Tema II Potencial eléctrico - Capacidad

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1 UNN Fcultd de Ingenieí Tem II Potencil eléctico - Cpcidd Integl cuvilíne del cmpo eléctico. Ciculción. Difeenci de potencil, potencil y función potencil. Supeficies y Línes euipotenciles. Uniddes. Gdiente de l función potencil. Potencil deido distiuciones discets y continus de cgs eléctics. Potencil y Cmpo de un dipolo. Osciloscopio de yos ctódicos. Cpcidd y cpcitoes. Cpcitoes plnos, cilíndicos y esféicos. Cálculos de sus Cpciddes. socición de cpcitoes en seie y en plelo. negí lmcend en un Cpcito. Densidd de enegí. Dieléctico. Polizción eléctic. Desplzmiento. Relción ente los vectoes, P y D. Índice Intoducción Sistems consevtivos... negí potencil eléctic... 3 negí potencil de un ptícul de pue en el cmpo de un cg puntul negí potencil de un ptícul de pue en el cmpo de vis cgs puntules Potencil eléctico... 8 Uniddes de potencil eléctico... 8 Potencil poducido po ptículs cgds Potencil poducido po un distiución continús de cg Difeenci de potencil... 9 Relción ente el cmpo eléctico y l difeenci de potencil.... Supeficies euipotenciles... Ots popieddes electoestátics de los conductoes... 4 Cpcidd y Cpcitoes - Intoducción... 5 Uniddes... 8 Condensdoes en seie y en plelo... 3 Condensdoes en seie Condensdoes en plelo... 4 negí eléctic en un condensdo... 5 Densidd de enegí de un cmpo eléctico Condensdo de plcs plels con dieléctico... 7 Dielécticos-Compotmiento de los átomos... 3 Los dielécticos y l ley de Guss Tes vectoes elécticos Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

2 UNN Fcultd de Ingenieí Intoducción Hst ho vimos ue el efecto de un distiución e cgs puede desciise usndo el concepto de cmpo eléctico poducido po es distiución. l cmpo eléctico est definido po l fuez eléctic, tmién lo es. F, po unidd de cg y como l fuez es un vecto, el cmpo e mos intoduci oto tipo de cmpo llmdo potencil eléctico o potencil, definimos el potencil como l enegí potencil po unidd de cg, y como l enegí es un escl, el potencil tmién lo seá. Deido ue es un escl, muchs veces en l técnic es ecomendle el uso de, en lug de. pti de uno siempe se puede otene el oto. L elción ente y es nálog l ue existe ente un fuezo consevtiv y l enegí potencil ue llev socid. Sistems consevtivos l igul ue en el estudio de l mecánico, esult útil con fecuenci zon en téminos del tjo elizdo po ls fuezs eléctics, y demás el concepto de enegí potencil constituye un impotnte yud p entende el compotmiento de ls cgs eléctics. L integl de líne o integl soe un tyectoi o cmino epesent un concepto muy impotnte en tems elciondos con el tjo ue eliz un fuez. n l figu siguiente vemos ue el tjo se puede clcul como: dw F cosαdl W B F cosαdl Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

3 UNN Fcultd de Ingenieí en el cul el cmino ecoido v desde el punt hst el punto B, en fom vectoil ued W B Fx α dl l integl en el cso del tjo se dee hce lo lgo de tod l tyectoi. Ls integles de líne y los conceptos de tjo son muy impotntes cundo se tj con sistems consevtivos. Se dice ue un cmpo es consevtivo poue el consev se consev l enegí socid con l posición. sí el tjo ue es necesio p move un cuepo es independiente del cmino seguido y demás podemos ecupe tod l enegí invetid pemitiendo ue el cuepo vuelv l punto de ptid. st enegí lmcend en vitud de l posición, se llm enegí potencil. l euisito p ue un sistem se consevtivo es pecismente ue l enegí potencil de un cuepo en el cmpo uede definid exclusivmente po su posición. ste euisito se cumple si el tjo exteio p move un cuepo de un punto oto es independiente del cmino seguido ente dos puntos. Solo con est condición seá único el tjo necesio p llev el cuepo de un posición detemind desde un punto de efeenci y po lo tnto solo en este cso uedá l enegí potencil definid unívocmente. mos ve ue culuie posile distiución espcil de cmpo eléctico deido cgs en eposo, constituye un cmpo consevtivo negí potencil eléctic Teniendo en cuent ue el potencil eléctico es l enegí potencil eléctic po unidd de cg, ntes de nliz el potencil eléctico, desollemos ls expesiones p l enegí potencil eléctic, ptimos de dos ses: el cmpo eléctico poducido po un cg puntul y el pincipio de supeposición. negí potencil de un ptícul de pue en el cmpo de un cg puntul. Considemos el tjo elizdo po l fuez eléctic cundo un ptícul de pue con cg se mueve en el cmpo cedo po ot cg puntul, el cmino es un co centdo en l cg puntul desde el punto hst el punto B Ing. tuo R. Cstño ño 8 3 de 4

4 UNN Fcultd de Ingenieí B dl L fuez eléctic ue ctú soe l ptícul F de pue es: W B Fxdl B xdl W B dl cos9 el tjo elizdo es nulo, p culuie ecoido cicul centdo en l cg puntul emos ho un situción simil l nteio, peo l cg sigue un cmino dil ente el punto y el punto B L fuez eléctic ue ctú soe l ptícul de pue es: W d dl d πε 4πε B F B W Fxdl dl d como W d 4 d 4πε B d cos xdl nlizmos un tece situción, ue es un cominción de los dos csos nteioes, según se ve el l figu: Ing. tuo R. Cstño ño 8 4 de 4

5 UNN Fcultd de Ingenieí L ptícul de pue se mueve ho lo lgo D del cmino BCD, el cmino es un co de cícu en B, es dil en BC y finlmente es oto co cículo en CD. C dl Po lo tnto el tjo elizdo po l fuez eléctic seá: W D Fxdl D xdl B W W ued: + 4 d d d c πε πε πε + + 4πε c d 4 como se nuln y c W πε 4 d Culuie cmino de fom iti puede se descompuesto en un supeposición sucesiv de peueños tmos diles más tmos de cos cicules centdos en l cg. De mne tl ue cundo l ptícul se muev de un punto hst un punto B, lo lgo de un cmino de fom iti, el tjo elizdo po l fuez eléctic en los tozos infinitesimles de co es ceo y el tjo totl es l sum de ls contiuciones de los tmos diles infinitesimles. L ide de enegí potencil, como fom de enegí socid l posición de los cuepos, está pesente tmién en los cmpos elécticos. sí, un cg negtiv situd en un punto P un distnci de ot cg centl positiv Q cumul en es posición un ciet enegí potencil, enegí ue podí liese si se dej en lietd, y ue se desplzí hci Q po efecto de l fuez tctiv. Situl de nuevo en l posición inicil supondí l elizción de un tjo en cont de l fuez tctiv ejecid po Q. ste tjo exteio ls fuezs del cmpo se inviete pecismente en ument su enegí potencil p y puede esciise en l fom Ing. tuo R. Cstño ño 8 5 de 4

6 UNN Fcultd de Ingenieí sto nos dice ue el tjo elizdo po l fuez eléctic p llev un cg desde hst solo depende de los extemos de l tyectoi. Po tnto fuez eléctic es consevtiv, y l vición de l enegí potencil eléctic ente los puntos y es igul l tjo elizdo po l fuez, cmido de signo. U U Fxdl πε 4 Teniendo pesente ue solo podemos hl de viciones de enegí potencil, es conveniente seleccion un posición p l cul definmos como de enegí potencil ceo. De est fom podemos defini l enegí potencil de un punto, vemos entonces U U πε 4, ue podemos escii como U () U () 4πε esto es defini como ( ) U, p. U ( ) s deci tommos l enegí potencil igul ceo cundo ls ptículs están tn sepds, ue los efectos elécticos de un soe l ot son despeciles. Podemos escii el potencil de un ticul entonces como U ( ) Fxdl Decimos entonces ue U (), es el tjo elizdo po un gente exteno cont l fuez eléctic cundo un ptícul de pue se llev desde un punto muy lejno hst un punto sepdo un distnci de l cg puntul Ing. tuo R. Cstño ño 8 6 de 4

7 UNN Fcultd de Ingenieí negí potencil de un ptícul de pue en el cmpo de vis cgs puntules. Supongmos ue l ptícul de pue se encuent en el cmpo cedo po dos cgs puntules y. Po el pincipio de supeposición, l fuez eléctic ue ctú soe l ptícul de pue seá: F ( + ) x x, donde y son ls contiuciones l cmpo deids y.. Cundo l ptícul de pue se mueve ente los dos puntos y, el tjo elizdo po l fuez eléctic F seá: Fxdl ( + ) + xdl xdl xdl s deci el tjo puede se dividido en dos sums, ms independientes del cmino ecoido U, ente y, l igul ue p un cg puntul ( ) U + donde 4πε y, son ls distncis ente l ptícul de pue y ls cgs puntules y, espectivmente. mplindo este esultdo p el cso de tene n cgs puntules l enegí potencil seá : U i i donde 4πε i n i son ls distncis ente l ptícul de pue y ls cgs puntules i, espectivmente. Ing. tuo R. Cstño ño 8 7 de 4

8 UNN Fcultd de Ingenieí Potencil eléctico Hemos visto ue l enegí potencil eléctic es popocionl l cg, p pode independiznos, dividimos l expesión de U po l cg, y otenemos un cntidd ue llmemos po definición potencil eléctico ( ), es deci U, el igul ue hemos visto p el cmpo eléctico, el potencil, es un cmpo poue posee un vlo p cd punto del espcio. Como U es un vlo escl, entonces, tmién es escl. L cg de l ptícul de pue utilizd p medi el potencil dee se peueñ y ue de lo contio su pesenci podí lte l distiución de cgs ue poduce el potencil, con lo cul cmií el potencil ue ueemos medi. Uniddes de potencil eléctico L unidd es el voltio o volts, definido como: [ ] volts [ joule] [ coulom] Potencil poducido po ptículs cgds. l potencil poducido en un punto po un distiución de ptículs cgds seá U 4 πε i n i i, p el cso más simple cundo tenemos un sol cg seá 4πε Ing. tuo R. Cstño ño 8 8 de 4

9 UNN Fcultd de Ingenieí Potencil poducido po un distiución continús de cg. De ls ecuciones p el potencil poducido po ptículs cgds, podemos ve U i i, si tenemos ho un distiución continu de cgs ests 4πε n i ls podemos conside como un numeo infinito de cgs infinitesimles, y el potencil totl vendá ddo po l sum de los potenciles deido de cd un de ests infinits cgs infinitesimles, es deci po : 4πε lim N i i i y cundo N y i 4πε d Difeenci de potencil Nuest definición de potencil se so en l posición de efeenci ue escogimos p le enegí potencil, U (), p, es deci p puntos muy lejdos de l distiución de cgs el potencil vle ceo. Un posición pticul de efeenci siempe ued detemind po convenienci, p los cicuitos elécticos seá l ue llmmos ms o tie, peo tenemos ue tene pesente ue solo tiene significdo físico un cmio de enegí potencil y consecuentemente sólo un cmio en potencil o difeenci de potencil. L difeenci de potencil pti de l difeenci de enegí potencil p un ptícul cgd con, cundo se mueve ente los punts y seá: U U Ing. tuo R. Cstño ño 8 9 de 4

10 UNN Fcultd de Ingenieí ddo ue l difeenci de enegí potencil es, con signo cmido, el tjo elizdo po l fuez eléctic en ese desplzmiento, nos ued: U U U xdl U xdl cmino ente los puntos y. eemplzndo xdl xdl Como l fuez eléctic es consevtiv, se puede us culuie Relción ente el cmpo eléctico y l difeenci de potencil. Como hemos visto xdl, si elegimos ho, y P ( P) P xdl nos ued conoce el vlo de., en consecuenci conociendo el vlo de, podemos emos ho como nliz el cso inveso, es deci conocido, encont el vlo de, supongmos ue clculmos l difeenci de potencil ente dos puntos póximos P ( x, y, z) P x Δx, y, z +, como se ve en l figu y ( ) x d x x ( x, y z) P ( x + Δx, y, z) P, i k j y z Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

11 UNN Fcultd de Ingenieí x + Δ + Δ x ( x, y, z) ( x x, y, z) xdl peo x xdl ( i + j + k ) xdxi dx x y z x cundo Δ x x cte entonces ( x, y, z) ( x + Δx, y, z) x x + Δ x x x x Δx ( x, y, z) ( x + Δx, y, z) Δx x p Δx ( x, y, z) ( x + Δx, y, z) lim Δx x x x elizndo el mismo nálisis p los otos ejes, seá y y z z ncontmos sí ue l componentes de están dds po ls deivds pciles cmids de signo. Si conocemos l expesión de p un distiución de cgs, podemos conoce el cmpo eléctico tvés de ests ecuciones. Mtemáticmente ests ecuciones definen l función gdiente, po lo ue esciimos: Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

12 UNN Fcultd de Ingenieí emos el cso pticul de un distiución de cgs ue posee simetí esféic, dependeá únicmente de l coodend dil, y el cmpo eléctico tendá solmente dil, dd po d d p el cso de l cg puntul seá d d d d d 4 πε 4 πε d 4 πε 4πε Supeficies euipotenciles Un supeficie euipotencil es uell en l ue el potencil es constnte, deci tiene el mismo vlo p todos sus puntos. Deido esto, cundo ptícul se mueve lo lgo de un supeficie euipotencil ls fuezs eléctics no elizn tjo lguno. l igul ue ls línes de cmpo siven p visuliz el cmpo, ls supeficies euipotenciles son útiles p visuliz el compotmiento espcil del potencil. L figu muest ls supeficies euipotenciles y ls línes de cmpo en el exteio de un esfe unifomemente cgd. Y vimos ue 4πε de fom ue es constnte si es constnte, y ls supeficies euipotenciles son supeficies esféics concéntics con l esfe cg. Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

13 UNN Fcultd de Ingenieí Semos y ue en un cmpos unifome ls supeficies euipotenciles son plnos plelos ente si y pependicules l diección del cmpo st figu nos muest el cote de plcs plno-plels cgds donde el cmpo es unifome, junto con ls línes de cmpo y ls supeficies euipotenciles ente ls plcs. n ls figus nteioes ls línes de cmpo son pependicules supeficies euipotenciles ue cuzn. sto dee ocui siempe, poue si tuvien un componente tngencil un de ls supeficies euipotenciles cundo un ptícul cgd se moviese soe dich supeficie l fuez eléctic elizí un tjo, y po tnto no puede tene un componente tngencil un supeficie euipotencil. n cd punto pependicul l coespondiente supeficie euipotencil. dee se n un diujo donde se mnteng igul l difeenci de potencil ente supeficies euipotenciles sucesivs, su espcido indic el vlo de. Ls supeficies están ms junts en ls egiones donde se myo, de igul mne ue ls cuvs de nivel en un mp indicn un pendiente ms ponuncid cundo están ms junts. n l pime figu el espcido ente línes euipotenciles ument confome cece deido ue el cmpo disminuye l ument. n segund figu ls supeficies están igulmente espcids poue es unifome, en este cso, vi linelmente en l diección pependicul ls plcs. Como diección en ue ument. x x, l diección de es opuest l Ing. tuo R. Cstño ño 8 3 de 4

14 UNN Fcultd de Ingenieí Ots popieddes electoestátics de los conductoes Y vimos ue en el inteio de un conducto condiciones estátics. Tmién vimos ue, como consecuenci de lo nteio, los puntos del inteio de un conducto no puede he un exceso de cg. L cg en exceso ue pose un conducto se coloc en su supeficie. Otuvimos, demás ue el cmpo eléctico justmente fue de l supeficie de conducto tiene l diección pependicul l supeficie, y su vlo es n σ ε Ddo ue en el inteio de un conducto, en l egión del espcio, ocupd po un conducto el potencil dee se unifome. P po esto, plicemos l ecución de l definición de potencil eléctico dos puntos y inteioes un conducto: xdl P esolve est integl de líne tomemos un cmino de integción compendido completmente dento del conducto, de fom ue en todos sus puntos y po tnto l integl es ceo, con lo ue xdl. sto seá cieto p culuie p de puntos inteioes l conducto, po lo ue concluimos ue todos los puntos del inteio de un conducto tienen el mismo potencil. n pticul esult útil tene siempe pesente ue l supeficie de un conducto en euiliio es un supeficie euipotencil. Hst ho hemos hldo del potencil en un punto del espcio, peo como todos los puntos de un conducto están l mismo potencil, signemos un único vlo de potencil l conducto completo, siempe ue se encuente en condiciones electostátics. Po el contio, no se puede sign un único vlo de potencil un islnte, y ue éste puede se distinto en difeentes puntos de su inteio y de su supeficie. No sólo es cieto ue el cmpo es ceo y el potencil unifome en el inteio de un conducto, sino ue esto tmién es válido p un cvidd en el inteio de un conducto, siempe ue no existn ojetos cgdos dento de ést. De ests consideciones se pude deduci ue un egión del espcio puede mntenese lie de cmpo eléctico odeándol con un conducto. ste pocedimiento se conoce como electostático pntllmiento electostático. Ing. tuo R. Cstño ño 8 4 de 4

15 UNN Fcultd de Ingenieí Supongmos ue desemos dot un conducto de un cg muy gnde, y po tnto de un potencil muy lto, vemos ue es lo ue detemin l máxim cg y el máximo potencil ue puede duii un conducto, consideemos ue un conducto est odedo po un medio islnte, po ejemplo el ie. L popiedd del medio ue tiene impotnci en este cso se llm límite dieléctico. l límite dieléctico de un mteil islnte es el máximo vlo de cmpo eléctico, mx, ue puede existi en ese mteil sin ue se poduzc su uptu dieléctic. Cundo ocue l uptu dieléctic de un mteil, ls moléculs ue lo fomn se ionizn y el mteil comienz conduci. n un mteil gseoso como el ie este efecto v compñdo de un emisión luminos, deid l ecominción de los electones con ls moléculs, fenómeno conocido como coon de descg. Po simetí es fácil entende ue en un conducto esféico l cg se distiuy unifomemente po l supeficie, peo si el conducto no es esféico l densidd supeficil σ tiende se myo en uellos puntos donde l supeficie tiene un meno dio de cuvtu, y lo mismo sucede con el cmpo eléctico justmente fue de l supeficie. n pticul σ puede lleg tene un vlo muy gnde en l punt de un vill metálic en fom de guj, como l punt de un pyos. Cpcidd y Cpcitoes - Intoducción l condesndo es uno de los difeentes dispositivos ue se utilizn en los cicuitos elécticos y electónicos. L función pincipl de los condensdoes es popocion un lmcenmiento tempol de enegí en los cicuitos. stán hechos p lmcen y cede enegí eléctic de cuedo con ls necesiddes de cd cicuito. L popiedd ue ccteiz ls posiiliddes de lmcenmiento de enegí de un condensdo es su cpcidd eléctic. Cundo se lmcen enegí en un condensdo pece un cmpo eléctico en su inteio. st enegí lmcend puede socise l cmpo eléctico. De hecho todo cmpo eléctico llev socid un enegí. l estudio de los condensdoes y l cpcidd nos cec un impotnte specto de los cmpos elécticos: l enegí de un cmpo eléctico. ste estudio tmién nos seviá de se p pende lguns popieddes de los islntes. Deido su compotmiento en el seno de cmpos elécticos, los islntes se denominn fecuentemente dielécticos. Los condensdoes son ptos muy útiles, de gn inteés físicos e ingenieos. Po ejemplo, lgunos conceptos ue ueemos eslt: Ing. tuo R. Cstño ño 8 5 de 4

16 UNN Fcultd de Ingenieí. Deemos tene pesente l impotnci de los cmpos p entende los fenómenos ntules. Se puede us un condensdo p estlece configuciones de cmpo eléctico deseds con divess finliddes. Po ejemplo cundo desciímos l desvición de un hz de electones en un cmpo unifome poducid po dos plcs plns plels, elmente esto e un condensdo, un cundo no usmos tl voclo en momento. Más delnte veemos el compotmiento de mteiles dielécticos colocdos dento de un cmpo eléctico (popociondo en fom conveniente po un condensdo) y veemos cómo se pueden geneliz ls leyes del electomgnetismo p tom más fácilmente en cuent l pesenci de cuepos dielécticos.. Un segundo concepto impotnte tene siempe pesente es el de l enegí. l nliz un condensdo cgdo demostemos ue puede considese ue l enegí eléctic está lmcend en el cmpo eléctico ente ls plcs, y, de hecho, ue está lmcend en culuie cmpo eléctico, culuie ue se l fom como se genee. Deido ue los condensdoes pueden confin fuetes cmpos elécticos en peueños volúmenes, pueden sevi como dispositivos útiles p lmcen enegí. 3. L edd electónic no podí existi sin los condensdoes. usn, junto con otos ptos, p educi fluctuciones de voltje en fuentes de pode electónics, p tnsmiti señles pulsntes, p gene oscilciones electomgnétics en diofecuenci y p log -etdos de tiempo. n l myoí de ests plicciones, l difeenci de potencil ente ls plcs no es constnte, como hst ho hemos supuesto, sino ue ví el tiempo, menudo en fom sinusoidl o en fom de pulsciones. CONDNSDORS Y CPCIDD Un condensdo es un dispositivo fomdo po dos conductoes cecnos y isldos ente sí. Independientemente de su fom cd uno de los conductoes es denomindo «plc» del condensdo. n l figu siguiente vemos un condensdo de plcs plno-plels, se osevn, en l mism, los lmes conductoes ue slen de cd un de ls plcs, y ue se usn p conect ls plcs del condensdo otos componentes de los cicuitos. n el cso más sencillo podemos deci ue dos conductoes isldos con cgs igules y opuests fomn un condensdo Ing. tuo R. Cstño ño 8 6 de 4

17 UNN Fcultd de Ingenieí n su funcionmiento noml, ls dos plcs poseen el mismo vlo de cg peo de signos contios. L cg está distiuid de mne supeficil, en su myo pte soe ls supeficies ue se encuentn enfentds. Un condensdo puede se cgdo conectndo los lmes de sus plcs los teminles de un teí, como en el siguiente esuem Dejemos el funcionmiento de un teí p más delnte (y ue po ho lo único ue necesitmos se es ue cundo se conect un teí un condensdo, los potdoes de cg se mueven de un plc l ot. Si l teí pemnece conectd hst ue se estlece el euiliio, es deci hst ue ces el flujo de potdoes de cg, l difeenci de potencil ente ls plcs del condensdo es l mism ue ente los teminles de l teí. + Q l plc conectd n el euiliio, l teí há tnsfeido un cg positiv l teminl positivo y un cg Q l plc conectd l teminl negtivo. Ls plcs poseeán cgs igules peo de signos contios, po lo ue l cg net del condensdo seá ceo. Cundo hlemos de l cg Q de un condensdo nos efeiemos l vlo de l cg en cd un de sus plcs y no l cg net en el conjunto. nlizndo l elción ente l difeenci de potencil y l cg Q ue duieen Q sus plcs se puede lleg l conclusión de ue l elción es un ccteístic de Ing. tuo R. Cstño ño 8 7 de 4

18 UNN Fcultd de Ingenieí cd condensdo: cundo umentmos en cieto fcto, Q ument en el mismo fcto. Llmemos este cociente cpcidd C de un condensdo: Q C Po convenio tods ls mgnitudes de est ecución se tomn positivs, Q el vlo de l cg en cd plc y l difeenci de potencil ente ells. Po lo tnto l cpcidd C seá siempe positiv. L pl cpcidd utilizd p C nos indic ue se tt de lgo ue condensdo contiene o puede contene, un condensdo contiene cgs de signos opuestos en sus plcs. L cpcidd de un condensdo es l medid de sus posiiliddes p lmcen ests cgs. De l ecución vemos ue cunto myo es l cpcidd de un condensdo myo es l cg ue puede lmcen p el mismo vlo de difeenci de potencil. eemos ue un condensd tmién lmcen enegí. Uniddes Po su definición, ls dimensiones de cpcidd son cg dividido po potencil, y l unidd en el Sistem Intencionl seá el culomio dividido po voltio, est unidd se le ddo el nome de fdio (F) en hono de Mitchell Fdy. Un fdio un unidd de cpcidd stnte gnde, de fom ue los condensdoes ue usulmente se encuentn en los cicuitos tienen cpciddes mucho menoes. [ ] [ Q] [ ] [ coulom] [ volts] C Ls uniddes más comunes en l técnic son: [ Fdio] μ F η F pf 6 F 9 F F Ing. tuo R. Cstño ño 8 8 de 4

19 UNN Fcultd de Ingenieí Clculo de cpciddes Condensdo de plcs plns plels L figu siguiente muest un condensdo de plcs plels fomdo po dos plcs conductos plels de áe sepds un distnci d. Si conectmos cd plc l teminl de un teí peceá un cg plc y un cg + en un en l ot. Si d es peueñ, compd con ls dimensiones de l plc, l intensidd del cmpo eléctico seá unifome, lo cul uiee deci ue ls línes de fuez seán plels y unifomemente espcids. Ls leyes del electomgnetismo, euieen ue hy lguns "defomciones" de ls línes en los odes de ls plcs, peo si l d es suficientemente peueñ, p el ojeto ue ho peseguimos, se pueden ps po lto tles defomciones. Podemos clcul l cpcitnci de este dispositivo plicndo l ley de Guss. Nuest figu muest un supeficie gussin de fom de cilindo de ltu h ced con tps plns de áe ue tienen l fom y tmño de ls plcs del condensdo. l flujo de es ceo p l pte de l supeficie gussin ue está dento de l plc supeio del condensdo poue el cmpo eléctico dento de un conducto ue tiene cg estátic es ceo. l flujo de tvés de l ped del cilindo es ceo poue, si no se tomn en cuent ls ieguliddes de ls línes de fuez en los odes, se puede cept ue ued po completo en l ped del cilindo. Ing. tuo R. Cstño ño 8 9 de 4

20 UNN Fcultd de Ingenieí sí pues, sólo ued l c de l supeficie gussin ue está ente ls plcs. n ell es constnte y el flujo Φ es simplemente Φ L ley de Guss d Φ ε ε l tjo eueido p llev un cg de pue de un plc l ot puede expesse clculse de dl siendo l difeenci de potencil ente ls plcs. L integl puede tomse siguiendo culuie tyectoi ue comience en un plc y temine en l ot poue cd plc es un cuepo euipotencil y l fuez electostátic es independiente de l tyectoi. un cundo l tyectoi más sencill ente ls plcs es un líne ect pependicul ells, es válid culuie ue se l tyectoi de integción ue se escoj, ued en nuesto cso dl d ε ε d d C, p clcul l cpcidd semos ue est ecución es válid sólo p condensdoes del tipo de plcs plels; p condensdoes de difeente geometí se plicn fómuls difeentes. Condensdo cilíndico. Un condensdo cilíndico consiste de dos cilindos coxiles de dios y, de longitud l. Dento de est clsificción podemos hl de los cles coxiles ue se usn comúnmente p señles eléctics, siendo su cpcidd un de sus pinciples ccteístics. ste cle está fomdo po un conducto odedo po un cilindo tmién conducto con un mteil islnte ente mos. Un condensdo con este diseño se llm condensdo cilíndico Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

21 UNN Fcultd de Ingenieí longitud del cle es en genel mucho myo ue su dio. Queemos detemin l cpcidd de un tozo de longitud l de cle coxil. Suponemos ue o ente lme y cilindo está vcío, demás considemos ue l >> R de modo ue se pueden ps po lto ls ieguliddes de ls línes de fuez en los extemos l clcul l cpcitnci. Un sección tnsvesl de un condensdo cilíndico. l ciculo diujdo líne inteumpid es un supeficie gussin cilíndic de dio longitud l De l ley de Guss tenemos: ε ds ε ( πl) esto se dee ue el flujo eléctico es t totlmente tvés de ls supeficies cilíndics y no tvés de ls tps extens, despejndo el vlo del cmpo eléctico ued: ε π ( l) l difeenci de potencil ente ls plcs l podemos clcul medinte dl diecciones opuests es deci ue nos ued,, en l figu vemos ue y dl o d, puntn en Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

22 UNN Fcultd de Ingenieí dl d d l l πε πε d ln πε l C ln πε l Reemplzndo en l ecución de cpcidd πεl ln emos ue l igul ue p el condensdo depende de fctoes geométicos. de plcs plels su cpcidd solo Condensdo cilíndico. L figu nuest un condensdo esféico, constituido po dos esfes, un inteio de dio y ot exteio, ms cgds con un cg Solo existe cmpo en l egión ente ls esfes y l difeenci de potencil l otenemos integndo dl nos ued dl d d d 4πε 4πε Reemplzdo en l ecución de l cpcidd 4πε Ing. tuo R. Cstño ño 8 de 4

23 UNN Fcultd de Ingenieí 4πε 4πε C Condensdoes en seie y en plelo Los componentes de los cicuitos pueden se conectdos de muy difeentes foms; ls más simples de ésts son ls conexiones en seie y en plelo. Se dice ue un cpcito es el euivlente un conjunto de cpcitoes si podemos veific ue el cpcito euivlente puede eemplz l conjunto de cpcitoes si lteciones en el esto del cicuito, es deci si tuviésemos encedos l conjunto de cpcitoes dento de un cj no podímos detemin miándol desde el exteio si dento tenemos un cicuito completo o un cpcito euivlente del mismo Condensdoes en seie. L figu siguiente nos muest tes condensdoes de cpciddes C, C y C 3 conectdos en seie, es deci uno ts oto. C C C 3 + Q Q + Q Q + Q Q 3 P los condensdoes conectdos como se nuest l mgnitud de l cg en cd plc dee se l mism. sí dee se poue l cg net en l pte del cicuito enced po líne de puntos dee se ceo, esto es l cg existentes en ests plcs es inicilmente ceo Ing. tuo R. Cstño ño 8 3 de 4

24 UNN Fcultd de Ingenieí y l conect un teí ente los puntos y, sólo d lug un sepción de cgs, l cg net ente ess plcs sigue siendo ceo. De l ecución de definición de cpcidd ecución cd condensdo tenemos entonces: C C, plicndo est C C 3 C 3 L difeenci de potencil totl seá l sum de ls difeencis de potencil soe cd condensdo eemplzndo C C C e + + C C C3 + C 3, l cpcidd euivlente seá + +, genelizndo podemos deci, ue p n condensdoes C e C C C3 conectdos en seie se cumple ue: n Ce i C n L cpcidd euivlente en seie es siempe meno ue l más peueñ de ls cpciddes de l conexión. Condensdoes en plelo L figu siguiente nos muest tes condensdoes de cpciddes C, C y C 3 conectdos en plelo, es deci todos tienen en sus ones l mism difeenci de potencil, estos es sí y ue tods ls plcs de l izuied están conectds l mismo punto y los de l deech l punto. plicndo l ecución de l definición de cpcidd C C, seá entonces en cd condensdo tenemos Ing. tuo R. Cstño ño 8 4 de 4

25 UNN Fcultd de Ingenieí C C C3 T + + l cg totl del conjunto de condensdoes seá 3 3, C + Q Q T C + C + C 3 + Q C Q ( C + C ) T + C3 + Q C 3 Q L cpcidd euivlente l definimos como C T e Ce C + C + C3 Genelizndo podemos deci, ue p n condensdoes conectdos en plelo se cumple ue: n C e C n i negí eléctic en un condensdo Cundo se cg un condensdo con un teí, l teí eliz un tjo l tnspot potdoes de cg desde un plc hst l ot, elevndo sí l enegí potencil de los potdoes. ste umento de l enegí potencil de los potdoes constituye l enegí eléctic lmcend en un condensdo, est enegí U es igul l tjo W ue fue necesio p cglo Si en el instnte t h psdo un cg ( t) potencil () t () t, en ese momento seá de un plc ot. L difeenci de ( t) C Si se le comunic un peueño incemento de cg ext d ( t) tjo p ello seá, l cntidd dicionl de Ing. tuo R. Cstño ño 8 5 de 4

26 UNN Fcultd de Ingenieí dw d d, si se continu este poceso hst comunic un cg totl C el tjo totl seá W Q dw d d C un condensdo es entonces Q Q C, es deci l enegí lmcend po U Q C Cg un condensdo es simil cv un pozo o un gujeo hondo en el suelo; es más fácil cv el pincipio ue el finl, y ue l tie scd l pincipio no dee se levntd tnto como l del finl. De igul fom el umento en enegí potencil de los pimeos potdoes tnsfeidos po l teí es meno ue l de los últimos potdoes, pues l difeenci de potencil en el condensdo es myo cundo los últimos son tnsfeidos. sto explic l vición de () t confome se eliz el tsvse de cg, y es l zón físic de ue () t ' no pued scse fue de l integl. Usndo l definición de cpcidd, podemos expes l enegí de un condensdo cgdo en función de culuie de ls tes mgnitudes, Q y C U Q C U C U Q Densidd de enegí de un cmpo eléctico. imos nteiomente ue se puede soci l enegí de un condensdo con l enegí potencil de sus cgs, un punto de vist ltentivo es tiui est enegí l cmpo eléctico ue existe ente ls plcs. P un condensdo de plcs plno-plels (con plcs de gn supeficie y peueñ sepción ente ells), vimos ue se cumple ue Ing. tuo R. Cstño ño 8 6 de 4

27 UNN Fcultd de Ingenieí ε C d U C ε d y demás d entonces eemplzndo en ( d ) ε ( d ) l fcto d es el volumen ue hy ente ls plcs, ue coesponde con el volumen ocupdo po el cmpo eléctico (despecindo los efectos de ode). Como l enegí es popocionl l volumen ocupdo po el cmpo, podemos otene l densidd de enegí (o enegí po unidd de volumen) u en el espcio ue ocup el cmpo: ε d U d d ε u o se ε u st ecución es lgo más ue ot fom de expes l enegí de un condensdo cgdo, sugiee ue podemos tiui l enegí eléctic de un distiución de cg l cmpo eléctico poducido po l distiución. unue no lo poemos uí, est ecución es válid en genel, y nos d l densidd de enegí ue hy en culuie punto del espcio deido l cmpo eléctico ue existe en dicho punto, culuie ue se l distiución de cg ue lo poduzc. L densidd de enegí eléctic es un ejemplo de cmpo escl. Condensdo de plcs plels con dieléctico C Q L ecución es válid solmente p un condensdo de plels ls cules estén en el vcío. Michel Fdy, en fue el pimeo ue investigó el efecto de llen el espcio en plcs con un dieléctico, digmos mic o ceite, ctulmente podímos deci plásticos. Fdy constuyo dos condensdoes idénticos, en uno de los cules colocó un dieléctico, y en el oto condensdo lo dejó con ie l pesión noml. Cundo mos condensdoes se cgon hst otenese l mism difeenci de potencil, Fdy encontó expeimentlmente ue l cg en el ue contení el dieléctico e myo ue l cg en el oto, según vemos en l figu Ing. tuo R. Cstño ño 8 7 de 4

28 UNN Fcultd de Ingenieí Fdy midió ls cgs eltivs soe ls plcs de los dos condensdoes hciendo contcto con un ol metálic (povist de un mngo isldo) con ls plcs, muestendo sí l cg cuntittivmente. Puso entonces est ol en un lnz de tosión de Coulom y midió l fuez eléctic de epulsión soe un segund cg (ptón) montd en el zo de l lnz. Y ue p l mism, l cg es myo, cundo hy un dieléctico, se deduce de l elción Q C ue l cpcitnci de un condensdo ument si se coloc un dieléctico ente ls plcs. L elción de l cpcitnci con el dieléctico l cpcitnci sin él se llm l constnte dieléctic K del mteil n vez de consev los dos condensdoes l mism difeenci de potencil, podemos plicles l mism cg, como se ilust en l figu. l expeimento muest entonces ue l difeenci de potencil d ente ls plcs del condensdo de l deech es meno ue l del condensdo de l izuied, en un fcto K o se K d Ing. tuo R. Cstño ño 8 8 de 4

29 UNN Fcultd de Ingenieí Llegmos un vez más l conclusión, pti de l elción C Q, de ue el efecto del dieléctico es ument l cpcidd en un fcto.emos, en l siguiente tl los vloes de lgunos dielécticos. Mteil Constnte dieléctic Resistenci dieléctic cío ie.54.8 gu 78 - Ppel Mic Dióxido de titnio 6 Titnto de estoncio 5 8 Titnto de estoncio y io 4 - Resistenci dieléctic: es el máximo gdiente de potencil ue puede existi en el dieléctico sin se omp elécticmente. P un condensdo de plcs plels podemos entonces escii, como esultdo expeimentl, Kε C d L ecución ε y vist es un cso especil de est elción ue se otiene pone C d K y ue coesponde l cso de vcío ente ls plcs. Los expeimentos ponen de mnifiesto ue l cpcitnci de todos los tipos de condensdoes ument en un fcto K si el espcio ente ls plcs se llen con un dieléctico. sí pues, l cpcitnci de culuie condensdo puede esciise sí: C Kε L pesión en l cul L depende de l geometí y tiene ls dimensiones de un longitud. P un condensdo de plcs plels seá L d ; p un condensdo cilíndico L πl ln Ing. tuo R. Cstño ño 8 9 de 4

30 UNN Fcultd de Ingenieí emos ue ocue con l enegí eléctic ue lmcen el dieléctico, hemos visto ue K d K d, entonces como U Q U Q d U U o se U, podemos hce Q U U K Le enegí del condensdo se educe en un fcto l inset el dieléctico. Como U se K educe medid ue el dieléctico es intoducido, pece un fuez ue tiende mete el dieléctico ente ls plcs. xisten vios fctoes l ho de escoge un dieléctico p constui un condensdo útil, en pime lug ddo ue C es popocionl K, es pefeile un constnte dieléctic lt p ue consegui un gn cpcidd no se necesio ument excesivmente el áe de ls plcs. n segundo témino un lto limite eléctico pemitiá l pesenci de gndes cmpos elécticos en el condensdo sin ue se poduzc uptu dieléctic. P un condensdo de plcs plns plels, donde d, de fom ue d mx mx y po lo tnto, si mx mx es gnde, d podá se peueñ sin estingi l difeenci de potencil máxim de tjo, y un vlo meno de d signific un myo cpcidd, po lo tnto se euiee un dieléctico con un vlo gnde mx si se espe ue se gnde o si d tiene ue se peueño. n tece lug un islnte sólido popocioná un sopote ígido ente ls plcs, evitndo ue ésts puedn lleg est en contcto eléctico ente si. emos dos diseños de condensdoes pácticos Dos lmins de dieléctico y dos lmins metálics ltends y enollds en fom de cilindo Ing. tuo R. Cstño ño 8 3 de 4

31 UNN Fcultd de Ingenieí Los condensdoes electolíticos usn un electolito (solución conducto) como un de ls plcs y l ot es un lámin metálic. l dieléctico es un fin cp de oxido fomd soe l lmin metálic Dielécticos-Compotmiento de los átomos Ttemos ho de entende, en téminos tómicos, lo ue ocue cundo se coloc un dieléctico en un cmpo eléctico, hy dos posiiliddes, ls moléculs de lgunos dielécticos, como el gu, tienen momentos de dipolo eléctico pemnentes. n mteiles est clse (llmdos poles) los momentos de dipolo eléctico p tienden linese jo l cción de un cmpo eléctico exteno, como se muest en l siguiente figu Deido ue moléculs están en constnte gitción témic, el gdo de linemiento no seá completo y umentá l ument el cmpo eléctico plicdo o l disminui l tempetu. Y se ue ls moléculs tengn momentos de dipolo eléctico pemnente o no, los duieen po inducción cundo se colocn un cmpo eléctico. Semos ue el cmpo eléctico exteno tiende sep l cg negtiv de l positiv en el átomo o en l molécul. ste momento de dipolo eléctico inducido existe sólo cundo hy un cmpo eléctico. s popocionl l cmpo eléctico (p intensiddes de cmpo nomles) l cese se fom y linedo con el cmpo eléctico. Ing. tuo R. Cstño ño 8 3 de 4

32 UNN Fcultd de Ingenieí Consideemos un condensdo de plcs plels ue tiene un cg fij y ue no está conectdo con un teí, p poduci un cmpo eléctico exteno unifome en el cul colocmos un plc de dieléctico. l efecto conjugdo de linemiento e inducción es sep ligemente el cento de l cg positiv de tod l plc con especto l cento de l cg negtiv. Un plc de dieléctico mostndo ls cgs positivs y negtivs distiuids l z Un cmpo exteno, ue se otiene l coloc el loue del dieléctico ente ls plcs de un condensdo sep ligemente el cento de ls cgs positivs y negtivs, hciendo ue pezcn cgs en l supeficie, l cg net sigue siendo igul ceo Ls cgs supeficiles poducen un cmpo, ue se opone l cmpo exteno, socidos ls cgs en l plc del condensdo, po consiguiente el cmpo esultnte +, es meno ue el cmpo oiginl Podemos esumi el ejemplo nteio diciendo ue, l plc, en conjunto, un cundo pemnece elécticmente neut, se poliz, como lo sugiee l figu centl. l efecto neto es un cumulción de cg positiv en l c deech de l plc, y de cg negtiv en l c izuied; dento plc no pece ningun cg en exceso en ningún elemento de volumen ddo. Y ue l plc en conjunto pemnece neut l cg supeficil inducid positiv dee se de igul mgnitud ue l cg supeficil inducid negtiv. Nótese ue en este poceso, los electones en el dieléctico se lejn de sus posición euiliio distncis ue son mucho menoes ue un diámeto tómico. No hy tnsfeenci de cg distncis mcoscópics tl como l ue ocue cundo se hce ps un coiente e conducto. L figu de l deech se muest ue ls cgs supeficiles inducids peceán siempe, de tl mne ue el cmpo eléctico poducido po ells se opone l cmpo eléctico exteno Ing. tuo R. Cstño ño 8 3 de 4

33 UNN Fcultd de Ingenieí. l cmpo esultnte en el dieléctico es l sum vectoil de y. punt en l mism diección ue peo es más peueñ. Si se coloc un dieléctico en un cmpo eléctico, pecen cgs supeficiles inducids cuyo efecto es deilit l cmpo oiginl dento del dieléctico. ste deilitmiento del cmpo eléctico se pone de mnifiesto en l fom de un educción de l difeenci de potencil ente ls plcs de un condensdo isldo cundo se intoduce un dieléctico ente ls misms. L elción d p un condensdo de plcs plels es válid y se ue exist o no un dieléctico y pone de mnifiesto ue l educción en l está íntimmente elciond con l educción en l. ien, en fom más específic, si se intoduce un plc de dieléctico dento de un condensdo cgdo de plcs plels, entonces: d K L cg supeficil inducid es l explicción del hecho más elementl de l electicidd estátic, se, ue un cgd te pedzos descgdos de ppel, etc. L figu muest un pedzo de ppel en el cmpo de un cgd. Ls cgs supeficiles pecen en el ppel como se muestn. l extemo del ppel cgdo negtivmente seá tído hci l y el extemo cgdo positivmente seá epelido. sts dos fuezs no tienen l mism mgnitud deido ue el extemo negtivo, po est más cec de l se encuent en un cmpo intenso y expeiment un fuez más intens. l efecto neto un tcción. Un cuepo dieléctico en un cmpo eléctico un cuepo dieléctico no expeiment un fuez net. Los dielécticos y l ley de Guss Hst uí nuesto uso de l ley de Guss se h limitdo csos en los cules no hí dieléctico. pliuemos ho est ley condensdo de plcs plels ue contiene un dieléctico de constnte dieléctic K, como vemos en l figu Ing. tuo R. Cstño ño 8 33 de 4

34 UNN Fcultd de Ingenieí Condensdo de plcs plelos sin dielécticos Condensdo de plcs plelos con dieléctico Se supone ue l cg pincipl en ls plcs es l mism en mos csos. Se hn diujdo supeficies gussins de l mne en mos csos Si no hy dieléctico l ley de Guss d: ε ds ε ε Si hy dieléctico l ley de Guss d: ε ds ε ε ε en est expesión ', l cg supeficil inducid, dee distinguise de, l llmd cg lie en ls plcs. sts dos cgs, ms dento de l supeficie gussin, son de signo contio; es l cg net dento de l supeficie gussin. Y vimos ue: K, de donde esciimos K K Kε Ing. tuo R. Cstño ño 8 34 de 4

35 UNN Fcultd de Ingenieí si despejmos el vlo de Kε ε ε nos ued K es siempe de meno mgnitud ue l cg pincipl y es igul ceo si no hy K dieléctico, esto es, si st expesión muest coectmente ue l cg supeficil inducid ho escimos l ley de Guss p el cso de tene dieléctico ente ls plcs de l fom ε ds, siendo sustituyendo nos ued ds es l cg net dento de l supeficie gussin, K K K ε de donde podemos escii ε KdS st elción es impotnte, un cundo se h deivdo p un condensdo de plcs plels, es plicle en todos los csos y es en est fom como odinimente se escie l ley de Guss cundo hy dielécticos. Notmos ue:. L integl de flujo ho contiene un fcto K.. Se tom solmente como cg lie l cg contenid dento de l supeficie gussin. L cg supeficil inducid deliedmente se ps po lto en el segundo miemo de est ecución, puesto ue se l h tondo en cuent l intoduci K en pime miemo. Ing. tuo R. Cstño ño 8 35 de 4

36 UNN Fcultd de Ingenieí Tes vectoes elécticos P todos los csos ue vimos hst ho es suficiente el pocedimiento ue hemos seguido p estudi el compotmiento de los dielécticos en un cmpo eléctico. No ostnte, los polems ue ttmos son simples, tles como el de un plc ectngul colocd pependiculmente un cmpo eléctico unifome. P polems más difíciles, tles como el de encont en cmpo eléctico en el cento de un elipsoide de dieléctico colocdo en un cmpo eléctico exteno (posilemente no unifome), se log myo simplificción en el tjo y ms pofund compensión de los polems si intoducimos un nuevo fomlismo. olvmos escii l ecución Kε ε ε ue se vimos se plic un condensdo de plcs plels ue contiene un dieléctico en l siguiente fom: ε K + ε + Kε ε ε de donde L expesión ue est ente péntesis es l intensidd del cmpo eléctico en el dieléctico. l ultimo temino en l ecución es l cg supeficil inducid po unidd de áe, l llmmos polizción eléctic P, o se, P l nome es decudo poue l cg supeficil inducid pece cundo se poliz el dieléctico. L polizción eléctic P se puede defini de un mne euivlente multiplicndo el numedo y el denomindo ecución de su definición po d, ue es el espeso de l plc del dieléctico d P d Ing. tuo R. Cstño ño 8 36 de 4

37 UNN Fcultd de Ingenieí d de l mgnitud de ls cgs de polizción (igules y l numedo es el poducto opuests) po su sepción. sí pues, es el momento de dipolo eléctico inducido de l plc dieléctic. Puesto ue el denomindo d es el volumen de l plc, vemos ue l polizción eléctic se puede defini tmién como el momento de dipolo eléctico inducido po unidd de volumen en el dieléctico. st definición sugiee ue, puesto ue el momento de dipolo eléctico es un vecto, l polizción eléctic tmién es un vecto de mgnitud P. L diección de P es de l cg inducid negtiv l cg inducid positiv, como p culuie dipolo. n l figu siguiente, ue muest un condensdo con un plc de dieléctico, ue llen l mitd del espcio ente ls plcs, P punt hci jo. ntonces podemos volve escii l ecución como : ε + P L expesión del segundo miemo ocue tn menudo en polems de electostátic ue se le d el nome especil de desplzmiento eléctico D, o se, D + P ε l nome sólo tiene impotnci históic. Puesto ue y P son vectoes, D tmién dee selo, de modo ue en el cso más genel tenemos: D ε + P Ing. tuo R. Cstño ño 8 37 de 4

38 UNN Fcultd de Ingenieí n l figu nteio todos los vectoes puntn hci jo y cd uno de ellos tiene un mgnitud constnte p cd punto en el dieléctico (y tmién p cd punto en el hueco de ie) de tl mne ue l ntulez vectoil l ecución no es muy impotnte en este cso. No ostnte, en polems ms complicdos,, P y D tmién pueden vi en mgnitud y diección de un punto oto. De sus definiciones deducimos lo siguiente:. D est elciondo únicmente con l cg lie Podemos epesent el cmpo vectoil de D po línes de D, tl como epesentmos el cmpo de po línes de fuez. L figu siguiente muest ls línes de D comienzn y teminn en ls cgs lies.. P est elciondo únicmente con l cg de polizción. Tmién es posile P epesent este cmpo vectoil po línes, l figu muest ue ls línes comienzn y teminn en ls cgs polizción. 3. est elciondo con tods ls cgs ue existen, y sen lies de polizción, ls línes de eflejn l pesenci de ms clses de cgs. 4. Tengmos pesente ue ls uniddes de P y de D coul son m ue ls de N son coul mients l cmpo vectoil eléctico, ue es lo ue detemin l fuez o soe un cg de pue colocd convenientemente, sigue siendo inteés fundmentl. P y D son vectoes uxilies útiles como yud en solución de polems más complejos. Ing. tuo R. Cstño ño 8 38 de 4

39 UNN Fcultd de Ingenieí Los vectoes P y D se pueden expes en función de sol. Un punto de ptid conveniente es l identidd: Kε Kε l comp est expesión con ls nteioes se pone de mnifiesto ue l expesión nteio, mplid l fom vectoil, se puede escii sí: D Kε Tmién podemos escii l polizción de l siguiente fom: P K como semos ue D podemos volve escii l expesión nteio, expesndo el esultdo en fom vectoil de l siguiente mne: K K P D D K ε ( K ) K K K ε, Se ve clmente ue en el vció K, entonces el vecto de polizción P es ceo. Ls ecuciones ponen de mnifiesto ue p mteiles isótopos, p los cules se puede sign un constnte dieléctic K, tnto P como D puntn en l diección de en un punto ddo. L definición de D nos pemite escii l ley de Guss en pesenci de un dieléctico, simplemente sí: D ds cución en l cul epesente l cg lie solmente, uedndo excluids ls cgs supeficiles inducids. Relizmos un tl modo de esumen de los vectoes elécticos Ing. tuo R. Cstño ño 8 39 de 4

40 UNN Fcultd de Ingenieí Nome Símolo Relciondo con Condiciones de fonte Intensidd de cmpo eléctico Desplzmiento eléctico Polizción cución de definición de D P Relción ente los tes vectoes Ley de Guss cundo hy medios dielécticos Relciones empíics ente lgunos mteiles dielécticos Tods ls cgs Componente tngencil continu Sólo cgs lies Componente noml continu Solo cgs de Despece en el vció polizción F D ε + P D ds D Kε, P ( K ) ε Ing. tuo R. Cstño ño 8 4 de 4