Aplicaciones de la integral

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1 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle l siguiente definición: Definición 89.- Se f: [, ] I un función continu y positiv, y consideremos l región del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x =, el eje de ciss y l gráfic de f (ver figur dejo). Entonces el áre de l región está definid por f(x) dx. En efecto, en su momento hemos comentdo como ls sums inferiores y sums superiores nos ofrecen proximciones por defecto y por exceso del áre encerrdo por l curv y = f(x), es decir, el vlor de ese áre está siempre entre el áre clculdo por defectoo y el clculdo por exceso. Entonces, cundo l función es integrle, el inferior de ls cots superiores y el superior de ls cots inferiores coinciden, y como el vlor del áre indicdo por l función está entre mos vlores, necesrimente dee conincidir con el vlor de l integrl. Ejemplo Clculr el áre de l región limitd por l curv f(x) = x 3 x = 3. Solución: L función es positiv en todo I. En prticulr, lo es en el dominio de integrción y, por tnto, el vlor del áre que uscmos vendrá ddo por 3 f(x) dx. En nuestro cso, como F (x) = x3 9 + x es un primitiv de f en [, 3], st plicr l regl de Brrow pr otener que 3 nos ofrece el áre del recinto de l figur. ( ) ( )] x x dx = 9 + x = (3 + 3) ( + ) = 6, y = f(x) +, los ejes coordendos y l rect f(x) = x 3 + x = Funciones negtivs y = f(x) y = f(x) Cundo l función f: [, ] I que limit, es continu y negtiv, es decir, f(x) pr todo x [, ], el vlor de l integrl será f(x) dx, por lo que no puede representr el vlor del áre de como mgnitud de medid positiv. Sin emrgo, es clro que el áre de l región coincide con el áre de l región determind por l función f (ver figur l izquierd), por lo que, teniendo en cuent ls propieddes de l integrl, puede drse l siguiente definición. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

2 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4. Áres de superficies plns Definición 9.- Se f: [, ] I un función continu y negtiv. Consideremos l región del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x =, el eje de ciss y l gráfic de f. Entonces el áre de l región está definid por f(x) dx = f(x) dx. Oservción 9.- Es clro entonces, que pr clculr el áre de regiones plns dee nlizrse el signo de l función en el intervlo de integrción. De no hcerlo sí, l prte negtiv de l función restrá el áre que encierr del áre encerrdo por l prte positiv. Contrejemplo.- Hllr el áre encerrdo por l función f(x) = sen x, en el intervlo [, π]. El vlor π encerrd por l curv. sen x dx = cos x ] π = ( cos(π)) ( cos ) =, es clro que no represent el áre π π Ahor ien, teniendo en cuent que l función sen x es positiv en [, π] y negtiv en [π, π], el vlor rel del áre encerrdo será por tnto A( ) + A( ) = π sen x dx + π π ] π ] π sen x dx = cos x + cos x = + = 4. π Ejemplo Hllr el áre determind por l curv f(x) = (x )(x ), ls rects x =, x = 5 y el eje de ciss. Como l función f(x) es menor o igul cero en [, ] y positiv en el resto, se tendrá que 5 f(x) dx + f(x) dx. Como G(x) = x3 3 3x + x es un primitiv de f(x) en [, 5 ], ( G() G() ) ( G() G() ) ( + = G ( 5 ) G() ) = 7 6. f(x) = (x )(x ) Áre entre dos funciones En ls definiciones nteriores puede considerrse, que el áre clculdo est encerrdo por l función y = f(x) y l función y =, cundo l f es positiv, y por l función y = y l función y = f(x), cundo l f es negtiv. En mos csos, se tiene que dx = (f(x) ) dx y dx f(x) dx = ( f(x)) dx, es decir, que el áre encerrdo por ms funciones es l integrl de l función myor menos l integrl de l función menor. En generl, se tiene que: Proposición 9.- Si f, g: [, ] I son funciones continus, con f(x) g(x) pr todo x [, ]. Entonces, si es l región del plno cuy fronter viene dd por ls rects x =, x =, el eje de ciss y ls gráfics de f y g, el áre de se otiene como g(x) dx = ( ) f(x) g(x) dx. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

3 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4. Volúmenes de cuerpos sólidos En efecto, si ls funciones verificn que g(x) f(x), es clro que el áre encerrdo por f y g es el áre encerrdo por f menos el áre encerrdo por g (ver figur siguiente), es decir, A( f g ) = A( f ) A( g ) = g(x) dx. Si lgun de ells tom vlores negtivos, el áre entre ms,, es el mismo que si le summos cd función un constnte k que ls hg positivs y, por tnto, el áre es el áre encerrdo por f +k menos el áre encerrdo por g + k (ver figur), es decir, A( f g ) = A( f+k ) A( g+k ) = = = f(x) dx + k dx g(x) dx. (f(x) + k) dx g(x) dx k dx (g(x) + k) dx y = f(x)+k y = f(x) y = g(x)+k y = g(x) Oservción 93.- De form nálog, si l región está limitd por funciones x = f(y), x = g(y) y ls rects y = c e y = d, siendo g(y) f(y) pr todo y [c, d], el áre de l región puede encontrrse medinte l fórmul d ( ) f(y) g(y) dy. c Ejemplo Clculr el áre de l región cotd comprendid entre ls práols de ecuciones y + 8x = 6 e y 4x = 48. Ls práols pueden escriirse como funciones de y, de l form x = g(y) = 6 y 8 y x = f(y) = y 48 4 Los puntos de corte de ms práols son ls soluciones de l ecución 6 y 8 = y 48 4 = y = ± 4. x = f(y) 4 x = g(y) Como en el intervlo [ 4, 4] es f(y) g(y), se tiene que 4 6 y 4 8 = (4y y3 8 )] 4 4 y 48 dy = dy = 4 ) (4 y dy Volúmenes de cuerpos sólidos Trtremos hor de clculr el volumen de un sólido S. Pr ello supongmos que est colocdo en los ejes coordendos de I 3 y que los extremos del sólido en l dirección del eje de ciss se tomn en los vlores x = y x =. Consideremos pr cd x [, ] que A(x) represent el áre de l intersección del cuerpo con un plno perpendiculr l eje de ciss (ver figur). Entonces, pr cd prtición P = { = x, x,..., x n = } del intervlo [, ], consideremos A(x ) A(x ) A(x 3) S m i = inf{a(x) : x x x i } M i = sup{a(x) : x x x i } x=x x=x x=x 3 Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

4 53 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4. Volúmenes de cuerpos sólidos el inferior y el superior de los vlores de ls áres A(x) de ls secciones del sólido entre x i y x i. Definimos sum superior e inferior socids l sólido S y l prtición P en l form n n U(A, P ) = M i x i y L(A, P ) = m i x i, donde cd término de ls sums represent el volumen de un cuerpo con áre de l se m i ó M i y ltur x i x i = x i. Fig. 4.. Volúmenes por exceso y por defecto. Por tnto, ms sums corresponden volumenes que proximn por exceso y por defecto, respectivmente, l verddero volumen de S (fig 4.). Considerndo tods ls prticiones de [, ] y rzonndo de form nálog como se hizo en el Tem 3, pr l construcción de l integrl de iemnn, estmos en condiciones de dr l siguiente definición: Definición 94.- Se S un sólido cotdo comprendido entre los plnos x = y x =. Pr cd x [, ], se A(x) el áre de l sección que produce sore S el plno perpendiculr l eje de ciss en el punto x. Si A(x) es continu en [, ] definimos el volumen de S como V(S) = A(x) dx. Not: Podemos dr definiciones nálogs si tommos secciones perpendiculres l eje y o l eje z. Ejemplo Hllr el volumen del sólido S = { (x, y, z) I 3 : x, y, z ; x + y + z }. El sólido S es l prte del primer octnte limitd por el plno x+y +z =, es decir, el tetredro (pirámide de se triángulr) cuys crs son los plnos coordendos y el plno x + y + z =. Ls secciones formds por plnos perpendiculres l eje x son triángulos y su áre, pr cd x, es A(x) = se(x) ltur(x). Pr cd x de [, ], l se del{ triángulo es l coordend y de x + y + z = l rect intersección de los plnos, luego se(x) = z = y = x. { L ltur es l coordend z de l rect intersección de x + y + z = los plnos, luego ltur(x) = z = x. Por tnto, y = A(x) = ( x)( x) y V (S) = A(x) dx = ( x) )] ( x)3 dx = ( = 6 6 z = x A(x) y = x 4.. Volúmenes de revolución Un cso prticulr de grn importnci de l definición nterior es el de los sólidos de revolución, es decir, sólidos generdos l girr respecto un eje. Supongmos dd un función f: [, ] I y consideremos l región limitd por l curv y = f(x) el eje de ciss y ls rects x = y x = (como e l figur inicl del tem). Un rotción complet de ést lrededor del eje de ciss produce un sólido S pr el cul, cd sección es un círculo de rdio f(x) (o f(x) si l función es negtiv, ver l figur nex l ejemplo siguiente de l esfer) y por tnto, su áre será A(x) = πf (x). Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

5 54 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.3 Otrs plicciones En consecuenci, el volumen se otendrá de V (S) = πf (x) dx = π Ejemplo Hllr el volumen de l esfer x + y + z 4. L esfer es clrmente un sólido de revolución, pues si girmos el círculo máximo se gener un esfer. De hecho, st girr el círculo máximo medi vuelt pr conseguirl, o dr un vuelt complet uno de los semicírculos. Como el circulo máximo, intersección de l esfer con el plno y =, tiene por ecución (en el plno xz ) x + z = 4, otenemos l esfer l girr un rotción complet l superficie encerrd por l semicircunferenci superior, z = 4 x. Pr cd x [, ], el áre de l sección generd es A(x) = π( 4 x ) = π(4 x ), con lo que el volumen será )] V (S) = π (4 x ) dx = π (4x x3 = π = 4 3 π3, f (x) dx. como y símos. Oservciones 95.- Análogmente, si tenemos un función x = f(y) y hcemos rotr su gráfic lrededor del eje de ordends, el volumen del sólido será V (S) = π donde c y d son los extremos de vrición de y. d c f (y) dy. En el cso más generl, los volúmenes de los cuerpos engendrdos por l rotción de un figur limitd por ls curvs continus y = f(x), y = g(x) (donde g(x) f(x) ó f(x) g(x) ) y por ls rects x = e x = lrededor del eje de ciss es V (S) = π f (x) dx π g (x) dx = π ( ) f (x) g (x) dx. Not: Si sucede que g(x) f(x), l girr lrededor del eje de ciss l superficie comprendid entre ls gráfics, dee tenerse en cuent únicmente l superficie (por encim o por dejo del eje de giro) de myor rdio de giro, pues el volumen que engendr l girr l prte myor contiene l volumen engendrdo por l prte menor. Es decir, si g(x) f(x) se gir sólo l prte superior y si g(x) f(x) se gir únicmente l prte inferior. 4.3 Otrs plicciones 4.3. Longitudes de rcos L integrl definid se puede usr tmién pr encontrr l longitud de un curv dd por l gráfic de un función f(x) derivle y con derivd continu en [, ]. Definición 96.- Se f: [, ] I derivle y con derivd continu en [, ], entonces l longitud L de de l gráfic de f, está dd por L = + (f (x)) dx. Sin un justificción complet, est definición se otiene de lo siguiente: se P = { = x, x,..., x n = } un prtición del intervlo [, ] y denotemos por P xi = (x i, f(x i )) l punto correspondiente de l gráfic de f, entonces l longitud l líne poligonl, L(Q P ), formd por los n segmentos rectilineos, P xi P xi, que unen Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

6 55 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.3 Otrs plicciones P xi P xn P x P xi Fig. 4.. los puntos consecutivos de l gráfic es un proximción por defecto (l rect es más cort que el rco, ver figur nej) de l longitud de l curv, L(f). Es decir, n L(Q P ) = L ( ) n P xi P xi = (x i x i ) + ( f(x i ) f(x i ) ) L(f) Por el teorem del vlor medio de Lgrnge, en cd suintervlo [x i, x i ] existe un e i (x i, x i ) tl que f(x i ) f(x i ) = f (e i )(x i x i ), luego n L(Q P ) = (x i x i ) + ( f (e i )(x i x i ) ) n = + ( f (e i ) ) (xi x i ) 4. Pr prticiones más fins P P P se verific que L(Q p ) L(Q P ) L(Q P ) por lo que si tommos prticiones cd vez más fins se tendrá que L(Q P ) L(f). Por otr prte, l expresión finl de 4. es l sum de iemnn de l función g(x) = + (f (x)), en l prtición P y el conjunto E, es decir S(g, P, E) = n + (f (e i )) (x i x i ) = n + (f (e i )) x i. Y como f es continu en [, ], l función g es continu e integrle en [, ], de donde n S(g, P, E) = + (f (e i )) x i + (f (x)) dx. Ejemplo Determinr l longitud del rco de l gráfic de f(x) = x 3 sore el intervlo [, 4]. Solución: f es continu en [, 4] y f (x) = 3 x es tmién continu en [, 4], luego L = 4 + ( ) 4 3 x (4 + 9x) 3 dx = 4 + 9x dx = 7 ] 4 = Áre de un superficie de revolución Definición 97.- Se f: [, ] I con derivd continu en [, ], entonces el áre de l superficie engendrd por l rotción lrededor del eje de ciss del rco de curv f(x) entre x = y x =, se otiene de S = π f(x) + (f (x)) dx. Ejemplo Clculr el áre de l superficie esféric x + y + z = 4. Solución: L esfer es un superficie de revolución otenid l girr el rco de curv y = 4 x [, ]. Luego ( ) S = π 4 x x + dx = π dx = 6π. 4 x en el intervlo Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

7 56 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.4 Ejercicios 4.4 Ejercicios 4.84 Hllr el áre de l figur limitd por l curv y = x(x )(x ) y el eje de ciss Pror que el áre encerrdo por l curv f(x) = px n, con x [, ], p I y n IN es f() n Clculr el áre de l figur limitd por l curv y = x 3, l rect y = 8, y el eje OY Clculr el áre de l figur limitd por l curv y 3 y + = x, l rect x = 8, y el eje OX Hllr el áre encerrdo por l elipse x + y = Hllr el áre de l figur comprendid entre ls práols y = x, y = x, y l rect y = x. 4.9 Clculr el áre de ls dos prtes en que l práol y = x divide l círculo x + y = Clculr el áre de l figur limitd por l hipérol x y = y l rect x =. 4.9 Clculr el áre de cd un de ls prtes en que ls curvs y = x y x = y dividen l círculo x + y Clculr el áre limitd por ls curvs f(x) = ex +e x y g(x) = (x+) +) cundo x [, ] Clculr el áre encerrd por l curv y = x + rcsen x y el eje de ciss. (Not: Estudir el dominio y el signo de l función.) 4.95 L curv que prece en l figur de l derech, llmd stroide, viene dd por l ecución x 3 + y 3 = 3 Hllr el áre encerrd por l stroide. (Not: Se sugiere el cmio x = sen 3 t ó x = cos 3 t.) 4.96 Clculr el áre de l figur limitd por l curv y = x ( x ) Clculr el áre de l figur comprendid dentro de l curv ( x 5 ) + ( y 4 ) 3 =. x 3 + y 3 = Compror usndo l integrción, que el volumen de un esfer de rdio r es 4 3 πr Hllr el volumen del elipsoide x + y + z c =. 4. Considerr el sólido V formdo l cortr el cilindro x + y por los plnos z = e y +z = (ver l figur de l derech), que nlíticmente viene descrito por: V = { (x, y, z) : x + y ; z y } Descriir y clculr el áre de ls secciones de V perpendiculres cd uno de los ejes. Clculr el volumen de V medinte ls secciones correspondientes dos de los ejes. 4. Hllr el volumen encerrdo por el proloide elíptico y 4 + z 6 = x y limitdo por el plno x=5. 4. Hllr el volumen del elipsoide, engendrdo por l rotción de l elipse x + y = lrededor del eje OX. 4.3 Hllr el volumen del cuerpo engendrdo l girr lrededor del eje OY, l prte de l práol y = x, que intercept l rect x = 3. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

8 57 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.4 Ejercicios 4.4 Hllr volumen del toro engendrdo por l rotción del círculo (x ) + y, con >, lrededor del eje OY. 4.5 L rect x = divide l círculo (x ) + y 4 en dos prtes. ) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect y = l prte de myor áre. ) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de myor áre. c) Clculr el volumen generdo l girr lrededor de l rect x = l prte de menor áre. 4.6 Considerr ls curvs y = sen(x) e y = sen(x) en el intervlo [, π]. ) Hllr el áre de l región encerrd entre ls dos curvs. ) Hllr el áre de cd uno de los trozos en que l rect y = divide l región encerrd entre ls dos curvs. c) Si girmos ms curvs lrededor de l rect y =, cuál de ls dos engendrrá myor volumen? 4.7 Hllr el volumen de l prte del hiperoloide de un hoj S = { x + y z c ; z h}. 4.8 Hllr el volumen del cono elíptico recto, de se un elipse de semiejes y y cuy ltur es h. 4.9 Hllr el volumen del cuerpo limitdo por l superficies de los cilindros prólicos z = x y z = y (ver figur de l derech) prtir de ls áres formds l seccionr el cuerpo por plnos prlelos l plno z =. 4. Hllr el volumen del cuerpo limitdo por los cilindros: x + z = e y + z =. 4. Clculr el volumen de cd un de ls prtes en que qued dividido un cilindro circulr recto de rdio y de ltur 8 por un plno que, conteniendo un diámetro de un de ls ses, es tngente l otr se. 4. Sore ls cuerds de l stroide x 3 +y 3 = 3, prlels l eje OX, se hn construido unos cudrdos, cuyos ldos son igules ls longitudes de ls cuerds y los plnos en que se encuentrn son perpendiculres l plno XY. Hllr el volumen del cuerpo que formn estos cudrdos. 4.3 El plno de un triángulo móvil permnece perpendiculr l diámetro fijo de un círculo de rdio. L se del triángulo es l cuerd correspondiente de dicho círculo, mientrs que su vértice resl por un rect prlel l diámetro fijo que se encuentr un distnci h del plno del círculo. Hllr el volumen del cuerpo (llmdo conoide, ver figur nej) engendrdo por el movimiento de este triángulo desde un extremo del diámetro hst el otro. 4.4 Un círculo deformle se desplz prlelmente l plno XZ de tl form, que uno de los puntos de su circunferenci descns sore el eje OY y el centro recorre l elipse x + y =. Hllr el volumen del cuerpo engendrdo por el desplzmiento de dicho círculo. 4.5 Se S el recinto del plno limitdo por l práol y = 4 x y el eje de sciss. Pr cd p > considermos los dos recintos en que l práol y = p x divide S, A(p) = {(x, y) S : y p x } y B(p) = {(x, y) S : y p x }. ) Hllr p pr que ls áres de A(p) y B(p) sen igules. ) Hllr p pr que l girr A(p) y B(p) lrededor del eje de ordends otengmos sólidos de igul volumen. 4.6 Hllr el perímetro de uno de los triángulos curvilíneos limitdo por el eje de sciss y ls curvs y = ln cos x e y = ln sen x. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

9 58 Mtemátics I : Cálculo integrl en I 4.4 Ejercicios 4.7 Hllr l longitud del rco y = rcsen(e x ) desde x = hst x =. 4.8 Clculr l longitud del rco de l curv x = ln(sec y), comprendido entre y = e y = π Hllr el áre de l superficie del toro engendrdo por l rotción de l circunferenci (x ) + y =, con >, lrededor del eje OY. Prof: José Antonio Ai Vin I.T.I. en Electricidd

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