UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE V

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE V CURSO: Matemática Básica 1 SEMESTRE: Segundo CÓDIGO DEL CURSO: 101 TIPO DE EXAMEN: Examen de 1era Retrasada FECHA DE EXAMEN: 19 de noviembre de 2013 NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Edy Rodríguez Ing. Silvia Hurtarte

2 Universidad de San Carlos Guatemala Jornada Vespertina Facultad de Ingeniería Matemática Básica 1 Departamento de Matemática Temario A Guatemala, 19 de noviembre de 2013 Examen primera retrasada Tema 1 (25 puntos) La rapidez con que una pastilla de vitamina c empieza a disolverse depende de su área superficial. Una marca de pastillas mide 2 cm de largo y tiene 0.5 cm de diámetro, con extremos en forma de semiesfera. Se piensa fabricar otra tableta en forma de cilindro circular recto de 0.5 cm de altura, a) Encuentre el diámetro de la segunda tableta, de modo que su área superficial sea igual a la de la primera tableta, b) Hallar el volumen de cada una de las pastillas. Tema 2 (15 puntos) Describir y trazar la gráfica de: Tema 3 (15 puntos) Al mismo tiempo, dos automóviles abandonan una intersección, uno hacia el norte y el otro hacia el oeste. Poco tiempo después, están separados exactamente por 100 millas. El que iba hacia el norte ha avanzado 20 millas más que el que se dirigía al oeste. Cuánto ha viajado cada vehículo? Tema 4 (30 puntos) Resuelva las ecuaciones siguientes, dejando constancia de sus operaciones y procedimientos: a) b) c) [ ) Tema 5 (15 puntos) Una inmobiliaria posee 180 departamentos, que mantiene ocupados cuando los renta a $300 al mes. La compañía estima que por cada $10 de aumento en la renta se desocuparán 5 departamentos. Cuál debe ser el monto de la renta de modo que la compañía reciba el máximo ingreso mensual?

3 SOLUCION DE EXAMEN Tema 1 (25 puntos) La rapidez con que una pastilla de vitamina c empieza a disolverse depende de su área superficial. Una marca de pastillas mide 2 cm de largo y tiene 0.5 cm de diámetro, con extremos en forma de semiesfera. Se piensa fabricar otra tableta en forma de cilindro circular recto de 0.5 cm de altura, a) Encuentre el diámetro de la segunda tableta, de modo que su área superficial sea igual a la de la primera tableta, b) Hallar el volumen de cada una de las pastillas. SOLUCION a) Encuentre el diámetro de la segunda tableta, de modo que su área superficial sea igual a la de la primera tableta EXTREMOS EN FORMA DE SEMIESFERA Pastilla Cilíndrica Datos: Datos: ( ) ( )

4 De los resultados obtenidos, se descarta el valor de debido a que este es negativo, y al tratarse de un ejemplo de aplicación no pueden existir radios negativos, lo que implica que la respuesta correcta para el presente ejercicio es. A manera de comprobación se obtiene lo siguiente (nota el subíndice de y solamente tiene el fin de nombrar y diferenciar un resultado del otro):, donde ( ) ( ) Con esto se comprueba que tanto como tienen una misma área superficial de, por lo que se comprueba que el resultado obtenido de, es correcto. b) Hallar el volumen de cada una de las pastillas.

5 ( ) ( ) Tema 2 (15 puntos) Describir y trazar la gráfica de: SOLUCION Lo que se pretende inicialmente es reordenar las expresiones, de tal manera que sea mucho más sencillo determinar el comportamiento de la gráfica de la función. Grafica Resultante Al tener reordenada la ecuación, es posible realizar un estudio de su comportamiento. Se puede observar que tiene la forma básica de una elipse, la cual posee un eje mayor vertical de 4 unidades y

6 un eje horizontal menor, de 3 unidades. Además se puede apreciar que la gráfica tiene un corrimiento, con respecto al origen del plano cartesiano, de dos unidades hacia la izquierda y una hacia arriba. Tema 3 (15 puntos) Al mismo tiempo, dos automóviles abandonan una intersección, uno hacia el norte y el otro hacia el oeste. Poco tiempo después, están separados exactamente por 100 millas. El que iba hacia el norte ha avanzado 20 millas más que el que se dirigía al oeste. Cuánto ha viajado cada vehículo? SOLUCIÓN Se considera la incógnita x como la distancia que recorre la partícula que se dirige hacia el oeste, por lo que al hacer la correcta interpretación del enunciado, la otra partícula se estaría desplazando en dirección norte más que la otra partícula, de esta manera la distancia que recorre dicha partícula queda definida por la expresión. Para resolver este problema se puede utilizar el teorema de Pitágoras, de manera que el sistema se plantearía de la siguiente manera:

7 , De los dos resultados obtenidos, se descarta el valor de debido a que se trata de un problema de aplicación, y por tanto no pueden existir distancias negativas, pues esto implicaría un desplazamiento de la partícula, ya no al oeste sino hacia el este, lo que se estaría contradiciendo al enunciado. Tema 4 (30 puntos) Resuelva las ecuaciones siguientes, dejando constancia de sus operaciones y procedimientos: a) Solución ( ) ( ) ( ) ( ) b)

8 c) [ ), IDENTIDAD ( ) Sustitución De esta manera se sustituye a la nomenclatura anterior ( )( )

9 Tema 5 (15 puntos) Una inmobiliaria posee 180 departamentos, que mantiene ocupados cuando los renta a $300 al mes. La compañía estima que por cada $10 de aumento en la renta se desocuparán 5 departamentos. Cuál debe ser el monto de la renta de modo que la compañía reciba el máximo ingreso mensual? SOLUCIÓN NO DE AUMENTO PRECIO ($) NO. DE DEPTOS. OCUPADOS INGRESOS ($) (300)(180) (1) 180-5(1) [300+10(1)][ 180-5(1)] (2) 180-5(2) [300+10(2)][ 180-5(2)] (3) 180-5(3) [300+10(3)][ 180-5(3)] (4) 180-5(4) [300+10(4)][ 180-5(4)] x (x) 180-5(x) [300+10(x)][ 180-5(x)] Donde la coordenada en indica que es el tercer incremento, es decir que se han incrementado $30.00 al costo inicial de los apartamentos, lo que implica que 15 apartamentos han sido desocupados.

10 POR TANTO CON UN AUMENTO DE $30.00 EN EL PRECIO POR CADA APARTAMENTO SE OBTIENE UN MAXIMO INGRESO MENSUAL DE $ 54, SOLO COMO REFERENCIA SE MUESTRA LA GRAFICA CORRESPONDIENTE AL INGRESO GENERADO AL INCREMENTAR EL PRECIO DE LOS APARTAMENTOS

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