Calculamos los vértices del recinto convexo, resolviendo las ecuaciones las rectas de dos en dos.

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (2 putos) Dibuje el recito del plao limitado defiido por las iecuacioes: 5x + y 5; 9y 2x 0; x + 2y 2; x 0 y determie sus vértices. (1puto) Determie, e ese recito, los putos dode la fució F(x,y) = 6x + y 3 toma los valores máximo y míimo. Solució y Dibuje el recito del plao limitado defiido por las iecuacioes: 5x + y 5; 9y 2x 0; x + 2y 2; x 0 y determie sus vértices. Determie, e ese recito, los putos dode la fució F(x,y) = 6x + y 3 toma los valores máximo y míimo. Fució Objetivo F(x,y) = 6x + y 3. Las desigualdades 5x + y 5; 9y 2x 0; x + 2y 2; x 0, las trasformamos e igualdades, y ya sus gráficas so rectas, 5x + y = 5; 9y 2x = 0; x + 2y = 2; x = 0. Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -5x + 5 ; y = 2x/9; y = -x + 1; x = 0.. Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito covexo limitado por las iecuacioes, que será la regió factible; e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito covexo, resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 0 e y = -x+1, teemos y = 1, y el puto de corte es A(0,1). De y = -x+1 e y = -5x+5, teemos -x+1 = -5x+5, luego -x+2 = -10x + 10, es decir 9x = 8, por tato x=8/9 e y = -(8/9)+1 = 5/9, y el puto de corte es B(8/9,5/9). De y = -5x+5 y x = 0, teemos y = 5, y el puto de corte es C(0,5). Vemos que el polígoo covexo cerrado tiee por vértices los putos: A(0,1), B(8/9,5/9) y C(0,5). Calculemos el máximo y el míimo de la fució F(x,y) = 6x + y - 3 e dicha regió covexa. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada covexa, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(0,1), B(8/9,5/9) y C(0,5). E el caso de que coicida e dos vértices cosecutivos la solució es todo el segmeto que los ue. F(0,1) = 6(0) + 1(1) - 3 = -2; F(8/9,5/9) = 6(8/9) + 1(5/9) - 3 = 26/9 2 89; F(2,7) = 6(0) + 1(5) - 3 = 2; Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 26/9 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e los vértices B(8/9,5/9), y el míimo absoluto de la fució F e la regió es -2 (el meor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(0,1). EJERCICIO 2_A (3 putos) El beeficio de ua empresa viee dado por la fució f(x) = (225) + 20x - (1)x 2 dode x 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez represeta el gasto e publicidad. (0 5 putos) Calcule el gasto x a partir del cual la empresa o obtiee beeficios. (1 puto) Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto de esa fució. c) (1 puto) Represete gráficamete la fució f. d) (0 5 putos) Calcule el valor de x que produce máximo beeficio. Cuáto es ese beeficio máximo? Solució,, c) y d) El beeficio de ua empresa viee dado por la fució f(x) = (225) + 20x - (1)x 2 dode x represeta el gasto e publicidad. Calcule el gasto x a partir del cual la empresa o obtiee beeficios. Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto de esa fució. Represete gráficamete la fució f. Calcule el valor de x que produce máximo beeficio. Cuáto es ese beeficio máximo? c) La gráfica de f(x) = (225) + 20x - (1)x 2, es ua parábola que tiee las ramas hacia abajo ( ), porque el º que multiplica a x 2 es egativo; abscisa de su vértice V e f (x) = 0 = 20 - x x = 20, es decir su vértice es V(20, f(20)) = V(20,625) = V(20,312 5). Sus cortes co los ejes so: Para x = 0, puto (0,225) = (112 5,0). Para f(x) = 0 = (225) + 20x - (1)x 2 x 40 ± ± 50-40x = 0 x = =, de dode x = -5 y x = 45 putos (-5,0) y (45,0). U esbozo de la fució es: Como x idica gasto se supoe que x > 0, por tato el beeficio es ulo co x 45, pues a partir de ese mometo f(x) < 0. Como es ua parábola que tiee las ramas hacia abajo ( ), la fució es estrictamete creciete hasta el vértice y estrictamete decreciete a partir del vértice, es decir: f(x) es estrictamete creciete ( ) e (0,20) y estrictamete decreciete ( ) e (20,45). Sólo os hemos referido a los valores de x e los cuales f(x) 0. d) Calcule el valor de x que produce máximo beeficio. Cuáto es ese beeficio máximo? Cómo es ua parábola co las ramas hacia abajo ( ) el máximo se ecuetra e el vértice V(20,312 5), es decir el máximo beeficio se produce para x = 20, y dicho beeficio es EJERCICIO 3_A Parte I E u cojuto de estudiates el 15% estudia alemá, el 30% estudia fracés y el 10% ambas materias. (1 puto) So idepedietes los sucesos estudiar alemá y estudiar fracés? Justifique la respuesta. (1 puto) Si se elige u estudiate al azar, calcule la probabilidad de que o estudie i fracés i alemá. 2

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez Solució E u cojuto de estudiates el 15% estudia alemá, el 30% estudia fracés y el 10% ambas materias. So idepedietes los sucesos estudiar alemá y estudiar fracés? Justifique la respuesta. Llamamos A y B a los sucesos estudia alemá y estudia fracés. Del problema teemos: p(a) = 15% = 0 15, p(b) = 30% = 0 3, p(ambas) = p(a B) = 10% = ( ) Sabemos que p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B); p(a/b) = p A B ; p(b) = 1 - p(b C ); A y B so p(b) idepedietes si p(a B) = p(a) p(b); p(a C ) = 1 p(a) p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B); p(a B C ) = p(a) - p(a B). Me pide so idepedietes A y B?. Como p(a B) = 0 10 p(a) p(b) = = 0 045, A y B o so idepedietes. Si se elige u estudiate al azar, calcule la probabilidad de que o estudie i fracés i alemá. Me pide p(a C B C ) Teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = 0 35 p(a C B C ) = {Ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = = Luego p(a C B C ) = EJERCICIO 3_A Parte II A 400 persoas elegidas al azar se les ha pregutado su gasto aual e libros, obteiédose ua catidad media de ptas. Co idepedecia de esta muestra se sabe que la desviació típica de la iversió e libros e la població es de 4000 ptas. (1 puto) Halle u itervalo de cofiaza al 90% y cetrado, para la media poblacioal de esta iversió. (1 puto) Qué tamaño muestral sería ecesario para que el correspodiete itervalo de cofiaza del apartado aterior fuese (21904, 22096)? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. A 400 persoas elegidas al azar se les ha pregutado su gasto aual e libros, obteiédose ua catidad media de ptas. Co idepedecia de esta muestra se sabe que la desviació típica de la iversió e libros e la població es de 4000 ptas. 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez Halle u itervalo de cofiaza al 90% y cetrado, para la media poblacioal de esta iversió. Datos del problema: = 400, x = 22000, = 4000; ivel de cofiaza = 90% = 0 90 = 1 - α, de dode α = = 0 10, es decir α = 0 10 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad 0 95 o viee, las más próximas so y que correspode a 1 64 y 1 65, por tato z 1-α es la media es decir z 1-α = ( ) = 1 645, y el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = '645, ' = (21671,22329). Qué tamaño muestral sería ecesario para que el correspodiete itervalo de cofiaza del apartado aterior fuese (21904, 22096)? Datos del problema: Itervalo = (a, = (21904, 22096), = 4000, z 1-α = De la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α, teemos que ( ) = 2 1'645, es decir = (13160/192) , por tato = OPCIÓN B EJERCICIO 1_B 2 3 Sea las matrices A = y B = -1 2 (2 putos) Resuelva la ecuació matricial: A X + 2B = A t, siedo A t la matriz traspuesta de A. (1 puto) Calcule la matriz A Solució 2 3 Sea las matrices A = y B = -1 2 Resuelva la ecuació matricial: A X + 2B = A t, siedo A t la matriz traspuesta de A. De A X + 2B = A t, teemos A X = A t + 2B = C Como A = = 1 0 = 1 0, existe su matriz iversa A-1 = = (1/ A ) Adj(A t ). Multiplicado la expresió A X = C por la izquierda por A -1 teemos: A A -1 X = A -1 C I 2 X = A -1 C X = A -1 C C = A t B = - 2 = - = A t 1 0 = ; Adj(A t 1-1 ) = ; A = (1/1) = ; 1 1 Por tato X = A -1 C = Calcule la matriz A A = ; A = ; A = ; A = ; por tato A =. Correctamete tedríamos que usar el 0 1 método de demostració de iducció. EJERCICIO 2_B 2x + 1 si x < 2 Sea la fució f(x) = 2 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez (1 75 putos) Represétela gráficamete y estudie su cotiuidad y derivabilidad. (0 75 putos) Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto y los extremos relativos. c) (0 5 putos) Los extremos hallados ateriormete, so putos dode f (x) = 0? Razoe la respuesta. Solució 2x + 1 si x < 2 Sea la fució f(x) = 2 Represétela gráficamete y estudie su cotiuidad y derivabilidad. La gráfica de 2x + 1 (x < 2) es u segmeto, por tato co dos putos es suficiete para dibujarlo, el (2 -,5) y el (0, 1). La gráfica de x 2-8x + 17 (x 2) es u trozo de parábola, co las ramas hacia arriba ( ), pues el º que multiplica a x 2 es positivo, abscisa del vértice e (x 2-8x + 17) = 0 = 2x - 8, de dode x = 4, luego vértice e V(4,f(4)) = V(4,1). Los putos de corte so (0,17), o está e su domiio, y de x 2-8x+17= 0, 2 8 ± ± -4 teemos x = =, que o tiee solucioes reales luego o corta al eje de las X. Le damos u par de valores, si es posible a izquierda y derecha del vértice, el (2,5) y el (5,2). Teiedo e cueta la aterior u esbozo de la gráfica es: De la gráfica observamos f(x) que es cotiua e R y derivable e R {2}, o obstate vamos a verlo mejor aalíticamete Cotiuidad. 2x + 1 si x < 2 f(x) = 2 2x + 1 es cotiua y derivable e R, e particular e x < 2. x 2-8x + 17 es cotiua y derivable e R, e particular e x > 2. Veamos la cotiuidad e x = 2. f(x) es cotiua e x = 2 si f(2) = lim f(x) = x 2 f(0) = lim f(x) = x 2 + Derivabilidad f(x) = 2 lim (2x + 1) = = 5; x 2 lim f(x) = x 2 lim f(x). x 2+ lim (x 2-8x + 17) = 5, por tato f(x) es cotiua e x = 2, es decir es cotiua e R. x 2 + 2x + 1 si x < 2 ; f (x) = Veamos la derivada e x = 2. f(x) es derivable e x = 2 si f (2+) = f (2-), es decir la derivad lim f (x) = lim (2) = 2; x 2 x 2 lim f (x) = x 0+ 2 si x < 2 2x - 8 si x > 2 lim f (x) = x 2 lim f (x). (Estamos viedo la cotiuidad de x 2 + lim (2x - 8) = 4-8 = -4, como f (2-) = 2 f (2+) = -4, f(x) o es x 0+ derivable e x = 2, es decir es derivable e R {2}. Determie los itervalos de crecimieto y decrecimieto y los extremos relativos. 5

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez Observado la gráfica vemos que f(x) es estrictamete creciete ( ) e (-,2) (4,+ ). f(x) es estrictamete decreciete ( ) e (2,4). Por defiició e x = 2 hay u máximo relativo que vale f(2) = 5. Por defiició e x = 4 hay u míimo relativo que vale f(4) = 1. c) Los extremos hallados ateriormete, so putos dode f (x) = 0? Razoe la respuesta. Observado la gráfica vemos que tiee u máximo relativo e x = 2 y que vale f(2) = 5, y u míimo relativo e el vértice de la parábola, es decir e el puto V(4,1). E el puto x = 2 hemos visto que a fució o era derivable, por tato o existe f (2) y por supuesto f (2) o vale cero. E el vértice V(4,1), vimos para calcularlo que f (4) = 0. EJERCICIO 3_B Parte I U ladró, al huir de u policía, puede hacerlo por las calles A, B ó C, co probabilidades p(a) = 0 25, p(b) = 0 6 y p(c) = 0 15, respectivamete. La probabilidad de ser alcazado si huye por la calle A es 0 4, si huye por la calle B es 0 5, y si huye por la calle C es 0 6. (1 puto) Calcule la probabilidad de que el policía alcace al ladró. (1 puto) Si el ladró ha sido alcazado, cuál es la probabilidad de que haya sido e la calle A? Solució U ladró, al huir de u policía, puede hacerlo por las calles A, B ó C, co probabilidades p(a) = 0 25, p(b) = 0 6 y p(c) = 0 15, respectivamete. La probabilidad de ser alcazado si huye por la calle A es 0 4, si huye por la calle B es 0 5, y si huye por la calle C es 0 6. Calcule la probabilidad de que el policía alcace al ladró. Llamemos A, B, C, Al y Al C, a los sucesos siguietes, huir por la calle A, huir por la calle B, huir por la calle C, ser alcazado y o ser alcazado, respectivamete. Datos del problema p(a) = 0 25, p(b) = 0 6, p(c) = 0 15, p(al/a) = 0 4, p(al/b) = 0 5, p(al/c) = 0 6,.. Todo esto se ve mejor e el siguiete diagrama de árbol (completamos las probabilidades sabiedo que la suma de las que parte de u mismo odo vale 1). Aplicado el Teorema de la probabilidad Total p(alcazar al ladró) = p(al) = p(a) p(al/a) + p(b) p(al/b) + p(c) p(al/c) = = (0 25) (0 4) + (0 6) (0 5) + (0 15) (0 6) = 49/100 = Si el ladró ha sido alcazado, cuál es la probabilidad de que haya sido e la calle A? Aplicado la Fórmula de Bayes p(a Al) p(a) p(p/a) p(a/al) = = p(al) p(p/a) = (0'25) (0'4) 0'49 = 10/ EJERCICIO 3_B Parte II Ua máquia que evasa aceite e garrafas de 5 litros está ajustada de maera que la catidad que llea sigue ua ley ormal co desviació típica = 0 15 litros. (1 5 putos) Calcule u itervalo de cofiaza del 95% para la media del coteido de las garrafas que llea esta máquia sabiedo que ua muestra aleatoria de 36 de ellas dio u coteido medio de 4 97 litros. 6

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 2000 (Modelo 1) Solució Germá-Jesús Rubio Lua Los Exámees del año 2000 me los ha proporcioado D. José Gallegos Ferádez (0 5 putos) Cotiee las garrafas 5 litros de aceite? Solució Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, ) o X N(µ, ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α,x + z1 α = (a, dode z 1-α y z α = - z 1-α es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α ) = 1 - α Tambié sabemos que la media es x = (a +, el error máximo de la estimació es E = z1 α, para el itervalo de la media. Pero la amplitud del itervalo es b a = 2 z1 α = 2 E, de dode E = (b, z 1- α. 2 z 1- α. por tato el tamaño míimo de la muestra es = = E b - a. Ua máquia que evasa aceite e garrafas de 5 litros está ajustada de maera que la catidad que llea sigue ua ley ormal co desviació típica = 0 15 litros. Calcule u itervalo de cofiaza del 95% para la media del coteido de las garrafas que llea esta máquia sabiedo que ua muestra aleatoria de 36 de ellas dio u coteido medio de 4 97 litros. Datos del problema: = 0 15; = 36, x = 4 97, ivel de cofiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dode α = 0 05, es decir α = 0 05 = De p(z z 1-α ) = 1 - α = = Mirado e las tablas de la N(0,1) vemos que la probabilidad viee, y que correspode a z 1-α = 1 96, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: I.C.(µ) = x z 1 α,x + z1 α = 0'15 0'15 4'97-1'96,4'97 + 1'96 = (4 921, 5 019) Cotiee las garrafas 5 litros de aceite? Como el 5 está e el itervalo (4 921, 5 019), podemos decir que las garrafas cotiee 5 litros de aceite, co u ivel de cofiaza del 95%. 7

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