Fluidos no newtonianos

Transcripción

1 Fluidos o etoiaos Desde el puto de vista de la reología, los fluidos más secillos so los etoiaos, llamados así porque su comportamieto sigue la ley de Neto: El esfueo de corte es proporcioal al gradiete de velocidad o velocidad de corte v μ μγ () r La costate de proporcioalidad se deomia viscosidad y se mide e Pa.s (e SI), e la práctica se utilia comúmete el cetipoise (cp). Por defiició, todos aquellos fluidos que o sigue la ec. () so o etoiaos. Ua primera clasificació de los fluidos o etoiaos los divide e tres categorías:.- Comportamieto idepediete del tiempo..- Comportamieto depediete del tiempo. 3.- Viscoelásticos..- Comportamieto idepediete del tiempo: el esfueo de corte sólo depede de la velocidad de corte γ. 3 5 Herschel-Bulkley Plástico de Bigham Esfueo de corte ( ) 5 5 Pseudoplástico Netoiao Dilatate 4 8 Velocidad de corte (γ) Figura. epresetació de esfueo de corte vs. velocidad de corte para distitos fluidos

2 Se cooce varios modelos reológicos para represetar estos fluidos, etre ellos: Modelos de Ostald de Waele o Ley de la Potecia: γ dv dv dv dv μ K K K ap () dr dr dr dr dode K y so parámetros empíricos, K es el ídice de cosistecia y es el ídice de comportamieto de flujo. El térmio etre corchetes se deomia viscosidad aparete y es evidete que o es costate, depediedo directamete de la velocidad de corte γ. Debido a que determia precisamete el modo e que se desarrolla el flujo, si < el fluido se deomia pseudoplástico (shear-thiig), estos fluidos fluye más fácilmete aumetado la velocidad de deformació. Por el cotrario, cuado > la resistecia a fluir aumeta co u aumeto de la velocidad de corte, y el fluido se deomia dilatate (shear-thickeig) La mayoría de los fluidos o etoiaos so pseudoplásticos: alimetos (jugos y puré de frutas, salsas), polímeros fudidos (poliestireo, acriloitrilo, polipropileo, etc.), cosméticos, latex, tita de impreta. E Steffe (996) ecotrará ua amplia base de datos reológicos de distitas sustacias. Los fluidos dilatates so más raros, etre otros el cemeto y las suspesioes cocetradas (ej: almidó de maí) sigue este comportamieto. A bajas velocidades, el líquido presete llea los espacios libres, a medida que la velocidad de corte aumeta, el material se expade o dilata y comiea a aparecer esfueos de iteracció sólido-sólido que se traduce e u aumeto de la viscosidad aparete. Ua limitació importate de la ley de la potecia es que es aplicable a u rago limitado de velocidades de corte. Además el valor de K depede del valor umérico de, co lo cual valores de K de distitos fluidos o so comparables. Geeralmete, los fluidos pseudoplásticos se comporta como etoiaos, a bajas y altos valores de γ, e la figura se puede observar que los valores de viscosidad aparete tiede a dos valores límites, μ y μ. E la misma figura se observa los ragos típicos de velocidades de corte que puede medirse e los distitos equipos usados para el estudio de la reología. Otros fluidos puede mostrar comportamieto pseudoplástico e u rago de γ, y comportamieto dilatate e otros ragos de γ, como es el caso de las solucioes de PVC que se muestra e la figura 4.

3 Figura. Solució de u polímero pseudoplástico: viscosidades aparetes límites Figura 3. Solució de u polímero pseudoplástico: esfueo de corte y viscosidades aparetes e fució de la velocidad de corte

4 Figura 4: Comportamieto de dispersioes de PVC e dioctilftalato (DOP) Desviacioes de la ley de la potecia: Modelo de Carreau: Toma e cueta los valores extremos de viscosidad aparete, mediate cuatro parámetros empíricos:, μ, μ y λ. Predice comportamieto etoiao co y/o λ. μ μ du + λ μ μ dr ( )/ (3) Modelo de Ellis: Se aplica cuado las desviacioes de la ley de la potecia so sigificativas a bajos valores de. γ μ μ + ( / / ) α (4) E este modelo, μ es la viscosidad extrapolada a bajos valores de velocidad de corte, y los dos parámetros restates, α y / so empíricos. α mide el grado de comportamieto pseudoplástico (e setido cotrario a ) y / represeta el valor de esfueo de corte e el que la viscosidad aparete vale la mitad del valor μ. Predice comportamieto etoiao cuado / tiede a ifiito. Fluidos viscoplásticos: estas sustacias preseta u comportamieto sólido mietras el esfueo de corte o supere u valor de fluecia, ua ve superado este valor

5 puede adoptar u comportamieto etoiado (Plástico de Bigham) o que sigue la ley de la potecia (Herschel- Bulkley). Estas características puede ser deseables e ciertos fluidos, u caso típico es la pasta detal que se pretede que permaeca e reposo cuado está aplicada sobre el cepillo pero que fluya co el cepillado, otro ejemplo so las cremas que fluye de los pomos a partir de u cierto esfueo aplicado. Plástico de Bigham (pasta detal, puré de tomate, extracto de care) < γ + μγ (5) Herschel- Bulkley (dulce de leche, chocolate fudido, solució de carbopol) < γ + μγ (6) Casso: Aplicable a materiales biológicos (sagre) < γ ( ) ( ) / / + ( μ ( γ )) c / (7).- Comportamieto depediete del tiempo. E alguas situacioes prácticas, la viscosidad aparete depede tambié del tiempo durate el cual el fluido es sometido a esfueo, dicha respuesta se divide e: Tixotropía: la viscosidad aparete dismiuye co el tiempo, como se observa e el ejemplo de la figura 5, que correspode a ua suspesió de arcillas. Alguas otras sustacias que exhibe este comportamieto so las suspesioes cocetradas, las solucioes de proteías y ciertos alimetos. Esta depedecia de la viscosidad co el tiempo se suma a las otras características del material, que bie puede ser viscoplástico presetado u valor de fluecia.

6 Figura 5: Tixotropía de suspesioes de arcilla. eopexia es el feómeo iverso a la tixotropía, que se maifiesta e u aumeto de la viscosidad aparete co el aumeto de la velocidad de corte. Ejemplos: poliéster. Ambos tipos de comportamietos preseta el feómeo de histéresis cuado se realia la curva vs. γ No es secillo expresar la depedecia co el tiempo e expresioes secillas, muchas veces es ecesario realiar medidas e el rago de trabajo específico del material. Figura 6: Histéresis característica. 3.- Viscoelásticos. Estas sustacias fluye cuado se aplica e ellas u esfueo de corte, pero tiee la particularidad de recuperar parcialmete su estado iicial, presetado etoces

7 características de los cuerpos elásticos. U ejemplo típico es la agitació de u líquido e ua taa co ua cuchara, si el fluido es viscoso, cuado se retira la cuchara cesa el movimieto. Si el material es viscoelástico, al sacar la cuchara se puede observar que el movimieto se hace más leto e icluso puede llegar a cambiar levemete el setido de giro ates de deteerse por completo. E esta categoría podemos mecioar a polímeros fudidos, solucioes de polímeros. El comportamieto reológico de los materiales viscoelásticos durate la relajació (esayos a deformació costate) puede modelarse mediate aalogías mecáicas compuestas de resortes y amortiguadores. El resorte es cosiderado u elemeto elástico ideal, obedece la ley de Hooke, y el amortiguador es represetado por u sistema cilidro-pistó e el cual se maifiesta la parte viscosa, cosiderado u líquido ideal, de comportamieto etoiao. Tesió Sólido Líquido ideal Sólido ideal Tiempo Figura 7. epresetació de la evolució de la tesió e fució del tiempo, a deformació costate. E la figura 7 se observa que e u líquido ideal, la tesió ecesaria para mateer ua deformació es istatáea, es decir la tesió provoca la deformació y auque caiga a cero la deformació permaece. E u sólido ideal para mateer ua deformació, se debe mateer aplicada ua cierta tesió, si se quita la tesió el material recupera la forma iicial debido a su elasticidad. E u sólido viscoelástico, debido a las características viscosas la tesió va dismiuyedo, hacia u valor asitótico. El líquido viscoelástico se comporta de modo similar, salvo que la tesió tiede a cero co u tiempo suficiete. Si σ es la tesió a u elemeto elástico y u es la deformació (adimesioal, m/m): dode E es la costate elástica del resorte. σ Eu (8)

8 du dt dσ (9) E dt Para el elemeto viscoso: du σ η () dt dode σ es aálogo a y η es aálogo a μ, la viscosidad del fluido, que refleja la fricció itera. Modelo de Maxell: Mecáicamete, este modelo se compoe de u resorte y u pistó dispuestos e serie, el cual se represeta e forma esquemática e la figura.8. Figura 8. Esquema del modelo mecáico básico de Maxell. Los dos elemetos está sufriedo el mismo esfueo, la deformació total es igual a la suma de la deformació de ambos elemetos. du dt E d σ + σ dt η du Si el esayo se realia a deformació costate será e itegrado la ecuació dt aterior co σ σ para t resulta ua ecuació expoecial de la forma: ( ) () σ σ exp / () t dode es deomiado tiempo de relajació y represeta la rapide co que el cuerpo se relaja. Si se divide los dos miembros de la ecuació aterior por el área de compresió a resulta: ( t ) σ σ exp / (3)

9 dode σ es la tesió aplicada. Dado que σ E u, dode u represeta la deformació relativa, resulta: dode E es el módulo de elasticidad. ( / ) E E exp t (4) Modelo de Maxell Geeraliado: geeralmete los materiales viscoelásticos, y e particular los materiales biológicos, o se relaja siguiedo ua velocidad uiforme sio que lo hace e distitas etapas co tiempos de relajació diferetes, comportamieto que puede ser aaliado usado el modelo de Maxell geeraliado: u úmero ifiito de elemetos de Maxell colocados e paralelo, a veces co u elemeto elástico puro e paralelo a los otros elemetos (e líquidos viscoelásticos o aparece este elemeto elástico). Etoces se puede expresar el decaimieto de la tesió como: σ () t σ + σ i exp( t / i ) ε E + E i exp( t / i ) dode E es el módulo de elasticidad de equilibrio y correspode e este modelo al elemeto elástico puro. Expresado e fució de la fuea, recordado que F σ a (dode a es el área de la muestra): F * () t F() t / F A + A exp( t / ) dode F(t) es la fuea istatáea a lo largo del esayo de relajació. F es el valor iicial (ates del decaimieto de la tesió), A i so coeficietes que depede de las propiedades viscoelásticas del material y i los tiempos de relajació. A partir de los coeficietes (A i ) podemos calcular los módulos elásticos (E i ). i i (5) (6) A if Ei y η (7) i Eii au La iterpretació del setido físico de varios módulos de elasticidad y otros tatos tiempos de relajació o es fácil i directa. Además, las costates de dicho modelo teórico so depedietes del tiempo del esayo, por lo que sus resultados sólo tiee valor comparativo e esayos que se haya realiado e idéticas codicioes experimetales. Flujo e cañerías de fluidos o etoiaos

10 El aálisis e esta secció se restrigirá a los fluidos idepedietes del tiempo y al flujo e coductos de secció circular. Como ya se ha visto e fluidos etoiaos, el objetivo primordial es cotar co expresioes que vicule la pérdida de carga co el caudal circulate. E geeral, dado los altos valores de viscosidad aparete de estos fluidos, circula e régime lamiar. No obstate veremos las expresioes aplicables tato a lamiar como turbuleto. Para el desarrollo de las expresioes a utiliar e régime lamiar, platearemos el caudal e fució de los esfueos de corte e la pared (ec. de abioitsch-mooey): E geeral Itegrado por partes resulta: dq π rdr.v Q π v rdr (8) r r v Q πv rdr π v dr (9) r El primer térmio de esta ecuació es ulo, tato e r como e r dode se cumple la codició de velocidad ula, idepedietemete del fluido que circule. El gradiete de velocidad se puede escribir e fució de la velocidad de corte γ. ecordemos además que e u coducto de secció circular la distribució de esfueos de corte será lieal, y el esfueo de corte e la pared está viculado a la pérdida de carga (-ΔP) r () ( ΔP) L La ec. () vale tato para flujo lamiar como turbuleto, ya que se obtiee de u balace de fueas e el fluido, idepediete del régime de circulació. Etoces, el caudal puede expresarse e geeral como: 3 π Q 3 ( γ )d () Ua magitud derivada de esta es la característica del flujo, defiida como 8V/D: 8V D 4 3 ( γ )d ()

11 Fluidos que sigue la ley de la potecia: Itegrado el balace microscópico e u coducto de secció circular, llegamos a la distribució de velocidades v e régime lamiar: + Δ + + / r KL P v (3) E la figura 9 se ha represetado perfiles de fluidos pseudoplásticos y dilatates. Figura 9 Perfiles de velocidad para fluidos que sigue la ley de la potecia Luego, itegrado esta expresió o usado la forma de la ec. (), recordado la ec. costitutiva de estos fluidos, llegamos a ua expresió para la velocidad media V : ( ) 3 / / KL P 3 V Q 3 KLV P 3 KL P V Δ + π π + Δ + Δ (4)

12 De la ec. (4) se observa que la pérdida de carga depede del caudal Q a la potecia, para u fluido pseudoplástico (-ΔP) es meos sesible a cambios de caudal que para u etoiao. Por otro lado tambié se debe aaliar la depedecia del caudal co el tamaño del coducto, para u etoiao Q es proporcioal a 4, e cambio para u pseudoplástico co.5 es proporcioal a 5. Nótese que el efoque de la ec. () permite calcular la velocidad media o el caudal, pero o predice el perfil de velocidad. Si sólo se quiere estimar la velocidad media, la ec. () es más secilla de resolver. Número de eyolds geeraliado Como se mecioó, el objetivo es ecotrar expresioes para el cálculo de la pérdida de carga (-ΔP), similares a las utiliadas co fluidos etoiaos, e fució del factor de fricció: ( ΔP) πd f ρv 4 L ( ΔP) fρv D πdl U efoque geeral, aplicable a distitos fluidos o etoiaos, parte de supoer que la relació etre el esfueo de corte y la característica de flujo puede escribirse como: ' (5) 8V m' (6) D Por otro lado, partiedo de la ec. () y aplicado la regla de Leibit de derivada de u producto, se llega a ua solució que es fució úicamete del esfueo de corte e la pared,. dv 8V 3 dlog(8v /D) 8V 3' + γ dr D dlog (7) D 4' El expoete es la pediete de la gráfica (log ) vs. log (8V/D), y o es ecesariamete costate co el esfueo de corte. E u fluido etoiao, es igual a, y e cosecuecia: dv 3' + γ γ,ne (8) dr 4' ecordado la defiició de factor de fricció, y obligado a que al igual que e fluidos etoiaos este valga 6/e surge el úmero de eyolds modificado (tambié llamado de Meter-eed)

13 m' 8V f ρv D ρv ' ' ρv D em ' 8 m' ' 6 e Para u fluido que sigue la ley de la potecia, y m K ((3+)/4) m (9) Factores de fricció e régime lamiar, para el flujo lamiar de polímeros y otras sustacias viscoelásticas. La trasició de lamiar a turbuleto e pseudoplásticos se produce a valores de e etre y 35 que depede del ídice de comportamieto de flujo : e ( 4 + )( 5 + 3) 3( 3 + ) (3) PL,critical E régime turbuleto, para el cálculo del factor de fricció e tubos lisos se propoe la siguiete ec. (Dodge-Meter), que cuado se trasforma e la ec. de Nikuradse: 4 f.75 (.4 ( ) )/ m f. log e (3) Irvie (988) propoe otra ecuació, del estilo de la de Blasius, válida para < e m < 5 y.35<<.89: f ( D() / e ) D() /(3+ ) m (3)

14 Fluidos viscoplásticos: Partiedo del balace microscópico podemos coocer el perfil de velocidades e u plástico de Bigham, e u coducto circular y e régime lamiar: Δp r r v > μ μ r L 4 Δp v μ r L 4 (33) Partiedo del efoque propuesto e la ec. (), y recordado que e estos fluidos cuado el esfueo de corte es meor al valor de fluecia, la velocidad de corte es ula se puede calcular el caudal e régime lamiar.

15 3 π Q γ + γ ( )d ( )d 3 γ > μ d π π π Q + μ μ μ ( Δp) φ L π Δ ( p) 4 4 Q φ+ φ 8μL 3 3 (34) Es importate otar que la relació etre caudal y (-ΔP) es directa si se cooce la pérdida de carga, e cambio el cálculo de (-ΔP) ecesario para que circule determiado caudal resulta iterativo. Itroduciedo los úmeros adimesioales de eyolds y Hëdstrom se obtiee la siguiete expresió para el factor de fricció e régime lamiar: 4 6 He He f + e 6e 3 f e 3 7 ( Δp)D ρvd ρd f e He ρv L μ μ (35) E régime completamete turbuleto: f e a.93 BP ( a e 5.9 He ) (36) E regímees de trasició se propoe calcular u factor de trasició promediado los dos ateriores de acuerdo a la siguiete ecuació empírica, dode f L es el factor de fricció calculado por la ec. (35) y f T es calculado mediate la ec. (36): f (f + f ) b b /b L T 4 b.7+ e (37)

16 Aálogamete a las solucioes presetadas para plásticos de Bigham, se llega al perfil de velocidad y caudal para fluidos que sigue el modelo de Herschel Bulkley e régime lamiar: / ( + )/ r ( + )/ v ( φ) φ ( + ) K ( Δp) φ L / 3 ( + )/ ( φ) φ( φ) φ Q π ( φ) + + K Cálculo del factor de correció α De maera aáloga al plateo co fluidos etoiaos, al calcular el térmio de eergía ciética e el balace macroscópico de eergía mecáica, se itroduce u factor de correció α, que expresa la relació etre la media de la velocidad al cuadrado y la velocidad media al cuadrado. Las siguietes expresioes da cueta de esa relació, para fluidos que sigue la ley de la potecia y plásticos de Bigham respectivamete: (38)

17 (+ )(5+ 3) α 3(3 + ) (39) α φ E fluidos que sigue la ley de la potecia, cuado, α tiede a la uidad, e el otro extremo a valores muy altos de, α tiede al valor.37. Bibliografía:.P. Chhabra & J.F. ichardso (999) No-Netoia Flo i the Process Idustries - Fudametals ad Egieerig Applicatios. Ed. Butterorth-Heiema J.F. Steffe (99) heological methods i food process egieerig. Ed. Freema Press.