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1 OPERACIONES EN 8 E la secció aterior utilizamos fucioes de el primer couto y estudiar sus propiedades e Itetemos defiir alguas operacioes e Recordemos de cursos ateriores que tomamos al couto de los compleos como y defiimos la suma: ( x, y) ( x, y) ( x x, y y), ( x, y),( x, y), probado posteriormete que, es u grupo comutativo Parece razoable defiir "suma" e de la siguiete maera: x, x,, x x, x,, x x x, x x,, x x Eercicios ) Probar que, es u grupo comutativo ) Aotemos 0 al couto de todas las -plas de reales e las cuales so ulas todas sus compoetes salvo evetualmete la primera, ie f : defiida por f ( x) x,0,,0 Demostrar que 0, y, 0 x, x,, x : x x 0 0 es u isomorfismo etre los grupos Al igual que sucede co los compleos, el mecioado isomorfismo permite simplificar la otació escribiedo + e lugar de E otras palabras a partir de ahora aotaremos de la misma maera la suma de reales que la suma de -plas Por otra parte observemos que esta idea la podemos aplicar sobre cualquier grupo Pudiedo así exteder la suma de eteros, racioales o compleos a la suma de -plas de eteros, racioales o compleos Para el caso la represetació geométrica de la suma coicide co la que hacíamos para vectores e el plao (fig) x,x x y,x y x, x O y, y fig fig O x,x Recordemos que además de poder sumar vectores los podemos "multiplicar" u vector por u úmero real (fig) La defiició formal sería: : x, x x, x tal que Co lo cual tambié parece razoable defiir el producto de u real por ua -pla de la siguiete forma, : x,, x x,, x tal que 8

2 Eercicio Probar: i) x,, x ( ) x,, x,,,,, x x ii) x,, x x,, x x,, x,,, x x iii) x,, x y,, y x,, x y,, y,, x,, x, y,, y iv) x,, x x,, x, Observació Lo hecho co,,, cualquiera K,, 9,, x x lo podemos exteder a K,, K,,, a partir de u cuerpo Eercicio Ivestigue bibliográficamete si es posible exteder el producto de pares de reales realizado para el producto de compleos a ; 3 Sugerimos por eemplo: "Elemetos de Aálisis Algebraico" de Rey Pastor 3 MATRICES Observemos que cuado trabaamos co sistemas de ecuacioes lieales el escribir reiteradamete las icógitas es iecesario Toda la iformació que precisamos está e los coeficietes de las mismas y e los térmios idepedietes Itetado ser más explícitos trabaemos co u caso particular El sistema x 4y 7z x 3y 5z 3x y 8z 3 determia y queda determiado por los arreglos rectagulares y 3 o tambié por Dichos arreglos rectagulares recibe el ombre de matrices A la primera de ellas llamamos matriz de los coeficietes del sistema y a la última del sistema la 3 8 matriz ampliada 9

3 0 E la resolució del sistema plateado (lo cual hicimos e la secció aterior bao el título de eemplo ) escribíamos: x 4y 7z x 3y 5z 3x y 8z 3 ( ) E E E ( 3) E E E 3 3 x 4y 7z y 9z 35 0 y 9z 67 ( 0) E E E 3 3 x 4y 7z x y 9z 35 y 9z 387 z 3 Lo cual podemos sitetizar: Eercicio Idique las trasformacioes que lleva de ua matriz a otra Si quiere profudizar e esta otació ecotrará ua bibliografía más que abudate al respecto Persoalmete le recomedamos "Álgebra y Geometría" de E Herádez y "Geometría y Álgebra lieal " del IMERL (CEI 005) E este último ecotrará tambié aplicacioes muy iteresates sobre sistemas de ecuacioes lieales Detegámoos e el cocepto de matriz La primera preguta que surge es Qué es ua matriz? Decir que ua matriz m es u arreglo rectagular de m filas por columas, o es ua defiició formal A lo sumo es ua descripció que hace referecia a su aspecto Para defiirlo apropiadamete comecemos por aalizar u caso particular Si 3 4 A 0 5 podemos "leerla Fila Columa O tambié: (,) (, ) (,3) (,) (, ) (,3)

4 Si * y aotamos I x : x (coutos llamados seccioes iferiores de aturales) podemos cosiderar a la matriz A como ua fució de I I3 Es imediato que esta cosideració se puede realizar (co los austes ecesarios) sobre cualquier matriz E cosecuecia es razoable realizar la siguiete defiició Defiició * Cosideramos: H u couto o vacío, m, Llamamos matriz de orde m e H a ua fució de Im I e H Al couto de todas las matrices de m e H lo aotamos M ( H ) m Nota Si A M m ( H ) etoces A es ua fució de Im I H Si la image de ( i, ) Im I es z suele aotarse: ai z y A ( a i ), otació muy similar a la utilizada e sucesioes Co esta otació si A, B M m ( H ), A ( a i ) y B ( b i ), etoces A B ai bi, ( i, ) Im I, lo que o es otra cosa que la igualdad de fucioes 4 TRANSFORMACIONES LINEALES Recordemos que e los cursos de Secudaria llamábamos fucioes lieales a las fucioes f : tal que f ( x) k x dado que su gráfico es ua recta por el orige A veces tambié se les llama fucioes lieales a las de la forma g : g( x) a x b Preferimos reservar el ombre de lieales para las primeras m Itetemos geeralizar esta oció a fucioes de e Cosideraremos como tales las fucioes para las cuales las compoetes de la correspodiete de ua - pla so combiació lieal de las compoetes de dicha -pla Por eemplo T : 3 defiida por T ( x, y, z) x y z, x z Ivestiguemos si T es sobreyectiva,, x, y, z 3 / T x, y, z, Ahora, T es sobreyectiva sii x y z Es decir T es sobreyectiva sii el sistema es compatible, x z Represetádolo matricialmete teemos: Resolviedo dicho sistema teemos que 0 se trata de u sistema compatible idetermiado, cuyo couto solució es: S x, 5x, x : x Por lo tato T es sobreyectiva E la resolució del problema aterior aparece la matriz B 0 cuya primera fila está formada por los coeficietes de x, y y z e la primera compoete de T( x, y, z ) y aálogamete la

5 seguda fila Esta matriz de algua maera represeta a la fució T pues cotiee toda la iformació acerca de ella c c c3 Recíprocamete cosiderada la matriz C M 3 ( ), podemos defiir la fució c c c3 3 G : G( x, y, z) c x c y c z, c x c y c z tal que 3 3 a a a a a a E geeral dada la matriz A M m ( ) podemos defiir la fució am am am m F : F x,, x a x a x a x,, a x a x a x tal que m m m A dicha fució la llamaremos trasformació lieal asociada co A Eercicios Hallar la trasformació lieal asociada co A e cada uo de los siguietes casos: 0 i) A ii) A 0 0 iii) A Iterpretar geométricamete Observació Cosideramos f : tal que f ( x) k x, x, y Ahora f x y k x y kx ky f ( x) f ( y) y f x k x f ( x),, x Estas dos propiedades so las que caracteriza a las fucioes lieales e Veremos ahora que esta caracterizació se extiede a las trasformacioes lieales que acabamos de defiir Proposició m Si f : es ua trasformació lieal asociada a la matriz A etoces: ) f x y f x f y x, y ) f x f x x Dem: Por comodidad hagamos la demostració para a f : co A c x y x y, x y Deomiamos x x, x y y y, y, etoces b d a b Como f es la trasformació lieal asociada co A c d, teemos: f x y f x y, x y a x y b x y, c x y d x y f x y ax ay bx by, cx cy dx dy ax bx, cx dx ay by, cy dy,, f x x f y y f x f y

6 3 Aálogamete se prueba el puto ) Nota El teorema aterior es equivalete a decir: m Si f :,, x, y, es ua trasformació lieal etoces: f x y f x f y Veamos ahora que el recíproco del teorema aterior tambié es cierto E otras palabras que toda m fució f : que cumpla ) f x y f x f y x, y y ) f x f x x es ua trasformació lieal asociada a ua matriz A que determiaremos Por comodidad trabaemos co f : Primero observemos que x, x x, x x,0 0, x x,0 x 0, f x, x x f, 0 x f 0, Si llamamos ( a, c ) a f (,0) y ( b, d ) a f (0,) teemos que:, (, ) (, ), f x x x a c x b d ax bx cx dx y por lo tato f es la trasformació lieal asociada a la matriz a b A c d Observació La matriz A tiee por primer columa f (,0) y por seguda f (0,) Eercicio Hallar la matriz asociada a ua rotació de cetro O (0,0) y águlo e setido atihorario Nota Si teemos f : el i-ésimo lugar, así,0,,0 m deomiamos ei 0,0,,0,,0,,0 dode el ocupa 0,,0,,0, etc e, e m Cosideramos ahora f : trasformació lieal co matriz asociada a a a a a a A am am am f ( e ) a a 0 a 0, a a 0 a 0,, a a 0 a 0 Etoces m m m f ( e ) a, a,, am que es la primer columa de la matriz A f ( e ) a 0 a a 0, a 0 a a 0,, a 0 a a 0 a, a,, a m m m m que es la seguda columa de A 3

7 Así f ( e ) a, a,, am 4 que es la -ésima columa de A El teorema que hemos probado motiva la siguiete defiició: Defiició m Cosideramos T : fució Decimos que T es ua trasformació lieal si y sólo si: ) T x y T x T y x, y ) T x T x, x De esta forma idepedizamos la defiició de trasformació lieal del cocepto de matriz 5 OPERACIONES CON TRANSFORMACIONES LINEALES Recordemos que para fucioes de e defiimos la suma de dos fucioes f y g como ( f g)( x) f ( x) g( x), x y defiimos el producto de ua fució f por u real como ( f )( x) f ( x), x Esta idea puede extederse a fucioes e cuyo codomiio esté defiido ua suma y el producto por m u escalar Por eemplo a fucioes de e Aalicemos ahora las propiedades de las operacioes recié defiidas Deomiemos H al couto m formado por todas las fucioes de e Proposició ( H, ) es u grupo comutativo Dem: ) Asociativa ( f g) h f ( g h) f, g, h H Tegamos e cueta que si, H x x x,, Etoces: ( f g) h f ( g h) ( f g) h ( x) f ( g h) ( x) x ( f g) h( x) ( f g)( x) h( x) f ( x) g( x) h( x) ( ) f ( x) g( x) h( x) f ( x) ( g h)( x) f ( g h) ( x), x (*) Asociativa de la suma e ) Comutativa f g g f f, g H Ahora: f g g f ( f g)( x) ( g f )( x), x ( f g)( x) f ( x) g( x) g( x) f ( x) ( g f )( x), x (*) Comutativa de la suma e (*) 4

8 5 3) Existecia de eutro H / f f, f H m m Defiimos : tal que ( x ) (0,0,,0), x, a la cual deomiaremos fució ula ( f )( x ) f ( x ) ( x ) f ( x ) (0,0,,0) f ( x ), x f f razoamieto válido f H 4) Existecia de opuesto f H, f H / f ( f ) m Defiimos f : tal que ( f )( x) f ( x), x f ( f ) ( x) f ( x) ( f )( x) f ( x) f ( x) (0,0,,0) ( x), x f ( f ) Nota Al igual que para las operacioes e símbolos usuales y Eercicio Probar: ) f f,,, f H ),,, f g f g f g H 3),,, f f f f H 4) f f, f H evitaremos recargar la otació y utilizaremos los Obsérvese que e la parte 3) de este eercicio el símbolo represeta e el miembro izquierdo de la igualdad la suma de reales y e el miembro derecho de la igualdad la suma de fucioes Proposició Dem: i) Si f y g so trasformacioes lieales de i) f g es ua trasformació lieal ii) f es ua trasformació lieal e m y, etoces: f x g x f y g y f g x f g y,,, x, y prop de f g x y f x y g x y f y g lieales f x f y g x g y m ii) A cargo del lector 5

9 6 Eercicio Probar que la suma de trasformacioes lieales y el producto de u real por ua trasformació lieal cumple las mismas propiedades que vimos e H (couto de todas las m fucioes de e m L, al couto de todas las trasformacioes lieales de ) m L ) Para ser más preciso si deomiamos e m probar que:,, es u grupo comutativo ) i),,, m f f f L, ii),,, m f g f g f g L, iii),,, m f f f f L, iv), m f f f L, 6 OPERACIONES CON MATRICES Itetemos defiir ua suma de matrices de tal forma que la matriz asociada a la suma f g de dos trasformacioes lieales sea la suma de las matrices asociadas a f y g, y el producto de u escalar por ua matriz para que la matriz asociada a f sea por la matriz asociada a f Cosideramos, m f g L, deomiamos A a i a la matriz asociada a f y B b i asociada a g a la La matriz asociada a f g tiee por -ésima columa f g e Por como defiimos la suma de fucioes: f g e f e g e Ya que llamamos A a i a la matriz asociada a f f ( e ) a, a,, am B b i a la matriz asociada a g g( e ) b, b,, bm Por lo tato: f g e f e g e a, a,, a b, b,, b a b, a b,, a b m m m m Como esto es válido para cualquier columa teemos que la matriz asociada a f g es a b a b a b a b a b a b a b a b a b m m m m m m Lo cual hace razoable la siguiete defiició: Defiició Cosideramos A B la matriz de M m ( ) o más sitéticamete ai bi, M m, A a i y B b i M m tal que C c i co ci ai bi, i Defiimos A B como de a m, de a 6

10 7 Observació Co esta defiició logramos el propósito de que la matriz asociada a la suma sea la suma de las matrices asociadas Tambié observemos que podemos sumar dos matrices reales úicamete cuado ambas tiee la misma catidad de filas y la misma catidad de columas Aálogamete defiimos Defiició Cosideramos y A ai M m i M m tal que di ai, i de a m, D d Defiimos αa como la matriz de a Eercicio Verificar que la matriz asociada a f es el producto de por la matriz asociada a f Nota Cosideramos : m L, M tal que ( f ) es la matriz asociada a f O sea es la fució que a cada aplicació lieal le hace correspoder su matriz asociada m Por lo visto ateriormete efectivamete es ua fució ya que dada ua trasformació lieal existe y es úica su matriz asociada Y además dicha fució es biyectiva, ya que cada matriz es la matriz asociada a ua y a solo ua trasformació lieal Tambié coserva la suma y el producto por u escalar Para ser más precisos:, m f g f g f g L, y,, m f f f L, Se puede observar que todas las propiedades vistas para la suma de trasformacioes lieales y el producto de u escalar por ua trasformació lieal se trasmite a la suma de matrices y al producto de u escalar por ua matriz Siedo más explícito: ) M m, es u grupo comutativo ) i) A A,,, A M m ii) A B A B,, A, B M m iii) A A A,,, A m iv) M A A, A m M Itetemos ahora defiir u producto de matrices de forma que la matriz asociada a la compuesta de dos trasformacioes lieales sea el producto de las matrices asociadas Primero demostremos que la composició de dos trasformacioes lieales da como resultado ua trasformació lieal Proposició m Sea f : y g : m p g f : es ua trasformació lieal p trasformacioes lieales Etoces 7

11 Dem: 8 g f x y g f x y g f x f y g f x g f y liealidad de f liealidad de g,,, x, y g f x g f y Volviedo a la matriz asociada a la compuesta, cosideramos cuya matriz asociada es a A a a a b B b b b y g : f : trasformació lieal tambié lieal cuya matriz asociada es g f ( x, y) g f ( x, y) g bx b y, bx by a b x b y a b x b y, a b x b y a bx b y ab x ab y ab x ab y, ab x ab y ab x ab y, a b a b x a b a b y a b a b x a b a b y Etoces la matriz asociada a g f es a b a b a b a b a b a b a b a b m E geeral cosideramos: f : trasformació lieal de matriz asociada i m ( ) B b M, g : Buscamos la matriz asociada a g f : c c La -ésima columa de C, c p Como B bi m ( ) m p trasformació lieal de matriz asociada A ai pm ( ) p a la cual llamaremos C ci M p es g f e Ahora g f e g f ( e ) M es la matriz asociada a f, se tiee f ( e ) b, b, bm ( ),, m g f e g b b b a b a b a b, a b a b a b,, a b a b a b m m m m p p pm m M Por lo tato c ab ab a mbm c a b a b a b c a b a b a b m m ci ai b aib ai mbm p p p pm m Lo cual motiva la siguiete defiició 8

12 Defiició 9 Cosideramos M ( ) y ( ) A ai pm B bi m Defiimos el producto AB como la matriz c a b a b a b a b i i i i m m i k k k m C ci p M M tal que: Observació Para poder realizar el producto de dos matrices la catidad de columas del primer factor debe coicidir co la catidad de filas del segudo factor i M ( ) y i M ( ) A a p m B b m Nota Co esta defiició de producto logramos el obetivo que la matriz asociada a la trasformació lieal compuesta sea el producto de las matrices asociadas Utilizado la fució que a cada trasformació lieal le hace correspoder la matriz asociada, teemos: g f g f Ya que la fució es biyectiva esto trae como cosecuecia que las propiedades de la composició de aplicacioes lieales se trasmite al producto de matrices Eercicio Probar las siguietes propiedades de trasformacioes lieales y su versió matricial h g f h g f A B C A B C ) ) ) h f g h f h g ) 3) h g f h f g f 3 ) 4) g f g f 4 ) A B AB A B C AB AC A B C AC BC Las proposicioes ), ), 3) y 4) se cumple: y f, g, h lieales e las cuales pueda realizarse las operacioes idicadas Aálogamete co sus propiedades homólogas Nota Dado el sistema de ecuacioes lieal de m ecuacioes co icógitas al cual podemos represetar: ax a x a x b ax a x ax b am x amx amx bm Si llamamos a a a a a a A a a a m m m M m ( ), X x x M ( ) y x b b B M ( ) m bm 9

13 0 Al sistema lo podemos escribir: AX Así por eemplo el sistema B x y z x y queda escrito matricialmete x y 0 z 7 NEUTRO E INVERSO EN EL PRODUCTO DE MATRICES La fució idetidad Id : tal que Id x x, x es eutro de la composició e L, ya que f Id x f Id x f x, x f Id f y Id f x Id f x f x x Id f f, Falta verificar que Id es ua aplicació lieal lo que deamos a cargo del lector Por ede la matriz asociada a Id va a ser eutro de M ( ), A dicha matriz la deomiaremos matriz idetidad y la aotaremos I Como Id ( e ) e, Id( e ) e,, Id ( e ) e, teemos I Así que existe I M ( ) tal que A I I A A para toda A M ( ) 0 0 Veamos ahora que sucede co la iversa Proposició Si f : es ua trasformació lieal ivertible etoces tambié ua trasformació lieal ivertible f : es Dem: Hay que demostrar que f es lieal Ya sabemos que la fució iversa es tambié biyectiva f x y f x f y,,, x, y Debemos probar etoces que Ya que por hipótesis f es biyectiva, dos elemetos so iguales si y solo si sus imágees so iguales f x y f x f y f f x y f f x f y Etoces f f x y x y Ahora Por otra parte por la liealidad de f se tiee que f f x f y f f x f f y x y Co lo cual queda demostrado que f es lieal 0

14 Nota Utilizado uevamete que la fució : L, g f g f f L, tal que, como para toda trasformació lieal biyectiva f de f f f f Id M verifica e, existe, etoces para toda AM ( ) asociada a ua trasformació lieal biyectiva existe A ( ) M tal que AA A A I A la matriz A como se imagiará la deomiaremos matriz iversa de A Obsérvese que o todas las matrices cuadradas tiee iversa; la tiee úicamete aquellas asociadas a trasformacioes lieales ivertibles Veamos como calcular la matriz iversa de ua matriz dada Cosideramos A 4 3 queremos averiguar si A tiee iversa y e caso afirmativo hallarla x z Parece razoable tomar B y t e itetar hallar x, y, z, t para que AB I x y x z 0 4x 3y y t 0 z t 0 4z 3t Sistema que podemos resolver cosiderado por separado x y 4x 3y 0 y z t 0 4z 3t E forma matricial: Por lo tato x, y Vamos al otro sistema: Etoces: z, t E cosecuecia la matriz A es ivertible y A 3 Observemos que la matriz de los coeficietes de ambos sistemas es la misma Solamete cambia la columa de los térmios idepedietes Co lo cual las trasformacioes realizadas para resolver ambos sistemas so las mismas Podemos etoces resolver ambos sistemas simultáeamete, escribiedo:

15 Observemos que la matriz de que quedó a la derecha de la barra vertical es Tambié tegamos e cueta que lo hecho o es otra cosa que resolver ambos sistemas simultáeamete aprovechado que tiee la misma matriz de coeficietes A Etoces: Para calcular la iversa de A reducimos la matriz A I a I operacioes elemetales Si esto es posible A es ivertible y A B B mediate Nota Hemos llamado operacioes elemetales a las siguietes: ) Sustituir ua fila por u múltiplo o ulo de ella ) Itercambiar dos filas 3) Sustituir ua fila por ua combiació lieal de las filas de la matriz; co el úico requisito que la fila sustituida o tega coeficiete 0 Eemplo Aalizar si 0 A es ivertible y e caso afirmativo hallar A Por lo tato A es ivertible y A Observació Frete a u sistema de ecuacioes lieal y cuadrado (co la misma catidad de ecuacioes que de icógitas) su expresió matricial AX B e caso de que A sea ivertible os permite "despear" X Quedado X A B Eemplo Resolver: x y 4 y 3z 7 x y 8z 0

16 x 4 x y 7 y $ 5 8 z 0 z Por lo tato el sistema es compatible determiado y su solució es 6, 4, Fializamos este capítulo itroduciedo la oció de matriz traspuesta 3 S Defiició Sea A M m ( ) y otemos A a i Llamamos matriz traspuesta de A, a la matriz t t A M m ( ) tal que si otamos A b i, se tiee bi a i para todo i y para todo Eercicio Probar las siguietes propiedades: t ) A t A, A M ( ) ) t t t A B A B m, A, B M ( ) 3) t t A 4) A B m A,, A M ( ) t t t m B A, A M ( ), B M ( ) 5) t t A A m p, para toda matriz cuadrada ivertible 3

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