ESCUELA SIEMPRE ABIERTA Verano Taller: Matemáticas creativas. Secundaria

Transcripción

1 ESCUELA SIEMPRE ABIERTA Verano 2010 Taller: Matemáticas creativas Secundaria

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3 ESCUELA SIEMPRE ABIERTA VERANO 2010 La Escuela Siempre Abierta en su fase de verano, ofrece a las alumnas y a los alumnos que cursan la educación primaria y secundaria en el Distrito Federal, opciones atractivas e innovadoras de aprendizaje, recreación, socialización y ejercitación. La propuesta lúdico-formativa se ha articulado en siete ejes rectores: Habilidades matemáticas, Habilidades lingüísticas, Ciencias, Formación cívica y ética, Artes, Educación Física y Habilidades para el uso de tecnologías de la información y la comunicación. Cada uno de estos ejes incorpora talleres específicos, diseñados por especialistas de distintas instituciones y organismos tanto púbicos como privados, así como por los equipos técnicos de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal. Para apoyar a los docentes que coordinarán cada uno de los talleres de la Escuela Siempre Abierta se ha preparado esta carpeta de trabajo, en la que se presenta el detalle de las actividades a realizar en cada uno de los talleres y ciclos, así como el material que se utilizará en cada una de ellas. La carpeta incluye: Un Cuadro concentrado con el nombre, el propósito y los materiales que se utilizarán en las sesiones de trabajo contempladas en cada taller. Una sección denominada Aprendizajes esperados; en ella se explica los aprendizajes que debe lograr el alumno con la actividad en términos de conocimientos, habilidades, actitudes y/ o valores. Un apartado denominado Organización del grupo; en éste se describe la mecánica de trabajo de cada una de las actividades. La sección Desarrollo de la sesión indica tres momentos claramente delimitados: el desarrollo de las actividades, la puesta en común de los productos generados y el cierre de la sesión:

4 o Desarrollo de las actividades. Aquí se describen las actividades o pasos que deben desarrollar los alumnos. o Puesta en común de los productos. Se presentan indicaciones para que los alumnos socialicen las actividades realizadas, compartan sus productos y comenten sus apreciaciones sobre lo que sus compañeros hicieron. o Cierre de la sesión. En este apartado se señalan las preguntas o consignas que pueden ayudar a los alumnos a identificar lo que aprendieron en la sesión. Estas preguntas o consignas deben permitir al monitor darse cuenta que los aprendizajes esperados se han alcanzado o bien, lo que tendría que reforzar en la siguiente sesión para que los alumnos lo logren. En la sección Orientaciones específicas para el monitor, se ofrecen sugerencias para el monitor en términos de aquellos aspectos que se consideran importantes de atender por él mientras los alumnos realizan las actividades o mientras utilizan un material. Es muy importante señalar que las actividades que integran la carpeta son flexibles y constituyen la guía para el trabajo de los monitores de la Escuela Siempre Abierta.

5 ÍNDICE TALLER: MATEMÁTICAS CREATIVAS Páginas PROGRAMACIÓN GENERAL DE SESIONES 2 1. Cubopol 2. Las tablas del Rey Salomón 3. El geoplano 4. El calculista 5. Carrera de caballos 6. El cubo loco 7. Vasos y corcholatas 8. Pintando cubos 9. Dibujando cubos 10. Cuádrate con los triángulos 11. El mosaiquero 12. Cuadrados, cuadritos y magia. 13. Figuras que crecen 14. El tangrama 15. Laberinto de decimales HORARIO PARA EL MAESTRO

6 PROGRAMACIÓN GENERAL DE LAS SESIONES EJE RECTOR: MATEMÁTICAS NOMBRE DEL TALLER: MATEMÁTICAS CREATIVAS NIVEL: SECUNDARIA Actividad Propósitos Tiempo Material 1.-Cubopol Explorar, analizar, deducir y conceptualizar las propiedades del algunos polígonos regulares e irregulares (cuadriláteros, triángulo y hexágono) y de algunos poliedros (cubo, pirámide triangular, pirámide cuadrangular). 60 minutos Popotes Listón cola de rata Hoja de trabajo 2.- Las tablas del Rey Salomón Que el alumno desarrolle profundice en los principios del sistema de numeración decimal y de bases distintas de minutos Hojas de trabajo Tablas del Rey Salomón Tablas de conversiones 3.-El geoplano Resolver problemas que impliquen identificar las características generales de polígonos de tres y cuatro lados. 60 minutos Geoplano Ligas Hojas de trabajo 4.-El calculista Utilizar la calculadora para generalizar y estimar resultados al resolver problemas. 60 minutos Calculadora aritmética Hojas de trabajo 5.- Carrera de caballos Comparar eventos probabilísticos a fin de distinguir que una actividad aleatoria se rige por reglas que son posibles de conocer. 60 minutos Tableros Dados cúbicos Fichas Hojas de trabajo 2

7 Actividad Propósitos Tiempo Material 6.-El cubo loco Mediante un arreglo manipulable de cubos demostrar que una misma área puede contener volúmenes distintos. 60 minutos Cartulina Tijeras Cinta mágica o Diurex 7.- Vasos y corcholatas Distinguir diversas situaciones de azar en eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia. 60 minutos 20 Corcholatas iguales Cartulina Un vaso desechable de diferente tamaño para cada equipo. Una bolsa de igual tamaño para cada equipo. 8.- Pintando cubos Que el alumno desarrolle habilidades matemáticas que le ayuden a enfrentar con éxito, distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que debe imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos. 60 minutos Hoja de trabajo Hoja perspectiva Colores 9.- Dibujando cubos Que el alumno desarrolle habilidades matemáticas que le ayuden a enfrentar con éxito, distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que debe imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos. 60 minutos Hoja de trabajo Hoja perspectiva Colores 10.- Cuádrate con los triángulos Comprobar geométricamente la validez del Teorema de Pitágoras por equivalencia entre áreas de figuras planas, en el caso particular del triángulo rectángulo isósceles utilizando el tangrama. 60 minutos Tangrama Hojas de trabajo 3

8 11.- El mosaiquero Conocer las características de los polígonos que permiten cubrir el plano y realizar recubrimientos del plano. 60 minutos Mosaicos de papel (al menos 2 copias fotostáticas del anexo 2) Teselado de Escher (anexo1) Tijeras Colores Cartulina Superficie plana Pegamento 12.- Cuadrados, cuadritos y magia. Construir el conjunto de Cantor a fin generar patrones y determinar la expresión general para el enésimo término de una sucesión numérica y figurativa. 60 minutos Hojas blancas o cuadriculadas Colores Calculadora 13.-Figuras que crecen Determinar una expresión general para definir el enésimo término en sucesiones numéricas y figurativas. 60 minutos Geoplano (papel punteado) Lápices de colores 14.- El tangrama Resolver problemas de suma y resta que impliquen el uso de números fraccionarios mediante el uso de material concreto. 60 minutos Tangrama Hojas de trabajo 15.- Laberinto de decimales Identificar las propiedades de densidad, escritura y valor posicional de los números con punto decimal. 60 minutos Calculadora Hoja de trabajo 4

9 1. CUBOPOL APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos trabajen en equipos en un ambiente cooperativo para construir el cubopol. Se pretende además que al manipular el cubopol puedan visualizar, identificar y reconocer características generales de polígonos y poliedros. La intención didáctica es utilizar el cubopol para explorar, analizar, deducir y conceptualizar las propiedades del algunos polígonos regulares e irregulares (cuadriláteros, triángulo y hexágono) y de algunos poliedros (cubo, pirámide triangular, pirámide cuadrangular). ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad se sugiere organizar a los alumnos en equipos de 2 o 4 elementos, esto dependerá de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para realizar la actividad. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Al inicio de la clase se debe favorecer una lluvia de ideas, para ello podrán hacerse preguntas como las siguientes: (5 min) Qué es un polígono? Qué tipo de polígonos conocen? Qué diferencia existe entre un polígono regular e irregular? Cuáles son los elementos de un polígono (lados, ángulos, vértices)? Cuál es la diferencia entre un polígono y un poliedro? Qué tipo de poliedros conocen? Cuántas caras tiene un cubo, una pirámide cuadrangular? cuántos vértices? cuántas aristas? A través de la lluvia de ideas generada por los alumnos se definirá a los polígonos y a los poliedros a partir de sus características y propiedades más generales. Secuencia de actividades 5

10 1. Construyamos nuestro cubopol! En equipos de 4 personas los alumnos procederán a armar el cubopol (cubo hecho de popotes), para hacerlo se requieren 12 popotes y un trozo de listón cuya longitud sea igual a 17 popotes por alumno. El procedimiento para armar el cubopol se describe a continuación: (Tiempo 20 min) a. Debe hacerse pasar el listón dentro de los popotes y formar la siguiente figura. Al final debe anudarse para evitar que se desarme. b. Posteriormente deben hacerse pasar por el listón tres popotes más y formar la siguiente figura. Al final también debe anudarse y debe regresarse el listón a través del último popote. c. Deben introducirse dos popotes más y formar la siguiente figura, después deberá hacerse un nudo en los puntos indicados con el número 1. d. Después del paso anterior, la construcción debe verse como sigue. Observa la ubicación del nudo y del listón. Procura ocultar los nudos dentro de los popotes. e. Nuevamente deben introducirse dos popotes y después deberá hacerse un nudo más en los puntos indicados con el número 1. f. Después del paso anterior, la construcción debe verse como sigue. 1 1 g. Finalmente se introduce el último popote, y después debe hacerse el último nudo. La construcción debe verse como sigue. Observa que al final se corta el excedente de listón. Una vez construido, los alumnos tendrán que explorar el cubopol, primero para encontrar las figuras planas que pueden formarse y para reconocer sus características y posteriormente, para formar la estructura de algunos cuerpos e identificar sus características generales. 6

11 2. Pedir a los alumnos que con el cubopol construyan distintos polígonos y que los dibujen en los siguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10 min) Figuras cuyos lados y ángulos interiores miden lo mismo Figuras cuyos lados o ángulos interiores sean distintos Al terminar de dibujar todos los distintos polígonos que hayan encontrado deberán comparar los resultados con sus compañeros a fin de ver si les faltan algunos y validar si los han dibujado en los mismos espacios. Posterior a ello deberán responder las siguientes preguntas: Escribe el nombre de las figuras que dibujaste en el recuadro de la izquierda: Son estas figuras polígonos regulares? Justifica tu respuesta: 3. Pedir a los alumnos que construyan distintos poliedros y que los dibujen escribiendo el nombre de cada uno de ellos: (10 min) POLIEDROS Después de haber realizado la actividad anterior responde lo siguiente: Número de aristas que tiene: Cubo Pirámide cuadrangular Pirámide triangular Número de vértices que tiene: Cubo Pirámide cuadrangular Pirámide triangular Número de caras que tiene: Cubo Pirámide cuadrangular Pirámide triangular 7

12 CUBOPOL (Tiempo estimado 15 min) Nombre: 1. Considera los polígonos que formaste y completa la siguiente tabla: Nombre Representación Nº de lados Nº de vértices Regular (si no) 2. Dibuja las siguientes imágenes en la tabla según corresponda: Cuadriláteros regulares Cuadriláteros irregulares 8

13 Puesta en común de los productos Al finalizar los alumnos en equipos deberán enunciar las características de los polígonos regulares e irregulares Completa la tabla: Nombre Imagen No. De caras No. De vértices No. De Aristas 9

14 Cierre de la sesión Un dodecaedro es un poliedro con caras pentagonales. Observa la siguiente figura y determina el número de caras, vértices y aristas que tiene. DODECAEDRO No. De caras No. De vértices No. De aristas Al final compara tus resultados con otro compañero. ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Al armar el cubopol considere la construcción dirigida, es decir el profesor podrá mostrar la forma en que puede manipularse el cubopol, o bien que otros alumnos muestren la forma en que lo manipulan a quienes tengan dificultad para formar las figuras y poliedros que son posibles de armar. Es primordial que los alumnos vean en la figura la característica que se pretende observar. Por ejemplo, los lados de los polígonos, la descomposición del hexágono en triángulos equiláteros, la congruencia de los lados y ángulos, etcétera. Es muy importante que los alumnos anoten como conclusión las propiedades generales de los polígonos y que puedan desarrollar la imaginación espacial a fin de poder determinar e imaginar las características geométricas de otros poliedros. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los alumnos elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 10

15 2. LAS TABLAS DEL REY SALOMÓN APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos analicen y comprendan los principios del sistema de numeración posicional a través de una actividad integradora. Que los alumnos profundicen en los principios del sistema de numeración decimal y de bases distintas de 10. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Se recomienda iniciar la actividad de manera grupal, para ello deben utilizarse Las Tablas del Rey Salomón, puede crearse una historia ficticia en la que se diga al estudiante que se encontraron una tablas mágicas que pertenecieron al Rey Salomón, último Rey del pueblo de Israel y considerado el hombre más sabio que ha existido en la tierra. Las tablas encontradas son mágicas y permiten adivinar el número que está pensando una persona. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Debe iniciarse con el truco de las Tablas del Rey Salomón, debe pedirse a los alumnos que elijan un número del 1 al 31, que se fijen bien en qué tablas se encuentran y el profesor deberá adivinar cuál es ese número: (10 min) Las tablas del Rey Salomón se encuentran en el anexo 1. Secuencia de actividades 1. Una vez que todos hayan descubierto el truco de las tablas el profesor pedirá a los alumnos que resuelvan las siguientes operaciones. (los números están en base 2) 2. La actividad anterior servirá sólo para introducir a los alumnos a la conversión de números de base 10 a base 2 y viceversa. Completa los espacios en blanco de tal forma que las equivalencias entre los números en base 2 y base 10 sean correctas: 11

16 Número en base Equivalente en base Número en base Equivalente en base La siguiente plantilla servirá para convertir cualquier número de base 2 a base 10 o viceversa. (10 min): Ejemplo, si se quiere formar el número 12, deberán elegirse los números necesarios para formarlo, en este caso tendría que ser desde el 8 hacia abajo, de tal forma que ponemos un 1 en la fila del 8 y otro en la del 4 y en los demás se escribe un 0 y ya está. Intenta hacerlo con otros números. 4. Ahora intenta hacerlo al revés, primero escribe el número en base 10 y después su equivalente en base Ahora intenta hacerlo para otra base que no sea 2, por ejemplo base 4. Sólo debes recordar que ahora puedes elegir hasta 3 veces un número, por ejemplo, el número 23, significa que utilizó 2 veces el 4 y tres veces el 1 12

17 Puesta en común de los productos 6. Para saber cómo se construyen las tablas del Rey Salomón debes utilizar una tabla de conversiones de base 2 a base 10, debes iniciar en 1 y terminar en 31. Observa las regularidades en la tabla. Utiliza 5 rectángulo, anota en uno de ellos los números en base 10 donde aparece el número 1, en otro rectángulo anota los número en base 10 donde aparece el número 1 correspondientes a la 2ª columna y así sucesivamente. Al final compáralas con las que se utilizaron al principio. 13

18 Cierre de la sesión 7. Contesta la siguientes preguntas: a. Por qué crees que el sistema de numeración que utilizamos se dice que es decimal? b. Cuántas cifras utiliza el sistema de numeración de base 2? c. Cuántas cifras utiliza el sistema de numeración de base 8? d. Comenta con tus compañeros lo siguiente: Si el sistema de numeración base 2 utiliza menos símbolos que el de base 10, por qué utilizamos el de base 10? ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con cubos, en tal caso y como en la ficha anterior se recomienda que el profesor considere la posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta habilidad. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 14

19 ANEXO

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24 3. EL GEOPLANO APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos utilicen el geoplano para representar, identificar y modelar triángulos y cuadriláteros para reconocer, identificar y comunicar sus características generales. Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen identificar las características generales de polígonos de tres y cuatro lados. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad se sugiere que el profesor inicie contando brevemente la historia del Geoplano, debe precisarse que se trabajará con el geoplano cuadrangular y se recomienda que las actividades se resuelvan por equipos de 2 personas. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas EL GEOPLANO El geoplano fue inventado por el matemático y pedagogo egipcio Galeb Gattegno ( ) con el propósito de enseñar geometría a niños pequeños. Consiste en una superficie plana en la que se dispone, de manera regular, una serie de puntos. Dependiendo de cómo estén colocados estos puntos se distinguen varios tipos de geoplanos, aunque los que más se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado o cuadrangular y el circular. Geoplano triangular Geoplano cuadrado Geoplano circular 20

25 Secuencia de actividades 1. Traza con ligas en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto. (5 min) Recorridos sobre un geoplano 2. La figura muestra un geoplano de tamaño 5 x 5 con un camino que va de esquina a esquina desde A hasta B y que visita una y sólo una vez cada nudo de la cuadrícula (no se permiten caminos en diagonal) (10 min). a) Estudia qué otros recorridos de mismo tipo puedes encontrar. b) Hay algún camino simétrico al anterior? c) Cómo son entre sí las longitudes de estos caminos? 3. Cuántos triángulos diferentes puedes formar sobre un geoplano? Forma en el geoplano todos los triángulos distintos posibles y dibújalos a continuación (10 min): 21

26 Podrás formar un triángulo equilátero en el geoplano? Utiliza el geoplano para justificar tu respuesta. 4. Construir al menos 3 triángulos rectángulos diferentes al dado y obtener su área (5 min): 5. Une cuatro puntos con una liga y forma en el geoplano todos los cuadriláteros que se puedan construir en él (15 min): 22

27 Escribe el nombre de cada cuadrilátero que formaste y clasifícalos a partir del paralelismo entre sus lados: CUADRILÁTEROS CON LADOS PARALELOS CUADRILÁTEROS SIN LADOS PARALELOS 7. Ahora forma todos los cuadrados posibles que puedan formarse en el geoplano. Cuántos cuadrados distintos encontraste? Puesta en común de los productos 8. Compara tus respuestas con tus compañeros 9. Construir en el geoplano las siguientes figuras, escribe su nombre y obtén su área. 10. Traza dos figuras que no sean comunes y pídele a un compañero que obtenga el área de ellas (10 min): 23

28 Cierre de la sesión Construir una figura cualquiera y obtener su área. Registrar en hoja lo de puntos. Por ejemplo: 24

29 ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR El uso del geoplano dentro del salón de clases es una herramienta poderosa que permite tratar de manera concreta distintos temas de la geometría, se recomienda al profesor que al iniciar la actividad se estimule a los estudiantes a formar con las ligas, distintas figuras en el geoplano, después poco a poco lo llevará hacia la realización de la actividad propuesta en esta ficha de trabajo. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 25

30 4. EL CALCULISTA APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos realicen un uso adecuado e inteligente de la calculadora aritmética. Deben además estimar, calcular, generalizar y predecir resultados a partir de la observación de patrones numéricos que pueden obtenerse con la calculadora. Que os alumnos utilicen la calculadora para generalizar y estimar resultados al resolver problemas. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad se sugiere que inicien el trabajo de manera individual, a fin de poder buscar estrategias diversas para resolver las primeras actividades y confrontar después las estrategias utilizadas. Posteriormente los alumnos deberán organizarse en equipos de 2 elementos a fin de confrontar sus resultados. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo una introducción al uso del teclado de la calculadora para encontrar algunas regularidades: (5 min) Resta a cada número el que se encuentra debajo de él, también puedes hacerlo por parejas o tercias. Observa el resultado: Intenta hacerlo pero ahora en forma vertical. Descubre otras regularidades y compártelas con tus compañeros. 26

31 Secuencia de actividades 1. Teclea en la calculadora las siguientes secuencias y escribe a un lado el resultado. (10 min) 4 + = 4 + = = 4 + = = = Qué resultado aparecerá en la calculadora después de oprimir 11 veces la tecla igual? Cuántas veces debes oprimir la tecla igual para que aparezca el número 124? Con referencia a la actividad anterior, completa la siguiente tabla. N de veces que oprime la tecla = Teclea en tu calculadora la secuencia siguiente y escribe el resultado a la derecha (5 min). 3 X = 3 X = = 3 X = = = Al oprimir la tecla = Qué operación estás realizando en la calculadora? 3. Con base en la actividad anterior, realiza las siguientes operaciones: (5 min) 4 1 = 4 2 = = 4 4 =

32 2 1 = 2 2 = 2 3 = 2 4 = 2 5 = 4. Con el uso de tu calculadora resuelve las operaciones siguientes y observa con atención los resultados obtenidos. (5 min) a) = b) = c) = d) = e) = Explica brevemente cómo hacer para obtener el resultado sin utilizar la calculadora: Cuál es el resultado de = 5. Calcula mentalmente las siguientes operaciones = = = Qué observas en éstas operaciones? Explica: 6. Empleando la calculadora realiza los siguientes cálculos, observa con atención el resultado. Qué sucede con la cifra que corresponde a las unidades? Y con las decenas? 5 1 = 5 2 = 5 3 = 5 4 = 5 5 = 5 6 = 5 7 = Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de Puedes predecir la cifra correspondiente a las centenas de = 7 2 = 7 3 = 7 4 = 7 5 = 7 6 = 7 7 = 28

33 Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de Explica brevemente como hiciste para encontrar las respuestas de los ejercicios anteriores. 7. Observa lo que sucede al realizar las siguientes multiplicaciones, podrás resolver toda la actividad haciendo los cálculos mentalmente, utilizando la calculadora sólo para las tres primeras operaciones? 11 x 11 = 11 x 111= 11 x 1111= 11 x 11111= 11 x = 11x = 11 x = 11 x = Puesta en común de los productos 8. Con la calculadora al revés! Con tus compañeros, resuelve las siguientes operaciones y encuentra el mensaje al voltear la calculadora: En 1492 Cristóbal Colón descubrió América, él viajaba con (1) contramaestre, al salir del puerto de Palos en España, la Reina Isabel le regaló (x 2) botellas de vino, de las cuales les saldrían (x 17) copas, pero en medio del mar, qué fue lo que les faltaba? Cierre de la sesión 9. Inventa ahora tú, un mensaje y compártelo con un compañero. Para ello puedes usar las palabras OSOS, GLOBOS, BESOS, BEISBOL, OLEE, GOOL. 29

34 ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es importante que el profesor considere la dificultad que tienen algunos alumnos para identificar regularidades y patrones numéricos, es por ello que se recomienda pedir a los estudiantes que verbalicen la forma en que resuelven los ejercicios. En los casos en los que los estudiantes no logren generalizar, se recomienda que el profesor formule preguntas que ayuden a descubrir el patrón. Las preguntas pueden ser, del tipo: Qué observas en la cifra de las unidades?, Qué pasaría si cambiamos este número por otro? Podrías resolver un ejercicio similar sin utilizar calculadora?, etcétera. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 30

35 5. CARRERA DE CABALLOS APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos convivan en un ambiente de competencia en situaciones en las que interviene el azar, se pretende además que reflexionen y comparen dos o más eventos probalísticos. Que los alumnos comparen eventos probabilisticos a fin de distinguir que una actividad aleatoria se rige por reglas que son posibles de conocer. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Comente al grupo que imaginen que van a las carreras de caballos y se convertirán en apostadores. Deberán reunirse en equipos de 6 integrantes, incluso podrían ser 12 integrantes, cada uno elige su caballo favorito al cual le seguirán la pista en un tablero. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Inicie la actividad proporcionando a cada equipo un tablero (anexo 1) y un dado. Comente que deben imaginar que están en una carrera de caballos en donde todos los caballos tienen la oportunidad de avanzar una posición cuando se lance el dado. Pregunte: Qué caballo creen que llegará primero a la meta? Por qué? Induzca a los alumnos a identificar un evento en el que interviene el azar y un evento seguro. (5 min) Secuencia de actividades 1. Arrancan! Los alumnos van a jugar una carrera de caballos. Primero elegirán libremente uno y le asignarán un nombre. Posteriormente iniciarán la carrera, para ello, por turnos deberán lanzar un dado y avanzará una casilla el caballo que tenga el número de puntos que corresponda al dado. Gana el primero que llegue a la meta. (15 min) 31

36 CARRERA DE CABALLOS Después de que un jugador gane plantee las siguientes preguntas: Qué caballo ganó la carrera? Qué caballo(s) quedó (aron) en segundo lugar? Existe la posibilidad de que gané la carrera el caballo con el número 10? Y el caballo 1? Por qué? Crees qué algún caballo tiene mayor posibilidad de ganar la carrera? Por qué? 2. La siguiente actividad es similar a la anterior pero ahora se necesitan 12 personas, mismas que deberán utilizar el tablero que se encuentra en el anexo 1. Nombre del caballo NÚMERO DE TIRADA META Explique a los alumnos que ahora lanzarán dos dados. La suma de los resultados indicará el número de caballo que debe avanzar una posición. Gana el primero que llegue a la meta. (15 min) Al final analicen los resultados y respondan a las siguientes preguntas: Cuál caballo no conviene elegir? Por qué? 32

37 Qué caballo(s) tiene(n) mayor posibilidad de ganar la carrera? Por qué? Existe la posibilidad de que el caballo con el número 12 gane la carrera? Por qué? Cuántas veces lanzaron los dados? Puesta en común de los productos 3. Posteriormente, por turno los equipos lanzarán dos dados. Pida que sumen los puntos de los dados y completen la siguiente tabla: (20 min) Primer dado Segundo dado Después de lanzar los dos dados responda las siguientes preguntas: Cuál suma es más probable que caiga? Cuál suma es menos probable que caiga? Cuáles número (s) nunca caerá (n)? Cierre de la sesión 33

38 4. Para concluir pida que realicen piensen en el lanzamiento de dos dados y contesten las siguientes preguntas: a) Qué es más probable que en los dos dados caigan en número par o impar? b) Qué es más probable que la suma de sus caras sea 10 o que en ambas caras aparezca el mismo número? Expliquen su respuesta. (5 min). ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Debe prever el tiempo suficiente para analizar todas las respuestas y detenerse en las que haya diferencias. Hay que centrar la atención sobre todo en los dos últimos incisos, analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos compuestos. Respecto a las reglas del juego, si juegan tres o cuatro jugadores en la versión de la suma, se encontrarán que muchas veces sale un valor de la suma correspondiente a un caballo que no ha elegido nadie, por lo que bastantes tiradas no servirán para que avance ninguno de los caballos seleccionados. Una forma de solucionar lo anterior es que en ese caso cada jugador elija dos caballos distintos, con lo cual al participar seis u ocho caballos la partida es más dinámica. El orden en que se recomienda plantear este juego en clase es: Primero utilizar la suma; cuando ya han jugado varias veces entonces se podrá plantear el caso que se resuelve con una resta. Una vez acabado los dos lo más importante es hacer el estudio matemático de por qué un caballo u otro avanza más rápido. Este análisis es fácil de hacer por los alumnos pues sólo tienen que construir dos tablas de valores con los posibles resultados, tanto para la suma como para la resta. Al hacer el estudio anterior se puede observar que el 7 tiene ventaja (se puede aprovechar para hacer ver la razón por la que en las películas de casinos, quienes lanzan los dados siempre quieren un 7) en el caso de la suma. Sin embargo los resultados previstos teóricamente se pueden ver alterados por el azar. Por ello cuando se lanzan los dados, en algunos grupos puede ser que gane el caballo con dorsal 6 u 8 o incluso más alejados del 7. Lo mismo ocurre con el 1 en la diferencia, aunque en este caso al haber dos puntos de diferencia entre ese valor y el siguiente (que es el 2), es más raro que no gane el caballo 1. Invite a los alumnos a predecir que caballo ganaría la carrera si al lanzar el dado avanza una posición el caballo que tenga dicho número. Proponga que jueguen algunas partidas y comprueben si es acertada o creen que deben modificarla, sugiera un registro de los lugares que ocupo cada caballo y las casillas en donde quedaron. 34

39 Anexo 1 Tablero para la carrera de caballos 35

40 6. EL CUBO LOCO APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos calculen el volumen de cuerpos geométricos y además visualicen, comprendan y deduzcan que una misma área puede contener distintos volúmenes. Que los alumnos demuestran mediante un arreglo manipulable de cubos que una misma área puede contener volúmenes distintos. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Se recomienda construir el material en equipos de dos personas para que los alumnos trabajen de manera colaborativa a fin de que puedan pegar y armar eficientemente un arreglo de cubos, el cual servirá como material para el desarrollo de la actividad. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las características geométricas de un cubo, para ello pueden hacerse la siguiente actividad: (5 min) Recuerda cuáles son los elementos de un cuerpo geométrico: Escriba el número de elementos que tienen los siguientes cuerpos geométricos: 36

41 Caras Vértices Aristas Caras Vértices Aristas Caras Vértices Aristas Secuencia de actividades Manos a la obra 1. Para hacer el cubo loco necesitamos 8 cubos del mismo tamaño, deben ser rígidos y de preferencia que tengan una arista igual o mayor que 10cm. Si no tenemos los cubos, construyámoslos en la cartulina, para hacerlo puedes utilizar la siguiente plantilla: Pestaña Es importante que nuestro cubo tenga al final una pestaña en una arista 37

42 2. Para construir nuestro cubo loco debemos seguir los siguientes pasos: A. Debemos tener 8 cubos, los cuales pegaremos de 2 en 2 como se muestra en la imagen, observa que deben la pestaña servirá para que tengan movilidad como si fuera una bisagra: B. Posteriormente debemos pegarlos de tal forma que queda dos tiras de 4 cubos, cada una como se muestra en la figura (Observa cómo se unen a partir de las pestañas): Esta parte es movible C. Finalmente deben unirse los dos bloques de 4 cubos de la forma siguiente (Recuerde que en todos los casos las pestañas deben permitir la movilidad entre los cubos) 38

43 Puesta en común de los productos 3. Por fin tenemos nuestro cubo loco, manipúlalo y observa los cuerpos geométricos que puedes formar. Podrás observar que al menos se forman 3 distintos. Comparte tus resultados con tus compañeros.obtén el volumen y el área total de cada uno y dibújalos a continuación. Figura 1 Área total Volumen Figura 2 Área total Volumen Figura 3 Área total Volumen 39

44 Cierre de la sesión 4. Después de manipular el cubo loco y de obtener el área total y volumen de los cuerpos geométricos que se pueden formar a partir de él, responde las siguientes preguntas: Cómo son entre si el volumen de los cuerpos geométricos que formaste en la actividad anterior? Cómo es entre sí el área total de los 3 c uerpos? A partir de lo anterior escribe una conclusión a la que puedas llegar: ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR El trabajo con material concreto en temas de geometría favorece el desarrollo de habilidades tales como la imaginación espacial. El cubo loco puede convertirse en una herramienta poderosa para lograr que el alumno pueda darse cuenta que una misma área puede contener distintos volúmenes. Para la realización del cubo loco, se recomienda que el docente lo haga paso a paso, debe cuidarse que los alumnos peguen correctamente las piezas, se recomienda además hacer el trabajo por equipos de 2 personas para que los alumnos construyan el cubo loco en dos ocasiones y puedan así interiorizar la construcción del mismo. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 40

45 7. VASOS Y CORCHOLATAS APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos reflexionen y distingan diversas situaciones de azar en eventos que son independientes. Que los alumnos distingan diversas situaciones de azar en eventos que son mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de ocurrencia. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad se sugiere trabajar en grupo para explorar los conocimientos de los alumnos respecto a la organización de información, específicamente el uso de tablas, graficas, espacio muestral, punto muestral y azar. Después organice a los alumnos en equipos de 2 o 3 elementos, dependiendo de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para realizar la actividad. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Individualmente determinen todas las posibilidades que resultan al lanzar una moneda, dibújenlas, al terminar contesten las siguientes preguntas: (10 min) Todos los posibles eventos que resultan de un experimento aleatorio c) Qué es más probable que caiga sol o águila? reciben el nombre de espacio t l d) Por qué? Indique que van a realizar el experimento para comprobar su predicción, para ello solicite que un alumno lleve el registro en el pizarrón de la frecuencia con la que cae sol o águila, y otro alumno lance 10 veces la moneda. Qué cayó más veces sol o águila? - Guíe a los alumnos a deducir que al lanzar la moneda sol y águila tienen la misma posibilidad de salir, porque se trata de un evento equiprobable. 41

46 Secuencia de actividades 4. Proporcione una bolsa de igual tamaño a cada equipo, pida que coloquen la cartulina en una superficie rígida y en la bolsa las 20 corcholatas. Plantee la siguiente situación: Imaginen que dejo caer las corcholatas Cómo creen que caerían las corcholatas: boca arriba, de lado o boca abajo? Pida que en cada equipo realicen el experimento; que dejen caer las corcholatas contenidas en la bosa sobre la cartulina y elaboren una tabla de registro como la que se muestra: Posición Número de tachuelas Boca arriba Boca abajo De lado Total Apoyándose de los resultados de la tabla anterior, invite a cada equipo a predecir lo que pasaría si sólo usaran 10 corcholatas. Pida que comenten en su equipo y después que un representante pase a realizar el experimento de colocar 10 corcholatas en el vaso y dejarlas caer para verificar. (15 min) 5. A cada equipo entregue un vaso de diferente tamaño. Pida que lo lancen al aire 20 veces y registren en una tabla las posiciones en que cae. (5 min) Posición Parado De cabeza De lado Total Vaso Puesta en común de los productos 6. Después elaboren una gráfica de barras para representar la información de la tabla. Cuando terminen, comparen las gráficas de cada equipo, los vasos que usaron y analicen los resultados con base a las siguientes preguntas: A qué equipo le cayó más veces el vaso parado? A cuál le cayó más veces de cabeza? A cuál le cayó más veces boca arriba? Qué es más probable que caiga; el vaso de lado, de cabeza o boca arriba? Justifica tu respuesta (10 min) 42

47 Cierre de la sesión 7. Escribe 5 ejemplos de experimentos en donde intervenga el azar y explica tus respuestas. (5 min) ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es conveniente que durante el desarrollo de esta actividad ayude a los alumnos a entender las reglas del juego, anticipar resultados, pues se pretende introducir a los alumnos en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y otras en las cuales no e posible saberlo. Esto sin precisar que en algunos casos el saber puede deberse a la falta de información, mientras que en otros no es posible obtener la información porque se está, precisamente, en situaciones de azar, para ello se sugiere realizar otros experimentos azarosos como: lanzar monedas, dados, las carrera de caballos, etc. Asimismo, conviene que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno. Promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 43

48 8. PINTANDO CUBOS APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos desarrollen las habilidades matemáticas de imaginación y visualización espacial para determinar las características geométricas de cuerpos geométricos para los elementos no visibles. Que los alumnos desarrollen habilidades matemáticas que les ayuden a enfrentar con éxito distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que deben imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte (Generalización) es recomendable hacerla en equipos de dos personas. La parte final de la actividad es de suma importancia hacer la confrontación de resultados y la socialización de manera grupal. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las habilidades que tienen los alumnos respecto a la imaginación espacial, para ello se recomienda realizar la siguiente actividad: (15 min) El siguiente arreglo fue hecho con tres cubos, a partir de esta vista determina: Cuántas caras son visibles? Cuántas caras no pueden ser vistas desde esta perspectiva? Cuántos vértices no pueden ser vistos desde esta perspectiva? Observa el siguiente arreglo de cubos: Cuántos cubos faltan para completar tres pisos? 44

49 DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR Cuántos cubos faltan para completar tres pisos? DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR Puesta en común de los productos A continuación se presentan algunos arreglos con cubos, obsérvalos con atención y responde las preguntas que se presentan (20 min): Figura 1 Al pintar los cubos sin ser separados Cuántos cubos quedarán pintados de? Con cuántos cubos se formó ésta en la figura? a) Una cara b) Dos caras c) Tres caras d) Sin pintar 45

50 Figura 3 Al pintar los cubos sin ser separados Cuántos cubos quedarán pintados de? i) Una cara j) Dos caras k) Tres caras l) Sin pintar Con cuántos cubos se formó ésta en la figura? Cierre de la sesión Llena la tabla con base en la información anterior si consideramos que las siguientes figuras conservan el mismo patrón. (10 min) Número de figura Cubos con 1 cara pintada Cubos con 2 caras pintadas Cubos con 3 caras pintadas Cubos sin pintar Total de cubos n 46

51 ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con cubos, en tal caso se recomienda que el profesor considere la posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta habilidad. Al final es recomendable llegar a la generalización para ello debe retomarse la fórmula del producto notable de un binomio al cubo. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 47

52 9. DIBUJANDO CUBOS APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos desarrollen las habilidades matemáticas de imaginación y visualización espacial para determinar las características geométricas de cuerpos geométricos para los elementos no visibles. Que los alumnos desarrollen habilidades matemáticas que les ayuden a enfrentar con éxito, distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que deben imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte es recomendable hacerla en equipos de dos personas. Dependiendo el número de alumnos y del material disponible se recomienda dar 10 cubos por equipo, mismos que pueden estar formados por 2, 3 o 4 integrantes. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Puede iniciarse esta actividad haciendo recordatorio de la actividad anterior, para ello se recomienda realizar la siguiente actividad: (15 min) 1. El siguiente arreglo fue hecho con cubos, a partir de esta vista determina: Cuántos cubos tiene? Cuántos cubos tienen una cara pintada? Cuántos tienen dos caras pintadas? Cuántos tienen tres caras pintadas? Puesta en común de los productos 2. En equipos utilicen los cubos y las siguientes perspectivas para formar las construcciones correspondientes. Antes de hacerlas traten de predecir cuántos cubos serán necesarios para la construcción. Al final dibújenlas en la retícula para perspectiva, pueden utilizar la que se incluye en el anexo 1: (20 min) 48

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56 Cierre de la sesión 3. A continuación se muestra una retícula con perspectiva y algunas construcciones, imagina que las construcciones se acuestan en la dirección que indica la flecha. Dibuja como queda al final la construcción como se muestra en el caso a) (15 min): 52

57 ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con cubos, en tal caso y como en la ficha anterior, se recomienda que el profesor considere la 53

58 posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta habilidad. Por otro lado es importante que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas. Favorezca la cooperación y el respeto mutuo. Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes del grupo. Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de aprendizaje. Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos. Valore los esfuerzos y logros alcanzados. 54

59 ANEXO 1 55

60 10. CUÁDRATE CON LOS TRIÁNGULOS APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos comprueben geométricamente la validez del Teorema de Pitágoras por equivalencia entre áreas de figuras planas, en el caso particular del triángulo rectángulo isósceles utilizando el tangrama. ORGANIZACIÓN DEL GRUPO Para la realización de esta actividad se sugiere que cada alumno tenga un tangrama y el docente retome la actividad de la sesión 3 (el tangrama). Después los alumnos deberán organizarse en equipos de 3 o 4 personas para iniciar la actividad. DESARROLLO DE LA SESIÓN Consideraciones previas Para iniciar, retome los conocimientos referentes al área de cada pieza del tangrama utilizado en la sesión 3. Después explore la noción de semejanza y congruencia de triángulos mediante una lluvia de ideas, puede usar las siguientes preguntas: (10 min) a. Cuánto miden los lados del triángulo 1? b. Cuánto miden los lados del triángulo 2? c. Cómo son entres sí las medidas de los lados del triángulo 1 y 2? d. Menciona otra característica que tengan en común los triángulos 1 y 2 e. Qué tienen en común el triángulo 5 y 7? f. Qué tienen en común los triángulos 1 y 5? g. Qué tienen en común los triángulos 1, 3 y 5? h. Qué diferencias encuentras entre los triángulos 1, 3 y 5? Guíe a los alumnos a deducir la diferencia entre semejanza y congruencia, así como los elementos y características del triángulo rectángulo isósceles (catetos, hipotenusa, ángulo recto). 56

61 Secuencia de actividades 1. Pedir a los alumnos que clasifiquen los distintos triángulos y que los dibujen en los siguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10) min) Triángulos que tengan la misma área y la misma medida en sus lados y ángulos. Triángulos que tengan diferente área y diferente medida en sus lados, pero la misma medida en sus ángulos Cuando dos triángulos tienen la misma medida en sus lados correspondientes, sus ángulos y área, se dice que son congruentes. Cuando dos triángulos son semejantes entre sí, tienen la misma medida en sus ángulos interiores correspondientes y la medida de sus lados son proporcionales entre sí pero sus áreas son distintas. Al terminar de dibujar las parejas de triángulos congruentes y semejantes deberán comparar sus resultados con sus compañeros a fin de validar sus respuestas. Posterior a ello deberán completar las siguientes definiciones: Dos triángulos son congruentes entre sí cuando: Dos triángulos son semejantes entre sí cuando: Los triángulos rectángulos isósceles se caracterizan por: 2. Pida a los alumnos que trabajen en equipos de cuatro integrantes, junten sus tangramas y realicen lo siguiente: (15 min) Como actividades previas se sugiere además realizar las siguientes: Pedir a los alumnos que identifiquen por su nombre a los lados de un triángulo rectángulo isósceles, de tal forma que: Respecto al área total del tangrama determina la fracción que representan los triángulos: 57

62 HIPOTENUSA del área total CATETO del área total CATETO del área total Tomen el triángulo que tiene un área de colóquenlo sobre una superficie firme y seleccionen dos triángulos con los que se pueda construir un cuadrado sobre el lado hipotenusa:

63 Con las piezas sobrantes arma un cuadrado sobre cada uno de los lados iguales del triángulo (catetos). Coloca aquí las piezas que formen este cuadrado Coloca aquí las piezas que formen este cuadrado 1 8 Contesta las siguientes preguntas: a) Qué piezas del tangrama utilizaste en la actividad anterior? b) Cuál es el área de cada pieza? c) Cuál es el área total de las figuras utilizadas para formar uno de los catetos? d) Suma el área de los cuadrado construidos sobre los catetos Qué resultado obtuviste? e) Cómo son entres sí las áreas de la suma de los cuadrados formados en los catetos, respecto al cuadrado formado en la hipotenusa? A Pon aquí las piezas que formen este cuadrado 1 8 C Pon aquí las piezas que formen este cuadrado Pon aquí las piezas que formen este cuadrado B 59