UNA EXPERIENCIA PRÁCTICA DE PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA CON LINGO

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1 UNA EXPERIENCIA PRÁCTICA DE PROGRAMIÓN MATEMÁTICA CON LINGO P. Dort González, D.R. Sntos Peñte, R. Suárez Veg Deprtmento de Métodos Cuntittivos Universidd de Ls Plms de G.C. Resumen: El softwre mtemático se h venido emplendo desde hce vrios ños como un sistente más en l docenci de cierts titulciones con buenos resultdos. Ls ventjs de su utilizción son muchs. En este trbjo se muestr un práctic de optimizción mtemátic con yud de LINGO. Se proponen dos problems, uno linel y otro no linel, relciondos con el problem clásico de trnsporte en Economí Industril. Plbrs clve: optimizción mtemátic, problem de trnsporte, LINGO.

2 1 INTRODUCCIÓN En este trbjo se muestr un práctic de lbortorio correspondiente contenidos de progrmción mtemátic. Se desrrolln dos ejemplos, uno linel y otro no linel, bsdos en el problem clásico de trnsporte. Tnto l solución de los mismos como el nálisis de sensibilidd se reliz con LINGO. LINGO es un herrmient mtemátic que resuelve un mpli gm de problems de optimizción, lineles, no lineles y enteros, utilizndo un lenguje sencillo, lo que lo convierte en un sistente idel en l docenci. Junto con LINDO form prte del pquete SOLVER SUITE (mnul de usurio, 1996). Pr l resolución de los problems lineles se utiliz LINDO. Sin embrgo, diferenci de éste último, LINGO incorpor un lenguje de progrmción que permite escribir de mner cómod el modelo. Debe tenerse en cuent que LINGO detect óptimos locles y que slvo pr l progrmción linel y conve, no siempre result fácil identificr los óptimos globles. Est práctic está pensd pr lumnos de primer curso de l Licencitur en Economí, Licencitur en Administrción y Dirección de Empress y l Diplomtur en Ciencis Empresriles. Pr un buen visión de ls mtemátics en l Economí y l Empres puede consultrse Heussler y Pul (1997), Sydseter y Hmmond (1996). El problem de trnsporte sin restricciones de cpcidd es linel y se resuelve hbitulmente en l signtur Mtemátics II (álgebr y progrmción linel). El problem de trnsporte con restricciones de cpcidd es no linel y h sido considerdo en est práctic pr ilustrr el uso del lenguje de progrmción de LINGO, el cul permite umentr de mner sencill ls dimensiones del problem, dds por el número vribles y restricciones en el modelo. Aunque el objetivo de este trbjo es mostrr ls posibiliddes del softwre en l docenci de l optimizción mtemátic y no de servir de mnul de introducción l mnejo de LINGO, se incluyen los conocimientos elementles necesrios pr empezr trbjr con este pquete. 2 PROBLEMA DE TRANSPORTE SIN RESTRICCION DE CAPID En este prtdo se resuelve el siguiente ejemplo (Suárez y otros, 2001): 2

3 Un fábric que tiene dos plnts loclizds en ls ciuddes A y B, necesit suministrr un determindo producto tres lmcenes situdos en ls ciuddes C, D y E. Ls plnts A y B pueden suministrr semnlmente 80 y 90 uniddes del producto, respectivmente. Los lmcenes necesitn semnlmente 40, 50 y 80 uniddes del producto pr stisfcer su demnd. Los costes de trnsporte por unidd de producto se recogen en l tbl siguiente: Ciudd C D E A B El problem consiste en determinr cuánts uniddes del producto se deberán trnsportr desde cd plnt cd lmcén, de form que se minimice el coste totl de trnsporte. Como puede observrse, se trt de un problem linel. Pr un buen introducción en l progrmción linel puede consultrse Ching, FORMULION DEL PROBLEMA Denotndo por,, ls uniddes envids de l plnt A hci los lmcenes C, D y E, respectivmente, y por, BD, BE ls uniddes envids de l plnt B hci los lmcenes C, D y E, respectivmente, l formulción del problem de progrmción linel socido es l siguiente: Min s BD BE BD BE ,,,,, Ls dos primers restricciones imponen que l cntidd suministrd en ls plnts A y B no supere su disponibilidd semnl, mientrs que ls tres siguientes imponen que se cubr el requerimiento mínimo en los lmcenes C, D y E. Obsérvese que unque ls restricciones son de desiguldd, en l solución óptim ls holgurs socids los BD BE BD 0 BE 3

4 lmcenes serán nuls debido que se está minimizndo el coste de trnsporte y, por tnto, no se trnsportrán más uniddes que ls demndds. Además, como l producción totl de ls plnts coincide con l demnd totl de los lmcenes, tnto ls restricciones socids ls plnts como los lmcenes pueden ser escrits con iguldd. Si el producto fuese indivisible, ls restricciones de no negtividd deberín ser reemplzds por otrs en ls que se grntice que ls vribles sen enters no negtivs. De culquier form, en este cso prticulr l solución que se obtiene es enter. 2.2 MODELO EN LINGO L escritur del modelo se bs en ls siguientes regls: L función objetivo v precedid de m= o min= y finliz en ; l igul que cd un de ls restricciones. Ls desigulddes pueden escribirse de form estrict, unque LINGO ls interpret siempre como o, según el cso. No es necesrio introducir ls restricciones de no negtividd, si ls hubier, y que LINGO ls consider por defecto. Es necesrio indicr el producto con *. Teniendo en cuent ests regls, el modelo puede escribirse como sigue: MIN=5*X3*X4*X6*X7*XBD2*XBE; XXX<80; XXBDXBE<90; XX>40; XXBD>50; XXBE>80; 2.3 RESOLUCION L ventn de slid que proporcion LINGO es l siguiente: Objective vlue: Vrible Vlue Reduced Cost X E00 X E00 X E X E00 XBD E

5 XBE E00 Row Slck or Surplus Dul Price E E E E E E Como puede observrse, pr minimizr los costes de trnsporte hn de envirse 30 uniddes de l plnt A l lmcén C y el resto, es decir 50, l lmcén D. En l plnt B se h de signr 10 uniddes l lmcén C y el resto (80) l E. El coste de trnsporte mínimo es 520. Obsérvese que l solución no es únic ddo que l holgur y el precio sombr de l producción de l plnt B son simultánemente cero. Como puede observrse, tods ls holgurs son nuls. L interpretción de los precios sombr (solución dul) es l siguiente. Un unidd dicionl fbricd en l plnt A reduce el coste totl de trnsporte en un unidd; sin embrgo, un unidd dicionl en l plnt B no reduce el coste totl de trnsporte. Por tnto, si l firm se plnter incrementr l producción, este incremento deberí producirse en l plnt A. Finlmente, el incremento de un unidd en l demnd de cd lmcén provoc un umento en el coste totl de trnsporte de 6, 4 y 2 uniddes, respectivmente. De est form, en el cso de un umento en l demnd, l firm le interesrí que dicho incremento se produzc en el lmcén E. 2.4 ANALISIS DE SENSIBILID El comndo Rnge del menú Lingo muestr l siguiente tbl: Rnges in which the bsis is unchnged: Objective Coefficient Rnges Current Allowble Allowble Vrible Coefficient Increse Decrese X X X INFINITY X XBD INFINITY XBE Righthnd Side Rnges Row Current Allowble Allowble RHS Increse Decrese INFINITY 0.0 5

6 Est tbl indic en primer lugr el rngo de vrición permitido de cd coeficiente en l función objetivo pr que, permneciendo inlterdos el resto de ellos, l solución del problem priml no cmbie. En segundo lugr, muestr el rngo de vrición permitido en el término independiente de cd restricciones pr que, permneciendo inlterdos el resto, l solución sig siendo l mism. A modo de ejemplo, el coste unitrio de trnsporte entre ls ciuddes A y C puede vrir en el intervlo [2,6] sin que l solución del problem cmbie. De form similr, l producción en l plnt A puede vrir en el intervlo [80,90] y los precios sombr seguirín siendo los mismos. 3 PROBLEMA DE TRANSPORTE CON RESTRICCION DE CAPID En lgunos problems sobre redes, los costes unitrios vrín con l cntidd trnsportd trvés de cd rut. Culquier que circule por un grn ciudd durnte l hor punt puede eperimentr este hecho. Cundo el número de vehículos en l ví ument, el tiempo tmbién ument. En quellos csos en los que el coste de trnsporte depende del tiempo, éste ument con l densidd del tráfico. Generlmente, el coste no se increment de form linel. De hecho, pr un mismo incremento en el flujo, si el tráfico es reducido el incremento en el tiempo es pens perceptible, pero sin embrgo, medid que nos proimmos l cpcidd de l ví el incremento en el tiempo se hce considerble. Supongmos que el tiempo (o coste) requerido pr recorrer un pr origen-destino (rist) de l red obedece l siguiente función: donde: t ( ) = r t = tiempo (o coste) totl empledo en l rist, = cntidd totl trnsportd (flujo) lo lrgo de l rist, c ví, = cpcidd de l rist, es decir, l cntidd máim que puede circulr por es c 6

7 r = tiempo (o coste) requerido pr trnsportr un unidd lo lrgo de l rist, si no eiste congestión lo lrgo de est rist. El coeficiente r depende de crcterístics como el tipo de ví y l longitud. Como puede observrse, si l cpcidd es infinit (problem sin restricciones de cpcidd) t ( ) = r. Por otro ldo, cundo l cntidd trnsportd se proim l cpcidd de l ví, el coste de trnsporte tiende infinito. Además, cundo l cntidd trnsportd es nul el coste de trnsporte es cero. L función coste de trnsporte puede representrse con Derive (herrmient conocid por nuestros lumnos) y su gráfic es: t() 3.1 ENUNCIO DEL PROBLEMA Un ejemplo prticulr es el siguiente: Un fábric que tiene dos plnts loclizds en ls ciuddes A y B, necesit suministrr un determindo producto tres lmcenes situdos en ls ciuddes C, D y E. Ls plnts A y B pueden suministrr semnlmente 80 y 90 uniddes del producto, respectivmente. Los lmcenes necesitn semnlmente 40, 50 y 80 uniddes del producto pr stisfcer su demnd. Ls cpciddes de ls vís de comunicción entre dichs ciuddes y los tiempos unitrios socidos cd un de ells se muestrn en l tbl siguiente: Ciudd C D E c r c r c r A B Teniendo en cuent que t( ) = r, 1 c decidir cuánts uniddes del producto se deberán trnsportr desde cd plnt cd lmcén, de form que se minimice el tiempo totl de trnsporte c 7

8 2.2 FORMULION DEL PROBLEMA L formulción del problem es l siguiente: Min s BD BE BD BE ,,,,, BD BE 0 15 BD BD BE BE 80 En relidd, lo único que h vrido respecto l problem sin restricciones de cpcidd es l función objetivo. El nuevo objetivo es no linel, sí que el problem resultnte es tmbién no linel. Ddo que l función t () es estrictmente conve, se tiene que l función objetivo es tmbién estrictmente conve, por lo que eiste un único óptimo globl. Además, no eisten óptimos locles no globles, por lo que l solución encontrd por LINGO, el cul utiliz un método bsdo en el grdiente, es globl. Pr un introducción l progrmción no linel puede consultrse Bzr, PROGRAMION EN LINGO En este cso, y modo de ejemplo de l progrmción en LINGO, se utilizn los siguientes conjuntos y funciones. En l sección SETS se definen ls estructurs de dtos. El tipo ORIGEN es un vector de dos elementos y hce referenci ls plnts. El tipo DESTINO es un vector de tres elementos y hce lusión los lmcenes. Además, l vrible OFERTA es de tipo ORIGEN y l vrible DEMANDA es de tipo DESTINO. De est form, OFERTA(I) hce referenci l i-ésimo elemento del vector OFERTA, mientrs que DEMANDA(J) hce lusión l j-ésim componente del vector DEMANDA. Este tipo de definiciones permite umentr de form sencill ls dimensiones del problem, dds por el número de plnts y lmcenes. Finlmente, l estructur PAR es un mtriz donde l primer componente hce referenci l ORIGEN y l segund l DESTINO. Ls vribles R, 8

9 CAPID y FLUJO se definen como mtrices de este tipo. El elemento PAR(I,J) hce referenci l rist con ORIGEN(I) y DESTINO(J). En l sección DATA se introducen los inputs del problem, en este cso los dtos del problem en relción ls oferts de ls plnts, ls demnds de los lmcenes, los vlores de r y l cpcidd de cd rist. Los dtos del problem pueden ser leídos de rchivos eternos e incluso ser solicitdos por LINGO. L vrible FLUJO(I,J) indic l cntidd trnsportd lo lrgo de el PAR(I,J) y es l incógnit del problem. El objetivo es minimizr l función COSTETOTAL, ddo por l sum de los costes socidos cd rist. Eisten tres grupos de restricciones en el modelo. En el primer grupo eiste un restricción socid cd plnt que impone que el flujo lo lrgo de tods ls rists con origen en I no supere su ofert. En el segundo grupo, eiste un restricción socid cd lmcén que impone que el flujo lo lrgo de tods ls rists con destino en J cubr l demnd. Finlmente, l cntidd trnsportd lo lrgo de cd rist debe estr comprendid entre cero y l cpcidd. L hce que LINGO utilice estos límites como simples cots en l vrible, no lmcenándose como restricciones del problem. MODEL:! Problem de trnsporte con restricciones de cpcidd; SETS: ORIGEN / A B /: OFERTA; DESTINO / C D E /: DEMANDA; PAR(ORIGEN,DESTINO): R, CAPID, FLUJO; ENDSETS DATA: OFERTA = ; DEMANDA = ; R = ; CAPID = ; ENDDATA [COSTETOTAL] MIN PAR: R * FLUJO/(1 - FLUJO/ PAR(I,J): FLUJO(I,J)) < PAR(I,J): FLUJO(I,J)) > 0, FLUJO, CAPID);); 9

10 END Téngse en cuent que unque se hyn escrito ls restricciones estricts, LINGO por defecto consider restricciones de o. Si el producto es indivisible debe sustituirse l últim restricción 0, FLUJO, FLUJO);); 3.4 RESOLUCION L ventn de slid que proporcion LINGO es l siguiente: Objective vlue: Vrible Vlue Reduced Cost FLUJO( A, C) E00 FLUJO( A, D) E00 FLUJO( A, E) E00 FLUJO( B, C) E-05 FLUJO( B, D) E-05 FLUJO( B, E) E00 Row Slck or Surplus Dul Price COSTETOTAL E E E E E E Como puede observrse, en est ocsión los flujos entre ciuddes (column Vlue ) no son vlores enteros. El tiempo de trnsporte mínimo es CONCLUSIONES Se h presentdo un práctic de optimizción emplendo LINGO. L eperienci docente derivd de su utilizción h puesto de mnifiesto l idoneidd del empleo de dich herrmient. En prticulr, su plicción en l resolución de problems relciondos con el cmpo empresril h permitido fcilitr su similción por el lumndo, lcnzndo un mejor nivel de comprensión y un buen grdo de stisfcción por su prte. Ls herrmients mtemátics como LINGO permiten que lumnos con unos conocimientos elementles en optimizción puedn resolver un mpli gm de problems. En quells titulciones en ls cules ls mtemátics no son el fin en si 10

11 misms y se reducen un herrmient de trbjo, result de myor interés l formulción de los problems, l interpretción y el nálisis de ls soluciones, en detrimento del método empledo en l obtención de dich solución. En los problems estudidos se h hecho un simplificción importnte que debe puntulizrse. En el problem sin restricciones de cpcidd se conoce el coste de trnsporte por unidd entre ls plnts y los lmcenes. En generl, este coste puede venir ddo en función de l distnci recorrid lo lrgo de ciert red que represente ls comunicciones entre ciuddes. En tl cso, hbrí que resolver en primer lugr el problem de ls distncis mínims en l red de trnsporte y gregr los costes lo lrgo del cmino mínimo. En el problem con cpcidd, se conoce c y r pr cd pr origen-destino, unque en generl sobre un red de trnsporte hbrí que tener en cuent estos prámetros lo lrgo de tods ls rists que pertenecen l cmino mínimo. 5 REFERENCIAS Bzr, M.S., Sherli, H.D. y Shetty, C.M. (1993): Nonliner progrmming. Theory nd lgorithms (2ª edición). Ed. John Wiley. Ching, A.C. (1.987): Métodos Fundmentles de Economí Mtemátic (3ª edición). Ed. McGrw-Hill. Heussler, E.I. y Pul, R.S. (1997): Mtemátics pr l Administrción, Economí, Ciencis Sociles y de l Vid (8ª edición). Ed. Prentice-Hll. Mnul de usurio (1996). Solver Suite: LINDO, LINGO nd WHAT S BEST, Lindo Systems Inc. Suárez Veg, R., Dort González, P., González Mrtel, C., Andrd Féli, J. y Hernández Guerr, J. (2001): Problems de Algebr Linel pr l Economí y l Empres. Ejercicios resueltos, cuestiones y trtmiento con DERIVE y LINGO. Ed. El Libro Técnico. Sydseter, K. y Hmmond, P.J. (1996). Mtemátics pr el Análisis Económico. Ed. Prentice-Hll. 11