ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Fracsco Álvarez Gozález Bajo el térmo Estadístca Descrptva se egloba las téccas que os permtrá realzar u aálss elemetal de las observacoes epermetales observadas. Se subdvde e dos bloques : º Estadístca prmara : Obtedo u grupo de observacoes epermetales, este apartado os eseña a ordearlas adecuadamete, de modo que se ofrezca ua formacó lo más clara posble. º Estadístca dervada o secudara : Co los datos observados realzaremos certos cálculos, obteedo así uas meddas. Este bloque temátco os eseña a terpretarlas. PROCEDIMIETO A SEGUIR E U ESTUDIO ESTADÍSTICO. El proceso segudo e el estudo estadístco de ua certa característca o varable, puede subdvdrse e tres pasos sucesvos : A RECOGIDA DE DATOS : Plateado el test o ecuesta oportuo y recogdos los datos que correspoda, el prmer aálss que realzaremos es el del tpo de varable que pretedemos estudar (Cualtatva o Cuattatva ; Dscreta o Cotua). Esto codcoará e gra medda su posteror tratameto. B C ORGAIZACIÓ DE LOS DATOS : Determado el modo de agrupameto de las observacoes, procedemos a su recueto, costruyedo la tabla de frecuecas. Posterormete podremos vsualzar tales frecuecas de forma gráfca co el dagrama estadístco apropado. AÁLISIS FIAL : La obtecó de muy dversas coclusoes respecto de la varable estudada, se podrá realzar co aulo de los dferetes parámetros estadístcos (de cetralzacó, poscó, dspersó, etc.) VARIABLES ESTADÍSTICAS. CLASIFICACIÓ. El aspecto que deseamos estudar (edad, seo, peso,...) recbe el ombre de VARIABLE ESTADÍSTICA. A lo largo de esta udad observaremos, que las téccas estadístcas a segur será dferetes segú el tpo de varable objeto de estudo. La clasfcacó más tradcoal de las varables estadístcas es la sguete : CUALITATIVAS Los valores de las observacoes queda epresados por característcas o atrbutos. Por ejemplo : Estado cvl ; Color preferdo ; vel de estudos ; Raza ;... Detro de ellas podremos subdvdrlas e fucó de que pueda ser ordeadas (vel de estudos) o o tega setdo ua determada ordeacó que se establezca (Color preferdo, Razas,...). CUATITATIVAS Los valores de las observacoes so umércos (cuatfcables) y, e cosecueca, ordeables. A su vez las varables cuattatvas se subdvde e dos tpos : DISCRETAS : Toma valores cocretos (º de hjos : 0,,,...) COTIUAS : Puede tomar cualquer valor de u certo tervalo (Peso ; Estatura ;...). TABLAS DE FRECUECIAS. S la varable es Cualtatva, observamos los valores dferetes de la msma. S es Cuattatva buscaremos los valores mímo y mámo obtedos. E fucó del úmero de observacoes, decdremos s se realza su estudo de forma dvdual o agrupado e tervalos. COSTRUCCIÓ DE ITERVALOS : Teedo e cueta la ampltud total de las observacoes (Valor mámo meos valor mímo observados), tomaremos ua decsó sobre el úmero total de tervalos, o be sobre la ampltud o tamaño de los msmos. Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

2 EJEMPLO : Supuesto : Valor mámo 87, Valor mímo. Luego : AMPLITUD S decdmos costrur 8 tervalos, la ampltud de cada uo será de 0 udades (valor apromado de 76/8). El prmer tervalo o tee porqué carse e (mímo); es más, se acoseja tomar sempre valores "vsualmete agradables" (5, 0, 5,...). Co esto los tervalos sería : [0,0) [0,0) [0,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] S partmos de la decsó de que los tervalos tega 5 udades de ampltud, smplemete caremos su costruccó hasta llegar a u tervalo que cotega al valor mámo observado. [0,5) [5,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,90] Teórcamete se establece que el úmero deal de tervalos debe ser la raíz cuadrada del úmero de observacoes dspobles : Para observacoes : Crtero de Kaser º de tervalos E 5 ' + '.l( ) (E parte etera) Crtero de Sturges º de tervalos ( ) OTACIÓ Al establecer dos tervalos cosecutvos, por ejemplo de 0 a 0 y de 0 a 0, hemos de decdr s el valor 0 (fal de uo e co del sguete) perteece al prmer tervalo o al segudo. Para ello empleamos los símbolos [ y (. [ o ] el valor stuado juto a él perteece al tervalo ( o ) el valor stuado juto a él o perteece al tervalo OTACIOES PARA REPRESETAR ITERVALOS EXTREMOS REALES EXTREMOS APARETES Desde 0 hasta meos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a meos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a meos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a meos de 40 [ 0, 40 ) Desde 40 hasta 50 [ 40, 50 ] - 4 Valores :,, y 4 [ 0'5, 4'5 ) 5-8 Valores : 5, 6, 7 y 8 [ 4'5, 8'5 ) 9 - Valores : 9, 0, y [ 8'5, '5 ] RECUETO. TABLA DE FRECUECIAS ABSOLUTAS. Stuados e ua tabla los valores de la varable (desde el mímo al mámo) o los tervalos que los cotee, procedemos a cotar las veces que se repte. Costrumos así ua tabla como la de la zquerda. E ella podrá observarse que, e el supuesto de datos agrupados e tervalos, se ha cludo ua columa ecabezada por. Tal valor de se deoma marca de clase y es el valor cetral de cada tervalo. Itervalos Recueto [ e, e ) /// [ e, e ) ///// ///// / [ e, e + ) ///// /// Σ - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

3 FRECUECIAS. FRECUECIA ABSOLUTA () : Para datos o agrupados e tervalos, es el úmero de veces que se preseta cada valor de la varable. S los datos se agrupa e tervalos, es el úmero de observacoes que perteece a dcho tervalo. FRECUECIA ABSOLUTA ACUMULADA () : Para u certo valor de la varable, la frecueca absoluta acumulada os da el úmero de observacoes meores o guales que dcho valor. OTRAS FRECUECIAS : FRECUECIA RELATIVA (r) : Cocete etre la frecueca absoluta y el úmero total de observacoes (). PROPORCIÓ o PORCETAJE (p) : Frecueca relatva multplcada por 00 (es la epresó de las frecuecas e %). De gual modo que se defó para las frecuecas absolutas, se defe las FRECUECIAS RELATIVAS ACUMULADAS (R) y los PORCETAJES ACUMULADOS (P). TABLA COMPLETA DE FRECUECIAS : EJEMPLO : r p R P r / p r. 00 r p r / p r r +r p +p r / p r r +r r p +p p Σ Σr Σp 00 r p R P 5 0'5 '5 5 0'5 '5 0 0' '75 7' ' '775 77' ' '95 9'5 6 0'075 7'5 40 ' GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. La orma que hemos de segur e la costruccó de u gráfco estadístco es sempre : "La zoa que detfca a cada valor será proporcoal a su frecueca" Los dagramas usuales so los que se descrbe a cotuacó. A Dagramas de barras Para varables cualtatvas o cuattatvas o agrupadas e tervalos. FUDAMETO : Sobre u eje (ormalmete el horzotal) marcamos los valores de la varable, dbujado sobre cada uo de ellos ua barra cuya logtud sea proporcoal a la frecueca que se esté vsualzado. S la varable represetada es cuattatva, elazado los etremos de las barras obtedremos el POLÍGOO DE FRECUECIAS, deomado PERFIL ORTOGOAL para cualtatvas ordeables. B Hstogramas Represetatvo de las varables agrupadas e tervalos. FUDAMETO : Sobre el eje horzotal marcamos los dsttos tervalos, dbujado sobre cada uo de ellos u rectágulo cuya área sea proporcoal a la frecueca que se esté vsualzado (S todos los tervalos tee la msma ampltud, os bastará co que la altura de los rectágulos sea proporcoal a las frecuecas). POLÍGOOS DE FRECUECIAS : S la frecueca represetada o es acumulada, elazamos los putos medos de los etremos superores de los rectágulos. Para frecuecas acumuladas, el polígoo de frecuecas se obtee de la forma dcada e el gráfco. Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

4 C Dagramas de sectores Utlzable e cualquer tpo de varable. FUDAMETO : Dvdmos el círculo e sectores crculares, de modo que la ampltud de cada sector, sea proporcoal a la frecueca. Juto a cada sector, se suele dcar el valor represetado. Es acosejable la epresó de las ampltudes de los sectores e % (porcetajes p ). D Pctogramas Utlzable e todo tpo de varables, especalmete co las cualtatvas. FUDAMETO : Es el msmo que se sgue para la costruccó de los dagramas de barras y hstogramas. La dfereca estrba e que, e lugar de dbujar ua barra o u rectágulo, se dbuja ua fgura que hace refereca al problema objeto de estudo. E Dagramas de áreas Represetatvo de las varables cuattatvas, equvale a la represetacó depedete de los polígoos de frecuecas (descrtos e los dagramas de barras y hstogramas). FUDAMETO : Idca la evolucó de los valores de la varable, cosstedo e la vsualzacó del área ecerrada bajo el polígoo de frecuecas. Para ello, se coecta dcho polígoo co el eje de la varable (el horzotal e el gráfco), tato a la zquerda del prmer valor como a la derecha del últmo. Los dagramas de barras, hstogramas, pctogramas y de áreas, admte la represetacó correspodete a sus frecuecas acumuladas. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA ARITMÉTICA :. MODA : + + Mo e. + + OTACIOES MEDIAA : Es el resultado de dvdr la suma de todas las observacoes etre el úmero de ellas. a Me e +. a Es el valor que más se repte. Será pues el valor (o valores) cuya frecueca absoluta sea la mayor de las observadas. S los datos se ecuetra agrupados e tervalos, obtedremos el tervalo e el que se ecuetra la moda (ITERVALO MODAL). Para determar su valor cocreto, aplcamos la epresó de la zquerda. Los subídces dca : tervalo dode se ecuetra la moda. - tervalo ateror al que cotee la moda. + tervalo sguete al que cotee la moda. e etremo feror del tervalo e el que se ecuetra la moda. a ampltud del tervalo e el que está la moda. frecueca absoluta. Supuestas ordeadas las observacoes, MEDIAA es el valor de la varable que está e el cetro de las msmas. Deja pues a la mtad (el 50%) de las observacoes por debajo de dcho valor. Para obteer el valor de la medaa, segumos los pasos sguetes : º Calculamos la tabla de frecuecas absolutas acumuladas. º La medaa será el valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada prmero guale o supere a /. S los datos se ecuetra agrupados e tervalos, el puto º os dará el tervalo e el que se ecuetra la medaa. Para determar su valor cocreto, aplcamos la epresó de la zquerda. 4 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

5 OTA : E el caso de varables cotuas o agrupadas e tervalos, suele cosderarse prevamete los tervalos reales que esos valores represeta, procededo a aplcar la epresó superor. Así, los valores,,,... represeta a los tervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, '5),... OTACIOES Los subídces dca : tervalo dode se ecuetra la medaa. - tervalo ateror al que cotee la medaa. e etremo feror del tervalo e el que se ecuetra la medaa. a ampltud del tervalo e el que está la medaa. frecueca absoluta. frecueca absoluta acumulada. OTRAS MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA PODERADA : Aplcable cuado a cada valor (X ) se le asga u peso (p ) : p p. X p MEDIDAS DE POSICIÓ. MEDIA GEOMÉTRICA : G Co frecuecas f para cada : ( Σf ) G.... MEDIA ARMÓICA : A Co frecuecas f para cada : ( Σf ) A COCEPTO : Permte el cálculo del valor de la varable que ocupa ua certa poscó relatva respecto del cojuto total de los valores observados. PERCETIL DE ORDE K : Es el valor de la varable que deja por debajo de él el K% de las observacoes. PROCESO DE CALCULO : k. P k e a Para obteer el valor del percetl de orde K, segumos los pasos sguetes : º Calculamos la tabla de frecuecas absolutas acumuladas. º Obteemos el LUGAR que ocupa : Lugar. K / 00 º El percetl de orde K será el valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada prmero guale o supere a dcho lugar. S los datos se ecuetra agrupados e tervalos, el puto º os dará el tervalo e el que se ecuetra el percetl de orde K. Para determar el valor cocreto del percetl, aplcamos la epresó de la zquerda. OTA : E el caso de varables cotuas o agrupadas e tervalos, suele cosderarse prevamete los tervalos reales que esos valores represeta, procededo a aplcar la epresó ateror. Así, los valores,,,... represeta a los tervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, '5),... OTACIOES Los subídces dca : tervalo dode se ecuetra el percetl. - tervalo ateror al que cotee el percetl. e etremo feror del tervalo e el que se ecuetra el percetl. a ampltud del tervalo e el que está el percetl. frecueca absoluta. frecueca absoluta acumulada. PERCETILES ESPECIALES MEDIAA Percetl de orde 50. CUARTILES Percetles de órdees 5 (Cuartl º), 50 (Cuartl º) y 75 (Cuartl º). DECILES Percetles de órdees 0, 0,..., 90 (Decles º, º,..., 9º). MEDIDAS DE DISPERSIÓ. RAGO, RECORRIDO O AMPLITUD TOTAL : R Má Mí Co el f de medr el mayor o meor grado de separacó de las observacoes, e ua prmera staca se defe el RAGO (també deomado recorrdo o ampltud total), como la dfereca estete etre los valores mámo y mímo observados. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 5

6 AMPLITUD SEMI-ITERCUARTÍLICA : Q Q Q Esta medda de dspersó se basa e meddas de poscó (Cuartles),.Su empleo tedrá setdo e el supuesto de mposbldad de cálculo de la meda. El o tomar e cosderacó a la totaldad de las observacoes, hace pesar que esta medda es poco represetatva. Por ello se teta defr las meddas de dspersó, de modo que sea el promedo de las separacoes de cada valor respecto de uo tomado como refereca (la MEDIA). DESVIACIÓ MEDIA : D Observado la fgura aprecamos que las desvacoes d ates defdas tee como meda cero (las postvas compesa co las egatvas), lo cuál oblga a subsaar este coveete tomádolas e valor absoluto o elevádolas al cuadrado.. Es la meda de las desvacoes o separacoes de cada ua de las observacoes, respecto a la meda artmétca, cosderadas e valor absoluto. Susttuyedo la meda por la moda o la medaa, defremos las desvacoes medas respecto de la moda y de la medaa. VARIAZA : ( ).. s σ Es la meda de los cuadrados de las desvacoes o separacoes de cada ua de las observacoes, respecto a la meda artmétca. DESVIACIÓ TÍPICA :. s σ varaza COEFICIETE DE VARIACIÓ : CV σ.00 Es la raíz cuadrada de la varaza. Co ello corregmos el haber tomado cuadrados de separacoes e el cálculo de la varaza. Esta medda de dspersó es la más característca. Mde la represetatvdad de la meda. Valores etremos del msmo os llevará a coclur que la meda o es represetatva, es decr, estrá valores etre las observacoes que se separa sgfcatvamete de las demás. Sólo puede ser utlzado cuado los valores de la varable toma valores "ormales". Es decr, o so muy elevados muy pequeños, ya que ua meda próma a cero o muy alta daría valores ulos o ftos al coefcete. S la meda es represetatva de las observacoes (o este valores etremos eageradamete dstacados de la mayoría), el coefcete de varacó permte comparar la dspersó de dos seres estadístcas : mayor coefcete dca meor homogeedad, o lo que es lo msmo, mayor dspersó o varabldad. GRÁFICO DE VARIABILIDAD : Basado e los cuartles, adopta la forma del gráfco de la derecha. E él se refleja los cuartles º y º y la medaa, juto a los etremos feror y superor : Q Q Lf Q. Q. Q ; Lsup Q+. Q Se cosdera observacoes atípcas aquellas que queda fuera del tervalo : ( L f, L sup ) OTRAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. COEFICIETE DE ASIMETRÍA DE FISHER : Permte terpretar la forma de la dstrbucó, respecto a ser o o smétrca. As. ( ) σ ITERPRETACIÓ 6 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

7 Basados e al relacó estete etre meda, medaa y moda : Mo.( Md) se defe dos uevos coefcetes de asmetría (de Pearso): Mo As σ COEFICIETE DE CURTOSIS : As.( Md) σ Recbe també el ombre de coefcete de cocetracó cetral, mdedo el grado de aplastameto o aputameto de la gráfca de la dstrbucó de la varable estadístca. Ua mayor cocetracó de datos e toro al promedo hará que la forma sea alargad, sedo tato más plaa (o aplastada) cuato mayor sea la dspersó de los msmos. Determa la forma de la dstrbucó, e relacó co su grado de aplastameto. K ( ). 4 σ 4 ITERPRETACIÓ Basados e meddas de poscó, se defe los uevos coefcetes : Coefcete de asmetría de Bowley-Yule, o tercuartílco : Y Q Me + Q. Q Q Coefcete absoluto de asmetría: A Q. Me + Q σ Coefcete de curtoss de Kelley : Q K co Q Q Q 06 ' : P P 90 0 AÁLISIS COJUTO DE VARIOS GRUPOS. S dspoemos de k grupos co elemetos, medas, y varazas S, podemos obteer : Meda cojuta de los k grupos. X S. S Varaza cojuta de los k grupos, o, co mayor rgor : S ( ). S. X + PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. TABLA PARA CÁLCULOS : La tabla sguete os muestra ua dsposcó práctca de los cálculos ecesaros para la obtecó de los parámetros estadístcos usuales: Meda, Moda, Medaa, Percetles, Varaza y Desvacó típca. Itervalos.. P [ e, e ). (. ). P ( / ). 00 [ e, e ). (. ). + P ( / ) [ e, e + ). (. ). I P ( / ) Σ Σ. Σ. Cálculo de percetles A B Cálculo de meda y varaza La meda y la varaza sería el resultado de calcular :Cálculo de meda y varaza PROPIEDADES : A B σ A) S a todos los valores de ua varable les sumamos ua catdad costate, la meda queda cremetada e dcha costate, metras que la desvacó típca (y la varaza) o varía. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 7

8 B) S multplcamos todos los valores de ua varable por ua costate, la meda y la desvacó típca queda també multplcadas por dcha costate (la varaza quedará multplcada por el cuadrado de la costate). EJEMPLO : CAMBIO DE VARIABLE. TIPIFICACIÓ. Hacedo uso de las propedades de las meddas estadístcas,podremos facltar y smplfcar los cálculos de parámetros estadístcos, realzado u cambo de varable. Así, s todos los valores so muy altos, podremos restarles ua catdad (ormalmete la Moda) y, s posee cfras decmales o so múltplos de u msmo úmero, podremos multplcarlos o dvdrlos por el valor adecuado. Ua vez calculados los parámetros estadístcos, e vrtud de las propedades descrtas, obtedremos el valor fal real de tales parámetros. Mecó especal merece dos cambos de varables partculares : A) Dferecales : partedo de la varable cal (putuacoes drectas), s a todos los valores les restamos la meda, obteemos ua ueva varable d (putuacoes dferecales) cuya meda es cero (la desvacó típca o se modfca). B) Tpfcadas : S a todos los valores de la varable cal les restamos la meda y el resultado lo dvdmos por la desvacó típca, obteemos ua ueva varable z (putuacoes tpfcadas) cuya meda es cero, teedo sempre como desvacó típca la udad. Este últmo cambo de varable recbe el ombre de TIPIFICACIÓ. SUMA Y DIFERECIA DE VARIABLES. Partedo de dos varables X, Y, podemos defr las uevas varables : S X + Y obteda sumado cada valor de X co el correspodete de Y. D X - Y obteda restado a cada valor de X el valor correspodete de Y. Esto supoe la esteca de tatas observacoes de X como de Y, así como el emparejameto de ellas; es decr, a cada valor de X queda asocado u valor de Y. Esto costturá la base de estudo del sguete tema. Veamos como se comporta la meda de las dos uevas varables S y D defdas. S X+ Y ( X Y X Y E efecto : + ) + X Y S + X+ Y Aálogamete se verfca que : D X Y Calculemos la varaza de la suma S : ( X Y S) ( X Y X Y ) ( X X Y Y ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + ( ) SS ( ( X X) + ( Y Y) +.( X X).( Y Y) ) ( X X) ( Y Y) ( X X).( Y Y) + +. SX + SY +. SXY ( X X).( Y Y) La epresó, represetada por S XY, recbe el ombre de covaraza, justfcádose que es gual també a : ( X X).( Y Y) X. Y SXY XY. D X Y XY Aálogamete se verfca que : S S + S. S S las varables X, Y so depedetes, la covaraza (medda de varacó cojuta) es gual a cero. 8 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

9 Resumedo Varazas : Medas Depedetes ( S XY 0 ) Idepedetes ( S XY 0 ) S X + Y S X+ Y SS SX + SY +. SXY SS SX + SY D X - Y D X Y S S + S. S S S + S MOMETOS ORDIARIOS Y CETRALES D X Y XY D X Y Mometo ordaro de orde k : k a k. Mometo cetral de orde k : k m k.( ) Se verfca que : m 0 m a a m a. a. a+. a m a 4. a. a + 6. a. a. a Alguos parámetros estudados, puede epresarse : µ a σ s m a a m m As K m 4 m 4 m m 4 σ σ ( ) MEDIDAS DE COCETRACIÓ. Estas meddas, de aplcacó ecoómca fudametalmete, determa el vel de gualdad e el reparto total de las observacoes de la varable. Su determacó se realzará a partr de la sguete tabla de cálculos : A B C D E G H Σ. P (.. /).00 t. T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q P t T Q P - Q P t T Q P - Q k k k P k ( 00) t k T k Q k ( 00) P k - Q k ( 0) Σ. TP Σ P T Σ. TD Σ (P - Q ) Sedo : A) Valores de la varable (marca de clase s está agrupada e tervalos). B) Frecuecas absolutas ( total de observacoes). C) Frecuecas absolutas acumuladas. D) Porcetajes acumulados (totalzado - TP). E) Productos de cada frecueca por su correspodete valor (T suma total de estos productos). F) Productos aterores acumulados (de gual modo que se realza co frecuecas). G) Epresó e porcetaje del cotedo de la columa ateror. H) Dferecas de los valores de las columas D y G (totalzado - TD). MEDIALA : Su defcó tee u fudameto smlar al de la medaa. Para dstrbucoes dscretas (o agrupadas e tervalos), la medala es el valor de la varable cuyo Q prmero guala o supera el 50%. Para dstrbucoes cotuas (agrupadas e tervalos), el tervalo que cotee la medala es aquel cuyo Q prmero guala o supera el 50%. De aquí obteemos el valor de la medala del modo sguete : 50 Q Ml e +. a Q Q Los subídces dca : tervalo dode se ecuetra la medala. - tervalo ateror al que cotee la medala. e etremo feror del tervalo e el que se ecuetra la medala. a ampltud del tervalo e el que está la medala. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9

10 CURVA DE LOREZ : ÍDICE DE COCETRACIÓ DE GII : Sobre u rectágulo de 00 udades de lado, se dbuja la polgoal que resulta de ur los putos (P, Q ). Esta polgoal (curva de Lorez) determa co la dagoal AB u recto (sombreado e la fgura) que mde el grado de cocetracó. Cuado el área sombreada es muy pequeña (la curva de Lorez se aproma a la dagoal AB) se preseta ua baja cocetracó, o lo que es lo msmo, dca uformdad e el reparto de los valores de la varable. La mayor cocetracó se producrá cuado la zoa sombreada cocde co el trágulo ABC. Hacedo uso de la tabla de cálculos ateror, ecesara para la obtecó de la curva de Lorez, defremos el presete estadístco. Otros, como el ídce de Dalto, el de pardad, etc., puede ser empleados co détca terpretacó a la que tratamos co el de G, s be omtmos su estudo. G k ( P Q ) k TD TP 00 P El ídce de G (epresó de la zquerda) cocde geométrcamete co el cocete etre el área sombreada (defda por la curva de Lorez) y la del trágulo ABC. Cocetracó míma : G 0 Cocetracó máma : G 0 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

11 EJERCICIOS RESUELTOS La tabla sguete os muestra el resultado de ua ecuesta etre los alumos de prmer curso, aalzado el úmero de suspesos e la prmera evaluacó : Realcemos u estudo estadístco completo. Se trata de ua varable cuattatva dscreta. Esto codcoará alguos procesos del cálculo estadístco. RECUETO Y TABLA DE FRECUECIAS recueto r p R P 0 ///// /// 8 0' ' 8 0' ' ///// ///// / 0'8 8' 9 0'67 '67 ///// ///// /// 0'67 '67 0'5 5' ///// ///// ///// 5 0'500 5' '78 78' 4 ///// ///// 0 0'667 6' ' '00 5 /// 0'0500 5'00 60 ' '00 Totales : 60 ' '00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS APROPIADOS PARA ESTE TIPO DE VARIABLE DIAGRAMA DE BARRAS : Sobre el valor de cada varable dbujamos ua barra co altura gual a la frecueca que deseamos represetar (e este caso las absolutas ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtedos elazado los etremos superores de las barras. OTA :Sedo la varable dscreta, o tee setdo dbujar el polígoo de frecuecas. DIAGRAMAS ACUMULADOS : Costrudos como los aterores, so los represetatvos de las dsttas frecuecas acumuladas. El ejemplo represeta las frecuecas absolutas acumuladas (). El polígoo de frecuecas se costruría elazado los etremos superores de las barras. PICTOGRAMAS: Co el msmo prcpo segudo para la costruccó de los dagramas de barras, susttumos dchas barras por dbujos alusvos a la varable estadístca estudada. DIAGRAMAS DE SECTORES : Resulta de la dvsó de u círculo e sectores cuya ampltud es proporcoal a la frecueca. La ampltud de cada sector será : α. 60º r.60º Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

12 MEDIA, VARIAZA Y DESVIACIÓ TÍPICA.. Este tpo de tabla faclta los cálculos Meda 7 / 60,8 6 5 Varaza (4 / 60) - meda al cuadrado ' Desvacó típca raíz cuadrada de la varaza ' '8 60 s. 4 '8 60 '00 s s ' 005 ' 46 MODA Valor de mayor frecueca PERCETILES Para la determacó de meddas de poscó (percetles), podemos segur dos procedmetos de cálculo : º) Basado e las frecuecas absolutas acumuladas : Determamos el lugar que ocupa : L k. / 00 El percetl será el valor cuya frecueca prmero guale o supere al lugar L. º) Basado e porcetajes acumulados P : El percetl será el valor cuyo porcetaje P prmero guale o supere al orde k del percetl. Aplquemos el prmer procedmeto para calcular la medaa y el 9º decl : La medaa (percetl 50) ocupará el lugar : L / 00 0 El 9º decl (percetl 90) ocupará el lugar : L / Medaa º decl Aplcado el segudo procedmeto descrto, determemos los cuartles º y º, así como la ampltud semtercuartílca : r p P 0 8 0' ' ' 0'8 8' '67 Cuartl º (percetl 5) 0'67 '67 5' 5 0'500 5'00 78' Cuartl º (percetl 75) 4 0 0'667 6'67 95'00 5 0'0500 5'00 00'00 60 ' '00 Ampltud sem-tercuartílca Q Q - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

13 Trabajamos ahora co las edades de 50 jóvees de uestro barro : Como e el ejemplo ateror, realcemos u estudo estadístco completo. os ecotramos ate ua varable estadístca cuattatva cotua. Agruparemos o o las observacoes e tervalos e fucó de los dferetes valores observados. TABLA DE FRECUECIAS Observado el valor mímo () y mámo (4), decdmos agrupar los datos e tervalos de 5 años de ampltud, empezado por 0. Itervalos recueto r p R P [ 0, 5 ) ///// 5 0' '0 0 [ 5, 0 ) ///// ///// 0 0' '0 0 [ 0, 5 ) ///// ///// ///// / 6 0' 0'6 6 [ 5, 0 ) ///// / 6 0' 7 0'74 74 [ 0, 5 ] ///// ///// /// 0' '00 00 Totales : 50 '00 00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS HISTOGRAMA : Sobre el valor de cada varable dbujamos ua fraja co altura gual a la frecueca que deseamos represetar (e este caso las absolutas ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtedo elazado los putos medos de los etremos superores de las frajas. HISTOGRAMAS ACUMULADOS : Costrudos como los aterores, so los represetatvos de las dsttas frecuecas acumuladas. El ejemplo represeta las frecuecas absolutas acumuladas ( ). E este caso, el polígoo de frecuecas O se costruría elazado los putos medos de los etremos superores de las frajas, so como se dca e la fgura. Cálculo de Moda, Meda, Varaza y Desvacó típca : Para el cálculo de la meda y la varaza utlzamos la tabla aular sguete. E ella se corpora la columa, que cotee la marca de clase (valor cetral) de cada tervalo. La MODA (valor de mayor frecueca) se ecuetra e el tervalo [0, 5). Determemos su valor cocreto : Mo e a + '875 Itervalos.. [ 0, 5 ) 5 '5 '5 '5 [ 5, 0 ) 0 7'5 75'0 56'50 [ 0, 5 ) 6 '5 00'0 500'00 [ 5, 0 ) 6 7'5 05'0 87'50 [ 0, 5 ] '5 9'5 658' '0 5'50 Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

14 . 685 '7 50 s. 5'5 ' s s 4' 56 6' 54 Utlzado las frecuecas absolutas acumuladas, calculemos el decl º y el percetl 6 : Lugar que ocupa el decl º (percetl 0) / 00 0 Lugar que ocupa el percetl / 00 Itervalos [ 0, 5 ) 5 5 [ 5, 0 ) 0 5 Decl º (percetl 0) e [5,0) Lugar 0 [ 0, 5 ) 6 Percetl 6 e [0,5) Lugar [ 5, 0 ) 6 7 [ 0, 5 ] Determemos sus valores cocretos : 0. P e P e a a Utlzado los porcetajes acumulados, calculemos el cuartl º y la medaa : Itervalos r p P [ 0, 5 ) 5 0'0 0 0 [ 5, 0 ) 0 0'0 0 0 Cuartl º (percetl 5) e [5,0) [ 0, 5 ) 6 0' 6 Medaa (percetl 50) e [0,5) [ 5, 0 ) 6 0' 74 [ 0, 5 ] 0' '00 00 Determemos sus valores cocretos : P e a P e a '5 5 8'75 ' Estadístca descrptva (F. Álvarez)

15 De la presete dstrbucó, calculemos : 6 Meda, varaza y desvacó típca. 5 Moda. 4 0 Medaa, Percetl 8, Cuartles y ampltud sem-tercuartílca. 5 9 La varable establecda puede ser dscreta o cotua s agrupar e tervalos. Realcemos los cálculos e ambos supuestos. P ' ' Meda. 4 '55 40 Varaza σ. 544 ' '99 Desvacó típca σ 0' ' Moda Cuartl º (percetl 5) Medaa (percetl 50) Cuartl º (percetl 75) 4 Percetl 8 5 Rago sem-tercuartílco Q Q 4 05 ' Los valores aterores, relatvos a percetles, so váldos s la varable es DISCRETA. E el supuesto de tratarse de ua varable COTIUA (co datos o agrupados), deberíamos eteder que el valor detfca el tervalo stuado a la zquerda e la sguete tabla : Itervalo P ['5,'5) ['5,'5) '5 ['5,4'5) '5 [4'5,5'5] Los percetles peddos se obtedría del modo sguete : Medaa e ['5,'5) Percetl 8 e [4'5,5'5] Cuartl º e ['5,'5) Cuartl º e ['5,4'5) Me P50 5 ' ' P 8 45 ' ' Q P5 5 ' ' Q P75 5 ' ' Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 5

16 4 Iterv. De la dstrbucó de la zquerda, calcular : [0,) 5 Meda, varaza y desvacó típca. [,4) Moda [4,6) 9 Medaa, Percetl 59 y Decl º. [6,8) Desvacó meda. [8,0] 4 Coefcetes de asmetría y curtoss. Iterv. a P.a.a [0,) 5 5 8' [,4) 6 6' [4,6) ' [6,8) ' [8,0] ' Meda. a Varaza. 96 5'667 a 45 σ 5' '4 Desvacó típca σ 4' 46 ' 4 Moda e [6,8) Medaa (percetl 50) e [4,6) Percetl 59 e [6,8) Decl º (percetl 0) Desvacó meda e [4,6) 4 Mo ' Me P ' P ' D P ' 05 9 Asmetría y 4..( ).( ) Curtoss 4'667 ' -4'667-88'65 657'0090 '667 4'9 -'667-8'09 90'644 0'668 5'0668-0'668-0'60 0'096 '7 6'4000 '7 09'68 89'5604 '7 4'9 '7 08'75 777'0466 0' '44 94'0765 Desvacó meda Asmetría (-0'54 < 0) Algo asmétrca haca la zquerda Curtoss (-0'5608 < 0) Lgeramete aplaada (Platcúrtca) As K. D ( ). σ 0'6667 ' '44 60 ' 4 ( ). 4 σ 4 94' ' 4 4 0'54 0' Estadístca descrptva (F. Álvarez)

17 5 La dstrbucó de las estaturas e cetímetros de los alumos de u cetro, epresados e porcetajes, es la sguete: Estaturas Porcetajes Meos de 50 0' De 50 a 54 '6 De 55 a 59 9'4 De 60 a 64 0'5 De 65 a 69 '5 De 70 a 74 '5 De 75 a 79 0'7 De 80 y más '5 a) Sedo abertos los tervalos prmero y el últmo, qué valores sería razoable cosderar para los límtes etremos de esos tervalos? b) S supoemos que e el Cetro hay 00 alumos, cuáles sería las frecuecas absolutas? c) Calcular la estatura meda y la desvacó típca. d) Etre qué estaturas se ecuetra la quta parte de las estaturas cetrales?. a) Al referrse a tervalos de 5 cm. de ampltud e los restates casos, debemos cosderar que el prmer tervalo es de 45 a meos de 50 y, el últmo, de 80 a 85. b) c) d) Estaturas p p. 00 / 00 P [45,50) 0' '6 4 0' 4 [50,55) '6 9' 9 '9 [55,60) 9'4 '8 ' 6 [60,65) 0' '8 8 [65,70) ' ' 760 [70,75) ' '8 00 [75,80) 0'7 8'4 8 96'5 58 [80,85) ' ' Estaturas.. [45,50) 4 47'5 590'0 8705'00 [50,55) 9 5'5 897' '75 [55,60) 57'5 7797'5 8006'5 [60,65) 46 6'5 9975' '50 [65,70) 78 67'5 65' '50 [70,75) 70 7' ' '50 [75,80) 8 77'5 70' '00 [80,85) 4 8'5 7665'0 9886' ' ' De aquí resulta : 00 67' ' 95 4' 006 s 4' 006 6' s La quta parte represeta el 0%. Co relacó al cetro (50%), cubrrá desde el 40% al 60%. Se os pde que calculemos los percetles 40 y 60 de la dstrbucó de estaturas. La tabla de porcetajes acumulados del apartado b) os permte deducr que : Los percetles 40 y 60 se ecuetra e el tervalo [65,70). Sus valores cocretos so : P e + a ' P e + a '47 78 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 7

18 6 Partedo de la sguete dstrbucó de frecuecas acumuladas, determar la meda, medaa y moda de la sguete dstrbucó de edades. Aalce la relacó etre ellas. Edad [0,) 4 [,4) [4,6) 4 [6,8) 4 [8,0] 40 Calculemos los parámetros peddos, co el f de observar e qué medda se verfca la relacó Mo. ( Me) Para obteer las frecuecas absolutas, a partr de las acumuladas, aplcamos el cocepto que defe a estas últmas. E la práctca, las frecuecas absolutas se obtee restado la correspodete acumulada de la ateror. Edad.. [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,0] ' 5 Lugar que ocupa la medaa : L / 00 0 La medaa está e [4,6) : 0 Me ' 846 Comprobemos la relacó estete etre ellas : Mo 5'5 5' 765 0' 75. Me. 5'5 5'845 0' ( ) ( ) 05 La moda se ecuetra e [4, 6). Su valor cocreto es : 0 Mo ' o se verfca la relacó esperada, s be la dfereca o es muy grade. Esta relacó teórca sólo se verfca e stuacoes deales y ecepcoales (por ejemplo e dstrbucoes smétrcas, dode Mo Me ). 8 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

19 7 Completar la tabla de frecuecas sguete : º de suspesos º de suspesos 0 cocde co el valor de 7 0 para que al acumular resulte 0 acumulado 8 0 para que al acumular resulte Últma acumulada 50 y 0 por dfereca co la ateror Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9

20 8 Calcular la ampltud sem-tercuartílca de la dstrbucó de las edades de 400 ños, represetada a la zquerda. Coocdos los porcetajes y el total de observacoes (400), podemos costrur la dstrbucó de frecuecas absolutas : p. / 00 p P Prmer cuartl (percetl 5) Tercer cuartl (percetl 75) 400 La ampltud o rago sem-tercuartílco será pues : Q Q ' 0 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

21 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9 Ua varable X tee por meda y desvacó típca. S elevamos todos los valores al cuadrado costrumos la ueva varable Y X. Cuál es el valor de su meda artmétca?. Observemos la epresó de la varaza :. s La prmera parte de la epresó cotee los cuadrados de los valores de la varable X; es decr, los valores defdos como la ueva varable Y. Co esto : s y y s y s

22 0 Ua varable X tee como meda 8 y varaza 4. Qué trasformacó leal hemos de realzar co ella, para obteer ua ueva varable Y que tega por meda 4 y desvacó típca 0?. Se etede por trasformacó leal a ua relacó del tpo : Hemos de calcular los parámetros a y b descoocdos. Y a + b.x Hacedo uso de las propedades de la meda y la desvacó típca, resulta : Sobre la meda Ya+b.X 4 a+ b. 8 E relacó co la desvacó típca s b. s 0 b. b 5 a La trasformacó realzada fue : Y + 5.X Y X - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

23 Las calfcacoes de u alumo e dos test de coocmetos fuero 5'4 y 4. El prmer test do como meda 5 co varaza y, el segudo, meda 8 co varaza. E qué test obtuvo mejor calfcacó co relacó al grupo total de alumos?. os ecotramos co dos dstrbucoes de calfcacoes meddas e dsttas escalas. Para poder comparar tedremos que referr ambas seres de valores a otras equvaletes etre sí (gual meda y desvacó típca). El proceso de tpfcacó os proporcoa lo que deseamos (sempre obtedremos ua dstrbucó co meda 0 y desvacó típca ). Tpfcado ambas calfcacoes se obtee : ota del test º : 54 ' ota del test º : 4 54 ' 5 z 0' z 0' 866 La ota obteda e el segudo test es superor a la del prmero e térmos comparatvos. Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

24 Estatura e cm. Alumos [40,45) [45,50) 5 [50,55) 5 [55,60)? [60,65) 7 e) Etre qué estaturas se ecuetra las 5 cetrales?. f) Porcetaje de alumos que mde más de 57 cm. a) Determar la frecueca descoocda, sabedo que la estatura meda es de 5 5 cm. b) Calcule la ampltud sem-tercuartílca. c) Moda de la dstrbucó y coefcete de asmetría que la utlza. d) Percetl correspodete a ua estatura de 5 cm.. Eplque su sgfcado. a). [40,45) [45,50) [50,55) [55,60) 57 5 f 57'5.f [60,65) f '5.f La tabla de cálculos de la meda coduce a : 5787' ' 5. f 55 ' 05 + f Resolvedo deducmos que : f 0 b) [40,45) [45,50) 5 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) Luego : Q Q Q Lugar Q 5. 5 / 00 5 Q se ecuetra e [45,50) 5 ' Q ' 75 5 Lugar Q / Q se ecuetra e [50,55) Q ' 58 47' ' 0 c) º) Moda e [50,55) : Mo ' ' ' ' s 55 ' 5 s 50 ' Mo As 0'064 s [40,45) [45,50) 5 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) d) 5 se ecuetra e [50,55) 5 k. Pk Resolvedo : k e) Lugar / ; e [50,55) : P '9 5 Lugar / ; e [50,55) : Etre 50 9 y P ' Estadístca descrptva (F. Álvarez)

25 f) 57 se ecuetra e [55,60) 5 k. Pk Resolvedo : k 84 8% (porcetaje ferores a 57) Luego, mde más de 57 cm. : 00% % 5 % Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 5

26 Edad Hombres Mujeres a a a a a 8 a) Determe el úmero de hombres co edades compreddas etre los y 5 años. b) Cuál de los dos grupos de edades está más dsperso?. c) Co relacó al grupo tegrado por los del msmo seo, qué resulta más jove, u hombre o ua mujer de 0 años?. Hombre Mujer...y.y [0,) [,6) [6,9) [9,) [,5) a) perteece al tervalo [0,) : P 5 perteece al tervalo [,6) : P Etre y 5 el %. b) Calculamos las varazas de ambos grupos : 40 k. k k 667% ' 8 40 k. k k 8% ' Luego hay : / hombres ' ; s 7' 7' 9 ; s 7' 9 4' ' 775' 5 y 7' 6 ; sy 7' 6 ' 84 ; sy ' 84 ' Sedo 7 9 > 84 Grupo hombres más dsperso de forma aboluta Pese a ser las medas práctcamete guales, debemos emplear el coefcete de varacó para estudar la varabldad relatva de ambos grupos : 4 ' CV CVy % 49 '. ' ;. 00 0' 0% hombres más dsperso ' 7' 6 c) Tpfcamos 0 e ambos grupos : Z 0 7' 0 7' 6 0' 66 ; Z 0' 785 7' 9 ' 84 hombre mujer Como 0 66 < Hombre más jove 6 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

27 4 a) La tabla sguete os muestra las calfcacoes de 0 alumos, e u test de cálculo matemátco, al co del curso y al falzar el msmo. Alumo Ico Fal a) Determe la meda, desvacó típca, medaa y moda de las calfcacoes al co y al fal del curso. b) Calcule la meda y desvacó típca del cremeto o mejora de la calfcacó obteda. Ico Ordeado valores : ' ; s 7 ' 487 ' Medaa 5 Moda Fal y y Ordeado valores : 6 4 y 6 ' ; s y 6 ' 9 ' b) Medaa 6 Moda 6 Mejora d d d 6 ' ; s d 6 ' 48 ' 0 0 Meda de la dfereca : d y 6 ' 7 ' 6 ' ( o es váldo para dspersoes ) Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 7

28 5 º Suspesos Alumos a) Determe la meda, desvacó típca, coefcete de varacó, medaa y moda del úmero de suspesos. b) Coefcete de asmetría de Fsher. c) Putuacó dferecal y tpfcada correspodete a suspesos. a) De la sguete tabla de cálculos obteemos : s CV ' ' ' ' '78% 975 ' Medaa : / 40 Me Moda...( ) b) c).( ) 95'7975 As 80 0'44 Lgeramete asmétrca a la derecha (o postva) s '564 d 975 ' 0' ' z 006 ' s 564 ' 8 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

29 6 Estatura ños A La altura e cm. de los ños de años, eamados durate la últma semaa e la udad de crecmeto del cetro hosptalaro Crecebe, vee represetada e la tabla de la zquerda. Sabedo que la altura meda de los msmos es cm., calcular : a) La frecueca A del tercer tervalo. b) La smetría de la dstrbucó a partr de la comparacó de meda, medaa y moda. c) El percetl correspodete a u ño que mde 4 m A 4.A TOTAL +A A A a) 47' 75 + A Resolvedo la ecuacó ateror obteemos el valor de A : (+A) A A A 5 75.A 46 A 8 b) Calculemos la medaa y la moda de la dstrbucó : Itervalos Moda e [49 5, 54 5) : [9 5, 4 5) [4 5, 9 5) Mo 49 ' [9 5, 44 5) ' 75 [44 5, 49 5) Lugar que ocupa la medaa 40/ 0 [49 5, 54 5) 6 0 [54 5, 59 5) 4 40 Medaa e [44 5, 49 5) : Me 44' ' 5 Mo.( Me) Utlzado los coefcetes de asmetría : As As s s y sedo sempre postva la desvacó típca,cocluremos que la smetría resultará del aálss del sgo del umerador. Mo 47' 75 50' 75 < 0.( Me).( 47' 75 48' 5) ' 5 < 0 Luego es asmétrca zquerda (o egatva). c) La altura 4 m. ( 4 cm.) se ecuetra e el tervalo [9 5, 44 5) : k. 40 k Pk '. 58 '. 86 ' '. 5 5 ' '. k k ' ' Luego correspode al percetl 5. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9

30 7 X Dada la sguete dstrbucó de frecuecas., calcular : a) Meda y desvacó típca. b) úmero de observacoes compreddas etre las putuacoes drectas 5 y 9 5. c) Putuacoes típcas de los percetles 0 y 80. Ordeamos los tervalos de meor a mayor, epresádolos medate sus etremos reales. Itervalos.. [ 0 5, 5 ) [ 5, 6 5 ) [ 6 5, 9,5 ) [ 9 5, 5 ] Totales a) 65 ' s 6' ' s 5875 ' ' b) De la observacó drecta de la tabla se cocluye que es 60 (60+00). c) Percetl 0 : Lugar 0 00 / (Observado ) se ecuetra e [ 5, 6 5 ) P z ' '. 0' ' 44 Percetl 80 : Lugar / (Observado ) se ecuetra e [ 6 5, 9,5 ) ' 65 ' P80 65 ' ' z 0' 9 00 ' Estadístca descrptva (F. Álvarez)

31 8 0 6 Hacedo uso de coefcetes basados e meddas de poscó, estude la asmetría y el aputameto de la dstrbucó. Tales coefcetes so el de asmetría de Yule y el de curtoss de Kelley. Obtegamos los percetles que tervee e su cálculo a través de la columa de porcetajes acumulados (P) : r p P Cuartl º : (5%) Cuartl º : (75%) Medaa : (50%) Percetl 0 : (0%) 0 50 Percetl 90 : (90%) Co ellos : Y Q. Me + Q. + (asmétrca a la zquerda o egatva) Q Q Q Q Q K 0' 6 0' 6 0' 6 0' 096 (lgeramete platcúrtca o aplastada) P P P P Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

32 9 Determe las medas artmétca, geométrca y armóca de la varable X que toma los valores sguetes : 5,, 5, 4, 8. Meda artmétca : ' 5 5 Meda geométrca : 5 5 G 5 0 ' ' Meda armóca : 5 5 A 87 ' 775 ' Estadístca descrptva (F. Álvarez)

33 Determe las medas artmétca, geométrca y armóca de la dstrbucó. Geeralzamos las epresoes correspodetes al fgurar frecuecas : Meda artmétca : ' 0 0 Meda geométrca : Meda armóca : G A ' '95 0'05 '077 Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

34 Co el f de estudar la edad meda y la dspersó de edades e u cetro educatvo, el drector solcta estos datos a los resposables de los dsttos veles, resultado : 00 alumos de Prmara co meda años y varaza alumos de Secudara co meda 4 6 años y varaza. 65 alumos de Bachllerato co meda 7 años y varaza 0 9. Cuál es la edad meda y la varaza del colectvo total de alumos del cetro?. Meda cojuta de los grupos Varaza cojuta de los grupos ' ' ' X 99 ' S ( ). S. X + 00.' ' ( ' 99) + 40.( 4' 6 ' 99) + 65.( 7' ' 99) ' 46' ' ' 8' Estadístca descrptva (F. Álvarez)

35 De las 0 observacoes de dos varables X, Y, coocemos : ΣX 4 ; ΣX 40 ; ΣY 4 ; ΣY 54 ; ΣXY 98. Determe la meda y varaza de la varable V X - Y. Calculemos la meda y varaza de X, la meda y varaza de Y, así como la covaraza. 4 X 4 0 ' Y ' S X 4 ' 04 ' S 0 Y 4 ' 84 ' 0 X. Y 98 SXY XY. 4 '. 4 ' 04 ' 0 Co ello : V X Y XY V X Y 4 ' 4 ' 8 S S + S. S 04 ' + 84 '. 04 ' ' 8 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 5

36 El estudo de las faltas de assteca a clase de alumos de u grupo de º de Secudara produjo los resultados sguetes : Faltas Alumo 4 s Determe la medala y estude aalítca y gráfcamete el grado de cocetracó de la dstrbucó. Los cálculos de la medala, ídce de G y curva de Lorez, se obtee a partr de la sguete tabla aular: Σ. P (.. /).00 t. T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q '95 4' '987 ' '675 5' '065 4' '545 0' '0 4' ' 0' TP 55 T 77 TD '8 Uedo el orge del rectágulo (0, 0) co los sucesvos putos (P, Q ) obteemos la curva de Lorez de la derecha. Las sumas TD y TP permte obteer el ídce de G : TD 8 ' G 0' 09 TP Coclumos la preseca de ua certa cocetracó (lo cuál també se adverte co la gráfca). Medala 5 ya que el prmer valor que guala o supera a 50 e la columa Q es 54'545, el cuál correspode a Estadístca descrptva (F. Álvarez)

37 4 U aálss del pago de mpuesto e el sector de hostelería ofrecó los resultados sguetes (mportes mesuales por pesetas) : Importe [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8,0) [0,] Empresas Determe la medala y estude aalítca y gráfcamete el grado de cocetracó de la dstrbucó. Los cálculos de la medala, ídce de G y curva de Lorez, se obtee a partr de la sguete tabla aular: Σ. P (.. /).00 t. T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q [0,) 0'97 '70 [,4) '967 5'0 [4,6) '55 '745 [6,8) '798 0'0 [8,0) '840 '60 [0,] TP T 674 TD '84 Co TD y TP obteemos el ídce de G : TD 84 ' G 0495 ' TP Coclumos que este ua cocetracó muy baja (lo cuál mafestará també la gráfca de Lorez). Uedo el orge del rectágulo (0, 0) co los sucesvos putos (P, Q ) obteemos la curva de Lorez de la derecha. Medala e el tervalo [6, 8) ya que el prmer valor que guala o supera a 50 e la columa Q es 6'798, el cuál correspode al tervalo dcado. De aquí : 50 Q Ml e + Q Q. a 50 ' ' 798 ' 55 7 ' 57 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 7

38 5 f Hacedo uso del cálculo de mometos ordaros de órdees º al 4º, determe el valor de 0 la meda, varaza, asmetría y curtoss de la dstrbucó de la zquerda Tabla de cálculo de mometos ordaros : a a a a Totales : k. k Orde ak. m k a ' m 0 9 a 797 ' m a a ' ' 0' a 9708 ' m a. a. a+. a... 0' a 4 7' 797 m4 a4 4. a. a+ 6. a. a. a... ' Co los mometos calculados : Meda µ a 708 ' Varaza σ s m 0874 ' Coefcete de asmetría m 0468 ' As 004 ' ( m ) ( 0874 ' ) Coefcete de curtoss K m 4 ' 954 0' 009 m 0874 ' 8 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

39 6 Hacedo uso del coefcete de varacó, compare la dspersó o varabldad relatva de las dos varables descrtas e cada uo de los apartados sguetes : a) El peso medo de los toros de ua gaadería es de 40 kg. co desvacó típca de kg. y, el peso medo de los perros de ua graja es de 8 kg. co gual desvacó típca. b) Dos fábrcas produce torllos co gual logtud meda (50 mm.), sedo la desvacó típca de la prmera de mm. y de mm. la de la seguda. a) CVT CVP ' 49% 00 5% 8. ' El peso de los perros tee mayor varabldad b) CVA CVB % 00 4% 50. Los de la ª tee mayor varabldad Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9

40 7 X A B La tabla muestra la compresó lectora (X) de dos grupos de sujetos educados e veles sococulturales altos (A) y bajos (B). S a partr de la putuacó X9 se cosdera ua compresó lectora buea, calcular : a) El porcetaje de persoas e cada grupo co ua buea compresó lectora. b) Cuál de los dos grupos preseta mayor varabldad? (Razoe adecuadamete su respuesta). Epresamos los tervalos co etremos reales, obteedo la tabla de cálculos de percetles, meda y varaza de ambos grupos. A A A. A. B B B. B. [-0'5,6'5) [6'5,'5) ['5,0'5) [0'5,7'5) [7'5,4'5] a) Calculemos el orde k del percetl que es gual a 9. Este os da el porcetaje de los que tee meos de 9 putos, luego, como deseamos saber el porcetaje de los superores a 9, la respuesta será su dfereca hasta 00. El valor 9 se ecuetra e el tervalo ['5,0'5) : E el grupo A : k Pk 9 5 ' k 468 ' 9 Luego el 57'% (00-4'68) tee buea compresó lectora e el grupo A. b) E el grupo B : k. 0 Pk 9 5 ' k 604 ' 9 Luego el 9'76% (00-60'4) tee buea compresó lectora e el grupo B. Mayor varabldad la presetará aquel grupo que posea mayor dspersó etre sus valores. Co mayor rgor, s la meda es represetatva de las observacoes (o este valores etremos eageradamete dstacados de la mayoría), es el coefcete de varacó el más adecuado para medr la varabldad relatva etre dos seres estadístcas (mayor coefcete dca meor homogeedad; u meor valor dcará meor dspersó o varabldad). S comparamos medate las varazas : XA 9' 8 ; SA 9' 8 77' 9 ; XB 6' ; SB 6' 6 ' el grupo A preseta ua mayor varabldad. S comparamos medate los coefcetes de varacó : SA 77' 9 SB ' CVA. 00. ' CVB.. ' X 9' % X % 6' A luego, coclumos que el grupo B preseta ua mayor varabldad relatva (44'58 < 48'78), e cotra de lo obtedo comparado varazas. B 40 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

41 8 X A B La tabla muestra la compresó lectora (X) de dos grupos de sujetos educados e veles sococulturales altos (A) y bajos (B). S a partr de la putuacó X9 se cosdera ua compresó lectora buea, calcular : a) El porcetaje de persoas e cada grupo co ua buea compresó lectora. b) Cuál de los dos grupos preseta mayor varabldad? (Razoe adecuadamete su respuesta). Epresamos los tervalos co etremos reales, obteedo la tabla de cálculos de percetles, meda y varaza de ambos grupos. A A A. A. B B B. B. [-0'5,6'5) [6'5,'5) ['5,0'5) [0'5,7'5) [7'5,4'5] a) Calculemos el orde k del percetl que es gual a 9. Este os da el porcetaje de los que tee meos de 9 putos, luego, como deseamos saber el porcetaje de los superores a 9, la respuesta será su dfereca hasta 00. El valor 9 se ecuetra e el tervalo ['5,0'5) : E el grupo A : k Pk 9 5 ' k 468 ' 9 Luego el 57'% (00-4'68) tee buea compresó lectora e el grupo A. b) E el grupo B : k. 0 Pk 9 5 ' k 604 ' 9 Luego el 9'76% (00-60'4) tee buea compresó lectora e el grupo B. Mayor varabldad la presetará aquel grupo que posea mayor dspersó etre sus valores. Co mayor rgor, s la meda es represetatva de las observacoes (o este valores etremos eageradamete dstacados de la mayoría), es el coefcete de varacó el más adecuado para medr la varabldad relatva etre dos seres estadístcas (mayor coefcete dca meor homogeedad; u meor valor dcará meor dspersó o varabldad). S comparamos medate las varazas : XA 9' 8 ; SA 9' 8 77' 9 ; XB 6' ; SB 6' 6 ' el grupo A preseta ua mayor varabldad. S comparamos medate los coefcetes de varacó : SA 77' 9 SB ' CVA. 00. ' CVB.. ' X 9' % X % 6' A luego, coclumos que el grupo B preseta ua mayor varabldad relatva (44'58 < 48'78), e cotra de lo obtedo comparado varazas. B Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 4

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