c c () () N D q K cq cq () () N D () b () ( a a K a a ) [.] do N y D o lo poloo uado y doado d la tafoada d Laplac d la() copodt() fut dpdt qu xcta dcho odo o alla, pctat. La aíc dl poloo doado D() á lo q alo popo dl ta á la qu copoda a la d la fucó xctat d la pcta fut qualt d odo o d alla. Llaao al gado d D(). ( λ )( λ ) K( λ ) b b K b q b Cada ductaca y cada capacto cuta coo u lto alacado d gía. Coxo o paallo d lto dl o tpo la a aa cuta coo u olo lto. Adá, t ductaca coctada tlla al o udo o t capacto coctado tágulo ua a alla, cuta coo do lto.

23 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II.. Rputa tpoal: tatoa y tacoaa. Ua z obtda la xpó ato, l objto obt la xpó d la puta l tpo d la olucó. Paa llo db aplca la afoacó Ia d Laplac. El p pao calcula la aíc d D() y lo duo dcha aíc paa obt la xpaó facco pacal dl coct d poloo obtdo. S o pta aíc últpl, dcha xpaó t la foa F () N D () () K λ K λ A D () () c K q K λ q H µ () () puta tatoa puta tacoaa H µ B D K H h µ h [.] Lo duo H y lo polo µ o lo d la puta tacoaa dbda a la fut dpdt xctat. La xpaó pud paa do gupo d téo: l p gupo, d doado coú Dc(), pta la afoada d Laplac d la puta tatoa popa d la d, ta qu l gudo, d doado coú D(), pta la afoada d Laplac d la puta tacoaa. Lo duo d la xpaó [.] paa l cao d qu toda la aíc d D() a dtta, dado po K H l l [.] Ua z calculado lo duo, fctúa la tafoacó a d Laplac, la qu t la foa gal: k () t () t [.] Lo polo λ y µ pud al o pa copljo cojugado. E t últo cao pud agupa lo copodt pa d téo xpocal u doado coú a f d xpa la olucó la foa d o y/o coo ultplcado po la xpocal d la pat al d o pa. E l cao d qu xta polo últpl, l pocdto d xpaó y cálculo d duo dft paa o polo. Véa lo tatado d aabl coplja. Falt, la xpó d la puta tpoal pud pla paa gafca dcha puta... Ejplo k (( λ ) F( ) ), λ ; Kq (( µ ) F( ) ), µ ; Kh f q h () t K xp( λ t) H j xp( µ j t) j Sa la d d ua alla d Fg.. (a) y c. [.] ptada l Cap. I. S adopta lo gut alo d paáto y codco cal: E( ) ( caló d tó d Volto) ; L A.; C R Ω; L. H.; C µ F. V.

24 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II V R - V L - V C - ± I() E() R L V() - - L /C c / I() Fg.. (a) La xpó d la afoada d Laplac d la cot d alla I() ulta toc: I () U () () E() L L R L / C. ( C) La aíc dl doado (poloo caactítco dl ta) o λ g ; λ g 7. [.] [.7] La xpaó facco pacal d [.] y la tafoacó a d Laplac po la xpó tpoal d la cot (t): 7... () ( )( ) () t.( xp( t) xp( t) ) Apo I [.8] S ta tabé la xpó tpoal C (t) dl oltaj a lo bo dl capacto, t 7. () () C VC I C C ( )( ) () t xp( t) xp( t) u () t Rputa tatoa Volto Rp. tacoaa [.9] do u (t) l caló utao. Obé qu l alo cal d C (t) d (- Volto), cocdt co la tó cal auda paa l capacto. Dcha codcó cal pud fcada tabé dd la xpó d V C () po aplcacó dl toa dl alo cal, aí coo u alo fal dat l toa dl alo fal d la afoada d Laplac: l l ( C () t, t ) l( VC ( ), ) Volto ( () t, t ) l( V ( ), ) Volto (Rp. tacoaa) C C [.] Co u oftwa odo tal coo Matlab, la gáfca d la puta tpoal pud obt dctat a pat d u tafoada d Laplac, cdad d fctua la xpaó facco pacal, la

25 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II tafoacó a y la tabulacó d la fucó tpoal ultat. La Fg.. pta la gáfca d la htoa tpoal d la aabl (t) y c(t) dl pt jplo. La puta tatoa o apódca y xpocalt dcct azó d qu la aíc d la cuacó caactítca o al y gata.. (t) (c.) c(t) Fg (c.).. Ejplo La Fg..7 (a) pta ua d d do udo y do alla y la Fg..7 (b) u gafo topológco. R L E ± C R (a) Fg..7 (b) S adopta lo gut alo d paáto y ñal d tada E(). Lo do capacto tá calt dcagado (codco cal ula):

26 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II [.] La atc y lo cto cao paa obt la cuaco d qulbo po l étodo topológcoatcal o la gut: [.] a) Método d lo udo: Ralzada la opaco dcada obt la gut xpo paa la atz d adtaca odal y l cto d fut dpdt d cot odal J : [.] Suttuydo lo alo dado la cuacó gal obt l gut ta d cuaco: [.] Eta cuaco pud obt dctat a pat dl qua opacoal d la d po aplcacó cocptual dl étodo odal. Paa obt l cto d to d odo cógta pco pat t la atz. Dcha a - la atz d pdaca d tafca odal. [ ] ho H : F : faado,, S : oho, :. ;. ;... ;.. ;. ;. Ω Ω Ω Ω Ω V U S R S R g H L g F C R R L C L C U I E B A ( ) ( ) o a U L L L L C J J E I A A A

27 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 7 [.] A cotuacó xpa () coo coct t u uado ctoal y u doado coo poloo. S calcula la aíc dl poloo doado; la do pa o la popa d la d y la tca la d la xctacó d tada pcfcada (u caló d tó): [.] Lugo alza la xpaó facco pacal. Po tata d u cto d do lto, lo duo K o ctoal. K l cojugado d K. Paa o tabaja co úo copljo, aca l coú doado d la aíc coplja cojugada, d odo d obt u cto uado al. [.7] La últa xpó ato uta cóo acooda lo lto dl uado a f d dtfca la afoada d Laplac d lo téo o y coo d oclaco aotguada, gú la fóula gut, dod a y ω. [.8] Copaado téo obt falt la xpo tafoada a d Laplac d la pcta to d udo: ( ) ( ) ( ) ( ) L L C C L C L L L dt adj J E I A A A ; J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t a t a t a t a a ω ω ω ω ω xp ; co xp () () () ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / K K K

28 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 8 () t xp( t) ( co( t) ( t ) u () t () t xp( t) co( t) ( t) u () t [.9] u(t) pta l caló utao. La Fg..8 uta la puta tpoal d aba to d udo. Su alo cal co, u alo fal /. Volto. Rputa tpoal to d udo (Volto). (t).. (t). Fg (c.) La d xhb u pa d alo popo (polo) qu o copljo cojugado co pat al gata. Éta la azó d qu u puta a ua ñal cotat úbtat aplcada t, o oclatoa aotguada b) Método d la alla: Ralzada la opaco dcada obt la gut xpo paa la atz d pdaca d alla y l cto d fut dpdt d to d alla E : ( B B) B ( E I) C C C o a C L E E U [.7]

29 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II 9 Suttuydo lo alo dado la cuacó gal obt l gut ta d cuaco: [.7] Eta cuaco pud obt dctat a pat dl qua opacoal d la d po aplcacó cocptual dl étodo d la alla. Paa obt l cto d cot d alla cógta pco pat t la atz. Dcha a - la atz d adtaca d tafca ccutal o d alla. [.7] A cotuacó xpa () coo coct t u uado ctoal y u doado coo poloo. S calcula la aíc dl poloo doado; la do pa o la popa d la d y la tca la d la xctacó d tada pcfcada (u caló d tó): [.7] Lugo alza la xpaó facco pacal. Po tata d u cto d do lto, lo duo K o ctoal. K l cojugado d K. Paa o tabaja co úo copljo, aca l coú doado d la aíc coplja cojugada, d odo d obt u cto uado al. [.7] ( ) ( ) ( ) ( ) C C L L C C C L C dt adj E I E B B B ; E () () () ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K K K

30 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II La últa xpó ato uta cóo acooda lo lto dl uado a f d dtfca la afoada d Laplac d lo téo o y coo d oclaco aotguada, gú la fóula gut, dod a y ω. a ( a) ω xp ( a t) co( ω t) ; ( a) ( a t) ( ω t) [.7] Copaado téo obt falt la xpo tafoada a d Laplac d la pcta cot d alla: ω ω xp () t xp( t) ( co( t) ( t ) u() t () t xp( t) ( co( t) ( t ) u () t [.7] u(t) pta l caló utao. La Fg..9 uta la puta tpoal d la cot d alla. Rputa tpoal cot d alla (Apo) 9 8 (t) 7 (t) Fg (c.) Al aplca bucat l tat cal l caló d oltaj E y po ta l capacto C dcagado, ét actúa coo u cotoccuto otáo y po lo tato la cot cal () pga u alto buco, do gual al oltaj aplcado d V. dddo la tca R oh, o a A. Coo l oltaj ob C ulo tat, la cot cal () t qu ula. E cuato a lo alo fal d aba cot d alla, llo o détco gual a U/(RR) V/. Ω.7 A, ya qu ég tacoao l capacto C actúa coo u ccuto abto y l ducto L coo u cotoccuto.

31 W. Mobg EORÍA DE REDES Cap II La d xhb u pa d alo popo (polo) qu o copljo cojugado co pat al gata. Dcho polo o ua caactítca popa d la d. Éta la azó d qu u puta a ua ñal cotat úbtat aplcada t, o oclatoa aotguada.. Foulacó autoátca po étodo topológco-atcal Et tópco ha do tgado dto dl daollo dl pt capítulo. Véa l o dd l pcpo.