OPTIMIZACIÓN DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS EWMA Y MEWMA MEDIANTE ALGORITMOS GENÉTICOS

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1 27 Congeso Naconal de Estadístca e Investgacón Opeatva Lleda, 8- de abl de 2003 OPTIMIZACIÓN DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS EWMA Y MEWMA MEDIANTE ALGORITMOS GENÉTICOS J.C. Gacía-Díaz, F. Apas Depatamento de Estadístca e Investgacón Opeatva Aplcadas y Caldad Unvesdad Poltécnca de Valenca, Valenca, España E-mal: juagad@eo.upv.es RESUMEN Los gáfcos de contol EWMA y multvaante EWMA (MEWMA) pueden se aplcados paa detecta cambos pequeños de foma efcente en el contol estadístco de pocesos. En este tabajo se pesenta un softwae desaollado paa el entono Wndows paa el dseño óptmo de los paámetos de los gáfcos EWMA y MEWMA, cuando se desea tene una poteccón conta un cambo de tamaño especfcado. Se han utlzado algotmos genétcos paa lleva a cabo esa optmzacón. Palabas y fases clave: SPC; gáfco EWMA; gáfco MEWMA; optmzacón, algotmos genétcos. Clasfcacón AMS: 62P30.. Intoduccón En la actualdad el uso de gáfcos de contol paa la montozacón de una únca caacteístca de caldad de tpo contnuo se lleva acabo utlzando alguno de los gáfcos dsponbles: Shewhat, CUSUM, EWMA, etc. [Montgomey (200)]. En algunas stuacones puede esulta necesao el contol smultáneo de dos o más caacteístcas de caldad coelaconadas, sendo en este caso posble dcho contol medante el SPC multvaante utlzando gáfcos multvaantes como el T 2 de Hotellng, MCUSUM y el MEWMA [Hotellng (947), Cose (988), Pgnatello y Runge (990), Lowy et al (992), Lowy y Montgomey (995), Apas y Hao (200), Apas y Gacía (200)]. Algunos autoes han pesentado tablas que guían al usuao paa el dseño óptmo de los gáfcos EWMA y MEWMA cuando se quee detecta un cambo de magntud

2 detemnada. Al poceso anteo lo denomnamos optmzacón en un punto [Cowde (989), Montgomey (200)]. La pncpal desventaja es que estas tablas son ncompletas con lo que su utldad páctca puede se lmtada. El objetvo del pesente tabajo es desaolla un softwae amgable que pemta al usuao detemna los paámetos óptmos de los gáfcos EWMA y MEWMA paa todas las posbles stuacones. La estuctua del tabajo es la sguente: en la segunda seccón se pesentan los gáfcos de medas móvles pondeadas exponencalmente EWMA y MEWMA. En la tecea seccón se defne el concepto de dseño óptmo en un punto y. En la seccón cuata se pesentan los algotmos genétcos como heamenta de optmzacón y el softwae desaollado paa la optmzacón en un punto de los gáfcos EWMA y MEWMA. En la seccón qunta se exponen las conclusones de este tabajo. 2. Los gáfcos de contol EWMA y MEWMA 2. Gáfco EWMA El gáfco EWMA (Exponentally Weghtted Movng-Avaage) fue ntoducdo po Robets (959) como una buena altenatva al gáfco de Shewhat en la deteccón de cambos pequeños. Hay que ecoda que el gáfco de Shewhat sólo tene en cuenta la nfomacón actual del poceso sendo po tanto, nsensble a cambos de pequeña magntud, menoes a 2 σ con tamaños de muesta del oden 4 o 5. El gáfco EWMA tene en cuenta la nfomacón actual y la del pasado sendo po tanto efcente en la deteccón de dchos cambos pequeños [Montgomey (200)]. En este caso el estadístco a gafca Z, a compaa con los límtes de contol en el nstante, se obtene como una meda pondeada según el paámeto ente el valo obsevado el pedcho Z -, según la expesón: X y Z () = X + ( ) Z Algunos autoes [Hunte (986); Cowde (989); Lucas y Saccucc (990)] abodan en sus tabajos el estudo de las popedades de este gáfco en el contol estadístco de pocesos en la ndusta. Analcemos el dseño del gáfco. S la vaable de caldad a contola se dstbuye según una N µ 0, σ ) cuando el poceso se encuenta bajo contol y las obsevacones ( 0 o medas muestales son ndependentes, entonces el estadístco Z se dstbuye según una nomal 2

3 N( µ 0 σ0, n ) 2 po tanto, los límtes de contol del gáfco EWMA se calculan medante la expesón apoxmada: µ 0 ± σ0 L n 2 donde L es selecconado al gual que paa tene un ARL bajo contol detemnado y n es el tamaño del subgupo. Un valo típco de L es 3, sguendo el cteo 3σ, del gáfco de Shewhat. 2.2 Gáfco MEWMA A La pmea efeenca sobe el EWMA multvaante (MEWMA) se debe a Lowy, Woodall, Champ y Rgdon (992) donde defnen el MEWMA como una extensón del EWMA unvaante. El gáfco de contol multvaante T 2 de Hotellng sólo tene en cuenta la nfomacón actual del poceso, mentas que el gáfco MEWMA tene además en cuenta la nfomacón del pasado, sendo po ello más potente paa detecta cambos pequeños. En el caso unvaante teníamos úncamente una vaable o caacteístca de caldad a contola. En el caso multvaante estamos nteesados en el contol smultáneo de p vaables coelaconadas ente sí. En este caso X, X 2..., son vectoes de longtud p que epesentan las medas muestales tomadas del poceso. Supongamos que los vectoes aleatoos X son ndependentes y están déntcamente dstbudos según una nomal p-vaante de meda el vecto µ y matz de covaanzas Σ, X d ( µ N p, Σ). El poceso estaá bajo contol s µ = µ 0 y fuea de contol en caso contao. Se defne el vecto Z como Z = X + ( ) Z, (2) tomando como vecto de patda Z 0 = µ 0 ya que s el poceso está bajo contol E ( Z ) = µ 0 y la matz de covaanzas de Z es cuya expesón se detalla más Z adelante. X es el vecto con los datos muestales y es un escala cuyo valo se encuenta ente 0 y. Cuando = obtenemos el gáfco T 2 de Hotellng. El estadístco que se gafca T 2 se defne como 3

4 T 2 v = Z ' Z (3) Z donde Z es la nvesa de la matz de vaanzas-covaanzas de Z. La matz de covaanzas de Z es expesada medante la ecuacón: Z = 2 [ ( ) ] 2 El gáfco muesta una señal de fuea de contol cuando T 2 > h, sendo h el límte de contol elegdo paa consegu un valo detemnado de ARL cuando el poceso está bajo contol (ARLo). 3. Dseño óptmo en un punto El pocedmento de dseño óptmo en un punto consstá en especfca el ARL bajo contol deseado (ARLo), y la magntud del cambo d en el poceso que queemos detecta selecconando entonces la combnacón (, k) que popoconen el mínmo ARL fuea de contol (ARLd) paa un númeo de vaables a contola dado y un tamaño de muesta detemnado. En el caso unvaante k es el paámeto L y en el caso multvaante k es el paámeto h. La paeja (, k) obtenda es óptma en el sentdo que paa una pobabldad de eo tpo I fjado (ARLo) poduce la meno pobabldad eo tpo II (ARLd) posble paa un cambo especfcado 4. Optmzacón medante Algotmos Genétcos Los Algotmos Genétcos (AG) son algotmos de optmzacón basados en la evolucón natual de las especes [ Holland (975), Goldbeg (989)]. La búsqueda del óptmo global en un poblema de optmzacón se ealza al pasa de una poblacón ncal (geneacón) de ndvduos a ota poblacón nueva (geneacón sguente) medante la aplcacón de opeadoes genétcos. En la poblacón ncal cada ndvduo epesenta una solucón posble al poblema de optmzacón, es dec, una poblacón de ndvduos consste en un conjunto de posbles solucones del poblema a optmza. Los fundamentos, mplementacón y aplcacones de los AG pueden seguse en Bäck (996), Chambes (995) y Mchalewcz (996). El funconamento geneal de un AG es el sguente: º Genea una poblacón ncal de ndvduos 2º Evalua todos los ndvduos de la poblacón ncal 3º mentas no se cumpla la condcón de paada del algotmo hace: 3. Seleccón poblacón 4

5 3.2 Cuce 3.3 Mutacón poblacón 3.4 Evaluacón poblacón 4. Softwae desaollado El algotmo genétco que fue desaollado depende de una see de factoes comentados de foma geneal anteomente. El AG fue pogamado en entono Wndows pocedéndose a ealza un dseño de expementos paa obtene las condcones opeatvas óptmas en que puede funcona el algotmo. En la fgua puede obsevase la caátula de entadas de datos del softwae desaollado. Fgua : Pogama de optmzacón de gáfcos de contol Se planteó un dseño expemental consstente en un plan factoal equlbado paa detemna las condcones opeatvas óptmas tanto paa el caso del gáfco Ewma como paa el gáfco Mewma. 4.2 Valdacón del softwae La valdacón del pogama se hzo medante la compaacón de los esultados obtendos con el pogama y los valoes de las tablas publcadas paa el EWMA y MEWMA comentadas anteomente. 5

6 En el caso de la optmzacón en un punto del gáfco EWMA se utlzaon las tablas dadas po Lucas y Saccucc (990). Los esultados obtendos con el pogama pueden vese en la tabla. En dcha tabla se compaan los esultados paa ARLo = 0 y 000 y paa cambos d = 0.5,, 2 y 3 apaecendo los pesos de la ecuacón de ftness utlzados. Se obseva que a medda que aumenta el cambo a detecta aumenta el paámeto tal y como apuntaban Lucas y Saccucc (990). Como se puede obseva los esultados obtendos con el pogama son cas en todos los casos mejoes que los pesentados en tablas. La valdacón del pogama paa la optmzacón en un punto del gáfco MEWMA se ealzó utlzando las tablas dadas po Pabhu y Runge (997) y sguendo un poceso análogo al EWMA. La compaacón ente valoes de tablas y esultados del pogama, paa el caso de p = 4 y n =, puede vese en la tablas 2. Se obseva en dchas tablas que a medda que aumenta el tamaño del cambo a detecta aumenta el paámeto del gáfco MEWMA tal y como apuntaban Lowy et al (992) y Pabhu y Runge (997). d 0.5 ARL d L w ARL d L w 2 ARL d L w 3 ARL d L w ARLo Tablas Pogama Tablas Pogama Tabla : Valdacón gáfco Ewma (p = ). 6

7 d 0.5 ARL d h w ARL d h w.5 ARL d h w 2 ARL d h w 3 ARL d h w ARLo Tablas (p = 4) Pogama Tablas (p = 4) Pogama Tabla 2: Valdacón gáfco Mewma (p = 4). 4.3 Ejemplo de aplcacón Supongamos que se desea contola smultáneamente 4 caacteístcas de caldad coelaconadas en un ceto poceso ndustal. Cuando el poceso se encuenta bajo contol el vecto de medas y la matz de covaanzas son 7

8 7 3 µ 0 = ; Σ = El tamaño de muesta utlzado es n =. Deseamos tene la mejo poteccón conta un cambo en la dstanca de mahalanobs gual a, d =. Po ejemplo, el sguente vecto de medas supone un cambo d = con especto a µ µ = Se desea un valo de ARL bajo contol de 200. En estas condcones, p = 4, n =, d = y ARLo = 200 se calculaon los valoes óptmos paa el gáfco MEWMA utlzando el pogama desaollado obtenéndose los sguentes valoes: = 0.2, h = 3.08 y ARL d = En la tabla 3 podemos obseva una compaacón ente los gáfcos MEWMA obtendo, el MCUSUM y el T 2 de Hotellng paa las msmas condcones. Gáfco de contol ARL d T 2 de Hotellng 60.9 MCUSUM ( k = 0.5, h 2 = 8.5) 2.2 MEWMA( = 0.2, h = 3.08) 2.04 Tabla 3: Compaacón potenca de los gáfcos Podemos compoba como el gáfco más efcente paa detecta un cambo d = es pecsamente el MEWMA. 5. Conclusones A la vsta de los esultados mostados en este tabajo podemos extae las sguentes conclusones: La técnca de los algotmos genétcos ha esultado se un buen método de optmzacón de los gáfcos de contol EWMA y MEWMA. Se ha desaollado un softwae en entono Wndows de uso muy sencllo que pemte obtene los paámetos óptmos de estos gáfcos en cualque stuacón, supeando las posbldades que hasta ahoa ofecían las tablas dseñadas con este popósto. 8

9 A pat de ahoa se aben nuevas posbldades en la optmzacón de gáfcos de contol, pudendo emplease los algotmos genétcos en poblemas de optmzacón más complcados. Refeencas Apas, F. y Gacía, J.C. (200): Aumento de la potenca del gáfco de contol multvaante T 2 de Hotellng utlzando señales adconales de falta de contol. Estadístca Española. 43, nº48, 7-88 Apas, F y Hao,C. L.,. (200): Hotellng s T 2 contol chat wth vaable samplng ntevals. Intenatonal Jounal of Poducton Reseach, 4, Beasley, D., Bull, D., Matn, R. (993): An ovevew of genetc algothms: Pat. Fundamentals. Unvesty Computng. 5, Beasley, D., Bull, D., Matn, R. (993): An ovevew of genetc algothms: Pat 2. Reseach topcs. Unvesty Computng. 5, Chambes, L.D. (995). Pactcal Handboock of Genetc Algothms: Aplcatons, Vol.. CRC Pess. Cose, R.B., (988): Multvaate genealzatons of cumulatve sum qualty contol schemes. Technometcs. 30, Cowde, S.V. (989) Desgn of Exponentally Weghted Movng Aveage Schemes. Jounal of Qualty Technology. 2, Bäck, T. (996): Evolutonay algothms n theoy and pactce. Evolutonay stateges, evolutonay pogamng, genetcs algothms. New Yok: Oxfod Unvesty Pess. Goldbeg, D.E. (989): Genetc Algothms n Seach, Optmzaton, and Machne Leanng. Addson Wesley. Holland, J., (975): Adaptaton n natual and atfcal systems. Ann Abo: Unvesty of Mchgan Pess. Hotellng, H., (947): Multvaate Qualty Contol, n Technques of Statstcal Analyss. Eds. C. Esenhat, M. Hastay y W. A. Walls, McGaw-Hll Hunte J.S., (986): The exponentally weghted movng aveage. Jounal of Qualty Technology. 8, Lowy, C.A., Woodall, W. H., Champ, C. W. y Rgdon, S.E., (992): A Multvaate Exponentally Weghted Movng Aveage Contol Chat. Technometcs. 34, Lowy, C.A., y Montgomey, D.C.,(995): A evew of multvaate contol chats. I I E Tansactons. 27, Lucas, J.M. y Saccucc, M.S. (990): Exponentally Weghted Movng Aveage Contol Schemes: Popetes and Enhancement,s. Technometcs. 32, -29. Lucas, J.M. y Saccucc, M.S. (990): Aveage Run Lengths fo Exponentally Weghted Movng Aveage Contol Schemes Usng the Makov Chan Appoach. Jounal of Qualty Technology, 22, Mchalewcz, Z., (996). Genetc algothms + data stuctues = evoluton pogamns, 3. Beln: spnge. 9

10 Molnau, W.E., Runge, G. C., Montgomey, D.C., Sknne, K.R. y Pabhu, S.S., (200): A pogam fo ARL calculaton fo multvaate EWMA chat. Jounal of Qualty Technology. 33, Montgomey, D.C., (200).Intoducton to statstcal qualty contol.4end edn, John Wley, New Yok. Pgnatello, J. J., J. y Runge, G. C., (990): Compasons of multvaate CUSUM chats. Jounal of Qualty Technology. 22, Pabhu, S.S. y Runge, G.C., (996): A Makov chan model fo the multvaate exponentally weghted movng aveages contol chat. Jounal of the Amecam Statstcal Assocaton. 9, Pabhu, S.S. y Runge, G.C., (997): Desgnng a multvaate EWMA contol chat. Jounal of Qualty Technology. 29, 8-5. Saccucc, M.S. y Lucas, J.M. (990): Aveage Run lengths fo Exponentally Weghted Movng Aveage Contol Schemes Usng the Makov Chan appoach. Jounal of Qualty Technology. 22, Shewhat, W. A., (93): Economc Contol of Qualty of Manufactued Poduct. New Yok: D. Van Nostand Co., Inc. 0