Unidad 5. Aplicaciones de las derivadas. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:

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1 Unidad 5 Alicaciones de las derivadas Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Resolverá roblemas de ingreso utilizando el ingreso marginal. Resolverá roblemas de costos utilizando el costo marginal y el costo medio marginal. Resolverá roblemas de utilidad con la utilidad marginal. Determinará la elasticidad de la demanda de un roducto dado.

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3 Matemáticas Introducción Desués de haber resentado en las unidades anteriores diversos acercamientos al cálculo diferencial, se sabe que éste es un instrumento imortante ara resolver roblemas en economía y administración. Desde esta ersectiva, en la resente unidad se abordan diversas alicaciones de la derivada en relación con roblemas de estas discilinas, alicaciones que hacen uso de concetos como ingreso, costo y utilidad. Las alicaciones se abordan desde el análisis marginal, el cual hace referencia al estudio de la razón de cambio de cantidades económicas. Plantear la razón de cambio indica que se hace uso de la derivada. En el ámbito de las alicaciones que aquí se estudian, la derivada ermite aroximar el cambio roducido en una variable deendiente, cuando la variable indeendiente se incrementa en una unidad. Para comlementar el anorama de las alicaciones de la derivada, se resenta el conceto de elasticidad, que es de imortancia en la teoría económica or sus contribuciones ara abordar roblemas de demanda, oferta y roductividad. De forma articular se aborda la elasticidad de la demanda. Este acercamiento niveles de elasticidad Ingreso marginal El conceto de ingreso marginal lantea la manera como se afectan los ingresos or cada nueva unidad que se roduce y se vende. Esto es, si se asigna la exresión I(x) a los ingresos que se obtienen al vender x número de artículos, lo que muestra el ingreso marginal es el ingreso que se obtiene al vender el artículo x + 1. Para conocer el ingreso que se obtiene en la venta de la unidad x + 1 se resuelve la siguiente resta: I(x + 1) I(x) (1) Lo que se tiene en la exresión anterior son los ingresos de la venta de x artículos incrementada en 1, menos los ingresos de venta de x artículos. Como caso articular, si se considera el incremento de unidades de artículos de la forma x = 1, entonces el incremento del ingreso I se uede reresentar como: I = I(x + x) I(x) = I(x + 1) I(x) 191

4 Unidad 5 La exresión resentada or la diferencia que se da en (1) corresonde a la razón de cambio de los ingresos cuando se aumenta la roducción en una unidad. En otras alabras, lo que se está diciendo con resecto a la relación entre el ingreso y las unidades de artículos es que: I x I ( x 1) I ( x) La exresión anterior indica la razón entre el incremento del ingreso I con resecto al incremento de x y es igual a la diferencia entre el ingreso que roduce el aumento de una unidad y el ingreso de la unidad x. Ahora bien, se tiene que la derivada del ingreso I (x) es el límite de la I razón cuando x tiende a cero. Este resultado lo que ermite es utilizar la x derivada de la función ingreso como una aroximación del ingreso de roducir y vender la unidad x +1. De forma simbólica se tiene: I (x) I(x + 1) I(x) () El símbolo indica que son aroximadamente iguales, la derivada de la función ingreso y la diferencia entre el ingreso que roduce la unidad x más 1 y el ingreso de la unidad x. ingreso marginal: La función de ingreso marginal es la derivada de la función ingreso I (x). El valor que se obtiene de esta derivada es una aroximación del ingreso verdadero cuando se vende una unidad más de cierto roducto o servicio. 19 ingreso no es un valor exacto, sino una aroximación. Como es una aroximación, siguiente aartado en el que se discute sobre los errores de aroximación que se generan al calcular el ingreso marginal.

5 Matemáticas Análisis del error de aroximación al ingreso exacto al calcular el ingreso marginal La exactitud de la aroximación que se da al calcular la derivada de la función ingreso, va a deender de la función y del valor de x. En la determinación de la exactitud de la aroximación se tienen dos tios de errores: Error absoluto. Es el valor absoluto de la diferencia entre el ingreso exacto I(x + 1) I(x) y el ingreso aroximado I (x) que se roduce or la unidad incrementada. De forma simbólica, la siguiente resta muestra cómo calcular este error: I(x + 1) I(x) I (x) Error relativo. resecto al valor verdadero. Se calcula mediante la exresión: Error relativo Error absoluto 100% (3) Valor verdadero El error absoluto es constante, sin imortar la osición que ocue la nueva unidad. Esta característica del error absoluto hace que el error relativo sea cada vez más equeño entre mayor sea la osición que ocue la unidad nueva que se roduzca. De manera general, se considera que el error relativo que se obtiene al aroximar el ingreso a través del ingreso marginal es mucho más equeño, y se hace menor a medida que se tienen roducciones mayores. Ejemlo 1 El ingreso total mensual de un equeño industrial está reresentado or I(x) = 3 00x 0.6x esos, cuando roduce y vende x unidades mensuales. Actualmente el industrial roduce 100 unidades al mes y lanea incrementar la roducción mensual en 1 unidad. 193 a) Utilicemos la función de ingreso marginal ara estimar el ingreso que generará la roducción y venta de la unidad 101. b) Utilicemos la función ingreso ara calcular exactamente el ingreso que genera la roducción y venta de la unidad 101.

6 Unidad 5 c) Calculemos el error absoluto y el error relativo que se roduce con la aroximación dada or el ingreso marginal. d) Realicemos un análisis de los resultados obtenidos. Solución: a) ara calcular el ingreso adicional que genera la roducción y venta de la unidad 101, hacemos uso de la arte izquierda de la exresión (), es decir, calculamos la derivada de la función ingreso, que es: I (x) = x Para conocer el caso articular de la unidad 100, evaluamos la derivada de la función en x = 100 y obtenemos: I (100) = (100) = = $3 080 Este resultado es una aroximación al ingreso que se genera al roducir y vender la unidad 101. b) El ingreso exacto que se roduce or la unidad x + 1 lo obtenemos usando la exresión (1): I(x + 1) I(x) 3 00 ( x 1) 0. 6( x 1) ( 3 00x 0. 6x ) 3 00x ( x 1) 3 00x 0. 6x ( x 1) x x 1 x ( x 1) x x x 194 Con el rocedimiento anterior se determina una exresión, la cual señala el resultado de la diferencia del ingreso de la unidad x + 1 y la unidad x. Ahora bien, el roósito es calcular el caso del ingreso cuando se roduce y vende la unidad 101. Entonces lo que hacemos es sustituir x or 100 en la exresión encontrada:

7 Matemáticas I ( 101) I ( 100) = I ( x 1) I ( x) x = (100) = $ c) El error absoluto se obtiene con la diferencia entre los resultados obtenidos en b) y a), es decir: = 0.60 = 0.60 Para obtener el error relativo se sustituyen los valores que ya tenemos en la igualdad (3): Error relativo % % d) Al observar las exresiones de los aartados a), b) y c) se tiene que el error absoluto cometido es constante, $0.60, sin imortar la osición que ocue la nueva unidad roducida. O tra exresión de la función ingreso Como el interés de este aartado es estudiar las alicaciones con resecto a la función de ingreso, se resenta otra forma de exresarla, lo que ermite ver mejor el objeto de estudio que se está abordando. En este caso la función de ingreso se relaciona con la función demanda de la siguiente forma: I(x) = x donde es el recio de venta unitario or artículo y x el número de artículos vendidos. El recio de venta unitario se relaciona con la cantidad x demandada del artículo. 195

8 Unidad 5 Ejemlo En una fábrica de calculadoras digitales la relación del recio unitario en esos y la cantidad de la demanda x de la calculadora Tk-85 está dada mediante la ecuación: = x 0 x a) Cuál es la función de ingreso? b) Cuál es la función del ingreso marginal? c) Utilicemos la función de ingreso marginal ara estimar el ingreso adicional que generará la roducción y venta de la unidad d) Utilicemos la función ingreso ara calcular exactamente el ingreso que genera la roducción y venta de la unidad Solución: a) La función del ingreso la odemos obtener de la siguiente manera: I ( x) x x( x) 650x 0. 03x 0 x b) La función de ingreso marginal está dada or la derivada de la función del ingreso: I (x) = x c) Una aroximación al ingreso generado al roducir y vender la unidad se obtiene al calcular el ingreso margi nal en 9 000: 196 I (9 000) = (9 000) = 110 Este resultado muestra el ingreso obtenido or la venta de la unidad 9 001, que es aroximadamente de $110. d) El ingreso exacto que se obtiene al roducir y vender la unidad se determina al realizar la siguiente diferencia:

9 Matemáticas I ( x 1) I x I I Ejercicio 1 1. En una fábrica se determinó que el ingreso está dado or I(x) = 300x 0.8x esos, cuando se vende x unidades de un cierto artículo al mes. Actualmente se roducen 175 unidades y se lanea incrementar la roducción en 1 unidad. a) Cuál es el ingreso marginal al roducir la unidad 176? b) Qué ingreso real adicional generará la venta de la unidad 176? c) Calcula el error relativo que se roduce con la aroximación dada or el ingreso marginal.. El ingreso de una equeña emresa está dado or I(x) = 4 400x + 4x + 90 esos, cuando se roducen x unidades mensuales. Para este tiemo se roducen 185 unidades y se royecta un incremento de la roducción en 1 unidad. a) Calcula la función de ingreso marginal. b) Utiliza la función de ingreso marginal ara determinar el ingreso que se obtendrá al vender la unidad 186. c) Halla el ingreso real que se obtendrá con la venta de la unidad 186. d) Calcula el error relativo al realizar la aroximación al ingreso marginal. 3. El ingreso total de una equeña fábrica de estantes está dado or I(x) = 480x 0.1x esos, cuando roducen x unidades durante un mes. Actualmente se roducen 160 unidades al mes y se lanea aumentar la roducción mensual en 1 unidad. Calcula, utilizando el análisis marginal, el ingreso adicional que genera la roducción y venta de la unidad En el deartamento de artículos de sonido de una tienda se tiene que el ingreso total or las grabadoras que se venden mensualmente es de I(x) = 0.04x + 500x esos, donde x es el número de grabadoras vendidas. Actualmente se venden unidades y se lanea incrementar la roducción y venta en 1 unidad cada semana. 197

10 Unidad 5 a) Calcula la función de ingreso marginal. b) Utiliza la función de ingreso marginal ara determinar el ingreso obtenido de la venta de la unidad 000. c) Halla el ingreso real de la venta de la unidad 000. d) Calcula el error absoluto y relativo que se roduce con la aroximación dada or el ingreso marginal. 5. Si la función ingreso total de una emresa está dada or I(x) = 15x 0.01x esos, donde x es el número de artículos vendidos. a) Determina el ingreso marginal en x = 00, x = 500, x = 750, x = 950 y x = b) Analiza los resultados del ingreso marginal encontrados antes. 6. Una comañía de transorte terrestre tiene un ingreso mensual de I(x) = x 15x esos, cuando el recio or asajero es x esos. a) Determina la función de ingreso marginal. b) Calcula el ingreso marginal en x = 38, x = 40 y x = 4. c) Interreta los resultados. En los ejercicios 7 a 9, dada la ecuación de demanda: a) Determina la función de ingreso marginal. b) Utiliza la función de ingreso marginal ara calcular el ingreso obtenido en la venta de la unidad señalada. c) Calcula el ingreso real obtenido en la venta de la unidad señalada. Donde x es el número de unidades y recio: 7. La ecuación de demanda es x + 5 = en la unidad La ecuación de demanda es x = 0 en la unidad La ecuación de demanda es x + 70 = en la unidad El deartamento de romoción y desarrollo de una comañía de artículos ara el hogar desarrolla un rograma de comercialización de refrigeradores, y se determinó que su demanda es de: = 0.05x x 0 000

11 Matemáticas donde denota el recio unitario del refrigerador en esos y x la cantidad de demanda. a) Cuál es la función de ingreso? b) Cuál es la función de ingreso marginal? c) Calcula el ingreso marginal cuando x = Una joyería realizó un estudio sobre relojes y determinó que su demanda mensual está relacionada con el recio unitario de los relojes or medio de la ecuación: x 1 se mide en esos y x en unidades de millar. 0 x 0 a) Determina la función de ingreso. b) Halla la función de ingreso marginal y calcula el ingreso marginal cuando x =. 1. La relación entre el recio unitario en esos y la cantidad de la demanda x de los televisores Arowns está dada mediante la ecuación: = 0.03x x a) Determina la función ingreso. b) Determina la función de ingreso marginal. c) Utiliza la función de ingreso marginal ara calcular el ingreso obtenido de la venta de la unidad d) Analiza el ingreso real obtenido or la venta de la unidad Costo marginal El cálculo de las utilidades de una actividad roductiva requiere, además de los ingresos, los costos de roducción, razón or la cual es de interés abordar el costo marginal. Al igual que en el ingreso marginal, si la roducción se incrementa en una unidad, entonces el incremento de x es x = 1, así se tiene que: 199 C = C(x + x) C(x) = C(x + 1) C(x)

12 Unidad 5 Es decir, el costo marginal C (x) es una aroximación al costo de roducir la unidad x+1, esto es: C (x) C(x + 1) C(x) (4) Con los lanteamientos anteriores, el costo marginal se define de la siguiente manera: La función de costo marginal es la derivada de la función de costo: C (x). El valor que se obtiene al calcular la derivada de la función costo es una aroximación al costo verdadero cuando se roduce una unidad más de cierto roducto. roducir x unidades de un artículo más 1 unidad, la manera de estimar el costo de este roceso es haciendo uso de la derivada. Si bien el resultado no es un valor exacto, corresonde a una aroximación muy cercana. Ejemlo 3 El costo total, en esos, ara roducir x metros de cierta tela es: C(x) = x + 0.1x x 3 a) Encontremos la función de costo marginal. b) Calculemos C c) Comaremos C (100) con el costo de fabricación del 101- ésimo metros. d) Calcula el error absoluto y relativo que se cometen en la aroximación que da el costo marginal. 00 Solución: a) Tenemos que la función de costo marginal es la derivada de la función costo, entonces: C (x) = x x b) El costo marginal en 100 lo determinamos al evaluar la derivada de la función costo en x =100, or lo que obtenemos la siguiente exresión: C (100) = (100) (100) = 100

13 Matemáticas Este resultado es una aroximación del costo de roducir el 101-ésimo metro de tela. c) El costo real de fabricación del 101-ésimo metro de tela es igual al costo de roducir 101 metros menos el costo de roducir 100 metros de tela, es decir: C(101) C(100) general del costo de fabricación del x + 1-ésimo metro de tela: 3 C( x 1) C( x) ( x 1) 0. 1( x 1) 0. 00( x 1) 3 ( x 0. 1x 0. 00x ) ( x 1) x x 1 x ( x 1) 0. 00( 3x 3x 1) 0 0. x x x x x De la exresión general sustituimos x or 100, y esta oeración nos ermite obtener el costo de roducción del 101-ésimo metro de tela: C(101) C(100) = d) De los resultados obtenidos en b) y c), el error absoluto, que se calcula con el valor absoluto de la diferencia entre el costo de roducción del 101-ésimo metro menos el costo de roducción de los 100 metros, es: = Para determinar el error relativo usamos la exresión (3): % 0. 69% 01 Costo medio marginal (Costo romedio marginal) Con el roósito de comlementar el análisis de la función costo, en este aartado se estudia el costo romedio como otro elemento de discusión del análisis marginal.

14 Unidad 5 El costo medio o romedio está relacionado con el costo total C(x) de roducción de x unidades de un artículo. El costo medio de x unidades de este artículo se obtiene al dividir el costo total de roducción entre el número de unidades roducidas, esto es: C x Cm ( x ) ( ) x La derivada de la función costo medio es llamada la función de costo medio marginal, y mide la razón de cambio de la función de costo medio con resecto del número de unidades roducidas. Ejemlo 4 El costo total de roducción de x envases esféricos ara refrescos, en una comañía embotelladora, está dado or: C(x) = x + 0.5x a) Calculemos la función de costo romedio. b) Determinemos la función costo romedio marginal. Solución: a) La función de costo medio, ara este caso, es: C x Cm ( x ) ( ) x x x b) La derivada de la función costo medio es la función costo romedio marginal, esto es: 00 Cm'( x). 0 5 x 0

15 Matemáticas Ejercicio En los ejercicios 1 a 5 calcula la función de costo marginal de las funciones de costo siguientes: C( x) x 3x 580x C(x) = x 3 x + 400x C(x) = x 4. C(x) = 0.006x 3 0.x + 35x C(x) = 0.1x 3 0.5x + 500x En una fábrica se determinó que cuando se roduce x número de cierto artículo, el costo total es de C(x) = x + 6x + 18 esos. a) Calcula la función de costo marginal. b) Emlea la función de costo marginal ara calcular el costo de fabricar la cuarta unidad. c) Cuál es el costo real de roducir la cuarta unidad? d) Determina el error absoluto y relativo que se tiene en la aroximación al costo total. 7. El costo total, en esos, de fabricar mensualmente x grabadoras en una comañía, está dada or C(x) = x + 5x a) Calcula la función de costo marginal. b) Emlea la función de costo marginal ara calcular el costo de fabricar la unidad 101. c) Cuál es el costo real de fabricar la unidad 101? d) Determina el error absoluto y relativo que se cometen en la aroximación que da el costo marginal. 8. Una fábrica de artes ara juguetes estima que el costo total, en esos, de roducir x unidades de un rototio está dado or C(x) = 0.001x x a) Calcula la función de costo marginal. b) Emlea la función de costo marginal ara calcular el costo de fabricar 50, 400, 800 y 1 00 unidades. c) Calcula el error absoluto y relativo que se comete en la aroximación que da el costo marginal de la unidad

16 Unidad 5 En los ejercicios 9 a 13 calcula el costo romedio marginal de las funciones costo total siguientes: 9. C(x) = x x C(x) = x + 8.5x C(x) = x x 3 x C( x) x 13. C x x x x 5.3. Utilidades marginales Luego de conocer los ingresos y el costo de una actividad roductiva, se ueden determinar las utilidades que se obtienen. Utilidad marginal Como la derivada deende de una variable indeendiente discreta, la utilidad marginal se determina de igual forma que se hizo con el ingreso y los costos. Se tiene que: La función de utilidad marginal es la derivada de la función utilidad: U (x). El resultado de la derivada es una aroximación a la utilidad que se obtiene de la roducción y venta de una unidad más de un cierto roducto. aroxima a la utilidad que se obtiene al roducir y vender la unidad x

17 Matemáticas Ejemlo 5 Un fabricante estima que cuando se roducen x número de artículos, el costo total en miles de esos está dado or C(x) = 0.x + 4x + 00, y que el recio or unidad, en miles de esos, deende del número de unidades roducidas y está dado or la función (x) = 0.5(100 x). Por ejemlo, si se venden 10 unidades el recio de cada una es de (10) = 0.5(100 10) = (0.5)(90) = 45 esto es $ a) Calculemos la función utilidad. b) Determinemos la función utilidad marginal. c) Calculemos la utilidad de roducir y vender la novena unidad, con ayuda de la función utilidad marginal. d) Calculemos los errores cometidos al realizar esta aroximación. Solución: a) La función utilidad se obtiene restando los costos de los ingresos, es decir: U(x) = I(x) C(x) (5) Como los ingresos se calculan multilicando el número de unidades vendidas or el recio de venta, tenemos que: Luego, la utilidad está dada or: I(x) = x(x) = x[0.5(100 x)] U(x) = 0.5x(100 x) (0.x + 4x + 00) = 0.7x + 46x 00 b) La utilidad marginal es la derivada de la utilidad: U (x) = 1.4x + 46 c) Para determinar la utilidad aroximada que se obtiene al roducir la novena unidad, basta sustituir x or 8 en U (x) lo que da: Esto es, $ U (8) = 1.4(8) + 46 = 34.8 miles de esos 05 d) La utilidad exacta al roducir la novena unidad está dada or: es decir, $ U(9) U(8) = = miles de esos,

18 Unidad 5 El error absoluto cometido es: es decir, $ = 0.7 miles de esos El error relativo es: %. 05% Ejemlo 6 Un fabricante determinó su utilidad mediante la siguiente función: U(x) = 3x x donde x reresenta el número de artículos roducidos y vendidos. Calculemos el valor exacto, el valor aroximado de la utilidad y los errores de aroximación que se obtienen al roducir y vender la unidad 01. Solución: la utilidad marginal es la derivada de U(x): U (x) = 6x El valor aroximado de la utilidad al roducir y vender la unidad 01 está dado or U (00) que es igual a: U ' ( 00) 6( 00) La utilidad exacta que se obtiene al roducir y vender la unidad 01 U(01) U(00) = = Por lo tanto, el error absoluto que se roduce es = 3. Es decir, el error al realizar la aroximación es de $3.

19 Matemáticas El error relativo es: %. % Ejercicio 3 En los ejercicios 1 a 3, C(x) es el costo total de roducir x unidades de un determinado artículo y (x) es el recio or unidad en que se venderán las x unidades. Determina la función utilidad marginal. 1. C(x) = 0.4x + 8x (x) = 0.5(6 x). C(x) = 0.x + 6x + 30 (x) = 0.4(90 x) C( x) x 4x 630 ( x) ( x) Una comañía de televisión or cable, luego de un estudio de sus utilidades ha determinado que la relación que describe su utilidad anual U(x) (en esos) en función de la tarifa mensual de renta x (en esos) es la siguiente: U(x) = x x a) Calcula la función de utilidad marginal. b) Utiliza la función de utilidad marginal ara calcular la utilidad aroximada cuando la renta es de $ En una emresa existe el estimativo de que al roducir x unidades de 1 determinado artículo el costo total está dado or C( x) x 8x 30 esos. El 5 recio or unidad en miles de esos deende del número de unidades roducidas 1 y está dado or la función ( x) ( x) 150. a) Calcula la función de utilidad marginal. b) Emlea la función de utilidad marginal ara calcular la utilidad aroximada luego de roducir y vender la unidad

20 Unidad 5 6. Una agencia de bienes raíces tiene en renta deartamentos de tres habitaciones. La utilidad mensual (en esos) obtenida or la renta de x deartamentos es: U(x) = 10x + 600x a) Calcula la utilidad marginal cuando se han rentado los 50 rimeros deartamentos. b) Cuál es la utilidad real obtenida al rentar el deartamento 51? 5.4. La elasticidad de la demanda Con el objeto de comletar el estudio del análisis marginal, ya que la técnica de aroximación a través de la derivada que se ha utilizado en las secciones anteriores con referencia al ingreso, al costo y a las utilidades es mucho más general, se discuten en esta sección los concetos de cambio orcentual de una función y de la elasticidad de la demanda. Es sabido que existe una relación entre el consumo de un roducto y su recio; esta relación indica que en la mayoría de los casos la demanda disminuye a medida que el recio se incrementa. Estudiar la elasticidad de la demanda, que es un conceto utilizado en la economía y la administración, ermite conocer el orcentaje de cambio de la demanda de un artículo cuando su recio cambia. Cambio orcentual de una función 08 Sea la función f(x), que exresa el valor de cierta cantidad en términos de una variable indeendiente x. Si se aumenta x en una cantidad x, la función f(x) aumenta una cantidad f = f(x + x) f(x) y la fórmula ara el cambio orcentual tiene la forma: f 100 % (7) f ( x) Es decir, el cambio orcentual de una cantidad exresa la variación en esa cantidad como un orcentaje de su valor antes del cambio. En los siguientes ejemlos se alica este conceto en dos situaciones diferentes.

21 Matemáticas Ejemlo 7 El roducto interno bruto (PIB) de un aís fue PIB(t) = t + 4t mil millones de dólares t de ese aís fue PIB(1) = = 156 mil millones de dólares. Calculemos el cambio orcentual del PIB en el rimer semestre de Solución: transcurrieron 6 años desde inicios de 1993 hasta inicios de 1999, valor exacto del cambio orcentual del PIB necesitamos calcular el cambio roducido en el rimer semestre de 1999: PIB(6.5) PIB(6) y dividirlo or el valor que se tenía al inicio de 1999: PIB(6). Es decir, nos basta realizar la siguiente oeración: PIB( 6. 5) PIB( 6) 100% PIB( 6) % 5. 89% 46 Elasticidad de la demanda Por la imortancia que tiene la relación entre la demanda de un roducto y su recio, se hace necesario estudiar la elasticidad de la demanda, que no es otra cosa que el cálculo de la variación que se roduce en la demanda cuando los recios del roducto cambian. De hecho, si el recio sube, las ventas disminuyen; si el recio baja, las ventas aumentan. Es una situación que se resenta con mucha frecuencia en la vida real en los suermercados, or ejemlo, se ofrecen regularmente descuentos en algunos roductos ara atraer a mayor número de comradores. Una manera de medir los cambios que se dan en la demanda or variaciones en el recio es la razón del cambio orcentual en la demanda al cambio orcentual en el recio. Si q es la cantidad demandada y es el recio, esta razón es: q 100 q 100 donde q reresenta el cambio en la cantidad que se demanda y reresenta el (8) 09 q 100 q 100 q q (9)

22 Unidad 5 Si q = f (), entonces q = f ( + ) f () y cuando 0, esta exresión es: q f lim lim ( ) f 0 0 q f ( ) f ( ), f ( ) or lo que: lim 0 q q q dq d Si es el recio, q la cantidad de unidades demandadas y reresenta un cambio equeño en el recio, or la fórmula (8) alicada a q como una función de se tiene la exresión aroximada ara el cambio orcentual de q: Cambio orcentual en q dq d q 100% Si, en articular, el cambio en es un incremento de 1%, es decir, =1%, entonces = 0.01 y se tiene: Cambio orcentual en q dq d 100% q dq q d La exresión anterior se conoce en economía como elasticidad de la demanda; se acostumbra denotarla con la letra griega (eta), y se exresa mediante la siguiente relación matemática: 10 dq (9) q d Los elementos concetuales que se han discutido hasta el momento, ermiten dar a la elasticidad de la demanda la siguiente interretación: La elasticidad de la demanda es una aroximación al cambio orcentual de la demanda originado or un incremento de 1% en el recio.

23 Matemáticas Ejemlo 8 Suongamos que la demanda q y el recio de cierto artículo se relacionan mediante la ecuación lineal q = donde el recio está dado en esos. a) Cuál es el recio máximo que uede tomar ese roducto? b) Calculemos la elasticidad de la demanda en función del recio. c) Calculemos la elasticidad de la demanda cuando el recio es =10, y d) Calculemos la elasticidad de la demanda cuando el recio es = 60 y exliquemos el resultado. de la demanda vale 1? f) Cómo se calcula el orcentaje de variación de la demanda si se aumenta el recio en 5%? Solución: a) El recio máximo osible tiene que ser un recio que garantice alguna demanda del roducto, es decir, se debe tener q o sea: Tenemos que el recio máximo ara este roducto es $ b) La elasticidad de la demanda es: dq q d ( 3) c) Cuando el recio =10 la elasticidad de la demanda es: Cuando el recio es $10, un aumento de 1% en el recio (aumento de $1.0 en el recio) roducirá una disminución aroximada de 4% en la demanda. 4% 11 d) Cuando el recio es = 60 la elasticidad de la demanda es: %

24 Unidad 5 Cuando el recio or unidad del roducto es $60, un aumento de 1%, esto es de $0.60, roducirá una disminución aroximada de 0.67% en la demanda. Como la demanda cuando el roducto vale $60 es: q = = 450 3(60) = = 70 El 0.67% de 70 es 70 (0.0067) = Es decir, la disminución en las ventas es de rácticamente unidades. e) Cuando la elasticidad de la demanda es 1 quiere decir que a un aumento de 1% en el recio le corresonde una disminución de 1% en la demanda. En nuestro caso, la elasticidad de la demanda será igual a 1 cuando: Cuando el recio es $75 cualquier incremento orcentual que se haga roducto. f) Como el incremento orcentual en la demanda es lineal resecto al incremento en el recio, y como un incremento de 5% en el recio es 5 veces un incremento de 1%, que corresonde con el valor de la elasticidad, entonces el incremento orcentual de la demanda es 5 veces el valor de la elasticidad. Niveles de elasticidad de la demanda 1 demanda, que contribuye a una mejor interretación del tema que se exone. Si la demanda decrece cuando el recio crece, la elasticidad de la demanda es negativa. Sin embargo, deendiendo de sus valores se uede caracterizar la sensibilidad de la demanda al aumento de recios. Los economistas realizan

25 Matemáticas 1. Cuando >1, la disminución orcentual de la demanda es mayor que el incremento orcentual en el recio que la generó, es decir, la demanda es relativamente sensible a los cambios en el recio. En este caso, se dice que la demanda es elástica con resecto al recio. Éste es el caso del inciso c) del ejemlo 8.. Cuando <1, la disminución orcentual de la demanda es menor que el incremento orcentual en el recio que la generó, es decir, la demanda es oco sensible a los cambios en el recio y se dice que la demanda es inelástica con resecto al recio. Éste es el caso del inciso d) del ejemlo Cuando =1, los cambios orcentuales en la demanda son iguales a los incrementos en el recio y se dice que la demanda es de elasticidad unitaria. Éste es el caso del inciso e) del ejemlo 8. El nivel de elasticidad no es roio de una función de demanda, sino que deende de los diferentes valores de los recios. El ejemlo 8 evidencia esta situación, con una función de demanda que osee diferentes niveles de elasticidad según el recio que se considere. Ejemlo 9 Suongamos que la ecuación de demanda de cierto artículo es q = ara Caractericemos los diferentes niveles de elasticidad de la demanda en función de los recios del artículo en cuestión. Solución: la elasticidad de la demanda es: dq q d ( 0. 1) La demanda es elástica si >1, es decir, cuando:

26 Unidad 5 Luego, la demanda es elástica cuando el recio es suerior a La demanda es inelástica si < 1, es decir, cuando: Por lo tanto, la demanda es inelástica cuando el recio es inferior a La demanda es de elasticidad unitaria si = 1, es decir, cuando: Los cambios orcentuales en la demanda son iguales a los orcentajes de aumento en el recio cuando éste es igual a 300. Ejercicio Si la ecuación de demanda ara cierto artículo es: q= ara a) Exresa la elasticidad de la demanda como una función de. b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando el recio es = 00. Exlica la resuesta. c) A qué recio la elasticidad de la demanda es igual a 1?

27 Matemáticas. Si la demanda q y el recio de cierto artículo están relacionados or la ecuación: q=600 ara 0 q 300 a) Exresa la elasticidad de la demanda como una función de. b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando = La ecuación de demanda de cierto artículo es: q= ara 0 q 500 Determina ara qué valor de la demanda es: a) Elástica. b) Inelástica. c) De elasticidad unitaria. 4. La ecuación de demanda de cierto artículo es: q=600 ara 0 q 300 a) Exresa la elasticidad de la demanda como una función de y determina dónde =1, <1 y >1. b) Encuentra los intervalos en los cuales la demanda es elástica o inelástica. 5. Tomando en cuenta que q= 00, = 100 determina si la demanda es elástica, inelástica o si tiene elasticidad unitaria. Ejercicios resueltos 1. Para cada una de las siguientes funciones de ingreso I(x), costo C(x) y utilidades U(x) calcula las funciones de ingreso, costo y utilidad marginales evaluadas en x=6. a) I(x) = x + 60x b) C(x) = x + x c) U(x) = 160x 0.x d) C(x) = 6x 3 7x + 35x + 60 e) I(x) = x 3 + 9x + 18x f) U(x) = 400x x

28 Unidad 5 Solución: a) I ( x) x 60 I ( 6) ( 6) b) C ( x) 0 x C ( 6) 0 ( 6) 3 c) U ( x) x U ( 6) ( 6) d) C ( x) 18x 14x 35 C ( 6) 18( 6) 14( 6) e) I ( x) 3x 18x 18 I ( 6) 3( 6) 18( 6) f ) U ( x) 800x U ( 6) 800( 6) El ingreso total en una fábrica or cierto artículo está dado or I(x) = 30x x esos cuando roduce x unidades durante un mes. Actualmente la fábrica roduce 70 unidades al mes y lanea aumentar la roducción mensual en 1 unidad. a) Utilicemos la función de ingreso marginal ara encontrar el estimativo del ingreso adicional que genera la roducción y venta de la unidad 71. b) Calculemos el ingreso adicional real que generará la roducción y venta de la unidad 71. Solución: a) Se tiene que la función de ingreso marginal es la derivada de la función ingreso, esto es: 16 I (x) = x Para la aroximación al ingreso generado al roducir y vender la unidad 71 se evalúa la derivada en la unidad 70, es decir: I (70) = (70) = 37 esos

29 Matemáticas b) El ingreso adicional real que genera la roducción y venta de la unidad 71 está dado or: I(x + 1) I(x) = I(71) I(70) = esos 3. Con la siguiente ecuación de demanda 3x = a) Calculemos la función de ingreso marginal. b) Con la función de ingreso marginal calculemos el ingreso obtenido en la venta de la unidad 151. c) Calculemos el ingreso real obtenido en la venta de la unidad 151. Solución: a) Como la función ingreso se uede exresar de la forma: I(x) = x Escribimos la ecuación de demanda de tal manera que sea una función de x, esto es: x x Con la exresión obtenida tenemos que la función ingreso está dada or: I ( x) x( x ) 10x 0. 01x Ahora bien, el ingreso marginal, cuando se vende un número x de artículos, es: I (x) = x b) El ingreso marginal obtenido en la venta de la unidad 151 se obtiene evaluando la derivada en 150, esto es: I (150) = 10 (0.0)(150) = 10 3 = 7 Tenemos que el aumento aroximado en los ingresos es de $7 or artículo al incrementar las ventas. 17 c) El ingreso real resultante de la venta de la unidad 151 es: I(x + 1) I(x) = I(151) I(150) = 6.99 El incremento en la venta genera un aumento real en los ingresos de $6.99 or artículo.

30 Unidad 5 4. En cierta fábrica se estima que cuando se roducen x unidades de determinado artículo, el costo total será C(x) = 0.004x x + 3x esos. a) Calculemos la función de costo marginal. b) Emleemos la función de costo marginal ara calcular el costo que imlica fabricar la sétima unidad. c) Cuál es el costo real de roducir la sétima unidad? Solución: a) El costo marginal es la derivada de la función costo, entonces: C (x) = 0.01x + x + 3 b) El costo de roducir la sétima unidad es el cambio del costo a medida que x se incrementa de 6 a 7, y lo obtenemos al evaluar el costo marginal en la unidad 6: C (6) = 0.01(6) = $9.43 c) El costo real de roducir la sétima unidad es: C(x + 1) C(x) = C(7) C(6) = $10 5. Un fabricante estima que cuando se roducen mensualmente x unidades de determinado artículo, el costo total será C(x) = 0.4x + 1x esos y todas las 1 unidades ueden venderse a un recio de ( x) ( 160 x) esos or unidad. 4 a) Cuál es la función de utilidad marginal? b) Con ayuda de la función de utilidad marginal calculemos la utilidad aroximada de roducir la unidad 5. c) Calculemos los errores cometidos al realizar esta aroximación. Solución: a) Como la función ingreso está dada or: 18 I(x) = x(x) Es decir, el número de unidades vendidas x, or el recio de cada unidad (x). Tenemos que la función ingreso es: 1 I ( x) x ( x) x x

31 Matemáticas Recordemos que la función utilidad está dada or la diferencia entre el ingreso cuando se venden x artículos y el costo de roducir esos mismos x artículos. Entonces la utilidad es: U( x) ( 40x x ) ( 0. 4x 1x 400) 1. 4x 8x 400 Se tiene que la función de utilidad marginal es: U (x) =.8x + 8 b) La utilidad aroximada que se obtiene de roducir y vender la unidad 5 se halla al evaluar U (4), es decir: U (4) =.8(4) + 8 = 16.8 La utilidad adicional que se tiene al roducir la unidad 5 es de $16.80 c) Para calcular los errores cometidos en la anterior aroximación, rimero debemos encontrar la utilidad exacta de roducir y vender la unidad 5: U(x +1) U(x) = U(5) U(4) = $15.4 El error absoluto se calcula con la diferencia de los valores obtenidos en b) y c): El error relativo es: = $ % 9. 09% Suongamos que la demanda q y el recio de cierto artículo se relacionan mediante la ecuación lineal q = 340 4, donde el recio está dado en esos. a) Exresemos la elasticidad de la demanda como una función de. b) Calculemos la elasticidad de la demanda cuando el recio es = 60 y 19 c) Calculemos la elasticidad de la demanda cuando el recio es = 40 y analicemos el resultado.

32 Unidad 5 Solución: a) La elasticidad de la demanda es: dq q d q ( 4) b) Cuando = 60, la elasticidad de la demanda es: Tenemos que cuando el recio es = 60 un incremento de 1% generará una disminución de.4% en la demanda, aroximadamente.. 4 c) Cuando = 40, la elasticidad de la demanda es: Esto es, cuando el recio es = 40 un incremento de 1% generará una disminución de 0.88% en la demanda, aroximadamente. d) La elasticidad de la demanda es igual a 1 cuando: Con este recio, un incremento de 1% en el recio generará una disminución de la demanda de aroximadamente el mismo orcentaje (1%). 0

33 Matemáticas Ejercicios rouestos En los ejercicios 1 a 5 determina la función de ingreso marginal con las funciones de demanda corresondientes: 1. (x) = x. ( x) x 3. (x) = x 4. (x) = x 0.001x 1 5. ( x) ( 40 60x) 6 En los ejercicios 6 a 10 calcula la función de costo marginal de las siguientes funciones de costo total: 6. C(x) = 390x + 4x 7. C(x) = x 0.01x x 3 8. C(x) = x x 9. C(x) = x x x C(x) = x x x En los ejercicios 11 a 14 calcula la función de utilidad marginal con las funciones de costo total y las funciones de ingreso total dadas, resectivamente: La función de costo es C( x) 65x x y la de ingreso es 1 I ( x) 350x x 1. La función de costo es C(x) = 90x + 0.0x 30 y la de ingreso es I(x) = 180x 0.04x 13. La función de costo es C(x) = x + 0.x x 3 y la de ingreso es I(x) = 70x 0.1x 0.001x La función de costo es C(x) = x 5x y la de ingreso es I(x) = 140x 10x

34 Unidad Una cororación fabrica grabadoras ortátiles. La cantidad (x) de estas grabadoras demandadas cada semana se relaciona con el recio unitario al mayoreo () mediante la ecuación: x a) Cuál es la función de ingreso total? b) Determina la función ingreso marginal. c) Emlea la función de ingreso marginal ara calcular el ingreso obtenido en la venta de la unidad d) Calcula el ingreso real obtenido en la venta de la ésima unidad. 16. El costo de roducir x unidades de cierto roducto está dado or: C(x) = x x donde C(x) es el costo total exresado en esos. a) Calcula la función de costo marginal. b) Utiliza la función de costo marginal ara calcular el costo de fabricar la sétima unidad. c) Cuál es el costo real de roducir la sétima unidad? 17. Una comañía de televisión or cable estima que una relación que describe la utilidad anual U(x) en esos en función de la tarifa de renta x en esos es la siguiente: U(x) = x x a) Calcula la función de utilidad marginal. b) Emlea la función de utilidad marginal ara calcular la utilidad aroximada de renta en 5 esos. 18. Las funciones de costo e ingreso total de un artículo son: C( x) x x I ( x) 70x x a) Calcula la función de utilidad marginal. b) Emlea la función de utilidad marginal ara calcular la utilidad aroximada de roducir y vender la unidad 50.

35 Matemáticas 19. La ecuación de demanda de cierto artículo es: q= 400 ara 0 10 a) Exresa la elasticidad de la demanda como una función de. b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando el recio es = 6. c) A qué recio la elasticidad de la demanda es igual a 1? Autoevaluación 1. En una fábrica de discos comactos se determinó que la demanda semanal está dada or la siguiente ecuación de demanda: = 0.06x x donde denota el recio unitario al mayoreo en esos, y x la cantidad demandada. La función de costo total semanal relacionada con la fabricación de estos discos comactos es: C(x) = x 0.01x x 3 esos a) Calcula la función de ingreso y la función utilidad. b) Determina las funciones de ingreso, costo y utilidad marginales. c) Evalúa las funciones halladas en b) cuando x = Un fabricante estima que cuando se roducen x unidades de determinado 1 artículo, el costo total en miles de esos está dado or C( x) x 1x 800, y que el recio or unidad en miles de esos deende del número de unidades roducidas, el cual está dado or la función (x) = 0.5(10 x), recio al cual se venderán las x unidades. Emlea la función de utilidad marginal ara calcular la utilidad de roducir la tercera unidad. 3. La demanda q y el recio de cierto artículo se relacionan mediante la ecuación lineal: 3 q=

36 Unidad 5 a) Exresa la elasticidad de la demanda como una función de. b) Calcula la elasticidad de la demanda cuando el recio sea =100 c) A qué recio la elasticidad de la demanda es igual a 1? 4. Suón que la demanda q y el recio de cierto artículo están relacionados or la ecuación 300 q ara Determina dónde la demanda es elástica, inelástica o de elasticidad unitaria con resecto al recio. 4

37 Matemáticas Resuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. a) $00.0 b) $ c) 0.04%. a) I (x) = x b)$13 80 c) Producir la unidad 186 genera $ d) 0.18% 3. $ a) I (x) = 0.08x esos b) $ c) $ d) $0.04 y 0% 5. a) $11, $5, $0, $ 4 y $ 1. b) El ingreso es máximo cuando se venden 750 artículos. 6. a) I (x) = x b) $500, $0, $ 500. c) Los ingresos son máximos cuando la tarifa es aroximadamente $40 or asajero. x 7. a) I ( x) 64 5 b) c) x 8. a) I ( x) b) 7.01 c) 7.005

38 Unidad 5 x 9. a) I '( x) 0 70 b) c) a) I(x) = 0.05x + 900x b) I (x) = 0.1x c) a) I ( x) 60x 0. 01x 1 b) $53 55 Cuando el nivel de roducción es de 000 unidades el ingreso crece a razón de $53 5 or cada unidades adicionales roducidas y vendidas. 1. a) I(x) = 0.03x + 380x b) I (x) = 0.06x c) $860 d) $ Ejercicio 6 1. C (x) = x 6x C (x) = 3x 4x C (x) = 40x 4. C (x) = 0.018x 0.4x C (x) = 0.3x x a) C (x) = x + 6 b) $1 c) $13 d) $1 y 7.69% 7. a) C (x) = x b) $5 480 c) $5 505 d) $5 y 0.45%

39 Matemáticas 8. a) C (x) = 0.00x b) $ 0.56, $ 0.86, $ 1.66 y $.46 c) 0.001, 0.041% 9. c ( m x ) x 10. c m ( x ) x 11. c ( x ) 500 m 0 x x c ( x ) m 3 x x 13. c m ( x ) 00 3 x Ejercicio 3 1. U (x) = 1.3x 1.5. U (x) = 1.x U (x) = a) U (x) = x b) $ a) U (x) = 1.4x + 67 b) $ a) $1 600 b) $

40 Unidad 5 Ejercicio 4 1. a) b) = 0.5, cuando el recio es $00 habrá una disminución de 0.5%. c) $300. a) b) a) > 15 b) < 15 c) = a) en = en < en > 150 b) Elástica en > 150 e inelástica en < La demanda es inelástica. Resuestas a los ejercicios rouestos 8 1. I (x) = x. I (x) = 350 x 3. I (x) = x 4. I (x) = 70 0.x 0.003x 5. I (x) = 40 0x 6. C (x) = x

41 Matemáticas 7. C (x) = x x 8. C (x) = x 9. C (x) = x x 10. C (x) = x 0.018x U (x) = 85 4x 1. U (x) = x 13. U (x) = x 0.009x 14. U (x) = 10 10x 15. a) I ( x) b) I '( x) c) d) x 7. 5 x x a) C (x) = x b) c) a) U (x) = x b) a) U (x) = x b) $ a) b) = 0.43 c) $

42 Unidad 5 Resuestas a la autoevaluación 1. a) U ( x) x 300x x I ( x) 0. 06x 900x b) I '( x) 0. 1x C '( x) x x U '( x) x x c) $780, $603, $177. $ a) b) 5 c) =$ Elástica > 10 Inelástica < 10 Elasticidad unitaria = 10 30

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