UAM CSIC Grupo 911 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema Asignatura de Matemáticas Grado en Química

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1 UAM CSIC Grupo 9 Febrero Ejercicios Resueltos del Tema..5 Asignatura de Matemáticas Grado en Química Lista de ejercicios en estas páginas: y. Consejo: En todos los ejercicios es esencial dibujar el dominio de integración para hallar los límites de las variables a integrar. Nota: Los ejercicios pueden contener errores, agradecemos que se comuniquen a los profesores para su corrección. Escribir a El volumen se calcula integrando la densidad constante igual a, es decir integrando f(x, y, z) = en el dominio. Las variables x e y se mueven libremente en el dominio Q luego su contribución en la integral es dxdy La variable z la altura varía entre z x y así pues su contribución es x y dz. Luego, la integral a calcular es: x y dzdydx = ( x y)dydx = [ y xy y / ] dx = = ( ( ) x( ) / + 5 /)dx = xdx = 5 = Alternativamente, como ambas variables x e y varían libremente se podría integrar primero en x y luego en y: x y =. Evaluar dzdydy = ( y ) dy = x y dzdxdy = ( 7 y ) dy = 7 [ y / ] T xyda donde T es el triángulo con vértices en (, ),(, ) y (, ). ( x y)dxdy = = 7 + = En este caso tenemos dos variables x e y. Podemos proceder de dos maneras: (a) Elegimos como variable libre x, en este caso x porque y son las coordenadas x de los vértices (, ) y (, ). La recta que une los vértices (, ) y (, ) es la recta {x = y}. Luego, la variable y se integra a lo largo de y x. Los límites de la integral son: x dydx,

2 UAM CSIC Grupo 9 Febrero nótese que primero integramos en y cuyos límites dependen de x y después en x que es libre. Hay que integrar con densidad xy, por lo tanto: x xy dydx = x x y dydx = x [ y / ] x dx = = x dx = [ x / ] = 8 x (x /)dx = (b) Elegimos como variable libre y, en este caso y porque y son las coordenadas y de los vértices (, ) y (, ). La recta que une los vértices (, ) y (, ) sigue siendo la recta {x = y}. Luego, la variable x se integra a lo largo de y x. Los límites de la integral son: y dxdy. La integral del enunciado tiene densidad f(x, y) = xy y queda: y xy dxdy = y x dxdy = y [ x / ] y y dy = ( ) y y dy = ( ) [ ] y y y dy = y = 8 8 = 8 Ejercicio útil: Integrar la densidad f(x, y) = en el mismo triángulo T. Se pueden usar las opciones (a) y (b) y sabemos que el resultado tiene que ser igual al área del triángulo, en nuestro caso ( )/ = /. 5. Evaluar la integral iterada x e x dydx. Dado que ya nos dan la integral no es necesario dibujar el dominio de integración. Sería el caso si necesitáramos cambiar a coordenadas polares, pero solucionaremos la integral en coordenadas cartesianas. La densidad es constante en y luego x e x dydx = e x ( x)dx El integrando no tiene una primitiva inmediata, así que hacemos el cambio de variable u = x du = x dx dx = xdu = udu En particular x = u, luego e u ( u) (u)du = e u udu e u u du Ambos sumandos se pueden integrar por partes.

3 UAM CSIC Grupo 9 Febrero 6. Hallar el volumen del sólido acotado por los planos {y = }, {z = } y {z = a x+y} y la superfície y = a x /a, a >. En este ejercicio a es un parámetro. Como tenemos que calcular un volumen, tomaremos densidad f(x, y, z) =. Falta encontrar los límites de integración. Las ecuaciones que delimitan el sólido nos indican que los límites de integración de las variables y y z dependen de x. Por eso, tomamos como variable libre x. Deduzcamos los límites de integración para x: nos restringimos a {z = } y tenemos las ecuaciones {y = }, {a x + y = }, {y = a x /a} Cuando y = la tercera ecuación da x = ±a, luego los límites de x son a x a. Estas operaciones con las ecuaciones se entienden mejor si uno dibuja el dominio restringiendo al plano {z = }, por ejemplo si tomamos a = 7 en el plano horizontal {z = } tenemos el dibujo y%d7 x %F 7%C + y%dx 7. Como uno de los límites es el eje horizontal {y = }, la recta violeta no afecta a las coordenadas x e y y los límites de x son a x a. Los límites de y son y a x /a. Así pues, la integral a calcular es V = 7. Evaluar la integral a B a a a x /a a x+y dzdydx = 8a 5 ( + x sin z)dv donde el dominio es la bola de radio a centrada en el origen, i.e. B a = {(x, y, z) : x + y + z a }. El dominio se expresa mejor en coordenadas polares: x = r cos θ sin φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos φ y recordamos que dxdydz = r sin φ drdθdφ. Luego B a (+x sin z)dv = π π a (+r cos θ sin φ sin(cos φ))r sin φ drdθdφ = 8πa 8. Hallar el volumen de la región ubicada entre el plano z = y y el paraboloide z = x + y. Por ser un volumen la densidad será f(x, y, z) =. Empezemos con los límites de integración de z: nos piden el volumen entre dos superfícies descritas como grafos z = y y z = x +y, luego x +y z y. Para hallar el dominio de x e y debemos entender en qué región se deben integrar. Esta región está delimitada por Copiar la siguiente url en un navegador de Internet.

4 UAM CSIC Grupo 9 Febrero la curva intersección del plano con el paraboloide: esto es, z = y y z = x + y que intersecan en {(x, y, z) : z = y} {(x, y, z) : z = x +y } = {(x, y, z) : z = x +y, y = x +y }, por lo tanto la curva en x e y es la elipse E = {(x, y) : y = x + y }. El volumen que queremos calcular se expresa como E y dxdydz = x +y E y (x + y ) dxdy Notemos que y y = (y+), luego y (x +y ) = (x +(y+) ). Así pues, estamos integrando en un disco de radio centrado en el punto (, ), las coordenadas adecuadas son x = r cos θ, y = r sin θ con r, θ π. Entonces, la integral I se expresa como E y (x + y ) dxdy = 9. Usar la integral doble para calcular: π [ (r sin θ ) r ] rdrdθ = π. El volumen del sólido formado al cortar el plano π de ecuación x+y+z = con los ejes coordenados de R. Estamos calculando un volumen, la densidad debe ser f(x, y, z) =. Los tres puntos de corte son: π Eje z = π {x =, y = } = {(,, } π Eje x = π {z =, y = } = {(6,, } π Eje y = π {x =, z = } = {(,, } Aislando z de la ecuación x + y + z = encontramos los límites de integración de z: z ( y x) Para hallar los límites de integración de x e y nos restringimos al plano {z = }. La recta de intersección del plano π con el plano horizontal {z = } es la recta {(x, y) : x+y = } en el plano de coordenadas (x, y). Dejando, por ejemplo, como variable libre x tenemos x 6 Luego la variable y tiene por límites de integración y x/. El volumen se calcula mediante la integral 6 x/ ( y x) dzdydx =

5 UAM CSIC Grupo 9 Febrero. Calcular el volumen de un sólido de revolución al girar la función f(x) = sin x entorno al eje x, con x [, π]. Por ser un volumen, la densidad será f(x, y, z) =. El volumen del sólido se puede entender como una suma contínua es decir, una integral de las áreas de las superfícies obtenidas al cortar con los planos {x = k}, k constante. Cada una de estas superfícies es un disco centrado en el punto (k,, ) del plano {x = k} de radio f(x) = sin x, sus áreas son π( sin x). Luego, el volumen es π π( π sin x) dx = π sin xdx = π [ cos x] π = π Nótese que en general si revolucionamos la función f(x) a lo largo del eje x el volumen del sólido de revolución descrito por x [a, b] es: b π f(x) dx a. Calcular el área con densidad f(x) = x de la región comprendida entre el círculo x + y = 5, y las rectas {y = x}, {y = }. El círculo interseca la recta {y = } en el punto (, 5) y interseca la recta {y = x} en (, ). La variable libre es x con límites de integración x 5. La variable y tiene por límite inferior de integración, pero el límite superior cambia: para x [, ] tenemos y x/ mientras que para x [, 5] el límite superior es y = 5 x. Luego la integral es x/ xdydx x Ambas integral se puede calcular independientemente: x/ 5 5 x xdydx = 6 xdydx = 9 xdydx Luego = 5. Teniendo en cuenta que el sector es parte de un disco, es posible calcular la integral usando coordenadas polares. El radio r irá entre r 5 mientras que el ángulo θ recorre θ arctan(/) dado que el ángulo del vector (, ) es arctan(/). La integral es entonces 5 arctan / r cos(θ) rdθdr = 5 arctan / r cos(θ)dθdr = 5. Calcular la siguiente integral inverso, es decir dydx. ln(y) dxdy y plantear la integral en el sentido 5

6 UAM CSIC Grupo 9 Febrero La integral se calcula ln(y)dy = ln() 9 dado que una primitiva de ln x es x ln(x) x. En el sentido inverso la variable libre es x. El máximo de ln(y) en [, ] es ln(), luego x ln(). La inversa del logaritmo ln es la exponencial. En consecuencia ln(y) dxdy = ln() e x dydx = ln() [e x ] ln() = ln() 9. Calcular el área comprendida entre x 5, x + y = 5, {y = x} y {y = }. La densidad será f(x, y) =. La intersección entre la recta {y = x} y el círculo x + y = 5 en el primer cuadrante es el punto (5, 5), de coordenada x = 5. Luego tenemos la misma situación que en el problema. La integral se calcula análogamente Las integrales dan: 5. Calcular 5 x I = π/ sin(θ) Integrando obtenemos π/ dydx + I = 5 x 5 5 x 5 rθdrdθ. 5 5 x 5 dydx = 5 dydx = dydx 5(π ) sin(θ) π/ θ rdrdθ = θ[r /] sin(θ) dθ = π/ θ sin (θ)dθ = + π donde usamos que una primitiva de θ sin (θ) es θ / θ sin(θ)/ cos(θ)/8. Esto se deduce, por ejemplo de la igualdad cos(θ) = cos (θ) sin (θ), luego θ sin (θ) = θ 6. Calcular ( sin (θ) y y La integral se calcula ) ( + sin (θ) cos ) (θ) = θ + sin (θ) = θ ( cos (θ) cos(θ) ) (x y xy )dxdy. y y (x y xy )dxdy = Calcula utilizando el cambio a coordenadas polares: 6

7 UAM CSIC Grupo 9 Febrero. La integral doble 9 x (x + y ) / dydx. El dominio de integración es la intersección del primer cuadrante con el disco de radio y centro (, ). Tenemos r = (x +y ) / y dydx = rdθdr, la integral da 9 x (x + y ) / dydx = π/ r rdθdr = π/ r dθdr = π. El volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones {z = }, un plano, {z = x + y } un cono y el cilindro vertical x + y = 5. El cálculo del volumen requiere usar densidad f(x, y, z) =. Las variables (x, y) se mueven en el plano {z = } dentro del disco D de radio 5 centrado en (, ), cuya frontera es x + y = 5. La variable z se mueve entre z x + y. Luego la integral es x +y dzdxdy = D D x + y dxdy = 5 π r drdθ = 5π donde hemos cambiados a polar para integral en el dominio de (x, y) usando que el disco de radio 5 se describe por r 5 y θ π.. El volumen del sólido acotado por las gráficas de las inecuaciones {z = }, z = ln(x + y ), x + y, x + y. La densidad es f(x, y, z) =. La variable z se mueve en z ln(x + y ). Las variables (x, y) se integran en el anillo A(, ) de radio interior y radio exterior, luego usaremos coordenadas polares con r y θ π. El volumen es A(,) = ln(x +y ) π dzdxdy = A(,) ln(r )rdrdθ = π(ln(56) ) ln(x + y )dxdy = 8. Calcula utilizando el cambio a coordenadas cilíndricas el volumen del sólido dado por la región interior a la esfera x + y + z = y exterior al cono z = x + y. La densidad será f(x, y, z) = por ser un volumen. En el cambio a coordenadas cilíndricas el diferencial de volumen cambia como dxdydz = rdrdθdz dado que dz no cambia y el cambio a polares es dxdy = rdrdθ. Observar que de hecho son las coordenadas que hemos usado en el ejercicio 7. Si calculamos el volumen directamente nos encontraremos con una situación análoga al ejercicio, donde se deben distinguir dos regiones para los límites de integración de z. Es más directo calcular el volumen V i contenido dentro del cono z = x +y y la esfera x +y +z = y el volumen V e de la región exterior al cono acotado por la esfera será la diferencia 7

8 UAM CSIC Grupo 9 Febrero del volumen π / de la esfera de radio y V i. Para el cálculo de V i, obtenemos la parte superior y multiplicaremos por. En la parte superior la variables z está contenida en x + y z 6 x y. Las variables (x, y) se mueven en el disco D de radio 8: 6 x y V i = dzdxdy = D x +y El volumen requerido es 8 π ( 6 r r)r drdθ = 6π ( ) V e = π V i = π 6π ( ) = 8 π 9. Usa coordenadas esféricas para hallar la masa de la esfera de ecuación x +y +z = a con la densidad que se especifica:. La densidad en todo punto es proporcional a su distancia a l origen. La distancia del punto (x, y, z) al origen es el módulo del vector v = (x, y, z) (,, ) = (x, y, z) = v = x + y + z Si la densidad es proporcional debemos poner f(x, y, z) = k ( ) x + y + z para una constante k R. La masa de la esfera S con esta densidad es ) M = k ( x + y + z dv S En coordenadas esféricas (r, θ, φ) (, a) [, π) [, π] el diferencial de volumen cambia como dv = dxdydz = r sin φdrdθdφ. Como r = x + y + z la integral a calcular se expresa como ) a π π M = k ( x + y + z dv = k r r sin φdrdθdφ = k πa S. La densidad en todo punto es proporcional a su distancia al eje z. La distancia del punto (x, y, z) al eje z es el módulo del vector diferencia v = (x, y, z) (,, z). La densidad es entonces f(x, y, z) = k x + y. La integral a calcular es M = k S = k = k ) ( x + y dv = k S a π π a π π ( x + y + z z ) dv = ( ) r r cos φ r sin φdrdθdφ = (r sin φ) r sin φdrdθdφ = k π a 8

9 UAM CSIC Grupo 9 Febrero. La función de Cobb Douglas para una empresa es f(x, y) = x.6 y., donde x denota el número de unidades de trabajo e y el número de unidades de capital. Estimar el nivel de producción medio se x varía entre y 57, e y entre 96 y 5. La densidad será la función de producción Cobb Douglas, su integral a lo largo del dominio rectangular x 57 y 5 y 96 nos dará la producción total. Debemos calcular la producción media P, luego hay que dividir el resultado entre el área barrida por las variables (x, y), esto es (57 ) (96 5) = 695. El resultado es P = x.6 y. dxdy = 695. Problema Extra: Orbitales atómicos x /5 y /5 dxdy Se suelen usar coordenadas esféricas para describir las funciones de densidad orbitales atómicos que dictan el comportamiento de un electrón alrededor de un átomo. Estas funciones indican en probabilidad los estados de energía que puede manifestar un sistema físico, en este caso los electrones alrededor del núcleo atómico. Las orbitales atómicos son, por definición, estas funciones. Estos orbitales atómicos varían en función de la energía n del electrón, su momento angular l y una componente angular m. Para cada tripleta (n, l, m) tenemos un orbital atómico, esto es una función, que depende de las variables (r, θ, φ). En particular el radio r determina la medida del orbital (el grosor de la nuez por donde de mueve el electrón). Como se trata de densidades para estados de energía, estas funciones se obtienen resolviendo la ecuación de Schrödinger. Esto se entiende bien en el ejemplo fundamental del átomo de hidrógeno. Sea a = m el radio de Bohr, esto es una cantidad cercana a la distancia más probable entre el protón y el electrón en un átomo de hidrógeno en el estado de mínima energía. Para el estado de mínima energía, el orbital tiene tripleta (n, l, m) = (,, ) y se suele denotar por s (n = y la s de sharp). Los orbitales s y s son Ψ s = e r/a, Ψ s = πa ( r/a ) e r/a πa En una densidad de probabilidad Ψ, la probabilidad es Ψ. Así pues, la probabilidad de encontrar un electrón en la posición (r, θ, φ) es Ψ(r, θ, φ). Por lo tanto, la probabilidad de encontrar un electrón en una región Ω es precisamente la integral de volumen Ψ dv Ω Ver para una imagen los primeros orbitales de un átomo de hidrógeno: negro es probabilidad casi nula de hallar un electrón y a color más claro mayor probabilidad. Por ejemplo, en el estado fundamental s el punto blanco de la densidad nos indica el punto más probable donde se halla el electrón. 9

10 UAM CSIC Grupo 9 Febrero. En particular, si integramos para Ω todo el espacio posible Ω, la probabilidad de que el electrón esté debe ser. Integrar en todo el espacio sería tomar Ω con radio infinito. Demostrar que efectivamente Ω Ψ s dv = π π πa e r/a r sin φdφdθdr =. Hallar la media de la distancia entre el electrón y el núcleo atómico en el caso del átomo de hidrógeno para la densidad fundamental Ψ s. Indicación: La esperanza para una función f, su valor medio, con respecto a una densidad Ψ es f Ψ dv. La respuesta final es a.

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